23/01/12 07:23:42.43 Cb9y8kOW.net
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)
K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 m＞＝ 3 が存在して、
K⊂ Q(ζm) 。
例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、
クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。
クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、
基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、
クロネッカーの青春の夢である。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
糞虫1の恍惚の夢
「基礎体が円分体なら、そのアーベル拡大体は円分体の部分体となる！
根拠？俺の直感だ！！！」
もちろんウソ
反例？ 素数pの場合の、x^p-2=0のクンマー拡大ｗ
糞虫１の主張だと、Q(ζp(p-1))の部分体になるらしいが…んなこたぁないｗ
763:１３２人目の素数さん
23/01/12 07:29:38.27 Cb9y8kOW.net
糞虫の（嘘）定理
「いかなる可解群もアーベル群である」
（嘘）証明
いかなる可解群も、定義より正規部分群を反復して取り続けることにより
自身と単位群以外正規部分群を持たないアーベル群にいきつく
また、定義より剰余群もアーベル群である
Ｇの正規部分群がアーベル群で剰余群がアーベル群ならばＧもアーベル群である�
764:I したがって、可解群はアーベル群にしかなり得ない！ は~い、上記の（嘘）証明のどこが嘘でしょうか？あててごらんｗ
765:現代数学の系譜 雑談
23/01/12 10:48:40.97 x9Rqr1y2.net
>>678
>>672 >君は1を自分より下だと見てない？
なるほど
見る人がみれば、>>634 ID:M0jZf/Bt氏の数学力がショボいと分かるんだろうねｗ
勿論、私も同じだけど、サイコパスのおサル>>5も、同様だってことだなｗ
見る人がみれば、分かるんだねｗ
766:１３２人目の素数さん
23/01/12 11:14:00.75 BPvFtgzq.net
>>679
>>673を見れば、数学力がないのは1だとわかるw
767:１３２人目の素数さん
23/01/12 12:13:12.54 phap4r4P.net
>>502
流石は安定の『世間知らずの高枕』バカ。そういうの同意って言わないから。「部分的同意」でさえねぇ｡
お前の言葉選び、やっぱり自己流なのな。小泉進次郎型バカ（何がセクシーだバカ坊が、スマートだろ）のバカ特性も持ち合わせてる事になるな｡
（↑病院勤務で医師免許は持っていないレントゲン技師を医師と公言してるレベルのバカ)
お前みたいな多様性の意味を拡大解釈過剰するバカや、言葉を世界唯一無二自己流で使い回すバカは、仕事を無くす｡
過去の収入有りますアピールに支障を来す言葉遣いや解釈披露をよくもまぁそんな連発できたもんだな｡
768:１３２人目の素数さん
23/01/12 12:33:47.52 phap4r4P.net
>>502
流石は安定の『世間知らずの高枕』バカ。そういうの同意って言わないから。「部分的同意」でさえねぇ｡
お前の言葉選び、やっぱり自己流なのな。小泉進次郎型バカ（何がセクシーだバカ坊が、スマートだろ）のバカ特性も持ち合わせてる事になるな｡
（↑病院勤務で医師免許は持っていないレントゲン技師を医師と公言してるレベルのバカ)
お前みたいな多様性の意味を拡大解釈過剰するバカや、言葉を世界唯一無二自己流で使い回すバカは、仕事を無くす｡
過去の収入有りますアピールに支障を来す言葉遣いや解釈披露をよくもまぁそんな連発できたもんだな｡
769:１３２人目の素数さん
23/01/12 12:40:47.41 phap4r4P.net
全きメクラ資料選びは全き無駄
チョウセンメクラゴミムシなる学名が実在するが
このスレの焦れったい>>1投稿者の集合A爺SetAの学名は
クラベラレタチョウセンニモウンコショクブンカジンニモシツレイナメクラコピペバラマキゴミイカクソクイドクムシ
とすべきだな
770:１３２人目の素数さん
23/01/12 12:49:40.23 k79e4fJG.net
>>683
1はセンチコガネでしょ
見た目はキレイ でもエサは💩w
771:１３２人目の素数さん
23/01/12 13:31:47.77 Q4GcTARz.net
>>683 > クソイカ
クソイカに失礼、クソミマンにも失礼
クソノアシモトニモオヨバヌとすべき
× クソ≧SetA
△ クソ＞SetA
○ クソ≫SetA
◎ 糞毒≫SetA
SetAは輪廻転生させるな、不老不死にして高レベル放射性燃料廃棄物と一緒に固めて沈めろ、永久に
772:１３２人目の素数さん
23/01/12 17:15:17.20 eujZ92Wl.net
演習問題
ｍを正の整数とするとき、位数が2＾ｍである群は可解群であるか？（配点5点）。
773:１３２人目の素数さん
23/01/12 19:19:22.46 Cb9y8kOW.net
Wikipediaより
p-群（ピーぐん、英: p-group）とは、
任意の元の位数が p の冪になっているようなねじれ群をいう。
すなわち p-群において、各元 g は非負整数 n を適当に選べば
g の p^n-乗が単位元に一致する。
有限群の場合には、それが p-群であることと、
その群の位数 (つまり元の個数) が p の冪であることとは
同値になる（コーシーの定理 (群論)より）。
「ほとんどすべての有限群が 2-群である」という都市伝説的な予想がある。
その意味は、位数が高々 n の群の同型類の中に占める 2-群の同型類の個数の割合は
n を無限大に飛ばす極限で 1 になるということである。
たとえば位数高々 2000 の群は 49 910 529 484 種類存在するが、
そのうちの実に 99% 以上が位数 1024 の 2-群で占められている。
Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2002),
“A millennium project: constructing small groups”,
International Journal of Algebra and Computation 12 (5): 623–644,
774:１３２人目の素数さん
23/01/12 20:33:03.04 rZBdR0ez.net
>p-群の中心は自明でないこと
>類等式からすぐに分かる事実のひとつが、非自明な有限 p -群の中心は自明でないことである
を引用しないと。
群Gの中心=Gの任意の元と可換な元の全体のなす部分群
したがって、当然正規部分群。
よって剰余群が作れて、単位群でないならこれもまたp群。
これを繰り返せば、Gの中心=G自体 つまり可換群で終わる。
つまり可解群。
775:１３２人目の素数さん
23/01/12 20:41:26.26 rZBdR0ez.net
Gの位数p^nとして、n≦NならGは可解群が成立するとして
数学的帰納法を使った方が明解かな。
776:１３２人目の素数さん
23/01/12 20:46:05.80 rZBdR0ez.net
バーンサイドの定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
によると、有限群Gの位数の素因数の個数が2個でも可解群。
これによれば、S_5まで非可解群が現れなかったのは必然だったわけですね。
素因数3個が生じる最小だから。
777:現代数学の系譜 雑談
23/01/12 23:47:49.17 x7NPo+If.net
>>685
フーリエ変換やDFTで
代数方程式のべき根表示が得られる話は
どうなりましたか？
ガハハｗｗｗ
778:現代数学の系譜 雑談
23/01/12 23:48:44.70 x7NPo+If.net
>>673 追加
>>465 より再録
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
1 の n 乗根の巾根表示
-n = 11, 13, 7-
2014.12.27 M.Kamei
(引用終り)
１）まず、記号を準備しよう（ほぼKamei氏の通り）
1 の 11 乗根 ζ11、1 の 5 乗根 ζ5、1 の 55 乗根 ζ55
ζ11＝e^2πi/11 ＝cos 2π/11 + i sin 2π/11 など
2cos 2π/11＝ζ11 + 1/ζ11
α＝α1=cos 2π/11,α2=cos 2π2/11,α3=cos 2π3/11,α4=cos 2π4/11,α5=cos 2π5/11 で、これは(ζ11)^k k=1,2・・,5の実数部分
２）また、Kamei氏のβをβkameとする。βkame^5∈Q(ζ5) である
βkame∈Q(ζ55)である
３）体の拡大
Q(α)=Q(α1,α2,α3,α4,α5) ⊂R（つまり実数内）｜Q(α)=Q(α1,α2,α3,α4,α5) は、方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0の最小分解体>>436
Q(α)⊂Q(α,βkame^5)⊂Q(α,ζ5)⊂Q(βkame,ζ5)⊂Q(ζ55)
（Q(βkame,ζ5)≠Q(ζ55)かな）
４）さて、sin 2π/11 のべき根表示はどうなるか？
sin 2π/11＝√(1-(cos 2π/11)^2) 、つまり平方根を開く必要がある
なので、βkame∈Q(ζ55) を思い出すと
sin 2π/11のべき根表示に使うβkame相当のものをγkameとして
γkame∈ Q(ζ110) | 110＝2x55
だろう
そもそも、1 の 11 乗根のガロア群は位数10の巡回群だった
cos 2π/11の系統のみを取り出して、位数5の巡回群として、Q(ζ55)でべき根表示を得た
だから、sin 2π/11のべき根表示は、γkame∈ Q(ζ110)で、辻褄はあっているだろう
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円分体
779:現代数学の系譜 雑談
23/01/12 23:50:44.93 x7NPo+If.net
>>690
ありがとうございます/
それ、面白そうだね
780:１３２人目の素数さん
23/01/13 00:13:55.09 WX8tL/5u.net
>>692
Q(ζ55)⊂Q(ζ110)だと思ってる考え無しのバカ発見！
ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ
781:１３２人目の素数さん
23/01/13 00:17:25.32 WX8tL/5u.net
>>693
>>688のロジックではなく、ただのコピペ知識である>>690
に感心するのがコピペバカらしい...
782:１３２人目の素数さん
23/01/13 03:31:28.59 C3eRYlyK.net
任意に有限置換群Gが与えられたときに、
それをガロア群とする代数方程式、
たとえば係数体がQであるものは
どうやって作成すればよいだろうか？
783:１３２人目の素数さん
23/01/13 06:07:02.78 FpegOxNI.net
>>692
β∈Q(ζ55)は、定義�
784:ｩら明らかなのであって β^5∈Q(ζ5)から導かれるわけではないがな >>694 >Q(ζ55)⊂Q(ζ110)だと思ってる考え無しのバカ発見！ >ζ110=-ζ55 なんですが ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110 と馬鹿丁寧に書かんと分からんだろうな なにしろ自分勝手な思い込みに固執する馬鹿だから
785:１３２人目の素数さん
23/01/13 06:14:16.60 FpegOxNI.net
(cos 2π/11) は (ζ11+1/ζ11)/2 なので、もちろんQ(ζ11)
(sin 2π/11)*i は (ζ11-1/ζ11)/2 なので、もちろんQ(ζ11)
ζ5はもちろんQ(ζ11)
Q(ζ55)はζ5とζ11を含む円分体
だから β∈Q(ζ55) だというだけ
こんなことでクロネッカー・ウェーバーとかいう1が馬鹿
786:１３２人目の素数さん
23/01/13 06:16:24.31 FpegOxNI.net
>>695
1は考えないから、完成した知識にしか関心できない
数学でもなんでも知識の集積としかとらえられない
また知識だけあれば数学でもなんでも最前線にいけると
わけもわからず盲信する正真正銘の馬鹿
787:１３２人目の素数さん
23/01/13 06:24:55.65 FpegOxNI.net
1は β^5∈Q(ζ5) となる理由が解ってない
5根 cos(2πn/11) (n=1~5)
をいかなる順序で並べても、
そこから出来るβ*は
その定義式からQ(ζ55)に属する
し・か・し、それだけでは
いかなるβ*^5もQ(ζ5)に属する
つまり、β*を5乗することによって
cos(2πn/11) (n=1~5)が消える、
とは言えない
788:現代数学の系譜 雑談
23/01/13 08:04:51.82 YywdYBMk.net
>>692 補足
> ２）また、Kamei氏のβをβkameとする。βkame^5∈Q(ζ5) である
> βkame∈Q(ζ55)である
追加（自明だが）
1)βkame^5 not∈R |実数ではない
2)βkame not∈R |実数ではない
さて
βkame^5 not∈R のところ
βkame^5の選び方を工夫して
実数にできないか
という問題だが
出来ない気がする（不還元類似かな＊））
（ ＊）注：あるa∈Qで、x^5 -a=0 の根全てを表示するにはζ5を必要とするが、それとは別に、a自身をQ(ζ5)中の実数に選べないかだが）
(参考)
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
Akinari Hoshi
Chair, Department of Mathematics
Professor of Niigata University
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
[非常勤講師] 前期
早稲田大学教育学部数学科
代数序論B (木2)代数序論A (木3)
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
代数序論（第 14 回・2012/07/19）
P3
例2 をよく見ると，解は 3 つとも実数解なのにも関わらず，カルダノの公式では，3 つの解を
表示するのに，複素数が必要になっている．
3 つの実数解を持つ場合は「不還元」(casus irreducibilis) とも呼ばれる．これは，3 つの実数
解を表す解の公式は，実数の中の世界だけで生きていては作れない，それまでは不合理なも
のと考えられていた「複素数」の世界にまで数の世界を拡張して，初めて解の公式が作れる
ことを表している．「複素数」がいかに自然なものかが明らかになったのである．
789:現代数学の系譜 雑談
23/01/13 08:32:24.25 YywdYBMk.net
>>696
>任意に有限置換群Gが与えられたときに、
>それをガロア群とする代数方程式、
>たとえば係数体がQであるものは
>どうやって作成すればよいだろうか？
良い質問ですね
ガロアの逆問題です（下記）
かなり解決されているが、未解決だという
大きな進展を作れば、フィールズ賞も可能性ありでしょうね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロアの逆問題
ガロアの逆問題（ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem）とは、全ての有限群が有理数体
790:Q のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、ガロア理論の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された[1]未解決問題である。 いくつかの置換群については、その置換群がガロア群となるような有理数体 {\displaystyle \mathbb {Q} }\mathbb{Q} の代数拡大を全て与える生成的多項式（英語版）が知られている。
791:１３２人目の素数さん
23/01/13 08:47:53.95 FpegOxNI.net
>>701
>βkame^5 not∈R のところ
>βkame^5の選び方を工夫して
>実数にできないかという問題だが
>出来ない気がする（不還元類似かな＊））
「気がする」で終わる（死ぬ）のが1
さて700で述べたことだが
5根の120通りの並び全てについて
ラグランジュ分解式β*がつくれるが
このうちβ*^5∈Q(ζ5)となるのは20通り
Q. β*^5がQ(ζ5)に属さないようなβ*を示せ
できるかな？1
792:１３２人目の素数さん
23/01/13 09:11:02.08 FpegOxNI.net
>>704
>>任意に有限置換群Gが与えられたときに、
>>それをガロア群とする代数方程式、
>>たとえば係数体がQであるものは
>>どうやって作成すればよいだろうか？
>良い質問ですね
で終わる（死ぬ）のが1
ガロアの逆問題
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
楕円モジュラー関数を使った構成
n > 1 を任意の整数とする。
複素平面上の格子 Λ の周期の比を τ とすると、
この格子は周期の比が nτ であるような部分格子 Λ′ を持つ。
そのような部分格子の集合は有限集合であり、
Λ の基底変換によりモジュラー群 PSL(2, Z) が作用している。
j をフェリックス・クラインの楕円モジュラー関数 とする。
多項式 φn を、共役な部分格子にわたって
(X － j(Λi)) の積をとったものとして定義する。
X の多項式として、φn は Q 係数のj(τ)の多項式を係数としている。
互いに共役な格子の集合に、 モジュラー群は PGL(2, Z/nZ) として作用している。
これから、φn の Q(j(τ)) 上のガロア群は PGL(2, Z/nZ) と同型であることがわかる。
ヒルベルトの既約性定理を使うことにより、多項式 φn を特殊化したときの
Q 上のガロア群が PGL(2, Z/nZ) となるような有理数が
無限（更に、稠密）に多く存在する。
群の族 PGL(2, Z/nZ) には無限に多くの非可解群が含まれている。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
793:１３２人目の素数さん
23/01/13 09:29:06.29 FpegOxNI.net
1に捧ぐ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
794:１３２人目の素数さん
23/01/13 14:29:18.55 FpegOxNI.net
♪三度の飯よりマウントが好き
無能をみとめて土下座をするより
死ぬのがいいわ
死ぬのがいいわ
795:１３２人目の素数さん
23/01/13 19:13:12.29 FpegOxNI.net
この人がおっちゃんに対してやってることを
自分はナニワのジコチュウヤンキー1に対してやる
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
796:現代数学の系譜 雑談
23/01/13 19:59:38.36 YywdYBMk.net
>>702 補足
由井典子氏 Noriko Yui 津田塾大か
寡聞にしてご存じ無かったな！
彼女の本
”Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem”
2002
のPDFが落ちていたので貼る（最後から2行目ね）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Noriko Yui
Noriko Yui is a professor of mathematics at Queen's University in Kingston, Ontario.
Career
A native of Japan, Yui obtained her B.S. from Tsuda College, and her Ph.D. in Mathematics from Rutgers University in 1974 under the supervision of Richard Bumby.[1]
Her research is based in arithmetic geometry with applications to mathematical physics and notably mirror symmetry.[2] Currently, much of her work is focused upon the modularity of Calabi-Yau threefolds. Notably, she and Fernando Q. Gouvea have shown that for X, a projective rigid Calabi-Yau threefold defined over Q , the L-function of X is the L-function of a certain modular form.[3]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロアの逆問題
参考文献
Christian U. Jensen, Arne Ledet, and 由井典子（英語版）, Generic Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem, Cambridge University Press, 2002.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Inverse Galois problem
Notes
1．URLﾘﾝｸ(library.msri.org)
Christian U. Jensen, Arne Ledet, and Noriko Yui, Generic Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem Cambridge University Press 2002
797:１３２人目の素数さん
23/01/13 20:32:35.07 FpegOxNI.net
>>708
ラグランジュ分解式の初歩も分からん馬鹿が
利口ぶってトンチンカンコピペ貼るな
数学板が💩塗れになる
798:１３２人目の素数さん
23/01/13 20:46:05.98 FpegOxNI.net
馬鹿１は
「全ての有限群が有理数体Qのガロア拡大のガロア群として現れるかどうか」
を問うガロアの逆問題を
「全ての有限群が体Kをガロア拡大とするガロア群として現れるかどうか」
という自明な問題と取り違えた
799:１３２人目の素数さん
23/01/13 21:00:42.20 FpegOxNI.net
１．いかなる有限群も対称群の部分群である
２．また一般にｎ次方程式で、
そのＱ上のガロア群がｎ次対称群となるもの
が存在する
３．ガロア群がGとなるF上のガロア拡大体Kがあるとして
Gの任意の部分群Hについて、以下の性質を満たす
FとKの中間体Ｍが存在する
「KがＭ上のガロア拡大体となり、そのガロア群がHとなる」
（ガロア理論の基本定理！）
４．１，２，３により、任意の有限群Ｇについて、
ＱとＫの中間体Ｆで、ＫがＦ上のガロア拡大体となり
Ｇがそのガロア群になるようなものが存在する！
５．なお、３でHがGの正規部分群である必要はない
HがGの正規部分群である場合にさらに言えることは以下の通り
「MがFのガロア拡大体となり、そのガロア群がG/Hとなる」
800:現代数学の系譜 雑談
23/01/13 23:39:34.56 YywdYBMk.net
>>694 >>697
>>Q(ζ55)⊂Q(ζ110)だと思ってる考え無しのバカ発見！
>>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ
>ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は
>ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i
>だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は
>ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110
>と馬鹿丁寧に書かんと分からんだろうな
ふふっ
１）「ζ110=-ζ55」だってね
これ間違いだと、気付きましたかね？ｗ
（まさか気づいてない？ ありえんだろうがねｗ）
２）で、必死の取り繕いが>>697かな？ｗ
「ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110」
だって？
これ、恥の上塗りですよね？ｗｗ
３）「ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOK」？
なにそれ？
これも、意味不明！ｗ
なんだかね
上記の短い書込み中に、どれだけの間違いがあるのか？ｗ
良質の工学技術者ならば、当然気づくべき間違いが、多いな
些末な話でなく、根本の理解が出来てない
だから、間違うのだし、間違いに気づかないんだねｗ
なんだかね
これ、工学屋ならば、致命傷だな
こんなデタラメ見逃したら
ビルは傾くし、橋は落ちるだろうｗ
801:１３２人目の素数さん
23/01/14 00:30:00.16 yEN98pXx.net
１の原始５５乗根の－１倍は１の原始１１０乗根。
１の原始１１０乗根の－１倍は１の原始５５乗根。
802:１３２人目の素数さん
23/01/14 05:41:35.41 pTLy1rYf.net
>良質の工学技術者
ハハハハハ！ これ笑うとこ？
あんた只のコピペバカやし、会社でも仕事してないやんｗｗｗ
803:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 06:14:16.85 AEfDxZC9.net
>>712
>「ζ110=-ζ55」だってね
>これ間違いだと、気付きましたかね？
おやおや、1クンは、1の原始n乗根の定義、知らないんだね
1の冪根
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、
n乗して
804:初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。 全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、 1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、 または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 上記を読めばわかるとおり、1の原始n乗根は、1つとは限らない >(ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i として) >「ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110」だって？ >これ、恥の上塗りですよね？ いや 高校2年でも、正しいと分かるよｗ ζ55=cos(2π/55)+sin(2π/55)i として ζ55^28 ＝(cos(2π/55)+sin(2π/55)i)^28 =cos(2π*28/55)+sin(2π*28/55)i =cos(2π*56/110)+sin(2π*56/110)i =cos(2π*(55+1)/110)+sin(2π*(55+1)/110)i =(cos(2π*55/110)+sin(2π*55/110)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =(cos(2π*1/2)+sin(2π*1/2)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =(cos(π)+sin(π)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =(-1)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =-(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =-ζ110 ですが? 何か質問はあるかい？ （つづく）
805:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 06:15:25.87 AEfDxZC9.net
>>715のつづき
>良質の工学技術者ならば、当然気づくべき間違いが、多いな
>根本の理解が出来てない
>これ、工学屋ならば、致命傷だな
1クンが、
工学技術者として極めて悪質であり、
工学屋失格であることが完全に露見したな
だって、
・三角関数の加法定理が分かってない
・そもそもcos(π)=-1、sin(π)＝0が分かってない
んだもん
そりゃ工業高校１年中退って言われるわ
三角関数出てくるの高校2年だし
>こんなデタラメ見逃したら、ビルは傾くし、橋は落ちるだろう
確実にいえるのは、1クンは電気技術者ではない、ってことだな
これじゃモーター回らんよ マジで
806:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 06:21:49.51 AEfDxZC9.net
かねがね、1クンは
「大学1年の数学が全然分かってない」
といわれてましたが、実は
「高校2年の数学から分かってない」
と露見しました！
いやいや、三角関数の加法定理が分かってないとは・・・
おそらく、１は
「うっかり、複素数の乗法の公式を忘れていたよ」
とシレっといいわけするでしょうが・・・ありえんわ
忘れていたのではなく、そもそも知らなかったんでしょう
三角関数や複素数が分かってないのに、
現代数学の理解なんて、ありえんわ
1クンは、高校数学からやり直したほうがいいでしょう（ビシッ）
807:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 06:53:33.74 AEfDxZC9.net
大学の理系学部を受験したことがある人なら
知らない人はいないといわれる鉄板ネタですが
「三角関数の加法定理の式は、複素数の乗法の式から導ける」
cos(θ+φ)+sin(θ+φ)i
=(cos(θ)+sin(θ)i)*(cos(φ)+sin(φ)i)
=cos(θ)cos(φ)+(cos(θ)sin(φ)+sin(θ)cos(φ))i+(sin(θ)sin(φ))i^2
=(cos(θ)cos(φ)-sin(θ)sin(φ))+(cos(θ)sin(φ)+sin(θ)cos(φ))i
いやー、加法定理の証明忘れても、これ忘れる奴はいない
ってくらいのもんですがねー
808:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 06:57:09.35 AEfDxZC9.net
伝統ある大阪市立の工業高校がピンチ。
URLﾘﾝｸ(news.yahoo.co.jp)
あぁ・・・
809:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 07:11:44.11 AEfDxZC9.net
>>714
>>良質の工学技術者
> ハハハハハ！ これ笑うとこ？
嘆くところでしょうな
仮に1が自ら述べるように
「某国立大学工学部卒の工学博士様」
だとして、それが事もあろうに
「高校２年生で習う三角関数と複素数の基本が分かってない」
とするといったい大学の入試でなに問うてんだ講義で何教えてんだ
ってことになりますねぇ
ところで工学博士って数学抜きでなれちゃうもんなんですか？
810:１３２人目の素数さん
23/01/14 07:12:13.31 ck+Y+SyD.net
含むガロア理論スレ立てた人って1の原始n乗根知らなかったんですか？
どんなギャグですか？
811:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 07:15:39.65 AEfDxZC9.net
本日からこのスレは
基礎数学（特に三角関数・複素数）12
とタイトル変更しました
ま、１が三角関数も複素数も根本から分かってなかったら
円分体の計算全く出来んのムリないわ･･･
812:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 07:20:14.22 AEfDxZC9.net
>>721
「1の原始n乗根」どころか、
そもそも三角関数も複素数も分かってなかった
って感じですね いやはや
やっぱり国立大学卒はフカシで
工業高校１年中退が真実のようです
というか、仮に万が一国立大学卒なら
日本の大学教育の空洞化がここまで進んだかと
嘆かざるをえないほど致命的です
これじゃ韓国・中国どころかラオス・ミャンマーにも負けるわ
813:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 07:27:13.38 AEfDxZC9.net
まあ、三角関数や複素数を知らん1程度でも
経済学者にはなれるかもしれませんね
とある人に言わせると、経済学はlog知ってればOKらしいですから
ホントかどうか知りませんが まんざらウソでもなさそうです
814:１３２人目の素数さん
23/01/14 07:30:33.43 RimGxEMT.net
ガンマ関数を知らないとまずくない？
815:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 07:37:46.52 AEfDxZC9.net
>>725
複素関数は知らなくても大丈夫じゃないか、ということらしいです
816:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 07:42:57.72 AEfDxZC9.net
ちなみに、とある人にいわせると
「経済学者はロトカ・ヴォルテラの方程式も知らん
あいつらいったいなにやってんだかわからんな」
ということでした
どうも、サイクルが陽に現れない経済学はウソっぱちだといいたいようです
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
817:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 11:06:30.79 AEfDxZC9.net
1の原始2乗根は-1
1の原始3乗根は(-1+√-3)/2と(-1-√-3)/2
さて
Q1. 1の原始4乗根は？
Q2. 1の原始6乗根は？
cosとかsinとか使わずに書いてね
818:わかるすうがく 近谷蒙 ◇nSGM2Czuyoqf
23/01/14 11:09:23.92 AEfDxZC9.net
nを奇数とする
1の原始n乗根をζnとし、
これをQに添加した体をQ(ζn)とする
Q3．さて、1の原始2n乗根ζ2nは、Q(ζn)に含まれるか？
Yes/Noと、その理由を答えよ
819:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 11:22:12.48 AEfDxZC9.net
nを5以上の奇数とする
cos(2π/n)＝ζn+1/ζnは、Q(ζn)の要素である
さて
Q4.sin(2π/n)=(ζn-1/ζn)*iが含まれるQ(ζm)で、最小のmはいくつか？
820:１３２人目の素数さん
23/01/14 12:45:15.74 8do4RO6e.net
χ２乗分布の特性関数は複素関数
821:１３２人目の素数さん
23/01/14 14:22:03.45 pTLy1rYf.net
1は「総実数体上の総虚2次拡大」なんて言葉は知らないだろうし
円分体（1のべき根の体）がそうだということも知らない。
Q(exp(2πi/11))であれば、その実数部分はQ(cos(2π/11))．
つまり、Q(exp(2πi/11))/Q(cos(2π/11))が虚の2次拡大。
では、sin(2π/11)はどこに入るか？
実は、Q(sin(2π/11))⊃Q(cos(2π/11))という
包含関係があり、Q(sin(2π/11))/Q(cos(2π/11))
は実の2次拡大であることが分かるので
sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。
Q(exp(2πi/44))に含まれる。こういう包含関係の
「地図」が頭の中になくて>>692のような誤りを
平気で書くひとが、工学分野では秀でているなんて
ことは考えられない。
822:１３２人目の素数さん
23/01/14 14:26:08.95 pTLy1rYf.net
>>730
>Q4.sin(2π/n)=(ζn-1/ζn)*iが含まれるQ(ζm)で、最小のmはいくつか？
m=4nですね。このとき
Q(ζm)=Q(ζn,i)=Q(ζn,sin(2π/n))が成立する。
いずれにしてもQ(ζm)/Q(ζn) は2次拡大で、それが最小。
823:１３２人目の素数さん
23/01/14 14:32:04.25 pTLy1rYf.net
一般の場合を考えてみよう。
m,nを互いに素な正整数（ただし、n≠1,2）とする。
Q(exp(mπi/n))の実数部分はQ(cos(mπ/n))で与えらえる。
つまり、Q(exp(mπi/n))は総実数体Q(cos(mπ/n))の総虚2次拡大。
これはいいだろう。問題は
Q(cos(mπ/n))とQ(sin(mπ/n))の関係。
これはnｂﾌみによって決ｂﾜり
Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき）
Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき）
Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れるとき）
が成立する。
824:１３２人目の素数さん
23/01/14 14:34:24.32 pTLy1rYf.net
>これはnｂﾌみによって決ｂﾜり
ん？文字化け。
これはnのみによって決まり
825:１３２人目の素数さん
23/01/14 14:50:13.18 pTLy1rYf.net
大分前に書いたことがあるが、この事実から
θ=mπ/n のとき
√(1-(sinθ)^2), √(1-(cosθ)^2)
の少なくとも一つのルートが外れるという
著しいことが言える。しかも
αを無理数として
θ=απのときは、「ほとんどすべて」の
αに対しては上記のルートが両方とも外れないことも
別系統の簡単な議論から分かる。
826:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 15:01:20.65 AEfDxZC9.net
>>732-736 こんにちは
>>730を出題したとき、あなたが以前書いてたことを思い出しました
やっぱり4nでいいんですね
sin(2π/n)*iだったら、もちろんQ(ζn)ですが、
iで割るには、iがないといけませんからねえ
ま、n=3なら、1/2だからQに入っちゃってますけど
（だからnが5以上だとした）
827:１３２人目の素数さん
23/01/14 15:22:55.68 pTLy1rYf.net
>>737
どうもです。覚えて下さっていて光栄ですｗ
数学的には決して難しい議論ではないはず
（体論の初歩程度）ですが
1は前スレで
>例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
とアホなこと書いていたくらいなので
正確に理解することは無理でしょうｗ
828:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 16:42:17.05 AEfDxZC9.net
>>738
＞数学的には決して難しい議論ではないはず
＞（体論の初歩程度）ですが
アハハハハ💦
・・・すみません、以前も質問したかもしれませんが
＞Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき）
は倍角の公式を使えばいいとわかったんですが
＞Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき）
がどうもわかりませんでした
n→2nのときには、左辺と右辺に変化ありましたっけ？
829:１３２人目の素数さん
23/01/14 17:15:28.59 pTLy1rYf.net
>>739
m/n+1/2=(2m+n)/2n でsinとcosが入れ替わるということから分かります。
>Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n))
を証明するのはやや難しく、倍角では行けないと思う。
大げさに言えば「ガロア群の計算」が必要。
Q(cos(mπ/n))=Kとおくと
Q(exp(mπi/n))=K(i*sin(mπ/n))で、これはKの虚2次拡大。
2が素数であることから中間体が存在しない、従って
i∈Q(exp(mπi/n))とsin(mπ/n)∈K が同値になる。
nが奇数のとき、i\not∈Q(exp(mπi/n))
は円分体の知識があれば分かるが、その証明は
正確には円分多項式の既約性のようなことに帰する。
これはわたしが悪いのですが、前のときは
わたしは最後まで証明を書きませんでした。
貴方様は問題を出された場合、最後まで解答は書かれますね。
830:１３２人目の素数さん
23/01/14 17:21:58.76 pTLy1rYf.net
nが奇数のとき、倍角公式で行けるのは
（つまり高校レベル）
cos(mπ/n)∈Q(sin(mπ/n))で
sin(mπ/n)\not∈Q(cos(mπ/n))
の証明（大学レベル）は
上記の通りやや難しいという話。
831:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 17:29:46.75 AEfDxZC9.net
>>740
>>Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n))
>を証明するのはやや難しく、倍角では行けないと思う。
>大げさに言えば「ガロア群の計算」が必要。
ああ、やっぱり難しいんですね
（簡単だったらどうしようかと思ってたｗ）
>Q(cos(mπ/n))=Kとおくと
>Q(exp(mπi/n))=K(i*sin(mπ/n))で、これはKの虚2次拡大。
そこはわかりました
>2が素数であることから中間体が存在しない、
>従ってi∈Q(exp(mπi/n))とsin(mπ/n)∈K が同値になる。
・・・なるほど、そうですね
>nが奇数のとき、i\not∈Q(exp(mπi/n))
>は円分体の知識があれば分かるが、
まあ、直感的にはわかりますね
ん？もしかして、私、カン違いしてたかな？
>>734で
ｎが奇数のときって、もしかして円の２ｎ分割ですかね？
じゃ２ｎは、円の４ｎ分割か だったら
Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n))
というのは、分かります（ほんとかｗ）
で、４ｎが、円の８ｎ分割だとして、
Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n))
そういうことなら、２ｎと４ｎの違いはもうちょっと考えますわ
んー、そういえば、前はそういうことで理解したような気が・・・ｗ
832:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 18:04:49.55 AEfDxZC9.net
>>742
やっぱり私がカン違いしてましたね
>>734
＞m,nを互いに素な正整数（ただし、n≠1,2）とする。
＞Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき）
＞Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき）
＞Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れるとき）
2が掛かってないので半円
で、m,nは互いに素という条件で、
EXCELで計算すると確かにそうなってますね
833:現代数学の系譜 雑談
23/01/14 19
834::27:09.68 ID:p/slNf5Z.net
835:現代数学の系譜 雑談
23/01/14 19:27:37.98 p/slNf5Z.net
>>744
つづき
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1の冪根
1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。
全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。
1の原始冪根
複素数の範囲では、1 の原始n乗根は n >= 3 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、
ζn =cos 2π/n +isin 2π/n
は 1 の原始n乗根の一つであることが分かる。
この時、ζn の共役複素数 ζn も 1 の原始n乗根である。
n と互いに素な自然数 m に対して ξn^m は 1 の原始n乗根であり、逆に 1 の原始n乗根はこの形に表せる。
すなわち、1 の原始n乗根は、オイラーのφ関数を用いて、φ(n) 個だけ存在する。
方程式 x^n = 1 を考える。この方程式の解は、ド・モアブルの定理より、
ζn =cos 2πk/n +isin 2πk/n (k=1,2,・・,n)
であるが、1 の原始n乗根 ξn を一つ選べば、
x=ξn^k (k=1,2,・・,n)
と書くことができる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cyclotomic field
In number theory, a cyclotomic field is a number field obtained by adjoining a complex root of unity to Q, the field of rational numbers.
Definition
For n >= 1, let ζn = e^2πi/n ∈ C; this is a primitive nth root of unity. Then the nth cyclotomic field is the extension Q(ζn) of Q generated by ζn.
Small examples
n = 3 and n = 6: The equations ζ3={-1+√-3}/2 and ζ6={1+{√-3}/2 show that Q(ζ3) = Q(ζ6) = Q(√?3), which is a quadratic extension of Q. Correspondingly, a regular 3-gon and a regular 6-gon are constructible.
URLﾘﾝｸ(univ-juken.com)
受験辞典
互いに素とは？意味や証明問題を簡単にわかりやすく解説！ 2022年4月14日
互いに素とは、2 つの整数の最大公約数が 1 であることです。
以上
836:現代数学の系譜 雑談
23/01/14 19:46:58.75 p/slNf5Z.net
>>436
>フーリエ解析の序章
>URLﾘﾝｸ(www.sugakushobo.co.jp)
>杉山健一 著
本来ました
いま手元にあります
これを見ても
とても
代数方程式のべき根解法の
役に立つとは思えないね
837:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 20:54:04.53 AEfDxZC9.net
>>744
＞ありがとう
違う そうじゃない
１ 君が真っ先にやることは
「私が間違ってましたぁぁぁぁぁ！」
とジャンピング土下座で額を地面に叩きつけて謝罪することｗ
さ、やってみ 工業高校１年中退のナニワのヤンキー
全身根性焼きされたくないだろ？ｗ
838:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/14 21:01:01.83 AEfDxZC9.net
>>744
＞-ζ110 ＝cos 2π/110 -isin 2π/110
＞＝cos (2π/110+π)+isin (2π/110+π)
＞＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55)
＞＝ζ110^28
はい、最終行間違いｗ 正解はζ55^28ね
良質の工学技術者ならば、当然気づくべき間違い
根本の理解が出来てない
これ、工学屋ならば、致命傷
ま、死ななくていいよ
ここに書き込まなければ
今すぐ実践しろな 工業高校１年中退のナニワのヤンキー
839:現代数学の系譜 雑談
23/01/14 23:21:13.95 p/slNf5Z.net
>>712
再録
>>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ
>ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は
>ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i
>だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は
(引用終り)
１）代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する
２）一つは、下記の”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元”
こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる”
（石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」は こちら）
３）もう一つは、先の>>745のように ”1の原始冪根”に関して、”1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという”
こちらは、”ζn =cos 2π/n +isin 2π/n は 1 の原始n乗根の一つである”
この場合、普通に ζn =cos 2π/n +isin 2π/n を原始n乗根として採用する
４）この二つを混同する人がいるようだね
「ζ110=-ζ55」とは？ なんだかね。 微笑ましいねｗｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96)
指数 (初等整数論)
定義
n を法とする原始根とは、n を法とする既約剰余類全体が乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元のことである。
原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる。
つづく
840:現代数学の系譜 雑談
23/01/14 23:21:41.66 p/slNf5Z.net
>>749
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Primitive root modulo n
Definition
If n is a positive integer, the integers from 0 to n - 1 that are coprime to n (or equivalently, the congruence classes coprime to n) form a group, with multiplication modulo n as the operation; it is denoted by Z^×n, and is called the group of units modulo n, or the group of primitive classes modulo n.
As explained in the article multiplicative group of integers modulo n,
this multiplicative group (Z^×n) is cyclic if and only if n is equal to 2, 4, p^k, or 2p^k where p^k is a power of an odd prime number.[2][3][4]
When (and only when) this group Z^×n is cyclic, a generator of this cyclic group is called a primitive root modulo n[5] (or in fuller language primitive root of unity modulo n, emphasizing its role as a fundamental solution of the roots of unity polynomial equations X^m - 1 in the ring Zn), or simply a primitive element of Z^×n.
When Z^×n is non-cyclic, such primitive elements mod n do not exist. Instead, each prime component of n has its own sub-primitive roots (see 15 in the examples below).
(引用終り)
以上
841:現代数学の系譜 雑談
23/01/14 23:32:04.71 p/slNf5Z.net
>>712
>>ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110
>>と馬鹿丁寧に書かんと分からんだろうな
さて、次はこれね
”ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110”
最初と最後をつなぐと
ζ110=-1*ζ110
これで、右辺を左辺に移項して
2*ζ110=0
よって
ζ110=0
これは、ζ110≠0と矛盾（x^110=1の根だから）
なにやってるんだろ？ｗ
842:現代数学の系譜 雑談
23/01/14 23:39:08.44 p/slNf5Z.net
>>748
>＞＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55)
>＞＝ζ110^28
>はい、最終行間違いｗ 正解はζ55^28ね
おお、ありがとうね
>>744を 早速修正
＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55)
＝ζ110^28
↓
＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55)
＝ζ55^28
です
843:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 07:12:05.45 KCopoF1R.net
>>749
>代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する
それ、乗法群(Z/nZ)× と 加法群(Z/nZ) の違い
>一つは、”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元”
>こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる”
上記がベキ乗()^aで巡回する場合の(指数の)乗法群の生成元a（指数は×a)
たとえばmod 5のときの
1→2→4→3→1 の2
1→3→4→2→1 の3
>もう一つは、 ”1の原始冪根”に関して、
>”1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、
>n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという”
上記は、x^a*()で巡回する場合の(指数の)加法群の生成元x^a（指数は+a)
この場合、どのnでも生成元は存在する
0→1→2→…→n-1→0
ただし、x^aが生成元となるには、aがnと互いに素であるのが必要十分
例えば、n=6の場合は、x^1,x^5が生成元
n=55の場合は、aが5の倍数もしくは11の倍数以外なら、生成元
したがって28ならOK
1はいまだに(Z/nZ)×と(Z/nZ)が群として異なることが分かってないみたい
844:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 07:14:47.33 KCopoF1R.net
>>751
はっはっは よく見つけたね、エライエライ（真上から見下ろす）
>ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110
正しくは
ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-(-1*ζ110)
1クン、直すならここまでやらないと高校の数学の試験でペケだよ
じゃあね~~~
845:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 07:28:40.01 KCopoF1R.net
>>749
>「ζ110=-ζ55」とは？ なんだかね。 微笑ましいねｗｗｗ
その発言が、嘆かわしいね
上記の場合、加法群（Z/110Z）および（Z/55Z）でしか考えていない
（ここでいう加法は指数における加法
巡回の操作が「原始根を掛ける」から乗法群
とかいうのは初歩的誤解）
nが奇数の場合、
1のn乗根ζn^m(m=0~n-1)の、どれをとっても
ζn^l=-ζn^m となるl,mは存在しない
で、ζ110,ζ55を、1の原始110乗根、原始55乗根（１つとは限らない）とするなら、
ζ110=-ζ55 となるようにとれるというのは、数学として正しい
846:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 10:47:26.10 fdSQKtbP.net
>>753
>>代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する
>それ、乗法群(Z/nZ)× と 加法群(Z/nZ) の違い
違うよ
原始根の一つは、乗法群(Z/nZ)×関連で
石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」にあるけど
さらに、11節「既約剰余類群を解剖する-(Z/pZ)×の構造」につながって
11節の最後に”この定理は最後のピークの定理を証明するときに大活躍します”とある
つまり、ガロア理論の群論側で活躍するのだが、円分体でも活躍するってことだね
（石井本では、第4章 3～6節、第6章 1、6節）
もう一つは、体の拡大K/k（下記）を考えると
K の元 αを一つ添加すると、k(α)に、α,α^2,α^3・・,α^n,・・が含まれることになる
αが、超越数のとき、上記は無限に続いてすべて代数的独立だね
一方、αが代数的数で、k 係数多項式 f(X) でｎ次式の根とする
α^(n+1)は、ｎ次以下に落とせる
つまり、トリビアだけど
f(X) ＝anx^n+an-1x^(n-1)+・・a0として
anx^n＝-{an-1x^(n-1)+・・a0}+f(X)
x=αを代入して
anα^n＝-{an-1α^(n-1)+・・a0} （f(α)＝0だから）
α^(n+1)＝-{α(an-1α^(n-1)+・・a0}/an
となるよね
だから、体の拡大では、α,α^2,α^3・・,α^n,・・とあるときには
まずk(α)を考えろというのが、普通だろ？
勿論、円分体のように特殊な場合は、α^2とかα^3とかが原始根になっているときもあるだろうが
一般的には、α^2とかα^3とかは、原始根で無い可能性が高いよ
だから
>>712より
再録
>>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ
>ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は
>ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i
>だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は
(引用終り)
って、”あんた、体の拡大分かってんの？”って話ですｗ
ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110)
ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55)
を、考えるべし
だから、「ζ110=-ζ55」ってｗ
つづく
847:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 10:48:10.71 fdSQKtbP.net
>>756
つづき
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
体の拡大
代数性・超越性
K/k を体の拡大とするとき、K の元 α が k 上代数的（だいすうてき、algebraic over k）であるとは、k 係数多項式 f(X) で α が f(X) の根となるようなものが存在するときにいう[6]。k 上代数的な K の元 α を根に持つ k 係数多項式でモニックかつ次数最小のものを α の k 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、minim
848:al polynomial）とよび[7]、Irr(α, k, X) のように記す。拡大 K/k で K の各元がすべてk 上代数的であるとき、拡大 K/k は代数的であるといい[8]、K を k の代数拡大体という。拡大 T/k がk 上代数的でないとき、拡大 T/k は超越的（ちょうえつてき、transcendencial）であるという[8]。T の元 t はk 上代数的でないとき k 上の超越元という。t がk 上超越的であることは、「k 上の多項式 f(X) が f(t) = 0 となるならば f = 0 である」ことと同値であり「k に t を添加した体 k(t) は一変数代数関数体 k(X) に同型である」こととも同値である。拡大 T/k が超越的であることは、k 上超越的な T の元 t が少なくともひとつ存在する事と同値である。 (引用終り) 以上
849:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 11:21:01.55 KCopoF1R.net
>>756
>>それ、乗法群(Z/nZ)× と 加法群(Z/nZ) の違い
>違うよ
すぐ、考えなしに脊髄反射で「違うよ」というから間違うんだよ 1は
>もう一つは、
>K の元 αを一つ添加すると、
>k(α)に、α,α^2,α^3・・,α^n,・・が含まれることになる
だからそれが円分体の場合、(Z/nZ)
1のn乗根で、mがnの約数だったら、
aをcos(2π/m)+sin(2π/m)iとした場合
a^mのベキだけでは根の全てを生成しない
つまり、原始根でないっていうこと
>だから”あんた、体の拡大分かってんの？”って話ですｗ
あいかわらずトンチンカン
無関係に大袈裟な話をするのは
ペテン師の常套手段だよ
>ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110)
>ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55)
>を、考えるべし
それは君が高校数学レベルだからそれしか思いつかないだけ
上記に限っちゃうのが高校数学レベル 大学数学ではそれ以外がある
850:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 11:25:21.44 KCopoF1R.net
1は論理がないから、他人をペテンで誑かそうとする
話を無闇に大袈裟に広げるのはその手段の一つ
でも数学屋には通用しない
無関係な話は容赦なく枝刈りするから
その結果1の云ってることは
「俺は
ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110)
ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55)
だと決めつけた それしか知らんから」
しかなくなる
工学屋の勘なんて結局乏しい知識に基づく
印旛沼のごとく浅い推論でしかない
851:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 11:52:15.92 KCopoF1R.net
1の12乗根の場合
ζ12_m=cos(2πm/12)+i sin(2πm/12)
として、m=1,5,7,11の４つが原始根
(これが(Z/12Z)の生成元)
0→1→2→3→4→5→6→7→8→9→10→11→0
0→5→10→3→8→1→6→11→4→9→2→7→0
0→7→2→9→4→11→6→1→8→3→10→5→0
0→11→10→9→8→7→6→5→4→3→2→1→0
852:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 12:35:39.38 fdSQKtbP.net
>>732
>sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。
>Q(exp(2πi/44))に含まれる。こういう包含関係の
なるほど
それ面白いね
下記Cyclotomic fieldで
n=2については、トリビアすぎで記載がないが、
x^2=1 では、x=1,-1 で、Q(-1) = Qにしかならない
・>>744に書いたけど、n=k (k奇数)では、k→2kを考えても、意味が無い
・一方、下記n = 4で、ζ4 = i,Q(ζ4) = Q(i)だから
n＝4k になる場合、i∈Q(ζ4k)かな？
・この場合、i∈Q(exp(2πi/44))か
そうすると、Q(exp(2πi/11))⊂Q(exp(2πi/44))で
ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)で
下記 Q(ζm)∩R=Q(ζm+1/ζm) より
Q(cos(2π/11))⊂ Q(exp(2πi/11))⊂Q(exp(2πi/44))
念のために書くと
Q(cos(2π/11))=Q(ζm + 1/ζm)⊂ Q(ζ11)⊂Q(ζ44)
そして
cos(2π/11),i∈Q(ζ44)で、
sin(2π/11)=(ζ11 - cos(2π/11))/i ∈Q(ζ44)となる
・Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれないかな？
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cyclotomic field
Small examples
n = 4: Similarly, ζ4 = i, so Q(ζ4) = Q(i), and a regular 4-gon is constructible.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円分体
性質
Q(ζm)∩R=Q(ζm + 1/ζm) である。このQ(ζm + 1/ζm) を、最大実部分体または実円分体という。
853:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 12:41:34.92 fdSQKtbP.net
>>756 補足
そもそも
「ζ110=-ζ55」がアホ
Q(ζ110)=Q(-ζ55)とでも書けば
格好はついたろう
こういう粗雑な書き方をすると
体論や体の拡大が、分かってないと
判断されてもしかたない
院試なら、首が飛ぶかもね
854:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 13:44:06.25 fdSQKtbP.net
>>761 補足
>・Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれないかな？
下記 Cyclotomic fields Proposition 2 があるね
これによると、google訳
”n と m が互いに素な自然数の場合、2 つの円分体 Q(ξn) と Q(ξm) は線形に素になります。
それらの合成 Q(ξn, ξm) は Q(ξnm) に等しく、Q(ξn) ∩ Q(ξm) = Q です”
だから、”Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれない”は、正しいね
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.uio.no)
Universitetet i Oslo
Semesterside for MAT4250 - Host 2013
Notes Cyclotomic fields
URLﾘﾝｸ(www.uio.no)
Cyclotomic fields
Preliminary version. Version 1+∞ - 22. oktober 2013 klokken
P4
Proposition 2
If n and m are relatively prime natural numbers, then the two cyclotomic fields Q(ξn) and Q(ξm) are linearly disjoint.
Their composite Q(ξn, ξm)is equal to Q(ξnm), and Q(ξn) ∩ Q(ξm) = Q.
Proof: Clearly the composite of Q(ξn) and Q(ξm) contains Q(ξnm), the product
ξnξm being a primitive nm-th root of unity. The Euler φ-function is multiplicative,
so [Q(ξnm) : Q]=[Q(ξn) : Q][Q(ξm) : Q], and we are done.
855:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 14:08:22.48 fdSQKtbP.net
>>763 追加
”CYCLOTOMIC FIELDS
WITH APPLICATIONS” 188ページものPDF
リンク貼る
そこそこ纏まっている気がする
あと、2018と新しいのが良い
FFTとDFT（離散フーリエ）にも触れているが
CYCLOTOMIC FIELDSが、FFTとDFTの基礎になっているみたいなニュアンスと読んだ
file:///C:/Users/seta/Downloads/cyclotomic_fields2018.pdf
CYCLOTOMIC FIELDS
WITH APPLICATIONS 188ページもの
Lecture Notes for Math 5590
Fall 2018
G. Eric Moorhouse
University of Wyoming
P44
The Fast Fourier Transform
The Fast Fourier Transform (FFT) was known to Gauss at least as early as 1805
(predating Fourier, after whom the transform has been named). More recently, it was
rediscovered by many others, notably Cooley and Tukey (1965). The point is that the
Discrete Fourier Transform (DFT) over a large finite group, viewed as a square matrix,
may appear quite large, requiring extensive time (presumably by a computer) in its computation. However due to the highly structured nature of this matrix, this computation
can be performed in fewer steps than one might at first suppose. It is this faster approach
to computing the DFT that accounts for the name FFT. The importance of this speedup is
due to the vast number of problems requiring DFT for their solution, and where computational time required would otherwise be expensive or prohibitive. We begin by describing
how the FFT works. We then give an application to fast multiplication for polynomials
and for integer
略
P46
略
This is the idea of the FFT. Its applications are far too ubiquitous to
856:be summarized here. We content ourselves with describing two of the many applications of FFT Fast Polynomial Multiplicatio (FFTの応用 以下P49まで)
857:１３２人目の素数さん
23/01/15 14:20:40.15 YxPYvmSW.net
>そもそも
>「ζ110=-ζ55」がアホ
アホのお前が言うかとｗ
そもそも1のアホな誤り>>692の誤りを明確に指摘するのが
「ζ110=-ζ55」
その意味するところは、「1の原始55乗根の-1倍は1の原始110乗根」
ということであり、誰も「exp(2πi/110)=-exp(2πi/55)」
なんて言ってない。そんなことは分かってるくせに
口惜しさ紛れに言い返しているのが1ｗ な～にが
>辻褄はあっているだろう（692より）
だよ、合ってないよ、バ～カｗｗ
858:１３２人目の素数さん
23/01/15 14:24:22.58 YxPYvmSW.net
もうひとつ笑わかせてもらったのが
>良質の工学技術者
ね。ハハハ～ハハハハ～腹痛いわｗｗｗ
859:１３２人目の素数さん
23/01/15 14:36:17.74 YxPYvmSW.net
>>720
前言ってたことによると、修士を途中で辞めたのでは？
先輩から誘われたかで就職の話があって
それに乗ったとか言ってたように思うけど。
こんなバカヤローが博士論文なんて絶対書けないってｗ
どうせ大学院だって、教授を得意の暗記で
だまくらかして、潜り込んだだけでしょｗ
860:１３２人目の素数さん
23/01/15 14:44:25.79 YxPYvmSW.net
1の書くことからは、頭の中に数学の構造物
岡潔の言う「数学的自然、箱庭」がまったく
感じられない。バラバラの知識の寄せ集めしかないと思う。
しかし、考え方というのは分野によらず習慣だから
工学だって出来るひとは、やっぱり頭の中に
「箱庭」のような構造物は出来てるんじゃないかな。
それがなくて、今さら「フーリエ解析の序章」
の本買ってるようじゃ、工学でもダメダメなんだろう。
861:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 15:13:53.67 fdSQKtbP.net
>>764 追加
URLﾘﾝｸ(ericmoorhouse.org)
URLﾘﾝｸ(ericmoorhouse.org)
G. Eric Moorhouse:
Handouts
Number Theory
18．A first (very rough) working version of Cyclotomic Fields with Applications. Lecture notes for Fall 2018 course
URLﾘﾝｸ(ericmoorhouse.org)
G Eric Moorhouse
my email
Department of Mathematics and Statistics
University of Wyoming
URLﾘﾝｸ(www.uwyo.edu)
PROFESSOR ERIC MOORHOUSE
Dr. Moorhouse Eric Moorhouse, Ph.D., University of Toronto
Professor of Mathematics
Ross Hall 216
Education
Ph.D. Mathematics, University of Toronto, 1987
M.Sc. Mathematics, University of Toronto, 1984
B.Sc. Mathematics, University of Toronto, 1980
862:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 15:23:58.56 fdSQKtbP.net
>>765
>>「ζ110=-ζ55」がアホ
>アホのお前が言うかとｗ
>そもそも1のアホな誤り>>692の誤りを明確に指摘するのが
>「ζ110=-ζ55」
蕎麦屋のおっさんか？
「ζ110=-ζ55」なんて
こんなアホなこと
数学ができる人ほど、”書け”と言われても
気持ち悪くなって、絶対書かないと思うぜ
「ζ110=-ζ55」って何なの？
これ、筆が止まってしかるべきでしょ？ｗ
>>767
>前言ってたことによると、修士を途中で辞めたのでは？
>先輩から誘われたかで就職の話があって
>それに乗ったとか言ってたように思うけど。
それ、自分のことじゃね
あるいは、数学科の話か
工学部修士は、普通に修了して、就職先はＭ２の途中で普通に決まる
それだけの話
863:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 15:30:48.16 KCopoF1R.net
>>761
>sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。Q(exp(2πi/44))に含まれる
>なるほどそれ面白いね
つまらんね
sin(2π/11)*iならQ(exp(2πi/11))に含まれる
iがQ(exp(2πi/4n))にしか含まれないからQ(exp(2πi/44))に含まれる、
となるだけのこと
>>762
>そもそも「ζ110=-ζ55」がアホ
その発言がダラズ 原始根が分かってなかった証拠
>こういう粗雑な書き方をすると
>･･･分かってないと判断されてもしかたない
>院試なら、首が飛ぶかもね
高校中退の君には院試どころか大学入試も無理だろう
くやしかったら頑張って大検合格することだね
三角関数と複素数が分かってないんじゃ、円分体は無理だったね 残念！！！
864:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 15:39:39.59 KCopoF1R.net
>>763
>”n と m が互いに素な自然数の場合、
>2 つの円分体 Q(ξn) と Q(ξm) は線形に素になります。
>それらの合成 Q(ξn, ξm) は Q(ξnm) に等しく、Q(ξn) ∩ Q(ξm) = Q です”
>だから、”Q(ζ55)には、虚数単位 i は含まれない”は、正しいね
三角関数の加法公式も、複素数の乗法も、全然分かってない
工業高校１年中退の君が、いくら闇雲に知識だけあさって拾い食いしても
腹壊すだけだから、高校数学から勉強しような 大学数学はその後だ
>>764
まず三角関数から勉強しような フーリエ変換はその後だ
865:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 15:53:06.17 fdSQKtbP.net
>>436
前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)
戻るよ
纏めると
１）上記の方程式の根をα1,α2,α3,α4,α5 として
最小分解体 Q(α1,α2,α3,α4,α5)だが、上記よりQ(cos(2kπ/11))に等しい
また、1の11乗根ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)として
Q(α1,α2,α3,α4,α5)＝Q(cos(2π/11))=Q(ζ11 + 1/ζ11)⊂ Q(ζ11)⊂Q(ζ44)
２）ベキ根表示には、ζ_5が必要で
Q(ζ11)⊂Q(ζ_5,ζ11)⊂Q(ζ55) (多分 Q(ζ_5,ζ11)＝Q(ζ55) >>736のCyclotomic fields Proposition 2より )
３）Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれない>>761
因子4を含むQ(ζ220)には、虚数単位iは含まれる
だから、実数のsin(2π/11)のベキ根表示は、Q(ζ220)には含まれるが、Q(ζ55)には含まれない
なお虚数で i sin(2π/11)∈Q(ζ55)は 成り立つ>>761
これ
なかなか面白い問題だったね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
与えられた多項式の分解体（ぶんかいたい、英: splitting field）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数（英語版）が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。
866:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 15:55:21.02 KCopoF1R.net
>>765
ま、工業高校１年中退で、その後
うるさいクラクションならしてオートバイ転がしてた
ナニワのヤンキー君だったとおもえば
いくらワカランチンな憎たれ口書いてもしかたないな
1君の人生は悔しいことばっかりだったんでしょう（憐れみ）
>>766
1君は三角関数も知らんくらいだから計算は全然できないんでしょう
職場で本物の大阪大学工学部卒修士修了の人に
「やれやれ・・・ま、高校中退じゃわからなくても仕方ないか」
と散々言われてきたんでしょうなあ 目に見えるようです
>>767
工学博士になるのに別に大学数学は必須じゃないので
別になれても不思議ではないですね
ただ、実際は博士じゃないでしょう 学歴も詐称でしょうな
いくらなんでも三角関数も複素数もわからんのに
大阪大学工学部は受かりませんよ
どうせ自分を見下す上司の経歴を丸パクリしたんでしょう
ナニワのヤンキー君ならやりそうなことです
>>768
1君はせいぜい工員でしょう しかも工員として優秀とは思えん
口先だけで生き残ってきたのかもしれんね
なにかというとコピペでハッタリをかまし
他人から何かいわれると脊髄反射で「違う」と言い返す
まさにナニワのヤンキー君
昭和末期の東京にもいましたけどね
なんかヘンなトサカ頭でイキがってるニワトリ君が
彼らにしてみれば、それ以外の自己表現がなかったんでしょうけど（憐れみ）
867:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 16:00:21.40 KCopoF1R.net
>>769
ヤンキー君 むきになってコピペしても無意味だよ
君が真っ先にやることは、高校の参考書で
高校数学から勉強すること
>>770
>蕎麦屋のおっさんか？
蕎麦屋でもうどん屋でもどっちでもよろしい
さっさと三角関数から勉強しなおそう
ま、でも三角法から始めて三角関数の加法定理の幾何学的証明をやるって
三角関数の学習法として適切なのかどうか大いに疑問はあるけどね
868:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 16:07:21.43 fdSQKtbP.net
>>771
>>そもそも「ζ110=-ζ55」がアホ
>その発言がダラズ 原始根が分かってなかった証拠
はいはい
代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する>>749
あんたは
”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元”
を想定してたんだ>>749
でも、”1の原始冪根”の議論のときは
ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110)
ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55)
が普通（デフォルト）だってことだよ>>756
覚えておいてね
869:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 16:13:58.49 fdSQKtbP.net
>>772
>まず三角関数から勉強しような フーリエ変換はその後だ
フーリエ変換ね
>>251だったね
"で、わたしが大学の頃レポートで書いたのは
要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^
として
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
という指標和を考えてやると、これがべき根になっていて
（実際、この和を(χ,θ)とおくとσ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)
が成立するから、(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
べき根表示が一挙に得られるという話。"
はい、やってください
「べき根表示が一挙に得られるという話」
出来ないなら、撤回くださいｗ
870:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 16:18:51.58 KCopoF1R.net
>>773
>方程式x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
>の根をα1,α2,α3,α4,α5 として
>最小分解体 Q(α1,α2,α3,α4,α5)だが、
ここまでは何も考えずに脊髄反射ね
それ数学が分かったとはいえない、って悟ろう
分かってないのに分かったというのが、一番ダメ
>Q(cos(2kπ/11))に等しい
これは解から自明
>また、1の11乗根ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)として
>Q(α1,α2,α3,α4,α5)＝Q(cos(2π/11))=Q(ζ11 + 1/ζ11)⊂ Q(ζ11)⊂Q(ζ44)
最後の”⊂Q(ζ44)”は何のつもりでつけたのか知らんけど、要らんね
余計なことを書くのも頭が整理できてない証拠だよ
>ベキ根表示には、ζ_5が必要で
>Q(ζ11)⊂Q(ζ_5,ζ11)⊂Q(ζ55)
> (多分 Q(ζ_5,ζ11)＝Q(ζ55) )
多分、じゃなくそうだけどｗ
で、なんでわざわざ”⊂Q(ζ_5,ζ11)⊂Q(ζ55)”書いたの？要らんよね
>Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれない
>因子4を含むQ(ζ220)には、虚数単位iは含まれる
>だから、実数のsin(2π/11)のベキ根表示は、
>Q(ζ220)には含まれるが、Q(ζ55)には含まれない
うわー、そんなトンチンカンなこと書くのがまとめ？
やっぱ1君なんも分かってないんだな
>なお虚数で i sin(2π/11)∈Q(ζ55)は 成り立つ
で、 i sin(2π/11)のベキ根表示で、i 使わないってわかる？
sin(2π/7)の場合は>>135参照
871:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 16:28:19.62 KCopoF1R.net
>>776
>あんたは”n を法とする原始根”で、
>”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元”
>を想定してたんだ
ざんね~ん
（指数の）加法に関して成す巡回群(Z/55Z)および(Z/110Z)の生成元
を想定してま~す (指数の)乗法群じゃありませ~ん
ま、でもこんな（大学行ったことない人には）「難しい」こと
（高校も１年で中退して卒業しなかった）1君にいってもわかんないか
高校数学勉強しよう そうすればわかるよ この程度のことなら
>でも、”1の原始冪根”の議論のときは
>ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110)
>ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55)
>が普通（デフォルト）だってことだよ
高校生ならともかく、大学生でそれはない
「(指数（この場合は角度）の)加法群（Z/55Z)および(Z/110Z)の生成元」
だから
ζ110=cos(2πm/110)+i sin(2πｍ/110)
ζ55=cos(2πｍ/55)+i sin(2πｍ/55)
（ｍはそれぞれ110、55と互いに素）
であれば�
872:謔｢ つまり１つではなく複数ある 覚えておいてね どうせ3秒だったら忘れるだろうけど だから高校の三角関数から勉強しようっていってるじゃん 三角関数、全然分かってないでしょ？
873:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 16:38:46.36 fdSQKtbP.net
>>708 追加
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
日本数学会
数学通信第１０巻第３号目次 （２００５年度）
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
カナダの数学
由井典子 (Queen's 大学数理科学研究科) 数学通信（２００５年度）
7．まとめ
現在，カナダの数学は活気に溢れています．社会とのつながりを深めようとする活動が
数学の全分野にわたって盛んです．数理生物学，数理金融論，数理医学，数理物理学など
に関連して，新たなタイプの人々が数学に興味を持ちつつあり，数学を他分野へ応用しよ
うとする意気込みが盛んです．また，国としてのカナダがまだ若いこともよい方向に働い
ています．数学者の貢献できる余地がまだたくさん残っており，強い分野・弱い分野とい
った価値観にとらわれることなく，自由に数学を探求できる環境があります．若手・中堅
を問わず，英語かフランス語が話せて活発に研究をしている優秀な数学者たちをカナダは
大喜びで迎えています．
874:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 16:45:52.56 KCopoF1R.net
>>777
1君が真っ先に学ぶべきこと
１．絶対値1の２つの複素数を
ｚ＝cos(θ)＋sin(θ)i
w =cos(φ)＋sin(φ)i
と表したとき、その積
z*w =(cos(θ)cos(φ)-sin(θ)sin(φ))+(cos(θ)sin(φ)+sin(θ)cos(φ))i
は、三角関数の加法定理により
cos(θ+φ)+sin(θ+φ)i
と等しくなる。
したがって「絶対値１の複素数の積」が、「角度の和」に変換される
（ゆえに、円分体の円のｎ等分点の積が、加法群（Z/nZ）とみなされる）
２．絶対値1の複素数を
ｚ＝cos(θ)＋sin(θ)i
のべき z^n は、三角関数の加法定理により
cos(nθ)＋sin(nθ)i と等しい
したがってｌ乗とｍ乗の結合が角度の（ｌ×ｍ）倍という積に変換される
（ゆえに、乗法群(Z/nZ)×は、円分体の円のｎ等分点の積ではなく
ベキ乗操作の結合によるものである）
要するに、cos(x)+sin(x)iは、「指数関数」ってこと
（その底はもちろんcos(1)+sin(1)iである）
875:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 16:50:55.13 KCopoF1R.net
>>781
＞２．絶対値1の複素数
＞ ｚ＝cos(θ)＋sin(θ)i
＞ のべき z^n は、三角関数の加法定理により
＞ cos(nθ)＋sin(nθ)i と等しい
＞ したがってｌ乗とｍ乗の結合が角度の（ｌ×ｍ）倍という積に変換される
＞ （ゆえに、乗法群(Z/nZ)×は、円分体の円のｎ等分点の積ではなく
＞ ベキ乗操作の結合によるものである）
ここ、ウカツな1は、まず一読で理解できない筈なので追加説明
要するに
(z^l)^m=z^(lm)
ってこと
876:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 16:57:27.23 fdSQKtbP.net
>>780 追加
ガロアの逆問題
”2002, Jensen, Ledet and Yui2770-FKK [JLY-2002]”
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
数学史シンポジウム報告集
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
第15回数学史シンポジウム(2004.10.16?17) 所報 26 2005
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
ガロアの逆問題について三宅 克哉(東京都立大学・理学研究科)
Ｐ７
2002, Jensen, Ledet and Yui2770-FKK [JLY-2002] を出版した.以上についての文献等の情報は,このテキストを参照されたい。
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
2019年度第27回整数論サマースクール
「構成的ガロア
877:逆問題と不変体の有理性問題」 https://niigata-u.repo.nii.ac.jp/records/33655 新潟大学学術リポジトリ(Nuar) 構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題（第27回整数論サマースクール報告集）
878:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 16:59:55.75 KCopoF1R.net
>>781-782
まとめ
１．(z^l)*(z^m)=z^(l+m)
２．(z^l)^ｍ=z^(lm)
1．の場合、z^lとz^mの積、が lとmの和 となるから素人でもわかる
2．の場合、^lと^mという操作の結合が、lとmの積 になるので素人はつまづきやすい
879:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 17:01:38.38 KCopoF1R.net
>>780 >>783
1君は「釈迦に説法」といいたいようですが
君が釈迦じゃないから説法してるんだよｗ
ま、🐎に念仏ということわざもあるが・・・
880:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 17:08:24.18 KCopoF1R.net
三角関数の何をまず理解すべきか、と問われたら
「三角関数の幾何学的性質」とか
「加法定理の幾何学的証明」とか
答えるつもりはない
三角関数cosとsinは、
「絶対値１の複素数を底とする指数関数」
であるというのが根本
（その場合、加法定理は関数が満たすべき性質になってしまうが）
まあ、幾何学的性質は知っといたほうがいいんですけど
今やそれが主ではないだろう、というつもりで書いた
881:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 17:12:34.47 KCopoF1R.net
で、三角関数で弧度法を用いるのは
「微分係数の乗数がｉになるようにしたいため」
であって、指数関数でeを底とする理由
「微分係数の乗数が１となるようにしたいため」
と同じ
882:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 17:21:29.99 KCopoF1R.net
>>777
＞"わたしが大学の頃レポートで書いたのは
＞要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^として
＞Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
＞という指標和を考えてやると、これがべき根(*)になっていて
＞すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から(**)
＞アーベル方程式の根θのべき根表示が一挙に得られるという話。"
＞（* 実際、この和を(χ,θ)とおくと
＞ σ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)が成立するから、
＞ (χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
＞（**フーリエ逆変換を取れば）
数学的には至極真っ当なことを言っていて
即座につっこむようなデカい穴はない
なぜベキ根になるか、は(*)の箇所の通りだが
そもそも「ガロア群の作用で不変」の意味すら分からん
ナニワのヤンキーの1君には到底理解できないから
いつまでもギャアギャアギャアギャアと
「なぜなぜなぜなぜ」と喚き続けるのだろう
ああ、不毛な人生
883:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 17:39:16.10 KCopoF1R.net
結局１は高校数学が理解できてなくて
計算すればわかることも
「工学者の勘」とかに頼って
初歩的な誤りの罠に落ちる
その繰り返し
当人だけが自分の誤りを決して認めない
彼の人生は15からずっと連戦連敗
884:１３２人目の素数さん
23/01/15 18:54:48.54 GJnuBL0N.net
>770
何を勝手に人の名前読んでんだ此のHorsedeerが
相変わらず勉強の仕方も人の区別もメクラ判だなぁお前
お前の言う「理解を深めるには今の学習内容を先の学習内容を眺めるといい」って
単に、高くくり感覚ごときや何となく感覚ごときで先取りチョンボの俄か判断で分かった積もりに成るメクラ判つまり知ったか行為だろ
お前みたいなのが現場ネコに成るんだな
「詳しくは分からんが何となく分かった気に成ったので理解したヨシ！」の過信バカ
885:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 19:58:40.15 KCopoF1R.net
>>790
1は所詮感覚だけで生きてるナニワのヤンキーですから
論理なんて生まれてから一度も理解したことないんですよ
886:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 20:01:20.18 fdSQKtbP.net
>>773
>Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
p=11ね
下記のGaloisは、Chevalierへの手紙で
楕円曲線の等分問題で、p = 11の解法を取り上げている
英文によるfulltextを探すと、下記がヒットしたので貼る
彼は、20歳で亡くなったという
存命ならば、ここらは
887:論文として出版されたろうに なお、GaloisのChevalierへの手紙については 下記高木先生の近世数学史談でも、これは取り上げられている https://www.ias.ac.in/describe/article/reso/004/10/0093-0100 The Last Mathematical Testament of Galois Indian Academy of Sciences Classics Volume 4 Issue 10 October 1999 pp 93-100 https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/004/10/0093-0100 The Last Mathematical Testament of Galois Evariste Galois's last mathematical testament in the form ofa letter to his friend Auguste Chevallier is reproduced here in English translation I. P3 The last application of the theory of equations is related to the modular equation of elliptic functions. P5 For p = 7 we find a group of (p + 1) (p - 1) /2 permutations, where ∞ 1 2 4 are respectively related to 0 3 6 5. This group has its substitutions of the form 略 b being the letter corresponding to c, and a a letter which is a residue or non-residue according as c. For p = 11, the same substitutions take place with the same notations, ∞ 1 3 4 5 9 are respectively related to o 2 6 8 10 7. Thus, for the case of p = 5,7,11, the modular equation is reduced to degree p. In all rigor, this reduction is not possible in the higher cases. The third paper concerns the integrals. We know that a. sum of terms of the same elliptic function is always reduced to a single term plus algebraic or logarithmic quantities. https://www.アマゾン 近世数学史談 (岩波文庫) Paperback Bunko ? August 18, 1995 by 高木 貞治
888:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 20:03:05.06 fdSQKtbP.net
>>790
これはこれは
こっちが蕎麦屋さんか
今年もよろしくね
889:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:13:14.43 KCopoF1R.net
>>792 完全に発●してますな
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
890:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:19:26.09 KCopoF1R.net
1には生涯縁のない話 その１
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)はてなブログ.com/entry/modular-curve-1
891:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 20:20:31.99 fdSQKtbP.net
>>790-791
まあ、いいじゃん
しょせん、５ｃｈなんて、あんまり分かって居る人いない
同じ穴の狢よ
蕎麦屋のおっさんに、蕎麦屋もどきのおっさん
落ちこぼれ1号と2号
それに私スレ主なｗ
ああ、>>773の問題は面白かったよ
GaloisのChevalierへの手紙>>792まで
思い出した
下記のtsujimotter氏 ”円とのアナロジー”
p=11のケースを扱っているね
面白いね
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)ハテナブログ.com/entry/complex-multiplication-and-calculation-2
tsujimotterのノートブック
2020-07-06
具体例を通して学ぶ虚数乗法論（後編）
《後編》
円とのアナロジー
類体論の復習
j不変量とヒルベルト類体
クロネッカーの青春の夢
導手 (2) のray類体の計算
導手 (3) のray類体の計算
おわりに
円とのアナロジー
楕円曲線と数論の関係がみえてきたところで、ここで一旦話を変えて、「みなさんがよく知っている曲線」と「数論」との関係について述べたいと思います。
高校数学の頃から慣れ親しんだ 円 について考えてみましょう。
例として、p=11 として分解を確認してみましょう。以下が確認用のSagemathのコードです：
892:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:21:37.29 KCopoF1R.net
1には生涯縁のない話 その２
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)はてなブログ.com/entry/modular-curve-2
893:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:26:44.64 KCopoF1R.net
>>796
よくないな
他人が分かってないから自分が分かってなくていい、ということにはならない
そもそも他人が分かってない、というのが誤り
５ｃｈでも数学分かってる人が沢山みてるから
１みたいな高校中退ヤンキーが付け刃でイキがると
本物の日本刀で思いっきり真っ二つにぶった切られる
894:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:28:06.74 KCopoF1R.net
1には生涯縁のない話 その３
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)はてなブログ.com/entry/elliptic-curve-as-a-complex-torus
895:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:29:34.58 KCopoF1R.net
1には生涯縁のない話 その４
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)はてなブログ.com/entry/modular-curve-4
896:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:33:05.15 KCopoF1R.net
1には生涯縁のない話 その５
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)はてなブログ.com/entry/modular-curve-5-mazur-theorem
897:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:42:18.61 KCopoF1R.net
素人が数学者になれるかもという安易な期待を
木っ端微塵に打ち砕いてくれるページ
URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
Φ2でザセツしました（早っ！）
898:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:55:44.50 KCopoF1R.net
ところで1君、まさか”p=11”で🐎🦌検索してない？
899:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 20:59:00.59 KCopoF1R.net
1君には分からない問題
p=7の 1,2,4 と 3,6,5
p=11の 1,3,4,5,9 と 2,6,8,10,7
この区別、なーんだ？
900:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 21:13:06.67 KCopoF1R.net
それにしても、やはり整数論は恐ろしい
円分多項式で浮かれていたら笑われる
モジュラー多項式ありゃなんじゃ
ああこわいこわいこわい
901:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 21:15:16.70 KCopoF1R.net
ということで
902:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 21:15:41.71 KCopoF1R.net
このHNは･･･
903:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/15 21:17:49.56 KCopoF1R.net
･･･これでおしまい！
工業高校中退の●違いヤンキーの相手してると🐎🦌になるので消える
１もいつまでも🐎🦌検索やってないで、三角関数から勉強しろよ
904:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 21:35:50.99 fdSQKtbP.net
>>792
>なお、GaloisのChevalierへの手紙については
>下記高木先生の近世数学史談でも、これは取り上げられている
下記、矢ヶ部 巌
「数III方式 ガロアの理論」
でも
第1章”ガロアの遺書を読む”
に、全文和訳が載っている
図書館などで読むと
参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(www.gensu.jp)
株式会社 現代数学社
新装版 数III方式 ガロアの理論
著者：矢ヶ部 巌
目次など 電子書籍のご購入
内容
ガロアの遺書を読む、
３次方程式を斬る、
３次方程式を手玉に取る、
４次方程式 を斬る、
４次方程式をフェラリに見る、
５次方程式に挑む、方程式解法 の原点 に立つ、
解法の方向を定式化する、
方程式論の流れを変える、
根の整式を探求す る、
根の分数式に着目する、
根の有理式を解明する、
代数的解法 を究明する、
ウェアリングは知っている、
ルフィニ参ります、
置換群を分類する 他
905:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 21:48:18.04 fdSQKtbP.net
>>802
>素人が数学者になれるかもという安易な期待を
>木っ端微塵に打ち砕いてくれるページ
>URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
・意味分からんぞ
・そのModular polynomialsって、数式処理でやっているよね？
コンピュータパワー使って
・それって、πの小数計算で
昔の学者が手計算で700桁超えまで計算して、
コンピュータが出来て、検算したら500桁を少し超えて
計算間違いあったって話と類似じゃね？
・いまどき、工学の構造計算では、
数万（～数百万以上）の行および列からなる行列計算普通だけど
それでもって、工学屋になれるという安易な期待が
木っ端微塵？
・なるわけないでしょ
コンピュータパワー使えよ
それだけのことでしょ
906:現代数学の系譜 雑談
23/01/15 22:43:08.92 fdSQKtbP.net
>>802
>素人が数学者になれるかもという安易な期待を
>木っ端微塵に打ち砕いてくれるページ
>URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
あんたの数学観が、20世紀のもので
古いと思うぜ
>>780より
再録
日本数学会
数学通信第１０巻第３号目次 （２００５年度）
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
カナダの数学
由井典子 (Queen's 大学数理科学研究科) 数学通信（２００５年度）
7．まとめ
現在，カナダの数学は活気に溢れています．社会とのつながりを深めようとする活動が
数学の全分野にわたって盛んです．数理生物学，数理金融論，数理医学，数理物理学など
に関連して，新たなタイプの人々が数学に興味を持ちつつあり，数学を他分野へ応用しよ
うとする意気込みが盛んです．また，国としてのカナダがまだ若いこともよい方向に働い
ています．数学者の貢献できる余地がまだたくさん残っており，強い分野・弱い分野とい
った価値観にとらわれることなく，自由に数学を探求できる環境があります．若手・中堅
を問わず，英語かフランス語が話せて活発に研究をしている優秀な数学者たちをカナダは
大喜びで迎えています．
(引用終り)
21世紀は、これ
数学屋がさ
壁作ってはいけないと思うよ
”カナダの数学は活気に溢れています．社会とのつながりを深めようとする活動が
数学の全分野にわたって盛んです．数理生物学，数理金融論，数理医学，数理物理学など
に関連して，新たなタイプの人々が数学に興味を持ちつつあり，数学を他分野へ応用しよ
うとする意気込みが盛んです”
を日本も目指すべきじゃないの？
907:１３２人目の素数さん
23/01/15 22:53:21.72 KCopoF1R.net
>>809
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／ ⌒ ⌒ ＼ 何言ってんだこいつ
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