22/11/22 06:49:58.23 cm0i0Xit.net
バナッハ＝タルスキーのパラドックス
バナッハ＝タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) は、
球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、
それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、
元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理
（ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない）。
この操作を行うために球を最低5つに分割する必要がある。
635:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:50:27.16 cm0i0Xit.net
バナッハ＝タルスキーの証明では、
ハウスドルフのパラドックスが援用され、
その後、多くの人により証明の最適化、
様々な空間への拡張が行われた。
636:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:50:52.10 cm0i0Xit.net
結果が直観に反することから、定理であるが「パラドックス」と呼ばれる。
637:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:51:24.35 cm0i0Xit.net
証明の1箇所で選択公理を使うため、
選択公理の不合理性を論じる文脈で引用されることがある。
638:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:52:14.62 cm0i0Xit.net
ステファン・バナフ（バナッハ）とアルフレト・タルスキが
1924年に初めてこの定理を述べたときに
選択公理を肯定的にとらえていたか、否定的にとらえていたか、
判断することは難しい
（「この研究に対する選択公理の果たす役割は注目に値する。」
(Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention.)
としか述べていない）。
639:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:52:49.52 cm0i0Xit.net
なお、選択公理よりも真に弱いハーン–バナッハの定理から
バナッハ＝タルスキーのパラドックスを導くことができる。
640:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:53:09.19 cm0i0Xit.net
この定理は次のように述べることも出来る。
球は、それ自身と同じ球二つと分割合同である。
641:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:54:08.71 cm0i0Xit.net
ただし、分割合同とは以下のように定義される:
A と B をユークリッド空間の部分集合とする。
A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として
A = A1 ∪ ... ∪ An , B = B1 ∪ ... ∪ Bn
と表すことができ、
全ての i について、Ai と Bi が合同であるとき、
A と B を分割合同という。
642:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:55:07.87 cm0i0Xit.net
さらに、この定理から次のより強い形の系を導くことが出来る。
3次元ユークリッド空間の有界な部分集合で、内部が空でないもの
(つまり、有限の拡がりを持ち、曲線や曲面ではないもの)
を任意に二つ選んだとすると、それらは分割合同である。
643:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:55:44.14 cm0i0Xit.net
言い換えると、
ビー玉を有限個に分割して組み替えることで月を作ったり、
電話を組み替えて睡蓮を作ったり出来る
（当然のごとく材質は変えられない）、
ということである。
644:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:56:33.47 cm0i0Xit.net
この定理の証明で、
点集合は選択公理を使ってつくられる選択集合で構成されており、
各断片はルベーグ可測ではない。
すなわち、各断片は明確な境界や通常の意味での体積を持たない。
645:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:56:49.77 cm0i0Xit.net
物理的な分割では可測な集合しか作れないので、
現実にはこのような分割は不可能である。
しかしながら、それらの幾何学的な形状に対しては
このような変換が可能なのである。
646:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:57:21.54 cm0i0Xit.net
この定理は 3次元以上の全ての次元においても成り立つ。
647:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:57:50.74 cm0i0Xit.net
2次元ユークリッド平面においては成り立たないものの、
2次元においても分割に関するパラドックスは存在する:
円を有限個の部分に分割して組替える事で、
同じ面積の正方形を作ることが出来るのである。
648:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:58:21.69 cm0i0Xit.net
これはタルスキーの円積問題
(en:Tarski's circle-squaring problem)
として知られている。
649:１３２人目の素数さん
22/11/22 06:58:52.95 cm0i0Xit.net
2次元ユークリッド平面においては、
合同変換ではなく面積を保つ変換に条件をゆるめると、
バナッハ＝タルスキーのパラドックスと同様な定理が成立することを、
1929年にジョン・フォン・ノイマンが証明した。
650:１３２人目の素数さん
22/11/22 07:00:20.29 cm0i0Xit.net
この定理は次のように述べることが出来る。
A と B を2次元ユークリッド空間の内点を持つ有界な部分集合とする。
A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として表すことが出来る。
ここで、全ての部分集合について、面積を保つ変換が存在する。
651:１３２人目の素数さん
22/11/22 08:58:49.15 4Pri4uD7.net
等積ではなく等角だと？
652:１３２人目の素数さん
22/11/25 15:36:35.87 vIMWEa9d.net
>>629
さぁ
653:１３２人目の素数さん
22/12/20 12:23:45.03 R0GrT6qP.net
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