22/12/31 18:25:36.53 cbuR6Msl.net
ということで
>>183の訂正
n=11 X^11-1=(X-1)(X^10+X^9+X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1)
ラグランジュ分解式
ζ11+ ζ11^2+ ζ11^4+ ζ11^8+ ζ11^5+ζ11^10+ ζ11^9+ ζ11^7+ ζ11^3+ ζ11^6 ?
ζ11-η^3ζ11^2+η ζ11^4-η^4ζ11^8+η^2ζ11^5-ζ11^10+η^3ζ11^9-η ζ11^7+η^4ζ11^3-η^2ζ11^6 ?
ζ11+η ζ11^2+η^2ζ11^4+η^3ζ11^8+η^4ζ11^5+ζ11^10+η ζ11^9+η^2ζ11^7+η^3ζ11^3+η^4ζ11^6 ?
ζ11-η^4ζ11^2+η^3ζ11^4-η^2ζ11^8+η ζ11^5-ζ11^10+η^4ζ11^9-η^3ζ11^7+η^2ζ11^3-η ζ11^6 ?
ζ11+η^2ζ11^2+η^4ζ11^4+η ζ11^8+η^3ζ11^5+ζ11^10+η^2ζ11^9+η^4ζ11^7+η ζ11^3+η^3ζ11^6 ?
ζ11- ζ11^2+ ζ11^4- ζ11^8+ ζ11^5-ζ11^10+ ζ11^9- ζ11^7+ ζ11^3- ζ11^6 ?
ζ11+η^3ζ11^2+η ζ11^4+η^4ζ11^8+η^2ζ11^5+ζ11^10+η^3ζ11^9+η ζ11^7+η^4ζ11^3+η^2ζ11^6 ?
ζ11-η ζ11^2+η^2ζ11^4-η^3ζ11^8+η^4ζ11^5-ζ11^10+η ζ11^9-η^2ζ11^7+η^3ζ11^3-η^4ζ11^6 ?
ζ11+η^4ζ11^2+η^3ζ11^4+η^2ζ11^8+η ζ11^5+ζ11^10+η^4ζ11^9+η^3ζ11^7+η^2ζ11^3+η ζ11^6 ?
ζ11-η^2ζ11^2+η^4ζ11^4-η ζ11^8+η^3ζ11^5-ζ11^10+η^2ζ11^9-η^4ζ11^7+η ζ11^3-η^3ζ11^6 ?
(η=ζ5=ζ10^2 ζ10=-η^3 ζ10^9=-η^2)
?=(ζ11+ζ11^10)+ (ζ11^2+ζ11^9)+ (ζ11^4+ζ11^7)+ (ζ11^8+ζ11^3)+ (ζ11^5+ζ11^6)
?=(ζ11+ζ11^10)+η (ζ11^2+ζ11^9)+η^2(ζ11^4+ζ11^7)+η^3(ζ11^8+ζ11^3)+η^4(ζ11^5+ζ11^6)
?=(ζ11+ζ11^10)+η^2(ζ11^2+ζ11^9)+η^4(ζ11^4+ζ11^7)+η (ζ11^8+ζ11^3)+η^3(ζ11^5+ζ11^6)
?=(ζ11+ζ11^10)+η^3(ζ11^2+ζ11^9)+η (ζ11^4+ζ11^7)+η^4(ζ11^8+ζ11^3)+η^2(ζ11^5+ζ11^6)
?=(ζ11+ζ11^10)+η^4(ζ11^2+ζ11^9)+η^3(ζ11^4+ζ11^7)+η^2(ζ11^8+ζ11^3)+η (ζ11^5+ζ11^6)
206:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
22/12/31 18:38:00.57 rNlYJ3SK.net
>>200
>群も作用域もわからん人が、何をブチ切れてるんだか
>作用域ってのは
ふっ、>>182で何を誤解しえいるのかな？
岩波全書の高等代数学1 秋月康夫・鈴木通夫 著を読んだのは、
高校だったか大学1年だったか忘れたけど
ともかく、大学レベルの代数学で読んだ最初の本だった
なので、この本は当時の選択として間違っていてと思う
その後、別の本を何冊か読んだけど、”作用域を持つ群”については、徐々に分かってきた
だから、前スレでずばり指摘をしたんだ
さて、グダグダいうなら、下記を落ちこぼれ2号に代わって
「>>678"何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる”」について
群Gと作用域Λとをきちんと定義して、釈明してみなよｗ
そうすれば、この"何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる”が、デタラメって分かるよ
「ζ_5が出てくる」ならば、ζ_5∈Λでなければならない
ζ_5∈Λでないならば、「ζ_5が出てくる」ことはない
(参考)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:819番)
>>811 追加
>自分の書いたこと＝「群の作用」
>について
>”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”
>と言われて
>これが出来ない
>（多分、出来ないというよりも、自分の誤解か分かってないことに気付いたかなｗ）
>で、必死にゴマカスｗｗ
この人（ID:Yvnw5Kb3氏）は
ガロア理論を根本的に誤解していたんだね
略
３）
そこを突かれると、「群の作用」と言い出したんだ
（例えば、>>678"何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる。
ζ_5はQ(ζ_11)には含まれないから矛盾する"
とかｗ
ちゃんと、群Gと作用域Λ この2つを定義しないと議論が上滑りだよね。「ζ_5が出てくる」？ なにそれ？ｗ）
４）
さらに、”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”(上記)と言われて、答えられず
そりゃあ、そうでしょうね。「群の作用」なんて、論点ずらしで持ち出しただけだものねｗ
(引用終り)
207:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
22/12/31 18:47:01.66 rNlYJ3SK.net
>>204
>いいところに気がつきましたね…ただの凡ミスですけどｗ
>誤 (η=ζ5=ζ11^2 ζ11=-η^3 ζ11^10=-η^2)
>正 (η=ζ5=ζ10^2 ζ10=-η^3 ζ10^9=-η^2)
>要するに、10乗根を5乗根で表せるとコメントしただけ
>計算には全く影響ありません（ビシッ）
そういうミスに気づくのが、工学屋なんだ
細かい計算ミス（例えば、小数点以下の最後の細かい違いとか）に気づかずとも、大きなミス（桁ズレとか）には気づくべし！
それと、自答しているが
10乗根、「計算には全く影響ありません」というが
計算には、全く関係ないでしょ？
10乗根、いらないんじゃね？
そういうところも、工学屋は気づくべし！
208:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
22/12/31 18:52:07.05 rNlYJ3SK.net
>>196
>＞ ”自己言及”が、キモ中のキモだよ
>＞ 分かってないねｗ
> ちっちっち、分かってないねｗ
> 残念ながら、自己言及なしのゲーデルの不完全性定理もあるんだな
> キーワードは Yablo の逆理ね
> ま、自己言及の代わりに無限個の文の連なりを使ってるだけだけどｗ
だから
本筋と枝葉をきちんと見分けないと
”自己言及”が本筋なんだよ
まず、”自己言及”が本筋という認識をもって勉強しないとね
その上で、Yablo の逆理かなんか知らないけど、勉強するのはあり
本末転倒はよくないよ
209:１３２人目の素数さん
22/12/31 19:25:35.17 jrZLF4aQ.net
入門的な有限群論の本には、フロベニウス指標（群指標）の話が載っていない
ことが普通であるが、それは大変残念なことであると言わねばならない。
210:１３２人目の素数さん
22/12/31 19:36:07.57 3jK34k/w.net
近くの温泉行って来たら、ひといっぱいやったわｗ
211:１３２人目の素数さん
22/12/31 19:39:46.67 3jK34k/w.net
>>206
>そうすれば、この"何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる”が、デタラメって分かるよ
>「ζ_5が出てくる」ならば、ζ_5∈Λでなければならない
>ζ_5∈Λでないならば、「ζ_5が出てくる」ことはない
え、マジで分かってないの？
x^n-a=0がある代数体K上で既約とする。
最小分解体は、L=K(ζ_n, a^{1/5}).
L/K(ζ_n)はガロア拡大（n次クンマー拡大）で
そのガロア群をGとおくと、あるσ∈Gが存在して
σ(a^{1/5})=a^{1/5}ζ_n
σ^2(a^{1/5})=a^{1/5}ζ_n^2
........
となる。σはζ_nには自明に作用する（つまり不変にする。）
もちろん、ガロア群として、Gal(L/K)を取ってもいいが
そのときはガロア群はζ_nにも非自明に作用しうるが、それだけの話。
ほんと根本から分かってないんだね。
だから、貴方にガロア理論は無理だってｗ
212:１３２人目の素数さん
22/12/31 19:48:16.41 3jK34k/w.net
>>209
わたしが持ってる本（近藤武著）には書いてあるな。
でも、この本でも載ってない話も多い。
有限群論の話は豊富すぎて、何を重視するかによって取捨選択がなされる。
「行列表現」を重視するなら当然載っている。
昔の記事でアティヤーが、「有限単純群の分類なんてつまらない
表現論の重要性とは比較にならない」みたいなことを言っていたのを思い出す。
213:１３２人目の素数さん
22/12/31 19:55:31.21 3jK34k/w.net
群の行列表現には
デデキント→フロベニウス→アルティンへと引き継がれた研究があるんだよね。
アルティンはそこから「アルティンのL函数」を定義した。
高木貞治がベルリンに留学した際にはフロベニウスの講義も受けているが
「ちょうどその頃群指標の理論をやっていたはずだが、そんなものは秘蔵というか
学生なんかには公開しない」と書いている。
214:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 20:08:21.23 rNlYJ3SK.net
>>205
あとさ
いまどき
計算は、エクセルでも数式処理でも
結構できるけど
目標と見通しをもってやらないとね
例えば、>>159
”＞a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
＞これぞクンマー拡大の典型例となる
＞そう思ったわけです
＞どうぞ、やってみてね！ｗ
（予告）
やってみたらあっさりできたｗ
ま、できるに決まってるんだがｗ
要するにβ2,β3,β4を、β1とηで表せればよい”
(引用終り)
みたいなね。まずは、これでいいけど
クンマーの裏付けというか、実例を計算で具体的にやってみるとか
実例を何通りかやってみて、
ぐっとにらんで
法則などを見抜くとか、そういうのがないとね
（フーリエもありかもね。しかし、前スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:805番)
より再録
(引用開始)
ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
>>564に書いたように、根のべき根表示
(1) ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
において、「直交関係」を利用して
項別に値を取り出す計算式であり
(1)をフーリエ級数展開の類似物と見たとき
フーリエ積分に対応している。
(引用終り)
だったのにね、いつの間にか、”離散フーリエ変換”にすり替わっている
しれ～とね。まあ、良いけどね。検索したら、”離散フーリエ変換”だったんだね）
215:１３２人目の素数さん
22/12/31 20:14:12.25 3jK34k/w.net
>>214
「フーリエ級数展開」もまったく撤回してませんよ。
本当に美しい類似だと思っている。
自分では自明だと思ってたけど、自明じゃないと言うなら
わたしの「発見」として宣伝してくれても結構ｗ
216:１３２人目の素数さん
22/12/31 20:28:53.32 3jK34k/w.net
ガロア拡大L/K、G=Gal(L/K)∋σに対して
Lの任意の元θに対して
θ(σ):=σ(θ)と定義することで、θをG上の函数と看做す。
こんなこと自明な発想だと思うが
ど素人には思いつかなくても不思議はない。
217:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 20:47:28.34 rNlYJ3SK.net
>>212-213
表現論ね
手元に「有限群の表現」永尾汎、津島行夫共著 数学選書8 裳華房 2009年第2版4刷（1987年第1刷）
がある
なにか分からないときに調べるための辞書かわりに買ったんだが
ぱらぱら読んだ記憶があるけど・・
ほとんど読んでないな（きれいなままｗ）（伊藤 昇 (著)有限群論は、何度か読んだけど）
でも、このころを境に群論の世界も変わってしまって
いま、ここらの理論は、きっと群論ソフトの中じゃない？
（私は、そういうソフトは持ってないけど）
なので、勉強の仕方も、21世紀は 左手に本、右手に群論ソフトという勉強が良いんじゃないですかね？
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限単純群の分類
1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。
つづく
218:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 20:47:55.53 rNlYJ3SK.net
>>217
つづき
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学 論説
有限単純群の分類
鈴木通夫
981年4月5目京都大学における日本数学会年会の総合講演(1981年11,月20日提出)
有限単純群の分類が完成したという公式の発表が1981年1月にSan Franciscoで開かれたアメ
リカ数学会年会の折に行なわれた.次の定理がとうとう証明されたのである.
定理.Gを有限単純群とすれば,Gは次にあげる単純群のいずれかと同形である.
I 素数位数の巡回群.
II n次の交代群(n≧5).
III Lie型の単純群.
IV 26個のsporadicsimplegroups.
以下この分類定理が証明されるにいたったいきさつと定理の解説およびその証明の大要を述べよう.
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン/%E5%BE%A9%E5%88%8A-%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4%E8%AB%96-%E4%BC%8A%E8%97%A4-%E6%98%87/dp/4320016688
有限群論: 復刊 Tankobon Hardcover ? February 26, 2001
by 伊藤 昇 (著)
有限群論研究の長い歴史の中で、多くの数学者による苦闘の成果が連携しあい、有限単純群分類の完成への足がかりを固めた躍動の時期にまとめられた好書。本書は『共立講座 現代の数学 7.有限群論』として1970年12月に初版が発行されましたが、多くの読者からの要望を受け、単行本に改装し発行したものです。
(引用終り)
219:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 21:00:35.91 rNlYJ3SK.net
>>217 訂正
（伊藤 昇 (著)有限群論は、何度か読んだけど）
↓
（鈴木 通夫 著 群論 上下は、何度か読んだけど）
だな
伊藤先生のは読んでない
鈴木 通夫先生の本は、面白かった
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
現代数学 18
群論 （上）
著者 鈴木 通夫 著
ジャンル 書籍 > 岩波オンデマンドブックス > 数学
日本十進分類 > 自然科学
シリーズ 岩波オンデマンドブックス > 現代数学
刊行日 2015/09/10
ISBN 9784007302718
Cコード 0041
体裁 A5 ・ 並製 ・ 420頁
定価 7,040円
現代数学 19
群論 （下）
著者 鈴木 通夫 著
ジャンル 書籍 > 岩波オンデマンドブックス > 数学
日本十進分類 > 自然科学
シリーズ 岩波オンデマンドブックス > 現代数学
刊行日 2015/09/10
ISBN 9784007302725
Cコード 0041
体裁 A5 ・ 並製 ・ 550頁
定価 9,240円
220:１３２人目の素数さん
22/12/31 21:51:14.00 4vKOE2m7.net
ムーンシャイン出てきたから有限単純群の分類はとっても意味あったね
221:わかるすうがく 近谷蒙
22/12/31 22:02:21.48 cbuR6Msl.net
>>207
>そういうミスに気づくのが、工学屋なんだ
いつから工学屋って素人って意味になったんだろう？
>細かい計算ミス（例えば、小数点以下の最後の細かい違いとか）に気づかずとも、
>大きなミス（桁ズレとか）には気づくべし！
書き間違いは計算ミスよりも細かいけどねｗ
そういうことにしか気づけないのが素人
工学屋じゃなく工員かい？雑談クンは
222:わかるすうがく 近谷蒙
22/12/31 22:09:05.86 cbuR6Msl.net
>>211
雑談クンはガロア理論とかいう以前に
なんでガロア群が巡回群のときに
ラグランジュ分解式で解けるのか
まったく仕掛けが分かってないよ
だって自分で一度も計算しないんだもの
彼は目で見て一発で分かる？以外の理解の仕方がない
もともとズボラで、感覚だけで生きてきたんだろう
自分でやってみる経験を積み重ねることなしには
何も得ることはない 数学に限らないけどね
人生を楽しみたいなら、自分の身体を使わないとね
223:わかるすうがく 近谷蒙
22/12/31 22:13:14.14 cbuR6Msl.net
>>208
＞”自己言及”が本筋なんだよ
＞まず、”自己言及”が本筋という認識をもって勉強しないとね
それで理解できたかい？
できなかっただろ？
それは君の認識が間違ってたからだよｗ
自己言及はトリックの一つに過ぎないよ
それを具現化したのがクワイン文
でも別にトリックは一つに限ったことじゃない
ベリーのパラドックスでもヤブロの方法でもいい
自己言及とは違うがね それぞれ理解すればいい
別に大したことじゃない
224:わかるすうがく 近谷蒙
22/12/31 22:24:04.15 cbuR6Msl.net
>>214
＞計算は、エクセルでも数式処理でも結構できるけど
＞目標と見通しをもってやらないとね
計算結果で目標と見通しは示したよ
雑談クンも甘ったれてないで読みなよ
なんで、分解式同士を掛けて、それを別の分解式と係数の積にしてるのか？
分解式同士の関係を知るために決まってるじゃん 他に何があるの
このアイデアはMathlogの子葉氏のHPから拝借した
URLﾘﾝｸ(mathlog.info)
自分はまず愚直に計算してみた
計算した上で改めて読むと
「ああ、そういうことか」
と分かることがある
一遍読んで１００％分かろうなんて無理だって
っていうか別に一発で１００％分かる必要なんかないだろ
じわじわ分かればいい それが「数楽」ってもんだｗ
225:わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf
22/12/31 22:33:06.01 cbuR6Msl.net
>>217-219
＞なにか分からないときに調べるための辞書かわりに買ったんだが
＞ぱらぱら読んだ記憶があるけど・・
＞ほとんど読んでないな（きれいなままｗ）
＞でも、このころを境に群論の世界も変わってしまって
＞いま、ここらの理論は、きっと群論ソフトの中じゃない？
＞（私は、そういうソフトは持ってないけど）
＞なので、勉強の仕方も、21世紀は
＞左手に本、右手に群論ソフト
＞という勉強が良いんじゃないですかね？
君は、ほんと、
自分では数学書も読まず計算もせず
理解できない言い訳ばっかり並べるねえ
楽しくないでしょ？
計算しなよ 数楽しなよ
226:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:04:28.82 rNlYJ3SK.net
>>219 追加
出版年は、正確には下記だな
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
現代数学 18
群論 （上）
著者 鈴木 通夫 著
ジャンル 書籍 > 自然科学書 > 数学
書籍 > シリーズ・講座・全集
シリーズ 現代数学
刊行日 1977/05/27
ISBN 9784000052627
Cコード 3041
体裁 A5 ・ 420頁
在庫 品切れ
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
現代数学 19
群論 （下）
著者 鈴木 通夫 著
ジャンル 書籍 > 自然科学書 > 数学
書籍 > シリーズ・講座・全集
シリーズ 現代数学
刊行日 1978/08/18
ISBN 9784000052634
Cコード 3041
体裁 A5 ・ 558頁
在庫 品切れ
227:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:32:16.88 rNlYJ3SK.net
>>220
＞ムーンシャイン出てきたから有限単純群の分類はとっても意味あったね
そうだね
ムーンシャインは、物理の超弦理論とも関係していて不思議だね
”マチュームーンシャイン
2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二”
立川祐二氏、山下真由子氏との共同研究があるとか（下記）
数理科学誌の投稿にも、同様のことが書いてあった
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モンストラス・ムーンシャイン
モンストラス・ムーンシャインもしくはムーンシャイン理論とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイ(John Conway)とシモン・ノートン（英語版）(Simon Norton)により命名された。今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。
一般化されたムーンシャイン
コンウェイとノートンは、1979年の論文で「ムーンシャインは恐らくモンスターに限るものではなく、同様の現象が他の群でも起こりうるのではないか」と示唆している。1980年に、ラリッサ・クイーン(Larissa Queen)たちは、実際には、多くの散在群（英語版）の次元の単純な組み合わせから多くの Hauptmodul (McKay-Thompson series Tg) を構成することができることを発見した。
1987年、ノートンはクイーンの結果と彼の計算を組み合わせ、一般化されたムーンシャイン予想を定式化した。この予想は、モンスターの各々の元 g、次数付きベクトル空間 V(g)、各々の元と元の交換子 (g, h)、に対して、正則函数 f(g, h, τ) を関係づける規則があり、次の条件を満たすという予想である。
つづく
228:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:33:41.35 rNlYJ3SK.net
>>227
つづき
この予想は、コンウェイ・ノートンの予想の一般化である。その理由は、ボーチャーズの定理が、g が恒等元として設定されているときの場合に関係しているからである。今日まで、この予想は未解決である。
コンウェイ・ノートンの予想のように、一般化されたムーンシャイン予想もまた、物理的な解釈をもっていて、1988年にディクソン・ギンスパーク・ハーヴィ(Dixon-Ginsparg-Harvey)により提案されたDixon, Ginsparg & Harvey (1989)。かれらはベクトル空間 V(g) をモンスター対称性を持った共形場理論のツイストされたセクターとして、また、函数 f(g,h,τ) の乗法的数列の種数 1 を分配函数の種数として解釈した。
量子重力との予想される関係
2007年、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、AdS/CFT対応が (2+1)-次元の反ド・ジッター空間の純粋量子重力と、臨界で正則CFTの間の双対性を主張していると示唆した。(2+1)-次元の純粋重力は自由度を持たないが、しかし宇宙定数が負のときにBTZブラックホール解が存在するために非自明なことが起きる。ハーン(G. Hohn)により導入された臨界CFTは、低エネルギーではヴィラソロプライマリー場を持たないということにより特徴づけられ、ムーシャイン加群が一つの例となっている。
ウィッテンの提案（Witten (2007)）に従うと、AdS空間内の最大の負の宇宙定数を持つ重力は、中心電荷 {\displaystyle c=24}c=24 でCFTの分配函数がちょうど {\displaystyle j-744}j-744 となる正則CFTのAdS/CFT双対である。この正則CFTは、ムーンシャイン加群の次数付き指標(character)である。フレンケル・レポウスキー・ミュールマンの予想であるムーンシャイン加群は、中心電荷が 24 で指標が {\displaystyle j-744}j-744 である唯一の正則頂点作用素代数(VOA)であるという予想を前提として、ウィッテンは最大の負の宇宙定数を持つ純粋重力は、モンスターCFTの双対であると結論づけた。
つづく
229:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:34:59.82 rNlYJ3SK.net
>>228
つづき
ウィッテンの提案の一部として、ヴィラソロプライマリー場はブラックホールを生成する作用素の双対であり、整合性チェックとして、彼は大きな質量境界で与えられたブラックホールのベッケンシュタイン・ホーキングの準古典エントロピーの見積もりと、対応するムーンシャイン加群のヴィラソロプライマリーの多重度の対数が一致することを発見した。小さな質量領域では、エントロピーに対して小さな量子補正が存在し、最も小さなエネルギーのプライマリー場は、{\displaystyle \log(196883)\sim 12.19}\log(196883)\sim12.19である。一方、ベッケンシュタイン・ホーキングの見積もりは{\displaystyle 4\pi \sim 12.57}4\pi\sim12.57である。
ダンカンとフレンケル（Duncan & Frenkel (2009)）は、ラーデマッハーの和（英語版）を使い、この双対性の証拠をさらに加え、大域的トーラス同種(isogeny)幾何学上の正規化された和を使い、(2+1)-次元重力の分配函数としてマッカイ・トンプソン級数を再現した。さらに、彼らは、モンスターの元でパラメトライズされるツイストしたカイラル重力の族の存在を予想し、一般化されたムーンシャインや重力インスタントンとの関係を示唆した。現在のところ、これら全てのアイデアは、むしろ期待でしかなく、その理由の一つとしては、3-次元量子重力が厳密な数学的な基礎を持っていないことにある。
マチュームーンシャイン
2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二は、K3曲面上の楕円種数が N=(4,4) 超共形代数（英語版）の指標へ分解することができ、有質量状態（英語版）の多重度がマチュー群 M24（英語版）(Mathieu group M24)の既約表現の単純な結合のように見えることを発見した。このことは、M24 対称性を持つ対象空間としてK3曲面を持つシグマモデルの共形場理論が存在することを示唆している。しかし、向井・近藤分類によると、シンプレクティック自己同型による任意のK3曲面の上のこの群には忠実表現がなく、ガバルディエール(Gaberdiel)、ホーエンネッガー(Hohenegger)、ボロパト(Volpato)によると、任意のK3シグマモデルの共形場理論には忠実表現が存在しないという議論があり、基礎となるヒルベルト空間上に作用が現れないことがいまだにミステリーになっている。
つづく
230:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:35:56.76 rNlYJ3SK.net
>>229
つづき
マッカイ・トンプソン級数の類似で、チェン(M. Cheng)は、多重乗法函数（英語版）(multiplicity function)も M24 の非自明元の次数付きトレースも両方とも、モックモジュラー形式（英語版）(Mock modular form)を形成することを示唆している。2012年、ガノン(Gannon)は、多重度の最初のものだけは M24の表現の非負な整数係数の線形結合であることを証明し、ガバルディエール(Gaberdiel)、パーソン(Persson)、ローネレンフィッチ(Ronellenfitsch)、ボロパト(Volpato)は、一般化されたムーンシャイン函数のすべての類似物を計算し、強くマチュー・ムーンシャインの背後に正則共形場理論の類似物が存在することを強く示唆した。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Monstrous moonshine
Contents
1 History
2 The moonshine module
3 Borcherds' proof
4 Generalized moonshine
5 Modular moonshine
6 Conjectured relationship with quantum gravity
7 Mathieu moonshine
8 Origin of the term
9 Related observations
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
山下 真由子 URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
研究紹介はこちらです
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
助教 山下真由子（微分幾何学・トポロジーの研究）
2 つ目は, 上記の一般論を具体的な問題に応用する研究です. 素粒子物理学
者であるの立川裕二氏（東京大学）との共同研究において, 「ヘテロティック弦理論の量
子異常が存在しない」, という結果を示しました ([3])。これは物理学的な命題ですが, 一
般コホモロジーの変換の言葉に置き換えることで, 純粋数学的な手法によって問題を解決
することが可能になります。
[3] Y. Tachikawa and M. Yamashita. Topological modular forms and the absence of
all heterotic global anomalies, preprint. arXiv:2108.13542 (2021).
URLﾘﾝｸ(www.saiensu.co.jp)
数理科学 2022年11月号 Ｎｏ.713
作用素・演算子と数理科学
その考え方と面白さを探る
・トポロジーと作用素・演算子 山下真由子
(引用終り)
以上
231:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:57:02.68 rNlYJ3SK.net
>>161 戻る
>>148-149
>ラグランジュ分解式を指標和と考えるメリット？
>ポントリャーギン双対として統一的な理解が得られる。
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>前スレに書いた、「巡回方程式のべき根表示=フーリエ級数展開の類似」
>も、ほぼもろに書いてありますね。
>>・有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）
>>双対群上の函数としての離散フーリエ変換>を持ち、有限群上の任意の函数が
>>その離散フーリエ変換から復元することができる。
すぐ反応できなくてすまんが
１）ポントリャーギン双対、”有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）”だね
２）アーベル（可換）限定？ みたいだね（下記）
３）円分理論で巡回群に限定ならアーベルだが
４）5次以上の方程式論で、例えば、5次で可解群で、位数20のフロベニウス群や、位数10の二面体群は非可換だよ
でも、非可換でも、ラグランジュ分解式だよね
この場合は、ポントリャーギン双対→離散フーリエ変換の筋に乗らない気がするよ
非可換への拡張の部分が判然としないね
なんか、「慌てて検索して貼りました」感がするのは、私だけかな？
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二面体群は、有限非可換群の最も単純な例
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ポントリャーギン双対
非可換理論
可換群の場合と同様の非可換群 G に対する理論は存在しない。なぜならば、この場合表現の同型類の適切な双対対象は一次元表現だけを含むことはできず、群とはならないからである。非可換な場合への一般化として有効なものが圏論において存在し、淡中クライン双対性と呼ばれる。しかし、これは G^ 上のプランシュレル測度に関する問題に対処しなければならず、調和解析に関係するものからは話がそれてしまう。
つづく
232:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:57:38.70 rNlYJ3SK.net
>>231
つづき
他にも非可換群に対する双対理論の類似物は存在していて、いくつかは作用素環論の言葉で定式化されている。基本的な出発点は群 G の群環と双対群 G^ の関数環とが同型になっているということである。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Pontryagin duality
Dualities for non-commutative topological groups
For non-commutative locally compact groups {\displaystyle G}G the classical Pontryagin construction stops working for various reasons, in particular, because the characters don't always separate the points of {\displaystyle G}G, and the irreducible representations of {\displaystyle G}G are not always one-dimensional. At the same time it is not clear how to introduce multiplication on the set of irreducible unitary representations of {\displaystyle G}G, and it is even not clear whether this set is a good choice for the role of the dual object for {\displaystyle G}G. So the problem of constructing duality in this situation requires complete rethinking.
Theories built to date are divided into two main groups: the theories where the dual object has the same nature as the source one (like in the Pontryagin duality itself), and the theories where the source object and its dual differ from each other so radically that it is impossible to count them as objects of one class.
The second type theories were historically the first: soon after Pontryagin's work Tadao Tannaka (1938) and Mark Krein (1949) constructed a duality theory for arbitrary compact groups known now as the Tannaka?Krein duality.[17][18] In this theory the dual object for a group {\displaystyle G}G is not a group but a category of its representations {\displaystyle \Pi (G)}{\displaystyle \Pi (G)}.
つづく
233:現代数学の系譜 雑談
22/12/31 23:58:03.85 rNlYJ3SK.net
>>232
つづき
The theories of first type appeared later and the key example for them was the duality theory for finite groups.[19][20] In this theory the category of finite groups is embedded by the operation {\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}{\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}} of taking group algebra {\displaystyle \mathbb {C} _{G}}{\displaystyle \mathbb {C} _{G}} (over {\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb{C} ) into the category of finite dimensional Hopf algebras, so that the Pontryagin duality functor {\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}{\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}} turns into the operation {\displaystyle H\mapsto H^{*}}{\displaystyle H\mapsto H^{*}} of taking the dual vector space (which is a duality functor in the category of finite dimensional Hopf algebras).[20]
In 1973 Leonid I. Vainerman, George I. Kac, Michel Enock, and Jean-Marie Schwartz built a general theory of this type for all locally compact groups.[21] From the 1980s the research in this area was resumed after the discovery of quantum groups, to which the constructed theories began to be actively transferred.[22] These theories are formulated in the language of C*-algebras, or Von Neumann algebras, and one of its variants is the recent theory of locally compact quantum groups.[23][22]
One of the drawbacks of these general theories, however, is that in them the objects generalizing the concept of group are not Hopf algebras in the usual algebraic sense.[20] This deficiency can be corrected (for some classes of groups) within the framework of duality theories constructed on the basis of the notion of envelope of topological algebra.[24]
(引用終り)
以上
234:１３２人目の素数さん
23/01/01 01:24:42.24 bVpk4vzc.net
単位元だけからなるいわゆる自明な群は単純群と呼ばないのかな。
26個の例外型単純群それぞれに異なる素粒子が対応しているというような
単純な話ではないのだな。。。
有限群ではない群の分類はどうなるのでしょう？
235:和尚がⅡ
23/01/01 07:31:02.18 pCSmtf17.net
>>231
＞なんか、「慌てて検索して貼りました」感がするのは、私だけかな？
ああ、>>227-233がねｗ
236:和尚がⅡ
23/01/01 07:36:27.85 pCSmtf17.net
>>231
＞でも、非可換でも、ラグランジュ分解式だよね
何が？
＞この場合は、ポントリャーギン双対→離散フーリエ変換の筋に乗らない気がするよ
＞非可換への拡張の部分が判然としないね
なんで非可換が出てきた？
なんか「悔しいからとにかく反論しました」って感じだねぇ
237:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 09:36:09.99 x1AjdVpC.net
>>116
>ラグランジュ分解式=指標和(character sum)であることが説明されてない本は素人本だね。
>わたしは大学の頃自分で気づいたが、後で見たらラングだったかの本にはちゃんと書いてあった。
へー
google検索 "character sum Lagrange resolvent"
で下記２件ヒット
ラングの本はしらんけど
１）
"P13 [6.7] p = 11 and order m = 5 Since ω = ω5
The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so
11 = (ω + 2)(ω^2 + 2)(ω^3 + 2)(ω^4 + 2)"
URLﾘﾝｸ(www-users.cse.umn.edu)
(July 28, 2010)
Kummer, Eisenstein, computing Gauss sums as Lagrange resolvents
Paul Garrett garrett@math.umn.edu URLﾘﾝｸ(www.math.umn.edu)
1. Solving cyclic equations by Lagrange resolvents
2. Kummer’s approximation of Gauss sums
3. Galois equivariance and prime factorizations
4. Ambiguity by units
5. Evaluating Gauss sums
6. Numerical examples
7. Appendix: Kronecker’s theorem, Kummer (-Teichm¨uller) character, Gauss sums
つづく
238:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 09:36:32.87 x1AjdVpC.net
>>237
つづき
4. Ambiguity by units
P8
Let qo generate p, the ideal lying under P in Z[ω], where P defines the Kummer (-Teichm¨uller) character.
Identify (Z/m)× with the Galois group of Q(ω) over Q, which we know acts transitively on primes over p in Z[ω].
6. Numerical examples
P13
[6.7] p = 11 and order m = 5 Since ω = ω5 satisfies ω^4 + ω^3 + . . . + ω + 1 = 0,
0 =((ω + 2) - 2)^4+((ω + 2) - 2)^3+ . . . +((ω + 2) - 2)+ 1 = (ω + 2)^4 + . . . + 11
The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so
11 = (ω + 2)(ω^2 + 2)(ω^3 + 2)(ω^4 + 2)
The fifth power of the quintic Gauss sum is
γ(χ^-2_P )^5 = η ・ (ω + 2) (ω^2 + 2)^3(ω^3 + 2)^2(ω^4 + 2)^4
and the congruence for η is
-η (ω^2 + 2)^2(ω^3 + 2) (ω^4 + 2)^3 = (-1/((11-1)/5)!)5 mod (ω + 2)
Using ω = -2 mod ω + 2, this is
η ((-2)^2 + 2)^2((-2)^3 + 2) ((-2)^4 + 2)^3 =1/2^5 mod (ω + 2)
or
η ・ 6^2・ (5) ・ (7)^3 = -1 mod (ω + 2)
which simplifies to η ・ 3 ・ 5 ・ 2 = -1 mod (ω + 2) and then 3η = 1 mod (ω + 2), so η = 4 mod (ω + 2). Since
ω = -2 mod (ω + 2), this gives η = ω^2. Thus,
γ(χ^-2_P )^5 = ω^2・ (ω + 2) (ω^2 + 2)^3(ω^3 + 2)^2(ω^4 + 2)^4
and the quintic subfield of Q(ω5, ζ11) is generated over Q(ω5) by the fifth root of this.
つづく
239:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 09:36:57.23 x1AjdVpC.net
>>238
つづき
２）
"P7 1.5. Minimal and characteristic polynomials and Resolvents"
URLﾘﾝｸ(hal.archives-ouvertes.fr)
Computing the Lagrange resolvent by effectiveness of
Galois Theorem
Ines Abdeljaoued, Faical Bouazizi, Annick Valibouze
HAL Id: hal-00602882
Preprint submitted on 9 Jul 2011
Abstract
In this article, we introduce a new method to calculate Lagrange resolvent. This technique is
based on Lagrange’s algorithm and it enables to calculate algebraically the resolvent. This algorithm is based on the fundamental theorem of symmetric functions:we generalize the effectivity
of this theorem to any surgroup of the Galois’s group of the polynomial.
P7
1.5. Minimal and characteristic polynomials and Resolvents
P13
Remark 20. Note that Algo2 is far more efficient than that proposed by Lagrange.
Indeed, the Lagrange’s method which is restricted to absolute resolvents (i.e. L = Sn)
enables to eliminate the variables xn, .. . ,x1 of the polynomial x - P with respect to
polynomials f(xn), .. . ,f(x1); he computes polynomial g of degree n
n where χP, b S is a factor. Next, with division of g by its”parasite’s factors”, which can be calculated by
eliminations too, he extracts the divisor χP, b S of g.
By using Algo2, elimination is achieved with the Cauchy moduli (here L = Sn) of
respective degrees n, n - 1, .. . , 1 en xn, .. . ,x1 and the result is the polynomial χP, b S
of degree n!.
Our function ABV does not include the optimizations propozed in the following section.
Nevertheless, this comparison demonstrates the efficiency of the function ABV.
(引用終り)
以上
240:和尚がⅡ
23/01/01 09:51:21.40 pCSmtf17.net
>>237-239
正月からキーワードで検索した結果を一読すらせずコピペするマウントヒヒ1
人でなしのサルは哀れなもんです
241:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 09:57:57.82 x1AjdVpC.net
>>234
レスありがとう
>単位元だけからなるいわゆる自明な群は単純群と呼ばないのかな。
｛e｝を、自明な単純群と呼ぶのもありと思う
テキスト（教科書）では、各自の流儀と思います
>26個の例外型単純群それぞれに異なる素粒子が対応しているというような
>単純な話ではないのだな。。。
ですね
超弦理論 Superstring theory で出てくる群のリスト表があるけど
U(1)、SO(32)、E8 × E8 が挙っていますね
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超弦理論
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Superstring theory
Number of superstring theories
Type Spacetime dimensions SUSY generators chiral open strings heterotic compactification gauge group tachyon
Bosonic (closed) 26 N = 0 no no no none yes
Bosonic (open) 26 N = 0 no yes no U(1) yes
I 10 N = (1,0) yes yes no SO(32) no
IIA 10 N = (1,1) no no no U(1) no
IIB 10 N = (2,0) yes no no none no
HO 10 N = (1,0) yes no yes SO(32) no
HE 10 N = (1,0) yes no yes E8 × E8 no
M-theory 11 N = 1 no no no none no
>有限群ではない群の分類はどうなるのでしょう？
まだ、殆ど手つかずでは？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単純群
例
無限単純群
無限交代群 A_∞、つまり整数全体の偶置換の群は単純群である。この群は有限群A_nの(標準埋め込み A_n→ A_n+1に関する)単調増加列の合併として定義できる。ほかの無限単純群の族の例としては、PSL_n(F)(Fは体、n>= 3)がある。
有限生成である 無限単純群を構成するのはもっと難しい。最初の例はグラハム・ヒグマン（英語版）によるもので、ヒグマン群（英語版）の商群である。[6] 他の例は無限トンプソン群 T と V を含む。有限表示のねじれのない無限単純群はBurgerとMozesにより構成された。[7]
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Simple group
1.2 Infinite simple groups
242:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 10:01:55.13 x1AjdVpC.net
>>235-236
必死だな
・非可換でも、ラグランジュ分解式は使える。ガロア第一論文にある
・再録 >>231"４）5次以上の方程式論で、例えば、5次で可解群で、位数20のフロベニウス群や、位数10の二面体群は非可換だよ
でも、非可換でも、ラグランジュ分解式だよね
この場合は、ポントリャーギン双対→離散フーリエ変換の筋に乗らない気がするよ"
以上ｗ
243:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:21:00.51 dxBydmVP.net
Gが非可換群でもGの交換子群を[G,G]としたとき
G/[G,G]は必ずアーベル群になりますよ。
これが単位群でなければ、べき根の添加によって
ガロア群が真に縮小する。
そのべき根の構成はアーベル群(=G/[G,G])
の指標による指標和=ラグランジュ分解式
によってなされる。
244:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:27:12.96 dxBydmVP.net
非可換単純群においてラグランジュ分解式を作っても
それはべき根解法には寄与しない、意味がないということ。
245:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 10:40:57.50 x1AjdVpC.net
>>240
必死だなｗ
>正月からキーワードで検索した結果を一読すらせずコピペするマウントヒヒ1
一読というか、チラ見したよ
>>238より
”The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so
11 = (ω + 2)(ω^2 + 2)(ω^3 + 2)(ω^4 + 2)”
とp=11で、4つに分かれるんだ
これ、>>64 (参考)
URLﾘﾝｸ(ror.hj.to)
元祖ワシ的日記
眠れない夜に円分多項式 （一応その３）2008年05月28日
11乗して1になる数を求める円分多項式
F11(x) = x^10 + x^9 + x^8 + ... + x + 1 = 0
の根は10次の方程式ながら解けてしまうのです。
(引用終り)
これから
(引用開始)
σは1の5乗根でσ^5 = 1。
C0^5 = (50 - 39B0) + σ(55 + 15B0) + σ^2(20 + 55B0) + σ^3(-65 - 5B0) + σ^4(-75 - 25B0)
D0^5, E0^5, F0^5を計算すれば
D0^5 = (50 - 39B0) + σ^2(55 + 15B0) + σ^4(20 + 55B0) + σ(-65 - 5B0) + σ^3(-75 - 25B0)
E0^5 = (50 - 39B0) + σ^3(55 + 15B0) + σ(20 + 55B0) + σ^4(-65 - 5B0) + σ^2(-75 - 25B0)
F0^5 = (50 - 39B0) + σ^4(55 + 15B0) + σ^3(20 + 55B0) + σ^2(-65 - 5B0) + σ(-75 - 25B0)
これより C0, D0, E0, F0がQ(√-11)の元の5乗根として求まる。
(引用終り)
とあるけど
これ、「p=11で、4つに分かれる」と
「C0, D0, E0, F0がQ(√-11)の元の5乗根として求まる」の"C0, D0, E0, F0"の4つとが
関連しているんだろうなと
思いながら、コピペしてたｗ
246:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:48:13.18 dxBydmVP.net
Gをガロア群として、σを位数nの元とする。
ラグランジュ分解式は
θ+ζ_nσ(θ)+ζ_n^2σ^2(θ)+…+ζ_n^{n-1}σ^{n-1}(θ)
のような形になっている。
アーベル群の指標とは有限アーベル群からC^×への準同型写像のことであり
この場合で言うと、σ^k→ζ_n^k
という写像が、σが生成する巡回群<σ>からC^×への
準同型写像になっていると言っているだけ。
ラグランジュ分解式は必ずこのような形を持っていると思う。
247:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 10:52:11.25 x1AjdVpC.net
>>243-244
なるほど
それは正しそうだね
Gを可解群に限定すれば、交換子群[G,G]なしで説明できるかな
>そのべき根の構成はアーベル群(=G/[G,G])
>の指標による指標和=ラグランジュ分解式
なるほど。但し
ラグランジュ分解式は、one of them であって、
使える式は、ラグランジュ分解式一つに限定されないだろうが
248:１３２人目の素数さん
23/01/01 10:52:28.22 dxBydmVP.net
勿論、σ^k→ζ_n^{lk} としてもいい。これでも準同盟。
つまり、「自然な形」にすると準同型写像になってるってこと。
そう言えば、工学バカは「準同型写像」も知らなかったな？ｗ
249:和尚がⅡ
23/01/01 11:07:10.63 pCSmtf17.net
>>248
>そう言えば、1は「準同型写像」も知らなかったな？
群が分からないんだから、準同型はわかるわけないよね
250:和尚がⅡ
23/01/01 11:13:57.53 pCSmtf17.net
>>245
まーたわけもわからずコピペして
式の形だけで直感的憶測する
トンデモオカルト思考してるねｗ
昨日の「わか数」はcos(2πn/11)しか解いてないから√11出てこないよ
7等分の時見ればわかるけど、
cosのときは７しか出てこない
sinで√７が出てくる
♪なんでだろー なんでだろー なんでだなんでだろー
251:１３２人目の素数さん
23/01/01 11:23:11.35 dxBydmVP.net
で、わたしが大学の頃レポートで書いたのは
要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^
として
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
という指標和を考えてやると、これがべき根になっていて
（実際、この和を(χ,θ)とおくとσ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)
が成立するから、(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
べき根表示が一挙に得られるという話。
当時は「この程度では深さが足りないな」と思ったが
このスレのレベルからすると、天才か？！って思うねｗ
252:１３２人目の素数さん
23/01/01 11:30:44.69 dxBydmVP.net
>(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
勿論、これをすっきり言うために、指標χの値として生じる1のべき根を
予め基礎体に添加しておくのである。
この辺り、もしこの前提を無くしたらどうなるか？とかも
当時はある程度考えていたが、そのうち関心が別に移った。
253:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 11:52:56.20 x1AjdVpC.net
>>246
>アーベル群の指標とは有限アーベル群からC^×への準同型写像のことであり
下記の「乗法的指標」のことかな？ 指標は、ラグランジュ分解式限定じゃないよね
（Other uses of the word "character" are almost always qualified.とあるね）
ついでに聞いていいかい？
・ラグランジュ分解式を、指標と見ることの具体的利点は何か？ 特にないけど、教養として知っておけかな
・同様、フーリエと見ることの具体的利点は何か？ 特にないけど、教養として知っておけかな
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Character (mathematics)
In mathematics, a character is (most commonly) a special kind of function from a group to a field (such as the complex numbers). There are at least two distinct, but overlapping meanings.[1] Other uses of the word "character" are almost always qualified.
Contents
1 Multiplicative character
2 Character of a representation
2.1 Alternative definition
3 See also
つづく
254:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 11:53:21.12 x1AjdVpC.net
>>253
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
指標（しひょう、英: character）とは、群から（複素数全体のような）体へのある特殊な関数のことを言う。少なくとも二つの、異なるが重複もする意味が存在する。
乗法的指標
群 G 上の乗法的指標（あるいは線形指標または単純に指標）とは、G からある体（通常は複素数体）の乗法群への群準同型である (Artin 1966)。G を任意の群としたとき、そのような準同型の集合 Ch(G) は点ごとの乗算の下でのアーベル群をなす。
この群は G の指標群と呼ばれる。しばしば、「単位的」な指標のみが考慮され、したがって像は単位円の中にある。このとき、その他の準同型は準指標 (quasi-character) と呼ばれる。この定義の特殊な場合として、ディリクレ指標がある。
乗法的指標は線形独立である。つまり Χ_1,Χ_2, ・・・ , Χ_n をある群 G 上の異なる指標としたとき、a_1Χ_1+a_2Χ_2 + ・・・ + a_n Χ_n = 0 であるなら a_1=a_2=・・・=a_n=0 が成立する。
表現の指標
詳細は「指標理論」を参照
体 F 上の有限次元ベクトル空間 V 上の群 G の表現 φ の指標とは、その表現 φ のトレースのことを言う。一般に、そのトレースは群準同型ではなく、そのトレースの集合が群をなすこともない。一次元表現の指標は、一次元表現と同一であり、したがって上述の乗法的指標の概念はより高次元の指標の特別な場合として考えられる。指標を用いた表現の研究は指標理論と呼ばれ、その分野において一次元指標は線形指標とも呼ばれる。
(引用終り)
以上
255:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 11:58:10.18 x1AjdVpC.net
>>251
>すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
>（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
>べき根表示が一挙に得られるという話。
ありがと
では
前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)
これに、あんたの理論を適用して
具体的に、フーリエ逆変換やって
”べき根表示が一挙に得られる”
を、どぞｗ
実演頼むわｗｗ
256:１３２人目の素数さん
23/01/01 11:58:35.92 bVpk4vzc.net
有限体F上の既約な代数方程式はFのある拡大体F'の中で次数に等しい
個数の根を持つ。拡大次数の上限は簡単にわかるから、
高々有限個しかない拡大された有限体F'の元を一つずつ根になっているか
どうかを調べていっても解決できるが、もっと能率の良いやり方があるのだろう。
さらに、F'はFのアーベル拡大だから、すべての根を無理矢理に巾根表示の形式で
表すことが出来るにちがいないが、それをやったとしたらはたしてなにか良い
ことがあるのだろうか？
257:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 14:08:44.26 x1AjdVpC.net
>>256
どうもありがとう
>さらに、F'はFのアーベル拡大だから、すべての根を無理矢理に巾根表示の形式で
>表すことが出来るにちがいないが、それをやったとしたらはたしてなにか良い
>ことがあるのだろうか？
かなり同意
１）多分、巾根は「人類が古代(エジプトで？)最初に得た高等関数」なのでしょうね
平方根が、面積やピタゴラスの公式の逆から得られる
立方根は、体積の1/3乗から
でも、5乗根になると、普段使うことないです
ただ、漠然と5乗根の世界が美しく思えたかも
２）しかし、5乗根の世界は、>>191-195に示してくれたように
ゴタゴタして美しくないですよね
三角関数表示ならば、cos(2π/11)+isin(2π/11) とスッキリしている
21世紀のいま、関数電卓なりエクセル関数で、適当な近似値を得るならば
cos(2π/11)+isin(2π/11) の方が、好都合です
（5乗根でこれだけゴタゴタするならば、それ以上の次数になると、うんざりですね）
３）なので、
巾根表示は理論的興味以上の意味がないのかも、きっと
そして、過去 限界の5次式で、いろんな人がいろんなべき根解法を試したみたいですね
４）で、問題>>255で三角関数表示で「cos(2π/11)+isin(2π/11) 」いいのならば（実際は逆数1/cos(2π/11)ですが）
これを、フーリエ変換する？ どうやるの？ フーリエ逆変換でべき根表示できる？
さっぱり、浮かばない
258:１３２人目の素数さん
23/01/01 14:23:03.35 dxBydmVP.net
>過去 限界の5次式で
バカ、ここに極まれりｗ
素人の世界ではそうかもしれないが、数学者は遥に先を行っている。
結局、これは「ガウス和の決定」という問題に帰着する。
これは偏角の決定まで含めると、一般的には大変難しい問題だが
だからと言って「個々の場合」が「p=11とかその程度」
しか計算されてないなんてことはありえない。
p=100万以下程度は軽く計算されていると思う。
259:１３２人目の素数さん
23/01/01 14:30:08.88 dxBydmVP.net
フーリエ逆変換がペダンチックだと言うなら
「指標の直交性」からもっと直に計算式を示すこともできる。
ただし、1はクレクレバカで、自分で計算せずに
ひとがやってくれることを期待してるから
自分で理解せずに結果だけ見て、そんなの楽しいの？
としか思わない。
260:１３２人目の素数さん
23/01/01 14:37:14.81 dxBydmVP.net
「偏角決定なし」で、べき根の中身だけなら
>>120の公式より、ヤコビ和という比較的簡単な和
から計算できる。
261:１３２人目の素数さん
23/01/01 15:08:51.44 dxBydmVP.net
>>251に書いた通り
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)=(χ,θ)
で、これがべき根になってるわけ。
ここから逆にθを得るには
(1/n)Σ_{χ∈A^}(χ,θ)=θ（ただし、n=|A|）
とするだけ。具体的な計算はともかく
理念的にはとても簡単。
262:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 15:16:07.11 x1AjdVpC.net
>>257 補足
> ４）で、問題>>255で三角関数表示で「cos(2π/11)+isin(2π/11) 」いいのならば（実際は逆数1/cos(2π/11)ですが）
いまさら、自明でトリビアですが
Qにある無理数αを添加した体Q(α)には、αの逆元1/αが含まれる
逆もまた真
よって、Q(α)＝Q(1/α)です
なので、>>255 より Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)) の場合
Π_{k=1}^{5}(x-cos(2kπ/11)) を考える方が、やりやすい
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
で、x=1/X （つまりX＝1/x＝cos(2π/11)であり）
1/X^5 + 6 1/X^4 - 12 1/X^3 - 32 1/X^2 + 16 1/X + 32=0
X^5をかけて、分母をはらうと
1 + 6 X - 12 X^2- 32 X^3 + 16 X^4 + 32 X^5=0
となって、この方程式の根の一つは X＝cos(2π/11) であり
全体では、cos(2kπ/11) k=1～5 です
cos(2kπ/11) k=1～5で考える方が
従来の円分多項式の理論が使えるので
これが、大きなメリットです
263:和尚がⅡ
23/01/01 15:17:26.27 pCSmtf17.net
>>257
＞巾根は「人類が古代(エジプトで？)最初に得た高等関数」なのでしょうね
＞しかし、5乗根の世界は、・・・に示してくれたように
＞ゴタゴタして美しくないですよね
どうせ引用するなら>>183-184にしときなよ
腕力で計算しても、ちゃんと答えが出る
実に美しいと思うがな
＞三角関数表示ならば、cos(2π/11)+isin(2π/11) とスッキリしている
＞21世紀のいま、関数電卓なりエクセル関数で、適当な近似値を得るならば
＞cos(2π/11)+isin(2π/11) の方が、好都合です
＞（5乗根でこれだけゴタゴタするならば、それ以上の次数になると、うんざりですね）
逆関数arccos、arctanもいるけどね
ま、本当のこといえば、複素数のlogとexpがあればいいが
そんな都合のいいもん、EXCELにはないので、三角関数と逆三角関数が必要
そういう安直な精神の人は、ガロア理論とか興味持っちゃダメだよ
円分体も興味ないのに、ガロア理論とかありえんわ~
＞なので、巾根表示は理論的興味以上の意味がないのかも、きっと
というか、代数方程式の解が知りたいなら数値解法使えよｗ
＞そして、過去 限界の5次式で、いろんな人が
＞いろんなべき根解法を試したみたいですね
いろんなベキ根解法ってなんだよｗ
基本的にはラグランジュの分解式に尽きる
もちろん、見かけ上違う方法はあるかもしれんがね
だからといって、ベキ根とか言ってる限りは
解ける方程式が増えるなんてこたぁない
＞で、問題>>255で三角関数表示で「cos(2π/11)+isin(2π/11) 」いいのならば
＞これを、フーリエ変換する？ どうやるの？
＞フーリエ逆変換でべき根表示できる？
＞さっぱり、浮かばない
ベキ根ベキ根って、＊＊の一つ覚えみたいに騒ぐなよｗ
要するにベキ根の中身が１の５乗根を使った式で表せればいい
それをやったのが「わか数」の183-195だろ
ま、アイデアは他人のページによるといってるけどな
数式以外をコピペしてドヤってるだけのサルよりよっぽどマシ
計算しないヤツ、文章読まないヤツが、数学について何を語るんだ？
何も語れることないだろ 自分の誤解と挫折体験以外
264:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 15:18:01.47 x1AjdVpC.net
>>261
ありがと
では
前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)
これに、あんたの理論を適用して
具体的に、フーリエ逆変換やって
”べき根表示が一挙に得られる”
を、どぞｗ
実演頼むわｗｗ
ゴタクは、いいからやってｗ
265:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 15:52:42.01 x1AjdVpC.net
>>264 補足
下記いいね
「 x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0 の解
α = 2 cos2π/11 」
なんだね
α = cos2π/11 より係数が小さくなるね
なるほどね
(参考)
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
亀井のホームページ
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
数学のページ
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
MeBio 数学テキスト (2018.4.25 7:16)
x^5 - 5x + 12 = 0 について
?Galois 群，巾根表示，類体論，整数環?
目 次
第 1 章 きっかけと他の例 ..3
§ 1 5 次巡回拡大 ....... 3
§ 2 5 次交代群 A5 ...... 5
第 2 章 x^5 - 5x + 12 = 0 ..6
§ 1 Gal(K/Q) = D5 .... 6
§ 2 共役元を F[α] の元として表す ..... 7
§ 3 α の巾根表示 ....... 11
§ 4 Artin symbol (K/F/p)....... 14
§ 5 F の絶対類体....... 18
§ 6 |OE : Z[α]| と |OK : OF [α]| の決定 .... 20
§ 7 OE の決定...... 22
§ 8 OK の決定 1；2 巾の除去 ...... 23
§ 9 OK の決定 2；5 巾の除去 ...... 28
第 1 章
きっかけと他の例
筆者は医歯学部進学予備校メビオで数学講師として勤務しています．過日同僚の新家英太郎さんに「Q 上 Galois
群が A5 になる代数拡大の例は」と尋ねられ，いろいろ計算している途中で f(x) = x
5 - 5x + 12 = 0 なる「興味深い」方程式が見つかりました．この方程式の分解体 K の Galois 群 Gal(K/Q) は A5 ではなく D5 ですが，A5 と
異なり可解群ですから，種々の整数論的現象の例として非常に具体的な数値を示すことができます．その際，数式
ソフトが非常に有効です．整数であることがわかっている数を小数計算した結果，十分に整数に近い小数が得られ
たならその数が決定できたことにするわけです．（もちろん数学としてはその正当性を再確認する必要があります．）
筆者が学生の頃は万人が容易に使える数式ソフトなどなく，電卓レベルで計算するか自分でプログラムを組むか
ぐらいしかなかったのですが，今回数式ソフトを使ってみてその威力に驚きました．本稿ではその活用の仕方も紹
介したいと思います．計算には Maxima と Excel を多用しました．
つづく
266:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 15:53:23.06 x1AjdVpC.net
>>265
つづき
本稿で行ってみたのは次の事項です．
・ Galois 群 Gal(K/Q) を決定する，（実は D5）
・ 2 次の部分体 F を決定する．
・ f(x) = 0 の一つの解を α とするとき，他の解を F(α) の元として表す．
・ α を巾根表示する．
・ K を F の類体とみて，対応する射線 m と同型 Gal(K/F) ? Am/Hm を決定する．
・ K/Q で分岐する素数 2, 5 の素因子に対し，その分解群，惰性群，分岐群を決定する．
・ F の絶対類体を決定する．
・ 判別式 D(E/Q), D(K/Q) を決定する．
・ 整数環 OE, OK を決定する．
これらについては 2 章で見ることにして，この章では Galois 群が Z/5Z になる例と A5 になる例を一つずつ紹介
しておきましょう．
§ 1 5 次巡回拡大
ζ を 1 の複素 11 乗根とする．つまり ζ = exp2πi/11= cos2π/11+ isin2π/11
である．この場合円分体 Q(ζ) は Q上 10 次の巡回拡大であり，
Gal(Q(ζ)/Q) ? (Z/11Z)× ? Z/10Z =< σ >
ここで σ は σ(ζ) = ζ^2 で定義される自己同型である．（ 2 は (Z/11Z)× の原始根である．）
従って Gal(Q(ζ)/Q) の位数 2 の部分群 < σ5 > に対応する体 K が Q 上 5 次の巡回拡大になっている．
σ^5: ζ → ζ^2^5= ζ^32 = ζ^-1 は複素共役写像なので K = Q(ζ) ∩ R でもある．
α = ζ + ζ^-1 = 2 cos2π/11(≒ 1.682507065662362) と置くと
略
参考 1 α は x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0 の解であるが，Q 上 5 次巡回拡大の元であるからこの方程式は巾
根で解ける．実際，
α = 2 cos2π/11=1/5(略)
（Kamei_HP:URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)）
参考 2 ちなみに (α - β)(β - γ)(γ - δ)(δ - ?)(? - α) = 11 で，これは素イデアル (11) が完全分岐することを表す．
(引用終り)
以上
267:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 16:42:10.05 x1AjdVpC.net
>>266
>（Kamei_HP:URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)）
これ、下記です
なんか、やろうとしていたこと、全部か多分それ以上の結果が下記にあるね
よく纏まっている
(参考)
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
MeBio 数学テキスト (2014.12.27 20:42)
1 の n 乗根の巾根表示
?n = 11, 13, 7?
第 1 章
1 の 11 乗根の巾根表示
P4
§ 3 体の関係
F = Q(η) とする．Gal(F/Q) ～= (Z/5Z)× ～= Z/4Z であるが，この生成元として τ : η → η^2 をとることがで
きる．< τ 2 > の不変元が Q(√5) である．
また K = Q(α) とおく．Gal(K/Q) ～= Z/5Z の生成元として σ : ζ +1/ζ → ζ^2 +1/ζ^2 をとることができる．
（2 は (Z/11Z)× の原始根である．）
L = KF = Q(α, η) とおく．K ∩ F = Q なので，Gal(L/K) = G1, Gal(L/F) = G2 とおくと，Gal(L/Q) =
G1 × G2 であり，G1 = Gal(L/K) ～= Gal(F/Q) =< τ >, G2 = Gal(L/F) ～= Gal(K/Q) =< σ > がわかる．そこ
で τ, σ を Gal(L/Q) の元として次のように延長する．
τ：η → η^2
ζ +1/ζ → ζ +1/ζ
σ：η → η
ζ +1/ζ → ζ^2 +1/ζ^2
つまり τ は K の元を固定し，σ は F の元を固定するものとする．
つづく
268:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 16:42:37.65 x1AjdVpC.net
>>267
つづき
§ 4 β およびその共役元
L/F は Kummer 拡大なので，適当な a ∈ F を用いて L = F(
√5 a) と表示することができる．a は通常通り次
のようにすれば求められる．
α0, α1, α2, α3, α4 を次のように定義する．
略
これら５つの F 上共役な元を用いて β を
β = α0 + α1η + α2η^2 + α3η^3 + α4η^4
と定義すると，
略
が成り立つので，β, βη, βη^2, βη^3, βη^4 は F 上すべて共役で，すべて x
5 - β^5 = 0 の解であり，
NL/F β = β ・ βσ・βσ2・βσ3・ βσ4= β・βη^4・βη^3・βη^2・βη = β5 ∈ F
であることが分かる．従って β5 を具体的に計算すれば，β はその元の 5 乗根として巾根表示されることになる．
§ 5 β^5 の計算
従って β =（略)＾1/5
§ 6 β0, β1, β2, β3, β4 の定義と，α0 の表示
．従って，α0 =1/5(β0 + β1 + β2 + β3 + β4)=略
が得られる．これにより ζ11 が巾根で表示できたことになり，問題は解決したといってもよい．た
§ 7 β の具体的な表示
略
§ 9 計算に役立ついくつかの事実
(1) Q の素イデアル (11) は F/Q では完全分解し，K/Q では完全分岐する．
(2) F も K も類数は 1 である．
F における 11 の素イデアルが (η - 3, 11), (η - 4, 11), (η - 5, 11), (η - 9, 11) であることはすぐに分か
るが，これらは単項なので，生成元を見つけておきたい．適当な単項イデアルのノルムをいくつか計算してみる
と (η - 9, 11) = (η + 2) であることがすぐに分かる．後はこの共役イデアルを考えれば，(η - 3, 11) = (η^2 + 2),
(η - 4, 11) = (η^3 + 2), (η - 5, 11) = (η^4 + 2) が得られる．
この結果を用いると，例えば節４で表れた -η^3 - 2η^2 + 2η は，NF/Q(-η^3 - 2η^2 + 2η) = 112 であることか
らイデアルとして (-η^3 - 2η^2 + 2η) = (η - 4, 11)(η - 5, 11) = (η^3 + 2)(η^4 + 2) であることが分かり，数として
-η^3 - 2η^2 + 2η = η(η^3 + 2)(η^4 + 2) と素因数分解できることに気付く．
(引用終り)
以上
269:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 16:56:38.31 x1AjdVpC.net
>>263
> ま、本当のこといえば、複素数のlogとexpがあればいいが
> そんな都合のいいもん、EXCELにはないので、三角関数と逆三角関数が必要
EXCEL、複素数
なんか聞いたことがあるよ
と検索すると下記ね
（要するに、知っているから検索できる。私のコピペも同じだよ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
【Excel関数上級編】Excelで複素数の自然対数を計算するIMLN（イマジナリー・ログナチュラル）関数
ソフトキャンパスExcel学校
チャンネル登録者数 2700人
298 回視聴 2020/10/06 #Excel #関数 #複素数
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
chiebukuro.yahoo
mai********さん
2020/2/21
Excelでexp関数で虚数iを用いたexp(i*x)のようなオイラーの公式のようなものを作りたいのですが、iの入れ方がわかりません。実数だかでしかできません。助けてください
回答（1件）
pis********さん
2020/2/21 19:03
Excelで複素数を扱う場合は
=COMPLEX(実部,虚部)
となります。
複素数を引数とする場合、普通の関数は使えず、複素数専用の関数を使うことになります。expは、IMEXP関数を使います。
以下は、exp(iθ)が、cos(θ)＋isin(θ) と一致することを見る例です。
URLﾘﾝｸ(support.microsoft.com)
IMEXP 関数
ここでは、Microsoft Excel の IMEXP 関数の構文および使用法について説明します。
説明
文字列 "x+yi" または "x+yj" の形式で指定された複素数のべき乗を返します。
書式
IMEXP(複素数)
IMEXP 関数の書式には、次の引数があります。
複素数 必ず指定します。 べき乗を求める複素数を指定します。
解説
COMPLEX 関数を使用すると、実数係数と虚数係数を指定して、複素数に変換することができます。
複素数のべき乗は、次の数式で表されます。
数式
使用例
(引用終り)
以上
270:和尚がⅡ
23/01/01 17:04:33.81 pCSmtf17.net
>>265-268
「いいね」じゃなくて自分で計算しなくちゃｗ
君がダメなのはすぐサボること
工学部って計算しないの？んなことないだろｗ
271:和尚がⅡ
23/01/01 17:25:18.89 pCSmtf17.net
>>268
＞§ 5 β^5 の計算
＞従って β =（略)＾1/5
これは酷いｗ
せめてこのくらい書けよ
「β = α0 + α1η + α2η^2 + α3η^3 + α4η^4
β^5 は手計算でも計算できる．
そのためには（α0~α4の積に関する）次の演算規則を用意しておくと便利である．
これを使うと β^2 が次のように計算される．
ここで
α0 +α1η^2 +α2η^4 +α3η +α4η^3 = βτ である．
（後の節では (βτを)β2 とかくことになる．）
また，
－η^3 －2η^2 + 2η =η(η^3 + 2)(η^4 + 2)
と表せることも後に説明する．結局のところ
β^2 = η(η^3 + 2)(η^4 + 2)β2
が分かった．
注意： β1^2/β2∈ F は τ の作用を考えれば明らかである．
同様の計算により，
ββ2 = η^2(η + 2)(η^3 + 2)β3 が得られる．
ここで
β3 = βτ^2= α0 + α1η^3 + α2η + α3η^4 + α4η^2
である．
また，
ββ3 = η(η^3 + 2)(η^4 + 2)β4 が得られる．
ここで
β4 = βτ^3= α0 + α1η^4 + α2η^3 + α3η^2 + α4η
である．
最後に ββ4 を計算すると ββ4 = 11 がわかるので，
β^5
= －11η^4(η + 2)(η^3 + 2)^3(η^4 + 2)^2
= －η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)4(η^4 + 2)3
が得られる．」
これを踏まえて>>183-195を読むとよくわかる
（そもそも「わか数」が参考にした子葉氏のページの
元ネタは亀井氏のpdfらしいので同じなのは明らか）
ついでにいうと、この亀井さんという人は
京大数学科卒（整数論専攻）で現在予備校教師だそうだ
さすがに「わか数」（某私大数学科卒（情報科学専攻？））と違って
ちゃんと答えで出てくる数を因数分解して綺麗な形にしてますね
まあ、別にいいんですけどｗ
272:和尚がⅡ
23/01/01 17:39:15.15 pCSmtf17.net
>>267
＞よく纏まっている
じゃ質問
Q１：変換τ：η→η^2
が群(Z/5Z)×=Z/4Zを生成することを、具体的に示せ
Q２：変換σ：（ζ+1/ζ)→(ζ^2+1/ζ^2)
が群(Z/11Z)×（位数10の巡回群）の部分群であるZ/5Zを生成することを、具体的に示せ
わかってるなら、速攻三分で答えられるよね？ｗ
273:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 19:50:02.32 x1AjdVpC.net
>>267 追加引用
URLﾘﾝｸ(www1.kcn.ne.jp)
MeBio 数学テキスト (2014.12.27 20:42)
1 の n 乗根の巾根表示
n = 11, 13, 7
第 1 章
1 の 11 乗根の巾根表示
P7
§ 8 紛れのない α の表示
P8
α =1/5{-1 + β +η^4(η + 2)(η^2 + 2)β^2 /11 +η^2(η + 2)(η^2 + 2)^2(η^4 + 2)β^3 /121 +η(η + 2)^2(η^2 + 2)^3(η^4 + 2)β^4 /1331}
ただし，β ={-η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)^4(η^4 + 2)^3}^1/5, η =(-1 + √5 + √(-10 - 2√5))/4
(引用終り)
＜補足説明＞
Kummer 拡大について
1の5乗根 η = exp2πi/5= cos2π/5+ isin2π/5 であって
β^5 =-η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)^4(η^4 + 2)^3 ∈Q(η)
であって
α∈Q(η)(β)
と書ける
形式的に
基礎体K＝Q(η)、b＝β^5 とおくと
α∈K(b^1/5)、b∈Q(η)
と書ける
これぞ、Kummer 拡大なり！
274:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:05:46.96 dxBydmVP.net
ζ_p=exp(2πi/p)
χはpを法とするディリクレ指標
τ(χ)はガウスの和 Σ_{j=1}^{p-1}χ(j)ζ_p^j
(1) ζ_p=1/(p-1)Στ(χ) （和はすべてのχに渡る）
sin(2π/p)=-i/(p-1)Στ(χ) （和はχ(-1)=-1なるすべてのχに渡る）
cos(2π/p)=1/(p-1)Στ(χ) （和はχ(-1)=1なるすべてのχに渡る）
(1)を基本のべき根展開とすると
sinは奇函数、cosは偶函数であることに応じて
それぞれχ(-1)=+1,χ(-1)=-1 なる項はすべて消える。
275:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:06:54.15 dxBydmVP.net
2/cos(2π/11)
=8(cos(4π/11)+cos(12π/11)+cos(20π/11))
=8/10Σ(χ~(2)+χ~(6)+1) τ(χ)
（和はχ(-1)=1なるすべてのχに渡る，χ~は複素共役。
展開の各係数に8(χ~(2)+χ~(6)+1) が掛けられる。それだけの話
276:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 20:12:17.37 x1AjdVpC.net
>>273 補足
これが、知りたかったんだ
・β^5 =-η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)^4(η^4 + 2)^3 ∈Q(η)
・α =1/5{-1 + β +η^4(η + 2)(η^2 + 2)β^2 /11 +η^2(η + 2)(η^2 + 2)^2(η^4 + 2)β^3 /121 +η(η + 2)^2(η^2 + 2)^3(η^4 + 2)β^4 /1331}
・α∈K(b^1/5)、b∈Q(η) ｜ 基礎体K＝Q(η)、b＝β^5 （η = exp2πi/5= cos2π/5+ isin2π/5 1の5乗根）とおく
Kummer 拡大 一目瞭然！
277:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:15:25.92 dxBydmVP.net
(1) ζ_p=1/(p-1)Στ(χ) （和はすべてのχに渡る）
の両辺にσ∈Gal(Q(ζ_p,ζ_{p-1})/Q(ζ_{p-1}))
を作用させてみましょうか。
σ(ζ_p)=1/(p-1)Σχ~(σ)τ(χ)
となる。これもフーリエ級数展開の類似。
一つの根の展開が分かれば、他の根の展開も自動的に分かる仕組み。
278:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 20:15:26.21 x1AjdVpC.net
>>275
ありがと
では
前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)
これに、あんたの理論を適用して
具体的に、フーリエ逆変換やって
”べき根表示が一挙に得られる”
を、どぞｗ
実演頼むわｗｗ
ゴタクは、いいからやってｗ
279:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:17:40.09 dxBydmVP.net
>これが、知りたかったんだ
>Kummer 拡大 一目瞭然！
いや、貴方みたいに頭の悪いひとが、そんな明瞭な理解が
得られるわけないから、気分的な錯覚ですよｗ
コピペできることに喜んでるだけでしょう。
280:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 20:17:42.21 x1AjdVpC.net
>>277
おっと
出発点は
あんたのx^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>278
からで頼むよ
種明かしの Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). からって
それフーリエでもなんでもないと思うのは
私だけかい？ｗ
281:１３２人目の素数さん
23/01/01 20:23:50.71 dxBydmVP.net
「フーリエ級数展開の類似」というのは
別にそれが分かったからと言って、既存の解法を
変更させるものではないですよ。
前にも言ってありますが。
いろいろ考える際の「見通し」に関わってくるだけ。
いろいろ自分で考えない1=雑談氏には詮無い話。
282:和尚がⅡ
23/01/01 21:10:44.39 pCSmtf17.net
>>273
>これが、知りたかったんだ
あいかわらず計算せずに他人の文章をカンニングですか
大学の数学の試験もカンニングしたのかい？
＞基礎体K＝Q(η)、b＝β^5 とおくと
＞α∈K(b^1/5)、b∈Q(η)
＞と書ける
＞これぞ、Kummer 拡大なり！
Q(α)はQのクンマー拡大ではないことは理解できたかい？
283:和尚がⅡ
23/01/01 21:23:27.27 pCSmtf17.net
>>278
>具体的に、フーリエ逆変換やって”べき根表示が一挙に得られる”
日本語が曲がって聞こえるんだね 君には
さて、質問
α =1/5{-1
+ β
+ η^4(η + 2)(η^2 + 2)β^2 /11
+ η^2(η + 2)(η^2 + 2)^2(η^4 + 2)β^3 /121
+ η(η + 2)^2(η^2 + 2)^3(η^4 + 2)β^4 /1331}
として、他の４つの根 α1~α4を、βとηで表してごらん
ま、逆フーリエ変換が理解できない「ニセ工学部卒」には分からないかな？
284:和尚がⅡ
23/01/01 21:40:03.87 pCSmtf17.net
1クンへ
>>272と>>283の質問は、基本だから必ず答えてね
285:現代数学の系譜 雑談
23/01/01 22:03:42.43 x1AjdVpC.net
>>281
>「フーリエ級数展開の類似」というのは
>別にそれが分かったからと言って、既存の解法を
>変更させるものではないですよ。
勿論
承知ですよ
既存の解法以外に
もう一つ
新しいフーリエ変換による解法が可能
と理解しましたよ
こうでしたね
>>251より
で、わたしが大学の頃レポートで書いたのは
要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^
として
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
という指標和を考えてやると、これがべき根になっていて
（実際、この和を(χ,θ)とおくとσ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)
が成立するから、(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から
（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの
べき根表示が一挙に得られるという話。
当時は「この程度では深さが足りないな」と思ったが
このスレのレベルからすると、天才か？！って思うねｗ
(引用終り)
ええ、天才と思いますよ
新しいフーリエ変換による解法が可能なんですよね
”フーリエ逆変換を取れば アーベル方程式の根θのべき根表示が一挙に得られる”
すばらしいじゃないですか？
＞いろいろ考える際の「見通し」に関わってくるだけ。
はあ？
じゃ、あんたの x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>278
で、その「見通し」なるものを、適用してください
条件は、スタートは 上記方程式 のみでね
（種明かしの ”Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))”は、陽には使わないこと。陰で使うのは可（というか、使われても分からないしｗ））
どうぞ、その「見通し」なるものを、お願いしますよ
大学の頃レポート通りでも、あと更に研究を追加した改良版でも可ですよ
どうぞ、その「見通し」なるものを、お願いしますね
いや、私のためでなく、そもそも 前スレ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:805番)より
”ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
略
(1)をフーリエ級数展開の類似物と見たとき
略
これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する”
ね
どうぞ、その「見通し」なるものを語って下さい
286:和尚がⅡ
23/01/01 22:18:51.42 pCSmtf17.net
>>285
君、自分が離散フーリエ変換も全く理解してなかったからって
逆ギレするのはおかしいよ 学習しなよ なんでしないの？
287:１３２人目の素数さん
23/01/01 22:20:44.32 dxBydmVP.net
まずご自分の義務>>284を果たされては？
288:１３２人目の素数さん
23/01/01 22:27:36.89 dxBydmVP.net
>別にそれが分かったからと言って、既存の解法を
>変更させるものではないですよ。
「既存の解法に新しい解法を付け加えるものではない」ということです。
ちなみに、大学時代に書いたレポートは離散フーリエ変換
なんてシャレた用語は知らなかったので、単に有限アーベル群の
指標の性質だけを使いました。
双対性というテーマが非常に気に入った点。
289:１３２人目の素数さん
23/01/01 22:31:51.10 dxBydmVP.net
>>274と比較すれば、>>251はほぼ自明な拡張しか行っていないので
ま、考えて見れば学生レポートあたりが妥当なところ。
べき根解法の構造が透明にはなっていると思う。
290:和尚が?
23/01/01 22:33:25.78 pCSmtf17.net
>>285
ところで、1は「アーベル方程式」が何だか知ってるの？ｗ
291:１３２人目の素数さん
23/01/01 22:55:03.39 bVpk4vzc.net
ここまでガウスのｆ項周期の話なし。
292:１３２人目の素数さん
23/01/01 23:04:52.83 dxBydmVP.net
>>291
貴方がされては？
293:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 06:09:52.96 bB/h5A70.net
>>291
それは円の17等分いわゆる「セブンのティーン」に関連してやる予定
ということでまず予告編
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
294:１３２人目の素数さん
23/01/02 07:22:58.12 YGVCEmlg.net
ガウスの数論世界をゆく: 正多角形の作図から相互法則・数論幾何へ (数学書房選書)
susumukuni
ガウス周期を主役としてガウスの数論世界を探索する優れた書
susumukuniさんのレビューに内容の説明がありますね。
295:１３２人目の素数さん
23/01/02 07:40:28.96 l4qCHnBq.net
>>38
お前は聖ニコラスではない、性ニコラスじゃ!!
296:１３２人目の素数さん
23/01/02 07:59:23.74 YGVCEmlg.net
前スレに書いた
>681１３２人目の素数さん2022/12/12(月) 07:27:51.88ID:o5L78qQF
>HはGの部分群であれば任意で、Hの作用でちょうど不変になる式を作れば同様。
>クロネッカー・ウェーバーの定理より
>Q上の巡回（より広くアーベル）方程式は本質的にこのタイプに限られる。
>
>例
>n=31, H={1,5,6,25,26,30}のときG/Hは5次の巡回群。
>α=Σ_{k∈H}σ_k(ζ_31)
>とおくとαはHで不変で、次の巡回方程式をみたす。
>x^5+x^4-12 x^3-21 x^2+x+5
ここで言う
Σ_{k∈H}σ_k(ζ_31)のような数がガウス周期だと思う。
「ガウス周期の積公式」というのが成立して
|G/H|=2,|G/H|=4の場合、それらがそれぞれ平方剰余、4次剰余についての情報を含んでるってことかな？
297:１３２人目の素数さん
23/01/02 08:07:07.78 YGVCEmlg.net
「3次剰余の場合に限界がある」とすれば、その理由には興味がある。
298:１３２人目の素数さん
23/01/02 08:17:40.82 YGVCEmlg.net
これらの和は指標(character)を含んでないという点に特徴がある。
その分幾何的には扱い易いのだろう。
指標和としてのガウス和は乗法指標と加法指標が組み合わさってる点に
難しい点があるわけだから。（でも、実はそこが面白い。）
299:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 08:42:37.33 bB/h5A70.net
>>295
冗談につっこむもんじゃありませんよ めっ
300:１３２人目の素数さん
23/01/02 10:13:47.30 l4qCHnBq.net
>>179
言ったな？理解してんだな？よーしじゃあ今すぐゼロタイムでゲーデルの不完全性定理を
『プロ数学者の品質』で答えろや、少しの素人洗脳用騙し説明も無く完全無欠に答えてみせろや
あぁ？ゲーデル数の定義付けから始まりゲーデルの不完全性定理の一切合財を説明してみせられるんだろ？
あ、コピペに頼ったらお前は自殺になるぞ
301:わかるすうがく 近谷蒙
23/01/02 10:51:45.99 bB/h5A70.net
>>300
率直にいって、嘘つきのパラドックスを
「この文章はウソである」
という人は、嘘つきのパラドックスが分かってない
なぜなら
この文章＝「この文章はウソである」
という関係は、云ってる人が勝手に思ってることだからである
これに対して
「”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章はウソである」
では
”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章
が
「”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章はウソである」
であることは、誰の目にも明らかである
ハスケル・カリーすげぇ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
302:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 11:25:39.12 qZFMMNjk.net
皆様、明けましておめでとうございます。
さて
>>288-289
>ちなみに、大学時代に書いたレポートは離散フーリエ変換
>なんてシャレた用語は知らなかったので、単に有限アーベル群の
>指標の性質だけを使いました。
それで
結構ですよ
>>285より
あなたの x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>278
ここから出発して、種明かしの ”Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))”は、陽には使わないで
有限アーベル群の指標を、導いて下さい
>双対性というテーマが非常に気に入った点。
ええ、双対性も同じですね
ポントリャーギン双対>>188ですね
どうぞ、上記のx^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 を使って
双対性の明示を、お願いしますね
>べき根解法の構造が透明にはなっていると思う。
ええ、”べき根解法の構造が透明に”ですね
どうぞ、x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
に、適用をお願いします
>>285より
いや、私のためでなく、そもそも 前スレ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:805番)より
”ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
略
(1)をフーリエ級数展開の類似物と見たとき
略
これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する”
でしたね。私が理解できるできないに拘らずに
どうぞ、あなたの
「有限アーベル群の指標」と
「双対性というテーマ」と
「べき根解法の構造が透明に」
なるものを、語って下さい！
303:１３２人目の素数さん
23/01/02 11:30:36.83 TFIhRBBE.net
「”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章はウソである」
≠「”を二度繰り返した文章はウソである””を二度繰り返した文章はウソである”」
”を二度繰り返した文章はウソである”を二度繰り返した文章
は下で上は違う
304:１３２人目の素数さん
23/01/02 11:43:07.92 YGVCEmlg.net
>>302
すでに十分説明しましたが？
>これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する
貴方何も反論してないじゃんｗ
「相手に説明の義務を負わせ続ければ勝てる」
という頭の悪い勝ち方をすればいいというのが姑息。
まずは、自分の言葉で説明してください。
別の方から貴方への課題も出されているので、それにも答えるように。
305:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 11:52:57.82 qZFMMNjk.net
>>301
>ハスケル・カリーすげぇ
> URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
そっちは、迷走でしょう
まずは、下記のラッセルのパラドックスから、スタートでしょう
そして、下記ラッセルでは触れていないが、一階述語論理についても触れないと
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ラッセルのパラドックス
ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた[5]。
概要
ラッセルのパラドックスとは、自分自身を要素として含まない集合全体の集合 R={x｜ x not∈ x} の存在から矛盾が導かれるという、素朴集合論におけるパラドックスである。いま R∈ R と仮定すると、R の定義より R not∈ R となるから、これは矛盾となる。したがって（仮定無しで） R not∈ R である。ところが R の定義より R∈ R となるから、やはり矛盾となる。
集合論が形式化されていないことは矛盾の原因ではない。このパラドックスは古典述語論理上の理論として形式化された無制限な内包公理を持つ素朴集合論においても生ずる。上記の証明では排中律並びにそれと同等な論理法則を用いていないから、直観主義論理上の素朴集合論においても矛盾は生ずる。したがって論理を古典論理から直観主義論理に変更しても、ラッセルのパラドックスは回避できない。パラドックスの回避については、様々な方法が提案されている。詳細は矛盾の解消を参照。
矛盾の解消
集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。
1.公理的集合論による解消[6]
2.単純型理論による解消[7]
3.部分構造論理による解消[8]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一階述語論理
ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。
(引用終り)
以上
306:１３２人目の素数さん
23/01/02 12:00:56.86 YGVCEmlg.net
前スレ450の「証明」が、コピペに頼らない1=雑談氏の裸の実力
ゲーデルなんて自分の実力で説明できるわけないｗｗ
↓
450１３２人目の素数さん2022/12/07(水) 14:57:31.11ID:Y16SQtqq
>>431 戻る
(引用開始)
１）>>391
「では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？
一般的な話として、可解な5次方程式でもいいですが。
つまり、5乗根を取る操作をガロア拡大（クンマー拡大）
にするなら、ζ_5は必然的に含まれますが
最小分解体（方程式が一次式の積に分解する最小の体）
には含まれるか否か？って質問です。」
(引用終り)
１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
２）下記 最小分解体の定義より、最小分解体は、Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加して
Q(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける
３）もし、ζ_5が、{α1,α2,α3,α4,α5}たちと代数的に独立(下記)ならば（そしてそれが普通だが）
ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だよね
４）特に、{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だし
仮に、{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、それら虚数根がζ_5と代数的に独立ならば
ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) であり、そのような場合こそ普通だろ
５）なので、果たして彼は、
この問い「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？」
で何を問いたかったのか？ 意味が分からないｗｗ
307:現代数学の系譜 雑談
23/01/02 12:40:49.94 qZFMMNjk.net
>>304
>すでに十分説明しましたが？
説明など、求めていない
あなたの理論を、自分の具体例 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>278
に適用してみせて下さいと、要求しているだけですよｗ
論点すり替え見え見えｗｗ
具体例への適用できないんですね？ｗｗ
>>これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する
>貴方何も反論してないじゃんｗ
あなたは、私の反論を求めたんじゃないでしょ
広く一般の人に向けて、あなたの”フーリエ変換”論を世間に問うたはず
自信満々でねｗｗ
>「相手に説明の義務を負わせ続ければ勝てる」
>という頭の悪い勝ち方をすればいいというのが姑息。
>まずは、自分の言葉で説明してください。
>別の方から貴方への課題も出されているので、それにも答えるように。
義務は、何も負わせていない
ただ、あなたの”フーリエ変換”論が胡散臭いｗ
と思ったから、具体例 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 に適用して下さいと言った
出来ないことは、お見通しでねｗｗｗ
論点すり替え見え見えｗｗ
具体例への適用できないんですね！！ｗｗ
正直に言えば良いのにｗ
308:１３２人目の素数さん
23/01/02 12:58:10.36 YGVCEmlg.net
>>307
>ただ、あなたの”フーリエ変換”論が胡散臭いｗ
「胡散臭い」じゃ反論になってませんねぇ。
前スレでもう一人の方が、巡回方程式の根たちから
べき根たちへの線形写像がヴァンデルモンド行列になってる
ことを指摘したでしょ。その線形写像が離散フーリエ変換ですよ。
その逆行列であらわされる線形写像が逆離散フーリエ変換。
わたしは、そのヴァンデルモンド行列をAとすると
AA^*=nI （A^*はAの共役転置行列、Iは単位行列）
が成立する「直交関係」を指摘した。
かくも美しい事実をまずは理解してください。