22/12/30 21:31:37.91 MhFaDtwR.net
>>253
傑作質問なのでご回答お願い申し上げます
266:１３２人目の素数さん
22/12/30 21:35:55.16 SokQsHn1.net
>>257
んで、感染した当日に発症する確率は、いくつよ？
267:１３２人目の素数さん
22/12/30 21:38:43.12 SokQsHn1.net
>>237
シミュレーションしてｎの分布をだすと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
んで、確率は
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
268:１３２人目の素数さん
22/12/30 22:12:39.29 SokQsHn1.net
>>255
解答のレスありがとうございました。
自分の名刺が返ってくる人数はどんな分布になるのかシミュレーションしてみたら
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
269:１３２人目の素数さん
22/12/30 22:14:09.77 SokQsHn1.net
100人の名刺を集めてそれをシャッフルして無作為に選んで１人1枚を100人に返す。
自分の名刺が返ってくる人数を当てる賭けをする。
何人に賭けるのが最も有利か？
270:１３２人目の素数さん
22/12/31 01:43:10.61 kO/3qDTI.net
お前のクズ文章が数学の体をなしてないのはこの板の住人には全員わかってる
お前ただ1人そのことに気づけず永遠に恥を晒し続けてる能無しの恥知らず
それがお前の人生の終着点だよ
271:イナ
22/12/31 04:33:23.65 Bv3OSg6/.net
前>>176
>>263
自分の名刺が自分に返ってくる確率は1/100
100人いるから(1/100)×100=1
∴一人に賭ける。
272:１３２人目の素数さん
22/12/31 06:19:30.69 RFpv/yWr.net
>>253
h(x)=sin(x)/x とする h'(x)=(cos(x)x-sin(x))/x^2=(cos(x)-h(x))/x
tを正とし h(x)のx=tでの接線は y=h(t)+(x-t)(cos(t)-h(t))/t
これが(0,1)を通るとき 1=h(t)+(0-t)(cos(t)-h(t))/t=2h(t)-cos(t)
(1+cos(t))/2=h(t)=sin(2t/2)/t=2sin(t/2)cos(t/2)/t=h(t/2)cos(t/2)
(cos(t/2)^2=h(t/2)cos(t/2) t/2=uとし cos(u)(cos(u)-h(u))=0
ucos(u)-sin(u)=u(cos(v)-vsin(v)-cos(v))=-uvsin(v) なるvが0<v<uにある
右辺はu<πのとき負だから cos(u)(cos(u)-h(u))=0の最小の解はu=π/2
t=πのときの接線は y=h(t)+(x-t)(cos(t)-h(t))/t=0+(x-π)(-1-0)/π=1-x/π
このとき(0,1)と(π,0)の二点を通るので (0,1)と(m,0)を通る直線は
0<m<πのとき y=h(x)と共有点を持てず π≦mのとき明らかに共有点を持つ
(0,1)を通る直線がy=h(x)と共有点を持つ条件は 0<傾きの絶対値<1/π
c=0のときf(x)=g(x)になるので解なし c≠0で考える
y=-x/c-b/cが (0,1)を通りy=h(x)と共有点を持つには b=-cかつπ<│c│
これとb^2-4c<0を合わせると、cは正で、c(c-4)<0だから π<c<4、b=-c
このときy=-x^2-bxとy=csin(x)はx=0以外の共有点を持つので題意を満たす
273:１３２人目の素数さん
22/12/31 06:21:53.50 RFpv/yWr.net
間違えた π≦c<4、b=-cだ
274:１３２人目の素数さん
22/12/31 06:28:25.37 9AQhlZdk.net
>>264
医師限定掲示板のコロナの議論で濃厚接触したその日に発症するのは早すぎるからそれが感染とは言えないという
武漢株よりもオミクロン株の方が潜伏期が短いから感染当日発症もありうると反論されていた。
そう考えられる症例経験がある医師のようだった。
議論を聞いていたら、感染当日の発症する確率を計算したくなる。
感染研のオミクロン株の潜伏期の分布を推測した
URLﾘﾝｸ(www.niid.go.jp)
のHersysのデータのヒストグラムを読み取ると
URLﾘﾝｸ(www.niid.go.jp)
潜伏期が1､2､3､4､5､6､7､8の人数は各々19,28,31,17,11,4,2,1である（合計113人）。
を使って自分で計算しただけ。
んで、あんたの答は？
275:１３２人目の素数さん
22/12/31 06:29:43.56 RFpv/yWr.net
>>53
∫[-∞,s]f(x)dx=2/3なるsがあるがこのとき∫[s,∞]f(x)dx=1/3だからg(s)がない
276:１３２人目の素数さん
22/12/31 06:36:04.18 tVEKPKuD.net
そこまでやったのなら通らないとどうなるか考え直せ
277:１３２人目の素数さん
22/12/31 07:10:54.30 9AQhlZdk.net
>>265
レスありがとう。
問題にケチをつけるしか能のない罵倒厨と違って
東大卒の人物は答をだそうと試みるんだなぁと感服。
答は違うと思うけど。
要素数nの完全順列の総数をanと表記する
0人の確率p0=a100/100! と 1人の確率p1=a99/99!の大小比較になる。
p0-p1 = a100/100!-a99/99! = (1/100!)(a100-100*a99)
なので
a100-100*a99と0の大小を比較すればいい
a(n)=n*a(n-1) + (-1)^n
という漸化式が成り立つという
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
a100-100a99=(-1)^100=1>0なので
p0>p1が結論できる。
完全順列をプログラムに計算させて比較
> a100
[1] 34332795984163804765195977526776142032365783805375784983543400282685180793327632432791396429850988990237345920155783984828001486412574060553756854137069878601
> 100*a99
[1] 34332795984163804765195977526776142032365783805375784983543400282685180793327632432791396429850988990237345920155783984828001486412574060553756854137069878600
確かにその差は１なので正しい計算をしているだろうと思う。
結論 ： 0人にかけた方が有利。
その確率の差は1.07151＊10＾(-158)
シミュレーションで検出できる差じゃないな。
278:１３２人目の素数さん
22/12/31 07:25:07.30 9AQhlZdk.net
>>237
発展問題
サイコロを繰り返し振り、1の目が3連続で出たら振ることをやめる。
サイコロを振る回数の期待値を求めよ
朝飯前にプログラムして回数の分布をシミュレーションした結果
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
厳密解は知らん。
279:１３２人目の素数さん
22/12/31 07:31:25.08 RFpv/yWr.net
>>43
kが奇数で0<t<πのとき sin(kπ-t)=sint>0 |sin(kπ-t)|=sin(kπ-t)=sint
kが偶数のとき sin(kπ-t)=-sint<0 |sin(kπ-t)|=-sin(kπ-t)=sint
a[k]=1/(1+(kπ/n)^2)と置く kπ/n=tanθ dk/dθ=n/π/(cosθ)^2
Σ[k=1,2n]a[k]>∫[1,2n]a[k]dk=n/π∫[arctan(π/n),arctan(2π)]dθ
Σ[k=1,2n]a[k-1]<1+Σ[k=1,2n]a[k]<1+∫[0,2n]a[k]dk=1+n/π*arctan(2π)
2Σ[k=1,2n]a[k-1]/n→arctan(2π)/π 2Σ[k=1,2n]a[k]/n→arctan(2π)/π
b[n]=∫[0,2π] |sin(nx)|/(1+x^2) dx=1/n∫[0,2nπ] |sin(t)|/(1+(t/n)^2) dx
=1/nΣ[k=1,2k]∫[(k-1)π,kπ] |sin(t)|/(1+(t/n)^2) dx
=1/nΣ[k=1,2k]∫[0,π] |sin(kπ-t)|/(1+((kπ-t)/n)^2) dx
=1/nΣ[k=1,2k]∫[0,π] sint/(1+((kπ-t)/n)^2) dx
1/nΣ[k=1,2k]a[k]∫[0,π]sintdx<b[n]<1/nΣ[k=1,2k]a[k-1]∫[0,π]sintdx
2Σ[k=1,2k]a[k]/n<b[n]<2Σ[k=1,2k]a[k-1]/n 与式=arctan(2π)/π
280:１３２人目の素数さん
22/12/31 07:46:19.35 RFpv/yWr.net
>>237
n回目で止まる確率をp(n)とする
p(1)=0 p(2)=1/6^2
n>2のとき 一回目が1の目で二回目が1以外でn回目で止まる
または1回目が1以外が出てn回目で止まるかだから
p(n)=1/6*5/6*p(n-2)+5/6*p(n-1)
和が5/6で積が5/36である数をa,bとする
p(n)-ap(n-1)=b(p(n-1)-ap(n-2))=b^(n-2)(p(2)-ap(1))=b^(n-2)/36
p(n)-bp(n-1)=a^(n-2)/36 とa,bを入れ替えると
(b-a)p(n-1)=(b^(n-2)-a^(n-2))/36だから
ｐ(n)=(b^(n-2)-a^(n-2))/(b-a)/36
281:１３２人目の素数さん
22/12/31 08:22:15.39 7xvrMXwa.net
Wolfram先生だとｎの完全順列は!nと表記するようだ。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
!100/100! - !99/99!を計算させたら、
1.071510288125466923183546759519191522011540649292709804836... × 10^-158
R言語での計算と合致していて気分が( ・∀・)ｲｲ!!
282:１３２人目の素数さん
22/12/31 08:28:55.06 RFpv/yWr.net
>>273間違えた
b[n]→2arctan(2π)/πだ
283:１３２人目の素数さん
22/12/31 08:53:25.60 7xvrMXwa.net
>>274
>和が5/6で積が5/36である数をa,bとする
a=5/12+sqrt(5)/12
b=5/12-sqrt(5)/12
として
P(n)=(b^(n-2)-a^(n-2))/(b-a)/36
P(1)=-0.2
P(2)=0
になりましたが
284:１３２人目の素数さん
22/12/31 09:13:39.44 03Msx761.net
100^99 と 99^100
どっちが大きいか？
285:１３２人目の素数さん
22/12/31 09:20:03.72 RFpv/yWr.net
>>270
間違えた 修正
c≠0としてよい 直線y=-x/c-b/cの傾きは0でない
y切片が1より大きい直線のとき 傾きが正であればy=h(x)とx<0で共有点を持ち
傾きが負ならx>0に共有点がある
y切片が1未満の直線は傾きが負ならx<0に確実に共有点がある
傾きが正ならx>0に確実に共有点がある
y=-x/c-b/cがy=h(x)と共有点を持つ
↔y切片が1でないかまたはy切片が1で傾きの絶対値が1/π以下である
↔b≠-c または b=-cかつπ≦│c│
これとb^2-4c<0を合わせると
b^2<4cかつb≠-c または b^2<4cかつb=-cかつπ≦c<4 だから
b^2<4c かつ (b≠-c または π≦c<4)
286:１３２人目の素数さん
22/12/31 09:29:34.72 7xvrMXwa.net
pn(n) = (2*sqrt(5)*(5/12+sqrt(5)/4)^n+(15+7*sqrt(5))*(1/12*(5-3*sqrt(5)))^n)/(75+45*sqrt(5))
漸化式 一般解 シミュ
[1,] 0.00000000 0.00000000 0.00000
[2,] 0.02777778 0.02777778 0.02867
[3,] 0.02314815 0.02314815 0.02328
[4,] 0.02314815 0.02314815 0.02376
[5,] 0.02250514 0.02250514 0.02200
[6,] 0.02196931 0.02196931 0.02151
[7,] 0.02143347 0.02143347 0.02155
[8,] 0.02091252 0.02091252 0.02121
[9,] 0.02040397 0.02040397 0.01978
[10,] 0.01990782 0.01990782 0.01932
[11,] 0.01942374 0.01942374 0.02050
[12,] 0.01895142 0.01895142 0.01856
[13,] 0.01849059 0.01849059 0.01932
[14,] 0.01804097 0.01804097 0.01803
[15,] 0.01760228 0.01760228 0.01780
[16,] 0.01717426 0.01717426 0.01721
[17,] 0.01675664 0.01675664 0.01691
[18,] 0.01634918 0.01634918 0.01639
[19,] 0.01595163 0.01595163 0.01603
[20,] 0.01556374 0.01556374 0.01553
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
287:１３２人目の素数さん
22/12/31 09:32:37.58 7hWA9UNn.net
>>277
n>2って前提になってるから、そこは問題ないでしょ。
どっちみち間違ってるけどねｗ
288:１３２人目の素数さん
22/12/31 09:49:23.63 RFpv/yWr.net
間違えた 積が-5/36だった
289:１３２人目の素数さん
22/12/31 10:13:25.72 RFpv/yWr.net
>>278
99log[10]100-100log[10]99=99*2-100(2+log[10](1-1/100))
=-2-100log(1-1/100)/log10
<-2-100(-Σ[k=1,∞](1/100)^k)=-2+100/99<0
290:１３２人目の素数さん
22/12/31 11:55:15.38 7hWA9UNn.net
100^99=(99+1)^99=99^99 + C(99,1)99^98＋…＋C(99,k)99^(99-k)+…+99^2+1
右辺の各項は最大でも99^99かそれより小さいので
（なんとならば k≧2で、 C(99,k)=99・98…(99-k+1)/k! < 99^k ）
100^99 < 98・99^99 +99^2+1 < 98・99^99 + 99^99 =99^100
291:１３２人目の素数さん
22/12/31 12:07:49.57 7hWA9UNn.net
>>284の補足
一般化すると、
n≧3で (n+1)^n <(n-1)n^n +n^2+1
かつ、n^2+1< n^nが成り立つことから、
(n+1)^n < n^(n+1) となる
292:１３２人目の素数さん
22/12/31 12:43:50.06 RFpv/yWr.net
>>274また間違ってたからやり直し
和が5/6で積が-5/36である数をa,bとする
p(n)-ap(n-1)=b(p(n-1)-ap(n-2))=b^(n-2)(p(2)-ap(1))=b^(n-2)/36
p(n)-bp(n-1)=a^(n-2)/36 とa,bを入れ替えると
(b-a)p(n-1)=(b^(n-2)-a^(n-2))/36だから
ｐ(n)=(b^(n-1)-a^(n-1))/(b-a)/36
nをn+1に置き換えたからn>1で成り立つがn=1でも成り立つ
293:１３２人目の素数さん
22/12/31 15:58:38.21 7hWA9UNn.net
よく間違えるね
294:１３２人目の素数さん
22/12/31 16:20:33.37 9AQhlZdk.net
>>271
名刺の枚数が奇数のときは１人に賭けた方が有利になるってことだな。
295:１３２人目の素数さん
22/12/31 16:32:11.93 9AQhlZdk.net
>>278
99^100の末尾の数字はいくつか？
答 １
99^100=9^100*11^100=81^50*11^100
検算
36603234127322950493061602657251738618971207663892369140595737269931704475072474818719654351002695040066156910065284327471823569680179941585710535449170757427389035006098270837114978219916760849490001
296:１３２人目の素数さん
22/12/31 16:54:15.12 7hWA9UNn.net
>>289
簡単だよ。
末尾が9となる数字のべきの末尾は9のべきの末尾になるが、
9のべきの末尾は9と1が交互に出てくるだけだから、
奇数乗では9、偶数乗では1になる。
297:１３２人目の素数さん
22/12/31 18:20:23.66 OsfAtty5.net
>>290
modの考えやね
298:１３２人目の素数さん
22/12/31 19:18:52.71 EpdMzi0a.net
5＾ｎがmod289で3になるｎはありますか？
299:１３２人目の素数さん
22/12/31 19:59:01.82 7xvrMXwa.net
>>292
253
300:１３２人目の素数さん
22/12/31 20:02:54.26 RkBXavrD.net
253
301:１３２人目の素数さん
22/12/31 20:03:54.09 7xvrMXwa.net
525
797
1069
1341
1613
も該当
検算希望
302:１３２人目の素数さん
22/12/31 20:09:05.03 9AQhlZdk.net
4桁まで探しだす。
> n[f(n)]
[1] 253 525 797 1069 1341 1613 1885 2157 2429 2701 2973 3245 3517 3789
[15] 4061 4333 4605 4877 5149 5421 5693 5965 6237 6509 6781 7053 7325 7597
[29] 7869 8141 8413 8685 8957 9229 9501 9773
5＾ｎがmod289で3
一番大きい9773Wolfram先生に検算してもらった。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
303:１３２人目の素数さん
22/12/31 20:12:10.60 9AQhlZdk.net
5桁まで
253 525 797 1069 1341 1613 1885 2157 2429 2701 2973
3245 3517 3789 4061 4333 4605 4877 5149 5421 5693 5965
6237 6509 6781 7053 7325 7597 7869 8141 8413 8685 8957
9229 9501 9773 10045 10317 10589 10861 11133 11405 11677 11949
12221 12493 12765 13037 13309 13581 13853 14125 14397 14669 14941
15213 15485 15757 16029 16301 16573 16845 17117 17389 17661 17933
18205 18477 18749 19021 19293 19565 19837 20109 20381 20653 20925
21197 21469 21741 22013 22285 22557 22829 23101 23373 23645 23917
24189 24461 24733 25005 25277 25549 25821 26093 26365 26637 26909
27181 27453 27725 27997 28269 28541 28813 29085 29357 29629 29901
30173 30445 30717 30989 31261 31533 31805 32077 32349 32621 32893
33165 33437 33709 33981 34253 34525 34797 35069 35341 35613 35885
36157 36429 36701 36973 37245 37517 37789 38061 38333 38605 38877
39149 39421 39693 39965 40237 40509 40781 41053 41325 41597 41869
42141 42413 42685 42957 43229 43501 43773 44045 44317 44589 44861
45133 45405 45677 45949 46221 46493 46765 47037 47309 47581 47853
48125 48397 48669 48941 49213 49485 49757 50029 50301 50573 50845
51117 51389 51661 51933 52205 52477 52749 53021 53293 53565 53837
54109 54381 54653 54925 55197 55469 55741 56013 56285 56557 56829
57101 57373 57645 57917 58189 58461 58733 59005 59277 59549 59821
60093 60365 60637 60909 61181 61453 61725 61997 62269 62541 62813
63085 63357 63629 63901 64173 64445 64717 64989 65261 65533 65805
66077 66349 66621 66893 67165 67437 67709 67981 68253 68525 68797
69069 69341 69613 69885 70157 70429 70701 70973 71245 71517 71789
72061 72333 72605 72877 73149 73421 73693 73965 74237 74509 74781
75053 75325 75597 75869 76141 76413 76685 76957 77229 77501 77773
78045 78317 78589 78861 79133 79405 79677 79949 80221 80493 80765
81037 81309 81581 81853 82125 82397 82669 82941 83213 83485 83757
84029 84301 84573 84845 85117 85389 85661 85933 86205 86477 86749
87021 87293 87565 87837 88109 88381 88653 88925 89197 89469 89741
90013 90285 90557 90829 91101 91373 91645 91917 92189 92461 92733
93005 93277 93549 93821 94093 94365 94637 94909 95181 95453 95725
95997 96269 96541 96813 97085 97357 97629 97901 98173 98445 98717
98989 99261 99533 99805
304:１３２人目の素数さん
22/12/31 20:13:30.22 9AQhlZdk.net
Wolfram先生の計算と合致
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
305:１３２人目の素数さん
22/12/31 20:27:23.32 7hWA9UNn.net
どうやって見つけたの？
306:１３２人目の素数さん
22/12/31 20:52:30.74 7xvrMXwa.net
>>299
プログラム(R言語)に割り算させただけ。
Haskellと違って不定長整数に対応していないので
大きな数になると誤答が返ってくることもままあるので
みつかった答はWolframで検算。
307:１３２人目の素数さん
22/12/31 21:05:42.82 EpdMzi0a.net
高校生が手計算でできる方法を知りたいのです
308:１３２人目の素数さん
22/12/31 21:09:01.02 tVEKPKuD.net
本当
309:に何も考えてないんだな
310:１３２人目の素数さん
22/12/31 21:18:33.21 RkBXavrD.net
60年たっても有限環の可逆元のなす群の位数の話すら分からん能無しがまたひとつ恥を晒す
恥の書き収めの最後にしたらどうや？
311:１３２人目の素数さん
22/12/31 21:46:07.01 7hWA9UNn.net
m, b, c から c = b^e mod m なる e を求める問題は離散対数問題といわれ、効率的な、つまり入力サイズの多項式時間のアルゴリズムは発見されていない。公開鍵暗号のうちある種のものは、この一方向性を利用して設計されている。
だってさ。
312:１３２人目の素数さん
22/12/31 23:17:48.77 7hWA9UNn.net
>>300
R(n) を 5^n の 298を法とする剰余とする。
5R(n)が298を越えてなければ、R(n+1)=5R(n)
5R(n)が298を越えていたら、R(n+1)=5R(n) - 298[5R(n)/298]
というアルゴリズムで、n=1から初めて、順次5^nの剰余を計算していけば
誤差は出ないと思うよ。
313:１３２人目の素数さん
23/01/01 00:29:06.71 8b7LloPS.net
nCr＝n!/r!(n-r)!から、nCr＝nCn-r
になる事とその意味は理解できたのですが、
逆にこのnCr＝n!/r!(n-r)!という式だけ与えられた場合に、どういう手順を踏んでいけば＝nCn-rへと変形させられるかわかりません。
ご教授いただけると嬉しいです。
314:１３２人目の素数さん
23/01/01 05:35:16.13 Pq1cksKH.net
>>306
n-(n-r)=rというだけでは？
315:１３２人目の素数さん
23/01/01 07:13:31.17 Pq1cksKH.net
>>305
レスありがとうございました。
御助言を参考にプログラムを組みなおしました。
走らせてみて8桁の答の最後の方を列挙すると
> tail(ans)
[1] 99998605 99998877 99999149 99999421 99999693 99999965
Wolframで最後の値を検算
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
ちなみに、
5^n≡3 (mod 289)を満たす1億以下のnの数は
> length(ans)
[1] 367647
になりました。
計算の達人の検算希望ｗ
316:１３２人目の素数さん
23/01/01 08:26:01.27 NGQRY2AG.net
mod 289で
5^272≡1
5^253≡3
なので
n=272m+253 (mは非負整数)にすればいくらでも解がだせるな。
1億以下でこれをみたす数は
> 100000000/272
[1] 367647.1
なので
367647個で総当りで数えた>308の個数と一致。
317:１３２人目の素数さん
23/01/01 08:51:32.13 caqREczn.net
今年は10年ぶりぐらいに高校数学の復習しようと思ってるんだけどおすすめの参考書や問題集とかありますか？
当時は理系で数Ⅲまでやったけどかなり忘れてる
大学への数学1年間購読とかでいいのかな
318:１３２人目の素数さん
23/01/01 08:52:11.81 caqREczn.net
スレ違いだったらすみません
319:１３２人目の素数さん
23/01/01 09:03:12.58 NGQRY2AG.net
>>292
演習問題
5＾ｎがmod2023で3になるnを求めよ。
> calc(5,3,2023)
816k + 797 816k + 1613
320:１３２人目の素数さん
23/01/01 09:07:36.17 NGQRY2AG.net
>>310
金がかからないという点で
高校数学の美しい物語
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
はどうでしょうか？
321:１３２人目の素数さん
23/01/01 09:30:03.37 caqREczn.net
>>313
ありがとう、存在は知ってたけど忘れてた
良い機会なので読んでみます
322:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:00:38.98 xYrXmPn+.net
あけましておめでとうございます。
今年も質問いたしますのでよろしくお願いいたします。
p,qを素数とする。2次方程式
x^2-px+q=0
が相異なる整数解を持つような(p,q)をすべて決定せよ。
323:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:47:03.31 NGQRY2AG.net
>>315
(p,q)=(3,2)
324:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:56:09.27 NGQRY2AG.net
解をa,b (a<b)とすると
q=a*bが素数だからa=1
p=a+b=1+b
pは素数なので奇数
するとbは偶数
q=a*b=1*b=bが素数なので偶数の素数は2のみ。
ゆえにb=2
q=a*b=2
p=a+b=3
325:１３２人目の素数さん
23/01/01 11:50:55.19 WeGoM9HF.net
>>308,309
剰余群が有限巡回群になるのは分かってるんだから、R(N)=1になる N(>1)
があれば、位数Nでしょ。
だから計算しなくてもR(n)=3になるnは周期Nの繰り返しになるに
326:１３２人目の素数さん
23/01/01 11:59:01.24 WeGoM9HF.net
>>306
nCrの定義式のrにn-rを代入するだけでしょ。
nC(n-r )= n!/(n-r)!(n-(n-r))! =n!/(n-r)!r! =nCr
327:１３２人目の素数さん
23/01/01 12:45:02.83 WeGoM9HF.net
>>315
新年早々おめでたい奴だな。
それは質問じゃなくて出題だと何回言えば分かるの？
顔を洗って出直してこい！
328:１３２人目の素数さん
23/01/01 15:48:05.57 8b7LloPS.net
>>319
>>307
回答くださりありがとうございます！
n-(n-r)=rを代入するのに、まずrってnからrじゃないものを引いたものだ！って気づいてから行うなら納得できるのですが、逆にまず式の変形だけでr＝n-(n-r)という形を完成させ、その結果同様の結論に至りたいのですがやり方がわからず…
329:１３２人目の素数さん
23/01/01 16:21:14.43 XSE4fUHC.net
>>310
何が目的ですか？
家庭教師とかなら基礎問題精講あたりさらっと通読すればいい。
330:１３２人目の素数さん
23/01/01 16:47:16.44 xYrXmPn+.net
>>320
出題と質問の定義は？
331:１３２人目の素数さん
23/01/01 17:09:43.78 Va9VIipO.net
>>315
今年も出題を楽しみにしております。
p,qをプログラムに探索させようと始めたら答を思いついてしまって拍子抜けしましたが、まぁ楽しめました。
332:１３２人目の素数さん
23/01/01 17:14:30.31 +wTnagG7.net
>>321
何事にも理由があるとは思わないことです
式だけで考えればそうなってるから以外に答えようがありません
式の意味で考えれば、n個からr個のものを選ぶということは、n-r個の選ばれなかった物を選ぶことと同じだということです
333:１３２人目の素数さん
23/01/01 17:27:07.34 Va9VIipO.net
>>323
おめでたい出題をよろしく！
答が提示されたら用意した答とあっているか否かのコメントがある嬉しいのでそれもよろしくお願いします。
334:１３２人目の素数さん
23/01/01 19:05:07.37 WeGoM9HF.net
>>323
スレを読み直せ
335:１３２人目の素数さん
23/01/01 19:07:53.68 WeGoM9HF.net
>>326
おめでたいのはお前の頭だよ。
答えを用意してるのなら、それを提示して「これであってますか？」と質問するのが筋だろ。
ろくでなしもいいとこ。正月早々死んでくれ。
336:１３２人目の素数さん
23/01/01 19:34:41.88 YxFQLmiK.net
>>304
「5^253を289で割った余りを求めよ」のような問題はよく見るのに
「5^nを289で割った余りが3になるnを求めよ」という問題を見かけないのは
こちらのタイプの問題が研究されると暗号が破られて危険なので
このような問題は出題するのも解くのもよろしくない
ということなんですね。
337:１３２人目の素数さん
23/01/01 19:47:02.36 enZKy/4p.net
そんなわけない
338:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:29:59.91 Va9VIipO.net
>>329
>305のアルゴリズムに従ってプログラムしたらオーバーフローもなくて簡単に計算できたから暗号破りは大袈裟では？
ちなみに
>305 助言を喜びとする人
>303 罵倒を喜びとする人（チンパンジーが好きらしい）
高校生の諸君はどちらのような人間になりたいですか？
339:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:43:28.30 +wTnagG7.net
暗号用に使われる鍵の長さは1024ビット以上だそうです
300桁くらいになるみたいですね
暗号を解読するには、(300桁)^(n)を(300桁)で割った余りが(300桁)になるnを求めないといけません
桁がこれだけ増えても通用するようなアルゴリズムがもしもあるなら、暗号解読されちゃいそうですけどまあ無理でしょうね
なんにしても、nを求めるのは総当たりしか基本なくてつまらない問題にならざるを得ないので、高校の問題ではあまりでないのです
340:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:46:56.36 tTQgraUB.net
一家の大黒柱なのに正月早々他人に出題をおねだりする人でなければどちらでもいいです
341:１３２人目の素数さん
23/01/01 21:11:53.33 enZKy/4p.net
>>331
5^nがmod 1323110702248772088961881918116579338750386936838809670378412731441 で3になるｎはありますか？
342:１３２人目の素数さん
23/01/01 21:46:02.97 WeGoM9HF.net
>>332
富岳は4X10^17Flopsの演算速度らしいですが、 仮に毎秒10^18ステップの
剰余計算ができたとしても、10^300ステップをこなすには宇宙の年齢（～10^18秒）
をはるかに越えてしまいます。
343:１３２人目の素数さん
23/01/02 06:42:35.40 5/JJAbhI.net
>>328
いや、>315の問題が答と一緒に投稿されたらつまらんね。
344:１３２人目の素数さん
23/01/02 07:59:24.43 dSGN/Wdy.net
>>272
指数分布みたいな形状だな。
345:１３２人目の素数さん
23/01/02 09:32:40.32 Z8Es1KoU.net
>>336
質問につまらんもつまるもあるか、馬鹿。
おまえ頭悪すぎだわ。
346:１３２人目の素数さん
23/01/02 11:50:08.46 M/9wIoLQ.net
質問です。
∫[0,π/2] {sin(x)}^n dx < 1/8
となる最小の自然数nを求めよ。
という問題が分からないので教えてください。
347:１３２人目の素数さん
23/01/02 12:51:55.53 TFIhRBBE.net
>>339
348:１３２人目の素数さん
23/01/02 13:33:30.04 TkxaM6HH.net
>>340
チンパンジーフェチによれば
答えを用意してるのなら、それを提示して「これであってますか？」と質問するの筋
だって
349:１３２人目の素数さん
23/01/02 13:42:51.81 TFIhRBBE.net
答必要ない派だから >>334 >>339 だけで解くだろ
350:１３２人目の素数さん
23/01/02 17:06:34.17 Z8Es1KoU.net
>>339
問題が分からないのなら答えを見ても分かるわけないなｗ
誰か問題を解説してやれよｗｗｗ
351:１３２人目の素数さん
23/01/02 17:08:27.74 Z8Es1KoU.net
>>341
「質問るの筋」ってなぁに？
352:１３２人目の素数さん
23/01/02 17:23:19.10 M/9wIoLQ.net
>>343
質問です。
∫[0,π/2] {sin(x)}^n dx < 1/8
となる最小の自然数nを求めよ。
という問題の正答に至るまでの道筋が分からないので教えてください。
353:１３２人目の素数さん
23/01/02 17:25:35.27 M/9wIoLQ.net
aを実数とする。
x^4+a^2を実数係数の多項式の積に因数分解せよ。
354:１３２人目の素数さん
23/01/02 17:28:43.37 Z8Es1KoU.net
>>345
この先をまっすぐ行って、３つめの信号を左に曲がってから全力疾走すればたどり着く
355:１３２人目の素数さん
23/01/02 17:29:06.51 Z8Es1KoU.net
>>346
誰に向かって命令してんだよ？
356:１３２人目の素数さん
23/01/02 17:31:58.25 hRN3qZxh.net
∫[0,π/2]=(sinx)^ndx=I[n]
I[0]=π/2 I[1]=1 n>2のとき I[n]=-∫[0,π/2](cosx)'(sinx)^(n-1)dx
=0+∫[0,π/2](cosx)^2(n-1)(sinx)^(n-2)dx=(n-1)(I[n-2]-I[n])
I[n]=(n-1)/n*I[n-2]
I[2n]=π/2*(2n-1)!!/(2n)!! I[2n+1]=(2n)!!/(2n+1)!!
(2n-1)!!/(2n)!!=(2n)!/(2n)!!^2=(2n)!/(n!2^n)^2
=(√(2π)(2n)^(2n+1/2)e^(-2n+1/(24n)-t/(360*(2n)^3))
/(2π*n^(2n+1)e^(-2n+1/(6n)-u/(180n^3)*2^(2n))
=(2π)^(1/2-1)n^(1/2-1)2^(2n+1/2-2n)*e^(-1/(8n)+(16u
357:-t)/(180*16n^3)) =1/√(nπ)*e^(-1/(8n)+(16u-t)/(180*16n^3)) t,uは0と1の間の数 I[2n]≒√(π/n)/2=1/8とするとn≒16π≒50 n=50のとき (2n-1)!!/(2n)!!=1/√(50π)*e^(-1/400+(16u-t)/(180*16n^3)) >1/√(50π)*e^(-1/400+(16*0-1)/(180*16*50^3)) >1/√(50π)*e^(-1/400+(16*0-1)/10^8)>1/√(50π)*(1-1/400-10^-8) I[100]>√(π/200)*(1-1/400-10^-8)>0.12501>1/8 I[101]=π/2/I[100]/101<π/202/0.12501<0.1245<1/8 n=101
358:１３２人目の素数さん
23/01/02 17:33:19.30 M/9wIoLQ.net
>>347
面白いと思って言ってたら認知症ですよ
359:１３２人目の素数さん
23/01/02 17:33:33.10 M/9wIoLQ.net
>>348
あなたです
わかりませんか？
360:１３２人目の素数さん
23/01/02 19:52:27.22 Z8Es1KoU.net
>>350
馬鹿にしてるのがわからんか？
>>351
おまえごときに命令される筋合いはない。死ね。
361:１３２人目の素数さん
23/01/02 20:58:18.33 TkxaM6HH.net
>>339
101
> f=\(n) integrate(\(x) sin(x)^n, 0,pi/2)$value - 1/8
> ceiling(uniroot(f,c(1,1e3))$root)
[1] 101
362:１３２人目の素数さん
23/01/02 21:04:06.68 TkxaM6HH.net
>>334
プログラム組んだから
m=as.bigz(1323110702248772088961881918116579338750386936838809670378412731441)
n=1
while(5^n%%m!=3) n=n+1
答がでるまで10^18秒くらい待ってくれ。
363:１３２人目の素数さん
23/01/02 21:22:32.82 TkxaM6HH.net
>>353
オマケ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
青線はy=1/8
364:１３２人目の素数さん
23/01/02 21:35:07.36 TkxaM6HH.net
質問です、
lim[n->∞] ∫[0,π/2] {sin(x)}^(1/n) dx の 値がπ/2になるようなのですが、その道筋が分からないので教えてください。
365:１３２人目の素数さん
23/01/02 21:49:55.67 TkxaM6HH.net
質問です。
他施設でCOVID19抗原検査陰性を確認して受診した患者が入院になるのでPCR検査したら陽性でした。
PCR検体採取で感染したとして今日中に発症する確率はいくらか分からないので教えてください。
感染研のオミクロン株の潜伏期の分布を推測した
URLﾘﾝｸ(www.niid.go.jp)
に計算に必要なデータがあるようです。
366:１３２人目の素数さん
23/01/02 22:58:09.31 V9EVCYqM.net
因数分解って何のためにするの？
式を簡単にするため？
例えば
15+24
=(3×5)+(2×3×4)
=3(5+(2×4))
=3(5+8)
でもこれだと何が良くなったのかよく分かんない
例がダメなのかな？
イマイチピンとこない
367:132番目の素数
23/01/02 23:01:17.66 9H8R8AZu.net
Nは正の整数とする。
N!が10^40で割り切れる時の最小のnを求めよ。
この問題の解答で、5の指数で大雑把に絞り込みする。
5→25
5^2→5
5^3→1 の合計31と絞り込む、
5^3より大きな5の倍数を小さい順に書き出すと
130,135,140,145,150,155,160,165,170….
であり、それぞれが持つ素因数5の個数は
1,1,1,1,2,1,1,1,1…
よって、40=31+1+1+1+1+2+1+1+1であるから、
165!が5^40の倍数であると言える。
と書かれてたんだけど、
素因数5の個数が130=1、135=1…
ってなんで書けるのか教えてほしい。
368:１３２人目の素数さん
23/01/02 23:39:37.81 Z8Es1KoU.net
>>358
たとえば、x^2 +3x-4=0という方程式を解きたいとすると、
左辺を因数分解して(x-1)((x+4)=0と置き換えれば、
x-1=0またはx+4=0を満たせばよいということで、x=1,-4
という解が簡単に求まるでしょ。
369:１３２人目の素数さん
23/01/02 23:54:36.49 Z8Es1KoU.net
>>359
130=5・26→素因数分解すると5は1個だけ
135=5・27→ 〃
・
・
150=5・30=5^2・6→5は2個
155=5・31→5は1個
・
・
ってことでしょ。
自然数は5つおきに5の倍数
5の倍数は5つおきに25=5^2の倍数
25の倍数は5つおきに5^3=125の倍数
etc.
370:１３２人目の素数さん
23/01/03 01:04:
371:22.50 ID:67IfkgXC.net
372:１３２人目の素数さん
23/01/03 01:29:39.45 0vRKIS4S.net
>>356
任意の0<t<π/2に対して
∫[0,π/2]{sinx}^(1/n)dx>∫[0,t]{sint/2}^(1/n)dx+∫[t,π/2]{sint}^(1/n)dx
={sint}^(1/n){t/2^(1/n)+π/2-t}>{sint}^(1/n){π/2-t/2}
右辺がπ/2-tより大きいとき{sint}^(1/n)>(π/2-t)/(π/2-t/2)=(1-2t/π)/(1-t/π)
n>log{sint}/{log(1-2t/π)-log(1-t/π)} これを満たす最小の整数nをNとする
任意のtに対して常にNがあってNより大きい任意のnに対して
│∫[0,π/2]{sinx}^(1/n)dx-π/2│<t
373:１３２人目の素数さん
23/01/03 01:36:27.97 0vRKIS4S.net
>>279まだ間違ってたので再修正
c≠0 かつ b^2<4c かつ (b≠-c または π≦c<4)
374:１３２人目の素数さん
23/01/03 02:13:56.24 0vRKIS4S.net
>>278
x≧e、y>0のとき xlog(x+y)=x(logx+log(1+y/x))<x(logx+y/x)≦(x+y)logx
375:１３２人目の素数さん
23/01/03 06:31:11.03 scBGCwJj.net
質問です
Nは正の整数とする。
N!が10^100で割り切れる時の最小のNを求めよ。
の答は405でよろしいでしょうか？
376:１３２人目の素数さん
23/01/03 06:34:07.94 scBGCwJj.net
>>363
ありがとうございました。
π/2で納得がいきました。
377:１３２人目の素数さん
23/01/03 07:11:43.32 scBGCwJj.net
自分の答が正しいかどうかわからないので質問します。
ニュー速＋の 1月の住宅ローン固定金利、約9年半ぶり高水準 大手5行
のスレに
金利が0.25%あがると総支払額が200万円増える
という投稿があった。
借入期間を35年とし、月利は年利の1/12で計算する。
返済は毎月の返済額が一定の元利均等返済方式とする。
(1)この投稿者が年利3%でローンを組んでいたときに借入金はいくらか計算せよ。
(2)この投稿者が4000万円のローンを組んでいたときに利上げ前の年利はいくらか計算せよ。
378:１３２人目の素数さん
23/01/03 08:41:25.70 scBGCwJj.net
サイコロの１の目のでる確率が常に1/6というのは空想の世界である。
リアルワールドの問題を考える。
やや歪なサイコロを100回振って1の目の出る回数を記録するという作業を10回行ったところ
１の目のでた回数は各100回中
12 17 13 18 20 9 14 19 15 14
であった。
(1)このサイコロの1の目のでる確率の95信頼区間を求めよ。(答は小数3桁まででよい)
(2)このサイコロを振って１の目が２回続けてでるまでの回数をnとする。
nの期待値とその95%信頼区間を求めよ（答は整数でよい）。
シミュレーションや信頼区間の算出流儀は一義的ではないので質問しました．
379:１３２人目の素数さん
23/01/03 10:29:15.33 gIgcg4j7.net
>>359
一般化すると
Nまでの自然数に素因数として含まれる5の個数が総計n個ある必要がある。
5の倍数は5を素因数として含むが、 そのうち5^2の倍数は2個、5^3は3個...含むので、
Nより小さい5の累乗の指数のうち最大のものをmとして、５の因数の総計f(N)は、
f(N)=[N/5] + [N/5^2] + [N/5^3]+…+[N/5^m]
よって、f(N)≧n であればN!は5^nで割り切れる。
N!に対する2の素因数の総計g(N)も同様にして求められるが、g(N) > f(N)は明らかなので、
f(N)≧nであれば、N!は10^n=2^n・5^nで割り切れる。
このようなNのうち最小のものは、n=[N/5] + [N/5^2] + [N/5^3]+…+[N/5^m]
の解として求まる。けど、簡単には求まらないので試行錯誤が必要？
n=40の場合、[5/N]=40となる最小のNは200で対応するmは3なので、
f(200)=[200/5] + [200/5^2] + [200/5^3]=40+8+1=49
200は5^2の倍数なので5^3の倍数である125までは、25ずつ減らすと
f(N)は6減るので、f(175)=43
あと５ずつ減らしていくと、f(170)=41, f(165)=40。ばんざーい！
380:１３２人目の素数さん
23/01/03 10:31:17.10 gIgcg4j7.net
>>370
[ x ] はxを越えない整数を表す記号
381:１３２人目の素数さん
23/01/03 10:37:07.78 gIgcg4j7.net
>>366
検算は簡単。
>>370に従って、
f(405)=[405/5] +[405/25] +[405/125] =81+16 + 3 =100
なので正解。
382:１３２人目の素数さん
23/01/03 10:40:01.42 gIgcg4j7.net
厳密に言えば、f(404)=99なので、405がf(N)=100を満たす最小の解と断る
必要あり?
383:１３２人目の素数さん
23/01/03 12:25:42.43 67w62t8d.net
>>360
2次方程式を解きたいときに因数分解できれば解が求まるのはよく分かってるし理解もしてるけど
因数分解する場面って2次方程式を解きたいときばかりじゃないよね？
じゃあその2次方程式を解きたい場面じゃないけど因数分解するのって何が嬉しくて因数分解するのか？ってことなんだよね
もっと単純だけどなるほどね！って理由があると思うんだけど。。。
384:１３２人目の素数さん
23/01/03 12:28:46.48 kjiUkRmw.net
因数分解が好きでたまらないとかでないなら、必要もないのに因数分解なんかする必要はないでしょ
385:１３２人目の素数さん
23/01/03 12:31:08.94 /KsCADYf.net
xy平面上の曲線
y=x^4-4x^2
上に4頂点をもつ長方形は存在するか。
386:１３２人目の素数さん
23/01/03 12:45:05.75 zB0kZcnr.net
因数分解は大学とかそれ以上になってもいろんなところで出てきますからね
足し算掛け算などの四則演算と同じでいろんなところで使われる便利な計算法なんです
387:１３２人目の素数さん
23/01/03 13:42:47.23 /KsCADYf.net
>>376
対称性についての高度な理解が求められる傑作質問です
よろしくお願いいたします
388:１３２人目の素数さん
23/01/03 14:24:59.62 uw2o5yHA.net
>>358
49×４９=（５０-１）＾２＝２５００-１００+１=2401
と少し難しいけど暗算できる、とか？
389:１３２人目の素数さん
23/01/03 14:40:48.81 jJnYDrzz.net
それと因数分解に何の関係があるの？
390:
23/01/03 15:34:29.34 YC9+nRON.net
前>>265
>>272
6^3=216
∴216回
391:１３２人目の素数さん
23/01/03 16:11:28.87 67IfkgXC.net
ｍとｎが互いに素な自然数のとき,整数a,bに対して
「a∈mZ かつ b∈nZ」と「na+mb∈mnZ」は同値ですか。
392:１３２人目の素数さん
23/01/03 16:16:23.83 gIgcg4j7.net
>>374
>因数分解する場面って2次方程式を解きたいときばかりじゃないよね？
３次方程式でも４次方程式でも、因数分解できれば簡単に解ける場合があるので、
それでええんじゃない？
因数分解の技術は脇に置いても、複素数まで拡張すればすべての多項式は１次式の
積に因数分解できるっちゅう代数学の基本定理もあるしね。
393:１３２人目の素数さん
23/01/03 16:55:05.00 scBGCwJj.net
>>381
レスありがとうございます。レスというよりguessの気がしますが。
実験してみるともう少し大きな値になりました。
10万回のシミュレーション結果
> summary(y)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
3.0 75.0 178.0 257.1 357.0 3190.0
394:
23/01/03 17:50:47.79 YC9+nRON.net
前>>381
>>376
f(x)=x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2)
f'(x)=4x^3-8x=4x(x-√2)(x+√2)
f"(x)=12x^2-8=12(x-√6/3)(x+√6/3)
変曲点(-√6/3,-20/9)から半直線y=-(3√6/32)x-347/144を引くと、最右端の交点における傾きは当該変曲点における傾きより大きいから、当該交点と極点(√2,-4)とのあいだに長方形の一辺をなす2点が存在すると思われる。
395:１３２人目の素数さん
23/01/03 18:36:24.67 /KsCADYf.net
>>385 すいません、 角が直角であること 二組の対辺が平行であること の証明はどうすればよいですか
397:１３２人目の素数さん
23/01/03 18:49:31.43 /KsCADYf.net
√(n-1) + √n + √(n+1)
が最も2023に近くなるような自然数nを求めよ。
398:イナ
23/01/03 21:25:52.06 YC9+nRON.net
前>>385
>>386
垂直は内積=0で、
平行は傾きが等しいことで、
それぞれ示せると思います。
399:
23/01/03 22:12:19.52 YC9+nRON.net
前>>388
>>376
曲線は外側が急勾配だから、
(-1,-3)付近から√2＜x＜√3,-4＜y＜-3ら辺に長方形のベルトがとれそうな気がするけど、ぴったり長方形になる4点をみつけられるかどうか。
400:
23/01/03 22:44:41.96 YC9+nRON.net
前>>389
>>376
曲線y=x^4-4x^2上の点、
(-1,-3)における傾きは4
((1+√5)/2,(-5-√5)/2)における傾きも4
2点を結ぶ直線はy=-x/4-13/4で傾きの積は-1
接線と法線が直交するから、
じゅうぶん短い長さで適当な対辺をとることは可能だと思われる。
401:１３２人目の素数さん
23/01/04 01:44:11.93 eiFBuePf.net
(a^5+1)/(a+1)の1の位がa≡4mod5であるときのみ5となり、他は1となることはどのように証明すればいいですか?
第三階差が54+24aというのもよくわかりません
402:１３２人目の素数さん
23/01/04 03:52:06.95 j5j6MHgQ.net
>>387
指折り数えて
454725
検算
ｆ（n)=√(n-1) + √n + √(n+1)として
> f(454725-1)-2023
[1] -0.00321305329271
> f(454725)-2023
[1] -0.000988631803466
> f(454725+1)-2023
[1] 0.00123578724038
403:１３２人目の素数さん
23/01/04 03:59:50.13 j5j6MHgQ.net
>>392
Wolfram先生にも検算をお願いした。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
404:１３２人目の素数さん
23/01/04 04:26:25.47 j5j6MHgQ.net
>>376
存在しないのでは？
少なくとも俺には発見できない。
相対する辺の長さが等しい かつ 内角のひとつが直角（内積が０）という条件で
プログラムを組んで探索させたけどみつからなかった。
405:１３２人目の素数さん
23/01/04 08:52:31.63 46MYnRh2.net
>>356
lim[n->∞] ∫[0,π/2] {sin(x)}^(1/n) dx = π/2
なぜならば、0<2x/π<sin(x)<1 [0<x<π/2]
406:１３２人目の素数さん
23/01/04 11:00:00.27 7U3tPNQ5.net
ｐ＝１３２３１１０７０２２４８７７２０８８９６１８８１９１８１１６５７９３３８７５０３８６９３６８３８８０９６７０３７８４１２７３１４４１。
ｑ＝（ｐ－１）／４０。
５＾ｑ＝１（ｍｏｄ．ｐ）。
３＾ｑ≠１（ｍｏｄ．ｐ）。
（５＾ｎ）＾ｑ＝１≠３＾ｑ（ｍｏｄ．ｐ）。
５＾ｎ≠３（ｍｏｄ．ｐ）。
407:１３２人目の素数さん
23/01/04 12:17:56.24 x5Hlrxc/.net
>>391
(a^5+1)/(a+1) =a^4-a^3+a^2-a+1
aを自然数としてA_a=a^4-a^3+a^2-a+1という数列を考えれば、
第一階差数列B_a =A_(a+1) - A_a = 4a^3+3a^2+3a
第二階差数列C_a=B_(a+1) - B_a =12a^2 +18a+10
第三階差数列D_a=C_(a+1) - C_a =24a+30
D_a =24a (mod 10) となるので、{D_a} =(4,8,2,6,0....} (mod 10)
とD_aの１の位の数は周期5で繰り返す。
a≧2において、
C_a =C_1 +Σ[k=1,a-1]D_k =40+Σ[k=1,a-1]D_k =Σ[k=1,a-1]D_k (mod 10)より、
{C_a}={0,4,4+8=2,2+2=4,4+6=0,0+0=0,0+4=4,,,,} ={0,4,2,4,0...} (mod 10)
とC_aの１の位の数はC_6=C_1となったので、周期５で繰り返す。
さらに、
B_a =B_1+Σ[k=1,a-1C_k =10+Σ[k=1,a-1]C_k=Σ[k=1,a-1]C_k (mod 10)より、
{B_a}=｛0,0+0=0,0+4=4,4+2=6,6+4=0,0+0=0,0+0=0,0+4=4,,,,}=(0,0
408:,4,6,0} (mod10) とB_aの１の位の数はB_6=B_1となったので、周期５で繰り返す。 さらに、 A_a=A_1+Σ[k=1,a-1B_k =1 +Σ[k=1,a-1B_k (mod 10)より、 {A_a}={1, 1+0=1,1+0=1,1+4=5,5+5=1,1+0=1,,,,} ={1,1,1,5,1} (mod 10) やはりA_6=A_1となったので、A_aの１の位の数は周期5の繰り返し。 よって、a=4 (mod 5) となるaで1の位の数が5となる以外ではA_aの１の位の数は1 泥臭いけど、いちおう証明できた。
409:１３２人目の素数さん
23/01/04 12:35:26.06 x5Hlrxc/.net
>>397
第三階差数列とかいうから、こんな面倒な計算したけど、そんなことしなくても、
(a+5)^4-(a+5)^3+(a+5)^2-(a+5)+1-(a^4-a^3+a^2-a+1)=20a^3+135a^2+435a+520=0 (mod 10)
より、１の位の数が周期５で巡回することはすぐにわかるから（計算間違いしなければｗ），
A_1からA_5まで求めれば自明。
410:１３２人目の素数さん
23/01/04 13:44:30.89 PGD729wv.net
数値計算する馬鹿が目障りなのでNGにした。
411:１３２人目の素数さん
23/01/04 14:42:01.64 Sg9XZHrG.net
>>376
これに未だに結論と証明が与えられていません
かなり難しいと思いますがよろしくお願いいたします
412:１３２人目の素数さん
23/01/04 14:54:15.00 zf+2qhjj.net
4桁の素数abcdがある。(ただしa,b,c,dはそれぞれ桁を表す) このとき、3次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0は整数解を持たないことを証明せよ。
回答お願いします
413:１３２人目の素数さん
23/01/04 14:57:45.16 x5Hlrxc/.net
>>400,401
出題スレでやれ。
ここは質問スレだ。
414:１３２人目の素数さん
23/01/04 15:47:48.72 QJFEBBfZ.net
a ≡ -1 ( mod 5 )でないとき
a⁵ + 1 ≡ a + 1 ( mod 5 )
∴ (a⁵+1)/(a+1) ≡ 1 ( mod 5 )
a ≡ -1 ( mod 5 )のとき
(a⁵+1)/(a+1) = a⁴-a³+a²-a+1 ≡ 0 ( mod 5 )
一方で
(a⁵+1)/(a+1) = a⁴-a³+a²-a+1 ≡ 1 ( mod 2 )
415:１３２人目の素数さん
23/01/04 16:00:36.58 QJFEBBfZ.net
f(x) = ax³+bx²+cx+dは単調増大
f(0) = d > 0よりx≧0には解なし
-9≦x≦-1のとき
f(x) ≡ f(10-x) ( mod p )、0 < f(10-x) < f(10) = p
により解析なし
f(-10) = -(1000a + 10c) + (100b + d)
について1000a + 10cは4桁、100b + dは999以下だからf(-1)<0
∴x≦-10において解なし
416:イナ
23/01/04 16:23:52.27 kJW/fpQ1.net
前>>390
>>400
存在するって言ったじゃん。
短辺と長辺を傾き4と-1/4にとるとだめなの？
417:１３２人目の素数さん
23/01/04 18:14:00.13 a/R3sjUU.net
1,3,7,13,21,31,43,,,
という数列を式で表す方法はありますか?
法則性と言えば、差が偶数かつ1つずつ大きくなるということだけですが。
答えは分かるのですが、解法がどうしてもわからないので質問します。
418:１３２人目の素数さん
23/01/04 18:44:26.51 hxJwKqbG.net
n≧2のとき
a[n]=1+sum_{k=1}^{n-1}(2k) = 1+n(n-1)
n=1のときもこれでおｋ
419:イナ
23/01/04 19:22:32.86 kJW/fpQ1.net
前>>405
>>406
一般項をａnとしてａn=n^2-n+1とすると、
ａ1=1
ａ2=3
ａ3=7
ａ4=13
ａ5=21
ａ6=31
あってる。
項のあいだが2の倍数になってることを漸化式で書き、しだいにnを下げていくと、
ａn+1-ａn=2n
ａn-ａn-1=2(n-1)
ａn-1-ａn-2=2(n-2)
……
ａ2-ａ1=2・1
ａn-の式以降を辺々足して、
ａn-ａ1=Σ[k=1→n-1]2k
ａn=2(n/2)(n-1)+ａ1
∴ａn=n^2-n+1
420:１３２人目の素数さん
23/01/04 19:23:01.84 lvnY/v5s.net
すみません、計算式を教えてほしいです
ngワードに引っかかるのでひらがなを消してください
URLﾘﾝｸ(dotu)あp.org/uploda/dotuあp.org2920474.jpg
421:イナ
23/01/04 19:56:10.78 kJW/fpQ1.net
前>>408
ａ2項からａn-1項までは左辺に+と-が一つずつ出てくるので、辺々足す
422:とすべて相殺されて消えます。 つまり先頭ａnと尻尾ａ1だけが残る。 一方、右辺は第1項から第n-1項までの数列の足し算。 第1項から第n-1項までのkの平均はn/2 (第1項から第n-1項までの2kの平均はn) 第1項から第n-1項までの項数はn-1です。
423:１３２人目の素数さん
23/01/04 20:17:01.46 lvnY/v5s.net
>>409
自己解決致しました
424:１３２人目の素数さん
23/01/04 20:20:39.91 x5Hlrxc/.net
>>409
基本中の基本の問題なので、まずは教科書を復習すべし。
425:１３２人目の素数さん
23/01/04 20:22:01.20 hYKuFYQE.net
>>409
Error 1005
Access denied
と表示された
426:１３２人目の素数さん
23/01/04 20:24:21.58 ZPv3ZuZp.net
>>402
質問ですよ
回答よろしくお願いいたします
427:１３２人目の素数さん
23/01/04 20:48:52.47 x5Hlrxc/.net
>>403
見事だけど、A=B(mod 5)のとき、A/B=1 (mod5) は自明ではないのでは？
A=5m+k, B=5n+k ((ただし1≦k≦４）)とおいて、A/B=j となる場合、
5m+k=5jn+ jk
k(j-1) =5(m-jn) より、
k(j-1) = 0 (mod 5)
5と kは素なのでj-1=0(mod 5)として、j=a/b=1 (mod 5)が言える。
たとえば、9=3 (mod 6)だが、 9/3=3 (mod 6)
428:１３２人目の素数さん
23/01/04 20:51:01.44 x5Hlrxc/.net
>>414
どう見ても質問ではなく出題だろ。
バカにもほどがある。
429:イナ
23/01/04 21:06:10.48 kJW/fpQ1.net
前>>410
>>376
四次関数の非対称な放物線の内側と外側で同じ4の傾きを持つ点が傾き-1/4の線分で結ばれる不思議を感じたからおもしろいと思った。じゅうぶん短い短辺がとれそうな気はするけど、ただ2点の傾きが同じ4であるだけで、波形が違う二つの曲線上に同じ傾きかつ同じ距離の2点がそれぞれにとれるかどうか。
波形が非対称だから存在しないとは言えないけど、やっぱり存在しないのかもしれないし、じつはまだみつかっていないのかもしれない。
430:１３２人目の素数さん
23/01/04 21:23:34.78 ZPv3ZuZp.net
>>416
それはあなたの主観ですよね
客観的に説明してください
431:１３２人目の素数さん
23/01/04 22:39:39.63 x5Hlrxc/.net
>>418
スレを最初っから読み返せ。
どっかに質問と出題の違いを書いてるよ。
お前も読んだはずだが、もう忘れてんのか？
やっぱバカだなｗ
432:１３２人目の素数さん
23/01/04 22:53:13.56 hxJwKqbG.net
nが自然数とする。n^2+2とn^4+2の最大公約数を求めよ。
という問題で、普通は
n^4+2=(n^2+2)(n^2-2)+6 より互除法で求める最大公約数は6の約数
をおさえてからあとmod6とかで場合和けすればいいと思いますが
互除法の互助を得ずに示すことができないでしょうか。
例えば数学的帰納法で示せないでしょうか。
やはり「6の約数」を前もっておさえないと難しいでしょうか。
433:イナ
23/01/04 22:56:36.01 kJW/fpQ1.net
前>>417
出題者がみつけてないだけで存在するんじゃないの？
出題したけど答えがわからない。
あ、わかった。警察に捕まりはじめている！
434:１３２人目の素数さん
23/01/04 23:20:26.75 feQZrBdD.net
>>418
賛成！
質問と出題は対立する概念ではないので
罵倒厨を相手にせずに出題を続けてください。
435:１３２人目の素数さん
23/01/04 23:20:36.47 6Lg4vT+o.net
>>277
>>286
436:１３２人目の素数さん
23/01/04 23:30:20.76 6Lg4vT+o.net
>>387
xが正のとき (√(1+x)-1-x/2)/x^2={1+x-(1+x/2)^2}/{x^2(√(1+x)+1+x/2)}
=-1/{4(√(1+x)+1+x/2)} 右辺は負で下限が-1/8
√(1+x)=1+x/2-tx^2/8 (0<t<1)
√(674^2+x)=674√(1+x/674^2)
674(1+x/674^2/2-tx^2/674^4/8)=674+x/674/2-tx^2/674^3/8
√(674^2+x+1)+√(674^2+x)+√(674^2+x-1)
=674*3+((x+1)+x+(x-1))/674/2-t((x+1)^2+x^2+(x-1)^2)/674^3/8
=2022+ｘ/449.3・-t(3x^2+1)/674^3/8
x=449のとき、n=674^2+449のときが近い
437:１３２人目の素数さん
23/01/05 00:03:17.61 K1S3OyRR.net
>>422
対立概念でなければスレの主旨とズレててもいいってのか？
数学と物理は対立する概念ではないから、ここで物理の質問を
してもいいっていうのかよ。
ほんと、どうしようもない馬鹿だな。
438:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:14:40.88 mmIXpU48.net
長方形の問題の結論は「存在する」
グラフに4点をとって長方形を作る問題は
閉曲線の場合、必ず成り立つことが
1977年にトポロジーを使って証明されている
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
方法は、曲線の任意の2点を結んだ線分に対し、中点の真上に
高さ＝線分の長さとなるような点をとり、
点の集合である曲面が自己交差する
＝1点を中点とする長さが等しい線分が2つ存在し、長方形を作る
ことを示す
閉曲線の場合、曲面がメビウスの輪に同相、もとの曲線がその辺に同相であり
自己交差することが示せる
439:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:17:44.49 ArKJMyjk.net
出題と質問は実質同じだからどんどん出題してくれていいよ
440:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:20:43.27 9GCvXFr1.net
>>376
f(x)=x^4-4x^2とし 頂点を O(0,0) A(a,f(a)) B(b,f(b)) C(c,f(c)) とする
f(a)-f(b)=a^4-b^4-4(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(a^2+b^2-4)
A,Bを通る直線の傾きは (a+b)(a^2+b^2-4)
OC、ABが同じ長さの平行線分であるにはb=a+cとして
ABを通る直線の傾き (a+(a+c))(a^2+(a+c)^2-4)=(2a+c)(2a^2+2ac+c^2-4)
=(2a+c)(2a^2+2ac)+2a(c^2-4)+c(c^2-4) が
OCを通る直線の傾き (0+c)(0^2+c^2-4)=c(c^2-4) と同じならよい
2a{(2a+c)(a+c)+c^2-4}=0となるので 2a{2a^2+2c^2+3ac-4}=0
OC、ABの平行条件は 2a^2+2c^2+3ac-4=0
OC、OAが直交するには両者の傾き、c(c^2-4)とa(a^2-4)の積が-1であればよい
-1=a(a^2-4)*c(c^2-4)=ac((ac)^2-4(a^2+c^2)+16)
=ac((ac)^2-2(4-3ac)+16)=ac((ac)^2+6ac+8)平行条件より2a^2+2b^2=4-3ac
直交条件はac=tとして t^3+6t^2+8t+1=0
t=0のとき左辺は正でt=-1のとき左辺は負だから-1と0の間に解がある
平行条件より c=1/4*{-3a-√(32-7a^2)} -2<a<-√2のとき cは正
aがこの範囲で増加するとcは減少し ac=tは負でaの増加により増加する
tの上限はa=-√2のときで -√2/4*{3√2-√(32-7*2)}=-√2/4*{3√2-3√2}=0
tの下限はa=-2のときで -2/4*{6-√4}=-2
aを動かせばtは-2から0まで動けるので-1<t<0にある直交条件の解の値を取れる
そのときのaはそれから定まる他の点とで長方形が作れるので存在する
441:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:22:56.33 mmIXpU48.net
問題の4次関数のグラフにおいても、同様の局面を考え
適当なx座標をとって断面を求めることで、交差する点を見つけて
もととなる線分の組2つから長方形を作ることができる
例えばx=1/2で断面を求めると、以下のように交点が見つかる
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
442:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:24:11.62 ArKJMyjk.net
425
あんまりスレを荒らすな
それにしてもやばい奴(425)が居着いちゃったな
443:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:36:55.98 mmIXpU48.net
これをもとに長方形の4点を大まかに求めたもの
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
>>428 おお 1点を原点に固定しても求められるのですね
445:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:42:47.82 gLoSNIcz.net
>>429
y = x ^4
とかでもいけます？
長方形とれる気がしない
446:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:50:29.84 mmIXpU48.net
>>432
長方形の4点が関数の一部なら、x座標の順に並べると
y座標は必ず 増加→減少→増加 または 減少→増加→減少 となり
極大値・極小値が2つ以上必要です
y＝x^4 では無理ですね
447:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:51:43.12 gLoSNIcz.net
少なくともy = f(x)とかける陽関数のグラフで凸なら絶対無理な希ガス
448:１３２人目の素数さん
23/01/05 01:55:47.63 gLoSNIcz.net
>>433
ですよね
平行四辺形はわりと簡単に作れるのでアフィン変換して長方形を持ってる4次関数は作れそうだけどいつでも作れるかと言われるとかなり微妙
>>376の例だとできるらしいけど4点のx座標の概算値は如何程ですか？
449:１３２人目の素数さん
23/01/05 02:10:50.52 mmIXpU48.net
>>435
自分の例では x≒-0.95, -0.15, 1.15, 1.95 でした
1つの点が x＝0 に近いので、別の方の方法でも
近い値になりそうですね
450:１３２人目の素数さん
23/01/05 02:56:50.45 gLoSNIcz.net
ホントだ
URLﾘﾝｸ(sagecell.sagemath.org)
451:イナ
23/01/05 03:15:46.27 KTmAh5eD.net
前>>421
一般的な曲線ですでに証明されていようが、本題>>376で具体的な4点がとれなければなんにもならない。近似値なら、
(-1,-3)付近に2点、
((1+√5)/2,(-5-√5)/2)付近に2点、
いずれも傾き4でとり、
直線y=-x/4-13/4に平行な2直線で結んで長方形が描ける。
452:１３２人目の素数さん
23/01/05 07:30:39.88 Nosi9brk.net
（1）√(70*71*72*73+1)は整数であることを示し、その値を求めよ。
�
453:i2）√{t(t+1)(t+2)(t+3)+1}が整数となる整数tをすべて決定せよ。
454:１３２人目の素数さん
23/01/05 08:23:46.96 x0USvdwt.net
１つだけならまだしも２つ並べると糞問になる例
455:１３２人目の素数さん
23/01/05 08:55:55.08 9GCvXFr1.net
題意の根号の中身=t(t+1)(t+2)(t+3)+1=(t^2+3t+1)^2
│t^2+3t+1│が整数となるようなtは任意の整数
456:１３２人目の素数さん
23/01/05 09:43:44.82 K1S3OyRR.net
>>426
それで終わりだな。
無駄に計算してる人がかわいそうｗ
どこが高校数学なんだかわからんがｗ
457:１３２人目の素数さん
23/01/05 09:44:27.87 K1S3OyRR.net
いや、閉曲線かよ！
ったく...
458:１３２人目の素数さん
23/01/05 09:59:25.87 SCrcV5aE.net
三角形abcの内接円をoとし中心をpとする。線分ap,bp,cpと円の交点をそれぞれa'b'c'とおく。
aa'=bb'=1/3 cc'=9/7のときの内接円の直径を求めよ。
わかる方いたら教えていただきたいです。
459:１３２人目の素数さん
23/01/05 11:48:22.90 Nosi9brk.net
正四面体を1つの平面で切るとき、以下の条件をすべて満たす切り方が存在するか述べよ。
・切り口の図形は三角形である
・1つの角の大きさは179°である
460:１３２人目の素数さん
23/01/05 13:12:04.68 gLoSNIcz.net
座標平面𝔼²の曲線にℙℝ²の無限遠線上の点を追加してℙℝ²の閉曲線の問題に帰着できる場合はあるけど本問では無理
本問では4次曲線の“両端”は無限遠線上の同一の点に到達するけど、そこで“見つかった4点”の中に追加した無限遠点が入ってたらアウト、実際y=x⁴とかだと「追加した無限遠点を使えば長方形がとれる」だけで無限遠点除いたところで4点取れないのはほぼ自明
461:１３２人目の素数さん
23/01/05 13:57:24.75 Oz31BdLH.net
下3桁が111である平方数は存在するか。
ここで正整数nの下3桁とは、たとえばn=1234のとき234であり、n=569のとき569である。
462:１３２人目の素数さん
23/01/05 15:14:30.30 gLoSNIcz.net
111≡7 (mod 8)はℤ/8ℤの平方剰余ではない
463:１３２人目の素数さん
23/01/05 15:34:03.03 DM6thdSP.net
>>444
作図して計測すると直径は１
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
464:１３２人目の素数さん
23/01/05 15:35:35.63 Oz31BdLH.net
正整数nに対して、nの下2桁をf(n)と表す。たとえばf(2023)=23、f(56)=56、f(3)=3である。
2でも5でも割り切れないどのような正整数xに対しても、f(kx)=23となる正整数kがとれることを示せ。
465:１３２人目の素数さん
23/01/05 15:49:28.12 T+sgUBBk.net
>>449
すごいですね！すいません、答えは１なのですが求め方が（泣）
466:１３２人目の素数さん
23/01/05 16:50:36.53 nFuImNLl.net
整数 a について
aは6の倍数 と 2aは12の倍数 は同値ですか。
467:１３２人目の素数さん
23/01/05 17:02:27.13 Nosi9brk.net
>>450
追加問題
与えられたxに対してf(kx)=m(m=1,2,...,99)となるkを1つ選び、そのkをxで表せ。
468:１３２人目の素数さん
23/01/05 17:15:11.98 DM6thdSP.net
>>451
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
⊿cCbと⊿cApが相似なことから半径が計算できるんじゃないかな。
469:１３２人目の素数さん
23/01/05 17:33:18.89 cJrus5aK.net
CCBといえばピンクドラムの人死んじゃったね
470:１３２人目の素数さん
23/01/05 17:50:17.92 gLoSNIcz.net
普通に三次方程式
x/(x+9/7) = 1-2(x/(x+1/3))²
解けばいい
x=-1,-1/7,1/2
471:１３２人目の素数さん
23/01/05 18:25:05.58 DM6thdSP.net
>>454
cC/Cb=cA/pAを
半径をxとして立式すると
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
x=1/2
472:１３２人目の素数さん
23/01/05 18:42:39.71 T+sgUBBk.net
>>456
>>457
なんとか解けそうです！皆さんからすると簡単な問題に付き合っていただき有難うございます！助かりました！
473:イナ
23/01/05 20:29:14.40 KTmAh5eD.net
前>>438具体的に厳密な値で4点みつけるのは難しいでしょう？
>>376
y=x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2)
yはx=0で上に凸で極大、重解を持つ。
y'=4x^3-8x=4x(x-√2)(x+√2)
x=±√2でyは極小かつ最小。
y"=12x^2-8=12(x-√6/3)(x+√6/3)
x=±√6/3のときy=-20/9
変曲点(-√6/3,-20/9),(√6/3,-20/9)
4次曲線y=x^4-4x^2上の
点(-1,-3)における接線の傾きは、
y'=4(-1)^3-8(-1)=4
点(-1,-3)における法線は、
y+3=(-1/4)(x+1)
y=-x/4-13/4
y=x^4-4x^2との再右端の交点は、
x^4-4x^2+x/4+13/4=0
(x+1)(x^3-x^2-3x+13/4)=0
x^3-x^2-3x+13/4=0の最大の解。
一方4次曲線y=x^4-4x^2上で傾きが4になる点は、
３つありy'=4x^3-8x=4よりx^3-2x-1=0
(x+1)(x^2-x-1)=0
x=-1のほかにx=(1±√5)/2
4次曲線y=x^4-4x^2上の点((1-√5)/2,(√5-5)/2)における法線と4次曲線y=x^4-4x^2との再右端の交点における4次曲線y=x^4-4x^2の接線は傾きが4よりかなり急峻だから不適。
∴(-1,-3)付近に2点、((1+√5)/2,(-5-√5)/2)付近に2点、
極めて近接に、結べばいずれも傾き4となるようにとり、
直線y=-x/4-13/4に平行な2直線で結んで長方形が描けると考える。
474:１３２人目の素数さん
23/01/05 20:57:43.20 9GCvXFr1.net
>>442
>>443
知りもしない他人の解答見て得意げになる神経が分からん
475:１３２人目の素数さん
23/01/05 21:27:47.42 DM6thdSP.net
ABCDと結んで四角形になる場合とABDCと結んで四角形に場合があるのを考慮していなかった。
これを考えて初期値をいじって探索させてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
この図の
xの座標は
> opt$par
[1] -0.2461791 0.1381541 1.2333220 1.6188017
476:１３２人目の素数さん
23/01/05 21:31:50.30 DM6thdSP.net
>>455
臨床医がCCBと言われたらカルシウムチャネル拮抗剤 Calcium Channel Blockerを思いつく。
ILOは国際労働機関である、ではIMOは？
答. 芋
477:１３２人目の素数さん
23/01/05 21:38:01.56 9GCvXFr1.net
>>442
>>443
かなしいときー
知らん話に迂闊に乗って得意げにしてる人が低脳晒したことに気付いた瞬間を見たときー
478:１３２人目の素数さん
23/01/06 00:09:57.93 me89M1yh.net
>>460
知りもしない他人の投稿を見て、得意げになってるとか思い込む神経がわからん
479:１３２人目の素数さん
23/01/06 01:49:23.96 ukozB9zn.net
πe^2 > e^π
を示せ。
480:イナ
23/01/06 02:10:15.20 Mumw3utL.net
前>>459
>>426このYouTubeは存在することをイメージで伝えたいみたいだが伝わってこない。
ぜんぜん具体的な方法がない。
方法というのはたとえば、
(0,0),(-1,-3)の2点を結んで長辺として、
それぞれの点から引いた傾き-1/3の直線とy=x^4-4x^2の最右端の交点を結んで正方形になってないか探るとか、そういう具体的な中身なんだよ。
481:イナ
23/01/06 02:11:42.79 Mumw3utL.net
前>>446訂正。
正方形→長方形
482:１３２人目の素数さん
23/01/06 02:41:30.79 CKa2xLWY.net
>>464
確かに、前提すら知らないのに「それで終わりだな」と思い込む神経は分からんな
483:１３２人目の素数さん
23/01/06 06:51:19.18 ZYZpVWaW.net
>>444
aa'=bb'=1/3だったので>454のように相似を使って計算できたが、条件を変えるとその計算じゃ無理だな。
んで、
応用問題
三角形abcの内接円をoとし中心をpとする。線分ap,bp,cpと円の交点をそれぞれa'b'c'とおく。
aa'=1/4 bb'=1/3 cc'=9/7のときの内接円の直径を求めよ。
484:１３２人目の素数さん
23/01/06 08:44:45.47 me89M1yh.net
>>469
元の条件だと△abcが二等辺三角形になるから相似が使えたってだけでしょ。
半径の関数として∠a, ∠b, ∠cのsine,cosineの値が表せ
485:るから、sin∠a=sin(∠a+∠b) で方程式たてて解けばええんでない？ 面倒だからやりたくないけど。
486:１３２人目の素数さん
23/01/06 08:56:11.19 ZYZpVWaW.net
>>469
とりあえず、作図
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
487:１３２人目の素数さん
23/01/06 09:03:55.65 me89M1yh.net
>>468
知らないんじゃなくて気づかなかっただけだろ。
あんた、ネチネチ他人の過失に絡む粘着タイプだな。
488:１３２人目の素数さん
23/01/06 09:05:41.11 me89M1yh.net
>>470
× sin∠a=sin(∠a+∠b)
○ sin∠a=sin(∠b+∠c)
489:１３２人目の素数さん
23/01/06 09:24:56.81 CKa2xLWY.net
>>472
知ってたのに使えると思い込んでたとしたら尚更ひどいな
490:１３２人目の素数さん
23/01/06 09:54:35.73 ZYZpVWaW.net
>>470
三角関数なしで算出
三角形の三辺の長さは内接円の半径rの関数で表せる。
三辺の長さから三角形の面積が求まる
三角形の面積と内接円の関係 URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
を満たすrを求めればよい。
# r:内接円の半径
# a.=1/4 b.=1/3 c.=9/7
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
black=sqrt((r+a.)^2-r^2) # 黒の長さ
blue=sqrt((r+b.)^2-r^2) # 青の長さ
green=sqrt((r+c.)^2-r^2) # 緑の長さ
ab=black+blue # 辺abの長さ
bc=blue+green # 辺bcの長さ
ca=green+black # 辺caの長さ
s=(ab+bc+ca)/2
S=sqrt(s*(s-ab)*(s-bc)*(s-ca)) #ヘロンの公式
r=2*S/(ab+bc+ca) # 面積と内接円の関係
この方程式の数値解をプログラムで算出させればいい。
オマケ（R言語のコード)
calc=\(a.=1/4,b.=1/3,c.=9/7){
fn=\(r){
black=sqrt((r+a.)^2-r^2)
blue=sqrt((r+b.)^2-r^2)
green=sqrt((r+c.)^2-r^2)
ab=black+blue
bc=blue+green
ca=green+black
s=(ab+bc+ca)/2
S=sqrt(s*(s-ab)*(s-bc)*(s-ca))
2*S/(ab+bc+ca)-r
}
uniroot(fn,c(0,max(a.,b.,c.)),tol=1e-16)$root
}
元の問題での半径
> calc(1/3,1/3,9/7)
[1] 0.5
aa'=1/4 bb'=1/3 cc'=9/7だと
> calc(1/4,1/3,9/7)
[1] 0.4490777
491:１３２人目の素数さん
23/01/06 10:17:59.73 me89M1yh.net
>>474
ネチネチｗ
492:１３２人目の素数さん
23/01/06 10:21:49.58 me89M1yh.net
>>475
面積から方程式を導く手は最初に考えたが、ヘロンの公式の導出方法忘れてるから、
内接円からの導出だったら同じことなのでまずいと思って書かなかった。
493:１３２人目の素数さん
23/01/06 11:02:51.35 yPV+Zbp4.net
近似値出すだけなら加法定理で方程式作って終わり
494:１３２人目の素数さん
23/01/06 11:14:29.56 OBkNJCKd.net
なんでロピタル使っちゃ駄目なんですか？
495:１３２人目の素数さん
23/01/06 11:20:00.24 f8fwg4gF.net
4*r^6+4*(a+b+c)*r^5+(a+b+c)^2*r^4-6*(a*b*c)*r^3-4*(a*b*c)*(a+b+c)*r^2-2*(a*b*c)*(a*b+a*c+b*c)*r-(a*b*c)^2=0.
496:１３２人目の素数さん
23/01/06 11:21:19.48 j6UyrT8I.net
明示的に使うなと言われない限り、別に使ってもいいんじゃないの
バカが場を弁えずに安直に使ったり誤用をやってバツにされたとか喚いてるだけで
497:１３２人目の素数さん
23/01/06 11:22:17.78 ZYZpVWaW.net
>>470
逆正弦を使っていいなら
a.=1/4
b.=1/3
c.=9/7
として
asin(r/(r+a.)) + asin(r/(r+b.)) + asin(r/(r+c.)) = π/2
となるrを求めれば簡単
> a.=1/4
> b.=1/3
> c.=9/7
> uniroot(\(r) asin(r/(r+a.)) + asin(r/(r+b.)) + asin(r/(r+c.)) - pi/2 ,c(0,1),tol=1e-16)$root
[1] 0.4490777
もとの問題なら
> a.=1/3
> b.=1/3
> c.=9/7
> uniroot(\(r) asin(r/(r+a.)) + asin(r/(r+b.)) + asin(r/(r+c.)) - pi/2 ,c(0,1),tol=1e-16)$root
[1] 0.5
498:１３２人目の素数さん
23/01/06 11:45:53.10 /nhO5NnZ.net
>>465
どなたかこれを解析的に解いていただけませんか？
もちろんe=2.718...、π=3.141...は既知とします。
499:１３２人目の素数さん
23/01/06 11:46:10.68 /nhO5NnZ.net
>>450
これは難しいですか？
500:１３２人目の素数さん
23/01/06 11:56:29.05 jAgx0J8K.net
>>479
使ってはいけないという大学は日本に1つもない。使いたい定理を使いたい時に使っていいのが受験数学の良い所。
仮にもしロピタルの定理を使ったことが理由で落ちたら(使ってはいけないというのはそういう意味ですよ)、裁判をすれば勝てます。憲法で保証されている受験生の権利ですから。ロピタルの定理はカンニング(これは禁止されていますよね)とは違います。
501:１３２人目の素数さん
23/01/06 13:30:21.79 KQNhhfcg.net
数学的にナンセンスという話をどこかで聞きました。
502:１３２人目の素数さん
23/01/06 13:34:56.18 me89M1yh.net
場合によっては循環論法になりうるから、適用条件、適用対象に気をつけろってことでしょ。
ナンセンスではない。
503:１３２人目の素数さん
23/01/06 16:37:39.50 oVWTQZ8L.net
>>484
大学受験数学としては、難しい方。
「互いに素なら、すべての種類の余り値を取る」ことを知ってたら楽勝。
ただし、答案に記述する際には要証明。
504:１３２人目の素数さん
23/01/06 19:12:34.60 4t+yamee.net
>>484
いや簡単。
補題
aとbが互いに素な正整数である時、ax－by=1を満たす正整数x yが存在する。
証明
0≦i<j<bとすると1≦j－i≦b－1
よってj－iはbで割り切れない。
∴a(j－i)≢0 mod b
これからmod bで{0,1,2,…b－1}と{a×1,a×2,…a(b－1)}は一致する。
よってある整数xに対して
ax≡1 mod b となるからax=1+byとおけるので補題は示された。
この補題より、
xと100は互いに素だからxe-100f=1を満たす正整数e、fが存在する。両辺を23倍すると
23ex－100×23f=23
23e=k、23f=nとおくと
kx－100n=23となる。
これは題意のxに対して正整数kが存在し、それらの積kxの下二桁が23であることを示す。終わり。
505:１３２人目の素数さん
23/01/06 19:28:52.88 4t+yamee.net
もっと簡単だった…
gcd(x, 100)=1の時
kx≡23 (mod 100)を満たす正整数kが存在することを示す。
1≦i<j≦100とすると1≦j－i≦99
よってx(j－i)は100で割り切れない。∴x(j－i)≢0 (mod 100)
これよりmod 100でxiとxjは異なる。
∴集合{xi}と集合{i} (i=1,2,…,100)はmod 100で一致する。
よってxk≡23 (mod 100)を満たす正整数kが(1から100の中に)存在する。
補題の証明で全部終わっていた。
506:１３２人目の素数さん
23/01/06 21:33:12.72 ukozB9zn.net
>>465
この質問は難しいですか？
507:１３２人目の素数さん
23/01/06 21:38:22.53 me89M1yh.net
質問じゃないだろ、馬鹿
508:１３２人目の素数さん
23/01/06 21:39:04.12 me89M1yh.net
回答されてもしらんぷり
答えるほうも答えるほうだよな
509:１３２人目の素数さん
23/01/06 22:29:31.63 ukozB9zn.net
>>492
質問ですよ
昭和には分かりませんかねえ
510:１３２人目の素数さん
23/01/06 23:24:51.20 /jtxRpa/.net
>>490
>> ∴集合{xi}と集合{i} (i=1,2,…,100)はmod 100で一致する。
は
「∴集合{xi}と集合{i|gcd(i,100)=1} はmod 100で一致する。」
の書き損じですよね
>>491
π/e > 1 > e^(0.15) > e^(π-3)
e^3 を掛けると πe^2 > e^π が得られる
511:１３２人目の素数さん
23/01/06 23:44:00.35 ukozB9zn.net
>>495
e^(0.15)=約1.16>1
らしいですがいかがですか
512:１３２人目の素数さん
23/01/07 00:26:27.67 1qUlfnY2.net
>>494
どこが質問だよ、間抜け
おまえも昭和だろうがｗ
513:１３２人目の素数さん
23/01/07 00:36:31.26 1qUlfnY2.net
>>496
計算するまでもなく e^0.15 > e^(π-3)> e^0 =1 だろ
514:１３２人目の素数さん
23/01/07 01:03:23.28 iuAEA/K5.net
3.14^2=9.8596
9.85^2=97.0225
π^7>97*9.85*3.14=3000.113
2.72^8=2996.06...
→
π^7>e^8
(π/e)>e^(1/7)=e^(0.142...)>e^(0.141592...)=e^(π-3)
515:１３２人目の素数さん
23/01/07 01:11:01.68 7HD66pFz.net
>>497
昭和爺さん、ご飯はさっき食べたじゃないですか
516:１３２人目の素数さん
23/01/07 01:11:49.06 7HD66pFz.net
>>498
それ495さんに�
517:ｾってあげてくださいよ
518:１３２人目の素数さん
23/01/07 01:13:14.87 7HD66pFz.net
πe^2とe^πが極めて近いことを見抜いた私の"眼力"…
今後も傑作質問いたしますのでよろしくお願いいたします
519:イナ
23/01/07 01:39:28.45 Kmt217Qd.net
前>>467アンカー訂正。前々>>466
>>469
内接円の半径をrとすると、
ピタゴラスの定理より、
(r+1/4)^2-r^2=r/2+1/16
(r+1/3)^2-r^2=2r/3+1/9
(r+9/7)^2-r^2=18r/7+81/49
三角形の頂点から内接円の接点までの長さを、
短いほうから１,２,３とすると、
１=√(8r+1)/4
２=√(6r+1)/3
３=3√(14r+9)/7
r=1/2とすると、
１=√5/4,２=2/3,３=12/7
∴直径2r=1は妥当。
520:イナ
23/01/07 02:49:51.44 LKCOVBpU.net
前>>504訂正。
作図すると、
内接円の直径は0.9
521:１３２人目の素数さん
23/01/07 04:38:42.79 dEBbic1+.net
>>502
愚問中の愚問。ゴミ問題。今まで見た演習問題の中で最低最悪かつ簡単すぎる愚問。数学にもパズルにもなっていない愚問。
e=2.718…、π=3.141…の時、
e^(π-2)<πを証明する。
下に示す補題(不等式)を用いる
e^x=e+e(x-1)+e(x-1)²/2+e(x-1)³/6… (テイラー展開) より
e^(π-2)<e^1.142
<e(1+0.142+0.142²/2+0.142³/5)
=e(1.142+0.010082+0.0006)
<1.153e <1.153×2.72
<3.14<π (証明終)
補題
a=0.142の時、
a³/3!+a⁴/4!+…<a³/5が成り立つ。
証明
両辺をa³/5>0で割ると
(5/6)+(5/24)a+(5/120)a²…<1
左辺<
(5/6)+(5/24)a+(5/120)(a²+a³+…)
=(5/6)+(5/24)a+(1/24)a²/(1-a)
=20.71/24+0.142²/(24×0.858)
<20.71/24+0.142×0.142/20
=20.71/24+0.142×0.0071
<0.863+0.15×0.008
=0.863+0.0012<1=右辺
522:１３２人目の素数さん
23/01/07 08:29:14.60 1qUlfnY2.net
>>502
電卓いじくって作った馬鹿問題か
>>495も気の毒に,,,
523:１３２人目の素数さん
23/01/07 10:18:45.18 shg5Bkpi.net
>>504
r=2S/(a+b+c)を用いて
方程式 r=sqrt(sqrt(8*r+1)/4*sqrt(6*r+1)/3*3*sqrt(14*r+9)/7)/sqrt(sqrt(8*r+1)/4+sqrt(6*r+1)/3+3*sqrt(14*r+9)/7)
これをWolframに解いてもらうと
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
r?0.449078 アークサインを用いた>475の答と同じ
直径はその二倍なので
直径は 0.898156、約0.9
524:１３２人目の素数さん
23/01/07 11:18:10.18 08ZV5QJk.net
>>496
e^(0.15)=約1.16
これも極めて簡単。愚問以下。
e^x=1+x+x²/2+x³/6…
(マクローリン展開)
<1+0.15+0.15²/2+0.15³/5
(上と同じ不等式。↓に証明)
<1.16125+0.0225×0.03<1.162
∴1.161<e^0.15<1.162
a=0.15の時 a³/3!+a⁴/4!+…<a³/5
が成り立つことの証明
(5/6)+(5/24)a+(5/120)a²+…<1
を示す。左辺
<5/6+5a/24+a²/24(1-a)
<5/6+1/24+1/24=11/12<1
(証明終)