22/11/23 11:28:05.49 qSw0GL7+.net
>>746
つづき
４）P78
問題 4.4.5. 系 4.4.17 を証明せよ.
解答 P185
問題 4.4.5. 定理 4.4.15 における f の一意性より, 写像 φ が確かに定まっている事に注意する
まずφ が線形写像である事を示そう.
任意の (fi)i∈I ,(f′i)i∈I ∈Πi∈I Hom(Vi, W) と c, c′ ∈ K について,
f := φ((fi)i∈I),
f′:= φ((fi)i∈I)と置き, また g := φ(c.(fi)i∈I + c′.(f′i)i∈I)= φ((c.fi + c′.f′i)i∈I)
と置くと, 定理 4.4.15 より任意の i ∈ I に対して g ○ ιi = c.fi + c′.f′i.
一方で c.f + c′.f′ ∈ Hom(○+ i∈I Vi, W) も
(c.f + c.′f′) ○ ιi =c.(πi ○ f) + c′.(πi ○ f′) = c.fi + c′.f′i となって, g と同じ性質を満たす.
よって定理 4.4.15 の一意性よりg = c.f + c′.f′ である. よって φ の線形性が示せた.
次に φ が単射である事を示そう. f が線形写像である事を既に示しているから, 問題 1.4.1 より,
(fi)i∈I ∈Πi∈I Hom(W, Vi) が φ((fi)i∈I)= 0 を満たすと仮定して, (fi)i∈I = 0 を示せばよいが,
定理 4.4.15 の条件より任意の i ∈ I に対して fi = φ((fi)i∈I)○ ιi = 0 ○ ιi = 0 である.
最後に, 任意の f ∈ Hom(○+ i∈I Vi, W) に対して fi:= f ○ ιi とすれば φ((fi)i∈I)= f なので,
φ は全射である
つづく