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>>189 補足
下記の説明が丁寧で、参考になるだろう
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趣味の大学数学 木村（@kimu3_slime）
関数空間が無限次元とは？ 多項式関数を例に
2021年1月25日
今回は、関数空間が無限次元であるとはどういうことか、多項式関数を例に紹介したいと思います。
目次
・N次多項式関数のなす空間
・無限次元の線形空間
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N次多項式関数のなす空間
以前、連続関数のなす集合C(R)は、線形空間となることを紹介しました（関数空間）。
この空間は、実は無限次元となります。それを理解するために、連続関数のなす集合の部分集合、特に多項式関数からなる集合を考えましょう。
無限次元の線形空間
今まではある次数NNまでの多項式を考えましたが、任意の次数の多項式をすべて集めた集合を考えることもできます。
P(R)は、さきほどまでの議論と同様にして、線形空間です。しかしながら、無限次元であることを示すことができます。
線形空間Vが無限次元（infinite dimensional）であるとは、有限次元ではないこと、と定義します。
P(R)を有限次元であると仮定しましょう。
以下略（原文ご参照）
以上、無限次元の関数空間の例、多項式関数のなす空間を紹介しました。
線形代数学においては、線形空間を有限次元のものに限って議論することがほとんどです。しかし、連続関数のなす空間C)C(R)や可積分関数のなす空間L^p(R)といった関数空間は、一般には無限次元です。
フーリエ級数展開や偏微分方程式の理論では、関数空間を調べる必要があり、そのような分野は関数解析と呼ばれています。