22/11/18 21:54:33.78 FydCEdUH.net
補題 x∈φ(G),S⊂G,<{x}∪S> → <S> = G
(∵) <S>≠Gなら極大部分群Mを<S>⊂Mとなるようにとれる
x∈Mだから<{x}∪S>⊂M □
系 φ(G)が有限生成、S⊂G、<{sφ(G) | s∈S}> = G/φ(G) → <S>=G
(∵) 補題を用いてφ(G)の生成元の個数についての帰納法□
系 φ(G)が有限生成、G/φ(G)が巡回群→Gが巡回群
22/11/18 21:54:33.78 FydCEdUH.net
補題 x∈φ(G),S⊂G,<{x}∪S> → <S> = G
(∵) <S>≠Gなら極大部分群Mを<S>⊂Mとなるようにとれる
x∈Mだから<{x}∪S>⊂M □
系 φ(G)が有限生成、S⊂G、<{sφ(G) | s∈S}> = G/φ(G) → <S>=G
(∵) 補題を用いてφ(G)の生成元の個数についての帰納法□
系 φ(G)が有限生成、G/φ(G)が巡回群→Gが巡回群