23/01/04 22:54:13.60 nnLBjt8r.net
Spec(ℤ)は準コンパクトである。
∵
X := Spec(ℤ)とおく。
Xの開被覆を任意に取る。Xがその内の有限個の開集合で被覆されることを示す。
Xの位相は、>>3のD(f)の形の開集合で生成されるから、この形の開集合で被覆されている場合だけ考えればよい。
X = ∪[f∈I]D(f)
とする。このとき、
∩[f∈I]V((f)) = ∅
（ただし、イデアルJに対して、V(J) := { P∈X | J⊂P }）
つまり、f∈Iで生成されるイデアルは1を含むので、有限個のf_1, ..., f_n∈Iがあって、
1 = r_1 f_1 + ... + r_n f_n (r_i∈ℤ)
と書ける。よって、
∩[i=1,n]V((f_i)) = ∅
∴ X = ∪[i=1,n]D(f_i)。□