22/12/22 23:54:59.26 Oc9CAOS3.net
>>17 誤変換訂正
7節 「x^n-a=0の作る拡大隊」クンマー拡大 が、参考になるだろう
↓
7節 「x^n-a=0の作る拡大体」クンマー拡大 が、参考になるだろう
さて
前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)
ここを、上記>>17の石井本に即して補足する
１）クンマー拡大＆クンマー理論から、
5次の巡回群→5乗根a^(1/5)によるクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)
の存在が分かる
（ζは1の5乗根）
２）これから、
問題の5次方程式のべき根表示が得られる
３）問題の5次方程式は、すべて実根だから、
最小分解体Q（α1,α2,α3,α4,α5）⊂R
で、実数R中なので、ζ（複素数）は含まない
また、5乗根a^(1/5)も含まない（前スレでの議論）
４）すべて実根だが、べき根解法には
複素数を含むクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須であることは
還元不能問題として有名（>>13の通り）
５）5次の既約な多項式からなる方程式が、可解になるのは
そのガロア群が、位数20の線形群になるとき（あるいはその部分群のとき）
具体的には、位数20のF20フロベニウス群、位数10の二面体群D5、位数5の巡回群Z5（前スレに書いた通り）
６）このいずれの場合も、ガロア群の位数に5を因子として含むことから
クンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須で、べき根表示には、あるaの5乗根が必ず使われる
（aは、上記クンマー拡大を適用する直前の拡大体に含まれる数）