22/10/31 10:30:13.64 NkNyx+A/.net
>>368
1回でも確率99/100以上だよ
統計的確率と数学的確率の違いを学びましょう
401:１３２人目の素数さん
22/10/31 11:54:22.27 XtDarWil.net
>>369
でも1回目って箱入り無数目とランダム時枝ゲームとやってること同じじゃない？固定されてるかどうかで変わるの2回目からでしょ？
402:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:24:21.59 V6kL7bYX.net
>>364
＞３）例えば、宝くじが当たったら、家が建つ
＞ 論理としては正しい。しかし、現実は、宝くじは外れ
＞ 家は建たない
ナンセンス。
・ 宝くじが当たったら Q が成り立つ
・ 宝くじが外れたら Q が成り立つ
が両方とも言えている場合、「 Q が成り立つ 」という性質は確定する。今回の場合は
・「Aは可測」が真ならば、P(A)＝P^*(A)≧99/100なので、「回答者の勝率はゼロは不成立」。
・「Aは可測」が偽ならば、P(A)が定義できないので、「回答者の勝率はゼロは不成立」。
が両方とも言えているので、「回答者の勝率はゼロは不成立」という性質が確定する。
403:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:25:31.20 V6kL7bYX.net
>>364
＞２）現代数学のコルモゴロフの確率論に乗せるためのいくつかの前提がある
＞その前提を満たしていないにも拘わらず
＞コルモゴロフの確率論を適用する
これもナンセンス。ランダム時枝ゲームで使われる確率空間は(Ω,F,P) (>>293)であり、
この確率空間はごく普通の確率空間である。そして、P から生成される外測度を
P^* と書くとき、任意の集合 B⊂Ω に対して無条件で P^*(B) が定義できて、
特に A の場合には P^*(A) ≧ 99/100 である。
ここまでは通常の確率論の範疇であり、しかも何の仮定節も用いず、ダイレクトに証明できている。
よって、スレ主はこの範囲については一切反論できない。仮定節が出現するのはここから先で、
・「Aは可測」が真ならば、P(A)＝P^*(A)≧99/100なので、「回答者の勝率はゼロ」は不成立。
・「Aは可測」が偽ならば、P(A)が定義できないので、「回答者の勝率はゼロ」は不成立。
・ いずれにしても、「回答者の勝率はゼロ」は不成立。
ということになる。スレ主はこのことに文句を言っているわけだが、
既に通常の確率論の範疇で証明済みの結果を、
それぞれの仮定節に適用しているだけなのだから、スレ主の反論は吹き飛ぶ。
スレ主はここで詰み。
404:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:32:45.95 V6kL7bYX.net
・・・などと書いてみたが、A が非可測であることを直接的に証明した方が早いので、以下で証明する。
基本的には、A の断面を考えていくだけである。
もし A が可測なら、ほとんど至るところの A の断面は可測になるが、
「可測でなければならない断面」
の中に非可測な断面が混じっていることが示せるので、
以上により、A は非可測である、という方針になる。
405:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:37:44.40 V6kL7bYX.net
ちなみに、以下の証明は分量としては長い。正確な記述が大変なだけで、
「当たり前の性質」を積み重ねているだけなのだが、分量としては長い。
おそらく、スレ主はマジメに読まない。
別に読まなくても構わんが、その場合はスレ主は>>371-372を受け入れなければならない。
ただし、その時点でスレ主の詰みが確定する。
よって、スレ主が>371-372を受け入れない場合、スレ主は下記の(長い)証明を読まなければならない。
証明も読まず、>371-372も受け入れないという態度を取った場合、
スレ主は議論を放棄したことになるので、その時点でスレ主の詰みが確定する。
・・・と、予め釘を刺しておく。
406:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:40:46.09 V6kL7bYX.net
一般に、測度空間 (X,F,m)が与えられたとき、その完備化を (X,F_w,m_w) と書くことにする。
補題：(X_i,F_i,m_i) (i＝1,2)は有限測度空間で、(X,F,m)はその積空間とする。よって、
X＝X_1×X_2, F ＝ ( {A_1×A_2｜A_i∈F_i} から生成される最小のσ集合体 ), m＝(m_1とm_2の積測度)
である。このとき、次が成り立つ。
(1) A∈F を任意に取るとき、任意の x_1∈X_1 に対して、A の x_1 での断面 A_{x_1} は
A_{x_1}∈F_2 を満たす。すなわち、A が可測なら、任意の x_1∈X_1 に対して断面 A_{x_1} は可測である。
(3) (X,F,m) の完備化は (X, F_w, m_w) と書かれるのだった。
同様に、(X_2,F_2,m_2) の完備化は (X_2, F_{2w}, m_{2w}) と書かれるのだった。
ここで、A∈F_w を任意に取る。このとき、m_1,a.e.x_1∈X_1 に対して、
A の x_1 での断面 A_{x_1} は A_{x_1}∈F_{2w} を満たす。
すなわち、完備化された X の空間の中で A が可測なら、ほとんど至るところの x_1∈X_1 に対して、
断面 A_{x_1} は完備化された X_2 の空間の中で可測である。
この補題は基本的な事実なので、証明は省略する。
407:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:42:11.63 V6kL7bYX.net
「s∈[0,1]^N を標準的な方法で100列に分解する」という操作を、以下で厳密に定義する。
s∈[0,1]^N の添え字は 0 から始めることにする。よって、s＝(s_0,s_1,s_2,…) と書ける。
n個の確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間を (Y_n, E_n, α_n) と書くことにする。
ここでは n＝100 を使うので、簡単のため、(Y,E,α)＝(Y_100,E_100,α_100)と置く。
y∈Y に対して、y の第 i 成分 (0≦i≦99) を y^{i} (∈[0,1]^N) と書くことにする。
よって、y＝(y^{0},y^{1},…,y^{99}) と表せる。
408:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:45:55.30 V6kL7bYX.net
写像 f：Y → [0,1]^N を、y＝(y^{0},y^{1},…,y^{99}) に対して
f(y)：＝s, s_{100k＋i}：＝y^{i}_k (k≧0, 0≦i≦99)
で定義する。f は可測空間 (Y,E) から可測空間 ([0,1]^N,F_N) への可測写像であることが確かめられる。
さらに、任意の A∈F_N に対して、α(f^{-1}(A))＝μ_N(A) が成り立つことが分かる。
すなわち、f^{-1} は測度を保存する。特に、(Y,E,α) の完備化 (Y,E_w,α_w) と、
([0,1]^N,F_N,μ_N) の完備化 ([0,1]^N,F_{Nw},μ_{Nw}) について、
fは可測空間 (Y,
409: E_w) から可測空間 ([0,1]^N, F_{Nw}) への可測写像であることが確かめられる。 次に、写像 g：[0,1]^N → Y を、s∈[0,1]^N に対して g(s)：＝y, y^{i}_k：＝s_{100k＋i} (k≧0, 0≦i≦99) と定義する。g は可測空間 ([0,1]^N,F_N) から可測空間 (Y,E) への可測写像であることが確かめられる。 さらに、任意の A∈E に対して、μ_N(g^{-1}(A))＝α(A) が成り立つ。すなわち、 g^{-1} は測度を保存する。特に、g は可測空間 ([0,1]^N,F_{Nw}) から可測空間 (Y,E_w) への 可測写像であることが確かめられる。また、f と g は互いに逆写像の関係にあることが確かめられる。
410:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:47:01.66 V6kL7bYX.net
さて、s∈[0,1]^N を標準的な方法で100列に分解して、i列目を s^{i}∈[0,1]^N (0≦i≦99)と置いたとき、
s^{i}_k：＝s_{100k＋i} (k≧0)
と定義されるのだった。これは s^{i}＝g(s)^{i} (0≦i≦99) を意味する。
よって、s を100列に分解したときの i 列目は「 g(s)^{i} である」と表現できる。
411:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:47:37.73 V6kL7bYX.net
「ランダム時枝ゲームで回答者が勝利する」という事象を A と置くとき、
A ＝ {(s,i)∈Ω｜d(s^{i})≦max{d(s^{j})｜0≦j≦99, j≠i} }
と表せるわけだが、s^{i}＝g(s)^{i} により、
A ＝ {(s,i)∈Ω｜d(g(s)^{i})≦max{d(g(s)^{j})｜0≦j≦99, j≠i} }
ということになる。さて、我々は A が非可測であることを証明したいのだった。
412:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:49:29.31 V6kL7bYX.net
A は可測だと仮定する。すなわち、A∈F だと仮定する。
(Ω,F,P) は2つの確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N) と (I, G, η) の積空間を
完備化したものである(>>293)から、>>375の補題により、
・ η.a.e.i∈I s.t. A の i における断面 A_i は A_i∈F_{Nw} を満たす
ということになる。よって、あるゼロ集合 M∈G が存在して、
・ ∀i∈I－M s.t. A の i における断面 A_i は A_i∈F_{Nw} を満たす
ということになる。(I, G, η) におけるゼロ集合は空集合しかないので、
M は自動的に空集合であり、よって
・ ∀i∈I s.t. A の i における断面 A_i は A_i∈F_{Nw} を満たす
ということになる。
413:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:55:17.20 V6kL7bYX.net
ここでは、i＝99∈I を採用する。よって、A の 99∈I における断面 A_99 は A_99∈F_{Nw} を満たす。
f は可測空間 (Y, E_w) から可測空間 ([0,1]^N, F_{Nw}) への可測写像だったから、
f^{-1}(A_99)∈E_w が成り立つ。
A_99 ＝ { s∈[0,1]^N｜(s,99)∈A } ＝ { s∈[0,1]^N｜d(g(s)^{99})≦max{d(g(s)^{j})｜0≦j≦98} }
であるから、
f^{-1}(A_99) ＝ { (y^{0},y^{1},…,y^{99})∈Y｜d(y^{99})≦max{d(y^{j})｜0≦j≦98} }
である。よって、これが E_w の元ということになる。以下では、
B ＝ { (y^{0},y^{1},…,y^{99})∈Y｜d(y^{99})≦max{d(y^{j})｜0≦j≦98} }
と置く。よって、B∈E_w ということになる。
414:１３２人目の素数さん
22/10/31 14:58:53.23 V6kL7bYX.net
確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間が (Y_n,E_n,α_n) なのだったが、
積空間の基本的性質により、(Y_{n－1},E_{n－1},α_{n－1}) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間は
(Y_n,E_n,α_n) になる。(Y,E,α)＝(Y_100,E_100,α_100) だったから、
(Y_99,E_99,α_99) と ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間が (Y,E,α) ということになる。
B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、
B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、
任意の z∈Y_99－M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。
そこで、z∈Y_99－M を1つ取って固定する。z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})と表せる。
この z^{0},z^{1},…,z^{98} に対して、k＝max{d(z^{j})｜0≦j≦98} と置く。すると、
B_z ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜(z,y^{99})∈B }
＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦max{d(z^{j})｜0≦j≦98} }
＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦k } ＝ (d≦k)
である。よって、(d≦k)∈F_{Nw} ということになる。
しかし、d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。
以上により、A は非可測である。
415:１３２人目の素数さん
22/10/31 15:09:16.34 V6kL7bYX.net
補足。>>376では
＞ n個の確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) の積空間を (Y_n, E_n, α_n) と書くことにする。
という、若干 意味が取りづらい表現をしてしまったが、>>382で書いているように、
・ 確率空間 ([0,1]^N,F_N,μ_N) を n 個用意して積を取った空間を (Y_n,E_n,α_n) と書く
という意味のつもりである。たとえば、Y_n を明示的に書くと
Y_n ＝ [0,1]^N × [0,1]^N × … × [0,1]^N ( [0,1]^N がn個ある直積)
である。
416:１３２人目の素数さん
22/10/31 15:09:51.67 Rh3Q9O/g.net
>>382
>d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。
え、その証明はしないの？
417:１３２人目の素数さん
22/10/31 16:13:00.02 V6kL7bYX.net
>>384
そこはさすがに前提知識(それほど簡単に示せるわけでもないが)。
まあ、スレ主が要求してきたら書く。
スレ主自身が (d≦k) の非可測性について合意していたら、書く必要がない。
418:１３２人目の素数さん
22/10/31 20:54:55.60 vpuiD3x9.net
>>384-385
>>d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。
> え、その証明はしないの？
>まあ、スレ主が要求してきたら書く。
>スレ主自身が (d≦k) の非可測性について合意していたら、書く必要がない。
１）ID:Rh3Q9O/g氏が、要求しているんだから、証明を示せよ
よって、私スレ主は証明を要求する！ｗ
２）まあ、あんまし読む気は無いが、証明よろしくね
ID:Rh3Q9O/g氏が、証明を突いてくれることを期待している
３）正直、
”d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので”
に使われている記号を、追っていないから、この文の意味が取れない
４）まあ、書かれた証明を、ID:Rh3Q9O/g氏が、突くならば
分かってくるかもｗ
証明よろしくね！
419:１３２人目の素数さん
22/10/31 21:54:19.54 pHXtLONI.net
>>261
>>278にレスがないので、
あなたには URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il) Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
ということでよろしいか？
420:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:11:24.50 V6kL7bYX.net
>>386
＞３）正直、
＞ ”d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので”
＞ に使われている記号を、追っていないから、この文の意味が取れない
d：[0,1]^N → N は前スレでも散々定義した決定番号の写像。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:397番)-402
また、(d≦k)は
(d≦k)：＝ { s∈[0,1]^N｜d(s)≦k }
として定義される集合。
421:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:17:15.11 V6kL7bYX.net
＞２）まあ、あんまし読む気は無いが、証明よろしくね
＞ ID:Rh3Q9O/g氏が、証明を突いてくれることを期待している
これも釘を刺しておくが、(d≦k)の非可測性に関する証明は、予想したより遥かに分量が大きくなった。
おそらく、スレ主は読まない。
別に読まなくても構わんが、その場合はスレ主は>>371-372を受け入れなければならない。
ただし、その時点でスレ主の詰みが確定する。
よって、スレ主が>371-372を受け入れない場合、スレ主は下記の(長い)証明を読まなければならない。
証明も読まず、>371-372も受け入れないという態度を取った場合、
スレ主は議論を放棄したことになるので、その時点でスレ主の詰みが確定する。
・・・と、予め釘を刺しておく。
ちなみに、あまりにも長文なので、途中で5chの制限に引っかかって
投稿が中断される可能性があることを注意しておく。この場合、残りの投稿は後日ということになる。
422:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:20:56.64 V6kL7bYX.net
では、(d≦k) が非可測であることを証明する。・・・のだが、今までは「箱の中身がサイコロ」のような
離散的な場合しかやったことがなかったので、想定外の事態が起きた。
箱の中身がサイコロの場合、任意の k≧0 に対して (d≦k) は非可測であることが示せるのだが、
「箱の中身が0以上1以下の実数」という今回のケースでは、
(☆)「有限個の k を除いて (d≦k) は非可測」
までしか言えなかった。しかも、完全代表系 T の取り方によっては、
残りの有限個の k で (d≦k) がゼロ集合(よって可測集合)になる場合が
実際に起こることが判明した。
よって、Aの非可測性の証明も、(☆)を用いた証明として修正が必要になる。それはもちろん後回しで、
まずは、(☆)の証明から始める。
以下では、s∈[0,1]^N の添え字は 0 から始めることにする。よって、s＝(s_0,s_1,…) と書ける。
423:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:25:27.84 V6kL7bYX.net
まずは、(有限)測度から生成される内測度について触れておく。
定義：(X,F,ν)は有限測度空間とする。A⊂X に対して、
ν_*(A)：＝ sup{ ν(B)｜A⊃B∈F }
として ν_*：pow(X) → [0,＋∞) を定義する。この ν_* のことを、νから生成される内測度と呼ぶ。
A∈F のときは、ν_*(A)＝ν(A) が成り立つことに注意せよ。
また、任意の A⊂X に対して 0≦ν_*(A)≦ν(X) (＜＋∞) が成り立つことに注意せよ。
ちなみに、このν_* は、「内測度」と名付けられているだけあって、
実際に内測度の性質を満たす。すなわち、次が成り立つ。
・ν_*(φ)＝0.
・ A,B⊂X が互いに素ならば、ν_*(A∪B)≧ν_*(A)＋ν_*(B).
・ A_n⊂X (n≧1) が広義単調減少ならば、A＝∩[n＝1～∞] A_n と置くとき、lim[n→∞] ν_*(A_n) ＝ ν_*(A).
これらの証明は省略する。
424:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:32:30.23 V6kL7bYX.net
以下の定理は、証明は全て省略する。
定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。νから生成される外測度 ν^* と内測度 ν_*について、
ν_*(X－A)＝ν(X)－ν^*(A) (∀A⊂X) が成り立つ。
定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。
このとき、A⊂X に対して、A∈F_w が成り立つことと ν^*(A)＝ν_*(A) が成り立つことは同値である。
定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。
よって、νから生成される外測度 ν^* と、ν_w から生成される外測度 ν_w^* の2種類を得るが、
実は ν^*(A)＝ν_w^*(A) (∀A⊂X) である。すなわち、ν^* ＝ ν_w^* である。
同じく、νから生成される内測度 ν_* と、ν_w から生成される内測度 ν_{w*} の2種類を得るが、
やはり ν_*
425:＝ ν_{w*} である。 定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。その完備化を(X,F_w,ν_w)と置く。 A⊂X に対して、ν^*(A)＝0 が成り立つことと [A∈F_w かつ ν_w(A)＝0] が成り立つことは同値である。 定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。M⊂X は ν^*(M)＝0 を満たすとする。 このとき、任意の A⊂X に対して ν^*(A－M) ＝ ν^*(A) である。 定理：(X,F,ν)は有限測度空間とする。M∈F は ν(M)＝ν(X) を満たすとする。 このとき、任意の A⊂X に対して、ν^*(A∩M) ＝ ν^*(A) かつ ν_*(A∩M) ＝ ν_*(A) である。
426:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:34:04.66 V6kL7bYX.net
定理：(X_i,F_i,ν_i) (i＝1,2) は有限測度空間とする。
(X,F,ν) はその積空間とする。(X,F_w,ν_w) はその完備化とする。
(1) M∈F は ν(M) ＝ 0 を満たすとする。このとき、次が成り立つ。
ν_1.a.e.x_1∈X_1, ν_2.a.e.x_2∈X_2 s.t. ￢((x_1,x_2)∈M).
(2) M∈F_w は ν_w(M) ＝ 0 を満たすとする。このとき、次が成り立つ。
ν_1.a.e.x_1∈X_1, ν_2.a.e.x_2∈X_2 s.t. ￢((x_1,x_2)∈M).
証明は省略する。
427:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:35:03.73 V6kL7bYX.net
さて、任意の x,y ∈ [0,1) に対して、
x [+] y ：＝ x＋y (x＋y＜1), x＋y－1 (x＋y≧1)
として二項演算 [+] を定義する。
このとき、( [0,1), [+], 0) は 0 を単位元とするアーベル群になることが分かる。
このアーベル群は、R 上での通常の足し算を「 mod 1 」で考えたものと同じ構造である。
次に、s,t ∈[0,1)^N に対して、s [+] t ∈ [0,1)^N を
(s [+] t)_i ＝ s_i [+] t_i (i≧0)
として定義する。( [0,1)^N, [+], o ) は o＝(0,0,0,…) を単位元とするアーベル群である。
次に、任意の A,B⊂[0,1)^N に対して、A [+] B ＝ { a [+] b｜a∈A, b∈B } と定義する。
A [+] B ⊂ [0,1)^N が成り立つことに注意せよ。
428:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:35:30.91 V6kL7bYX.net
任意の c ∈ A [+] B に対して、唯一のペア (a,b) が存在して c ＝ a [+] b と表せるとき、
A [+] B は直和であると呼ぶ。同じことだが、
∀a_1,a_2∈A, ∀b_1,b_2∈B s.t. a_1 [+] b_1 ＝ a_2 [+] b_2 ⇒ [ a_1＝a_2 かつ b_1＝b_2 ]
が成り立つとき、A [+] B は直和であると呼ぶ。
次に、任意の A⊂[0,1)^N と任意の s∈[0,1)^N に対して、A [+] s ：＝ { t [+] s｜t∈A } と定義する。
A [+] s ⊂ [0,1)^N が成り立つことに注意せよ。
429:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:38:44.54 V6kL7bYX.net
次に、s＝(s_0,s_1,s_2,…)∈[0,1]^N と k≧0 に対して、s^[k]：＝(s_k,s_{k＋1},s_{k＋2},…)
と定義する(左シフト)。(s^[k])^[l] ＝ s^[k＋l] (k,l≧0)が成り立つことに注意せよ。
また、A⊂[0,1]^N と k≧0 に対して、
A^[k]：＝ { s^[k]｜s∈A }
と定義する。A,B⊂[0,1)^N と k≧0 に対して (A [+] B)^[k] ＝ A^[k] [+] B^[k] が成り立つ。
また、A,B⊂[0,1]^N と k≧0 に対して(A∩B)^[k] ＝ A^[k]∩B^[k] が成り立つ。
また、A⊂B ならば、k≧0 に対して A^[k] ⊂ B^[k] が成り立つ。
また、k≧0 に対して ( [0,1)^N )^[k] ＝ [0,1)^N かつ ( [0,1]^N )^[k] ＝ [0,1]^N が成り立つ。
430:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:39:52.90 V6kL7bYX.net
次に、k≧1 として、u＝(u_0,u_1,…,u_{k-1})∈[0,1]^k と v＝(v_0,v_1,…)∈[0,1]^N に対して、
uv：＝ (u_0,u_1,…,u_{k-1},v_0,v_1,…) ∈ [0,1]^N
として uv を定義する(uとvの連結)。さらに、A⊂[0,1]^k と B⊂[0,1]^N に対して
AB：＝{uv｜u∈A, v∈B }
と定義する。以下では、A＝[0,1)^k が使われることが多い。この場合、
[0,1)^k B ＝ { uv｜u∈[0,1)^k, v∈B }
ということになる。
任意の A⊂[0,1)^N と k≧1 に対して、A ⊂ [0,1)^k A^[k] が成り立つことに注意せよ。
431:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:40:53.28 V6kL7bYX.net
定理：μ_N( [0,1)^N ) ＝ 1 である。証明は省略する。
定理：A⊂[0,1)^N なる任意の A∈F_N と、任意の s∈[0,1)^N に対して、A [+] s ∈ F_N であり、
しかも μ_N(A [+] s)＝μ_N(A) である。また、任意の A⊂[0,1)^n と任意の s∈[0,1)^N に対して、
μ_N^*(A [+] s)＝μ_N^*(A), μ_{N*}(A [+] s)＝μ_{N*}(A) が成り立つ。証明は省略する。
定理：任意の A∈F_N と任意の k≧1 に対して、[0,1)^kA ∈ F_N かつ μ_N([0,1)^kA)＝μ_N(A) である。
さらに、[0,1]^kA ∈ F_N かつ μ_N([0,1]^kA)＝μ_N(A) も成り立つ。証明は省略する。
432:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:46:36.79 V6kL7bYX.net
定理：任意の A∈F_N と任意の k≧0 に対して、A^[k]∈F_N であり、
しかも μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)である。
証明：A∈F_N に対して A^[k]∈F_N が成り立つことの証明は省略する。
次に、A∈F_N を任意に取る。μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)を示したい。
一般に (A^[k])^[l]＝A^[k＋l] なので、μ_N(A) ≦ μ_N(A^[1]) が示せれば十分である。
まず、A ⊂ [0,1]A^[1] が成り立つ。また、A, [0,1]A^[1]∈F_N である。よって、
μ_N(A) ≦ μ_N([0,1]A^[1]) であり、そして μ_N([0,1]A^[1])＝μ_N(A^[1]) である。
よって、μ_N(A) ≦ μ_N(A^[1]) である。
433:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:47:47.22 V6kL7bYX.net
定理：任意の A⊂[0,1)^N に対して、μ_N^*([0,1)A)＝μ_N^*(A) かつ
μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) である。
証明：A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_N^*([0,1)A)＝μ_N^*(A) を示す。
A⊂B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊂ [0,1)B∈F_N なので、
μ_N^*([0,1)A) ≦ μ_N^*([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。
A⊂B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の inf を取れば、
μ_N^*([0,1)A)≦μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊂ B ∈ F_N なる B を任意にとる。
任意の x∈[0,1) に対して、[0,1)A 及び B の x での断面を考えれば、
([0,1)A)_x ⊂ B_x である。([0,1)A)_x ＝ A なので、A ⊂ B_x である。両辺の μ_N^*() を考えれば、
μ_N^*(A) ≦ μ_N^*(B_x)＝μ_N(B_x) ＝∫_{ [0,1]^N } 1_{B_x}(y) dμ_N(y)
＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y)
である。これが任意の x∈[0,1) で言える。
434:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:51:48.04 vpuiD3x9.net
>>387
>あなたには URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il) Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
>ということでよろしいか？
不同意
１）決定番号は、非正則分布を成す
２）非正則分布は、コルモゴロフの確率公理 特に「全事象を1とする」が満たせない
３）非正則分布による確率計算は、コルモゴロフの確率公理に反するため認められない
以上
435:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:52:44.04 V6kL7bYX.net
今の段階で、μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) が x∈[0,1) に対して言えている。
両辺を通常の1次元ルベーグ測度空間 ([0,1],F_1,μ_1) において x∈[0,1) で積分する。
すると、左辺は μ_N^*(A) のままであり、右辺はフビニの定理が使えて、
μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1) } ∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) dμ_1(x)
＝ ∫_{ [0,1] } ∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) dμ_1(x)
＝∫_{ [0,1]×[0,1]^N } 1_B(x,y) d(μ_1×μ_N)(x,y)
＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(z) d(μ_N)(z)
＝μ_N(B)
である。よって、μ_N^*(A) ≦μ_N(B) となった。[0,1)A ⊂ B ∈ F_N なる B は任意だったから、
そのような B での inf を取れば、μ_N^*(A) ≦μ_N^*([0,1)A) である。
以上により、μ_N^*(A)＝μ_N^*([0,1)A) である。
436:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:54:41.62 NkNyx+A/.net
>>401
>不同意
じゃさっさと挙げろよｗ
437:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:55:41.31 V6kL7bYX.net
次は内測度の方を示す。A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) を示したい。
A⊃B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊃ [0,1)B∈F_N なので、
μ_{N*}([0,1)A) ≧ μ_{N*}([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。
A⊃B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の sup を取れば、
μ_{N*}([0,1)A)≧μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B を任意に取る。
両辺の ()^[1] を考えて、([0,1)A)^[1] ⊃ B^[1] である。([0,1)A)^[1] ＝ A なので、
A ⊃ B^[1] である。B^[1]∈F_N に注意して、μ_{N*}(A)≧μ_{N*}(B^[1])＝μ_N(B^[1]) である。
そして、>>の定理からμ_N(B^[1])≧μ_N(B)である。よって、μ_{N*}(A)≧μ_N(B) となった。
[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B は任意だったから、そのような B での sup を取れば、
μ_{N*}(A)≧μ_{N*}([0,1)A) である。以上により、μ_{N*}(A)＝μ_{N*}([0,1)A) である。
438:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:56:39.51 V6kL7bYX.net
次に、[0,1]^N の ～ に関する完全代表系を1つ取って T と置く。
よって、決定番号の写像 d：[0,1]^N → N∪{0} が定義できる。
念のため書いておくと、次のようになる。
s∈[0,1]^N を任意に取る。ただ1つの t∈T が存在して s～t が成り立つので、
∃i_0≧0, ∀i≧i_0 s.t. s_i ＝ t_i が成り立つ。このような i_0≧0 には
最小値が存在する。その値を再び i_0≧0 と置く。この i_0 のことを d(s) と定義する。
こうして、s の決定番号 d(s) が定まり、よって写像 d：[0,1]^N → N∪{0} が決まる。
439:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:58:16.37 V6kL7bYX.net
任意の k≧1 に対して、
(d≦k)∩[0,1)^N ＝ [0,1)^k(T^[k]∩[0,1)^N)
が成り立つことが確かめられる。特に、
μ_N^*((d≦k)∩[0,1)^N) ＝ μ_N^*([0,1)^k(T^[k]∩[0,1)^N)) ＝ μ_N^*(T^[k]∩[0,1)^N),
μ_{N*}((d≦k)∩[0,1)^N) ＝ μ_{N*}([0,1)^k(T^[k]∩[0,1)^N)) ＝ μ_{N*}(T^[k]∩[0,1)^N)
である。[0,1)^N∈F_N かつ μ_N([0,1)^N) ＝ 1 ＝ μ_N([0,1]^N)により、>>392の最後の定理が使えて
μ_N^*(d≦k) ＝ μ_N^*(T^[k]), μ_{N*}(d≦k) ＝ μ_{N*}(T^[k])
である。(d≦k) ↑ [0,1]^N なので、μ_N^* の上への連続性(>>300の定理2)により
lim[k→∞] μ_N^*(d≦k) ＝ 1 であり、よって lim[k→∞] μ_N^*(T^[k]) ＝ 1 である。
440:１３２人目の素数さん
22/10/31 22:59:29.35 vpuiD3x9.net
>>388
>d：[0,1]^N → N は前スレでも散々定義した決定番号の写像。
？
１）もともと時枝では、>>1より
「どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.」
だったよね？
２）”どんな実数を入れるかはまったく自由”だから、(-∞、+∞)でしょ！！ｗ
３）e^πとかπって、それらがいつから区間[0,1]に入ることになったんだ？ｗ
π＝3.14・・でしょｗ
441:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:01:02.73 V6kL7bYX.net
次に、μ_{N*}(T^[k])＝0 (k≧0) が成り立つことを示す。まず、
Poly ＝ { s∈[0,1)^N｜有限個の i を除いて s_i＝0 }
と置く。(Poly, [+], o) は [0,1)^N の部分アーベル群であることに注意せよ。
さらに、Poly^[k] ＝ Poly (k≧0) が成り立つことに注意せよ。
また、(Poly, [+], o) の加法 [+] に関する逆演算を [-] と置くとき、
任意の s,t∈[0,1)^N に対して、
s ～ t ⇔ s [-] t ∈ Poly
が成り立つことに注意せよ。
442:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:01:34.44 V6kL7bYX.net
この Poly について、
(T∩[0,1)^N) [+] Poly ＝ [0,1)^N
が成り立つことが言える。さらに、T の性質から、左辺は直和であることが言える。
k≧0 として、両辺の ()^[k] を取ると、
(T∩[0,1)^N)^[k] [+] Poly^[k] ＝ [0,1)^N
が成り立つわけだが、(T∩[0,1)^N)^[k] ＝ T^[k]∩[0,1)^N かつ Poly^[k] ＝ Poly により、
(T^[k]∩[0,1)^N) [+] Poly ＝ [0,1)^N
である。実は、左辺は再び直和であることが示せる。
443:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:02:39.23 V6kL7bYX.net
さて、Poly は無限集合なので、異なる可算無限個の v_i∈Poly を取れば、
(T^[k]∩[0,1)^N) [+] Poly が直和であることから、
{ (T^[k]∩[0,1)^N) [+] v_i }_{i≧1}
は互いに素である。ここで、B⊂T^[k]∩[0,1)^N なる B∈F_N を任意に取る。
すると、B [+] v_i ∈ F_N である。また、B [+] v_i ⊂ (T^[k]∩[0,1)^N) [+] v_i により、
{ B [+] v_i }_{i≧1} は互いに素である。また ∪[i＝1～∞] (B [+] v_i) ⊂[0,1)^N である。
両辺の μ_N を考えると、
Σ[i＝1～∞] μ_N(B [+] v_i) ≦ μ_N([0,1)^N) ＝ 1
である。さらに、μ_N(B [+] v_i) ＝ μ_N(A) である。よって、Σ[i＝1～∞] μ_N(B) ≦ 1
となったので、μ_N(B)＝0 となるしかない。B ⊂T^[k]∩[0,1)^N なる B∈F_N は任意だったから、
μ_{N*}(T^[k]∩[0,1)^N)＝0 である。よって、μ_{N*}(T^[k])＝0 である。
444:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:03:42.41 V6kL7bYX.net
今の時点で、
・ μ_N^*(d≦k) ＝ μ_N^*(T^[k]), μ_{N*}(d≦k) ＝ μ_{N*}(T^[k]),
・ lim[k→∞] μ_N^*(T^[k]) ＝ 1, μ_{N*}(T^[k])＝0 (k≧0)
が得られている。特に、ある k_0≧1 が存在して、k≧k_0 のとき μ_N^*(T^[k]) ＞ 0 である。
よって、μ_N^*(T^[k]) ＞ μ_{N*}(T^[k]) (∀k≧k_0) である。すなわち、
μ_N^*(d≦k) ＞ μ_{N*}(d≦k) (∀k≧k_0)
である。([0,1]^N, F_N, μ_N) の完備化 ([0,1]^N, F_{Nw}, μ_{Nw}) について、
>>392の定理により μ_{Nw}^* ＝ μ_N^*, μ_{Nw*} ＝ μ_{N*} だから、
μ_{Nw}^*(d≦k) ＞ μ_{Nw*}(d≦k) (∀k≧k_0)
である。>>392の定理により、￢((d≦k) ∈ F_{Nw}) (∀k≧k_0) である。
すなわち、(d≦k) は k≧k_0 のとき非可測である。
445:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:04:35.98 V6kL7bYX.net
補足：「 k≧k_0 のとき (d≦k) は非可測である」とは、
「有限個の k を除いて (d≦k) は非可測である」という意味に他ならない。
では、残りの有限個の k に対しては、(d≦k) は可測なのか？それとも非可測なのか？
実は、使用する完全代表系 T によっては、有限個の k に対して (d≦k) が
ゼロ集合になるようにできる。この場合、それらの (d≦k) は可測になる。この意味において、
「有限個の k を除いて (d≦k) は非可測である」
という主張は最良の結果である。
446:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:06:34.13 V6kL7bYX.net
補足：以下では、有限個の k に対して (d≦k) が可測になる例を挙げておく。
U＝{s∈[0,1]^N｜s_0＝s_1＝s_2＝0 } ＝ {0}^3[0,1]^N
と置く。[0,1]^N 上の同値関係 ～ をU上に導入すれば、～ はそのまま U 上の同値関係になる。
U の～に関する完全代表系を1つ取って T_0 と置くと、これは [0,1]^N 上の～に関する
完全代表系にも なっていることが確かめられる。
この T_0 から決定番号の写像 d：[0,1]^N → N∪{0} を作った場合には、
(d≦k)∩[0,1)^N ＝ [0,1)^k(T_0^[k]∩[0,1)^N) (k≧1)
をk＝2に対して適用すれば、
(d≦2)∩[0,1)^N ＝ [0,1)^2(T_0^[2]∩[0,1)^N) ⊂ T_0^[2] ⊂ U^[2] ＝ {0}[0,1)^N
なので、μ_{Nw}^*((d≦2)∩[0,1)^N) ≦ μ_{Nw}^*({0}[0,1]^N) ＝ 0 であり、
よってμ_{Nw}^*(d≦2)＝0 であり、完備性により (d≦2)∈F_{Nw} かつ μ_{Nw}(d≦2)＝0 となる。
すなわち、(d≦2) は可測となる。(d≦0) ⊂ (d≦1) ⊂ (d≦2) 及び完備性により、
(d≦0),(d≦1)∈F_{Nw} かつ μ_{Nw}(d≦0)＝0, μ_{Nw}(d≦1)＝0 となる。
よって、この T_0 の場合では、(d≦k) は k＝0,1,2 に対して可測となる。
447:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:08:06.90 vpuiD3x9.net
>>389
御託はいいから、証明かけよ
おれのためじゃなく、証明を要求したID:Rh3Q9O/g氏や
その他にも、証明を見たいって人いるだろう？
>別に読まなくても構わんが、その場合はスレ主は>>371-372を受け入れなければならない。
不同意！
数学では、そんな理屈はないよ
おれは、あんたのクソ証明を見て、
ID:Rh3Q9O/g氏や他の人が、どういう反応を示すかみたいだけ
ID:Rh3Q9O/g氏や他の人が、クソ証明だというならば、多分それはクソだよね
ID:Rh3Q9O/g氏や他の人が、あんたの証明を見て賞賛するなら、それから考えるよ
まあ、クソでも賞賛でもないなら、それはそのときでまた考えるさ
ともかく、証明書いてみな
なお、以前にも類似（他の人で証明読んでくれ）があったけど
個人的希望は、ＰＤＦにしてアップしてもらいたいね
この板では、数式はまともに書けない等があるから視認性が悪いのでね
448:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:08:23.41 V6kL7bYX.net
さて、「ある k_0≧1 が存在して、(d≦k) は k≧k_0 のとき非可測」であることから、
{ k≧0｜∀k'≧k s.t. (d≦k') は非可測 }
という集合は空でない。そこで、この集合の最小元を再び k_0 と置くことにする。
よって、k_0 ≧ 0 であり、k≧k_0 のとき、(d≦k) は非可測である。
・ もし k_0＝0 なら、任意の k≧0 に対して (d≦k) は非可測ということになる。
・ もし k_0≧1 なら、k_0 の最小性から、(d≦k_0－1) は可測、すなわち
(d≦k_0－1) ∈ F_{Nw} ということになる。
449:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:09:58.76 V6kL7bYX.net
定理：>>376の確率空間(Y_n,E_n,α_n)について、ここでは n＝99 の場合を考える。
d：[0,1]^N → N∪{0}は決定番号の写像とする。z＝(z^{0},…,z^{98})∈Y_99 に対して、
D(z)：＝ max{d(z^{j})｜0≦j≦98}
として D：Y_99 → N∪{0} を定義する。このとき、α_99^* (D≧k_0) ＞ 0 である。
証明：k_0＝0のときは、α_99^* (D≧0) ＞ 0 �
450:ｦせばよいが、そもそも D は非負なので、 (D≧0)＝Y_99 であり、よって α_99^* (D≧0) ＝ 1 ＞ 0 である。 以下では、k_0≧1 としてよい。(Y_99,E_99,α_99)の完備化(Y_99, E_{99w}, α_{99w})について、 >>392の定理により α_99^*＝α_{99w}^* が成り立つことに注意する。
451:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:10:56.69 NkNyx+A/.net
>>414
おまえは3歳児か
452:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:11:29.69 V6kL7bYX.net
さて、α_99^*(D≧k_0)＞0 を示したいのだった。α_99^*(D≧k_0)＝0 と仮定する。
このとき、>>392の定理により (D≧k_0)∈E_{99w} かつ α_{99w}(D≧k_0)＝0 である。
(Y_{98},E_{98},α_{98})と([0,1]^N,F_N,μ_N)の積空間が(Y_99, E_99, α_99)であるから、>>393の定理により、
α_98.a.e. u∈Y_98, μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. ￢( (u,v)∈(D≧k_0) )
が成り立つ。すなわち、
α_98.a.e. u∈Y_98, μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. (u,v)∈(D≦k_0－1)
が成り立つ。よって、あるゼロ集合 M_98∈E_98が存在して、
∀u∈Y_98－M_98, μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. (u,v)∈(D≦k_0－1)
が成り立つ。
453:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:12:04.46 V6kL7bYX.net
そこで、u∈Y_98－M_98 を1つ取って固定する。よって、
μ_N.a.e. v∈[0,1]^N s.t. (u,v)∈(D≦k_0－1)
が成り立つ。よって、あるゼロ集合 M_1∈F_N が存在して、
∀v∈[0,1]^N－M_1 s.t. (u,v)∈(D≦k_0－1)
が成り立つ。すなわち、
∀v∈[0,1]^N－M_1 s.t. D(u,v) ≦ k_0－1
である。
454:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:12:53.76 NkNyx+A/.net
>>387
>あなたには URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il) Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
>ということでよろしいか？
にできると言いながら挙げない時点で詰み
できるできる詐欺かｗ
455:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:13:04.88 V6kL7bYX.net
D(u,v)＝ max{ d(u^{0}),…,d(u^{98}), d(v) } だから、
∀v∈[0,1]^N－M_1 s.t. d(u^{0})≦k_0－1, d(u^{1})≦k_0－1,…, d(u^{98})≦k_0－1, d(v)≦k_0－1
ということになる。特に、
∀v∈[0,1]^N－M_1 s.t. d(v)≦k_0－1
である。これは [0,1]^N－M_1 ⊂ (d≦k_0－1) を意味する。
特に、μ_{Nw}^*([0,1]^N－M_1) ≦ μ_{Nw}^*(d≦k_0－1) が成り立つ。
すなわち、1≦μ_{Nw}^*(d≦k_0－1) である。一方で、>>411で見たように
μ_{Nw*}(d≦k)＝0 (∀k≧0) なので、特に μ_{Nw*}(d≦k_0－1)＝0 である。よって、
μ_{Nw*}(d≦k_0－1) ＜ μ_{Nw}^*(d≦k_0－1)
となったので、(d≦k_0－1) は非可測である。しかし、k_0の最小性から、(d≦k_0－1) は可測なので矛盾。
以上により、α_99^*(D≧k_0)＞0 である。
456:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:13:37.88 vpuiD3x9.net
>>403
挙げている
アホか
お前はｗｗｗ
457:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:14:00.40 V6kL7bYX.net
さて、>>375-383の証明を修正しなければならない。>>382 の
＞B∈E_w だったから、>>375の補題により、α_99.a.e.z＝(z^{0},z^{1},…,z^{98})∈Y_99 に対して、
＞B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。すなわち、あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、
＞任意の z∈Y_99－M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす。
この部分までは、修正の必要はない。ここから先は、新しく証明を書き直す。
状況を整理しておくと、A が可測であるという仮定のもとで、
B ＝ { (y^{0},y^{1},…,y^{99})∈Y｜d(y^{99})≦max{d(y^{j})｜0≦j≦98} }
という集合について、
(☆) あるゼロ集合 M∈E_99 が存在して、任意の z∈Y_99－M に対して、B の z での断面 B_z は B_z∈F_{Nw} を満たす
という展開になっている。ここから矛盾を導きたい。
458:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:14:19.60 V6kL7bYX.net
z＝(z_0,…,z_98)∈Y_99－M に対して、D(z)：＝ max{d(z^{j})｜0≦j≦98} と定義する。
任意の z∈Y_99－M に対して、(☆)により B_z∈F_{Nw} であるが、一方で
B_z ＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜(z,y^{99})∈B }
＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦max{d(z^{j})｜0≦j≦98} }
＝ { y^{99}∈[0,1]^N｜d(y^{99})≦D(z) } ＝ (d≦D(z))
であるから、結局、(d≦D(z))∈F_{Nw} ということになる。これが任意の z∈Y_99－M で成り立つ。
よって、次が言えたことになる。
(☆☆) ∀z∈Y_99－M s.t. (d≦D(z))∈F_{Nw}.
459:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:14:42.60 V6kL7bYX.net
一方で、>>416の定理により、α_{99}^*(D≧k_0) ＞ 0 である。α_99(M)＝0 なので、
α_{99}^*((D≧k_0)－M) ＞ 0 である。よって、(D≧k_0)－M は空でない。
そこで、z∈(D≧k_0)－M を1つ取る。すると、特に z∈Y_99－M なので、
(☆☆)により (d≦D(z))∈F_{Nw} である。一方で、z∈(D≧k_0) なので、
D(z)≧k_0 である。よって、
・ (d≦D(z))∈F_{Nw}, D(z)≧k_0
ということになったが、任意の k≧k_0 に対して (d≦k) は非可測なので矛盾。
以上により、A は可測という仮定は間違っていたことになる。よって、A は非可測である。■
460:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:17:42.56 V6kL7bYX.net
>>407
＞２）”どんな実数を入れるかはまったく自由”だから、(-∞、+∞)でしょ！！ｗ
もともとの時枝記事では、出題する実数列は固定である。
何を選んでもよいが、選んだあとは固定である。
その固定された実数列に対して、回答者が何度も時枝戦術をテストするという構造である。
一方で、スレ主は実数列自体をランダムにしたいと考えている。
ところが、R 上の一様分布は存在しない。つまり、R に拘っている限り、スレ主が望むような
「標準的なランダム性を兼ね備えた出題」
は不可能。しかし、閉区間[0,1]なら一様分布が存在する。
よって、箱の中身を「0以上1以下の実数」に制限すればよい。
時枝記事の不思議さは、このように制限しても失われない。それだけの話。
今さら [0,1] に文句をつけるのはナンセンス。
461:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:19:00.76 NkNyx+A/.net
>>422
挙げてない
アホか
お前はｗｗｗ
462:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:22:01.74 vpuiD3x9.net
>>421
ご苦労様ですｗ
区間[0,1]のトイモデルが終わったら
元の時枝の通り>>1の
[0,1]→｛-∞、+∞｝やってくれ>>407
463:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:23:46.12 V6kL7bYX.net
>>428
それは不可能。理由は>>426で書いたとおり、
＞一方で、スレ主は実数列自体をランダムにしたいと考えている。
＞ところが、R 上の一様分布は存在しない。つまり、R に拘っている限り、スレ主が望むような
＞
＞「標準的なランダム性を兼ね備えた出題」
＞
＞は不可能。
464:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:27:47.67 NkNyx+A/.net
>>401
>>>387
>>あなたには URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il) Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
>>ということでよろしいか？
>不同意
>１）決定番号は、非正則分布を成す
>２）非正則分布は、コルモゴロフの確率公理 特に「全事象を1とする」が満たせない
>３）非正則分布による確率計算は、コルモゴロフの確率公理に反するため認められない
問われているのはURLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il) Theorem 1 の証明の中の間違っている文だが、
>１）決定番号は、非正則分布を成す
>２）非正則分布は、コルモゴロフの確率公理 特に「全事象を1とする」が満たせない
>３）非正則分布による確率計算は、コルモゴロフの確率公理に反するため認められない
はいずれもURLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il) Theorem 1 の証明の中の文ではない。
つまり>>1は言葉が分からないことを露呈した。
中卒は学歴詐称だな。実際は小学校中退だろ。
465:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:57:37.03 vpuiD3x9.net
>>402
>今の段階で、μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) が x∈[0,1) に対して言えている。
>両辺を通常の1次元ルベーグ測度空間 ([0,1],F_1,μ_1) において x∈[0,1) で積分する。
>すると、左辺は μ_N^*(A) のままであり、右辺はフビニの定理が使えて、
意味わからんけど
１）そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える
2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・
なので、n→∞のとき 常にa^n→0だよね（∵ 0<a<1 ）
２）一方で、無限次ベクトル (a,a,・・,a,・・)を考えると
このベクトルの長さLは、通常の成分の2乗を開平だとして
L=√(Σn=1～∞ a^2)→∞ （∵ a≠0 ）つまり発散するよ
３）だから、[0,1]^Nの空間に計量を入れて扱おうとするならば、
通常の1次元ルベーグ測度 [0,1] とは、違う測度にしないと、どうにもならん気がするけど？
だからのヒルベルト空間でしょ？
（最初から、ベクトルの長さが定義できる素性の良いところに限定するんだよ）
４）そもそも、下記ヴィタリ集合の非可測性は、
実数Rに与えられたルベーグ測度をベースに論じて
その上で非可測性を示すよね
５）だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、
どういう測度を与えるのか？
そこをしっかりしないと、上滑りの”可測、非可測”の議論になるよ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴィタリ集合
可測集合
集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。
重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。
構成と証明
これは不可能である。一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。
466:１３２人目の素数さん
22/11/01 00:07:53.71 sIOgpcGr.net
>>390-425
読み返してみたが、さすがにこの分量だと変なミスがあるな。すまん。
(>>399)
＞定理：任意の A∈F_N と任意の k≧0 に対して、A^[k]∈F_N であり、
＞しかも μ_N(A^[k]) ≦ μ_N(A^[k＋1]) (k≧0)である。
この定理、A^[k]∈F_N の証明は省略していたが、丁寧にやってみたところ、
なんか示せそうにない(サイコロのような離散的な場合だと示せるのだが)。
なので、>>399は丸ごと削除する。
そして、>399の性質を使っているのは>>404だけなので、以下で>>404を証明し直す。
467:１３２人目の素数さん
22/11/01 00:08:47.98 sIOgpcGr.net
その前に、見落としがちな注意点を1つ。
(X,F,ν)を有限測度空間とする。ν_* を、ν から作られる内測度とする。
このとき、任意の A⊂B⊂X に対して ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。
内測度なんだから逆転して ν_*(A)≧ν_*(B) だろうと錯覚してしまうが、
そうではなく、ν_*(A)≦ν_*(B) が成り立つ。実際、内測度に関する
・ A,B⊂X が互いに素ならば、ν_*(A∪B)≧ν_*(A)＋ν_*(B)
という性質(こちらは確かに逆転している)を使えば、A⊂B⊂X のとき、
B＝A∪(B－A) と分解できて、AとB－Aは互いに素なので、
ν_*(B)＝ν_*(A∪(B－A))≧ν_*(A)＋ν_*(B－A)≧ν_*(A)
となり、確かに ν_*(A)≦ν_*(B) である。なぜこちらは逆転しないのかというと、
A⊂B がともに可測のときには、ν_*(A)＝ν(A), ν_*(B)＝ν(B) であり、
かつ ν(A)≦ν(B) なのだから、このように考えれば、逆転するわけがないと分かる。
内測度なんて滅多に使わないので、一応補足しておいた。
468:１３２人目の素数さん
22/11/01 00:10:10.22 sIOgpcGr.net
では、>>399は丸ごと削除し、そして>399の性質を使っている唯一の>>404を証明し直す。
そのやり方は、>>400, >>402と全く同じ方法でよかった。
A⊂[0,1)^N を任意に取る。μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) を示したい。
A⊃B∈F_N なる B を任意に取れば、[0,1)A ⊃ [0,1)B∈F_N なので、
μ_{N*}([0,1)A) ≧ μ_{N*}([0,1)B)＝μ_N([0,1)B)＝μ_N(B) である。
A⊃B∈F_N なる B は任意だったから、そのような B の sup を取れば、
μ_{N*}([0,1)A)≧μ_N^*(A) となる。次に、[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B を任意に取る。
x∈[0,1) を任意に取って、x での断面を考えれば、( [0,1)A )_x ⊃ B_x である。
( [0,1)A )_x ＝ A なので、A ⊃ B_x である。さらに、B∈F_N により B_x∈F_N である。
よって、μ_{N*}(A)≧μ_{N*}(B_x)＝μ_N(B_x)である。これが任意の x∈[0,1) で言える。
469:１３２人目の素数さん
22/11/01 00:13:02.12 sIOgpcGr.net
フビニの定理から
μ_N(B)＝∫_{ [0,1]^N } 1_B(z)dμ_N(z) ＝ ∫_{ [0,1] × [0,1]^N } 1_B(x,y) d(μ_1×μ_N)(x,y)
＝ ∫_{ [0,1] }∫_{ [0,1]^N } 1_{B_x}(y)dμ_N(y)dμ_1(x)
＝ ∫_{ [0,1] } μ_N(B_x) dμ_1(x) ＝ ∫_{ [0,1) } μ_N(B_x) dμ_1(x)
≦ ∫_{ [0,1) } μ_{N*}(A) dμ_1(x) ＝ μ_{N*}(A)
すなわち μ_N(B)≦μ_{N*}(A) となる。[0,1)A ⊃ B ∈ F_N なる B は任意だったから、
μ_{N*}([0,1)A)≦μ_{N*}(A) となる。以上により、μ_{N*}([0,1)A)＝μ_{N*}(A) である。
修正完了。
470:１３２人目の素数さん
22/11/01 00:23:04.71 sIOgpcGr.net
>>431
さすがにレベルが低すぎて話にならないね。何がヒルベルト空間だよ。確率空間だと言ってるだろ。
まず、今回の記法では、([0,1],F_1,μ_1) を通常のルベーグ測度空間と置いている。
μ_1([0,1])＝1 なので、この測度空間は確率空間になっている。
そこで、この確率空間の可算無限直積 確率空間を ([0,1]^N, F_N, μ_N ) と置いている。
これは確率空間である。ヒルベルト空間ではない。
[0,1]^N にどんな測度が入っているのかも明らか。μ_N である。μ_N という測度が入っている。
これは確率論の基礎の範囲。
＞１）そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える
＞2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・
＞なので、n→∞のとき 常にa^n→0だよね（∵ 0<a<1 ）
実際、0＜a＜1 に対して [0,a]^N ∈F_N が成り立ち、なおかつ μ_N([0,a]^N)＝0 である。
しかし、μ_N([0,1]^N)＝1 である。
471:１３２人目の素数さん
22/11/01 00:28:10.93 sIOgpcGr.net
>>431
＞５）だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、どういう測度を与えるのか？
何度も言わせるな。μ_N である。[0,1]^N にはμ_N という測度が入っている。
では、μ_N はどこから来たのか？
何度も言うとおり、([0,1],F_1,μ_1)という確率空間を可算無限個用意して、
その積を取ったときの可算無限直積 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N ) を考え、
ここで出現した μ_N を [0,1]^N 上の測度として採用している。というより、
・ 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N)
と書いた時点で、既に μ_N が [0,1]^N 上の測度として自動的に採用されている。
つまり、μ_N という測度が出現するのは
「可算無限直積 確率空間」という操作を施したタイミングである。
そこで初めて μ_N という測度が出現し、それが [0,1]^N 上の測度として採用される。
472:１３２人目の素数さん
22/11/01 00:35:41.23 sIOgpcGr.net
μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる：
任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、
A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)
という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。
すなわち、上記の集合に対して
μ_N ( A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… ) ＝ μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n)
が成り立つような測度が μ_N である。このような性質を満たす [0,1]^N 上の測度は
ただ1つ存在して、それを μ_N と置いている。μ_N([0,1]^N) ＝ 1 なので、μ_N は確率測度である。
この書き方でどんな測度が入っているのか理解できないなら、スレ主は確率論を語る資格がない。
一応注意しておくが、これは自分が独自に考案した確率空間ではない。
ごく標準的な確率空間の構成を述べているだけである。さすがにこれは確率論の基礎の範囲。
473:１３２人目の素数さん
22/11/01 01:12:37.15 Hdk0OAq+.net
ID:V6kL7bYX＝ID:sIOgpcGr さすが「数学博士」 見事な証明だ
しかも、任意のｎについて
有限個の k≦ｎ に対して (d≦k) が可測になる具体例>>413
まで示してくれた
この具体例では、結局、頭の有限個の項だけ全部0にすることで
(d≦k) の測度を0にできるが、無限個全部を0にしてしまうと
どの代表も「全部0の列」になってしまって違いがなくなる
ということになる
ま、中卒は
「実はすべての列が、全部0の列と同値になるから、
ほとんどすべての列で決定番号∞なのだよ」
とか馬鹿�
474:ﾛ出しのことをいうだろうが、 それは全くの初歩的誤りだから嘲笑されるだけである
475:１３２人目の素数さん
22/11/01 08:06:51.70 +emxAWt1.net
>>438
(引用開始)
μ_N の正体をより具体的に書くと、μ_N は次のように特徴づけられる：
任意の n≧1 と任意の A_1,A_2,…,A_n∈F_1 に対して、
A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)
という集合の測度が μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n) で与えられるような測度が μ_N である。
すなわち、上記の集合に対して
μ_N ( A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… ) ＝ μ_1(A_1)μ_1(A_2)…μ_1(A_n)
が成り立つような測度が μ_N である。このような性質を満たす [0,1]^N 上の測度は
ただ1つ存在して、それを μ_N と置いている。μ_N([0,1]^N) ＝ 1 なので、μ_N は確率測度である。
(引用終り)
ご苦労さまです
少し質問しよう
１）この確率測度μ_N は、あんたのオリジナル？
それとも、先行文献ある？ 先行文献あるなら示して欲しい
２）数学（特に圏論）ではよくあるが、「存在すれば一意」という
しかし、問題は存在するかどうか（測度の性質を満たす？）だろ？
３）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
は、コルモゴロフの確率公理を満たすか？
特に、全事象Ωの確率を1とできるか？
４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ
つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1～d100を含む部分,残りに無限のしっぽ
「先頭の有限部分だけを使って、確率計算しました」ってこと？ｗ
上記３）の問いのように、”コルモゴロフの確率公理を満たすか？”、”全事象Ωの確率を1とできるか？”
がクリアできていない場合、先頭の有限部分だけ使いましたって、なってませんか？ｗ
476:１３２人目の素数さん
22/11/01 08:12:54.97 5C0+Brs7.net
>>414
昨日のID:Rh3Q9O/g氏ですが
昨日のID:V6kL7bYX氏の証明を絶賛致します
477:１３２人目の素数さん
22/11/01 08:19:33.44 5C0+Brs7.net
>>440
438は単なる積測度の定義
数学科の学生なら必修
箱入り無数目とは無関係の基本
478:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:06:20.63 sIOgpcGr.net
可算無限直積 確率空間に関する文献を以下に1つ挙げる。
Infinite Products of Probability Spaces
URLﾘﾝｸ(jpmccarthymaths.com)
ここからは、上記のリンク先からかいつまんで引用して説明する。
479:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:07:36.99 sIOgpcGr.net
まず、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n＝1,2,3,…) を用意する。
それぞれの (Ω_n, S_n, P_n) は任意でよくて、n ごとに全く異なる確率空間でも構わない。
そして、これらの確率空間の可算無限直積として得られる確率空間 (Ω,S,P) を作っているのが
上記のリンク先である。もちろん、Ω＝Π[n＝1～∞]Ω_n である。つまり
Ω ＝ Π[n＝1～∞]Ω_n ＝ Ω_1×Ω_2×Ω_3×Ω_4×…
である。最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には
(Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) なので、
Ω ＝ Π[n＝1～∞]Ω_n ＝ [0,1]×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (＝[0,1]^N)
である。
480:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:09:42.48 sIOgpcGr.net
具体的にどうやって確率空間(Ω,S,P)を構成するのか？まず、
＞ Let R be the collection of all sets Π[n＝1～∞]A_n ⊂ Ω
＞ where A_n∈S_n for all n and A_m＝Ω_m except for at most finitely many values of n.
＞ Elements of R will be called rectangles.
として集合族 R を用意する。ご覧の通り、
R ＝ { Π[n＝1～∞]A_n｜A_n∈S_n (n≧1), 有限個の n を除いて A_n＝Ω_n }
と置いている。つまり、Π[n＝1～∞]A_n の実体は
Π[n＝1～∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… (← これ以降は Ω_* が順番に並ぶ)
というものである。標本空間である Ω ＝ Π[n＝1～∞]Ω_n ＝ Ω_1×Ω_2×Ω_3×Ω_4×… の中から
先頭の有限個だけを弄って A_1×A_2×…×A_k に差し替え、残りの Ω_m は弄らないという集合が
Π[n＝1～∞]A_n の実体である。そのような Π[n＝1～∞]A_n 全体の族を R と置いている。
481:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:11:16.35 sIOgpcGr.net
R の各元のことは rectangle と呼ばれる。日本語では柱状集合とかシリンダーとか呼ばれる。
先頭の有限個しか弄らず、残りの無限個は全て Ω_n のまま弄らないのだから、
いかにも「 rectangle, 柱状集合, シリンダー」といっ�
482:ｽイメージである。 ちなみに、最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1) を適用するのだから、対応する Π[n＝1～∞]A_n は Π[n＝1～∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← これ以降は [0,1] だけが並ぶ) というものである。スレ主はこの集合に対して「コルモゴロフの確率公理を満たすか？」(>>440) などとバカみたいな発言をしているが、 そもそもこのような集合(rectangle, 柱状集合, シリンター)が出発点なのである。
483:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:11:47.06 sIOgpcGr.net
R から生成される集合体(σ集合体ではない)のことを A_f と置く。
リンク先では字体の異なる A が用いられているが、このスレではフォントが弄れないので、
ここでは A_f と書くことにする。
A_f の各元は「互いに素な R の元の有限個の和」として表せることが、Proposition の節で示されている。
484:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:13:40.31 sIOgpcGr.net
次に、A_f 上の有限加法的測度 P：A_f → [0,1] が定義される。
まずは R 上での P の値が定義される。具体的には、Proposition の節の末尾において
＞ Now for A＝Π[n＝1～∞] A_n ∈ R, let P(A):＝ Π[n＝1～∞] P_n(A_n).
＞ The product converges since all but finitely many factors are 1.
と定義されている。ご覧のとおり、任意の柱状集合 A＝Π[n＝1～∞]A_n∈R に対して
P(A):＝Π[n＝1～∞] P_n(A_n) と定義している。
P_n は何かといえば、n番目の確率空間 (Ω_n,S_n,P_n) に出現している確率測度である。
n ごとに A_n⊂Ω_n, A_n∈S_n なのだから、A_n に施すべき確率測度は P_n であり、
よって P_n(A_n) という項が出現している。
485:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:14:32.75 sIOgpcGr.net
A の実体は
A＝Π[n＝1～∞]A_n ＝ A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×…
というものだったから、P(A):＝Π[n＝1～∞] P_n(A_n) という定義の実体は
P(A):＝ P_1(A_1)…P_k(A_k) P_{k+1}(Ω_{k+1})P_{k+2}(Ω_{k+2})…
というものである。P_m(Ω_m)＝1 (∀m≧k＋1) なので、要するに
P(A):＝P_1(A_1)…P_k(A_k)
と定義している。つまり、無限積に見える P(A):＝Π[n＝1～∞] P_n(A_n) という定義は、
実際には有限積であり、具体的には P(A):＝P_1(A_1)…P_k(A_k) である。このことは
＞ The product converges since all but finitely many factors are 1.
にも書かれている。
486:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:15:50.41 sIOgpcGr.net
要するに、写像 P：R → [0,1] を、任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して
P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) :＝ P_1(A_1)…P_k(A_k)
として定義しているわけである。
最終目標が([0,1]^N,F_N,μ_N)の場合には (Ω_n, S_n, P_n)＝([0,1], F_1, μ_1) (∀n≧1)
を適用するのだから、その場合には、任意の k≧1 と任意の A_1,…,A_k∈F_1 に対して
μ_N(A_1×A_2×…×A_k×[0,1]×[0,1]×[0,1]×…) :＝ μ_1(A_1)…μ_1(A_k)
と定義することになる。スレ主はこのことを「時枝トリック類似」(>>440)
などと言ってインチキ扱いしていたが、むしろ、これこそが
無限直積 確率空間における確率測度を定義するための第一歩なのである。
487:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:17:21.33 sIOgpcGr.net
続いて、上記の写像 P：R → [0,1] を、A_f 上に拡張して P：A_f → [0,1] を定義する。
A_f の各元は、互いに素な R の元の有限個の和として表せるので、A∈A_f を任意に取れば、
ある N≧1 とある互いに素な B_1,…,B_N∈R が存在して A＝∪[r＝1～N] B_r と表せる。
そこで、P(A)：＝Σ[r～1～N] P(B_r) と定義する。各 B_r は B_r∈R を満たし、
そして R 上では P の定義は済んでいたので、P(B_r) は既に定義済みであり、
よって P(A)：＝Σ[r～1～N] P(B_r) の右辺はちゃんと意味を持っている。
こうして、P：A_f → [0,1] を定義する。この定義は well-defined である。
すなわち、A＝∪[r＝1～N] B_r の右辺の表現の仕方によらず一意的に P(A) の値が定まる。
より具体的に言えば、同じ A＝∪[r＝1～N] B_r を別の有限個の互いに素な C_1,…,C_M∈R によって
A＝∪[r＝1～M] C_r と表せたときに、
Σ[r～1～N] P(B_r) ＝ Σ[r～1～M] P(C_r)
が成り立つことが示せる。このことはリンク先で証明されている。
こうして P：A_f → [0,1] が定義できたが、この P は A_f 上で有限加法的であることが示される。
488:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:18:57.30 sIOgpcGr.net
A_f から生成されるσ集合体を S と置くとき、P：A_f → [0,1] を S 上に拡張して
P：S → [0,1] を定義し、しかもこれが S 上で確率測度になっていることを示すのが最終目標である。
そのためには、E.ホップの拡張定理を使う。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ちなみに、>>443のリンク先では
＞ by the Caratheodory Extension Theorem.
すなわち「カラテオドリの拡張定理」と呼ばれているが、厳密にはE.ホップの拡張定理である。
このことは上記のwikiでも触れられていて、
＞ただし、本稿の一般の有限加法的測度についての定理を
＞「カラテオドリの拡張定理」と呼んでいるテキストも多く見られる。
ということらしい。
489:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:20:42.82 sIOgpcGr.net
さて、今回の P：A_f → [0,1] に対してE.ホップの拡張定理を使うには、そのまま
・ A_n∈A_f (n≧1) が互いに素かつ ∪[n＝1～∞] A_n∈A_f のとき P(∪[n＝1～∞] A_n) ＝ Σ[n＝1～∞] P(A_n)
が成り立つことを示せばよい。このことは、
＞ If P us countably additive on A, then it has a unique countably additive extension
＞ to S by the Caratheodory Extension Theorem.
から先の部分で示されれている。
490:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:21:36.51 sIOgpcGr.net
以上により、確率空間 (Ω,S,P) を得る。すなわち、可算無限個の確率空間 (Ω_n, S_n, P_n) (n≧1) から、
その無限直積となる確率空間 (Ω,S,P) を得る。…ということをやっているのが上記のリンク先である。
これらの議論をよく読むと、確率測度 P：S → [0,1] は次の性質で特徴づけられることが分かる：
任意の k≧1 と任意の A_i∈S_i (1≦i≦k) に対して
P ( A_1×A_2×…×A_k×Ω_{k＋1}×Ω_{k＋2}×Ω_{k＋2}×… ) ＝ P_1(A_1)…P_k(A_k)
が成り立つ。
↑これが P の特徴づけであり、この性質を満たす確率測度 P：S → [0,1] がただ1つ存在するわけである。
491:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:22:09.76 sIOgpcGr.net
最終目標が([0,1]^N, F_N, μ_N)の場合には、(Ω_n,S_n,P_n)＝([0,1],F_1,μ_1) (n≧1) を
適用すればよいことになる。この場合、μ_N という測度の特徴付けは、まさしく>>438である。
文献に関しては以上。
492:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:26:12.07 sIOgpcGr.net
>>440
＞１）この確率測度μ_N は、あんたのオリジナル？
＞ それとも、先行文献ある？ 先行文献あるなら示して欲しい
スレ主、可算無限直積 確率空間を全く知らないことが露呈。
コルモゴロフの確率論がどうこうと講釈を垂れるくせに、
当の本人はこんなことも理解してないという有様。
確率論にはマニアックな分野も存在するが、これは基礎中の基礎である。
それを「知らない」時点でお里が知れる。
先行文献は上に挙げたとおり。
493:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:26:57.51 sIOgpcGr.net
>>440
＞２）数学（特に圏論）ではよくあるが、「存在すれば一意」という
＞ しかし、問題は存在するかどうか（測度の性質を満たす？）だろ？
存在する。確率論の基礎。それが分かってない時点で話にならない。
＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
＞ のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ
＞ つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1～d100を含む部分,残りに無限のしっぽ
＞ 「先頭の有限部分だけを使って、確率計算しました」ってこと？ｗ
スレ主、可算無限直積 確率空間という普通の確率空間をインチキ認定するという暴挙に出るｗ
トンデモはここが限界なんだろうな。
さすがにバカでしょこれ。呆れて何も言えないよ。
494:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:28:40.40 sIOgpcGr.net
スレ主が大好きな
・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)
について考えてみる。各 X_i (i≧1) は確率変数なのだから、
ベースとなる確率空間(Ω, F, P)がどこかに存在して、
・ 写像 X_i：Ω → [0,1] は可測空間 (Ω,F) から可測空間([0,1], B_1) への
可測写像である(ただし、B_1は[0,1]上のボレルσ集合体。
・ {X_i}_{i≧1} は確率空間(Ω,F,P)の中で独立同分布である。
・ 各 X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。
という3つの条件を全て満たしていることになる。そのような確率空間(Ω, F, P)が存在することになる。
というより、そのような(Ω, F, P)が存在しなければ、対応する
・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)
は確率論的には定義不可能ということになってしまう。
495:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:36:28.60 sIOgpcGr.net
X_1 だけなら、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1],F_1,μ_1) (1次元のルベーグ測度空間)と置き、
そして、X_1：Ω→[0,1] を X_1(t)：＝t (t∈[0,1]) と置けばよい。
X_1,X_2 の2つでも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^2,F_2,μ_2) (2次元のルベーグ測度空間)と置き、
X_i：Ω→[0,1] を X_1((t_1,t_2))：＝t_1, X_2((t_1,t_2))：＝t_2 (t_1,t_2∈[0,1])
と置けばよい。こうすると、X_1,X_2 は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、
各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。
X_1は[0,1]^2の第一成分を取り出すという射影であり、
X_2は[0,1]^2の第二成分を取り出すという射影である。
「独立同分布」における「独立」の部分を担保しているのが、
この「第 i 成分を取り出す射影である」という性質である
(厳密には、確率測度が直積測度として与えられていることも重要だが)。
496:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:38:03.05 sIOgpcGr.net
有限個の X_1,…,X_n の場合でも、そのような(Ω,F,P)の存在性は自明である。
具体的には、(Ω,F,P)：＝([0,1]^n,F_n,μ_n) (n次元のルベーグ測度空間)と置き、
そして、X_i：Ω→[0,1] を X_i((t_1,…,t_n))：＝t_i (1≦i≦n)と置けばよい。
こうすると、X_1,…,X_n∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。
この作業を見れば、X_1 の場合に必要だった確率空間は ([0,1],F_1,μ_1) であり、
X_1～X_n の場合に必要だった確率空間は、
([0,1],F_1,μ_1)をn個用意して積を取った積確率空間 ([0,1]^n, F_n, μ_n) である、
という構図になっている。
つまり、X_1～X_n の個数を増や
497:しても、単に([0,1],F_1,μ_1)の積を考えていけば、 「iid 確率変数」の存在性を担保する確率空間(Ω,F,P)が実現できるという構図になっている。
498:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:39:12.74 sIOgpcGr.net
では、本題となる可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] の場合は、対応する(Ω,F,P)の正体はどうなっているのか？
実は、それこそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) である。
つまり、(Ω,F,P)＝([0,1]^N, F_N, μ_N) と置くのである。
そして、X_i：Ω → [0,1] を X_i(t_1,t_2,t_3,…)：＝ t_i と定義するのである。
(よって、各 X_i は [0,1]^N の第i成分を取り出すという射影になっている。)
こうすると、可算無限個の X_1,X_2,…∈[0,1] は(Ω,F,P)上で iid 確率変数になり、
各X_iは[0,1]上の一様分布を実現している。
499:１３２人目の素数さん
22/11/01 12:39:55.41 sIOgpcGr.net
このように、スレ主が大好きな
・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)
の存在性を担保する確率空間こそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) なのに、
当のスレ主は ([0,1]^N, F_N, μ_N) を「全く知らない」。それどころか、
＞４）”A_1×A_2×…×A_n×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (← 残りは全て [0,1] が可算無限個並んでいる)”
＞ のところ、時枝トリック類似に見えるけどｗ
＞ つまり、先頭に有限部分で決定番号100個 d1～d100を含む部分,残りに無限のしっぽ
＞ 「先頭の有限部分だけを使って、確率計算しました」ってこと？ｗ
こんなことを言ってインチキ認定している。話にならない。
500:１３２人目の素数さん
22/11/01 15:40:02.72 25yibjh9.net
>>441-442
レスありがとう
スレ主です
>昨日のID:V6kL7bYX氏の証明を絶賛致します
絶賛か
あなたは、真面目な人なんだろうね？（＾＾
>438は単なる積測度の定義
>数学科の学生なら必修
>箱入り無数目とは無関係の基本
ふーん、定義は数学科では議論の一番最初でしょ？
議論の一番最後に、定義を書いたことに関心しているの？
一つ二つ質問していいかな？
Q１）数学科の１年生か２年生かい？
Q２）確率論の単位はまだ？ 確率過程論はまだかな？
Q３）>>443 の URLﾘﾝｸ(jpmccarthymaths.com)
Infinite Products of Probability Spaces J.P. McCarthy: Math Page より
”In proving such limit theorems, it is useful to be able to construct a probability space on which a sequence of independent random variables is defined in a natural way; specifically, as coordinates for a countable Cartesian product.”
の”a sequence of independent random variables”とあることに気付いたかな？
もしまだなら、”a sequence of independent random variables”は時枝記事を解明する重要キーワードだから、覚えておいてね
（”a sequence of independent random variables”は、確率過程論の数学的対象そのものと言って良いのだが）
501:１３２人目の素数さん
22/11/01 15:51:43.48 2RlHdKPX.net
>>463
>絶賛か
>あなたは、真面目な人なんだろうね？
この件に関しては
>（＾＾
昭和時代の年配者が好んで書く古い顔文字ですね
平成生まれの人は全く用いませんが🙂
502:１３２人目の素数さん
22/11/01 15:56:28.64 2RlHdKPX.net
>>463
>ふーん、定義は数学科では議論の一番最初でしょ？
>議論の一番最後に、定義を書いたことに関心しているの？
定義の箇所は議論の予備知識と思います
そういう書き方をしている数学書も
昭和時代から多々ありますね😁
503:１３２人目の素数さん
22/11/01 16:02:56.19 2RlHdKPX.net
>>463
>一つ二つ質問していいかな？
>Q１）数学科の１年生か２年生かい？
大学院修士課程修了ですが何か？
>Q２）確率論の単位はまだ？ 確率過程論はまだかな？
確率論と確率過程は３年および４年で履修しました
専攻ではありませんがね それが何か？
>Q３）
質問が無いようですが、忘れましたか？🙃
504:１３２人目の素数さん
22/11/01 16:18:01.62 2RlHdKPX.net
>>463
私からも質問していいですか？
QⅠ.ヴィタリの非可測集合の構成とそれが非可測である証明は理解していますか？
QⅡ.ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？
QⅢ. にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？😏
505:１３２人目の素数さん
22/11/01 16:55:06.43 25yibjh9.net
さて、スレ主です
１）
>>443 について、>>463にも書いたけど
URLﾘﾝｸ(jpmccarthymaths.com)
Infinite Products of Probability Spaces J.P. McCarthy: Math Page より
”In proving such limit theorems, it is useful to be able to construct a probability space on which a sequence of independent random variables is defined in a natural way; specifically, as coordinates for a countable Cartesian product.”
の”a sequence of independent random variables”とあることに気付いたかな？
”independent”だったら、他の箱を開けても、問題の箱の確率は不変ですよね？！！ｗ
２）
>>462
>・ iid 確率変数 X_i∈[0,1] (各X_iは[0,1]上の一様分布を実現)
>の存在性を担保する確率空間こそが ([0,1]^N, F_N, μ_N) なのに
そうその通りだろうね！ｗ
だけど、上記の通り”a sequence of independent random variables”だよ
”independent”だったら、他の箱を開けても、問題の箱の確率は不変ですよ？ｗ
つづく
506:１３２人目の素数さん
22/11/01 16:55:30.79 25yibjh9.net
>>468
つづき
３）
さて、そもそもの>>386で
>>384-385より >>d：[0,1]^N → N は決定番号の写像であり、(d≦k) は非可測なので矛盾する。 > え、その証明はしないの？ (引用終り) に戻る 確率空間の事象として、下記の Sergiu Hart氏 P2 Remark で、 Player 1 ”with probability 1 in game1”、”the xi independently and uniformly on [0, 1]”を採用しよう ”Ω ＝ Π[n＝1～∞]Ω_n ＝ [0,1]×[0,1]×[0,1]×[0,1]×… (＝[0,1]^N)”>>444 だったよね？ Player 1の立場で、[0,1]→1（下記より。なお、Player 2の立場では[0,1]→0）となるよね 従って 下記類似設定では、”[1]×[1]×[1]×[1]×… (＝[1]^N)”となるよね（Player 2の立場では、”[0]×[0]×[0]×[0]×… (＝[0]^N)”） つまりは、”[1]×[1]×[1]×[1]×… (＝[1]^N)”なるただ一つの元から d：[1]^N → N は決定番号の写像を作ることになる ここで、写像の値域Nが複数の値をとるならば、多価でしょ？ この多価性をどうするの？ｗ （くどいが、Player 2の立場では、”[0]×[0]×[0]×[0]×… (＝[0]^N)”ですが） （参考） >>2 >>387 http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf Choice Games November 4, 2013 Sergiu Hart P2 Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.
508:１３２人目の素数さん
22/11/01 17:44:22.48 V+0RD7zD.net
>>469
>>387
>>>278にレスがないので、
>あなたには URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il) Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
>ということでよろしいか？
相変わらず証明の中の間違っている文を挙げることをしていないので
あなたには URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il) Theorem 1 の証明の中の間違っている文を挙げることができない
ことが確定ですね
509:１３２人目の素数さん
22/11/01 18:07:15.08 25yibjh9.net
>>454-465
スレ主です
レスありがとう
>>466
> 大学院修士課程修了ですが何か？
これは、御見それしました
> 確率論と確率過程は３年および４年で履修しました
ありがとう
それなら話は早い
> 専攻ではありませんがね それが何か？
そもそも論は、>>1の時枝氏の記事でね
過去、何人か数学科生（含む卒）が来て
大半は、時枝不成立を主張したが
”なぜ不成立なのに、成立するように見えるか？”の説明はできなかった
そして、”固定”だの”非可測集合による確率論（外測度を使うなどと宣う）”
だのを言われて
去って行った
欧米文献では、>>1 URLﾘﾝｸ(mathoverflow) と、>>2 Choice Games November 4, 2013 とが代表例です
>>Q３）
> 質問が無いようですが、忘れましたか？
いや、”気付いたかな？”が質問です
”もしまだなら、”a sequence of independent random variables”は時枝記事を解明する重要キーワードだから、覚えておいてね”
がメインの主張です
あと、追加で
Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場ですか？
可能なら簡単に理由を付してもらえるとありがたい
なお、上記のように、過去何人かの数学科生は不成立を主張していた
（例外的に、成立の立場の人１名（名古屋大の数学科卒を名乗る人）がいたな）
510:１３２人目の素数さん
22/11/01 18:36:57.09 V+0RD7zD.net
>>471
>>440 の発言の後で
>”もしまだなら、”a sequence of independent random variables”は時枝記事を解明する重要キーワードだから、覚えておいてね”
という発言のなんという空しいことよ(笑)
511:１３２人目の素数さん
22/11/01 18:58:26.05 25yibjh9.net
>>467
>私からも質問していいですか？
いいよ
>QⅠ.ヴィタリの非可測集合の構成とそれが非可測である証明は理解していますか？
Yes
>QⅡ.ヴィタリの非可測集合が、任意の実数ε>0について、[0,ε)の部分集合となるように取れることは理解していますか？
Yes
（蛇足だが、εは微小数のイメージだが、逆にいくらでも大きな数ｍで[0,m)とできる）
（もし、εやｍが無理数なら、[0,ε],[0,m](閉区間)とできる）
>QⅢ. にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？
それは、URLﾘﾝｸ(en)
512:.wikipedia.org/wiki/Vitali_set に詳しい解説がある（この話は過去に書いているよ） 概略は下記（なお、厳密な定義や説明が、面倒なので記号の濫用をします） １）非可測の前段として、ルベーグ可測が定義される（ここは ヴィタリ集合 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 に詳しい説明がある） ２）R/Qを考える （ヴィタリ集合に説明があるので省略） ３）R/Qの代表系を区間[0,1]にとる いま、ヴィタリ集合Vとして、無理数v∈Vを考える [0,1]の範囲の有理数qで、v+qやv-q' を考える (ここに 0<q<1-v,-v<q<0, つまり[-v,1-v]の範囲の有理数qでv+qは、代表に取れない v+q not∈V) つづく
513:１３２人目の素数さん
22/11/01 18:59:08.91 25yibjh9.net
>>473
つづき
４）ヴィタリ氏は上記を逆手にとって、[-1.+1]の範囲の有理数qを全て集めて、∪V+qを作る
∪V+q を考えると、これは[-1,2]の範囲に収まる。一方で、∪V+q は上記の考察から、区間[0,1]の全ての実数を含む
つまり[0.1]⊂∪V+q
５）いま、λ(S)を集合Sにルベーグ測度を与える関数とする（上記wikipedia通り）
λ(∪V+q）＝Σλ(V） で (なお、Σは、[-1.+1]の有理数qを全て数え上げて（可算無限）和を取る)
よって 1<=Σλ(V）<=3 （<=3は[-1,2]の範囲に収まることから、1<=は内部に区間[0,1]の全ての実数を含むことから従う）
６）これは、λ(V）に0、有限、∞のいかなる値を付与しても矛盾。よって、λ(V）にはいかなる値（測度）も与えることができず、非可測集合を成す
ここで、重要ポイントが二つ
１）全体集合Rにルベーグ可測が与えられていること
２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること
ここは押さえておきたいね
なお、ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが）
以上
514:１３２人目の素数さん
22/11/01 19:00:14.39 25yibjh9.net
>>474 タイポ訂正
１）全体集合Rにルベーグ可測が与えられていること
↓
１）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること
515:１３２人目の素数さん
22/11/01 19:41:47.16 Hdk0OAq+.net
>>473
>>QⅢ. にもかかわらず、ヴィタリの非可測集合は、
>>決して、{0}に出来ない理由を説明できますか？
>それは、URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) に詳しい解説がある
そう思ってるなら、全然wikipediaの文章が読めてませんね
全く解説してませんから
>（この話は過去に書いているよ）
過去に書いたことは、全く見当違いの誤りってことですね
ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが
一方で非可算個の元が必要
したがって0という一点には潰せない
箱入り無数目の代表列の集合も同じこと
頭の部分の0の項の長さをいくらでも長くできるが
無限長の0ばかりの列だけにすることはできない
「決定番号∞」とかいうのは「代表列がただ１列」なら正しいが
その場合の同値関係の定義は、元の箱入り無数目と違ってる
つまり「任意の列について、頭の部分を好きなだけ0に置き換えた列が同値なら
全部を0に置き換えた列とも同値」とかいう「コーシー定義」を追加しちゃってる
そんな追加条件はないんだよ 大学で数学学んだヒトならわかる
大学に入ったことがない🐎🦌は死ぬまで決して理解できないだろうけどね
哀れだね 人間になれない🐒は
516:１３２人目の素数さん
22/11/01 19:50:23.88 Hdk0OAq+.net
>>474
＞ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが
可算理論モデル？知らんな ありもしないものが有名とは、🐒は頭オカシイな
「全ての実数の集合がルベーグ可測である」というモデルなら有名だがな
そのモデルでは選択公理は成り立たないからヴィタリ集合は構成できず
したがって存在しない
517:１３２人目の素数さん
22/11/01 21:06:04.63 +emxAWt1.net
タイポ訂正
>>471
Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場ですか？
↓
Q4 >>1 の時枝記事についての意見というか立場を聞きたい
518: >>474 なお、ソロベイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが） ↓ なお、ソロヴェイの有名な可算理論モデルがあるが、上記ポイントの２）のどこかが成り立たないのでしょうね（詳しくないが）
519:１３２人目の素数さん
22/11/01 21:27:40.86 +emxAWt1.net
>>467
さて
質問への回答は、>>467-468に書いたよ
そこで、関連で追加の質問をします
時枝氏の記事>>1の関連>>55より
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:404番)
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～; の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～; の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、過去スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
(引用終り)
これで
１）”その結果R^N →R^N/～; の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである”
ここの陳述で、ヴィタリ集合については、>>467-468に書いた通りだが
つづく
520:１３２人目の素数さん
22/11/01 21:28:39.58 +emxAWt1.net
>>479
つづき
２）このヴィタリの非可測証明とパラレルに考えると
a)”１）全体集合Rにルベーグ測度が与えられていること”>>474
について、相当するR^Nのルベーグ測度は何だろう？
あなたは、”>>438は単なる積測度の定義 数学科の学生なら必修”>>442
だったね
Rのルベーグ測度の直積を作れば、即 R^Nのルベーグ測度になるのかな？
b)”２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること”>>474
について、R^N/～がR/Qとパラレルにできる？
つまり、"/Q"に相当する元がR^N中に取れる？
さらに、断面[0,1]はどうか？ [0,1]^Nかね？ まさかねｗ
商は、"/Q"ではなく"/～"だよね。そして、”[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動”はどうする？
”可算無限和Σλ(V）”に相当する部分はどこなのか？
ここらを曖昧にして、腰だめで、時枝氏は”そっくりである”と書いているよね（突っ込みどころ満載だけど）
勿論、私も可測になるとは思わないけどｗ
この記述は、時枝トリックの”目くらまし”としか思えない記述＊）なので、聞いているのですが
（注＊）”選択公理→いかにも不思議な定理が成立”の雰囲気づくりのためにｗ）
どう思います？
521:１３２人目の素数さん
22/11/01 21:38:10.31 Hdk0OAq+.net
>>480
＞”Q"に相当する元がR^N中に取れる？
ああ、もちろんとれる いままで気づかんかったのか
それが∪R^n(ｎ∈Ｎ）な
522:１３２人目の素数さん
22/11/01 21:45:08.32 Hdk0OAq+.net
2^N/∪2^n(n∈N)でもOKだぞ
2^Nは有限無限を問わず全ての２進小数
∪2^n(n∈N)は全ての2進有限小数
つまり2進小数に対して「差が2進有限小数」で類別できるし
各同値類の代表が選択公理で選べる
しかもその代表は任意の自然数nについて小数点以下n位まで0にできる
要するに代表の範囲を限りなく狭い範囲に押し込めることができる
しかしすべての代表を0に潰すことはできない
523:１３２人目の素数さん
22/11/01 21:46:44.81 Hdk0OAq+.net
実数：有限２進小数＝形式的ベキ級数：多項式＝無限列：有限列
524:１３２人目の素数さん
22/11/01 23:34:06.88 +emxAWt1.net
>>474 誤変換訂正と補足
＜誤変換訂正＞
２）ルベーグ可測が平行移動に普遍で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること
↓
２）ルベーグ可測が平行移動に不変で、ヴィタリ集合Vは非可算濃度で、Vの[-1.+1]の範囲の有理数qの平行移動で可算無限和Σλ(V）を作ること
注）普遍→不変
＜補足＞
> 1<=は内部に区間[0,1]の全ての実数を含むことから従う）
ここは、下記に詳しいので引用する
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Vitali set
Non-measurability
[0,1]⊆∪k Vk ⊆[-1,2].
To see the first inclusion,
consider any real number r in [0,1] and let v be the
525:representative in V for the equivalence class [r]; then r-v=qi for some rational number qi in [-1,1] which implies that r is in Vi. google訳(少し手直し) [0,1]⊆∪k Vk ⊆[-1,2]. 最初の包含関係を見るために、 [0,1] の任意の実数 r を考え、v を V中で 同値類 [r] の代表とする； そうすると[-1,1] 内のある有理数 qi に対して r-v=qi とできて、これは、r が Vi 内にあることを意味する。
526:１３２人目の素数さん
22/11/01 23:48:06.34 +emxAWt1.net
>>476
> ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが
> 一方で非可算個の元が必要
> したがって0という一点には潰せない
あなた、基礎論というか無限集合論弱いねｗ
あなたの議論は面白いが、下記
カントール集合：”ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”
とある
なので、「非可算個の元（or 点）があるから、ルベーグ測度は 0ではない」には、
反例があるみたいだなｗ
（カントール集合を１点に潰すのは無理と思うよ、多分なｗ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カントール集合
フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス（英語版）により発見され[1][注釈 1][4][5]、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された[6][7]:65。
性質
カントール集合はフラクタル図形の一種で自己相似性を持つ。フラクタル次元の一つであるハウスドルフ次元は log 2?/?log 3 (= 0.6309297...) で、1 よりも小さい値を持つ[17]。カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。
測度と確率
カントール集合は二進列全体の成すコンパクト群と見なせるから、自然なハール測度を備えている。カントール集合全体の測度を 1 に正規化するとき、それをコイントスの無限列のモデルとすることができる。さらに言えば、区間上の通常のルベーグ測度がカントール集合上のハール測度の像となることが示せる。他方、三進集合への自然な埋め込みでは特異測度の標準例となる。あるいはまた、このハール測度がカントール集合を適当な仕方で普遍確率空間とする任意の確率測度の像となることも示せる。
ルベーグ測度論において、カントール集合は非可算な零集合の例を与える[22]。
527:１３２人目の素数さん
22/11/01 23:59:55.64 sIOgpcGr.net
>>485
＞あなた、基礎論というか無限集合論弱いねｗ
＞あなたの議論は面白いが、下記
＞カントール集合：”ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”
＞とある
横やりだが、
> ヴィタリ集合はいくらでも小さくできるが
> 一方で非可算個の元が必要
> したがって0という一点には潰せない
この議論で言っていることは「もし1点に潰せるなら V は1点集合だが、
実際には V は非可算無限なので矛盾。すなわち、V は1点には潰せない」
という意味だろう。何も間違ってない。
528:１３２人目の素数さん
22/11/02 00:08:15.59 yfFXmDCT.net
>>480 補足
>勿論、私も可測になるとは思わないけどｗ
>この記述は、時枝トリックの”目くらまし”としか思えない記述＊）なので、聞いているのですが
>（注＊）”選択公理→いかにも不思議な定理が成立”の雰囲気づくりのためにｗ）
＜補足＞
１）選択公理について、Sergiu Hart氏が、下記”without using the Axiom of Choice”で、
類似のgame2を考えている（全てが可算の範囲でゲームが行われる）
２）だから、（フルパワー）選択公理を使わないので
非可測集合は出てこない（多分）
３）よって、”選択公理→非可測集合”の議論は、
時枝記事のトリック解明上の本質ではないってことですね
４）だから、時枝についての非可測集合の確率論の議論は、無意味です
(参考) >>2より
URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il)
Choice Games November 4, 2013 Sergiu Hart
Ｐ2
A similar result, but now without using the Axiom of Choice. Consider the
following two-person game game2: