22/09/27 09:33:02.72 HfYAXdzc.net
f：[0,＋∞) → R は、広義リーマン積分 IR∫[0,＋∞] f(x)dx が存在するとする(その値をα_0と置く)。よって、
(1) 任意の 0＜a＜＋∞ に対して通常のリーマン積分 R∫[0,a] f(x)dx が有限値で存在する。
(2) lim[a→＋∞] R∫[0,a] f(x)dx が有限値で存在して、その値は α_0
の2条件を満たすことになる。特に(1)から
・ 任意の 0＜a＜＋∞ に対して通常のルベーグ積分 L∫[0,a] f(x)dx が有限値で存在して、
しかも L∫[0,a] f(x)dx ＝ R∫[0,a] f(x)dx
が成り立つので、結局、
(1)' 任意の 0＜a＜＋∞ に対して通常のルベーグ積分 L∫[0,a] f(x)dx が有限値で存在する。
(2)' lim[a→＋∞] L∫[0,a] f(x)dx が有限値で存在して、その値は α_0
ということになる。特に、広義ルベーグ積分 IL∫[0,＋∞] f(x)dx が存在して、
IL∫[0,＋∞] f(x)dx＝α_0＝IR∫[0,＋∞] f(x)dx となる。
特に、広義リーマン積分と広義ルベーグ積分は、両者がともに存在するならその値は必ず一致する。