23/01/30 10:33:21.12 0EowpgN/.net
M⊂∩M_pは明らか。
x∈∩M_pとする。AのイデアルI_xを
I_x := { a∈A | ax∈M }
と定める。I_xがA全体であることを示す。
Aの極大イデアルpを任意に取る。x∈M_pなので、あるm∈Mと、あるa∉pが存在して、
x = a^(-1) m
と書ける。ax = m∈Mなので、a∈I_x。a∉pなので、I_x￢⊂p。
よって、I_xはどの極大イデアルにも含まれないので、A全体。
23/01/30 10:33:21.12 0EowpgN/.net
M⊂∩M_pは明らか。
x∈∩M_pとする。AのイデアルI_xを
I_x := { a∈A | ax∈M }
と定める。I_xがA全体であることを示す。
Aの極大イデアルpを任意に取る。x∈M_pなので、あるm∈Mと、あるa∉pが存在して、
x = a^(-1) m
と書ける。ax = m∈Mなので、a∈I_x。a∉pなので、I_x￢⊂p。
よって、I_xはどの極大イデアルにも含まれないので、A全体。