[ここ壊れてます] .net
ちなみに、スレ主は K[[x]] での極限を考えるのが好きらしいので、そのようなケースを考えてみよう。
まず、s,t ∈ K[[x]] が s～t を満たさない場合を考察する。m≧0 に対して
t^{m} ：＝ Σ[k＝0～m－1] t_k x^k＋(s_m＋1)x^m＋Σ[k＝m＋1～∞] s_k x^k
と置けば、これは形式的ベキ級数であり、s ～ t^{m} が成り立ち、(s, t^{m})に関するしっぽは「 m しっぽ 」である。
さて、t^{m} について、完備化されたK[[x]]の構造のもとで m→∞ の極限を考えると、
lim[m→∞] t^{m} ＝ t が成り立つことが確認できる。一方で、
(1) (s, t^{m})に関するしっぽは「 m しっぽ 」
なのだった。この(1)で m→∞ とすれば、t^{m} → t に注意して、
・ (s, t)に関するしっぽは「 ＋∞ しっぽ 」である
が成り立つかのように見える。しかし、今回は「 s～t を満たさない」という仮定のもとで考えていたので、
(s,t)に対しては、「しっぽ」が定義できる文脈から外れている。これはどういうことかと言うと、単純に
「(1)の文章は m→∞ の極限と交換可能ではない」
ということ。ここがスレ主の間違いポイント。勝手に交換可能だと勘違いしているということ。