Inter-universal geometry とABC 予想54

Inter-universal geometry とABC 予想54at MATH

Inter-universal geometry とABC 予想54 - 暇つぶし2ch802:は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 L2、自乗総和可能数列の空間 ℓ^2、超関数からなるソボレフ空間 H^s、正則関数の成すハーディ空間 H^2 などが挙げられる。もう少し自明でない例複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数 <z,w>=?n=1～∞ |(zn)^2| が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を ℓ^2 で表す。ベルグマン空間正則関数の成すヒルベルト空間の別なクラスにベルグマン空間がある[27]。略すヒルベルト次元ツォルンの補題の帰結として、「任意の」ヒルベルト空間が少なくとも一つの正規直交基底を持つことが分かる。さらに、一つの空間ではどの二つの正規直交基底も必ず同じ濃度を持つことが示されるので、その濃度をしてその空間のヒルベルト次元と呼ぶ[61] 例えば、B 上の自乗総和可能数列の空間 ℓ2(B) は B で添字づけられる正規直交基底を持つから、そのヒルベルト次元は B の濃度（これは有限な整数かもしれないし、可算あるいは非可算の基数であるかもしれない）である。 B の濃度は H のヒルベルト次元に等しい。従って、任意のヒルベルト空間は、適当な集合 B に対する数列空間 ℓ^2(B) に等距同型である。注記 61.^ Levitan 2001。様々な文献（例えば Dunford & Schwartz (1958, §IV.4) など）ではこれを単に次元と呼ぶが、考えているヒルベルト空間が有限次元の場合を除けば、これは通常の線型空間の意味での次元（ハメル基底の濃度）と同じものではない。

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