23/04/19 18:43:02.24 FPzR4f6G.net
C係数ならガウスさんに喧嘩売ってるし
380:１３２人目の素数さん
23/04/19 19:33:31.23 aUTmsTCi.net
係数は体じゃなくてもいいんだよ
381:１３２人目の素数さん
23/04/19 19:49:57.39 jb1dMgkZ.net
係数体がℚなら
x^1024+x^512+1
＝(x^512-x^256+1)(x^256-x^128+1)(x^64-x^32+1)(x^32-x^16+1)(x^16-x^8+1)(x^8-x^4+1)(x^4-x^2+1)(x^2-x+1)(x²+x+1)
やな
382:１３２人目の素数さん
23/04/19 20:17:46.94 pLOg+BPa.net
既約性がムズそう
383:１３２人目の素数さん
23/04/19 20:32:24.30 nzmnJePl.net
Cで分解できるのが明らかならわざわざ自明な解答の問題出すなんて想定することないでしょうに
意地悪な人たちだなあ
384:１３２人目の素数さん
23/04/19 21:47:17.01 BejPxNvU.net
この板は拗らした人が多いから
あんま気になさらずに
385:１３２人目の素数さん
23/04/19 22:58:05.74 LwE5Rct/.net
一般にφₘ(x)を円分多項式としてmの素因子pをとるとき
φ_pⁿm(x) = φₘ(x^(pⁿ))
証明はζ=exp(2πi/m)とするとき[ℚ(ζ):ℚ] = φ(m) (このφはEuler tautient)からすぐ
386:１３２人目の素数さん
23/04/21 06:29:10.79 ITwm/hLC.net
一番意地悪なのはわざと係数の範囲を伏せて出題する人
387:１３２人目の素数さん
23/04/21 07:01:41.45 NCBNaxYk.net
拗らしてんなぁ
388:１３２人目の素数さん
23/04/21 08:20:00.57 nOMcc6md.net
x^4-x^2+1=(x^2+1)^2.
389:１３２人目の素数さん
23/04/21 10:03:40.45 T03DfNf3.net
x⁴+x²+1 = (x²+x+1)(x²-x+1) は可約
x⁴-x²+1 はℚ上規約
390:１３２人目の素数さん
23/04/21 19:29:49.43 ZFseRhOP.net
(1) ∫[0,∞] 2/(x + eᵡ)dx = -2Σ[n≧1] (-1/n)ⁿn!/n を示せ
(2) | Σ[n≧N] (-1/n)ⁿn!/n | = O(exp(-N))を示せ( Stiring 可 )
391:１３２人目の素数さん
23/04/24 23:48:18.48 nFMlI5Fm.net
f(x,y)=((x-1/2)^2+(y-3/2)^2)/2+xy-1/4とする
fがN×NからNへの全単射になることを示せ
392:１３２人目の素数さん
23/04/25 08:57:46.46 BQ8Aerno.net
サイコロを5個投げて、出た目の和が13以上になる確率を求めよ。
393:１３２人目の素数さん
23/04/25 18:09:04.88 KUEPXxVe.net
4,5,6の3つの目がすべて出るまでサイコロを投げ続けるとき、サイコロを投げる回数の期待値を求めよ。
394:１３２人目の素数さん
23/04/25 19:21:00.18 ZW0ajBpu.net
東工大の問題を大人気なく級数展開して解いたんだけど最初誤差項の評価でアホなことしてた
誤差項の評価なんぞ全くいらなかった
∫[0,∞] 1/(x + eᵡ)dx
= ∫[..] 1/(1 + xe⁻ᵡ)e⁻ᵡdx
= Σ∫[..] (-xe⁻ᵡ)ⁿe⁻ᵡdx
= Σ∫[..] (-x/(n+1))ⁿe⁻ᵡdx/(n+1)
= -Σ(-1/(n+1))ⁿ⁺¹∫[..] xⁿe⁻ᵡdx
= -Σ(-1/(n+1))ⁿ⁺¹n!
= -Σ[n≧1] (n-1)!/(-n)ⁿ
= ( 1 - 1/4 + 2/27 - 6/256 + 24/3125 - .. )
∴ 1 - 1/4 = 3/4 < ∫[0,∞] 1/(x + eᵡ)dx < 1
(∵級数2Σ[n≧1] n!/(-n)ⁿ⁺¹は絶対値が単調減少する交代級数である
実際
| (n-1)!/nⁿ | / | n!/(n+1)ⁿ⁺¹ |
= (n+1)ⁿ⁺¹ /( n×nⁿ ) = (1+1/n)ⁿ⁺¹ > 1
である
よって奇数項で打ち切った近似は上からの評価を与え、偶数項で打ち切った近似は下からの評価を与える)
∫[2023,∞] 1/(x + eᵡ)dx
< ∫[2023,∞] 1/(eᵡ)dx
= e⁻²⁰²³
< 1/4 ( ∵ e²⁰²³ > 2²⁰²³ > 4 )
∴ 3/4 - 1/4 < ∫[2023,∞] 1/(x + eᵡ)dx < 1 - 0
∴ 1 < ∫[0,2023] 2/(x + eᵡ)dx < 2
395:１３２人目の素数さん
23/04/25 19:22:21.31 ZW0ajBpu.net
6/3 + 6/2 + 6/1
396:１３２人目の素数さん
23/04/25 21:58:19.53 lBQytcrD.net
1から37までの37個の整数の中から7個の整数を選ぶロト7において、
無作為に抽選された本数字7個のうち3個以上の数字が連続している確率を求めよ。
電卓使用可。
397:１３２人目の素数さん
23/04/25 22:53:58.87 9O6cqREV.net
ちょっと確率系のくだらないの禁止
398:１３２人目の素数さん
23/04/26 10:44:51.17 Mp8rHuls.net
>>379
変形すると
f(x,y) = 1 + (x+y)(x+y-1)/2 - y
になるので、自然数N≧2に対して {(x,y):自然数x,yの和はN} のfによる像は
Z ∩ ( (N-1)(N-2)/2 , N(N-1)/2 ]
となる。上記の集合は自然数全体の分割を与える。
なるほどなあ
399:１３２人目の素数さん
23/04/26 10:51:07.22 h5x++qgU.net
Goedelが作ったやつやな
400:１３２人目の素数さん
23/04/28 15:24:24.86 OWOgLMAD.net
>>384
約0.35%
401:１３２人目の素数さん
23/04/28 15:32:25.44 OWOgLMAD.net
>>380
1169/1296
402:１３２人目の素数さん
23/04/29 03:43:10.52 PE+ufgwL.net
合計が8以下となる異なる3個の自然数の組は(1,2,3)(1,2,4)(1,2,5)(1,3,4)の4通りですが、
合計が100以下となる異なる3個の自然数の組は何通りか。
403:１３２人目の素数さん
23/04/29 08:34:58.19 DBrlgvW4.net
♯Ωᵉ
= ₙC₃
= (n(n-1)(n-2))/6
♯Ω⁽¹ ²⁾
= { (1,1,1)～(1,1,n-2),(2,2,n-4)～..(n-1,n-1,2)}
= n-2 + n-4 + .. + 2
= n(n-2)/4
♯Ω⁽¹ ² ³⁾
= ⌊n/3 ⌋
∴ ♯(Ω/S₃)
= ( (n(n-1)(n-2))/6 - 3n(n-2)/4 + 2⌊n/3 ⌋)/6
(100×99×98/6-3×100×98/4-2×33)/6
=25714
404:１３２人目の素数さん
23/04/29 08:44:39.72 DBrlgvW4.net
♯Ωᵉ
= ₙC₃
= (n(n-1)(n-2))/6
♯Ω⁽¹ ²⁾
= { (1,1,1)～(1,1,n-2),(2,2,n-4)～..(n-1,n-1,2)}
= n-2 + n-4 + .. + 2
= n(n-2)/4
♯Ω⁽¹ ² ³⁾
= ⌊n/3 ⌋
∴ ♯(Ω/S₃)
= ( (n(n-1)(n-2))/6 - 3n(n-2)/4 + 2⌊n/3 ⌋)/6
(100×99×98/6-3×100×98/4+2×33)/6
=25,736
405:１３２人目の素数さん
23/04/29 12:53:50.10 PE+ufgwL.net
>>388
理論的には約13.8%です。
ここまでの統計的にも、そんなもんです。
406:１３２人目の素数さん
23/04/30 09:45:32.04 0fwaCOIg.net
>>390
25736通り
407:１３２人目の素数さん
23/04/30 11:06:17.37 0fwaCOIg.net
>>393
こんな感じで
> replicate(10,sim(TRUE)) |> mean()
9 13 15 15 16 17 26 TRUE
6 10 11 22 27 30 37 FALSE
4 6 13 20 23 30 36 FALSE
1 19 20 23 27 28 28 FALSE
5 7 8 21 26 26 26 FALSE
3 4 10 13 17 30 34 FALSE
2 12 20 20 27 27 34 FALSE
5 8 9 16 20 31 36 FALSE
8 17 19 21 24 31 35 FALSE
3 13 14 22 30 32 36 FALSE
[1] 0.1
シミュレーションしてみると１０．９％くらいになったのだが？
408:１３２人目の素数さん
23/04/30 12:47:50.42 0fwaCOIg.net
１～６の６つの目がすべて出るまでサイコロを投げ続けたとき、サイコロを投げる回数を当てる賭けをする。
いくつにかけるのが最も有利か？
409:１３２人目の素数さん
23/04/30 13:20:35.87 eB+1+q87.net
A = { c = a+2, b = a + 1 }
B= { d = b+2, c = b + 1 }
C = { e = c+2, d = c + 1 }
D = { f = d+2, e = d + 1 }
E = { g = e+2, f = e + 1 }
♯A = ₃₅C₅
♯B \ A= ₃₄C₅
♯C \ A \ B = ₃₄C₅
♯D \ A \ B \ C = ₃₄C₅ - ₃₃C₃
♯E \ A \ B \ C \ D = ₃₄C₅ - ₃₃C₃ - ₃₂C₃
410:１３２人目の素数さん
23/04/30 14:00:31.55 vKFr2Y2h.net
A = { c = a+2, b = a + 1 }
B= { d = b+2, c = b + 1 }
C = { e = c+2, d = c + 1 }
D = { f = d+2, e = d + 1 }
E = { g = e+2, f = e + 1 }
♯A = ₃₅C₅
♯B \ A= ₃₄C₅
♯C \ A \ B = ₃₄C₅
♯D \ A \ B \ C = ₃₄C₅ - ₃₂C₃
♯E \ A \ B \ C \ D = ₃₄C₅ - ₃₂C₃ - ₃₁C₃
411:１３２人目の素数さん
23/05/01 00:05:49.19 fLXmximT.net
>>395
１～３７の数字から異なる７個を選ぶというルールだったので
シミュレーションをやり直すと
> replicate(k,sim()) |> mean()
[1] 0.138403
13.8％という値が得られた。
412:１３２人目の素数さん
23/05/01 04:29:15.07 fLXmximT.net
>>399
37C7を総当りで
1423241/10295472 = 1159/8384 = 0.1382395
413:１３２人目の素数さん
23/05/01 06:38:56.29 fLXmximT.net
４個以上の数字が連続する確率は31/1887＝0.01642819と出た。
414:１３２人目の素数さん
23/05/01 10:46:44.88 HLifFo+Q.net
計算機使っても答え出せないならもう何も書くな
お前にこのスレで何か書く資格はない
415:１３２人目の素数さん
23/05/01 12:01:17.56 ylIQSmMY.net
1-(31C7+31C6×6+31C5×5C2+31C4×4)/37C7
416:イナ ◆/7jUdUKiSM
23/05/02 12:50:14.74 e7n44T+d.net
前>>325
>>396
すべて出るには6個必要。
6個目出たとき2回以上出てるのが1/2とすると、
6×(1/2)=3
3回出てるのが1/3とすると、
6×(1/3)=2
6+3+2=11
∴11回に賭ける。
417:１３２人目の素数さん
23/05/03 22:29:35.30 k+oUndww.net
sinxを微分するとcosxになる理由を誰か分かりやすく教えて欲しい
418:１３２人目の素数さん
23/05/04 00:35:06.27 eAYC7CNT.net
>>405
円の接線は半径に直交するからだよ
419:イナ ◆/7jUdUKiSM
23/05/04 04:11:47.06 QE2xNpdw.net
前>>404
>>405
y=sinxの傾きがyを微分したy'だから、
0≦x≦2πで描いて傾きを調べたらわかるんじゃないか？
たとえばsin0=0だけど、cos0=1だろう。
ちょうど斜め45°で原点を突っ切って右上がりを描いてる。
y'=cosxを自分で納得するまで描いてみればいい話。
420:１３２人目の素数さん
23/05/05 09:36:34.89 kfscXaW1.net
凸多面体で全ての面が正多角形であるものを正凸多面体と呼びます
例えば底面が正n角形である柱や反角柱(上面、下面が正n角形で側面に2n個の正三角形を互い違いに貼り合わせた図形)�
421:ﾍ正凸多面体です 正凸多面体でn≧12である正n角形をひとつの面として持つものは正n角柱か反n角柱である事を示してください
422:１３２人目の素数さん
23/05/05 09:42:15.93 kfscXaW1.net
ちなみにwikiには正凸多面体のリストがありますがそれ使うのはNG、ガリガリ初頭的に示して下さい
423: 【大吉】
23/05/05 12:48:53.78 e0f5M+9I.net
前>>407
>>408
上底と下底が正n角形で、
上底と下底をどちらからかの無限遠方から重ねて見たときに、
底面が重ならないように片方を回転させると、
側面が曲面になるから正n角柱にも反n角柱にもならないが、
上底の一辺と下底の頂点または上底の頂点と下底の一辺を結び、
側面を合同なn個の三角形にすると、
無数の2n角柱らしき立体ができる。
424: 【不如帰】
23/05/05 12:51:26.77 e0f5M+9I.net
前>>410訂正。
>>408
上底と下底が正n角形で、
上底と下底をどちらからかの無限遠方から重ねて見たときに、
底面が重ならないように片方を回転させると、
側面が曲面になるから正n角柱にも反n角柱にもならないが、
上底の一辺と下底の頂点または上底の頂点と下底の一辺を結び、
側面を合同な2n個の三角形にすると、
無数の2n角柱らしき立体ができる。
425:１３２人目の素数さん
23/05/05 15:22:40.61 Vsef6FE7.net
三角形Tの1つの辺の長さは平方数で,残りの辺の長さは素数である。また,Tの面積は整数で,外接円の直径は素数である。
Tの各辺の長さを求めよ。
426:１３２人目の素数さん
23/05/05 15:33:44.47 tLBsboy/.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:326番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:643番)
出題者の用意した模範解答と
1字でも違うと0点にするそうです
レスバはまとめて1つのスレでするように
427:１３２人目の素数さん
23/05/05 15:54:20.44 2AAD4l07.net
>>411
じゃあ、その見つけたら反例をこんな反例見つけたらってwikiに殴り込みでもかけてきたらいい
428: 【鳳凰】
23/05/05 20:16:42.15 Eycml3TW.net
前>>411
>>412三角形Tの1つの辺の長さは平方数で2^2=4
残りの辺の長さは素数で3と5
Tの面積は整数で(3×4)/2=6
外接円の直径は素数で5
∴Tの各辺の長さは3,4,5
このほかにはない。
429:１３２人目の素数さん
23/05/05 21:15:24.91 Vsef6FE7.net
>>415
3,4,5以外の解が無いことを証明できていないので0点です。
430:１３２人目の素数さん
23/05/05 22:29:04.54 T1ogXenW.net
満点にはならんが0点もおかしい
431:１３２人目の素数さん
23/05/05 23:37:40.00 WiDhalBC.net
(0,2,2)
面積=0
外接円の直径=2
(4,7,11)
面積=0
外接円の直径=11
432:１３２人目の素数さん
23/05/06 03:29:19.58 grwB0UzQ.net
(4,7,11)は外接円なくない？
433:１３２人目の素数さん
23/05/06 08:36:17.90 fUjX5JYc.net
直線だね
434:１３２人目の素数さん
23/05/06 10:23:08.38 fUjX5JYc.net
>>412
AB=n^2、AC=p、BC=q、外接円の直径=Rとおく。(p,q,Rは素数)
△ABCの面積S=1/2*(n^2*pq)/R
n^2がRで割り切れるときn^2>Rとなり不適
よってp=Rまたはq=Rのいずれかが成立する必要がある
いずれの場合も△ABCは直角三角形
n^4+p^2=q^2として一般性を失わない
p^2=(q-n^2)(q+n^2)であることから、q-n^2=1、q+n^2=p^2
q=(p-n)(p+n)であることから、p-n=1、p+n=qとなり、q=2n-1
よって2n-1-n^2=1となり、nは0でないことからn=2、p=3,q=5
AB=4,AC=3,BC=5
435:１３２人目の素数さん
23/05/06 12:20:20.46 pIhw5+Is.net
かけない待て待て
素数という条件を一回しか使ってないけどそれだけ満たす反例なら山のようにある
(1,1,0,True)
(5,3,4,True)
(145,17,144,True)
(4901,99,4900,True)
(166465,577,166464,True)
(5654885,3363,5654884,True)
(192099601,19601,192099600,True)
(6525731525,114243,6525731524,True)
(221682772225,665857,221682772224,True)
(7530688524101,3880899,7530688524100,True)
(255821727047185,22619537,255821727047184,True)
しかしこの中でpもqも素数を満たすのは(p,q) = (5,3)しかない
それを示さないと0点らしいぞ
436:１３２人目の素数さん
23/05/06 15:31:24.52 fUjX5JYc.net
>>４22
全部5の倍数。
437:１３２人目の素数さん
23/05/06 17:52:09.33 1y1gCDkM.net
>>423
全部５の倍数になってないやん
系列で3個おきに5手割って1余るパターンが出てくる
小さい方は2個おきに３の倍数になる
結局6個おきにそれでは素数でない事が示せないのがでてくる
それを処理せんとダメなんやろな
できるかどうか知らんけど
438:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:17:37.71 1y1gCDkM.net
とりあえず、おそらく誰でも辿り着くところは3辺をp,q,m²としてパラメータvによって
p = 2v²+2v+1, m²=2v(v+1), q=2v+1
と表示できる事、ただしパラメータvは
v/2 = y²、v+1 = x²
または
v = x²、(v+1)/2 = y²
となるときで
前者のときx² - 2y² = 1‥①
後者のときx - 2y² = -1‥②
というPell方程式解を(x,y)が満たすときでそれは
xₙ+√2yₙ = (1+√2)ⁿ
とおいたときのnが偶数のときが①の解の全体、nが奇数のときが②の全体
計算機で最初の10項計算させると
(1,1,0,True)
(5,3,4,True)
(145,17,144,True)
(4901,99,4900,True)
(166465,577,166464,True)
(5654885,3363,5654884,True)
(192099601,19601,192099600,True)
(6525731525,114243,6525731524,True)
(221682772225,665857,221682772224,True)
(7530688524101,3880899,7530688524100,True)
となる
n が3の倍数でなければpₙは5の倍数、nが奇数ならqₙが3の倍数となる
問題はnが6の倍数のとき
列挙すると
(1,1,0,True)
(192099601,19601,192099600,True)
(295218051329678401,768398401,295218051329678400,True)
(453690157176121613000576401,30122754096401,453690157176121613000576400,True)
(697229582647141045327149384731193601,1180872205318713601,697229582647141045327149384731193600,True)
さて必ずpₙ,qₙのいずれかは素数でない
こんなの示せる？
439:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:30:00.53 I1F6OJTW.net
a(n)=((3+2r(2))^n+(3-2r(2))^n)/2.
a(n)|a((2k+1)n).
a(2n)=2a(n)^2-1.
a(1)=3.
a(2)=17=2(mod.5).
a(2^k)=2(mod.5).
c(2^k)=(a(2^k)^2+1)/2=0(mod.5).
440:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:37:14.86 QgR4Wql9.net
>>412
三辺をa,b,cとし a,bが素数でcが平方数とする
面積=abc/(2*外接円の直径) が整数だからabcは直径の倍数
直径は素数だからa,bのどれかが直径
つまりTは直角三角形で、aを斜辺としておく
また、a,b,cのどれかが2の倍数だがaは斜辺で唯一の最大だから3以上
するとbが2かcが偶数平方だが b^2=a^2-c^2≧3^2-2^2=5 よりbは2ではない
ゆえにcが偶数平方で a=m^2+n^2 b=m^2-n^2 c=2mn
bは素数だからb=(m+n)(m-n)=b*1 ゆえにm=n+1 すると a=c+1
aは4で割って1余る素数だから一意的に平方数の和で書けるから m^2=c n^2=1
するとn=1、m=2と決まり a=5、b=3 c=4
441:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:42:50.81 1y1gCDkM.net
>>426
コレは何？
ごめんわからん
もう少し行間書いて
442:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:43:43.34 grwB0UzQ.net
>>425
ピタゴラス三角形の辺のうちどれかは必ず5の倍数になる
443:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:44:14.01 1y1gCDkM.net
>>426
もっと言えばPell 方程式の解で小さい方から列挙した場合、実際pₙが５の倍数になつてないの出てきてるよね？
それはどこで除外されてるん？
444:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:45:00.61 I1F6OJTW.net
a(6)=19601=1153a(2).
a(12)=768398401=1331713a(4).
a(18)=30122754096401=1536796801a(6)=1771926711553a(2).
a(24)=1180872205318713601=1773462177793a(8).
445:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:45:16.81 1y1gCDkM.net
>>429
でもm²が５の倍数になったとて何も矛盾しないよね？
446:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:46:23.32 1y1gCDkM.net
>>431
おお、なるほど
447:１３２人目の素数さん
23/05/06 19:58:09.22 1y1gCDkM.net
なるほど
pₙ = (vₙ+1)² + vₙ² = xₙ⁴ - 4yₙ⁴
だからFibonacci型になってるんやな
448:イナ ◆/7jUdUKiSM
23/05/07 11:03:42.98 AxwjGyFD.net
前>>415 ∩∩
結局3,4,5以外ないんでしょ ((-｡-)
449:１３２人目の素数さん
23/05/07 13:52:11.89 v3PcHw88.net
違う
xₙ⁴+4yₙ⁴の方はこのままでは三項間の定数漸化式満たさない
4(xₙ⁴+4yₙ-3)にしないとダメだ
xₙ⁴-4yₙ⁴はこのままでLucas型
━━━━━━━━━━━━━━
(3辺をpₙ,qₙ,m²ₙとして)
pell 方程式の解(xₙ,yₙ)を用いて
pₙ = xₙ⁴ + 4yₙ⁴、qₙ = | xₙ⁴ - 4yₙ⁴ |、mₙ² = 4(xₙyₙ)²
と表されるpₙ,qₙ,m²ₙを調べる
α=1+√2, β=1-√2とおけば
xₙ = ( αⁿ+βⁿ )/2. yₙ = ( αⁿ-βⁿ )/( α-β )
である
よってpₙは
((αⁿ+βⁿ)/2)⁴ + 4((αⁿ-βⁿ)/(α-β))⁴
= ( α⁴ⁿ + β⁴ⁿ )/8 + 3/4( αβ )²ⁿ
= ( α⁴ⁿ + β⁴ⁿ )/8 + 3/4
でありqₙは
| ((αⁿ+βⁿ)/2)⁴ - 4((αⁿ-βⁿ)/(α-β))⁴ |
= | ( α³ⁿβⁿ + αⁿβ³ⁿ )/2 |
= | (-1)ⁿ( α²ⁿ + β²ⁿ )/2 |
= ( α²ⁿ + β²ⁿ )/2
でありmₙは
2(αⁿ+βⁿ)/2)((αⁿ-βⁿ)/(α-β))
= ( α²ⁿ - β²ⁿ )/( α - β )
と表される
450:１３２人目の素数さん
23/05/07 13:52:19.39 v3PcHw88.net
以上によりp'ₙ := 4pₙ-3, qₙ, mₙは漸化式
p'ₙ₊₂ = 34p'ₙ₊₁ - p'ₙ
qₙ₊₂ = 6qₙ₊₁ - qₙ
mₙ₊₂ = 6mₙ₊₁ - mₙ
を満たす( ∵ α⁴+β⁴=34, α²+β²=6, αβ=-1 )
ここでp'₀ ≡ 1 ( mod 5 ) p'₁ ≡ 2( mod 5 )から
p'₂ ≡ -p'₁ - p'₀ ≡ 2 ( mod 5 )
p'₃ ≡ -p'₂ - p'₁ ≡ 1 ( mod 5 )
p'₄ ≡ -p'₃ - p'₂ ≡ 2 ( mod 5 )
となり以下周期3でループする
特に3|̸n のときpₙ ≡ 0 ( mod 5 )である
一方で3倍角の公式
q₃ₙ
= ( α⁶ⁿ + β⁶ⁿ )/2
= ( ( α²ⁿ + β²ⁿ )³ - 3α²ⁿβ²ⁿ (α²ⁿ + β²ⁿ ) ) /2
= 4qₙ³ - 3qₙ
であり、よってqₙ | q₃ₙとqₙ≧3 (n≧1),q₀=1によりq₃ₙは素数ではない
451:１３２人目の素数さん
23/05/07 22:24:07.44 LbGahhOb.net
(1) a,b,c が 正整数で a^2+b^2=c^2 を満たすなら 60|abc
(2) a,b,c が 60|abc を満たし、a,b,cのうち二つが素数なら、その二つの素数は2,3,5のいずれか
らを考慮するとTの三辺は3,4,5に限られる
452:１３２人目の素数さん
23/05/08 01:40:00.55 eZihW8l6.net
11^2+60^2=61^2.
453:１３２人目の素数さん
23/05/08 01:41:01.37 vBtIURae.net
>>438
11,60,61
454:１３２人目の素数さん
23/05/08 01:41:58.24 vBtIURae.net
くっそ
1分早ければ
455:１３２人目の素数さん
23/05/08 08:58:56.74 01e7VZgr.net
p^2+(60n)^2=q^2
について考えれば十分ってことだな
456:１３２人目の素数さん
23/05/15 18:15:12.65 m6Up1w8L.net
モンティ・ホール問題
457:１３２人目の素数さん
23/05/15 23:23:05.39 bWIM9zlI.net
「0以上1未満の有理数をランダムに選んだとき、その数が有限小数である確率は？」
458:１３２人目の素数さん
23/05/15 23:29:31.08 5F6s6RCL.net
>>441
１分でも遅い
459:１３２人目の素数さん
23/05/15 23:30:00.54 5F6s6RCL.net
>>444
>ランダム
一様分布？
460:１３２人目の素数さん
23/05/16 00:11:05.40 mBaybBT3.net
可算無限個からどうランダムに選ぶっちゅうんじゃ(´・ω・`)
461:１３２人目の素数さん
23/05/16 07:52:55.97 APIH8wdc.net
>>447
あそうか
一様分布も無理よね
462:１３２人目の素数さん
23/05/16 08:00:30.16 hzv96Gma.net
横からなんだけど
可算無限個に対して一様な確率って考えられないのか…
なんか不思議だね
463:１３２人目の素数さん
23/05/16 09:10:35.42 1GZRwJ0W.net
超
464:現実数使うとできるかも
465:１３２人目の素数さん
23/05/16 09:52:04.60 Ok9MvAXd.net
どうやるの？
466:１３２人目の素数さん
23/05/16 13:45:10.01 uUyMutcW.net
素数が無限個あることを証明せよ
467:１３２人目の素数さん
23/05/16 14:15:52.54 9lhYG3Ar.net
ちなみに>>444は昨日ツイッターで見かけた話題をちょっと改変したやつなのだ
468:１３２人目の素数さん
23/05/16 14:17:09.63 aKfc+dzN.net
素数の個数をNとする
A = Πp/(p-1)を考える
Aは2ᴺ以下である
2進数表示でk桁になる自然数2ᵏ～2ᵏ⁺¹-1の逆数の和は1/2以上だから2ᴺ⁺¹桁以下の数の逆数の和は2ᴺ以上
ここで
A > Π(1-(1/p)ᴺ⁺¹)/(1-1/p) = Π(1+1/p+..+1/pᴺ⁺¹)
ここで右辺を展開した和は全てのN+1桁以下の数の逆数が現れるから右辺は2ᴺ以上
左辺Aは2ᴺ以下
469:１３２人目の素数さん
23/05/16 14:17:46.56 aKfc+dzN.net
>>453
改変前はちゃんと問題になってたん？
470:１３２人目の素数さん
23/05/16 14:35:06.34 9lhYG3Ar.net
>>455
なってなかったから改変した
471:１３２人目の素数さん
23/05/16 14:54:04.64 aKfc+dzN.net
改変してもなってないやんw
分布も与えず確率なんか求められるはずないやん？
指摘されてる通り「分布は普通コレ」なんてものも存在しない
尿瓶？
472:１３２人目の素数さん
23/05/16 15:07:53.96 9lhYG3Ar.net
いや、答えは分布がないから無理で正解なのよ
改変前の問題文が「循環小数である確率は？」で、文脈的に有限小数でないという意味っぽかったのだが
有限小数だって循環小数ではあるから(0が永遠に続くとも取れるし0.5=0.4999…のようにも表せる)
問題文としておかしいと思って>>444では「有限小数である確率は？」に直した
473:１３２人目の素数さん
23/05/16 15:25:18.39 RI4JX6Q/.net
なるほど、そゆことですかー
474:１３２人目の素数さん
23/05/16 16:28:09.02 uUyMutcW.net
>>454わいが習ったやりかたは一から順番に素数をかけてそれにプラス1した数はどの素数で割ることもできないから。
ってことだったけど、これはこれで綺麗
475:１３２人目の素数さん
23/05/16 20:24:16.55 nfPaHnop.net
vを3進付値とするときn≧2に対してv(2^(3^n)-1) = n+1である
実際n=2の時は2^(3^2)-1 = 513 = 3³×19により成立
n=kで成立するとしてn=k+1の時は
2^(3^(k+1))-1
= ( 2^(3^k)-1 )( (2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 )
であるが仮定により2^(3^k)≡1 ( mod 9 )により
( (2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 )≡3 ( mod 9 )
となりv( 2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 ) = 1である
さらに帰納法の仮定よりv( 2^(3^k) -1 ) = k+1であるからn=k+1のときも成立する
特にv(2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1) = 1と2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1>3により^(3^n)² + 2^(3^n) + 1は3以外の素因子pを持つ
このときpは 2^(3^n) - 1の素因子ではない
何故ならば互除法により
( 2^(3^n) - 1, 2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1 )
= ( 2^(3^n) - 1, 3 ) = 3
により2^(3^n) - 1と2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1 は3以外の共通素因子を持ち得ない
以上により2^(3^(n+1))-1の素因子の数は2^(3^n)-1のそれより少なくとも大きくなる
∴2^(3^n)-1は少なくともn個の素因子を持つ
476:１３２人目の素数さん
23/05/16 21:02:21.40 nfPaHnop.net
3!!!! (!がn個)をaₙとする
aₙ-1 < aₙだからaₙ-1 | aₙ! = aₙ₊₁である
aₙ-1 > 1だからaₙ-1は素因子を持つ
一方で互除法よりaₙ-1 とaₙは互いに素である
よってaₙ-1はaₙの素因子でない素因子を持つ
ここでaₙ₊₁=aₙ! はaₙとaₙ-1の公倍数であるからaₙ(aₙ-1)の倍数である
よってaₙ₊₁の素因子の数はaₙのそれより大きい
477:１３２人目の素数さん
23/05/16 23:00:15.51 LNw3oO9T.net
>>461
フェルマー数が互いに素であることの証明をアレンジしてるんだね
478:１３２人目の素数さん
23/05/16 23:08:13.18 LNw3oO9T.net
>>462
要するにnが2より大きい素数のときn!-1はnより大きい素因数を持つという話か
ユークリッドの証明をアレンジしたものだね
479:１３２人目の素数さん
23/05/20 17:40:33.54 ISWKriTy.net
1からnまでの自然数が書かれたn枚のカードが2組みある。
この2n枚のカードを一列に並べるとき、同じ数字が書かれたカードが隣り合わないような並べ方は何通りか？
480:１３２人目の素数さん
23/05/20 18:12:29.00 j1OP/I8v.net
同じ数字のカードは区別しない？
481:１３２人目の素数さん
23/05/20 19:34:02.17 Z7ht1cah.net
またΣ使っていいとかいうオチじゃないやろな
482:１３２人目の素数さん
23/05/20 20:05:27.06 UAWbH+/0.net
もしくはナントカ多項式とかねw
483:１３２人目の素数さん
23/05/20 20:55:56.98 FLWn79YI.net
>>465
昔に高校数学スレで出された問題
解は超幾何級数でしか表せない
数字を同一視し、置換関係のみを抽出したときの
場合の数は
a(1)=0, a(2)=1, a(n+2)=(2n+1)a(n+1)+a(n)
の解で a(n)={0, 1, 5, 36, 329, ...}
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
この数列の一般項は、初等的には書けない
1 から n のカード2組に対する解は
これに n の階乗を掛けて
n!・a(n)={0, 2, 15, 144, 1645, ...}
484:１３２人目の素数さん
23/05/21 05:45:21.30 UkBjpmQR.net
>>469
ケアレスミスがあった
a(1)=0, a(2)=1, a(n+2)=(2n+3)a(n+1)+a(n)
a(n)={0, 1, 5, 36, 329, ...}
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
解は n!・a(n)={0, 2, 30, 864, 39480, ...}
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
485:１３２人目の素数さん
23/05/21 10:15:06.63 QzwkXwze.net
>>470
自分でケアレスミスって言っちゃう人って…
486:１３２人目の素数さん
23/05/21 14:05:12.53 1+shtUXm.net
キーワードチェックしたか？
487:１３２人目の素数さん
23/05/22 17:14:05.16 jvKSCKW6.net
円C1の中に、任意の3点を取って、その3点を通る冤罪C2がC1の内部にある確率を求めよ。
ただし任意の3点全てが同一直線上ある場合を除外する。
488:１３２人目の素数さん
23/05/22 17:41:05.35 XPuhhV7u.net
冤罪
489:１３２人目の素数さん
23/05/22 17:44:11.97 jxSY70cn.net
分布の与え方わからん奴出題禁止
490:１３２人目の素数さん
23/05/22 18:32:59.82 jvKSCKW6.net
答えは2/5ね
ベルトランのパラドックスみたいなやつとは無縁
491:１３２人目の素数さん
23/05/22 20:50:00.30 7scn4NWG.net
>>473
3点は独立だろうけど
点の分布はどうするの？
492:１３２人目の素数さん
23/05/22 21:29:51.07 Ry72qCfU.net
ほっとけよ
分布って言われてわからん奴このスレで出題できるレベルにない
493:１３２人目の素数さん
23/05/22 21:30:28.04 jvKSCKW6.net
円の中で一様だよｗ
494:１３２人目の素数さん
23/05/22 23:31:42.22 AyXQDwbz.net
世界に一様分布しかないと思ってる時点で尿瓶クラス
495:１３２人目の素数さん
23/05/23 08:20:51.95 XIrcjRW7.net
よっぽど特殊に作られた集合ならともかく
何も指定せず開集合上でランダムに取るってったらルベーグ測度で何の問題があるんだよ
違ったら違ったで指摘すればいいだけなのに
揚げ足取り好きな人いるよなあ
496:１３２人目の素数さん
23/05/23 09:39:50.35 kTyZUEZP.net
>>481
そこを曖昧にすると厄介なことになる、というのがベルトランのパラドックス
497:１３２人目の素数さん
23/05/23 10:02:37.32 hrSr0XHN.net
同一直線上にある場合を除外するというのは標本空間から除外する(そもそもそのように点を選ぶことができない)ことではないの？
そうであれば円の内部に3点を独立かつ一様に取れるはずない
そうでなければ除外するの意味がわからん
498:１３２人目の素数さん
23/05/23 11:09:59.16 X0aYDUVZ.net
よくこんなレベルでこのスレに出題しようとか思えるな
499:１３２人目の素数さん
23/05/24 00:26:04.38 9ReZecB/.net
３点が同一直線状にあるパターンなんて測度0でしかないんだから無
500:視したらいいじゃないの 問題がnot for meなのはしょうがないけど 度を越して連投してる訳でもあるまいのに実力貶めて萎縮させる程のこと？
501:１３２人目の素数さん
23/05/24 01:10:26.49 3jjTUc06.net
確かに叩くほどではないが本人も突っ張って素直に分布答えずに煽り入れてるのよなｗ
502:１３２人目の素数さん
23/05/24 18:16:54.87 rOZzXr5q.net
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-2kx=k^2+2
x^2(x-1)-2kx=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k
x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2)
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥①
①はk=2のとき、
x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
k=2が確定
x{x(x-1)-2k}-3k=0 にk=2を入力
x{x(x-1)-4}-6=0
x{x(x-1)-4}=6から、
∴x=3
∴整数解は、k=2,x=3
503:１３２人目の素数さん
23/05/24 18:26:20.85 MmZPtB3W.net
もうあきらめろよ
お前には無理
504:１３２人目の素数さん
23/05/24 18:58:36.66 rOZzXr5q.net
嫉妬はよくない
505:１３２人目の素数さん
23/05/24 19:00:54.78 P6glq12k.net
一体なにに対する嫉妬だと言うんだ……
506:１３２人目の素数さん
23/05/24 19:14:26.29 MmZPtB3W.net
高木クラスだが一応証明にはなってない事を理解できてるだけマシか
507:１３２人目の素数さん
23/05/24 20:04:49.77 JrBR2CLA.net
>>487
>x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
>k=2が確定
なんで？
508:１３２人目の素数さん
23/05/24 20:05:13.04 YxakW/QV.net
>>487
①はk=2のとき、
x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
k=2が確定
ここがおかしいですね
509:１３２人目の素数さん
23/05/24 20:21:56.66 MmZPtB3W.net
さすがに自分の書いた文章がおかしい事くらいは気づいてるんだと信じたい
それすらできないならもはや完全に高木クラス
510:１３２人目の素数さん
23/05/24 20:39:14.37 jbq0E7QQ.net
へえ
平方数の立方数で差が1になる組は8と9のみで
差が2になる組は25と27だけなんだな
じゃあ、
“差が3”の組も“探さん”とな
511:１３２人目の素数さん
23/05/24 20:50:13.13 KBkqs58L.net
>>491,494
大嘘を書くな、何故そこまで必至に工作活動をするのか
512:１３２人目の素数さん
23/05/24 21:09:50.58 Tfm1zBgd.net
かまってちゃんが他スレに進出
513:１３２人目の素数さん
23/05/24 22:06:28.47 KBkqs58L.net
毎日誹謗中傷をされている被害者だ
514:１３２人目の素数さん
23/05/25 00:15:12.95 nt2mPlQp.net
>>496
大嘘って何？
515:１３２人目の素数さん
23/05/25 03:03:22.59 JLVAwEOS.net
>>495
OEISによれば(±2)^2-(1)^3=3だけが解っぽいね
この形の問題はかなり難しい話のようだ
Mordell's equationと呼ばれていて例示だけで論文がたくさん書かれてる
立方数と平方数がどれくらい接近するかが未だ分かってないなんて整数論ヤバすぎぃ
516:１３２人目の素数さん
23/05/25 03:15:35.83 JLVAwEOS.net
[n^1.5]の振る舞いが謎すぎるのか
517:１３２人目の素数さん
23/05/25 04:20:13.21 csTyjIsO.net
>>499
私の論文が間違っているということ
518:１３２人目の素数さん
23/05/25 06:31:01.78 nt2mPlQp.net
>>502
間違っている部分が指摘されているけど？
519:１３２人目の素数さん
23/05/25 07:13:35.63 csTyjIsO.net
>>503
どこに？
520:１３２人目の素数さん
23/05/25 07:20:22.97 bTasq+pF.net
こんな問題を考えてみた
521:好きに整数m,nを与えよ この問題の得点はn/(m^3-n^2)とする (ただし分母はゼロにならないように与えるものとする)
522:１３２人目の素数さん
23/05/25 07:27:12.04 nt2mPlQp.net
>>504
>>492,493
523:１３２人目の素数さん
23/05/25 07:50:54.13 csTyjIsO.net
>>506
私は487ではない
524:１３２人目の素数さん
23/05/25 08:14:04.51 a+QOXdEN.net
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-2kx=k^2+2
x^2(x-1)-2kx=k^2+2…‥①
x{x(x-1)-2k}=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k
x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2)
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)=(k-1)…‥②
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥③
①よりkは偶数
②はk≧4のとき、
左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数
右辺(k-1)が奇数であることと矛盾
したがって、k=2が確定
③にk=2を入力
x{x(x-1)-2k}-3k=0
x{x(x-1)-4}-6=0
x{x(x-1)-4}=6から、
∴x=3
∴整数解は、k=2,x=3
525:１３２人目の素数さん
23/05/25 08:16:35.86 nt2mPlQp.net
>>508
>②はk≧4のとき、
>左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数
なんで？
526:１３２人目の素数さん
23/05/25 08:18:14.45 nt2mPlQp.net
偶数を偶数で割って必ず偶数？
527:１３２人目の素数さん
23/05/25 08:24:02.38 bTasq+pF.net
何回指摘しても、また間違った証明を書き込みに来そう
528:１３２人目の素数さん
23/05/25 08:34:50.86 nt2mPlQp.net
>>507
失礼しました
529:１３２人目の素数さん
23/05/25 08:34:57.72 bTasq+pF.net
505の問題、分子を√mにしたらガチヤバ予想になるのか
その場合、wikiによると人類は50点くらいしか取れてなくて、何点まで取れるか未だに不明っぽいな
530:１３２人目の素数さん
23/05/25 08:53:08.01 c0pYxYBm.net
ガチヤバは貴方の頭です
531:１３２人目の素数さん
23/05/25 08:56:56.08 a+QOXdEN.net
xが奇数設定するの忘れた
532:１３２人目の素数さん
23/05/25 08:59:12.29 DEzOtSIf.net
>>514
あれ、なんかミスってた？
533:１３２人目の素数さん
23/05/25 10:12:23.94 c0pYxYBm.net
>>516
すまん>>508がレス乞食やりだしたと勘違いした
534:１３２人目の素数さん
23/05/25 14:21:22.10 z9nTYZJf.net
自分で正しい証明が書けるようになるのが数学学習の一区切りだけど、そのためにはまず何より「今目の前にある証明があってるのか間違ってるのか」が判断できるようにならんと何も始まらん
それすらできないお話にも何にもならんレベル
535:１３２人目の素数さん
23/05/25 15:37:30.34 oi3WEgOQ.net
x^3-(x+k)^2=-2の場合が考慮されていない
536:１３２人目の素数さん
23/05/25 17:28:12.11 DN8R2v8w.net
>>513
あとは和 Σ_(n,m:整数、n^2≠m^3)1/|n^2-m^3| の収束性あたりも闇深そうな雰囲気
この辺の問題は未来にタイムスリップしてでも結末を聞いてみたいけど
果たして人間が解決できるか…
537:１３２人目の素数さん
23/05/25 18:54:20.83 bZrLQ6e7.net
イージー
100≦m^2/(m^3-n^2)
ハード
100≦m/(m^3-n^2)
エイリアン
100≦√m/(m^3-n^2)
538:１３２人目の素数さん
23/05/26 01:17:46.72 qsPQolav.net
これを平方数、立方数に限らず一般の累乗数に拡張しても面白い
例えば差が6の累乗数のペアは未だ見つかっていないとか
539:１３２人目の素数さん
23/05/26 05:27:34.33 bViMEZiH.net
マジか
やっぱり乗法的に定義された数の加法的性質は闇だね
近いうちに大きなパラダイムが起きて一挙に謎が解けたりしないかな、そういう妄想すらしたくなる
もちろんIUTTにも期待しているけどね
540:１３２人目の素数さん
23/05/26 09:57:50.37 DTlRig/m.net
クソ問も大量に埋まってそうなんだよなあ
例えば
(m+n)^n=n^(m-n)+m
を満たす自然数m,nの組を1つ求めよ
p^(p-q)+p=q^(p+q)+q
を満たす素数p,qの組を1つ求めよ
と出されたとしてまあ解く気にならんだろう
この例は小さい数なので解けなくもないだろうが、多少大きめの数でやられたらまず無理だ
541:１３２人目の素数さん
23/05/26 10:06:37.39 a9lNwe1s.net
数学で見た目には美しいけど現代数学の力ではどうしようもない問題あるなんかいくらでもある
そんなものあげつらってできないできないいうのが数学の目的ではない
その中からちゃんと今我々の獲得した知恵で新たになんとかなりそうなやつを探していくのが数学
それが分かってないアンポンタンのこんなん思いつきました～がやめられないアホ数知れず
542:１３２人目の素数さん
23/05/26 10:18:19.06 1QAZEDHN.net
(m,n)=(1,1)
(p,q)=(5,2)か
そういう問題で答えが大きい数のみになってるってなかなか無いんじゃないか
指数部分もパラメータにすると制約がきつくなりすぎるイメージ
543:１３２人目の素数さん
23/05/26 10:25:08.11 Gm+fQWPL.net
>>526
ああそうか、(1,1)もあるな
想定としては(10,3)だった
何も考えずに出すとこういうことになるとは
544:１３２人目の素数さん
23/05/26 14:03:06.78 gW5O+/iX.net
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2
を成立させる唯一の方法は、
原始ピタゴラス数の性質により、
(k+x)^2=x^2+{2(x^2-1)}
となる場合のみである
この時、x^3=3x^2 が成立する
x^3=x(x^2)なので、
∴x=3
x^3-(x+k)^2=2 から
∴k=2
545:１３２人目の素数さん
23/05/26 14:14:56.57 U3OwFy89.net
「x^3-(x+k)^2=2
を成立させる唯一の方法は、
原始ピタゴラス数の性質により、
(k+x)^2=x^2+{2(x^2-1)}」
もう少し丁寧にお願いします
546:１３２人目の素数さん
23/05/26 14:39:21.08 gW5O+/iX.net
隣接する二つの三角数の二乗の差は
立方数である
隣接する二つの三角数で、
差が二倍となる組は3と6のみである
table[x(x+1)/2,{x,1,100}]
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66,
78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190,
210, 231, 253, 276, 300, 325, 351,
378, 406, 435, 465, 496, 528, 561,
595, 630, 666, 703, 741, 780, 820,
861, 903, 946, 990, 1035, 1081,
1128, 1176, 1225, 1275, 1326,
1378, 1431, 1485, 1540, 1596,
1653, 1711, 1770, 1830, 1891,
1953, 2016, 2080, 2145, 2211,
2278, 2346, 2415, 2485, 2556,
2628, 2701, 2775, 2850, 2926,
3003, 3081, 3160, 3240, 3321,
3403, 3486, 3570, 3655, 3741,
3828, 3916, 4005, 4095, 4186,
4278, 4371, 4465, 4560, 4656,
4753, 4851, 4950, 5050
547:１３２人目の素数さん
23/05/26 14:40:35.81 +Y6NUYig.net
>>528
もし何かの問題への回答（の一部）ならレス番参照つけてね
あるいは問題を出したいなら明示的に問題として出してね
どちらの趣旨の投稿にも見えないけど認識合ってるならスレチなので他所でやってね
548:１３２人目の素数さん
23/05/26 14:44:04.52 gW5O+/iX.net
>>529 だそうです
549:１３２人目の素数さん
23/05/26 15:05:25.83 ygRxvgTn.net
もう構わない以外ではないかもね
高木と一緒
550:１３２人目の素数さん
23/05/26 15:13:53.42 ygRxvgTn.net
受験問題、受験縛りでも無しでもどうぞ
次の３つのルール(I),(II),(III)に従って三角形ABCの頂点上でコマを動かす事を考える
(I) 時刻0においてコマは頂点Aに位置している
(II) 時刻0にサイコロを振り、出た目が偶数なら時刻1でBに、出た目が奇数ならCにコマを移動させる
(II) n=1,2,..に対して、時刻nにサイコロを振り、出た目が3の倍数でなければ時刻n+1にコマを時刻n-1に位置していた頂点に移動させ、出た目が3の倍数であれば時刻n+1にコマを時刻n-1にも時刻nにも位置していなかった頂点に移動させる
時刻nにAに位置する確率をpₙとする
以下の問いに答えよ
(1) p₂,p₃を求めよ
(2) n=1,2...に対してpₙ₊₁をpₙ, pₙ₋₁で表せ
(3) 極限値lim pₙ
551:を求めよ
552:１３２人目の素数さん
23/05/26 15:36:21.56 gW5O+/iX.net
なんというつまらなさ
553:１３２人目の素数さん
23/05/26 15:58:35.36 ygRxvgTn.net
>>535
よくそのレベルのカスみたいな数学力でプロの数学者の作った問題に文句つけられるもんやな
まぁその性格故に能無しなんやろけど
554:１３２人目の素数さん
23/05/27 00:39:36.90 rGI7FUNO.net
>>536
受験範囲縛りで点数が適当にバラけるように作ったのが受験問題
プロの数学者が作ろうが面白くない問題なぞいくらでもある。
555:１３２人目の素数さん
23/05/27 09:31:31.33 oxQLkCIC.net
>>537
まぁお前にはこの問題の面白さはわからんやろ
クズレスのレベル見てたらお前のカスみたいな数学力は透けて見えるからな
黙っとけや能無し
556:１３２人目の素数さん
23/05/27 14:39:30.93 TtZ2G3JO.net
p[2]=p(A→非A→A)=1*2/3=2/3
p[3]=p(A→非A→非A→A)=1*1/3*1/3=1/9
nを2以上とする
時点nでA以外にいるという条件の下で次にAに移る確率をr[n]とする
p[n+1]=(1-p[n])*r[n] (1-p[n])(1-r[n])=1-p[n]-p[n+1]
時点nでAにいる条件下で時点n+2でAにいる確率は
時点n+1でどちらかに移動してから元位置に戻る確率だから1*2/3
時点nでA以外にいる条件下で時点n+2でAにいる確率は
時点n+1でA以外に行き次にAに行くので(1-r[n])*1/3
ゆえにp[n+2]=p[n]*2/3+(1-p[n])*(1-r[n])*1/3＝{2p[n]+1-p[n]-p[n+1]}/3
q[n]=p[n]-1/3と置くと q[n+2]=q[n]/3-q[n+1]/3
足して-1/3，掛けて-1/3になる数をa,bとし
q[n+2]-(a+b)q[n+1]+abq[n]=0
q[n+2]-aq[n+1]=b{q[n+1]-aq[n]}=b^(n-1){q[3]-aq[2]}=b^(n-1)(-2/9-a/3)
n=1でも成り立つ 同様に
q[n+2]-bq[n+1]=a^(n-1){q[3]-bq[2]}=a^(n-1)(-2/9-b/3)
(b-a)q[n+1]=a^(n-1)(2/9+b/3)-b^(n-1)(2/9+a/3)
√13/3*q[n+1]=a^(n-1)(2/9+(-1+√13)/18)-b^(n-1)(2/9-(1+√13)/18)
=a^(n-1)(3+√13)/18-b^(n-1)(3-√13)/18
={(-1-√13)/6}^(n-1)*(3+√13)/18-{(-1+√13)/6}^(n-1)*(3-√13)/18
q[n+1]={(-1-√13)/6}^(n-1)*(3/√13+1)/6-{(-1+√13)/6}^(n-1)*(3/√13-1)/6
p[n]=1/3+{(-1-√13)/6}^(n-2)*(3/√13+1)/6-{(-1+√13)/6}^(n-2)*(3/√13-1)/6
nは2以上で成り立つ │(-1±√13)/6│<1だから極限は1/3
557:１３２人目の素数さん
23/05/27 15:23:01.92 nwkRy7a8.net
>>539
正解
元ネタ2020京大特色入試
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
まぁよくある確立漸化式で取り立てて他の確率漸化式と変わらないように見えて、実は流石にうまくできてる
時刻nにおける“状態”を幾つでも設定してでかい遷移行列作ってガチャガチャやれば解けるんだけど、そんな事しなくてもスッキリ解けますよ、できます？という問題
状態山のように作って漸化式巨大にしただけの問題ならバカでも作れるけど、うまいルート見つけたら気持ちよくスッキリ解ける美しい問題を作るのは中々センスが必要
そういう違いがわかるやつにはわかる問題
まぁ解く方はもちろん解けりゃなんでもいいんだけどな
作る側が唸る問題
こういう筋のいい問題がサラッと作れるのが京大はさすがというところ
━━━━━
Eₙを時刻nでAにいる事象としてEₙ∩Eₙ₊₁=Φであるから
Eₙ₊₁ = ( Eₙ₋₁∩Eₙ₊₁ ) ∪ ( (Eₙ₋₁∪Eₙ)ᶜ∩Eₙ₊₁ )
∴ pₙ₊₁ = P( Eₙ₊₁ ∧ Eₙ₋₁ ) + P( Eₙ₊₁ ∧ not ( Eₙ₋₁ ∨ Eₙ ) )
= P( Eₙ₋₁ ) P( Eₙ₊₁ | Eₙ₋₁ )
+ P( ￢ ( Eₙ₋₁ ∨ Eₙ ) ) P( Eₙ₊₁ | ￢ ( Eₙ₋₁ ∨ Eₙ ) )
= pₙ₋₁ × 2/3
+ ( 1 - ( pₙ₋₁ + pₙ ) ) × 1/3
= -1/3pₙ + 1/3pₙ₋₁ + 1/3
qₙ = pₙ-1/3とおいて
qₙ₊₁ = -1/3qₙ+1/3qₙ₋₁
α, β をt²+1/3t-1/3 = 0の2解としてu,vを qₙ= u αⁿ+
558:v βⁿ が= 0,1で成立するようにとれば、漸化式から全てのnで成立 | α|,|β|<1よりlim qₙ=0 ∴ lim pₙ = 1/3
559:１３２人目の素数さん
23/05/27 19:30:25.55 Xaqa5rwN.net
>>538
このスレで俺の書き込みは537だけだがな
エスパーお疲れさま♪
560:１３２人目の素数さん
23/05/27 22:36:12.48 WFJLv3Fu.net
541もだから2つだぞ
561:１３２人目の素数さん
23/05/27 23:53:12.10 //8dJZcs.net
なんか…数年前と雰囲気変わったよねここ
喧嘩っ早くなったというか
それだけ色んな人が来るくらい人気のスレになったってことでもあるんだろうけど
562:１３２人目の素数さん
23/05/28 14:21:23.69 faBmo6fJ.net
多分有名問題
m×nマスのチェス盤の好きな場所にナイトを置きそこからスタートしてナイトを動かす、動かせる位置はチェスのナイトの動きで水平方向±2, 垂直方向±1 または水平方向±1, 垂直方向±2 (つまり桂馬の動き)
ただし同じマスは2回通過できない
m×nマス全部回れれば成功
(問題)
m,nが十分大きな整数ならうまくやれば必ず成功できる事を示せ
563:１３２人目の素数さん
23/05/28 18:31:32.94 CGpdQ8v4.net
元の位置に戻る必要はない？
564:１３２人目の素数さん
23/05/28 19:21:22.02 7wiapSPG.net
ないです
奇数×奇数ならそもそも戻れませんがどちらか偶数なら戻る解もあるかも
565:１３２人目の素数さん
23/05/29 02:50:05.12 ImnbydaP.net
1回の移動ごとに盤の白黒が入れ替わるからね
奇数マスでループは不可能
566:１３２人目の素数さん
23/05/30 16:27:50.90 pqx902Pr.net
>>544
やっぱり有名問題だった
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
によると
Schwenk[10] proved that for any m × n board with m ≤ n, a closed knight's tour is always possible unless one or more of these three conditions are met:
1. m and n are both odd
2. m = 1, 2, or 4
3. m = 3 and n = 4, 6, or 8.
らしい
他にも色々書いてあるんだけど、この
4×n ( n≧4 )のとき周回する解がないの証明がわからん
どなたか分かります？
567:１３２人目の素数さん
23/05/30 16:33:07.09 pqx902Pr.net
それともまさかとは思うけどあくまで「ここの条件の例外なら必ず周回する解がある」が示されてるだけで「4×n (n≧4)の場合周回する解は持ち得ないか？」は未解決って事あり得る？ないよねぇ？
568:１３２人目の素数さん
23/05/30 17:30:00.53 H3AiioMD.net
面白い問題おしえて～な 33問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
25-28
569:１３２人目の素数さん
23/05/30 18:11:36.48 wna3Zlcd.net
そう、周期的でない解が存在するのはすぐ証明できる
てか、1実際構成法与えれば終わりだから
難しいのは「周期的なものは存在しない」の証明
どうやるんだか
570:１３２人目の素数さん
23/05/31 09:42:17.05 JvryPUHo.net
ごめん、見落としてた
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:28番) 面白い問題おしえて～な 33問目
に証明ついてるな
素晴らしい
571:１３２人目の素数さん
23/05/31 11:33:08.61 D00OlzqZ.net
次は、 ７×７チェス盤のナイト巡回問題の解のうち、始点が角で、終点(=49)がいずれかの角の斜め隣のものを示した。
もし同じ型の盤が並んでいれば、終点から隣の盤の角に飛び移ることができ�
572:驕B 01 26 09 06 03 14 11 01 30 09 06 03 14 11 01 32 09 06 03 14 11 28 49 02 13 10 07 04 32 27 02 13 10 07 04 34 29 02 13 10 07 04 25 22 27 08 05 12 15 29 22 31 08 05 12 15 31 22 33 08 05 12 15 48 29 24 21 16 31 44 26 33 28 21 16 37 46 28 35 30 21 16 39 48 23 36 39 30 43 20 17 23 42 25 36 45 20 17 23 44 25 38 47 20 17 38 47 34 41 18 45 32 34 49 40 43 18 47 38 36 27 42 45 18 49 40 35 40 37 46 33 42 19 41 24 35 48 39 44 19 43 24 37 26 41 46 19 次は、５×５チェス盤のナイト巡回問題の解二つと、７×５チェス盤の解三つを示した。これらも、終点から隣の盤の角へ飛べる。 01 10 25 20 03 01 14 09 20 03 01 28 11 06 03 22 17 01 26 09 06 03 20 15 01 30 11 06 03 24 13 24 19 02 09 14 22 19 02 15 10 12 35 02 21 16 07 04 10 07 02 19 14 35 04 32 19 02 23 12 07 04 11 08 15 04 21 13 08 21 04 25 27 32 29 10 05 18 23 25 30 27 08 05 16 21 29 22 31 10 05 14 25 18 23 06 13 16 18 23 06 11 16 30 13 34 25 20 15 08 28 11 32 23 18 13 34 18 33 20 27 16 35 08 07 12 17 22 05 07 12 17 24 05 33 26 31 14 09 24 19 31 24 29 12 33 22 17 21 28 17 34 09 26 15 これらを組み合わせれば、非負整数a,b,c,dを使って、m=5a+7b、n=5c+7dと表せるm,n(※)に対して、 >>544の要求を具体例を以て示すのに必要な十分な材料となる。 (※):13以下では5,7,10,12のみ。14以上では16,18,23以外全て
573:１３２人目の素数さん
23/05/31 11:53:43.76 D00OlzqZ.net
７×５チェス盤の解一つを追加提出
01 14 11 06 03 20 31
12 25 02 21 32 07 04
15 22 13 10 05 30 19
26 35 24 17 28 33 08
23 16 27 34 09 18 29
574:１３２人目の素数さん
23/05/31 12:56:51.87 E3uoc3Sk.net
正解
私も5と7でやりました
ちなみにKnight Tourの最終的な解
Schwenk[10] proved that for any m × n board with m ≤ n, a closed knight's tour is always possible unless one or more of these three conditions are met:
1. m and n are both odd
2. m = 1, 2, or 4
3. m = 3 and n = 4, 6, or 8.
Cull et al. and Conrad et al. proved that on any rectangular board whose smaller dimension is at least 5, there is a (possibly open) knight's tour.[4][11] For any m × n board with m ≤ n, a knight's tour is always possible unless one or more of these three conditions are met:
1. m = 1 or 2
2. m = 3 and n = 3, 5, or 6[12]
3. m = 4 and n = 4.[13]
も同様な構成でできますがサイズが小さい場合の例外処理が邪魔くさくなります
575:１３２人目の素数さん
23/06/01 22:24:53.80 G+2hvAMK.net
サイコロをn回降った時、出目の積が2^nで割り切れるが2^(n+1)で割りきれない確率pを示せ
576:１３２人目の素数さん
23/06/01 23:14:33.16 C+E0JFvU.net
p=うんち
577:１３２人目の素数さん
23/06/01 23:27:22.90 0zBOumDs.net
4がk回出て、2か6が合わせてn-2k回出ればよい kは0から[n/2]まで
p=Σ[k=0,[n/2]](1/6)^k*(2/6)^(n-2k)
=(1/3)^nΣ[k=0,[n/2]](1/6)^k*(6/2)^(2k)
=(1/3)^nΣ[k=0,[n/2]](9/6)^k
=(1/3)^n(1-(3/2)^([n/2]+1))/(1-3/2)
=2/3^n((3/2)^([n/2]+1)-1)
578:１３２人目の素数さん
23/06/01 23:56:52.02 4zqgj+yX.net
p(n)=(1/6^n) Σ[k=0,[n/2]] {C[n,k]*C[2(n-k),n]*2^k}
p(1)=(1/6)C[1,0]*C[2,1]*2^0=1/3
p(2)=(1/36){C[2,0]*C[4,2]*2^0+C[2,1]*C[2,2]*2^1}=(1/36)(6+4)=5/18
p(3)=(1/216){C[3,0]*C[6,3]*2^0+C[3,1]*C[4,3]*2^1}=(1/216)(20+24)=11/54
p(4)=107/648
p(5)=263/1944
579:１３２人目の素数さん
23/06/02 00:13:46.11 YTZ1L53Y.net
(1/2+x/3+x²)ⁿのn次の係数
あるいは
(1/(2x)+1/3+x)ⁿの定数項
Σ
580:とか使わな無理やろ
581:１３２人目の素数さん
23/06/05 02:59:12.49 DHKuXQUT.net
Knight tourの問題
Wikipedia のKnight tourの項によると3×3,3×5,5×3,3×6,6×3,4×4はKnight tourを持たず、3×8,8×3はclosed Knight tourを持たない
もう有限ケースだけだし計算機使えば簡単に確認できる
計算機使わない証明もできなくはない
しかしカッコいいスパッとした気持ちいい証明が思いつかん
なんかいい方法はないものか
582:１３２人目の素数さん
23/06/05 19:54:55.88 i9ubmcxH.net
元の出題(>>544)では「十分大きな」場合を聞いてたから
てっきり十分大きい場合には比較的簡単に示す技があるのかと思ったんだけど違うんかな
583:１３２人目の素数さん
23/06/05 23:30:03.76 z3B9Kt7g.net
すごく面白い問題思いついたよ
584:１３２人目の素数さん
23/06/06 13:57:30.87 sbS+zP1I.net
同大の正七角形で平面を敷き詰めることを考える
以下の3つを充填率が高い順に並べよ
A．正七角形に外接する最小のホームベース型五角形(直角が2つあり、直角同士が隣り合っている五角形)を平面に充填することを考え、正七角形をその通りに配置する
B．正七角形に外接する最小の平行六角形を平面に充填することを考え、正七角形をその通りに配置する
C．正七角形6つをドーナツ型(穴は凹十角形)に配置することを繰り返す
585:１３２人目の素数さん
23/06/06 16:49:37.19 AfLu8Dgl.net
いかにもテキトー感満載なんやけど
答えあんの？
586:１３２人目の素数さん
23/06/06 17:13:26.32 ULAKsTRK.net
>>563=>>564 ?
587:１３２人目の素数さん
23/06/06 18:02:49.87 2uhGwpQI.net
>>565
>いかにもテキトー感満載
確か円筒に球を何個詰め込めるかって問題も
いかにもテキトー感満艦飾だけど
世紀の難問として研究されてたらしいが
588:１３２人目の素数さん
23/06/06 18:04:16.67 sbS+zP1I.net
答えはある
綺麗な解き方があるかは知らない
563とは別人
本来は画像を3枚貼る予定だったけど何故か貼れなかったので仕方なく文章で説明したから問題のイメージが伝わってないかも
589:１３２人目の素数さん
23/06/06 19:31:35.35 wecerQDv.net
解はあるやろ
そんなもん答え持ってるうちに入らん
ちゃんとexplicitに問いた答え持ってんのかつて話
590:１３２人目の素数さん
23/06/06 21:05:18.51 sbS+zP1I.net
作図して概算で解いたので正確な計算はしてない
だから記号を選ぶだけの当てずっぽうでも1/6で当たる形式にした
591:１３２人目の素数さん
23/06/06 21:15:32.69 ULAKsTRK.net
自力で解けない出題禁止なんですが
592:１３２人目の素数さん
23/06/06 21:39:54.47 yzJ8joL6.net
尿瓶臭い
お前に数学は無理
593:１３２人目の素数さん
23/06/06 22:03:34.74 sbS+zP1I.net
概算で解くことは自力で解いたことにならないの？
594:１３２人目の素数さん
23/06/06 22:06:40.50 8PI/3n9X.net
なぜダメだと言われてるのかわからないのがお前の限界なんだよ
スレ荒れるから消えてくれ
595:１３２人目の素数さん
23/06/06 22:16:53.03 sbS+zP1I.net
正直全くわからない
充填率を求めよという問題なら正確に算出する必要があるので酷い問題だが、大小を比べよという問題なのだから概算で求めても全く問題ないと思う
迷惑だったようなので消える
596:１３２人目の素数さん
23/06/06 22:49:32.34 6Wc3yfES.net
「√7^√8と√8^√7のどちらが大きいか答えよ。ただし出題者は概算で解きました」
597:１３２人目の素数さん
23/06/07 11:11:56.13 b/tlZD3t.net
e^7>(3^7/10)^7>1046>2^10 log2<7/10
7^5=16807 2^14=16384 7^5/2^14=1+423/16384
log(7^5/2^14)=log(1+423/16384)>423/16384-(423/16384)^2/2
598:>1/40 5log7>14log2+1/40=14log2+7/10/28>14log2+log2/28=393/28*log2 log7/log8>(393/28)/3/5=131/140>√(7/8)
599:１３２人目の素数さん
23/06/07 11:28:29.23 4DuQ/wjh.net
だから自分に合わない問題なら反応しなけりゃいいのにって…
600:１３２人目の素数さん
23/06/07 12:21:31.50 sKLo6Z1A.net
解答ない問題は迷惑
601:１３２人目の素数さん
23/06/07 13:08:14.74 b/tlZD3t.net
>>570のだからの意味が分からん
602:１３２人目の素数さん
23/06/07 13:12:06.99 74CDODrX.net
>>577
>>576は例えだから考えなくていい
603:１３２人目の素数さん
23/06/07 13:47:28.16 Nzx3H1hl.net
未解決問題の完全解決は「ありがためいわく」らしい
604:１３２人目の素数さん
23/06/07 14:39:15.76 h7I37Yvy.net
>>581
それにしては良い問題
√ 7<e<√8
でびみょーン
605:１３２人目の素数さん
23/06/07 14:54:00.74 pte5stk/.net
>>582
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
606:１３２人目の素数さん
23/06/07 17:17:13.06 4DuQ/wjh.net
人の力量推し量れるぐらいに数学できるなら例の問題が
「計算や評価は面倒そうだが最終目的が大小評価だから、
解答が用意されているかどうかとは独立に、どんなに汚くなろうが力ずくで解くことは可能」
な類いであることは想像できるでしょうに
その上で「解答無いならやーめた」以上の中傷する必要がどこにあるのさ
身を引くこと覚えてよ
607:１３２人目の素数さん
23/06/07 17:23:13.27 sKLo6Z1A.net
なぜ尿瓶のこういう「こんな問題作ってみました」がダメなのかわからんアホが尿瓶本人以外にもいるんやな
尿瓶はまぁ数学の勉強した事ないからしょうがないとしても、数学ちょっとでも齧ってこんな尿瓶レベルの書き込みするやつはもう全く見込みがない
608:１３２人目の素数さん
23/06/07 19:03:48.05 4DuQ/wjh.net
はいでた「〇〇がわからないようじゃ」構文
そうやって >>88 でもうまいこと短く言い返した気になってたんでしょ知ってる
「見込み」って言葉も好きよねあなた
問題が面白いかどうかなんて人によるのにさあ
しつこく連投してる訳でもあるまいに、このスレに投稿するために何の「見込み」が必要だって言うんだよ？
そんな自分の好みや「レベル」に達してる投稿以外受けつけない閉鎖的な場所にしたい？
609:１３２人目の素数さん
23/06/07 19:13:14.51 yV+3bXi9.net
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
②より、kは偶数，kx+1は奇数
③より、
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
したがって,(x-1)は奇数の二倍
つまり、xは4の倍数-1
x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入
(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④
④より、
右辺はnが偶数のとき奇数
左辺は常に偶数
したがってnは奇数
つまり、xは8の倍数-5 となる
x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入
(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤
⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす
つまり⑤は、
l=1，m=1しか解が存在しない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入
∴整数解は、k=2,x=3
610:１３２人目の素数さん
23/06/07 19:52:39.70 pZ9CyWCO.net
>>587
やっぱりお前尿瓶級だよ
何年か数学は勉強したのかもしれんが金ドフに捨てただけだったんだな
611:１３２人目の素数さん
23/06/07 20:14:47.82 4DuQ/wjh.net
>>589
いよいよ言葉の勢いが加速してきたね、見てて面白い
内容に反論できないからかレッテル貼りや中傷以外のレス見ないもんね君から
存在すらも気づかないくらい君の内面にべったりこびりついた必然性のない「べき論」に君はいつ気がつくのかなあ
612:１３２人目の素数さん
23/06/07 22:29:01.86 5w2xptf/.net
>>590
じゃあ尿瓶の問題解いてやれば？
カス同士仲良くなる
613:１３２人目の素数さん
23/06/07 22:35:35.21 4DuQ/wjh.net
>>591
君が尿瓶と呼んでいそうな人の問題はnot for meだから触れてないだけなんだけど
何で私が解かなきゃならない？
何度も言ってるよね「自分が面白いと思わなければ言及しなければいい」って
あまりに目につくぐらい連投するようになったらそこで手を打てばいい
レス消費したらまた新しいの作ればいい
きっと君の中ではいつま何かがつっかかって
ついつい自分の都合の悪い投稿にはレスせずにはいられないみたいだけど
いつになったらその肝の部分を説明してくれるかなあ
614:１３２人目の素数さん
23/06/07 22:47:20.79 5w2xptf/.net
何度言っても同じ
お前が書いてる内容でお前の数学力は透けて見えるわ
何より“数学という学問そのもの”に対する哲学がポンコツすぎて話にならんわ
解けやポンコツの問題ポンコツどうして仲良く傷舐め合っとけカス
615:１３２人目の素数さん
23/06/07 23:39:27.45 ckrtvwtB.net
そもそもこの人出題者じゃないよね？
616:１３２人目の素数さん
23/06/07 23:59:09.73 4DuQ/wjh.net
……もういいや、言うこと同じだしあまり続けても荒らしになる
んじゃお口直しに簡単めの問題（過去に同じの出してたら申し訳ない）
□□
□□□
↑この形のパネルを縦7×横15の長方形に隙間、はみ出し、重複無く敷き詰めることは可能か。
回転、反転はアリ。□は一辺1の正方形とする
617:１３２人目の素数さん
23/06/08 01:45:52.35 WXs3lpAq.net
Ω⊂R^2をコンパクト集合とする
argmax{d(x,∂Ω) | x∈ Ω}の2次元ルベーグ測度は必ず0か？
ただし、d(x,∂Ω)は、点xからΩの境界∂Ωまでの距離、
min{|x-y| | y∈Ω}のこととする
618:１３２人目の素数さん
23/06/08 03:31:34.51 CIWDTy7u.net
argmax？
619:１３２人目の素数さん
23/06/08 03:48:17.86 WXs3lpAq.net
>>597
argmaxはmaxを達成する元を集めた集合のことです
今回の場合は、M := max{d(x,∂Ω) | x∈Ω}として、
{y∈Ω | d(y,∂Ω) = M}のことです
620:１３２人目の素数さん
23/06/08 04:02:12.92 H0CD3gW2.net
あああえくくけけけせせつててて
ああええくくけけすせせつつてて
いいええくこここすすせつつとと
いいおおききここすすたたたとと
いうおおきききししそたたちとな
ううおかかささししそそちちなな
ううかかかさささしそそちちなな
621:１３２人目の素数さん
23/06/08 05:01:02.71 042Oya+0.net
m = max{ d(x,∂Ω) }
A = { x∈Ω | d(x,∂Ω) = m }
とおき、μ(A) > 0と仮定する
Lebesgue の密度定理よりa∈Aで
lim[t→0] μ(A∩Bₜ(a))/μ(Bₜ(a)) = 1
がa.e a∈Ωで成立する
特にそのようなaを必ず取ることができる
このときb∈∂Ωをa∈∂Bₘ(b)ととることができる
このときint(Bₘ)の点pにおいてはd(p,b) < mとなり特にpはAに属さない
よってA∩Bₘ(b) = Φである
一方で十分小さいe>0に対してμ(Bₑ(a)∩Bₘ(b))>1/4μ(Bₑ(a))である
よって
622:特にμ(Bₑ(a)＼Bₘ(b))≦3/4μ(Bₑ(a))であるからμ(A∩Bₑ(a))≦3/4μ(Bₑ(a))となるがこれはaの取り方に矛盾する
623:１３２人目の素数さん
23/06/08 06:41:51.77 phnTwAJa.net
>>599
不可能系かと思ったら出来るんかいw
624:１３２人目の素数さん
23/06/08 08:11:09.71 C/3a+m9T.net
>>599
うおっ早い、正解です
以前出した縦5×横奇数が不可能であることを示すやつ絡みで
ギリギリNGにならないサイズでどうなるかを問う問題でした
625:１３２人目の素数さん
23/06/08 09:09:45.79 pFXqv4En.net
これは可能であるのがいつか完全に決定されてるやつですか？
626:１３２人目の素数さん
23/06/08 09:50:41.61 NfC5ZdCg.net
長方形だけなら決定されてる、というかできるはず
今軽く確かめてみたけど可能パターンの構成も
不可能パターンの証明もそんなに難しくないし、規則性もわかりやすい
627:１３２人目の素数さん
23/06/08 11:47:38.72 uL3vuZMi.net
答え見てどうやってこんなの思いつくの系
x∈ℂとk∈ℕ∪{0}に対して
(x)ₖ = x(x+1)(x+2)...(x+k-1)
とする(名前忘れたけど何とか記号)
c, a+b-c-n+1が非負整数でなく、nが非負整数のとき
Σ[k=0,∞](a)ₖ(b)ₖ(-n)ₖ/( a+b-c-n+1 )ₖ
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ/( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )
を示せ
(注意) まず思いつかないと思います
知らないと無理なやつです
でも数学を愛する者は無理と言われても挑戦する生き物だと思います
628:１３２人目の素数さん
23/06/08 13:18:21.38 7hqDHWvz.net
>>605
a, b, cの範囲は複素数？
629:１３２人目の素数さん
23/06/08 13:30:00.32 AuST1Udv.net
factor(
1*1*1/1/1
-3*a*b/c/(a+b-c-2)
+3*a*(a+1)*b*(b+1)/c/(c+1)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)
-1*a*(a+1)*(a+2)*b*(b+1)*(b+2)/c/(c+1)/(c+2)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)/(a+b-c)
)
((- b + c) (- b + c + 1) (- b + c + 2) (- a + c) (- a + c + 1)
(- a + c + 2)) / ((- a - b + c + 1) (- a - b + c + 2) (- a - b + c)
(c + 1) (c + 2) c)
630:１３２人目の素数さん
23/06/08 13:38:45.73 ZmNBeJUm.net
>>606
はい、問題文にある例外を除く複素数です
631:１３２人目の素数さん
23/06/08 13:40:01.66 AuST1Udv.net
factor(
1*1*1/1/1/0!
+a*b*(-3)/c/(a+b-c-2)/1!
+a*(a+1)*b*(b+1)*(-3)*(-2)/c/(c+1)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)/2!
+a*(a+1)*(a+2)*b*(b+1)*(b+2)*(-3)*(-2)*(-1)/c/(c+1)/(c+2)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)/(a+b-c)/3!
)
((- b + c) (- b + c + 1) (- b + c + 2) (- a + c) (- a + c + 1)
(- a + c + 2)) / ((- a - b + c + 1) (- a - b + c + 2) (- a - b + c)
(c + 1) (c + 2) c)
632:１３２人目の素数さん
23/06/08 13:54:15.61 YL+fO1D7.net
ガンマ関数のにおいがプンプンする
633:１３２人目の素数さん
23/06/08 17:02:28.78 29eNVYCi.net
>>573
コンピュータにやらせるのを自力って言うの？
634:１３２人目の素数さん
23/06/08 18:07:28.74 2d3l+15K.net
自力でコンピュータにやらせる
635:１３２人目の素数さん
23/06/08 22:43:15.41 mPPV7WOr.net
コンピュータとはどこにも書いてないから暗算で解いた説
636:１３２人目の素数さん
23/06/09 17:02:47.43 jIRTZCzs.net
>>600
素晴らしいお見事正解です
637:１３２人目の素数さん
23/06/10 22:34:26.98 GOc7/LHm.net
>>605
まぁコレノーヒントでは絶対無理なやつです
そもそもコレ「こんなん思いつかん、なんとかならんのか」と今も“New proof”みたいな論文が出てるやつなので
概略書いとくので挑戦して見てください
(1) まずEulerの積分表示
₂F₁(a,b,c;z)
= 1/B(a,c-a)∫[0,1]xᵃ⁻¹(1-x)ᶜ⁻ᵃ⁻¹(1-zx)⁻ᵇdx
を示す
(2) (1)を用いて
・(Gauss's summation theorem)
₂F₁(a,b,c;1)
= Γ(c)Γ(c-a-b) /( Γ(c-a)Γ(c-b) )
・(Pfaff's transform )
₂F₁(a,b,c,z) = (1-z)⁻ᵃ₂F₁(a,c-b,c,z/(z-1))
・(Euler's transform )
( 1-x )ᵃ⁺ᵇ⁻ᶜ₂F₁(a,b
638:;c;x) = ₂F₁(c-a,c-b;c;x) を示す (3) Euler's transform ( 1-x )ᵃ⁺ᵇ⁻ᶜ₂F₁(a,b;c;x) = ₂F₁(c-a,c-b;c;x) のn次のMaclaurin展開の n次の係数×k!/(c-a-b)ₙ を計算 右辺のそれは (c-a)ₙ(c-b)ₙ/( (c)ₙ(c-a-b)ₙ ) となる事は自明 左辺のそれが ₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1) になる事を示す
639:１３２人目の素数さん
23/06/10 23:18:53.09 eMrrLAi7.net
左辺の分母にcがなくて右辺の分母にcがあるんだから成り立つわけない
640:１３２人目の素数さん
23/06/10 23:23:42.01 ZsbUuNGT.net
アレ？
書き損じてるかな？
どの式ですか？
641:１３２人目の素数さん
23/06/10 23:27:30.45 ZsbUuNGT.net
ちなみにもう隠すのも面倒なので公式は
₃F₂(a,b,c;d,e;z)
= Σ[k=0,∞] (a)ₖ(b)ₖ(c)ₖ/( (d)ₖ(e)ₖk! ) zᵏ
とした時の
₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1)
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ /( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )
です
642:１３２人目の素数さん
23/06/10 23:31:16.40 ZsbUuNGT.net
今見返して見たけど全部左辺の分母cあると思うけど？
643:１３２人目の素数さん
23/06/11 03:05:22.91 QDhkbxgs.net
>>602
5×奇数が不可能の証明はどれくらいしんどいんですか？
644:１３２人目の素数さん
23/06/11 06:30:00.85 UWZZjvLk.net
1+ab(-1)/(a+b-c)=(ab-a-b+c)/(c-a-b)=(abc-ac-bc+c^2)/(c(c-a-b)).
(c-a)(c-b)/(c(c-a-b))=(ab-ac-bc+c^2)/(c(c-a-b)).
645:１３２人目の素数さん
23/06/11 07:41:12.69 5Pa/8xB3.net
n=1のときは
LHS
=₃F₂(a,b,-1; c,1+a+b-c-1;1)
= 1 + ab(-1)/( c(a+b-c) )
= (c(a+b-c) - ab)/( c(a+b-c) )
= ( -c²+(a+b)-ab)/( c(a+b-c) )
= (c-a)(c-b)/( c( c-a-b)
= RHS
646:１３２人目の素数さん
23/06/11 09:10:12.45 kWaN+X5j.net
>>620
気づけばかなり簡単に解ける、ただ気づかなくとも確か過去スレで誰かがやってたみたいに
プログラミングで言うところの動的計画法のような方法で力ずくで解くことも可能
647:１３２人目の素数さん
23/06/11 09:15:11.16 XQjhZOeR.net
>>623
気づけば簡単の方おながいします
自分の証明はあげたら2、3レスかかるスレ汚しにしかならないやつでしかないのであげるのやめときます
もうそろそろ模範解答上がっていい頃ではないでしょうか？
648:１３２人目の素数さん
23/06/11 12:51:43.90 7q5WBCiX.net
>>624
□□□□□
□■□■□
□□□□□
□■□■□
□□□□□
……………
□□□□□
□■□■□
□□□□□
5×(2n+1)の長方形の一部を上のように規則的に塗ると、
敷き詰められたどのパネルも１つ以上の塗られた■を覆うことになる
■の個数は2nであるから、長方形に敷くことができるパネルの個数は2n以下でなければならないが、
これでは面積 5(2n+1) の長方形を覆いきることは不可能。
649:１３２人目の素数さん
23/06/11 13:16:59.75 iPjr8RkU.net
>>625
なるほろ、素晴らしい
650:１３２人目の素数さん
23/06/12 08:19:11.82 7YO3SYBm.net
>621 は >605 で >622 は >618 だから別の問題
651:１３２人目の素数さん
23/06/12 09:29:42.84 5V8L4ijV.net
あぁ、確かに分母に(c)ₖとk!抜けてるわ
元ネタはPfaff-Saalschütz Theoremで別スレで出てたから出した、示すべき式は
₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1)
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ /( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )
ただし
₃F₂(a,b,c;d,e;z)
= Σ[k=0,∞] (a)ₖ(b)ₖ(c)ₖ/( (d)ₖ(e)ₖ k!) zᵏ
証明は色々あるようです、new proofとかelementary proof とかもっといい方法ないかと今も話題になる定理
ひとつは上の方で書いた奴
色々準備がいるけどそれらの準備もこの辺の話で重要なやつばっかりで面白いのでやってみて下さい
652:１３２人目の素数さん
23/06/12 15:44:45.79 loEIwldi.net
これはどうだ
0=∞=1
653:１３２人目の素数さん
23/06/15 00:55:02.83 awGKodij.net
半径1の円内に、交わりのない二つの図形A,Bを描く
このとき、
(Aの境界の長さ)÷(Aの面積) + (Bの境界の長さ)÷(Bの面積)
の最小値を求めよ.
654:１３２人目の素数さん
23/06/15 01:11:04.82 x705moPX.net
最大最小値を求めよって問題、それを解く必然性が感じられない問題はつまらないよね。
655:１３２人目の素数さん
23/06/15 08:33:04.65 Rtk3XKJn.net
そうかね？素人的には>>630は面白そうだけど
いや俺には解けないけどね
656:１３２人目の素数さん
23/06/15 10:28:37.12 LwZ1L6lJ.net
てか同じような問題、前に出た記憶
657:１３２人目の素数さん
23/06/19 15:37:05.99 RX208XEC.net
出てた記憶はあるけど何スレ目だったかな
結構前だった気がする
658:１３２人目の素数さん
23/06/21 02:25:22.78 wn/367VJ.net
機体トラブルで酸欠状態に
僅か１０分しかなく、必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
想像してみてください。//youtu.be/oWs3yvVADVg
659:１３２人目の素数さん
23/06/21 19:33:51.73 UUjJzsky.net
[0,1]区間上のリプシッツ連続関数列{f_N}およびfについて、
直線x=0,x=1およびグラフy=f_N(x)とグラフy=f(x)が囲う領域の面積が0に収束することを面積収束(L^1収束)と呼ぶ.
また、グラフy=f_N(x)の弧長がグラフy=f(x)の弧長に収束することを弧長収束と呼ぶ.
(1)f_Nがfに一様収束しているならば、面積収束しているか？
(2) f_Nがfに一様収束しているならば、弧長収束しているか？
(3)f_Nがfに面積収束していてかつ弧長収束しているならば、一様収束しているか？
660:１３２人目の素数さん
23/06/21 20:14:57.52 LpGKB/Tf.net
6.30857969452464
661:１３２人目の素数さん
23/06/21 21:16:45.37 T/SaKvjO.net
>>636
弧長収束って収束概念になってないじゃないか
662:１３２人目の素数さん
23/06/21 21:24:27.64 6LOQdlxs.net
>>638
もちろん何か位相があってそれに伴った収束概念ではないですが(もしかしたら関数空間に適切な同値関係を入れたら正当化出来るかも？)、弧長という実数が収束するという事に単に呼び名を付けただけという事でお願いします
663:１３２人目の素数さん
23/06/21 22:03:48.60 T/SaKvjO.net
解答なしの投げっぱなし問題と推測する
664:１３２人目の素数さん
23/06/21 22:07:38.08 6LOQdlxs.net
>>640
解答は普通にあります
665:１３２人目の素数さん
23/06/22 01:51:15.32 A5vGvYrh.net
>>636
fもリプシッツ連続？
666:１３２人目の素数さん
23/06/22 10:46:38.47 wtuRvVDS.net
>>642
すみません、記載してませんでしたがfもリプシッツ連続関数です
667:１３２人目の素数さん
23/06/22 13:04:26.39 uug7bkV1.net
ヘルダーだけだと反例とかが作れる？
668:１３２人目の素数さん
23/06/22 17:36:01.28 ctQAVZ4/.net
>>644
そもそもリプシッツ条件にしたのは、グラフの弧長を定義出来るという意味でしかないので、関数の滑らかさの条件はあまり本質的じゃないですね
669:１３２人目の素数さん
23/06/22 18:36:38.41 DpNBsEi0.net
あまりはっきりしない答えだな
670:１３２人目の素数さん
23/06/22 22:12:41.90 VLSUuA2H.net
連続ではないが弧長が定まる場合とかは除外してるのね
671:１３２人目の素数さん
23/06/23 13:20:22.53 wk2EqNea.net
∀ε>0 ∃δₙ>0 ∀|x-y|<δₙ | fₙ(x) - fₙ(y) | < ε
このδₙはnに無関係にとれるは仮定してはダメなん？
672:１３２人目の素数さん
23/06/23 17:07:38.74 ydzI7L6Z.net
>>636
yes no yes
最後はあんま自信ないが
673:１３２人目の素数さん
23/06/24 12:33:33.39 Cwy7RbmW.net
>>646
すみません どんなヘルダーでもいい訳ではないですね
答えるとαが2以上のαヘルダーならおkのはずです
>>647
とりあえずそういう追加条件無しで解けます
674:１３２人目の素数さん
23/06/24 12:34:25.90 Cwy7RbmW.net
>>649
実はこれで正解�
675:ﾈんですが証明もお願いします
676:１３２人目の素数さん
23/06/24 12:36:22.94 Cwy7RbmW.net
(3)のヒントとしては、関数解析でよく使われる不等式を使います
677:１３２人目の素数さん
23/06/24 12:37:13.92 Cwy7RbmW.net
>>650
>>647へのレスではなくて>>648へのレスでした
678:１３２人目の素数さん
23/06/24 12:39:56.49 Cwy7RbmW.net
>>650
間違えましたαが1以上でした
679:１３２人目の素数さん
23/06/24 12:45:15.35 Cwy7RbmW.net
リプシッツ以上になるので当たり前っちゃ当たり前でしたね
680:１３２人目の素数さん
23/06/24 16:02:49.62 xOJSX+PL.net
とは言われても関数解析なんか勉強した事ないから“よく使われる不等式”なんて言われてピンとくるもんないな
と言うか関数解析なんか不等式だらけやん
681:１３２人目の素数さん
23/06/24 16:12:52.91 xOJSX+PL.net
てか滑らかさの仮定がないなら長さは∫√(1+(f'(x))²dxではないんやな
長さの定義は何？
682:１３２人目の素数さん
23/06/24 16:25:58.18 +r1V2edI.net
>>657
リプシッツ連続であれば弱微分が定義できるので
その積分の定義で問題無いです
683:１３２人目の素数さん
23/06/24 16:59:03.82 tYRlrUP8.net
A君とB君で、３×３のマスでビンゴゲームを行う
（i）最初に揃った列が中心のマスを通っていればA君の勝ち
(ii)最初に揃った列が正方形の辺であればＢ君の勝ち
(i)と(ii)が同時に満たされた場合は引き分けとする
Ａ君とＢ君のどちらが有利か
684:１３２人目の素数さん
23/06/24 17:14:19.42 bi55xTDo.net
>>658
イヤ、弱微分って超関数の意味なんでしょ？
できたところでf'(x)を各点ごとに二乗して1足して√とるなんか無理やん
定義書いてください
685:１３２人目の素数さん
23/06/24 17:46:20.66 6/zbwCDo.net
弧長収束とか言ってる馬鹿に構うな
どうせ用意した解答も間違っている
686:１３２人目の素数さん
23/06/24 18:09:31.93 +BGgKnKc.net
いや、普通に解けるし、問題設定も一般化できる。
問題の設定が本質を突いてない中途半端な状態なので、
>>661みたいに怪訝な顔をされるのは仕方がないが、もったいないな。
687:１３２人目の素数さん
23/06/24 18:13:46.93 +r1V2edI.net
>>660
f∈L^1について、任意のテスト関数φに対して
∫ fφ’ dx = -∫gφ dxなるg∈L^1が存在していれば、gをfの弱微分といいます L^1関数は「ほとんんど全ての点で一致」という同値類で割っている
リプシッツ関数uはほとんど全ての点で微分可能だから弱微分関数u’は一意的に定義出来る(ほとんど全ての点で一致ならば同値のため)
なので積分∫√(1+u’(x)^2)dxは問題なく定義出来ます
>>661
弧長収束の呼称だけで馬鹿と決めつけるのはあまりに狭量な考えでしかない
そもそも弧長という「実数列」が収束している
あと例え何か位相に伴った収束でなくとも、「～収束」という概念は普通に数学界に存在する
普通に君は失礼なので私の解答がもし正しければ全力で謝ってください
688:１３２人目の素数さん
23/06/24 18:27:55.27 +r1V2edI.net
リプシッツじゃなく、普通にC^1にすれば混乱しなかったのかな？
689:１３２人目の素数さん
23/06/24 18:59:21.41 +BGgKnKc.net
俺が解いたときの弧長の定義は
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
これを採用した。
L(C)＝sup_{…}Σ[i＝0～n－1] d(f(t_i),f(t_{i＋1))
と書いてあるやつね。積分による計算は、普通はこの定義から導出されるので、
積分の方で定義しちゃうのは一般性が低くなるだけ。
690:１３２人目の素数さん
23/06/24 19:00:09.97 bi55xTDo.net
>>663
「リプシッツ関数がほとんどの点で微分可能だから長さが定義できる」
と
「弱微分は定義できるので長さが定義できる」
は話し全然違うやん？
少なくとも後者は嘘やん
691:１３２人目の素数さん
23/06/24 19:05:17.84 bi55xTDo.net
ともかくwikipediaのソボレフ空間の項やリプシッツ関数の項に書いてあるページで使えそうな奴って本問題のいわゆるリプシッツ定数が一様に有界である事を仮定してるんだけど、その仮定なくて成立するの？
692:１３２人目の素数さん
23/06/24 20:30:07.24 +BGgKnKc.net
>>636の(3)を一般化した問題を出題してみる。まずは準備から。
定義(閉区間の分割の定義)
Rの有界閉区間 I＝[a,b] を任意に取る。m≧1 として、点列 {t_i}_{i＝0～m} が
a＝t_0≦t_1≦t_2≦…≦t_m＝b を満たすとき、{t_i}_{i＝0～m} のことを I の分割と呼ぶ。
Iの分割全体の族を M_I と表記し、M_I の元のことを Δ と表記する。
Δ＝{t_i}_{i＝0～m}∈M_I に対して、|Δ|：＝max{t_{i＋1}－t_i｜0≦i≦m－1} と置く。
定義(全変動の定義)
(X,d)は距離空間とする。写像 f:[0,1]→X と [a,b]⊂[0,1] とΔ＝{t_i}_{i＝0～m}∈M_{[a,b]} に対して
f(Δ)：＝Σ[i＝0～m－1]d(f(t_i),f(t_{i＋1}))
と定義する。そして V_f([a,b])：＝sup{ f(Δ)｜Δ∈M_{[a,b]} } と定義する。
V_f([a,b]) は＋∞を込めて [0,＋∞] の中に必ず値が定まることに注意せよ。
V_f([a,b]) のことを、fの[a,b]上での全変動と呼ぶ。
V_f([a,b])＜＋∞ のとき、f は [a,b]上で有界変動であると呼ぶ。
693:１３２人目の素数さん
23/06/24 20:32:25.81 +BGgKnKc.net
定義(ある種の収束性の定義)
(X,d)は距離空間とする。a＜b は実数とする。
写像 f_n：[a,b]→X (n≧1)と写像 f：[a,b]→X は、次の条件を満たすとする：
・ 任意の狭義単調増加な正整数の列 {n_k}_{k≧1} に対して、
ある狭義単調増加な正整数の列 {k_l}_{l≧1} と、
[0,1]上で稠密な ある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
全く同じことだが、次が成り立つとする：
・ f_n の任意の部分列 f_{n_k} に対して、その更なる適切な部分列 f_{n_{k_l}} と
[0,1]上で稠密な ある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
この条件を満たすとき、f_n ＝＞ f in [a,b] と書くことにする。
694:１３２人目の素数さん
23/06/24 20:34:18.53 +BGgKnKc.net
準備は以上。ここからが問題。
問題1
(X,d) は完備な距離空間とする。写像 f_n,f：[0,1]→X は
・ f_n ＝＞ f in [0,1],
・ f は[0,1]上で連続
を満たすとする。このとき、[0,＋∞] の中で
liminf[n→∞] V_{f_n}([0,1]) ≧ V_f([0,1]) が成り立つことを示せ。
問題2
(X,d) は完備な距離空間とする。f_n,f：[0,1]→X は
・ f_n ＝＞ f in [0,1],
・ f は[0,1]上で連続,
・ V_f([0,1])＜＋∞,
・ lim[n→∞] V_{f_n}([0,1]) ＝ V_f([0,1])
を満たすとする。このとき、f_n は f に一様収束することを示せ。すなわち、
lim[n→∞] sup_{t∈[0,1]} d(f_n(t),f(t)) ＝ 0 が成り立つことを示せ。
695:１３２人目の素数さん
23/06/24 20:36:12.68 +BGgKnKc.net
補足
X＝R^2 として、その距離関数 d は通常のユークリッド距離を採用する。
f：[0,1]→R に対して、g(t)：＝(t,f(t)) として g：[0,1]→ X を定めるとき、
V_g([0,1])∈[0,＋∞] が定まる。この V_g([0,1]) は、
xy平面上の y＝f(x) (0≦x≦1) のグラフを曲線として見たときの
「曲線の長さ」の定義そのものである。
また、f_n,f：[0,1]→R が L^1関数で lim[n→∞]∫[0,1]|f_n(t)－f(t)|dt＝0 を満たす場合には、
g(t)：＝(t,f(t)), g_n(t)：＝(t,f_n(t)) として g_n,g：[0,1]→ X を定めるとき、
g_n ＝＞ g in [0,1] が成り立つことが証明できる。
従って、上記の「問題2」は>>636の(3)の一般化になっている。
696:１３２人目の素数さん
23/06/24 20:59:15.37 bi55xTDo.net
準備の段階からよくわからん
任意の部分列に対してある稠密なAが存在してA上各点収束
ならその“任意の部分列”に“全体”を適用してそれに対して“各点収束する稠密なA”がとれることになるけど、だったら最初から
ある稠密なAで各点収束してる
で終わりじゃないの？
697:１３２人目の素数さん
23/06/24 21:33:06.20 +BGgKnKc.net
>>672
全体である f_n そのものに対して条件を適用すると、
f_n のある
698:部分列 f_{n_k} とある稠密な A が存在して、 f_{n_k} は A 上で各点収束することになる。 つまり、lim_k f_{n_k}(a)＝f(a) (∀a∈A) が成り立つことになる。 だからと言って、f_n 全体に対して lim_n f_n(a)＝f(a) (∀a∈A) が成り立っているわけではない。
699:１３２人目の素数さん
23/06/24 21:46:13.49 +BGgKnKc.net
>>672
＞任意の狭義単調増加な正整数の列 {n_k}_{k≧1} に対して、
＞ある狭義単調増加な正整数の列 {k_l}_{l≧1} と、
＞[0,1]上で稠密な ある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
＞lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
今の場合、f_n 全体を適用したいので、1行目で任意に取ってよいとされている {n_k}_k には
n_k＝k (k≧1) という列を指定することになる(これで f_k 全体が適用対象になる)。
すると、ある狭義単調増加な正整数の列 {k_l}_{l≧1} と、
[0,1]上で稠密な ある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
今の場合、n_k＝k だから、n_{k_l}＝ k_l であり、
よって lim[l→∞] d(f_{k_l}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
つまり、f_k の部分列 f_{k_l} (k≧1) は A 上で各点収束する。
だからといって、f_k そのものが A上で各点収束しているわけではない。
700:１３２人目の素数さん
23/06/24 21:46:16.73 47Ot2ibq.net
なるほど、了解
701:１３２人目の素数さん
23/06/25 12:24:04.97 VWtds/WD.net
>>636
もしかしてこれ見て思いついた？
ｽﾚﾘﾝｸ(gaysaloon板:212番)
もしかして、あなたホモ？
702:１３２人目の素数さん
23/06/27 21:56:40.22 FLDtTQTc.net
C^∞級関数f:R→Rについて、n階微分の絶対値が必ず1以下で、f’(0)=1のとき、f(x)=sin xとなることを示せ.
703:１３２人目の素数さん
23/06/27 22:43:26.95 oAH1DfZc.net
f(x)=定数は？
704:１３２人目の素数さん
23/06/27 22:45:24.14 oAH1DfZc.net
あっ見間違えた恥ずかしい
705:１３２人目の素数さん
23/06/27 22:59:09.44 FLDtTQTc.net
nは任意ということでお願いします
706:１３２人目の素数さん
23/06/27 23:09:37.78 01EkGoww.net
>>676
えぇ…
それ見て思いついたらホモとするなら
それ知ってる676ｯﾁｬﾏもホモとなるじゃないか…
…なんだこれは…同好会員同士の邂逅じゃないか…
…たまげたなぁ…
707:１３２人目の素数さん
23/06/27 23:39:02.64 SGQWWwVG.net
>>677
最近Twitterで話題になってたな
論文ネタだったと思うけど簡単に示せるんだろうか
708:１３２人目の素数さん
23/06/28 02:39:11.70 OIQ2QHGQ.net
任意は0以上だよね？
709:１３２人目の素数さん
23/06/28 08:13:59.73 RUPZS2qa.net
>>683
0以上ですね
710:１３２人目の素数さん
23/06/28 08:58:24.11 RUPZS2qa.net
>>682
向こうはn階積分の有界性を課しますが、こちらは課しません
でもヒント無いとさすがにシンドイので流れを言います
・fは正則関数F:C→Cに拡張出来ることを示す
・a∈(-π/2,π/2)として、複素関数F(z)/((z-a)^2 cos(z))
に対して留数定理を使い、
(d/dz) F(z)/cos(z) |_(z=a) = Σ_(k=-∞)^∞ (-1)^k F(kπ+π/2)/(kπ+π/2-a)^2
を示す