22/12/31 23:57:02.68 rNlYJ3SK.net
>>161 戻る
>>148-149
>ラグランジュ分解式を指標和と考えるメリット？
>ポントリャーギン双対として統一的な理解が得られる。
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>前スレに書いた、「巡回方程式のべき根表示=フーリエ級数展開の類似」
>も、ほぼもろに書いてありますね。
>>・有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）
>>双対群上の函数としての離散フーリエ変換>を持ち、有限群上の任意の函数が
>>その離散フーリエ変換から復元することができる。
すぐ反応できなくてすまんが
１）ポントリャーギン双対、”有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）”だね
２）アーベル（可換）限定？ みたいだね（下記）
３）円分理論で巡回群に限定ならアーベルだが
４）5次以上の方程式論で、例えば、5次で可解群で、位数20のフロベニウス群や、位数10の二面体群は非可換だよ
でも、非可換でも、ラグランジュ分解式だよね
この場合は、ポントリャーギン双対→離散フーリエ変換の筋に乗らない気がするよ
非可換への拡張の部分が判然としないね
なんか、「慌てて検索して貼りました」感がするのは、私だけかな？
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二面体群は、有限非可換群の最も単純な例
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ポントリャーギン双対
非可換理論
可換群の場合と同様の非可換群 G に対する理論は存在しない。なぜならば、この場合表現の同型類の適切な双対対象は一次元表現だけを含むことはできず、群とはならないからである。非可換な場合への一般化として有効なものが圏論において存在し、淡中クライン双対性と呼ばれる。しかし、これは G^ 上のプランシュレル測度に関する問題に対処しなければならず、調和解析に関係するものからは話がそれてしまう。
つづく
232:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:57:38.70 rNlYJ3SK.net
>>231
つづき
他にも非可換群に対する双対理論の類似物は存在していて、いくつかは作用素環論の言葉で定式化されている。基本的な出発点は群 G の群環と双対群 G^ の関数環とが同型になっているということである。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Pontryagin duality
Dualities for non-commutative topological groups
For non-commutative locally compact groups {\displaystyle G}G the classical Pontryagin construction stops working for various reasons, in particular, because the characters don't always separate the points of {\displaystyle G}G, and the irreducible representations of {\displaystyle G}G are not always one-dimensional. At the same time it is not clear how to introduce multiplication on the set of irreducible unitary representations of {\displaystyle G}G, and it is even not clear whether this set is a good choice for the role of the dual object for {\displaystyle G}G. So the problem of constructing duality in this situation requires complete rethinking.
Theories built to date are divided into two main groups: the theories where the dual object has the same nature as the source one (like in the Pontryagin duality itself), and the theories where the source object and its dual differ from each other so radically that it is impossible to count them as objects of one class.
The second type theories were historically the first: soon after Pontryagin's work Tadao Tannaka (1938) and Mark Krein (1949) constructed a duality theory for arbitrary compact groups known now as the Tannaka?Krein duality.[17][18] In this theory the dual object for a group {\displaystyle G}G is not a group but a category of its representations {\displaystyle \Pi (G)}{\displaystyle \Pi (G)}.
つづく
233:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:58:03.85 rNlYJ3SK.net
>>232
つづき
The theories of first type appeared later and the key example for them was the duality theory for finite groups.[19][20] In this theory the category of finite groups is embedded by the operation {\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}{\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}} of taking group algebra {\displaystyle \mathbb {C} _{G}}{\displaystyle \mathbb {C} _{G}} (over {\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb{C} ) into the category of finite dimensional Hopf algebras, so that the Pontryagin duality functor {\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}{\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}} turns into the operation {\displaystyle H\mapsto H^{*}}{\displaystyle H\mapsto H^{*}} of taking the dual vector space (which is a duality functor in the category of finite dimensional Hopf algebras).[20]
In 1973 Leonid I. Vainerman, George I. Kac, Michel Enock, and Jean-Marie Schwartz built a general theory of this type for all locally compact groups.[21] From the 1980s the research in this area was resumed after the discovery of quantum groups, to which the constructed theories began to be actively transferred.[22] These theories are formulated in the language of C*-algebras, or Von Neumann algebras, and one of its variants is the recent theory of locally compact quantum groups.[23][22]
One of the drawbacks of these general theories, however, is that in them the objects generalizing the concept of group are not Hopf algebras in the usual algebraic sense.[20] This deficiency can be corrected (for some classes of groups) within the framework of duality theories constructed on the basis of the notion of envelope of topological algebra.[24]
(引用終り)
以上
234:１３２人目の素数さん
23/01/01 01:24:42.24 bVpk4vzc.net
単位元だけからなるいわゆる自明な群は単純群と呼ばないのかな。
26個の例外型単純群それぞれに異なる素粒子が対応しているというような
単純な話ではないのだな。。。
有限群ではない群の分類はどうなるのでしょう？
235:和尚がⅡ
23/01/01 07:31:02.18 pCSmtf17.net
>>231
＞なんか、「慌てて検索して貼りました」感がするのは、私だけかな？
ああ、>>227-233がねｗ
236:和尚がⅡ
23/01/01 07:36:27.85 pCSmtf17.net
>>231
＞でも、非可換でも、ラグランジュ分解式だよね
何が？
＞この場合は、ポントリャーギン双対→離散フーリエ変換の筋に乗らない気がするよ
＞非可換への拡張の部分が判然としないね
なんで非可換が出てきた？
なんか「悔しいからとにかく反論しました」って感じだねぇ
237:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 09:36:09.99 x1AjdVpC.net
>>116
>ラグランジュ分解式=指標和(character sum)であることが説明されてない本は素人本だね。
>わたしは大学の頃自分で気づいたが、後で見たらラングだったかの本にはちゃんと書いてあった。
へー
google検索 "character sum Lagrange resolvent"
で下記２件ヒット
ラングの本はしらんけど
１）
"P13 [6.7] p = 11 and order m = 5 Since ω = ω5
The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so
11 = (ω + 2)(ω^2 + 2)(ω^3 + 2)(ω^4 + 2)"
URLﾘﾝｸ(www-users.cse.umn.edu)
(July 28, 2010)
Kummer, Eisenstein, computing Gauss sums as Lagrange resolvents
Paul Garrett garrett@math.umn.edu URLﾘﾝｸ(www.math.umn.edu)
1. Solving cyclic equations by Lagrange resolvents
2. Kummer’s approximation of Gauss sums
3. Galois equivariance and prime factorizations
4. Ambiguity by units
5. Evaluating Gauss sums
6. Numerical examples
7. Appendix: Kronecker’s theorem, Kummer (-Teichm¨uller) character, Gauss sums
つづく
238:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 09:36:32.87 x1AjdVpC.net
>>237
つづき
4. Ambiguity by units
P8
Let qo generate p, the ideal lying under P in Z[ω], where P defines the Kummer (-Teichm¨uller) character.
Identify (Z/m)× with the Galois group of Q(ω) over Q, which we know acts transitively on primes over p in Z[ω].
6. Numerical examples
P13
[6.7] p = 11 and order m = 5 Since ω = ω5 satisfies ω^4 + ω^3 + . . . + ω + 1 = 0,
0 =((ω + 2) - 2)^4+((ω + 2) - 2)^3+ . . . +((ω + 2) - 2)+ 1 = (ω + 2)^4 + . . . + 11
The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so
11 = (ω + 2)(ω^2 + 2)(ω^3 + 2)(ω^4 + 2)
The fifth power of the quintic Gauss sum is
γ(χ^-2_P )^5 = η ・ (ω + 2) (ω^2 + 2)^3(ω^3 + 2)^2(ω^4 + 2)^4
and the congruence for η is
-η (ω^2 + 2)^2(ω^3 + 2) (ω^4 + 2)^3 = (-1/((11-1)/5)!)5 mod (ω + 2)
Using ω = -2 mod ω + 2, this is
η ((-2)^2 + 2)^2((-2)^3 + 2) ((-2)^4 + 2)^3 =1/2^5 mod (ω + 2)
or
η ・ 6^2・ (5) ・ (7)^3 = -1 mod (ω + 2)
which simplifies to η ・ 3 ・ 5 ・ 2 = -1 mod (ω + 2) and then 3η = 1 mod (ω + 2), so η = 4 mod (ω + 2). Since
ω = -2 mod (ω + 2), this gives η = ω^2. Thus,
γ(χ^-2_P )^5 = ω^2・ (ω + 2) (ω^2 + 2)^3(ω^3 + 2)^2(ω^4 + 2)^4
and the quintic subfield of Q(ω5, ζ11) is generated over Q(ω5) by the fifth root of this.
つづく
239:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 09:36:57.23 x1AjdVpC.net
>>238
つづき
２）
"P7 1.5. Minimal and characteristic polynomials and Resolvents"
URLﾘﾝｸ(hal.archives-ouvertes.fr)
Computing the Lagrange resolvent by effectiveness of
Galois Theorem
Ines Abdeljaoued, Faical Bouazizi, Annick Valibouze
HAL Id: hal-00602882
Preprint submitted on 9 Jul 2011
Abstract
In this article, we introduce a new method to calculate Lagrange resolvent. This technique is
based on Lagrange’s algorithm and it enables to calculate algebraically the resolvent. This algorithm is based on the fundamental theorem of symmetric functions:we generalize the effectivity
of this theorem to any surgroup of the Galois’s group of the polynomial.
P7
1.5. Minimal and characteristic polynomials and Resolvents
P13
Remark 20. Note that Algo2 is far more efficient than that proposed by Lagrange.
Indeed, the Lagrange’s method which is restricted to absolute resolvents (i.e. L = Sn)
enables to eliminate the variables xn, .. . ,x1 of the polynomial x - P with respect to
polynomials f(xn), .. . ,f(x1); he computes polynomial g of degree n
n where χP, b S is a factor. Next, with division of g by its”parasite’s factors”, which can be calculated by
eliminations too, he extracts the divisor χP, b S of g.
By using Algo2, elimination is achieved with the Cauchy moduli (here L = Sn) of
respective degrees n, n - 1, .. . , 1 en xn, .. . ,x1 and the result is the polynomial χP, b S
of degree n!.
Our function ABV does not include the optimizations propozed in the following section.
Nevertheless, this comparison demonstrates the efficiency of the function ABV.
(引用終り)
以上
240:和尚がⅡ
23/01/01 09:51:21.40 pCSmtf17.net
>>237-239
正月からキーワードで検索した結果を一読すらせずコピペするマウントヒヒ1
人でなしのサルは哀れなもんです
241:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 09:57:57.82 x1AjdVpC.net
>>234
レスありがとう
>単位元だけからなるいわゆる自明な群は単純群と呼ばないのかな。
｛e｝を、自明な単純群と呼ぶのもありと思う
テキスト（教科書）では、各自の流儀と思います
>26個の例外型単純群それぞれに異なる素粒子が対応しているというような
>単純な話ではないのだな。。。
ですね
超弦理論 Superstring theory で出てくる群のリスト表があるけど
U(1)、SO(32)、E8 × E8 が挙っていますね
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超弦理論
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Superstring theory
Number of superstring theories
Type Spacetime dimensions SUSY generators chiral open strings heterotic compactification gauge group tachyon
Bosonic (closed) 26 N = 0 no no no none yes
Bosonic (open) 26 N = 0 no yes no U(1) yes
I 10 N = (1,0) yes yes no SO(32) no
IIA 10 N = (1,1) no no no U(1) no
IIB 10 N = (2,0) yes no no none no
HO 10 N = (1,0) yes no yes SO(32) no
HE 10 N = (1,0) yes no yes E8 × E8 no
M-theory 11 N = 1 no no no none no
>有限群ではない群の分類はどうなるのでしょう？
まだ、殆ど手つかずでは？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単純群
例
無限単純群
無限交代群 A_∞、つまり整数全体の偶置換の群は単純群である。この群は有限群A_nの(標準埋め込み A_n→ A_n+1に関する)単調増加列の合併として定義できる。ほかの無限単純群の族の例としては、PSL_n(F)(Fは体、n>= 3)がある。
有限生成である 無限単純群を構成するのはもっと難しい。最初の例はグラハム・ヒグマン（英語版）によるもので、ヒグマン群（英語版）の商群である。[6] 他の例は無限トンプソン群 T と V を含む。有限表示のねじれのない無限単純群はBurgerとMozesにより構成された。[7]
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Simple group
1.2 Infinite simple groups
242:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 10:01:55.13 x1AjdVpC.net
>>235-236
必死だな
・非可換でも、ラグランジュ分解式は使える。ガロア第一論文にある
・再録 >>231"４）5次以上の方程式論で、例えば、5次で可解群で、位数20のフロベニウス群や、位数10の二面体群は非可換だよ
でも、非可換でも、ラグランジュ分解式だよね
この場合は、ポントリャーギン双対→離散フーリエ変換の筋に乗らない気がするよ"
以上ｗ
243:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:21:00.51 dxBydmVP.net
Gが非可換群でもGの交換子群を[G,G]としたとき
G/[G,G]は必ずアーベル群になりますよ。
これが単位群でなければ、べき根の添加によって
ガロア群が真に縮小する。
そのべき根の構成はアーベル群(=G/[G,G])
の指標による指標和=ラグランジュ分解式
によってなされる。
244:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:27:12.96 dxBydmVP.net
非可換単純群においてラグランジュ分解式を作っても
それはべき根解法には寄与しない、意味がないということ。
245:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 10:40:57.50 x1AjdVpC.net
>>240
必死だなｗ
>正月からキーワードで検索した結果を一読すらせずコピペするマウントヒヒ1
一読というか、チラ見したよ
>>238より
”The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so
11 = (ω + 2)(ω^2 + 2)(ω^3 + 2)(ω^4 + 2)”
とp=11で、4つに分かれるんだ
これ、>>64 (参考)
URLﾘﾝｸ(ror.hj.to)
元祖ワシ的日記
眠れない夜に円分多項式 （一応その３）2008年05月28日
11乗して1になる数を求める円分多項式
F11(x) = x^10 + x^9 + x^8 + ... + x + 1 = 0
の根は10次の方程式ながら解けてしまうのです。
(引用終り)
これから
(引用開始)
σは1の5乗根でσ^5 = 1。
C0^5 = (50 - 39B0) + σ(55 + 15B0) + σ^2(20 + 55B0) + σ^3(-65 - 5B0) + σ^4(-75 - 25B0)
D0^5, E0^5, F0^5を計算すれば
D0^5 = (50 - 39B0) + σ^2(55 + 15B0) + σ^4(20 + 55B0) + σ(-65 - 5B0) + σ^3(-75 - 25B0)
E0^5 = (50 - 39B0) + σ^3(55 + 15B0) + σ(20 + 55B0) + σ^4(-65 - 5B0) + σ^2(-75 - 25B0)
F0^5 = (50 - 39B0) + σ^4(55 + 15B0) + σ^3(20 + 55B0) + σ^2(-65 - 5B0) + σ(-75 - 25B0)
これより C0, D0, E0, F0がQ(√-11)の元の5乗根として求まる。
(引用終り)
とあるけど
これ、「p=11で、4つに分かれる」と
「C0, D0, E0, F0がQ(√-11)の元の5乗根として求まる」の"C0, D0, E0, F0"の4つとが
関連しているんだろうなと
思いながら、コピペしてたｗ
246:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:48:13.18 dxBydmVP.net
Gをガロア群として、σを位数nの元とする。
ラグランジュ分解式は
θ+ζ_nσ(θ)+ζ_n^2σ^2(θ)+…+ζ_n^{n-1}σ^{n-1}(θ)
のような形になっている。
アーベル群の指標とは有限アーベル群からC^×への準同型写像のことであり
この場合で言うと、σ^k→ζ_n^k
という写像が、σが生成する巡回群<σ>からC^×への
準同型写像になっていると言っているだけ。
ラグランジュ分解式は必ずこのような形を持っていると思う。
247:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 10:52:11.25 x1AjdVpC.net
>>243-244
なるほど
それは正しそうだね
Gを可解群に限定すれば、交換子群[G,G]なしで説明できるかな
>そのべき根の構成はアーベル群(=G/[G,G])
>の指標による指標和=ラグランジュ分解式
なるほど。但し
ラグランジュ分解式は、one of them であって、
使える式は、ラグランジュ分解式一つに限定されないだろうが
248:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:52:28.22 dxBydmVP.net
勿論、σ^k→ζ_n^{lk} としてもいい。これでも準同盟。
つまり、「自然な形」にすると準同型写像になってるってこと。
そう言えば、工学バカは「準同型写像」も知らなかったな？ｗ
249:和尚がⅡ
23/01/01 11:07:10.63 pCSmtf17.net
>>248
>そう言えば、1は「準同型写像」も知らなかったな？
群が分からないんだから、準同型はわかるわけないよね
250:和尚がⅡ
23/01/01 11:13:57.53 pCSmtf17.net
>>245
まーたわけもわからずコピペして
式の形だけで直感的憶測する
トンデモオカルト思考してるねｗ
昨日の「わか数」はcos(2πn/11)しか解いてないから√11出てこないよ
7等分の時見ればわかるけど、
cosのときは７しか出てこない
sinで√７が出てくる
♪なんでだろー なんでだろー なんでだなんでだろー
251:１３２人目の素数さん
23/01/01 11:23:11.35 dxBydmVP.net
で、わたしが大学の頃レポートで書いたのは
要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^
として
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
という指標和を考えてやると、これがべき根になっていて
（実際、この和を(χ,θ)とおくとσ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)
が成立するから、(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
べき根表示が一挙に得られるという話。
当時は「この程度では深さが足りないな」と思ったが
このスレのレベルからすると、天才か？！って思うねｗ
252:１３２人目の素数さん
23/01/01 11:30:44.69 dxBydmVP.net
>(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
勿論、これをすっきり言うために、指標χの値として生じる1のべき根を
予め基礎体に添加しておくのである。
この辺り、もしこの前提を無くしたらどうなるか？とかも
当時はある程度考えていたが、そのうち関心が別に移った。
253:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 11:52:56.20 x1AjdVpC.net
>>246
>アーベル群の指標とは有限アーベル群からC^×への準同型写像のことであり
下記の「乗法的指標」のことかな？ 指標は、ラグランジュ分解式限定じゃないよね
（Other uses of the word "character" are almost always qualified.とあるね）
ついでに聞いていいかい？
・ラグランジュ分解式を、指標と見ることの具体的利点は何か？ 特にないけど、教養として知っておけかな
・同様、フーリエと見ることの具体的利点は何か？ 特にないけど、教養として知っておけかな
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Character (mathematics)
In mathematics, a character is (most commonly) a special kind of function from a group to a field (such as the complex numbers). There are at least two distinct, but overlapping meanings.[1] Other uses of the word "character" are almost always qualified.
Contents
1 Multiplicative character
2 Character of a representation
2.1 Alternative definition
3 See also
つづく
254:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 11:53:21.12 x1AjdVpC.net
>>253
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
指標（しひょう、英: character）とは、群から（複素数全体のような）体へのある特殊な関数のことを言う。少なくとも二つの、異なるが重複もする意味が存在する。
乗法的指標
群 G 上の乗法的指標（あるいは線形指標または単純に指標）とは、G からある体（通常は複素数体）の乗法群への群準同型である (Artin 1966)。G を任意の群としたとき、そのような準同型の集合 Ch(G) は点ごとの乗算の下でのアーベル群をなす。
この群は G の指標群と呼ばれる。しばしば、「単位的」な指標のみが考慮され、したがって像は単位円の中にある。このとき、その他の準同型は準指標 (quasi-character) と呼ばれる。この定義の特殊な場合として、ディリクレ指標がある。
乗法的指標は線形独立である。つまり Χ_1,Χ_2, ・・・ , Χ_n をある群 G 上の異なる指標としたとき、a_1Χ_1+a_2Χ_2 + ・・・ + a_n Χ_n = 0 であるなら a_1=a_2=・・・=a_n=0 が成立する。
表現の指標
詳細は「指標理論」を参照
体 F 上の有限次元ベクトル空間 V 上の群 G の表現 φ の指標とは、その表現 φ のトレースのことを言う。一般に、そのトレースは群準同型ではなく、そのトレースの集合が群をなすこともない。一次元表現の指標は、一次元表現と同一であり、したがって上述の乗法的指標の概念はより高次元の指標の特別な場合として考えられる。指標を用いた表現の研究は指標理論と呼ばれ、その分野において一次元指標は線形指標とも呼ばれる。
(引用終り)
以上
255:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 11:58:10.18 x1AjdVpC.net
>>251
>すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
>（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
>べき根表示が一挙に得られるという話。
ありがと
では
前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)
これに、あんたの理論を適用して
具体的に、フーリエ逆変換やって
”べき根表示が一挙に得られる”
を、どぞｗ
実演頼むわｗｗ
256:１３２人目の素数さん
23/01/01 11:58:35.92 bVpk4vzc.net
有限体F上の既約な代数方程式はFのある拡大体F'の中で次数に等しい
個数の根を持つ。拡大次数の上限は簡単にわかるから、
高々有限個しかない拡大された有限体F'の元を一つずつ根になっているか
どうかを調べていっても解決できるが、もっと能率の良いやり方があるのだろう。
さらに、F'はFのアーベル拡大だから、すべての根を無理矢理に巾根表示の形式で
表すことが出来るにちがいないが、それをやったとしたらはたしてなにか良い
ことがあるのだろうか？
257:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 14:08:44.26 x1AjdVpC.net
>>256
どうもありがとう
>さらに、F'はFのアーベル拡大だから、すべての根を無理矢理に巾根表示の形式で
>表すことが出来るにちがいないが、それをやったとしたらはたしてなにか良い
>ことがあるのだろうか？
かなり同意
１）多分、巾根は「人類が古代(エジプトで？)最初に得た高等関数」なのでしょうね
平方根が、面積やピタゴラスの公式の逆から得られる
立方根は、体積の1/3乗から
でも、5乗根になると、普段使うことないです
ただ、漠然と5乗根の世界が美しく思えたかも
２）しかし、5乗根の世界は、>>191-195に示してくれたように
ゴタゴタして美しくないですよね
三角関数表示ならば、cos(2π/11)+isin(2π/11) とスッキリしている
21世紀のいま、関数電卓なりエクセル関数で、適当な近似値を得るならば
cos(2π/11)+isin(2π/11) の方が、好都合です
（5乗根でこれだけゴタゴタするならば、それ以上の次数になると、うんざりですね）
３）なので、
巾根表示は理論的興味以上の意味がないのかも、きっと
そして、過去 限界の5次式で、いろんな人がいろんなべき根解法を試したみたいですね
４）で、問題>>255で三角関数表示で「cos(2π/11)+isin(2π/11) 」いいのならば（実際は逆数1/cos(2π/11)ですが）
これを、フーリエ変換する？ どうやるの？ フーリエ逆変換でべき根表示できる？
さっぱり、浮かばない
258:１３２人目の素数さん
23/01/01 14:23:03.35 dxBydmVP.net
>過去 限界の5次式で
バカ、ここに極まれりｗ
素人の世界ではそうかもしれないが、数学者は遥に先を行っている。
結局、これは「ガウス和の決定」という問題に帰着する。
これは偏角の決定まで含めると、一般的には大変難しい問題だが
だからと言って「個々の場合」が「p=11とかその程度」
しか計算されてないなんてことはありえない。
p=100万以下程度は軽く計算されていると思う。
259:１３２人目の素数さん
23/01/01 14:30:08.88 dxBydmVP.net
フーリエ逆変換がペダンチックだと言うなら
「指標の直交性」からもっと直に計算式を示すこともできる。
ただし、1はクレクレバカで、自分で計算せずに
ひとがやってくれることを期待してるから
自分で理解せずに結果だけ見て、そんなの楽しいの？
としか思わない。
260:１３２人目の素数さん
23/01/01 14:37:14.81 dxBydmVP.net
「偏角決定なし」で、べき根の中身だけなら
>>120の公式より、ヤコビ和という比較的簡単な和
から計算できる。
261:１３２人目の素数さん
23/01/01 15:08:51.44 dxBydmVP.net
>>251に書いた通り
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)=(χ,θ)
で、これがべき根になってるわけ。
ここから逆にθを得るには
(1/n)Σ_{χ∈A^}(χ,θ)=θ（ただし、n=|A|）
とするだけ。具体的な計算はともかく
理念的にはとても簡単。
262:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 15:16:07.11 x1AjdVpC.net
>>257 補足
> ４）で、問題>>255で三角関数表示で「cos(2π/11)+isin(2π/11) 」いいのならば（実際は逆数1/cos(2π/11)ですが）
いまさら、自明でトリビアですが
Qにある無理数αを添加した体Q(α)には、αの逆元1/αが含まれる
逆もまた真
よって、Q(α)＝Q(1/α)です
なので、>>255 より Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)) の場合
Π_{k=1}^{5}(x-cos(2kπ/11)) を考える方が、やりやすい
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
で、x=1/X （つまりX＝1/x＝cos(2π/11)であり）
1/X^5 + 6 1/X^4 - 12 1/X^3 - 32 1/X^2 + 16 1/X + 32=0
X^5をかけて、分母をはらうと
1 + 6 X - 12 X^2- 32 X^3 + 16 X^4 + 32 X^5=0
となって、この方程式の根の一つは X＝cos(2π/11) であり
全体では、cos(2kπ/11) k=1～5 です
cos(2kπ/11) k=1～5で考える方が
従来の円分多項式の理論が使えるので
これが、大きなメリットです
263:和尚がⅡ
23/01/01 15:17:26.27 pCSmtf17.net
>>257
＞巾根は「人類が古代(エジプトで？)最初に得た高等関数」なのでしょうね
＞しかし、5乗根の世界は、・・・に示してくれたように
＞ゴタゴタして美しくないですよね
どうせ引用するなら>>183-184にしときなよ
腕力で計算しても、ちゃんと答えが出る
実に美しいと思うがな
＞三角関数表示ならば、cos(2π/11)+isin(2π/11) とスッキリしている
＞21世紀のいま、関数電卓なりエクセル関数で、適当な近似値を得るならば
＞cos(2π/11)+isin(2π/11) の方が、好都合です
＞（5乗根でこれだけゴタゴタするならば、それ以上の次数になると、うんざりですね）
逆関数arccos、arctanもいるけどね
ま、本当のこといえば、複素数のlogとexpがあればいいが
そんな都合のいいもん、EXCELにはないので、三角関数と逆三角関数が必要
そういう安直な精神の人は、ガロア理論とか興味持っちゃダメだよ
円分体も興味ないのに、ガロア理論とかありえんわ~
＞なので、巾根表示は理論的興味以上の意味がないのかも、きっと
というか、代数方程式の解が知りたいなら数値解法使えよｗ
＞そして、過去 限界の5次式で、いろんな人が
＞いろんなべき根解法を試したみたいですね
いろんなベキ根解法ってなんだよｗ
基本的にはラグランジュの分解式に尽きる
もちろん、見かけ上違う方法はあるかもしれんがね
だからといって、ベキ根とか言ってる限りは
解ける方程式が増えるなんてこたぁない
＞で、問題>>255で三角関数表示で「cos(2π/11)+isin(2π/11) 」いいのならば
＞これを、フーリエ変換する？ どうやるの？
＞フーリエ逆変換でべき根表示できる？
＞さっぱり、浮かばない
ベキ根ベキ根って、＊＊の一つ覚えみたいに騒ぐなよｗ
要するにベキ根の中身が１の５乗根を使った式で表せればいい
それをやったのが「わか数」の183-195だろ
ま、アイデアは他人のページによるといってるけどな
数式以外をコピペしてドヤってるだけのサルよりよっぽどマシ
計算しないヤツ、文章読まないヤツが、数学について何を語るんだ？
何も語れることないだろ 自分の誤解と挫折体験以外
264:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 15:18:01.47 x1AjdVpC.net
>>261
ありがと
では
前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)
これに、あんたの理論を適用して
具体的に、フーリエ逆変換やって
”べき根表示が一挙に得られる”
を、どぞｗ
実演頼むわｗｗ
ゴタクは、いいからやってｗ
265:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 15:52:42.01 x1AjdVpC.net
>>264 補足
下記いいね
「 x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0 の解
α = 2 cos2π/11 」
なんだね
α = cos2π/11 より係数が小さくなるね
なるほどね
(参考)
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
亀井のホームページ
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
数学のページ
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
MeBio 数学テキスト (2018.4.25 7:16)
x^5 - 5x + 12 = 0 について
?Galois 群，巾根表示，類体論，整数環?
目 次
第 1 章 きっかけと他の例 ..3
§ 1 5 次巡回拡大 ....... 3
§ 2 5 次交代群 A5 ...... 5
第 2 章 x^5 - 5x + 12 = 0 ..6
§ 1 Gal(K/Q) = D5 .... 6
§ 2 共役元を F[α] の元として表す ..... 7
§ 3 α の巾根表示 ....... 11
§ 4 Artin symbol (K/F/p)....... 14
§ 5 F の絶対類体....... 18
§ 6 |OE : Z[α]| と |OK : OF [α]| の決定 .... 20
§ 7 OE の決定...... 22
§ 8 OK の決定 1；2 巾の除去 ...... 23
§ 9 OK の決定 2；5 巾の除去 ...... 28
第 1 章
きっかけと他の例
筆者は医歯学部進学予備校メビオで数学講師として勤務しています．過日同僚の新家英太郎さんに「Q 上 Galois
群が A5 になる代数拡大の例は」と尋ねられ，いろいろ計算している途中で f(x) = x
5 - 5x + 12 = 0 なる「興味深い」方程式が見つかりました．この方程式の分解体 K の Galois 群 Gal(K/Q) は A5 ではなく D5 ですが，A5 と
異なり可解群ですから，種々の整数論的現象の例として非常に具体的な数値を示すことができます．その際，数式
ソフトが非常に有効です．整数であることがわかっている数を小数計算した結果，十分に整数に近い小数が得られ
たならその数が決定できたことにするわけです．（もちろん数学としてはその正当性を再確認する必要があります．）
筆者が学生の頃は万人が容易に使える数式ソフトなどなく，電卓レベルで計算するか自分でプログラムを組むか
ぐらいしかなかったのですが，今回数式ソフトを使ってみてその威力に驚きました．本稿ではその活用の仕方も紹
介したいと思います．計算には Maxima と Excel を多用しました．
つづく
266:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 15:53:23.06 x1AjdVpC.net
>>265
つづき
本稿で行ってみたのは次の事項です．
・ Galois 群 Gal(K/Q) を決定する，（実は D5）
・ 2 次の部分体 F を決定する．
・ f(x) = 0 の一つの解を α とするとき，他の解を F(α) の元として表す．
・ α を巾根表示する．
・ K を F の類体とみて，対応する射線 m と同型 Gal(K/F) ? Am/Hm を決定する．
・ K/Q で分岐する素数 2, 5 の素因子に対し，その分解群，惰性群，分岐群を決定する．
・ F の絶対類体を決定する．
・ 判別式 D(E/Q), D(K/Q) を決定する．
・ 整数環 OE, OK を決定する．
これらについては 2 章で見ることにして，この章では Galois 群が Z/5Z になる例と A5 になる例を一つずつ紹介
しておきましょう．
§ 1 5 次巡回拡大
ζ を 1 の複素 11 乗根とする．つまり ζ = exp2πi/11= cos2π/11+ isin2π/11
である．この場合円分体 Q(ζ) は Q上 10 次の巡回拡大であり，
Gal(Q(ζ)/Q) ? (Z/11Z)× ? Z/10Z =< σ >
ここで σ は σ(ζ) = ζ^2 で定義される自己同型である．（ 2 は (Z/11Z)× の原始根である．）
従って Gal(Q(ζ)/Q) の位数 2 の部分群 < σ5 > に対応する体 K が Q 上 5 次の巡回拡大になっている．
σ^5: ζ → ζ^2^5= ζ^32 = ζ^-1 は複素共役写像なので K = Q(ζ) ∩ R でもある．
α = ζ + ζ^-1 = 2 cos2π/11(≒ 1.682507065662362) と置くと
略
参考 1 α は x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0 の解であるが，Q 上 5 次巡回拡大の元であるからこの方程式は巾
根で解ける．実際，
α = 2 cos2π/11=1/5(略)
（Kamei_HP:URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)）
参考 2 ちなみに (α - β)(β - γ)(γ - δ)(δ - ?)(? - α) = 11 で，これは素イデアル (11) が完全分岐することを表す．
(引用終り)
以上
267:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 16:42:10.05 x1AjdVpC.net
>>266
>（Kamei_HP:URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)）
これ、下記です
なんか、やろうとしていたこと、全部か多分それ以上の結果が下記にあるね
よく纏まっている
(参考)
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
MeBio 数学テキスト (2014.12.27 20:42)
1 の n 乗根の巾根表示
?n = 11, 13, 7?
第 1 章
1 の 11 乗根の巾根表示
P4
§ 3 体の関係
F = Q(η) とする．Gal(F/Q) ～= (Z/5Z)× ～= Z/4Z であるが，この生成元として τ : η → η^2 をとることがで
きる．< τ 2 > の不変元が Q(√5) である．
また K = Q(α) とおく．Gal(K/Q) ～= Z/5Z の生成元として σ : ζ +1/ζ → ζ^2 +1/ζ^2 をとることができる．
（2 は (Z/11Z)× の原始根である．）
L = KF = Q(α, η) とおく．K ∩ F = Q なので，Gal(L/K) = G1, Gal(L/F) = G2 とおくと，Gal(L/Q) =
G1 × G2 であり，G1 = Gal(L/K) ～= Gal(F/Q) =< τ >, G2 = Gal(L/F) ～= Gal(K/Q) =< σ > がわかる．そこ
で τ, σ を Gal(L/Q) の元として次のように延長する．
τ：η → η^2
ζ +1/ζ → ζ +1/ζ
σ：η → η
ζ +1/ζ → ζ^2 +1/ζ^2
つまり τ は K の元を固定し，σ は F の元を固定するものとする．
つづく
268:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 16:42:37.65 x1AjdVpC.net
>>267
つづき
§ 4 β およびその共役元
L/F は Kummer 拡大なので，適当な a ∈ F を用いて L = F(
√5 a) と表示することができる．a は通常通り次
のようにすれば求められる．
α0, α1, α2, α3, α4 を次のように定義する．
略
これら５つの F 上共役な元を用いて β を
β = α0 + α1η + α2η^2 + α3η^3 + α4η^4
と定義すると，
略
が成り立つので，β, βη, βη^2, βη^3, βη^4 は F 上すべて共役で，すべて x
5 - β^5 = 0 の解であり，
NL/F β = β ・ βσ・βσ2・βσ3・ βσ4= β・βη^4・βη^3・βη^2・βη = β5 ∈ F
であることが分かる．従って β5 を具体的に計算すれば，β はその元の 5 乗根として巾根表示されることになる．
§ 5 β^5 の計算
従って β =（略)＾1/5
§ 6 β0, β1, β2, β3, β4 の定義と，α0 の表示
．従って，α0 =1/5(β0 + β1 + β2 + β3 + β4)=略
が得られる．これにより ζ11 が巾根で表示できたことになり，問題は解決したといってもよい．た
§ 7 β の具体的な表示
略
§ 9 計算に役立ついくつかの事実
(1) Q の素イデアル (11) は F/Q では完全分解し，K/Q では完全分岐する．
(2) F も K も類数は 1 である．
F における 11 の素イデアルが (η - 3, 11), (η - 4, 11), (η - 5, 11), (η - 9, 11) であることはすぐに分か
るが，これらは単項なので，生成元を見つけておきたい．適当な単項イデアルのノルムをいくつか計算してみる
と (η - 9, 11) = (η + 2) であることがすぐに分かる．後はこの共役イデアルを考えれば，(η - 3, 11) = (η^2 + 2),
(η - 4, 11) = (η^3 + 2), (η - 5, 11) = (η^4 + 2) が得られる．
この結果を用いると，例えば節４で表れた -η^3 - 2η^2 + 2η は，NF/Q(-η^3 - 2η^2 + 2η) = 112 であることか
らイデアルとして (-η^3 - 2η^2 + 2η) = (η - 4, 11)(η - 5, 11) = (η^3 + 2)(η^4 + 2) であることが分かり，数として
-η^3 - 2η^2 + 2η = η(η^3 + 2)(η^4 + 2) と素因数分解できることに気付く．
(引用終り)
以上
269:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 16:56:38.31 x1AjdVpC.net
>>263
> ま、本当のこといえば、複素数のlogとexpがあればいいが
> そんな都合のいいもん、EXCELにはないので、三角関数と逆三角関数が必要
EXCEL、複素数
なんか聞いたことがあるよ
と検索すると下記ね
（要するに、知っているから検索できる。私のコピペも同じだよ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
【Excel関数上級編】Excelで複素数の自然対数を計算するIMLN（イマジナリー・ログナチュラル）関数
ソフトキャンパスExcel学校
チャンネル登録者数 2700人
298 回視聴 2020/10/06 #Excel #関数 #複素数
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
chiebukuro.yahoo
mai********さん
2020/2/21
Excelでexp関数で虚数iを用いたexp(i*x)のようなオイラーの公式のようなものを作りたいのですが、iの入れ方がわかりません。実数だかでしかできません。助けてください
回答（1件）
pis********さん
2020/2/21 19:03
Excelで複素数を扱う場合は
=COMPLEX(実部,虚部)
となります。
複素数を引数とする場合、普通の関数は使えず、複素数専用の関数を使うことになります。expは、IMEXP関数を使います。
以下は、exp(iθ)が、cos(θ)＋isin(θ) と一致することを見る例です。
URLﾘﾝｸ(support.microsoft.com)
IMEXP 関数
ここでは、Microsoft Excel の IMEXP 関数の構文および使用法について説明します。
説明
文字列 "x+yi" または "x+yj" の形式で指定された複素数のべき乗を返します。
書式
IMEXP(複素数)
IMEXP 関数の書式には、次の引数があります。
複素数 必ず指定します。 べき乗を求める複素数を指定します。
解説
COMPLEX 関数を使用すると、実数係数と虚数係数を指定して、複素数に変換することができます。
複素数のべき乗は、次の数式で表されます。
数式
使用例
(引用終り)
以上
270:和尚がⅡ
23/01/01 17:04:33.81 pCSmtf17.net
>>265-268
「いいね」じゃなくて自分で計算しなくちゃｗ
君がダメなのはすぐサボること
工学部って計算しないの？んなことないだろｗ
271:和尚がⅡ
23/01/01 17:25:18.89 pCSmtf17.net
>>268
＞§ 5 β^5 の計算
＞従って β =（略)＾1/5
これは酷いｗ
せめてこのくらい書けよ
「β = α0 + α1η + α2η^2 + α3η^3 + α4η^4
β^5 は手計算でも計算できる．
そのためには（α0~α4の積に関する）次の演算規則を用意しておくと便利である．
これを使うと β^2 が次のように計算される．
ここで
α0 +α1η^2 +α2η^4 +α3η +α4η^3 = βτ である．
（後の節では (βτを)β2 とかくことになる．）
また，
－η^3 －2η^2 + 2η =η(η^3 + 2)(η^4 + 2)
と表せることも後に説明する．結局のところ
β^2 = η(η^3 + 2)(η^4 + 2)β2
が分かった．
注意： β1^2/β2∈ F は τ の作用を考えれば明らかである．
同様の計算により，
ββ2 = η^2(η + 2)(η^3 + 2)β3 が得られる．
ここで
β3 = βτ^2= α0 + α1η^3 + α2η + α3η^4 + α4η^2
である．
また，
ββ3 = η(η^3 + 2)(η^4 + 2)β4 が得られる．
ここで
β4 = βτ^3= α0 + α1η^4 + α2η^3 + α3η^2 + α4η
である．
最後に ββ4 を計算すると ββ4 = 11 がわかるので，
β^5
= －11η^4(η + 2)(η^3 + 2)^3(η^4 + 2)^2
= －η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)4(η^4 + 2)3
が得られる．」
これを踏まえて>>183-195を読むとよくわかる
（そもそも「わか数」が参考にした子葉氏のページの
元ネタは亀井氏のpdfらしいので同じなのは明らか）
ついでにいうと、この亀井さんという人は
京大数学科卒（整数論専攻）で現在予備校教師だそうだ
さすがに「わか数」（某私大数学科卒（情報科学専攻？））と違って
ちゃんと答えで出てくる数を因数分解して綺麗な形にしてますね
まあ、別にいいんですけどｗ
272:和尚がⅡ
23/01/01 17:39:15.15 pCSmtf17.net
>>267
＞よく纏まっている
じゃ質問
Q１：変換τ：η→η^2
が群(Z/5Z)×=Z/4Zを生成することを、具体的に示せ
Q２：変換σ：（ζ+1/ζ)→(ζ^2+1/ζ^2)
が群(Z/11Z)×（位数10の巡回群）の部分群であるZ/5Zを生成することを、具体的に示せ
わかってるなら、速攻三分で答えられるよね？ｗ
273:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 19:50:02.32 x1AjdVpC.net
>>267 追加引用
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
MeBio 数学テキスト (2014.12.27 20:42)
1 の n 乗根の巾根表示
n = 11, 13, 7
第 1 章
1 の 11 乗根の巾根表示
P7
§ 8 紛れのない α の表示
P8
α =1/5{-1 + β +η^4(η + 2)(η^2 + 2)β^2 /11 +η^2(η + 2)(η^2 + 2)^2(η^4 + 2)β^3 /121 +η(η + 2)^2(η^2 + 2)^3(η^4 + 2)β^4 /1331}
ただし，β ={-η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)^4(η^4 + 2)^3}^1/5, η =(-1 + √5 + √(-10 - 2√5))/4
(引用終り)
＜補足説明＞
Kummer 拡大について
1の5乗根 η = exp2πi/5= cos2π/5+ isin2π/5 であって
β^5 =-η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)^4(η^4 + 2)^3 ∈Q(η)
であって
α∈Q(η)(β)
と書ける
形式的に
基礎体K＝Q(η)、b＝β^5 とおくと
α∈K(b^1/5)、b∈Q(η)
と書ける
これぞ、Kummer 拡大なり！
274:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:05:46.96 dxBydmVP.net
ζ_p=exp(2πi/p)
χはpを法とするディリクレ指標
τ(χ)はガウスの和 Σ_{j=1}^{p-1}χ(j)ζ_p^j
(1) ζ_p=1/(p-1)Στ(χ) （和はすべてのχに渡る）
sin(2π/p)=-i/(p-1)Στ(χ) （和はχ(-1)=-1なるすべてのχに渡る）
cos(2π/p)=1/(p-1)Στ(χ) （和はχ(-1)=1なるすべてのχに渡る）
(1)を基本のべき根展開とすると
sinは奇函数、cosは偶函数であることに応じて
それぞれχ(-1)=+1,χ(-1)=-1 なる項はすべて消える。
275:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:06:54.15 dxBydmVP.net
2/cos(2π/11)
=8(cos(4π/11)+cos(12π/11)+cos(20π/11))
=8/10Σ(χ~(2)+χ~(6)+1) τ(χ)
（和はχ(-1)=1なるすべてのχに渡る，χ~は複素共役。
展開の各係数に8(χ~(2)+χ~(6)+1) が掛けられる。それだけの話
276:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 20:12:17.37 x1AjdVpC.net
>>273 補足
これが、知りたかったんだ
・β^5 =-η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)^4(η^4 + 2)^3 ∈Q(η)
・α =1/5{-1 + β +η^4(η + 2)(η^2 + 2)β^2 /11 +η^2(η + 2)(η^2 + 2)^2(η^4 + 2)β^3 /121 +η(η + 2)^2(η^2 + 2)^3(η^4 + 2)β^4 /1331}
・α∈K(b^1/5)、b∈Q(η) ｜ 基礎体K＝Q(η)、b＝β^5 （η = exp2πi/5= cos2π/5+ isin2π/5 1の5乗根）とおく
Kummer 拡大 一目瞭然！
277:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:15:25.92 dxBydmVP.net
(1) ζ_p=1/(p-1)Στ(χ) （和はすべてのχに渡る）
の両辺にσ∈Gal(Q(ζ_p,ζ_{p-1})/Q(ζ_{p-1}))
を作用させてみましょうか。
σ(ζ_p)=1/(p-1)Σχ~(σ)τ(χ)
となる。これもフーリエ級数展開の類似。
一つの根の展開が分かれば、他の根の展開も自動的に分かる仕組み。
278:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 20:15:26.21 x1AjdVpC.net
>>275
ありがと
では
前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)
これに、あんたの理論を適用して
具体的に、フーリエ逆変換やって
”べき根表示が一挙に得られる”
を、どぞｗ
実演頼むわｗｗ
ゴタクは、いいからやってｗ
279:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:17:40.09 dxBydmVP.net
>これが、知りたかったんだ
>Kummer 拡大 一目瞭然！
いや、貴方みたいに頭の悪いひとが、そんな明瞭な理解が
得られるわけないから、気分的な錯覚ですよｗ
コピペできることに喜んでるだけでしょう。
280:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 20:17:42.21 x1AjdVpC.net
>>277
おっと
出発点は
あんたのx^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>278
からで頼むよ
種明かしの Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). からって
それフーリエでもなんでもないと思うのは
私だけかい？ｗ
281:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:23:50.71 dxBydmVP.net
「フーリエ級数展開の類似」というのは
別にそれが分かったからと言って、既存の解法を
変更させるものではないですよ。
前にも言ってありますが。
いろいろ考える際の「見通し」に関わってくるだけ。
いろいろ自分で考えない1=雑談氏には詮無い話。
282:和尚がⅡ
23/01/01 21:10:44.39 pCSmtf17.net
>>273
>これが、知りたかったんだ
あいかわらず計算せずに他人の文章をカンニングですか
大学の数学の試験もカンニングしたのかい？
＞基礎体K＝Q(η)、b＝β^5 とおくと
＞α∈K(b^1/5)、b∈Q(η)
＞と書ける
＞これぞ、Kummer 拡大なり！
Q(α)はQのクンマー拡大ではないことは理解できたかい？
283:和尚がⅡ
23/01/01 21:23:27.27 pCSmtf17.net
>>278
>具体的に、フーリエ逆変換やって”べき根表示が一挙に得られる”
日本語が曲がって聞こえるんだね 君には
さて、質問
α =1/5{-1
+ β
+ η^4(η + 2)(η^2 + 2)β^2 /11
+ η^2(η + 2)(η^2 + 2)^2(η^4 + 2)β^3 /121
+ η(η + 2)^2(η^2 + 2)^3(η^4 + 2)β^4 /1331}
として、他の４つの根 α1~α4を、βとηで表してごらん
ま、逆フーリエ変換が理解できない「ニセ工学部卒」には分からないかな？
284:和尚がⅡ
23/01/01 21:40:03.87 pCSmtf17.net
1クンへ
>>272と>>283の質問は、基本だから必ず答えてね
285:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 22:03:42.43 x1AjdVpC.net
>>281
>「フーリエ級数展開の類似」というのは
>別にそれが分かったからと言って、既存の解法を
>変更させるものではないですよ。
勿論
承知ですよ
既存の解法以外に
もう一つ
新しいフーリエ変換による解法が可能
と理解しましたよ
こうでしたね
>>251より
で、わたしが大学の頃レポートで書いたのは
要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^
として
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
という指標和を考えてやると、これがべき根になっていて
（実際、この和を(χ,θ)とおくとσ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)
が成立するから、(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
べき根表示が一挙に得られるという話。
当時は「この程度では深さが足りないな」と思ったが
このスレのレベルからすると、天才か？！って思うねｗ
(引用終り)
ええ、天才と思いますよ
新しいフーリエ変換による解法が可能なんですよね
”フーリエ逆変換を取れば アーベル方程式の根θのべき根表示が一挙に得られる”
すばらしいじゃないですか？
＞いろいろ考える際の「見通し」に関わってくるだけ。
はあ？
じゃ、あんたの x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>278
で、その「見通し」なるものを、適用してください
条件は、スタートは 上記方程式 のみでね
（種明かしの ”Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))”は、陽には使わないこと。陰で使うのは可（というか、使われても分からないしｗ））
どうぞ、その「見通し」なるものを、お願いしますよ
大学の頃レポート通りでも、あと更に研究を追加した改良版でも可ですよ
どうぞ、その「見通し」なるものを、お願いしますね
いや、私のためでなく、そもそも 前スレ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:805番)より
”ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
略
(1)をフーリエ級数展開の類似物と見たとき
略
これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する”
ね
どうぞ、その「見通し」なるものを語って下さい
286:和尚がⅡ
23/01/01 22:18:51.42 pCSmtf17.net
>>285
君、自分が離散フーリエ変換も全く理解してなかったからって
逆ギレするのはおかしいよ 学習しなよ なんでしないの？
287:１３２人目の素数さん
23/01/01 22:20:44.32 dxBydmVP.net
まずご自分の義務>>284を果たされては？
288:１３２人目の素数さん
23/01/01 22:27:36.89 dxBydmVP.net
>別にそれが分かったからと言って、既存の解法を
>変更させるものではないですよ。
「既存の解法に新しい解法を付け加えるものではない」ということです。
ちなみに、大学時代に書いたレポートは離散フーリエ変換
なんてシャレた用語は知らなかったので、単に有限アーベル群の
指標の性質だけを使いました。
双対性というテーマが非常に気に入った点。
289:１３２人目の素数さん
23/01/01 22:31:51.10 dxBydmVP.net
>>274と比較すれば、>>251はほぼ自明な拡張しか行っていないので
ま、考えて見れば学生レポートあたりが妥当なところ。
べき根解法の構造が透明にはなっていると思う。
290:和尚が?
23/01/01 22:33:25.78 pCSmtf17.net
>>285
ところで、1は「アーベル方程式」が何だか知ってるの？ｗ
291:１３２人目の素数さん
23/01/01 22:55:03.39 bVpk4vzc.net
ここまでガウスのｆ項周期の話なし。
292:１３２人目の素数さん
23/01/01 23:04:52.83 dxBydmVP.net
>>291
貴方がされては？
293:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 06:09:52.96 bB/h5A70.net
>>291
それは円の17等分いわゆる「セブンのティーン」に関連してやる予定
ということでまず予告編
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
294:１３２人目の素数さん
23/01/02 07:22:58.12 YGVCEmlg.net
ガウスの数論世界をゆく: 正多角形の作図から相互法則・数論幾何へ (数学書房選書)
susumukuni
ガウス周期を主役としてガウスの数論世界を探索する優れた書
susumukuniさんのレビューに内容の説明がありますね。
295:１３２人目の素数さん
23/01/02 07:40:28.96 l4qCHnBq.net
>>38
お前は聖ニコラスではない、性ニコラスじゃ!!
296:１３２人目の素数さん
23/01/02 07:59:23.74 YGVCEmlg.net
前スレに書いた
>681１３２人目の素数さん2022/12/12(月) 07:27:51.88ID:o5L78qQF
>HはGの部分群であれば任意で、Hの作用でちょうど不変になる式を作れば同様。
>クロネッカー・ウェーバーの定理より
>Q上の巡回（より広くアーベル）方程式は本質的にこのタイプに限られる。
>
>例
>n=31, H={1,5,6,25,26,30}のときG/Hは5次の巡回群。
>α=Σ_{k∈H}σ_k(ζ_31)
>とおくとαはHで不変で、次の巡回方程式をみたす。
>x^5+x^4-12 x^3-21 x^2+x+5
ここで言う
Σ_{k∈H}σ_k(ζ_31)のような数がガウス周期だと思う。
「ガウス周期の積公式」というのが成立して
|G/H|=2,|G/H|=4の場合、それらがそれぞれ平方剰余、4次剰余についての情報を含んでるってことかな？
297:１３２人目の素数さん
23/01/02 08:07:07.78 YGVCEmlg.net
「3次剰余の場合に限界がある」とすれば、その理由には興味がある。
298:１３２人目の素数さん
23/01/02 08:17:40.82 YGVCEmlg.net
これらの和は指標(character)を含んでないという点に特徴がある。
その分幾何的には扱い易いのだろう。
指標和としてのガウス和は乗法指標と加法指標が組み合わさってる点に
難しい点があるわけだから。（でも、実はそこが面白い。）
299:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 08:42:37.33 bB/h5A70.net
>>295
冗談につっこむもんじゃありませんよ めっ
300:１３２人目の素数さん
23/01/02 10:13:47.30 l4qCHnBq.net
>>179
言ったな？理解してんだな？よーしじゃあ今すぐゼロタイムでゲーデルの不完全性定理を
『プロ数学者の品質』で答えろや、少しの素人洗脳用騙し説明も無く完全無欠に答えてみせろや
あぁ？ゲーデル数の定義付けから始まりゲーデルの不完全性定理の一切合財を説明してみせられるんだろ？
あ、コピペに頼ったらお前は自殺になるぞ
301:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 10:51:45.99 bB/h5A70.net
>>300
率直にいって、嘘つきのパラドックスを
「この文章はウソである」
という人は、嘘つきのパラドックスが分かってない
なぜなら
この文章＝「この文章はウソである」
という関係は、云ってる人が勝手に思ってることだからである
これに対して
「”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章はウソである」
では
”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章
が
「”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章はウソである」
であることは、誰の目にも明らかである
ハスケル・カリーすげぇ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
302:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 11:25:39.12 qZFMMNjk.net
皆様、明けましておめでとうございます。
さて
>>288-289
>ちなみに、大学時代に書いたレポートは離散フーリエ変換
>なんてシャレた用語は知らなかったので、単に有限アーベル群の
>指標の性質だけを使いました。
それで
結構ですよ
>>285より
あなたの x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>278
ここから出発して、種明かしの ”Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))”は、陽には使わないで
有限アーベル群の指標を、導いて下さい
>双対性というテーマが非常に気に入った点。
ええ、双対性も同じですね
ポントリャーギン双対>>188ですね
どうぞ、上記のx^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 を使って
双対性の明示を、お願いしますね
>べき根解法の構造が透明にはなっていると思う。
ええ、”べき根解法の構造が透明に”ですね
どうぞ、x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
に、適用をお願いします
>>285より
いや、私のためでなく、そもそも 前スレ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:805番)より
”ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
略
(1)をフーリエ級数展開の類似物と見たとき
略
これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する”
でしたね。私が理解できるできないに拘らずに
どうぞ、あなたの
「有限アーベル群の指標」と
「双対性というテーマ」と
「べき根解法の構造が透明に」
なるものを、語って下さい！
303:１３２人目の素数さん
23/01/02 11:30:36.83 TFIhRBBE.net
「”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章はウソである」
≠「”を二度繰り返した文章はウソである””を二度繰り返した文章はウソである”」
”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章
は下で上は違う
304:１３２人目の素数さん
23/01/02 11:43:07.92 YGVCEmlg.net
>>302
すでに十分説明しましたが？
>これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する
貴方何も反論してないじゃんｗ
「相手に説明の義務を負わせ続ければ勝てる」
という頭の悪い勝ち方をすればいいというのが姑息。
まずは、自分の言葉で説明してください。
別の方から貴方への課題も出されているので、それにも答えるように。
305:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 11:52:57.82 qZFMMNjk.net
>>301
>ハスケル・カリーすげぇ
> URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
そっちは、迷走でしょう
まずは、下記のラッセルのパラドックスから、スタートでしょう
そして、下記ラッセルでは触れていないが、一階述語論理についても触れないと
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ラッセルのパラドックス
ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた[5]。
概要
ラッセルのパラドックスとは、自分自身を要素として含まない集合全体の集合 R={x｜ x not∈ x} の存在から矛盾が導かれるという、素朴集合論におけるパラドックスである。いま R∈ R と仮定すると、R の定義より R not∈ R となるから、これは矛盾となる。したがって（仮定無しで） R not∈ R である。ところが R の定義より R∈ R となるから、やはり矛盾となる。
集合論が形式化されていないことは矛盾の原因ではない。このパラドックスは古典述語論理上の理論として形式化された無制限な内包公理を持つ素朴集合論においても生ずる。上記の証明では排中律並びにそれと同等な論理法則を用いていないから、直観主義論理上の素朴集合論においても矛盾は生ずる。したがって論理を古典論理から直観主義論理に変更しても、ラッセルのパラドックスは回避できない。パラドックスの回避については、様々な方法が提案されている。詳細は矛盾の解消を参照。
矛盾の解消
集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。
1.公理的集合論による解消[6]
2.単純型理論による解消[7]
3.部分構造論理による解消[8]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一階述語論理
ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。
(引用終り)
以上
306:１３２人目の素数さん
23/01/02 12:00:56.86 YGVCEmlg.net
前スレ450の「証明」が、コピペに頼らない1=雑談氏の裸の実力
ゲーデルなんて自分の実力で説明できるわけないｗｗ
↓
450１３２人目の素数さん2022/12/07(水) 14:57:31.11ID:Y16SQtqq
>>431 戻る
(引用開始)
１）>>391
「では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？
一般的な話として、可解な5次方程式でもいいですが。
つまり、5乗根を取る操作をガロア拡大（クンマー拡大）
にするなら、ζ_5は必然的に含まれますが
最小分解体（方程式が一次式の積に分解する最小の体）
には含まれるか否か？って質問です。」
(引用終り)
１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
２）下記 最小分解体の定義より、最小分解体は、Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加して
Q(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける
３）もし、ζ_5が、{α1,α2,α3,α4,α5}たちと代数的に独立(下記)ならば（そしてそれが普通だが）
ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だよね
４）特に、{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だし
仮に、{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、それら虚数根がζ_5と代数的に独立ならば
ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) であり、そのような場合こそ普通だろ
５）なので、果たして彼は、
この問い「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？」
で何を問いたかったのか？ 意味が分からないｗｗ
307:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 12:40:49.94 qZFMMNjk.net
>>304
>すでに十分説明しましたが？
説明など、求めていない
あなたの理論を、自分の具体例 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>278
に適用してみせて下さいと、要求しているだけですよｗ
論点すり替え見え見えｗｗ
具体例への適用できないんですね？ｗｗ
>>これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する
>貴方何も反論してないじゃんｗ
あなたは、私の反論を求めたんじゃないでしょ
広く一般の人に向けて、あなたの”フーリエ変換”論を世間に問うたはず
自信満々でねｗｗ
>「相手に説明の義務を負わせ続ければ勝てる」
>という頭の悪い勝ち方をすればいいというのが姑息。
>まずは、自分の言葉で説明してください。
>別の方から貴方への課題も出されているので、それにも答えるように。
義務は、何も負わせていない
ただ、あなたの”フーリエ変換”論が胡散臭いｗ
と思ったから、具体例 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 に適用して下さいと言った
出来ないことは、お見通しでねｗｗｗ
論点すり替え見え見えｗｗ
具体例への適用できないんですね！！ｗｗ
正直に言えば良いのにｗ
308:１３２人目の素数さん
23/01/02 12:58:10.36 YGVCEmlg.net
>>307
>ただ、あなたの”フーリエ変換”論が胡散臭いｗ
「胡散臭い」じゃ反論になってませんねぇ。
前スレでもう一人の方が、巡回方程式の根たちから
べき根たちへの線形写像がヴァンデルモンド行列になってる
ことを指摘したでしょ。その線形写像が離散フーリエ変換ですよ。
その逆行列であらわされる線形写像が逆離散フーリエ変換。
わたしは、そのヴァンデルモンド行列をAとすると
AA^*=nI （A^*はAの共役転置行列、Iは単位行列）
が成立する「直交関係」を指摘した。
かくも美しい事実をまずは理解してください。
309:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 13:02:35.70 qZFMMNjk.net
>>306
>ゲーデルなんて自分の実力で説明できるわけないｗｗ
そりゃ、そうだろ
ゲーデルが、不完全定理の証明に、果たして何年の歳月をかけたのか？ は知らず
希代の天才 ゲーデルが、何年もの歳月をかけて、心血そそいだ証明が、
私に自分の実力で説明できるわけないし
現代数学は、そういう勉強ばかりじゃ、いつまでも、数学の最前線に立てないだろう
あんた、間違ったんだろう？ 現代数学の勉強法をｗ
良い意味での”カンニング”をしっかりして、前に進んでいかないとねｗ
それから、後半のは証明でなく説明は正しいよ
問い”では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？”
で、>>372の方程式：x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>302に同じ
これは、後に前スレ417で”種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))”
だった
そして、私は前スレ431において
”２）それって、最小分解体の定義は下記だから
定義より、5実根の方程式を考えれば、最小分解体⊂R だから、ゆえに複素数のζ_5は「含まれない」が正解って話かな？
３）例示の”x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0”は、無意味じゃね？ 5実根の一言で終わる話じゃね
４）さらに言えば、虚数根を持つ場合でも、ζ_5を含まない最小分解体の例は作れるんじゃないかな？
５）上記の多項式の具体例のハナタカは、あんまり賢くない気がするのはおれだけかな？ｗ”
としていますｗ
それが、どうかしましたか？ｗｗ
310:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 13:06:14.21 qZFMMNjk.net
>>308
>「胡散臭い」じゃ反論になってませんねぇ。
>前スレでもう一人の方が、巡回方程式の根たちから
>べき根たちへの線形写像がヴァンデルモンド行列になってる
>ことを指摘したでしょ。その線形写像が離散フーリエ変換ですよ。
だから
それって、全部後講釈で
方程式が解けて、
解が分かって
巡回方程式の根たちが分かって
その後の話じゃ無いんですか？
だったら、当然
方程式を解くのには、使えない！
それを指摘しています！ｗｗ
311:１３２人目の素数さん
23/01/02 13:30:48.78 YGVCEmlg.net
>>310
ヴァンデルモンド行列になる由来はラグランジュ分解式なんですがね。
だから、「ラグランジュ分解式による解法以上のものは含まれていない」
と言えばそうだが、解法理論がより透明になっているのも事実。
（共役根まで含めて一括して扱えるのは線形写像の利点。）
何よりも、定義に照らし合わせてみれば分かるが
離散フーリエ変換になっていることは紛れもない事実。
312:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 14:24:17.97 bB/h5A70.net
>>303
見やすくするために””をつけただけなんで却下ｗ
313:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 14:39:38.57 bB/h5A70.net
>>305
>そっちは迷走でしょう
ところがそうじゃないんだな
こっち、見た？
カリーのパラドックス
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
カリーのパラドックスの自然言語版は次のような文である。
「この文が真なら、サンタクロースは実在する。」
素朴集合論の場合
数理論理学的には自己言及文を含まなくとも、
素朴集合論では次の集合 X から任意の論理式 Y を証明できる。
Xを、{x|(x∈x)⇒Y}と定義する
1．X∈X ⇔ ((X∈X)⇒Y) 定義より
2．X∈X ⇒ ((X∈X)⇒Y) １より
3．(X∈X)⇒Y ２より 縮約（同じ前提が重複する場合、まとめる）
4．((X∈X)⇒Y) ⇒ X∈X １より
5．X∈X ３、４より モーダスポネンス
6．Y ３、５より モーダスポネンス
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
仕掛けは{x|(x∈x)⇒Y}なのね、
これが「を二度繰り返した文章からYが導ける を二度繰り返した文章からYが導ける」と同じ効果をもたらす
314:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 14:50:34.50 bB/h5A70.net
>>306
（前スレ450の、1の「証明」）
＞ζ_5が、{α1,α2,α3,α4,α5}たちと代数的に独立ならば
＞（そしてそれが普通だが）
＞ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だよね
もとめられているのは、まさに
「ζ_5が、{α1,α2,α3,α4,α5}たちと代数的に独立なのが普通であること」
なんで、それ仮定したらただのトートロジーだね
1の「証明」は実にしばしば自明なトートロジーである
（確かに、証明とは「公理⇒定理」がトートロジーだと示すことではあるが
それにしても、定理の否定を公理に追加して矛盾を導く背理法ならともかく
定理を公理に追加して定理を導く「証明」はダメ・ゼッタイ）
315:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 15:00:37.40 bB/h5A70.net
>>308
＞前スレでもう一人の方が、
＞巡回方程式の根たちからべき根たちへの線形写像が
＞ヴァンデルモンド行列になってることを指摘したでしょ
まだ、私がこの名前になる前の話ですね
ええ、見たまんまなんで、そういいました
みんな、とっくに気づいてるのかと思ってましたが・・・
＞その線形写像が離散フーリエ変換ですよ。
＞その逆行列であらわされる線形写像が逆離散フーリエ変換。
そうですね、これも見たまんまです
整数論は実にしばしば
「実用的なことに適用されない」
ことを自慢（自虐？）してますけど
離散フーリエ変換はまさに
「実用的なことにバリバリ応用されてる技法」
なので、びっくりしゃっくりですね
（でも、ほんとは驚くのがオカシイ
だって数学に純粋も応用もないっすよ ヒトに
バラモン（祭司）・クシャトリア（戦士）・ヴァイシャ（平民）
の区別がないのと同じくね）
＞わたしは、そのヴァンデルモンド行列をAとすると
＞AA^*=nI （A^*はAの共役転置行列、Iは単位行列）
＞が成立する「直交関係」を指摘した。
そうですね ま、これも常識ですね ボクは忘れてましたが（をひ）
ちなみに、忘れてるのと、知らないのは違います
ま、弁明にならないですけどｗ
316:わかるすうがく 円遊亭数楽こと近谷蒙
23/01/02 15:30:44.10 bB/h5A70.net
>>309
＞そういう勉強ばかりじゃ、いつまでも、数学の最前線に立てないだろう
んー、１こと雑談クンは、最前線って言葉が大好きみたいだけど
最前線に立って何すんの？ 敵に撃たれにいくの？ 痛いのヤだなｗ
数楽の精神からいうと、話だけ聞いても楽しめないじゃん
まずは自分で遊んでみないとね
ガウスが１０代のころハマってた円分多項式論は
まさに遊べるネタだったわけですよ
さすが数楽の王 数楽ヲタの鑑だね ガウスは
（注：ヲタとかいってますけど、心の底から賞賛してます！）
＞あんた、間違ったんだろう？ 現代数学の勉強法を
ボク、東京の人間なんで勉強嫌いなのよ
関西人は他人に勉強させるのが大好きみたいだけど
（意味がちゃうわ）
「学習」が正しいのかもしれんけど、
これもなんかストイックな修行感ありありで
なんか好きじゃないわ
やっぱ「数楽」でしょ
＞良い意味での”カンニング”をしっかりして、前に進んでいかないとね
雑談クンのやってることは只の知のひけらかしなんで
むしろ最悪な意味のカンニング
前に進むっていうけど君のいう前ってどっち
ただ漫然と知をため込むのが前に進むこと？
いやーそれただのコレクターじゃん それって楽しい？
楽しくないよなあ
スポーツ観戦とか音楽鑑賞とかと同レベルだよなあ
スポーツはやるのが楽しい
音楽も演奏するのが楽しい
数学も遊んでみるのが楽しいんじゃないかな
別に数学の研究者にならなくたっていいんだよ
草野球とか素人バンドとかと同じ
そういう意味では素人むけのガロア理論の本が出るのはいい兆しだけど
「数楽」としては遊び難い
遊べるネタとしては円分多項式だね
そこら中で同じようなネタを扱ってるのがいい証拠
317:わかるすうがく 円遊亭数楽こと近谷蒙
23/01/02 15:49:47.89 bB/h5A70.net
＞＞310
＞それって、全部後講釈で
＞方程式が解けて、解が分かって
＞巡回方程式の根たちが分かって
＞その後の話じゃ無いんですか？
違いますよ
だって、ラグランジュの分解式そのものが離散フーリエ変換の式なんだから
それがｎ個、束になると、ヴァンデルモンド行列
解き方が実はそうなってる、って話ですよ
雑談クンが、イライラするのは、そもそも離散フーリエ変換知らんから
いやー、工学部なら離散フーリエ変換なんてみんな知ってるのかと思ったけど
そうでもないんだね 学科どこ？ 電気とかじゃないとやらないのかな？
318:わかるすうがく 円遊亭数楽こと近谷蒙
23/01/02 15:52:35.17 bB/h5A70.net
>>317
＞ラグランジュの分解式そのものが離散フーリエ変換の式なんだから
＞それがｎ個、束になると、ヴァンデルモンド行列
これ云い方として正しくないなあｗ
ラグランジュの分解式がｎ個、束になると、ヴァンデルモンド行列
そしてそれそのものが離散フーリエ変換
こっちのほうがいいな
319:わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf
23/01/02 16:18:33.82 bB/h5A70.net
>>309
＞ゲーデルが、不完全性定理の証明に、果たして何年の歳月をかけたのか？
そんなにかけてない １年くらいじゃないかな
ゲーデル・コーディングは、いわば記法
証明可能性述語の構成は、いわばプログラミングだから面倒臭い
でもやりゃできる
対角線論法を使えばいい、というのはそもそものアイデア
ゲーデルは、もともとヒルベルト・プログラム解決を目指してたが
その途上で、
「これ、ラッセルのパラドックスと同じ理由で、実現できないじゃん」
と気づいてしまった
で、できないことを示したのがゲーデルの不完全性定理
ちなみにガロアがガロア理論を思い付いて完成させたのは
ラグランジュの分解式を知ってかららしい
と、どっかで読んだ気がするが・・・
320:わかるすうがく 円遊亭数楽こと近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf
23/01/02 16:24:11.22 bB/h5A70.net
ガロア理論よりラグランジュ分解式 というなら
ゲーデルの不完全性定理より自己印刷プログラム（クワイン） だな
321:１３２人目の素数さん
23/01/02 16:36:55.83 Q4ALVMLQ.net
チャイティンのほうがバグと日々戦ってる実務者向けだと思うの。
322:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 17:01:27.86 bB/h5A70.net
>>321 チャイティンはベリーのパラドックスを利用してますね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
323:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 20:10:17.07 qZFMMNjk.net
>>311
ガハハ
がんばるねｗ
じゃあさ、問題を易しくするよｗ
>>309で、
・左辺はΠ_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))と
・群が巡回群になる
の二つの事実を使って良いよ
それでさ、方程式：x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
から出発して
１）離散フーリエ変換して、ポントリャーギン双対>>148を
具体的に求めて下さいｗｗｗ
２）求めた ポントリャーギン双対から、逆フーリエ変換で
方程式：x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の根のべき根表示を求めて下さいｗｗｗ
（>>251より「（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
べき根表示が一挙に得られるという話」だった。これを実行願います！ｗ）
どぞ
よろしくね！ｗｗｗ
324:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 20:31:06.43 qZFMMNjk.net
>>319
ほいよｗ
下記”「Gは証明できない」と同値となる証明不能命題G（ゲーデル文）”が、自己言及に相当します
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゲーデルの不完全性定理
概要
ゲーデルの不完全性定理は、ゲーデルが1931年の論文で証明した次の内容である[5]。
・『数学原理（プリンキピア・マセマティカ）』の体系や公理的集合論の中には、証明も反証もできない自然数論の命題が存在する[5]。
・また、これらの体系に公理を追加しても公理が有限個であれば、前述の命題の存在を解消できない[5]。
より正確には、不完全性定理は第一と第二に分かれている[5]。
略
証明の概要
準備
帰納的公理化可能な理論が自然数論を含むならば、当該理論における証明可能性が原始帰納的述語として表現できる。
この証明可能性述語を用いて、「Gは証明できない」と同値となる証明不能命題G（ゲーデル文）が、構成できる。
ゲーデル文を構成するためには自然数論の式を自然数に変換するゲーデル数および自己言及で用いられる対角化の技法（を形式化したもの）が必要である。後者は対角化補題と呼ばれる。
ゲーデル文Gは
「「xで表される述語の対角化は証明できない」で表される述語の対角化は証明できない」
と表される。
「xで表される述語の対角化は証明できない」
の対角化は、G自身と同値になる。
第一不完全性定理の証明の概要
さて、ゲーデル文Gが証明可能であれば、Σ1完全性により命題「Gは証明できる」もまた証明可能である。一方Gは命題「Gは証明できない」と同値であることが証明可能であるので、両者から矛盾が導かれる。
URLﾘﾝｸ(www.egison.org)
ゲーデルの不完全性定理の証明スケッチ Satoshi Egi - 江木 聡志
URLﾘﾝｸ(wwwa.pikara.ne.jp)
不完全性定理のすごく簡単な説明 OK おじさんのホームページ
(引用終り)
以上
325:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 20:41:40.65 qZFMMNjk.net
>>324 追加
ほいよ
URLﾘﾝｸ(www.beach.jp)
不完全性定理と自己言及のパラドックス シムダンス「四次元能」2018年
不完全性定理の大元は自己言及のパラドックスである。これを数式化したのである。自己言及のパラドックスは嘘つきのパラドックスであり、分かりやすい。しかし、不完全性定理の方は、これを理解しようとする素人には無理である。だから、解説を援用する。ところがその解説が間違っている可能性もある。その結果、とんでもない結論を招くことにもなる。
その事を良く知った上で、解説された不完全性定理に接近することである。本質知る手掛かりにはなるだろう。何しろ不完全性定理はある理論的な体系は自身を証明できない。つまり、数学は数学自身が間違っていないことを説明できないと言うのだから、大変な定理である。
URLﾘﾝｸ(www.s.u-tokyo.ac.jp)
理学のキーワード 第15回
URLﾘﾝｸ(www.s.u-tokyo.ac.jp)
不完全性定理 角谷良彦（情報理工学系研究科コンピュータ科学専攻）東大
第一不完全性定理の内容は，「数学を矛盾なくどのように形式化しても，証明も反証もできない命題が存在する」というものである。言い換えれば，数学に必要なすべての公理を書き出すことは不可能であるということになる。この定理がわざわざ第一と冠されているからには，第二不完全性定理なるものも存在する。第二不完全性定理は，「どのような形式的体系も，その体系自身が矛盾していないことを証明できない」というものである。こちらは，ある形式的体系が矛盾していないことを示すには，メタ論理として，その体系よりも強力な体系が必要であるということを意味している。
ところで，第一不完全性定理のいう命題とは，自分自身が証明不可能であることを意味するような命題のことである。これは，「この文は正しくない」という嘘つきのパラドックスに出てくる文とひじょうによく似た構造をしている。自己言及はしばしばパラドックスを引き起こす反面，不完全性定理で利用されているように興味深い性質を示すことも多い。情報科学は，自己言及を避けることなく，積極的に活用している分野のひとつである
326:第六天魔王 Mara Papiyas ◆nu1CsB1UiBUP
23/01/02 21:56:36.79 bB/h5A70.net
>>324
>ほいよｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>ゲーデル文Gは
>「「xで表される述語の対角化は証明できない」で表される述語の対角化は証明できない」
>と表される。
その文章をウィキペディアに書いたのが誰だか御存知かな？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
327:１３２人目の素数さん
23/01/02 22:07:35.76 YGVCEmlg.net
>>323
「相手に説明の義務を負わせ続ければ勝てる」
という頭の悪い勝ち方をすればいいというのが姑息な爺そのもの。
他人の時間を無駄にするんじゃないｗ
わたしに説明する義務はない。
離散フーリエ変換になっていることは、わかるすうがく氏も証言している。
いいですか？
どういう対応関係にすれば、完璧に離散フーリエ変換の定義に一致するか
確かめること。
これは、貴方の課題。
328:１３２人目の素数さん
23/01/02 22:30:56.77 YGVCEmlg.net
巡回方程式の根はガロア群G上の函数
べき根は、その双対である指標群上の函数
と考えればいい。
これは有限アーベル群でもそのまま行ける。
→有限アーベル群の指標の双対性
この考えを逆に解析に広げることもできる。
たとえばゼータ函数の変数をzではなくsと書くのは
指標群上の函数と考えているからではないか？
ということを、ある偉い数学者の前で話したら
誉められたというか、先生の目が輝いたのを思い出した。
329:１３２人目の素数さん
23/01/02 23:03:57.72 YGVCEmlg.net
実際、メリン変換という操作を行ってるからで
これはフーリエ変換（またはラプラス変換）の
乗法群版と見なせる。
330:現代数学の系譜 雑談
23/01/03 00:05:20.02 aZhrx//w.net
>>327
ふっ
グダグダと言い訳をｗ
再録しますよｗ
１）”これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する”ｗ
２）”ポントリャーギン双対として統一的な理解が得られる”
”逆離散フーリエ変換で、そのべき根たちから元の数を復元できる、つまりべき根表示される”ｗ
３）”今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
べき根表示が一挙に得られるという話”ｗｗ
それ実行出来ないと、見透かして、要求していますｗ
大風呂敷のお話だけですねｗ
前スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:805番)
805 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/12/17(土) 05:33:04.59 ID:Yvnw5Kb3 [5/18]
ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
>>564に書いたように、根のべき根表示
(1) ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
において、「直交関係」を利用して
項別に値を取り出す計算式であり
(1)をフーリエ級数展開の類似物と見たとき
フーリエ積分に対応している。
これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する。
つづく
331:現代数学の系譜 雑談
23/01/03 00:05:44.90 aZhrx//w.net
>>330
つづき
このスレ>>148
148 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/12/31(土) 06:25:15.16 ID:3jK34k/w [1/10]
ラグランジュ分解式を指標和と考えるメリット？
ポントリャーギン双対として統一的な理解が得られる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
前スレに書いた、「巡回方程式のべき根表示=フーリエ級数展開の類似」
も、ほぼもろに書いてありますね。
>・有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）
>双対群上の函数としての離散フーリエ変換>を持ち、有限群上の任意の函数が
>その離散フーリエ変換から復元することができる。
これは、
「ガロア群G∋σに対して、θ(σ)=σ(θ)（θへのσの作用）をG上の函数とみなす」
「Gの双対群である指標群G^∋χとθから得られるラグランジュ分解式=べき根 をG^上の函数とみなす」
とすればOK.
べき根たちは指標に付随する元の数の離散フーリエ変換として得られ
逆離散フーリエ変換で、そのべき根たちから元の数を復元できる、つまりべき根表示される。
このスレ>>251
251 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2023/01/01(日) 11:23:11.35 ID:dxBydmVP [5/19]
で、わたしが大学の頃レポートで書いたのは
要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^
として
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
という指標和を考えてやると、これがべき根になっていて
（実際、この和を(χ,θ)とおくとσ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)
が成立するから、(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
べき根表示が一挙に得られるという話。
(引用終り)
以上
332:現代数学の系譜 雑談
23/01/03 00:16:07.63 aZhrx//w.net
>>330 補足
月を見て、月うさぎの話やかぐや姫を思う（下記）
ロマンがあっていいですね
ラグランジュリゾルベントを見て
フーリエ級数展開→ポントリャーギン双対→逆離散フーリエ変換→べき根表示が一挙に得られる
と思う
悪くない発想ですね
ロマンがあっていいですね
もし、実行できれば、数学になりますよｗ
URLﾘﾝｸ(www.i-nekko.jp)
月うさぎの話 暮らし歳時記
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
かぐや姫
『竹取物語』の登場人物である月人の女性。なお、童話のタイトルに使われる場合もある。
333:１３２人目の素数さん
23/01/03 01:36:15.53 E8Gx+d+/.net
>>309
> そりゃ、そうだろ
> ゲーデルが、不完全定理の証明に、果たして何年の歳月をかけたのか？ は知らず
> 希代の天才 ゲーデルが、何年もの歳月をかけて、心血そそいだ証明が､
> 私に自分の実力で説明できるわけないし
↑
は？
↓
>>179
> >>163より”ゲーデルの不完全性定理が本当に（？）理解できたのは、実は今世紀になってから”
> って、確かに情けないよ
おれ、高校生で「ゲーデルの不完全性定理」の解説本読んだ（一般向けだがね）
> 覚えているのは、リシャール数だっけね、あと自己言及のパラドックス（下記）
> これを、ゲーデルがゲーデル数を導入することで、「不完全性定理」を証明した
>
> 高卒かなんか知らないが、おサルは高卒に及ばない
> まして、”数理論理では大学院レベル”だなんて、ナイナイ！ｗ
どのが言ってんだ糞野郎
334:１３２人目の素数さん
23/01/03 02:13:29.60 E8Gx+d+/.net
>>179で理解してますアピールしときながら>>309で説明できるはずが無い宣言って自殺だよ自殺
このスレの>>1投稿者の集合Aは日本人じゃなさそうだな､
どう考えても我々日本人の言う「理解している」と集合Aの言う「理解している」とは違うみたいだ｡
このスレの>>1投稿者の集合A↓
> 現代数学は、そういう勉強ばかりじゃ、いつまでも、数学の最前線に立てないだろう
> あんた、間違ったんだろう？ 現代数学の勉強法をｗ
> 良い意味での”カンニング”をしっかりして、前に進んでいかないとねｗ
こんな根性で摘まみ食いばかりしてるから間違った解釈ばかりで覆い尽くされてる事が分かるこのスレの>>1投稿者の集合A
335:１３２人目の素数さん
23/01/03 02:18:12.85 E8Gx+d+/.net
>>324-325
ゴミ
336:１３２人目の素数さん
23/01/03 08:39:52.26 1A5bcamd.net
30年くらい前、「かぐや姫と無限大」というユニークなタイトルの
講演をした教授がいた。