23/05/02 20:11:17.92 SPvaJtqc.net
>>433
X を位相空間, U, V を X で稠密な開集合とする時,
U ∩ V も X で稠密なことを証明すれば良い.
そのためにまず, X の任意の部分集合 A と X の開集合
G に対し, G ∩ [A] ⊆ [G ∩ A] を証明する.
ここに, [A] は X に於ける A の閉包.
実際, 任意に x ∈ G ∩ [A] を取り, W を X に於ける
x の任意の近傍とすると, W ∩ G は X に於ける x の近傍なので,
x ∈ [A] なることから, W ∩ G ∩ A ≠ φ.
よって, W の任意性から, x ∈ [G ∩ A].
従って, G ∩ [A] ⊆ [G ∩ A] が証明された.
さて, U, V を X で稠密とすると, 先に示したように,
U = U ∩ X = U ∩ [V] ⊆ [U ∩ V]
となり, X = [U] ⊆ [U ∩ V], 即ち X = [U ∩ V] が得られ,
U ∩ V が X で稠密なことが証明された.