22/10/21 19:25:59.42 POBo4qaZ.net
>>622
よく分からないからもっと詳しい説明が書いてある本を探しているということですか？
648:１３２人目の素数さん
22/10/21 19:39:20.80 GFb/PGdE.net
>>622
descriptive set theoryで検索したら貴方好みのページが見つかるかも
649:１３２人目の素数さん
22/10/21 19:53:40.42 T0X1VZyu.net
そんなに突っ込んだ話じゃなくちょっと詳しくやりたい程度なら
東大出版の「数学の基礎」あたりで十分かと
650:１３２人目の素数さん
22/10/21 20:08:39.09 ScNOTOVp.net
連続性なら「ホモトピー」だろ
651:１３２人目の素数さん
22/10/21 20:15:35.47 ScNOTOVp.net
テレビ版旧エヴァの最終回は
ホモトピー代数とかのニワカが拘束力学系の解析力学をゲージ理論方面から眺めたわかってんだかわかってないんだかな議論みたく見える。
源平討魔伝のエンディングの「神は死んだ、悪魔は去った」の神と名字が被る深谷賢治あたりの同時代感がある論説記事にテーマが近く感じる。
まあ違うナムコのDDS2のエンディング前に「プログラムドバイナカジマ」を確認できるエビラの人と同時期両看板なイメージだが。
652:１３２人目の素数さん
22/10/21 21:29:12.30 ScNOTOVp.net
これからの幾何学 深谷～広がりゆくトポロジーの世界 玉木
ぐらいの期間の印象。
653:１３２人目の素数さん
22/10/21 21:31:28.62 Wgp7wJ2y.net
>>622
Basic Analysis 1(Jiri Lebl)など
そもそも最近の海外ででている解析学の教科書と比べて、和書の解析学(微分積分学)の教科書はちゃんと書かれていない(厳密ではなくイメージに依存した古い感覚で書かれている)
だから疑問に持つのもおかしくない
654:１３２人目の素数さん
22/10/21 22:12:59.29 fSYIhYE1.net
>>622
位相空間論？
655:１３２人目の素数さん
22/10/21 22:16:16.79 fSYIhYE1.net
>>627
>連続性なら「ホモトピー」だろ
バカ？
656:１３２人目の素数さん
22/10/21 22:24:12.08 ScNOTOVp.net
URLﾘﾝｸ(www.sci.tohoku.ac.jp)
657:１３２人目の素数さん
22/10/21 23:22:58.62 WxIJeRy+.net
以下の複素積分の問題の解法を教えて頂きたいです
C:z=exp(it) (0≦t≦π)とするとき、
∫_C(√z)dzの値を求めよ。
（√zは平方根の主値を表す）
答えは-2(1+i)/3です
658:１３２人目の素数さん
22/10/21 23:29:53.56 2SQbOIKX.net
>>634
∫_C(√z)dz
= ∫[0,π]exp(it/2)i exp(it)dt
= i∫[0,π]exp(3/2it)dt
= 2/3[exp(3/2it)]_0^π
= 2/3exp(3π/2i) - 2/3exp(0)
659:ともひこ
22/10/21 23:44:59.51 wmINIqH6.net
ふくそ数のびぶんなんて
そんなこと、できてたまるか。 （ ' ‘ω‘ )
660:１３２人目の素数さん
22/10/21 23:54:45.60 fSYIhYE1.net
>>634
[(2/3)z^(3/2)][1,-1]（ただし平方根は上半平面の分枝）
=(2/3)(i^3-1)
=-(2/3)(1+i)
661:１３２人目の素数さん
22/10/22 00:42:23.39 IJaKiA99.net
>>635
わかりました！
ありがとうございます！
>>637
zの範囲を出して解いた感じですかね？
教科書の例題は
662:>>635さんが書いてくれたやり方になってるんですが、こちらのやり方でも問題ないならこちらを使いたいです
663:１３２人目の素数さん
22/10/22 12:23:13.12 IJaKiA99.net
∫[1, π+i] zcos2z dz
=(cosh2-2sinh2+2πisinh2-1)/4
となるはずなのですが、途中の処理の仕方がわかりません
{(2zsin2z+cos2z)/4}'=zcos2z という原始関数を利用すると答えが合いませんでした
664:１３２人目の素数さん
22/10/22 12:45:16.87 YZXAzKeC.net
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
665:１３２人目の素数さん
22/10/22 14:40:48.29 IJaKiA99.net
>>640
こんな便利なサイトがあったとは……
教えて頂きありがとうございます！
666:１３２人目の素数さん
22/10/23 01:39:31.16 7oDzHDGj.net
複素積分で
∫_(|z|=1) tanz dz=0 を証明せよ。
という問題なのですが、tanzが正則であることを示すにはどうすればいいですかね？
|z|=1からz=exp(it) (0≦t≦2π)として代入して処理すべきですか？
正則であることが言えればコーシーの積分定理を適用して証明できるはずなんです
667:１３２人目の素数さん
22/10/23 02:01:58.45 +nDVMN8I.net
>>642
coszの零点はどこか2次方程式を解いて調べると分かろうよ
668:１３２人目の素数さん
22/10/23 07:18:36.60 zyp/ASe3.net
>>642
t+t^{-1}=0-->t^2=-1-->t=\pmi
e^{iz}=\pmi---> z=\pm\pi/2+2n\pi
よってcoszは|z|<1でゼロ点を持たない。
669:１３２人目の素数さん
22/10/23 12:58:00.62 7oDzHDGj.net
>>643
tanz=sinz/coszで、分母であるcoszが0にならなければ正則だということですよね
sinz,coszは正則だからtanzも正則になると
わかりましたありがとうございます！
>>644
すみません自分の勉強不足で式の意味がよくわかりませんでした……
670:１３２人目の素数さん
22/10/23 13:40:37.82 +nDVMN8I.net
>>645
チと違う
>>644を
671:１３２人目の素数さん
22/10/23 16:22:08.58 7oDzHDGj.net
>>646
sinz,coszは複素数平面上で常に正則
cosz=0すなわちz=(2n+1)π/2のときは正則でないが、これは|z|=1を満たさない
ゆえに|z|=1の範囲ではtanzは正則
という理解で合ってますかね……？
672:１３２人目の素数さん
22/10/23 16:28:26.59 oIrBag/h.net
|z|=1ではないですよね
673:ともひこ
22/10/23 16:40:28.65 RXvo6MCl.net
それは
たしか確かな情報です。
674:１３２人目の素数さん
22/10/23 16:53:01.69 +NZEJ9WX.net
>>647
>>cosz=0すなわちz=(2n+1)π/2のときは正則でないが、これは|z|=1を満たさない
>>ゆえに|z|=1の範囲ではtanzは正則
「cosz=0すなわちz=(2n+1)π/2」ここを2次方程式を解いて検証したのが644
\pmはプラスマイナス(複合)
675:１３２人目の素数さん
22/10/23 16:57:13.41 +NZEJ9WX.net
訂正
複合ー－＞複号
676:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:13:04.06 7oDzHDGj.net
>>650
なるほど！そういう意味でしたか
理解できましたありがとうございます！
677:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:29:54.39 F4feulSb.net
>>652
たぶんわかってない
「|z|=1の範囲ではtanzは正則」ではなく
「|z|≦1の範囲ではtanzは正則」を示さないといけない
(うるさく言うと|z|≦1を含む開領域でtanzは正則を示す)
678:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:40:35.11 xgrNemdI.net
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap3-4/chap3-4.pdf
問題3.4.4（クーポンコレクター問題）の解答は正しいでしょうか？
679:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:54:01.93 7IX/Ea5L.net
回数の期待値がN/1+N/2+‥+N/Nになるのは正しい
途中は知らんけど
680:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:56:49.32 xgrNemdI.net
途中の解説がよく分かりません。その解説が正しいものなのかが知りたいです。
681:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:57:55.12 7IX/Ea5L.net
まぁぱっと見あってるよ
682:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:02:46.28 xgrNemdI.net
r種類のコインを既に持っている状態からr+1種類目のコインを手に入れるまでに必要なコインの購入回数が
1回以上である確率 = 1
2回以上である確率 = (r/N)^1
3回以上である確率 = (r/N)^2
4回以上である確率 = (r/N)^3
などとなるのはわかりますが、
これからN種類のコインを集めるのに必要な購入回数の期待値が、
1 + (r/N)^1 + (r/N)^2 + … + = N / (N - r)
になるというのが分かりません。
683:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:09:35.57 xgrNemdI.net
ちょうど1回である確率 = 1 - (r/N)^1
ちょうど2回である確率 = (r/N)^1 - (r/N)^2
ちょうど3回である確率 = (r/N)^2 - (r/N)^3
などとなるので、
1 * [1 - (r/N)^1] + 2 * [(r/N)^1 - (r/N)^2] + 3 * [(r/N)^2 - (r/N)^3] + …
= 1 + (r/N)^1 + (r/N)^2 + … + = N / (N - r)
となるという説明であれば納得がいきますが、いきなり最後の式を導出しています。
684:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:10:06.70 +nDVMN8I.net
>>653
>うるさく言うと
五月蝿くない
そこ重要
685:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:12:54.28 7oDzHDGj.net
>>653
複素数平面上ではsinz,coszは常に正則なので、tanzもcosz=0の時以外は正則
そのcosz=0の時のzは|z|=1の内部に無い
つまり|z|=1の内部ではtanzは正則
っていう書き方だと減点されますかね？
686:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:29:07.66 7IX/Ea5L.net
>>659
> ちょうど1回である確率 = 1 - (r/N)^1
> ちょうど2回である確率 = (r/N)^1 - (r/N)^2
> ちょうど3回である確率 = (r/N)^2 - (r/N)^3
> などとなるので、
> 1 * [1 - (r/N)^1] + 2 * [(r/N)^1 - (r/N)^2] + 3 * [(r/N)^2 - (r/N)^3] + …
> = 1 + (r/N)^1 + (r/N)^2 + … + = N / (N - r)
> となるという説明であれば納得がいきますが、いきなり最後の式を導出しています。
上の式変形して下の式になるので納得行くならそれでいいやん
687:１３２人目の素数さん
22/10/23 19:04:29.96 F4feulSb.net
>>660
状況に応じて厳密さを使い分けることを覚えましょう
688:１３２人目の素数さん
22/10/23 19:09:18.60 iiQM/xNP.net
>>661
|z|=1の境界ではどうなんだろうってちょっと気になりますね
689:１３２人目の素数さん
22/10/23 20:52:23.95 ESu0BzCm.net
∫_C1/(z^3+4z)dz（C:|z|=3）
これを解くとき被積分関数をどう変形すれば良いですか
690:１３２人目の素数さん
22/10/23 20:53:57.42 +nDVMN8I.net
>>663
立派なことですこと
691:１３２人目の素数さん
22/10/23 21:01:04.75 7oDzHDGj.net
>>664
なるほど……
内部だけでなく境界にも含まないことを明示しないとまずいですか
692:１３２人目の素数さん
22/10/23 21:33:31.86 xgrNemdI.net
事象が独立、確率変数が独立、試行が独立
これらが詳しく解説されている本はありますか？
693:１３２人目の素数さん
22/10/23 22:43:40.11 F4feulSb.net
>>666
立派でもなんでもない普通の話。
単一の尺度しか使えない人間がおかしい。
694:１３２人目の素数さん
22/10/24 00:41:20.74 +y5g9lSl.net
Σ1/(n+i)って発散するんですか？
ダランベールの判定法を使うと収束しそうなんですが……
695:１３２人目の素数さん
22/10/24 00:53:24.28 +apjz/4q.net
Σ1/(n+i)が収束→Σ1/(n+i)、1/(n-i)が収束→Σn/(n²+1)が収束→Σn/(n²+1) + 1/(n(n²+1))が収束→Σ( n/(n²+1) + 1/(n(n²+1)) ) = Σ1/nが収束
696:１３２人目の素数さん
22/10/24 01:27:59.89 gxR2VJPY.net
>>670
Σ1/nから有限個の項がないだけなので発散する。(これじゃ納得いかないか？
ダランベール判定法だと1になって収束発散は判定できないと思うが。
考えの詳細を書いてもらわないとこれ以上はコメントできないな。
697:１３２人目の素数さん
22/10/24 06:36:25.48 NqDJNPzo.net
>>669
他人をおかしいと言い切るのはご立派で無くてはできませんね
698:１３２人目の素数さん
22/10/24 07:04:49.48 GaDzP1V7.net
自分に対するどんな批判も許さないというのは
プーチンのように
老い先短いものにのみ許された特権かもしれない
699:１３２人目の素数さん
22/10/24 09:20:07.31 +y5g9lSl.net
>>672
Σ1/n自体は収束しますよね？
だから有限個の項を取り除いたΣ1/(n+i)も収束するんじゃ……？
ダランベールの判定法は1になると判定できないんですね
勘違いしてました
700:１３２人目の素数さん
22/10/24 09:55:21.35 RVVdPxf0.net
>>673
>>666については言いきれ
701:る
702:１３２人目の素数さん
22/10/24 10:41:00.43 nK7uX7AC.net
>>675
2^k/leq n <2^{{k+1}}-->1+1/2+/cdots+1/n>(k+1)/2.
n/to/inftyならk/to/inftyなので
Σ1/n=/infty
703:１３２人目の素数さん
22/10/24 10:55:22.47 rexIrF14.net
さすがにネタ
704:１３２人目の素数さん
22/10/24 10:57:17.82 Y4d1F0jj.net
>>675
調和級数は発散します
高校生でも知ってると思いますけど
705:１３２人目の素数さん
22/10/24 10:59:27.70 +y5g9lSl.net
調和級数を知らなかった……お恥ずかしい……
Σ1/nは発散するので有限個の項を抜いただけのΣ1/(n+i)も発散する、と
調和級数を使わずにΣ1/(n+i)単体で証明する方法とかって他にありますかね？
コーシーもダランベールも使えないので難しいですか
706:１３２人目の素数さん
22/10/24 11:04:38.27 ZMzmMyLF.net
>>676
>>663がご立派な方からのご指南であることも論を俟ちませんね
707:１３２人目の素数さん
22/10/24 11:05:05.66 nK7uX7AC.net
>>680
>>Σ1/nは発散するので有限個の項を抜いただけのΣ1/(n+i)も発散する
iは自然数であって虚数単位ではなかった？
708:１３２人目の素数さん
22/10/24 11:13:53.19 +y5g9lSl.net
>>682
iは虚数単位です
あれ虚数単位だと有限個の項を抜いて調和級数になるわけじゃない……？
頭がごちゃごちゃになってきた……
709:１３２人目の素数さん
22/10/24 12:07:43.74 GwN+2kc1.net
気持ち悪い文末の「…」をNGにした
710:１３２人目の素数さん
22/10/24 12:41:11.28 +y5g9lSl.net
>>684
癖でつけてました不快にさせてすみません
711:１３２人目の素数さん
22/10/24 13:12:20.23 WhN3UlUK.net
…のかわりに(´・ω・`)使うとキモさがパワーアップしていいよ
712:１３２人目の素数さん
22/10/25 09:30:37.43 PmjaftZ2.net
二項分布B(n, p)がnが大きいとき、正規分布で近似できるという定理を証明するのに必要な
予備知識は何ですか？
713:１３２人目の素数さん
22/10/25 09:39:22.89 wusYNZro.net
Levyの反転公式とか
714:１３２人目の素数さん
22/10/25 09:41:08.17 wusYNZro.net
イヤ, crtではなくて2項分布限定ならstiringの公式だけでもなんとかなるか
715:１３２人目の素数さん
22/10/25 10:17:52.70 PmjaftZ2.net
>>688-689
ありがとうございました。
純粋に解析学の結果だと思いますが、微分積分の本で演習問題か何かで証明している本はないですか？
716:１３２人目の素数さん
22/10/25 10:36:54.58 R1CUsz0D.net
>>687
個数が多いと独立に近づいていく
717:１３２人目の素数さん
22/10/25 10:47:35.28 wusYNZro.net
>>690
Levy の反転公式はちょっと高度、教科書でさがすなら数学科の専門課程で読むレベルの教科書当たらないと難しい
Stiringの公式はそうでもない、般教のレベルの教科書に載ってる
具体的にと言われると俺の読んだ教科書はもう絶版してる
でも今の時代なら今のキーワードでググればアホほどネットに転がってる
718:１３２人目の素数さん
22/10/25 13:04:36.00 PmjaftZ2.net
>>691-692
ありがとうございました。
>>692
ネットで探してみます。
719:１３２人目の素数さん
22/10/25 16:42:04.11 NushXwQu.net
三行目の式変形がわからなくて困ってる どうしたら1/xが出てくるんだ
初歩的な質問で申し訳ない
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
720:１３２人目の素数さん
22/10/25 17:11:46.34 PmjaftZ2.net
甘利俊一さんの情報理論の本ですね。
721:１３２人目の素数さん
22/10/25 17:16:27.43 PmjaftZ2.net
f(x + ε * x) = f(1 + ε) + f(x)
f(x + ε * x) - f(x) = f(1 + ε)
この両辺を ε * x で割ると、
[f(x + ε * x) - f(x)] / [ε * x] = (1/x) * f(1 + ε) / ε
となる。
ということだと思います。
722:１３２人目の素数さん
22/10/25 18:05:16.84 PmjaftZ2.net
以下のコードが配列 A を昇順にソートすることを証明せよ。
for i in range(N):
723: ■■for j in range(N): ■■■■if A[i] < A[j]: ■■■■■■swap(A[i], A[j])
724:１３２人目の素数さん
22/10/25 18:24:25.90 J3r5rMEr.net
>>694
左辺の分母εxじゃん
725:１３２人目の素数さん
22/10/25 19:35:35.09 x3m7p8p/.net
for loop でi はrange(A)(だよね)の小さい方から呼ばれるのは確定してるん？
726:１３２人目の素数さん
22/10/25 19:39:56.71 PmjaftZ2.net
>>699
C++風に書くと、以下のコードになります。
vector<int> A(N);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
■■cin >> A[i];
}
for (int i = 0; i < N; ++i) {
■■for (int j = 0; j < N; ++j) {
■■■■if (A[i] < A[j]) {
■■■■■■swap(A[i], A[j]);
■■■■}
■■}
}
727:１３２人目の素数さん
22/10/25 20:41:41.34 qRcqF8Uu.net
>>700
Aのサイズに関するinduction
♯A = 1なら自明
♯A<Nではよいとして♯A=Nとする
i = 1 で内ループが終わった状態ではA[1]に最大元が移動する
ここでi:2～N-1でのステップでj=Nとなる時点では必ずA[i]は最大元が入ることになるので事実上A[N]は動かない
よってループはサイズがひとつ小さいサイズのArrayに対して行なっている操作と同じになる、ただしiが2～しか走っていないが、仮に改めてもう一度i:1～N-1で走らせてもA[1]に最大元が入っている状態からスタートなのでどのみちi=1の時点では何も起こらない事に注意する
よってi:2～N-1まで走らせた時点で帰納法の仮定からA[1]～A[N-1]は昇順に並んでいる
この状態で最後のi=Nのステップで全て昇順になる事は容易である□
728:１３２人目の素数さん
22/10/26 00:30:01.50 P3jpJ7pP.net
補題 長さNのarray A[0]～A[N-1]においてA[0]～A[N-2]は昇順であるとする
ここに次のコードをapplyすると全体が昇順にソートされる
i = N-1;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
(∵) Nについての帰納法
N=1なら自明
N<Mで成立するとしてN=Mとする
j=0での処理を終えた時点でA[0]が最小元となるのは自明
またA[1]～A[N-2]は昇順でここにi=1から始まるコードをapplyすればA[1]～A[N-1]は帰納法の仮定により昇順にソートされる□
729:１３２人目の素数さん
22/10/26 00:30:40.36 P3jpJ7pP.net
主張の証明
♯A < N で成立すると仮定して♯A = Nとする
コードを次のように変更しても結果は変わらない
i = 0;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
for (int i = 0; i < N-1; ++i) {
for (int j = 0; j < N-1; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
}
i = N-1;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
(∵ 元のコードでi=0の処理が終わった時点でA[0]には最大元が入っている
一方で各1≦i<N-1にたいしてj<N-1の処理が終わった段階ではA[i]にはA[0]～A[N-2]の最大元が入る
よってこの時点でA[i]には全体の最大元が入ることになる
よって続くj=N-1のときの処理ではifの条件は常にFalseであり処理が行われる事はない
よって1≦i<N-1, j=N-1の時の処理は省いても結果は変わらない)
ここで帰納法の仮定により改変後のコードにおいて最後のループを始める前の時点ではA[0]～A[N-2]は昇順になっている
この状態で最後のループによって昇順になる事は既に補題で示されている□
730:１３２人目の素数さん
22/10/26 04:40:11.07 cHlveV8v.net
>>696, 698
ありがとうございます、助かりました
731:１３２人目の素数さん
22/10/26 06:56:09.62 Vss1j+8B.net
>>701-703
多分正解だと思いますが、正当性を記述するのって面倒ですね。
732:１３２人目の素数さん
22/10/26 10:15:21.88 Vss1j+8B.net
>>697,700
著者の解答は以下です：
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap3-6/chap3-6.pdf
これって間違っていませんか？
733:１３２人目の素数さん
22/10/26 10:37:34.59 rvp30j2k.net
まぁダメやろな
i = 0～N-2まで動く時もjは0～N-1まで動いてしまうためにi:0～N-2の時の動作結果は“帰納法の仮定”を適用できんからな
734:１３２人目の素数さん
22/10/26 11:38:43.03 8peJPiGV.net
>>706
735: だいたい合ってるよ 細かいこと言うならこんな感じ↓ i=I-1の ”内側 j ループ終了の” 時点で、A[t－1] ≦ A[I] ”<” A[t]のとき .. . . • j=t+1,..., I－1でもswapされる。 結果は同じだが A[I]=A[j] の時は swapされない swap過程で A[1]≦A[2]≦...≦A[I-1] 順序に変化は起きないことは明らか • それ以降: A[I] の値が増える可能性はあるが、減ることはない j=I－1 直後は A[I-1] ≦ A[I] とは限らないが jループ終了後は A[I] に最大値が入ることは明らか その結果 A[1]≦A[2]≦...≦A[I-1] ≦A[I] となる.
736:708
22/10/26 14:06:51.89 8peJPiGV.net
> j=I－1 直後は A[I-1] ≦ A[I] とは限らないが
↑
少し訂正
I = 0 の場合:
明らかに内側 j ループ終了時点で A[I] に最大値が入る.
I > 0 の場合:
内側 j ループ ”処理開始”時点で A[I-1] に最大値が入っている(※帰納法の仮定に加える)ので
j=I-1 で swap が起きたら A[I-1] < A[I] , 起きなければ A[I-1] = A[I] のまま変わらない.
いずれにしろ j=I-1 ”処理終了”時点で A[I-1] ≦ A[I] が確定して A[I] に最大値が入る.
j=I 以降で swap は生じない.
737:１３２人目の素数さん
22/10/26 18:28:46.82 i/+rfYjL.net
まぁ二重の帰納法で受験数学の問題だとかなり難問だよな
738:１３２人目の素数さん
22/10/26 20:47:56.30 KTa78anx.net
>>705
プログラムの正当性の証明を与える理論があったような気がする
帰納法で証明するなら
「内側のループ抜けた時点でそこまでのソートが終了している」
という命題にするのね
739:１３２人目の素数さん
22/10/27 20:03:51.08 dVXdGNpU.net
atcoder.jp/contests/math-and-algorithm/tasks/math_and_algorithm_bi
f : N → N を f(n) が n の約数の個数であるような関数とする。
1 * f(1) + 2 * f(2) + … + n * f(n)
の値を O(n) で出力する方法を述べよ。
740:１３２人目の素数さん
22/10/27 20:04:43.63 dVXdGNpU.net
>>707-711
ありがとうございました。
741:１３２人目の素数さん
22/10/27 20:06:25.53 dVXdGNpU.net
リンク先を間違えました。訂正します。
atcoder.jp/contests/math-and-algorithm/tasks/abc172_d
f : N → N を f(n) が n の約数の個数であるような関数とする。
1 * f(1) + 2 * f(2) + … + n * f(n)
の値を O(n) で出力する方法を述べよ。
742:１３２人目の素数さん
22/10/27 20:56:35.09 dVXdGNpU.net
あ、分かりました。
農{d = 1}^{n} d * (floor(n/d) * (floor(n/d) + 1)) / 2
これで Θ(n) で計算できますね。
743:１３２人目の素数さん
22/10/27 21:49:23.36 TYQqpd07.net
>>715
どうしてこれで計算できるのか、誰か教えてください
744:１３２人目の素数さん
22/10/28 01:21:30.81 lv2p8O4G.net
1 * f(1) + 2 * f(2) + … + n * f(n)
= Σ[ m ≦ n ]Σ[ d ≦ n, d | m ] m
= Σ[ d ≦ n ]Σ[ m ≦ n, d | m ] m
= Σ[ d ≦ n ]( d + 2d + 3d + ... + ⌊n/d⌋d )
= Σ[ d ≦ n ] d⌊n/d⌋(⌊n/d⌋+1)/2
745:１３２人目の素数さん
22/10/28 08:04:37.22 7H6AX/lv.net
>>717
ありがとうございます、理解できました
Σ[ m ≦ n ]Σ[ d ≦ m, d | m ] m
= Σ[m ≦ n]Σ[d ≦ m] m * θ(d|m) { θ(expr) := expr ? 1 : 0 }
= Σ[m ≦ n]Σ[d ≦ n ] m * θ(d|m)
= Σ[d ≦ n]Σ[m ≦ n] m * θ(d|m)
=Σ[d ≦ n] { d + 2d + ... + floor(n/d)*d } = ...
746:１３２人目の素数さん
22/10/28 09:47:19.16 Fb3X/X4M.net
以下は、高校の教科書からの引用です。
(1)
次に、 U の中に、2つの事象 A, B がある場合を考えよう。
このとき、次のような事象を考えることが多い。
A, B がともに起こる事象 A ∩ B
A, B の少なくとも一方が起こる事象 A ∪ B
-----------------------------------------------------------
(2)
1枚の硬貨を投げる試行を T_1、1つのサイコロを投げる試行を
T_2 とし、試行 T_1 と試行 T_2 を組み合わせた試行を考える。
この試行において、
硬貨では表が出る事象を A,
サイコロでは 1 または 2 の目が出る事象を B
とするとき、確率 P(A ∩ B) を求めてみよう。
-----------------------------------------------------------
(1)では、全事象 U というのがあって、 A, B はその中の事象です。
(2)では、 T_1 に対応する全事象 U_1 があり、 T_2 に対応する
全事象 U_2 があります。 A は U_1 の中の事象であり、 B は U_2
の中の事象です。それにもかかわらず、「確率 P(A ∩ B) を求めてみよう」
などと平然と書いています。 A ∩ B などというものは考えられないにもかかわらず。
747:１３２人目の素数さん
22/10/28 10:11:13.31 lqOqCRZy.net
このスレを見ていると
3流の国立や私立大の理系への考えが変わったわ。
「3流大でも入学後にちゃんと勉強して単位をとってたら
それなりに出来るようになるんやなぁ」 って。
であるならば、入学試験の6科目の受験勉強、
あれは何だったんだろうな。
過剰な学力の訓練・要求に思えてきた。
だって入学後にちゃんと大学レベルの数学、解析学についていけるやん？
ち、ちなみに謙虚な神戸大卒 TOEIC700です…( ; ‘ω‘) ﾊｧﾊｧ
748:１３２人目の素数さん
22/10/28 10:25:55.37 7H6AX/lv.net
>>719
高校数学は変な縛りがあるんで執筆者も雑なのは分かってて書いてると思います
この場合の全事象 U は積空間の U_1 × U_2 に
事象 A は A × U_2, 事象 B は U_1 × B に読み替えるべきですね
749:１３２人目の素数さん
22/10/28 10:30:44.97 jgM6IsNM.net
>>720
三流大学や四流大学と認定される大学の学生さんが、ちゃんと学べていないのは、
入試ができない人が学ぶことができないというよりもむしろ、
「三流や四流の自分が勉強しても仕方ない」という意識を持つからだろうね
実際、日本の学力テストが素質を測れるという根拠は存在しない
これは日本の人材の損失で、少子化で更に人材が減っていく以上、三流や四流みたいな固定観念を撤廃していかない限り日本が他の国々に差をつけられていくのは必定だと思う
750:１３２人目の素数さん
22/10/28 11:40:23.68 lqOqCRZy.net
>>722
一般入試組が受験オタク、学力厨という事実が
明るみになってきてますし
今はAO入試・指定校推薦が
入学者の半分近くっていう大学も多いですね。
(下手したら、学力の高いはずの人々が
大学の成績でAO・指定校などの学力の低めの人に負けている場合さえある)
751:１３２人目の素数さん
22/10/28 11:57:16.81 FpKcJleB.net
また部外者君か
752:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:02:15.89 FpKcJleB.net
>>723
AOと推薦がどうしようもないのは2流3流大の場合
1流と4流では大して違いない
ていうか４流では入試機能しないからな
753:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:32:54.51 zGG7ayBU.net
>>723
東北大、早稲田大で、AO入学者のほうが成績が良いというデータもあるしね
成績が最もいいのはAO入学者 東北大、早稲田大の内部資料で判明
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
入試のあり方を今一度見直したほうが良いだろうな、
共通一次が1979年に導入されて以降見直しが殆どないのもどうかと思うし
754:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:36:44.59 FpKcJleB.net
>>726
ここでやる話題ではないし
1流大のAOによい学生が集まるのは当然
枠が増えれば低劣になるだろうも当然
755:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:44:56.72 zGG7ayBU.net
>>727
例えば京都大学の学生数が22,785で、
イギリスのオックスフォード
756:大学が11,930 イギリスの人口が6733万人で日本の1/2しかないことを考えると、 オックスフォード大学はかなり京都大学より枠を広げてるわけだけど、 間違いなく質はオックスフォード大学のほうが京都大学より上だよね？
757:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:48:20.49 zGG7ayBU.net
オックスフォード大学は京都大学と同じくらいの枠だな、すまん
とはいえ、同じくらいの枠でオックスフォード大学のほうが京都大学よりずっと上ということは、
やはり京都大学の学生さんに優秀な人が集まっているとは言えないと思う
それはつまり、入試という物差しが優秀さを測ってはいないということだよね
758:１３２人目の素数さん
22/10/29 09:18:23.92 dxAYdFmh.net
K を自然数とする。
M を K の倍数の集合とする。
N を自然数の集合とする。
f : N → N を f(n) が n を10進法で表したときの各桁の和であるような関数とする。
min {f(n) | n ∈ M} を O(K * log(K)) で計算する方法を述べよ。
759:１３２人目の素数さん
22/10/29 09:19:36.57 dxAYdFmh.net
N を自然数の集合とする。
K ∈ N とする。
M ⊂ N を K の倍数の集合とする。
f : N → N を f(n) が n を10進法で表したときの各桁の和であるような関数とする。
min {f(n) | n ∈ M} を O(K * log(K)) で計算する方法を述べよ。
760:１３２人目の素数さん
22/10/29 09:37:37.51 vKZvh9tp.net
g(K) = min {f(n) | n ∈ M} = 1
761:１３２人目の素数さん
22/10/29 10:06:22.86 dxAYdFmh.net
>>732
不正解です。
762:１３２人目の素数さん
22/10/29 10:18:10.55 aLXm9oeN.net
>>732
おっと、そりゃそうだ
確認だけど四則演算はO(1)でいいんやな？
763:１３２人目の素数さん
22/10/29 11:09:16.64 dxAYdFmh.net
>>734
はい。
764:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:33:04.91 FyC0Ec0W.net
まだdebugしてないけど
for(i=0; i<K; i++) A[i] = K;
for(i=0; i<K; i++){
for(f=1; f<10; f++){
A[ (10^i * f)%K ]
= min ( A[ (10^i * f)%K ], f );
}
}
m = 0;
while(A[0]>m){
i = 0;
for(j=0; j<K; j++){
if( A[j]>m && A[j]<A[i] ) i=j;
}
m=A[i];
for(f = 1; f<10; f++){
for(j=0; j<K; j++]{
A[ ( i+10^j * f)%K ]
= min(A[( i + 10^j * f )%K], A[ i ]+f );
}
}
}
765:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:42:21.55 dxAYdFmh.net
>>736
書きませんでしたが、
>>731
は、以下の問題です。
atcoder.jp/contests/math-and-algorithm/tasks/arc084_b
766:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:43:03.30 dxAYdFmh.net
いままで見た競技プログラミングの問題の中でも、いい問題だと思いました。
767:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:49:33.11 dxAYdFmh.net
>>736
コードの内容は見ていませんが、最終的に答えは A のどの要素に入っているんですか？
768:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:51:14.90 FyC0Ec0W.net
>>739
A[0]
769:１３２人目の素数さん
22/10/29 18:07:44.42 dxAYdFmh.net
ideone.com/GSFtad
間違っているようです。
770:１３２人目の素数さん
22/10/29 18:11:45.06 mKrwvqce.net
プログラミングの人居着いちゃったけど
出来たら別スレでやってくれないかな
771:１３２人目の素数さん
22/10/29 18:55:32.41 FyC0Ec0W.net
せやね
プログラミングスレの方がいいかもね
772:１３２人目の素数さん
22/10/29 19:12:08.74 FyC0Ec0W.net
書いてきた
ｽﾚﾘﾝｸ(tech板:845番)
プログラミングのお題スレ Part20
773:１３２人目の素数さん
22/10/30 02:36:16.07 jzYKBiql.net
そもそもコレ本当にO(Klog(K))でできるん？
グラフのサイズV = K, E = K²だよな？
探索アルゴリズムこのサイズのグラフでKlog(K)のやつはグクっても見つからないんだけど
774:１３２人目の素数さん
22/10/30 04:55:48.16 7xF2sv+k.net
どのようなグラフを考えているのか知りませんが、
#E = 10 * K
のグラフを考えるのが普通ではないでしょうか？
775:１３２人目の素数さん
22/10/30 09:56:14.75 y/CG6F55.net
>>748
イヤ、普通に
V = {0,1,2,3,4,...}
E = {(p,q,f) ∈ V×V | f∈{1,2,..,9 }, ∃e∈ℤ, p-q ≡ f×10ᵉ ( mod K ) }
w((p,q,f)) = f
で1～9の重�
776:ﾝ付き有向グラフの単経路問題 コレが1番普通だと思うけど これだとちょっと必然的に♯E = O(K²)になるよ
777:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:08:37.85 AezHc4Ib.net
最近、スレのレベルが落ちてるんちゃうかな？
778:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:14:02.25 e4jmSuJH.net
ウィキペディアに、累次積分(逐次積分)と多重積分が違うものだと書かれているのですが、本当ですか？
> 逐次積分の概念を考えるに当たり一つ重要な点としては、これは多重積分とは原則として異なる概念であるということが挙げられる。すなわち、一般にはこの二つは異なるのであるけれども、それでも十分緩やかな条件下でこれらが一致することを主張するフビニの定理が知られている。
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
何が違いますか？
779:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:17:10.47 y/CG6F55.net
>>749
何が違うも何も明らかに定義違うやん
両方の定義書いてみればいい
780:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:26:31.96 y/CG6F55.net
>>746
そもそもホントにO(Klog(K))のプログラム作って実証実験した？
どっかのフリーideにうpしてよ
781:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:29:00.44 7xF2sv+k.net
>>747,751
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap4-5/chap4-5.pdf
問題5.4.8の解答を見てください。
782:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:30:05.71 7xF2sv+k.net
訂正します：
>>747,751
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap4-5/chap4-5.pdf
問題4.5.8の解答を見てください。
783:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:31:32.58 7xF2sv+k.net
#E = 10 * K - 1
ダイクストラのアルゴリズムを使います。
784:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:36:47.46 7xF2sv+k.net
ダイクストラのアルゴリズムは、priority queueを使うバージョンです。
785:１３２人目の素数さん
22/10/30 11:30:00.48 pXesArml.net
14x715=10010.
786:１３２人目の素数さん
22/10/30 11:39:48.34 j/LQV7BO.net
高校数学スレの次はここを糞スレにするつもりか
787:１３２人目の素数さん
22/10/30 11:56:21.17 NTLeY4Kt.net
>>750
定義は同じだと思いますけど
積分記号が重なってるという風に存在論的に見るか、逐次という風に操作的に見るかという捉え方の違いなだけで
788:１３２人目の素数さん
22/10/30 12:02:45.26 TFu5GMWG.net
>>758
いや全然違いますけどね
重積分可能でも逐次積分できないものもありますよ
789:１３２人目の素数さん
22/10/30 12:42:23.39 4zjSqvRJ.net
>>754
イヤ、解答ざっと見る限り♯E=O(K²)なんだけど？
♯Eはある一点から出てる辺の本数じゃないよ？
グラフ全体の辺の本数だよ？
そしてダイクストラアルゴリズムの計算量でO(√♯E)ですむアルゴリズムなんかないやろ？
790:１３２人目の素数さん
22/10/30 12:43:54.16 4zjSqvRJ.net
>>758
じゃあ同じと思っとけばいいよ
教科書に書いてある話全部信用しなくてもいい
791:１３２人目の素数さん
22/10/30 12:59:21.82 7xF2sv+k.net
各点から多くとも 10 本の辺が出ています。
そして、点の数は K です。
792:１３２人目の素数さん
22/10/30 13:03:34.07 LJk7NKkj.net
>>762
なんでやねん？
例えば同じ3をついかするのでも
302,3002,3002,....
は全部mod Kの類は違うやん？
もし逆に「そこは0を使えばいい」だと今度は0が何個使った何桁のKの倍数がゴールか決まらないから単経路問題にならない
793:１３２人目の素数さん
22/10/30 13:15:41.54 zpQpukVT.net
例えばK=7の場合、頂点は0₁,0₂,1,2,3,4,5,6にして
1を追加する重さ1の辺は
0ᵢ→1,0ᵢ→3,0ᵢ→2 (それぞれ1×10³ᵐ、10×10³ᵐ、100×10³ᵐを追加する事に対応)
の3本を追加しないといけない
コレで頂点数が8、辺が24
794:本のグラフになり、この場合0₀から0₁への単経路問題になる 辺の数を10本のグラフにすると 2桁の場合の解、3桁の場合の解、4桁の場合の解、‥の各々はO(Klog(K))でもとまるけどあらかじめ何桁の解が最小なんて導出しとくとか無理やろ
795:１３２人目の素数さん
22/10/30 13:31:52.56 LSUqtQrg.net
おっと間違った
0ᵢ→1,0ᵢ→3,0ᵢ→2 ,0ᵢ→6,0ᵢ→4,0ᵢ→5
の6本
重さが1～6の辺が各頂点から出てるから辺の数は48本ね
ちなみにK=7の場合4桁の1001が最小でg(7)=2
あらかじめ4桁である事がわかっていればいいけどそうでなければより小さくなる可能性が残っている限りずっと探索を続けることになる
2が最小値の場合10のℤ/Kℤ*の位数のときの桁数になるけどそれはO(K)の大きさなのでそこまで探索を打ちきれない
796:１３２人目の素数さん
22/10/30 13:50:28.19 xc3srulk.net
ここまで相違点ゼロ
797:１３２人目の素数さん
22/10/30 14:28:45.75 A2wkNOX4.net
0～x の範囲における t^(2n+2）/1-t^2 をtで積分出来る方いますか？
tは+1、-1とは異なる実数。nは0以上の整数。
-1<x<1を満たす実数xとします。
798:１３２人目の素数さん
22/10/30 14:40:55.42 B+/I78Ek.net
はい、います
799:１３２人目の素数さん
22/10/30 16:04:38.18 P5Rx2O31.net
はい終わり
次の方どうぞ
800:１３２人目の素数さん
22/10/30 17:00:02.00 jc+BtoLV.net
>>767
商と余りに分けて
あまりの分は部分分数に分けて
801:１３２人目の素数さん
22/10/30 17:01:56.13 jc+BtoLV.net
>>758
それを定義が違うというのでは？
802:１３２人目の素数さん
22/10/30 18:40:16.11 /BpMF6dC.net
>>749
そのリンク先に積分順序を変えたら逐次積分の値が変わる例が書いてあるじゃないか。
何がわからないのかわからない
803:１３２人目の素数さん
22/10/31 12:15:14.42 o9f6zkDT.net
wikiのRudinの例面白いな
x止めるごとにyの関数として連続で可積分
、y止めるごとにxの関数として連続で可積分
さらに逐次積分も可能で結果は1と0
議論は全部般教の数学レベルでルベーグ積分もクソもないレベル
なんなら受験で出せるレベルかも
804:１３２人目の素数さん
22/10/31 19:03:35.25 UHpvprLi.net
(1) ∃N s.t. ∀n > Nに対してa_n<α+ε
(2) 無数の番号nに対してα-ε<a_n
(1),(2)が成り立てば、αは{a_n}の上極限であることを証明せよ。
以下の解答は間違っていませんか？
正のεを任意にとる。(1)より、∃N s.t. ∀n > Nに対してa_n<α+εが成り立つ。
n≧N+1⇒a_n<α+εが成り立つ。
∴sup{a_{N+1}, a_{N+2},…}≦α+ε
i≧N+1ならば、sup{a_i, a_{i+1},…}≦sup{a_{N+1}, a_{N+2},…}≦α+ε
iを任意にとる。もしも、sup{a_i, a_{i+1},…}≦α-εが成り立てば、(2)が成り立たない。
∴α-ε<sup{a_i, a_{i+1},…}
以上より、i≧N+1ならば、α-ε<sup{a_i, a_{i+1},…}≦α+ε
∴lim sup{a_i, a_{i+1},…} = α
805:１３２人目の素数さん
22/10/31 20:27:35.34 +9+7HneH.net
数学に興味のない生徒に興味を持たせるにはどうしたらいいでしょうか？(小中高校どれでも)
806:１３２人目の素数さん
22/10/31 21:58:02.83 q3kygPIa.net
あってる
807:１３２人目の素数さん
22/10/31 23:24:23.46 4RG1a6c9.net
持たせる必要あるの？
808:１３２人目の素数さん
22/11/01 00:00:34.53 +YOySSSN.net
>>777
個人的にはないと思う。
仮に待たせるとしたら、どうしたら良いでしょうか。
洗脳すればいいのでしょうか？
809:１３２人目の素数さん
22/11/01 01:46:45.75 fcsGB1cS.net
世界数学家庭連合なんて作るな｡
碌に漢字も読めず、一次方程式が出来ないなんてもんじゃない、分数の割り算どころか
それ以前の割り算からして出来ない様な、根源的不向きな人間が居るんだよ｡
あれで武家と公家のハイブリッ
810:ドかつ血筋選民家系で混血無し伝統維持だってんで、辛い人生を送ったみたいだぜ｡ 突然変異って言葉を忘れたか？いや知らない世代も居るかもな。今、突然変異なんて聞かねぇもんな｡
811:１３２人目の素数さん
22/11/01 09:06:01.01 Sm8rqVTS.net
>>776
ありがとうございました。
812:１３２人目の素数さん
22/11/01 13:14:37.03 +MIaZ4bB.net
重積分=∫が2つとか3つとかついてる=逐次積分
じゃないの？
813:１３２人目の素数さん
22/11/01 13:50:12.95 XKWHhsj+.net
わからないんですね
814:１３２人目の素数さん
22/11/03 18:01:01.61 8OwRRGSp.net
高校数学の教科書に以下の記述があります：
根元事象がすべて同様に確からしいような試行において、
全事象 U に属する根元事象の個数を n(U)
事象 A に属する根元事象の個数を n(A)
とするとき、 n(A)/n(U) を事象 A の確率といい、 P(A) で表す。
その後、例題の中に以下の記述があります：
A, Bで作った製品が不良品である確率は、それぞれ、 0.02, 0.01 である。
この場合の同様に確からしい根元事象とは一体何でしょうか？
その後、表と裏の凹凸のようすがかなりちがっているボタンを何回も投げたときに表の出た
相対度数がほぼ 0.52 になるから表の出る確率の近似値は 0.52 であるという記述があります。
この試行の同様に確からしい根元事象は一体なんでしょうか？
その後、
「これまで、同様に確からしい根元事象にもとづいて確率を具体的に計算した。
しかし、実際の現象では、その事象の確率を場合の数によって計算できないことが多い。」
などという記述があらわれます。
確率を
「
根元事象がすべて同様に確からしいような試行において、
全事象 U に属する根元事象の個数を n(U)
事象 A に属する根元事象の個数を n(A)
とするとき、 n(A)/n(U) を事象 A の確率といい、 P(A) で表す。
」
と定義しておきながら、事象の確率を場合の数によって計算できないことが多いなどと書いています。
それでは、確率とは何なのかという話になります。
ひどすぎますよね？
815:１３２人目の素数さん
22/11/03 18:18:02.14 8OwRRGSp.net
数学とは論理的な学問ではないのでしょうか？
こんな教科書が検定済みというのが信じられません。
816:１３２人目の素数さん
22/11/03 18:51:25.51 W8+pts07.net
確率を本当に厳密に定義したいなら測度論が必要になりますからね
高校生には理解できないので、古典的な確率の話が乗っているのです
現代ではもっと洗練された定義があります
817:１３２人目の素数さん
22/11/04 10:42:25.02 t/r8XJTm.net
>>781
逐次積分≠重積分
ってのは
全ての変数について(偏)連続≠多変数の(同時)連続
全ての変数について偏微分可能≠全微分可能
ってのと似たような意味で全然違う概念を指してるってことだよ
818:１３２人目の素数さん
22/11/06 10:10:03.58 5beEPlYr.net
I を区間とする。
f を I ∩ Q で定義された関数とし、以下の条件を満たすとする：
任意の正の実数を ε としたとき、 x, y ∈ I ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε を満たすような正の実数 δ が存在する。
(1) x ∈ I とする。 {x_n} を x_n ∈ I ∩ Q であり、 x_n → x であるような数列とする。
このとき、 {f(x_n)} は収束することを示せ。
(2) {f(x_n)} の収束値は、数列 {x_n} の選択には依存しないことを示せ。
{f(x_n)} の収束値を f^{*}(x) とする。f^{*}(x) = f(x) for x ∈ I ∩ Q だから f^{*} は f の拡張になっている。
(3) f^{*} は I 上で一様連続であることを示せ。
819:１３２人目の素数さん
22/11/06 19:16:58.69 5beEPlYr.net
0 < a とする。
有理数 x に対して、 a^x の定義やその基本的な性質については知っていると仮定する。
f : Q → R を f(x) = a^x で定義する。
(1) x, y を x < y であるような有理数とする。
1 < a ⇒ a^x < a^y
0 < a < 1 ⇒ a^y < a^x
がそれぞれ成り立つことを証明せよ。
(2) 任意の正の実数 ε に対して、 |a^x - 1| < ε が 0 に十分近いすべての有理数 x に対して成り立つことを証明せよ。
(3) 等式 a^x - a^y = a^y * (a^{x - y} - 1) を利用して、 I を任意の閉区間上とするとき、以下が成り立つことを証明せよ：
任意の正の実数を ε としたとき、 x, y ∈ I ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε を満たすような正の実数 δ が存在する。
(4) f に対して、 >>787 の f^{*} を考える。 f^{*} は 1 < a であるとき、単調増加関数であり、 0 < a < 1 であるとき、単調減少関数であることを証明せよ。さらに、 f^{*}(x + y) = f^{*}(x) * f^{*}(y) が成り立つことを証明せよ。
820:１３２人目の素数さん
22/11/06 20:28:11.31 aAZny+py.net
(1)基本的な性質より
(2)基本的な性質より
(3)基本的な性質より
(4)基本的な性質より
821:１３２人目の素数さん
22/11/07 07:48:05.32 /JWvkJfq.net
笠原さんの『微分積分学』のロピタルの定理のステートメントの記述ですが、
まずいところがありますね。
f(x)/g(x) の g(x) が 0 にならないと仮定していますが、これだと g'(x) が 0 になってしまう可能性があります。
そうではなく、 g'(x) が 0 にならないという仮定をすべきです。
そうすれば、自動的に g(x) は 0 になりません。
822:１３２人目の素数さん
22/11/07 07:49:47.16 /O7D42WP.net
>>790
>> g'(x) が 0 にならないという仮定をすべきです。
>>そうすれば、自動的に g(x) は 0 になりません。
なぜですか？
823:１３２人目の素数さん
22/11/07 07:58:43.85 /JWvkJfq.net
g(x) は、 x → x_0+ のとき無限小であるから、 g(x_0) := 0 と定義すると、
g(x) は、 x = x_0 で連続になる。
平均値の定理により、 g(x) は 0 にならないことが分かる。
824:１３２人目の素数さん
22/11/07 08:04:00.25 /JWvkJfq.net
笠原さんの本ですが、コーシーの平均値の定理のステートメントにおける仮定も同様に妙なものになっています。
825:１３２人目の素数さん
22/11/07 08:06:46.09 /O7D42WP.net
>>792
>>g(x) は、 x → x_0+ のとき無限小であるから、 g(x_0) := 0 と定義すると、
>>g(x) は、 x = x_0 で連続になる。
>>平均値の定理により、 g(x) は 0 にならないことが分かる。
「g(x) は 0 にならない」は「g(x_0) := 0 」と両立しないように思いますが
違いますか？
826:１３２人目の素数さん
22/11/07 08:07:51.10 /O7D42WP.net
>>793
仮定が誤っている個所を明示していただけますか？
827:１３２人目の素数さん
22/11/07 08:38:51.75 /JWvkJfq.net
x_0 の右近傍 (x_0, b) で g(x) が 0 でなくても、 g'(x) が x_0 の任意の右近傍 (x_0, b') で
0 になることがあります。
828:１３２人目の素数さん
22/11/07 08:39:18.78 8yAwXDdq.net
>>789
まさにそれだけど
学部生にやらせるには
なかなか良さげな
829:１３２人目の素数さん
22/11/07 09:55:59.69 NgHOXSSh.net
”ロピタルの定理”と名付けられた定理の紹介する状況なら勝手にステートメントは変えられない
それが明らかに同値とわかる場合なら変えても許されるが(十分極限値に近いxにおいては)g(x)≠0とg'(x)=0が同値となる事が自明、容易という状況ではないから変えられない
830:１３２人目の素数さん
22/11/07 12:16:44.16 KiVjt9l5.net
そのこころは？
lestroarmonico@mathraphsody
数学ほど恐ろしく役に立つものはない．
役に立つとき，それは時として真に恐ろしいものになりうる．それはすでにアーノルドが指摘した．
「すべての数学は流体力学と弾道計算と暗号理論に要約される」
831:１３２人目の素数さん
22/11/07 13:36:07.54 /JWvkJfq.net
数学のまともな演習書がないのはなぜでしょうか？
微分積分に限っても、よい演習書がないように思います。
832:１３２人目の素数さん
22/11/07 13:43:25.99 /JWvkJfq.net
杉浦光夫他著『解析演習』
塹江誠夫他著『詳説演習微分積分学』
三村征雄他著『大学演習微分積分学』
福田他著『詳解微積分演習 I, II』
小寺平治著『明解演習微分積分』
を持っていますが、これはいいと言える演習はこの中にはありません。
833:１３２人目の素数さん
22/11/07 13:44:34.49 Hy7THX4N.net
>>800
演習書で勉強できると思ってる能無しを淘汰するためwww
834:１３２人目の素数さん
22/11/07 17:03:14.99 xq0QdQh
835:G.net
836:１３２人目の素数さん
22/11/07 19:52:19.75 8yAwXDdq.net
>>803
例を考えるのが面倒だからだよ
それでも位相空間論とか集合論とかには
途轍もない例がいろいろ載ってて捗る本
837:１３２人目の素数さん
22/11/08 05:21:53.64 Mb93uGhw.net
結局は売れるかどうか
838:１３２人目の素数さん
22/11/08 08:04:11.04 JDTPyi11.net
>>803
学部受験感覚で
学習参考書やドリル学習に頼り続けて
思考停止に陥って自分で考えて勉強することをサボってるようなのが
研究ができるとは誰も考えてはいない。
839:１３２人目の素数さん
22/11/08 08:51:11.56 Zzk2por/.net
>>800
>数学のまともな演習書がないのはなぜ
まともな演習書というのは人により違うのではないかな
沢山の問題載ってるっていう意味なら
マグロウヒル大学演習シリーズとか？
840:１３２人目の素数さん
22/11/08 08:51:34.20 OVS4KMY4.net
なんで試験問題は正規分布にしたがうように作るの？
GPの割り振りを考えると合格点以上で一様分布になるのが理想に思える
841:１３２人目の素数さん
22/11/08 09:31:44.63 V6Z+4Dcd.net
元々は中学教師だった桑田昭三が、受け持った生徒が勘で志望校の変更を決められてしまったことを憂いて、
科学的に判定できないのかと考えた末に、あらゆるデータは正規分布に従うというケトレーの法則(中心極限定理が出たあとに影響を受けて主張された法則だが、もちろん現在では間違っている)を使い、
学力分布は正規分布とみなせるはずだ、と仮定して偏差値によって志望校の判定を行った
それが噂として広まり、70年代前半に全国に広まった
仮に正規分布になるように問題を作ってるとして、本末転倒だしそんなことが可能かも疑わしいが、いずれにしても正規分布に従う必要性は皆無
ただ歴史的にそうなったものを思考停止で使ってるだけ
桑田昭三本人も、偏差値は教育の全てではない、選抜資料として使っているのは同じ国の人間として恥ずかしく思うとまで嘆いてる
842:１３２人目の素数さん
22/11/08 09:33:39.22 Zzk2por/.net
>>808
>正規分布にしたがうように作る
そんなことしてるかというか
中心極限定理で自然と正規分布になるよ
>合格点以上で一様分布になるのが理想
理想である理由が飲み込めないが
少なくともそういう異様な分布に
するのはかなり無理そうだ
843:１３２人目の素数さん
22/11/08 09:42:22.09 V6Z+4Dcd.net
>>810
中心極限定理によって、標本平均と母平均の誤差が正規分布になることは言えるが、
標本分布そのものが正規分布になる根拠はない
844:１３２人目の素数さん
22/11/08 09:43:04.54 8O/8anYl.net
>>808
選抜試験なので合格者の平均が50点くらいで分散がなるべく大きくなるように作る
なるべく受験生の実力を正確に判定するには分散がなるべく大きくなるように作るのが理想、平均がどちらかによると分散も落ちる
845:１３２人目の素数さん
22/11/08 09:46:24.50 V6Z+4Dcd.net
>>812
平均も分散も任意の確率分布で定義できるので、
その説明は正規分布関係ない
846:１３２人目の素数さん
22/11/08 10:02:36.41 c2GFqi41.net
>>813
そう、正規分布になるよう作ってるわけではない
そもそも最大値、最小値あ
847:るんだから正規分布になんぞなりようがない なるべく合格者の最低が50店くらい、最小値0,最大値100分散がなるべく大きいというふうに作る その意味での理想は0～100まで一様分布になることだけどもちろん問題の難易度レベル設定だけではそうなるハズもなく、結果合格者最低が中央値にくる部分だけ取り出すと50点が平均の二項分布になるように作る それが受験生が多いと正規分布と見た目に似るというだけ
848:１３２人目の素数さん
22/11/08 10:21:00.42 Zzk2por/.net
>>811
>中心極限定理によって、標本平均と母平均の誤差が正規分布になることは言える
誤認してるね
849:１３２人目の素数さん
22/11/08 10:31:07.85 c2GFqi41.net
ちょっと>>814は変だな
例えば倍率が5倍の入試なら上位1/5が50点～100点、下位4/5が0点～50点が理想、さらに分散が大きければ大きいほど良い
結果分布はある程度は正規分布の曲線に似るという話、正規分布を目指すわけではない
850:１３２人目の素数さん
22/11/09 00:43:55.67 WmCuMeoy.net
>>804
良い問題を作るのにも
才能がいるもんなぁ。
たぶん、人に説明したり設問する能力が低い著者が多いんだろうな。
>>806
演習問題は別に悪くねぇだろ。
演習問題の繰り返しは高度なパターン認識が身につく、
解く事で身についたり、理解するっていうタイプの人の助けになる。
それと思考停止ってwワロタwww
そんな日本語存在しないだろ？
どういう意味ですか？辞書に載ってないんですけど。
英語でなんていうか、わかる？
851:１３２人目の素数さん
22/11/09 03:12:50.48 eBY3TMUx.net
>>817
そこで自分で考えないからダメなんだよ
脊髄反射で口論ぐらいのレベルの発想な時点でダメッダメ。
ちょっとは自分で考えろ。
852:１３２人目の素数さん
22/11/09 07:00:03.00 B/DJYwwY.net
>>817
思考停止とは、物事を考えることや、判断することをやめてしまう状態をあらわす言葉です。思考停止は無意識のうちに起こっている場合もあります。
思考停止に陥ってしまう原因は、多くの場合過度のストレスが原因です。
853:１３２人目の素数さん
22/11/09 07:05:57.89 WmCuMeoy.net
>>819
はい、嘘。
じゃあ、なぜ辞書に載っていないのだ？
英語だと何ていうの？
定義もなく雰囲気で誰かが作った造語でしょ？
くだらん。
854:１３２人目の素数さん
22/11/09 07:14:12.87 B/DJYwwY.net
最後は、「思考停止」という言葉の由来や成り立ちについてご紹介していきますよ。「思考停止」はネットスラングなどでもなく、考えることの「思考」とやめることの「停止」を合わせたシンプルな成り立ちとなっています。「思考停止」という言葉以外にも、「フリーズ」や「頭が真っ白になる」「なげやりになる」などの言葉で表すことができますよ。
freezeを思考停止すると訳している場合も多そうだ
855:１３２人目の素数さん
22/11/09 07:36:28.11 fqJAz+yW.net
2つのべき級数の合成がまたべき級数になるということが書いてある微分積分の本が少ないのは
なぜでしょうか？
笠原さんの本には書いてありました。
856:１３２人目の素数さん
22/11/09 07:39:04.27 fqJAz+yW.net
三村征雄他著『大学演習微分積分学』には、べき級数の逆数がべき級数になるということの
証明が書いてありました。
2つのべき級数の合成がまたべき級数になることは同様に証明できると書いてあります。
確かにそうなんですが、合成のほうを証明しておけば、逆数のほうはその系として自動的
に証明できます。ですので、合成のほうの証明を書くべきだったと思います。
857:１３２人目の素数さん
22/11/09 07:49:24.65 stGMZ2S2.net
>>817
>たぶん、人に説明したり設問する能力が低い著者が多いんだろうな。
説明はするが理解はそちらの責任
設問は面倒だから細々したことが好きな人にお任せ
て人がほとんどだと思うが
858:１３２人目の素数さん
22/11/09 08:09:37.03 J+CVlm+7.net
>wワロタwww
そんな日本語存在しないだろ？
どういう意味ですか？辞書に載ってないんですけど。
859:１３２人目の素数さん
22/11/09 08:21:42.64 stGMZ2S2.net
>>822
>2つのべき級数の合成がまたべき級数になる
|x-a|<rで�
860:羡ｩするべき級数y=f(x)を |y-b|<sで収束するべき級数z=g(y)に |f(a)-b|<sの場合に合成しz=g(f(x))？ 無限の項のべき乗の展開はその場で足さずに それを無限に足したときに次数毎にまとめて足す？ g(f(c))の値を計算するときはf(c)をf(x)の各項にx=cを代入して足したあとにg(y)の各項にy=f(c)を代入するとなると 足す順序がg(f(x))で次数毎にまとめて足してx=cを代入するのと変わるからなんか面倒くさいなあ 収束考えない形式的な話ならいいだろうけど
861:１３２人目の素数さん
22/11/09 08:24:31.72 stGMZ2S2.net
>>823
>逆数のほうはその系として
1/f(x)をz=1/yとy=f(x)の合成とするのだろうけど
この場合1/yはどこで展開してもいいのかな
それともy=b=f(a)で展開するのに限定？
862:１３２人目の素数さん
22/11/09 08:24:35.51 fqJAz+yW.net
(1 + x)^{1/x} = e - (e/2) * x + e * (11/24) * x^2 - e * (7/16) * x^3 + e * (2447/5760) * x^4 ± …
ということを証明したりできて非常に重要だと思います。
863:１３２人目の素数さん
22/11/09 09:20:59.69 rSjEr+UE.net
証明自体は
その点の近傍で解析的⇔その点の近傍で正則
を使う方が楽だからそんなに意味はない
864:１３２人目の素数さん
22/11/09 10:12:36.90 fqJAz+yW.net
笠原さんの本のpp.146-147の命題4.24の証明ですが、2重級数についてのこの本では証明されていない
命題を使っています。
それは、正項2重級数 a_{i,j} が収束するとき、 a_{i,j} = 農{i} 農{j} a_{i,j} = 農{j} 農{i} a_{i,j}
が成り立つという命題です。
865:１３２人目の素数さん
22/11/09 10:19:33.42 fqJAz+yW.net
訂正します：
>>830
それは、
a_{i,j} ≧ 0 とするとき、
。
農{i} 農{j} a_{i,j}, 農{j} 農{i} a_{i,j} の一方が収束するとき、他方も収束し、
農{i} 農{j} a_{i,j} = 農{i} 農{j} a_{i,j}
であるという命題です。
866:１３２人目の素数さん
22/11/09 20:18:56.64 8cjaUrTa.net
>>810
それ中心極限定理じゃないよ
得点の分布そのものの話であって標本平均の分布の話ではない
得点の分布が正規分布に似た形になることが多いのは
極端に劣る者や優れる者は少ないという当たり前のことが反映されただけでしょ
867:１３２人目の素数さん
22/11/09 21:09:04.15 l+ohbC7p.net
多変数関数f:Rm→Rnの微分(フレシェ微分？)ってDfと書くのが標準ですか？f’とも書きますか？
868:１３２人目の素数さん
22/11/10 10:47:31.63 c1Ki+l2Q.net
あげ
869:１３２人目の素数さん
22/11/10 13:48:24.62 1gcbxk+I.net
笠原晧司著『微分積分学』
定理に登場する関数についての必要な条件（連続であるなど）が書いてないことがありますね。
こういういい加減なところが嫌ですね。
870:１３２人目の素数さん
22/11/10 13:50:17.98 1gcbxk+I.net
『対話・微分積分学』を読むと注意深い人なのかなと思ってしまいますが、そうではないですよね。
871:１３２人目の素数さん
22/11/10 14:16:49.55 6KZhqe4Z.net
はぁそうですかって言われそう
872:１３２人目の素数さん
22/11/10 18:20:05.78 Jqt7fTZg.net
あげ
873:１３２人目の素数さん
22/11/10 18:47:48.41 Jzi64XVF.net
その本は出来損ないだ
捨ててしまえ
874:１３２人目の素数さん
22/11/10 19:08:02.84 4RS2XXwZ.net
時間の速さは毎秒何秒ですか？
秒は普遍ですか？
なんでそうなのですか？
光の速度はなんで３×１０＾８〔ｍ/sec〕なんですか？
875:１３２人目の素数さん
22/11/10 19:12:56.33 1uZTZuo8.net
測ったらそうなっていた
876:１３２人目の素数さん
22/11/10 19:30:38.93 HqjBZ+pd.net
多変数関数f:Rm→Rnの微分(フレシェ微分？)ってDfと書くのが標準ですか？f’とも書きますか？
877:１３２人目の素数さん
22/11/10 19:34:48.04 2zKzkeFn.net
フレシェ微分はFréchet derivativeと書きますね
878:１３２人目の素数さん
22/11/10 19:35:24.75 HqjBZ+pd.net
>>843
え？なんだって？
879:１３２人目の素数さん
22/11/11 11:38:40.82 QXXk3U5V.net
笠原さんの本に、
f(x) = (1 + x)^{1/x} の x → +∞ のときの漸近展開。
log f(x) = (1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)
f(x) = 1 + [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)] + (1/2) * [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)]^2 + o(1/x^2)
と書かれているのですが、
f(x) = 1 + [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)] + (1/2) * [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)]^2 + o(1/x^2)
の最後の項�
880:ｪ o(1/x^2) になるのはなぜですか？
881:１３２人目の素数さん
22/11/11 11:42:12.34 ywXBgazh.net
知らん
882:１３２人目の素数さん
22/11/11 12:47:45.34 wlJLI17w.net
プライムで微分を表すのは一変数だと思ってる時だけだろ？
883:１３２人目の素数さん
22/11/11 14:42:24.88 a7T2BLnZ.net
>>847
なんで1変数とn変数で記号が違うんですか？
884:１３２人目の素数さん
22/11/11 15:12:35.14 kFcBiWah.net
階乗の一般化って複素数の範囲に限ってもガンマ関数以外にも作れそうだけども他にどんなのがあるの？
それとも一意になるならその証明が知りたい
885:１３２人目の素数さん
22/11/11 17:25:42.96 UXjCDpw9.net
>>849
ボーア・モーレルップの定理
886:１３２人目の素数さん
22/11/11 18:21:17.83 DoYfqzDg.net
>>848
多変数だとどの変数で微分したかが重要だからです
887:１３２人目の素数さん
22/11/11 20:23:38.09 PZiuVD7P.net
>>851
？
どの変数でとかじゃなくて単に「fの微分」ですが
888:１３２人目の素数さん
22/11/11 20:28:20.05 8aLca1ki.net
わからないんですね
889:１３２人目の素数さん
22/11/11 20:34:39.46 c39reFRG.net
劣等感婆参上
890:１３２人目の素数さん
22/11/11 22:46:04.27 ywXBgazh.net
Hadamard's gamma function
891:１３２人目の素数さん
22/11/12 00:56:11.89 iKYodEi8.net
微分がdfの意味ならf'は使わない
892:１３２人目の素数さん
22/11/12 08:50:17.08 ehr11irC.net
>>848
1変数xについての関数ならば
記入しなくてもその微分操作は 「xについて微分すること」 と
文脈で解る。いっぽう、多変数だと…どれについてかが分からんだろ。
ドラクエで敵が1種類か2種類以上かの違いだ。
・1種類なら 「こうげき」 を選んで君のコマンドはそれで終わりだ。
・2種類以上なら、 「こうげき」 を選んで
次に 「スライムかオオアリクイか」を選ぶ。
もしも、後者で 「こうげき」 で手を止めたらコマンド入力のまま、先に進まねぇ。
なぜなら、コマンド、君の操作が意味を為していないから。
893:１３２人目の素数さん
22/11/12 08:51:43.79 zSON5trv.net
>>855
歴史の本で見たことがある
894:１３２人目の素数さん
22/11/12 09:02:05.58 HArWnKKe.net
日本語の微分積分の本を何冊か見てみました。
例えば、
e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + o(x^n)
と書いてある本ばかりです。
ですが、以下も成り立ちます。
e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + O(x^{n+1})
f = O(x^{n+1}) ⇒ f = o(x^n)
が成り立つので、
e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + O(x^{n+1})
のほうが情報量が多いです。
これはなぜなのでしょうか？
895:１３２人目の素数さん
22/11/12 10:21:47.55 c2EVxIbL.net
著者の趣味
896:１３２人目の素数さん
22/11/12 10:35:30.27 LtgoxlaZ.net
e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + (1/(n+1)!)*x^(n+1) + o(x^{n+1})
のほうが情報量が多いです。
897:１３２人目の素数さん
22/11/12 11:03:24.44 c2EVxIbL.net
そんな事誰でもわかるという事実がいつまでもいつまでも理解できない無能
898:１３２人目の素数さん
22/11/12 11:07:42.79 ehr11irC.net
>>857
高校生レベルの丁寧な解説なのに
誰も褒め称えてくれない…
承認欲求が満たされない…鬱だ死のう…( '‘ω‘)
899:１３２人目の素数さん
22/11/12 11:43:22.81 kXEoQ1Dr.net
>>863
fが写像ならdfは一変数でも多変数でも使うのに
fが関数の時にはf'はなぜ一変数の時しか使わないのか
ここまで踏み込んで説明しなかったからかもしれない
900:１３２人目の素数さん
22/11/12 11:46:23.28 fjCpmB1X.net
>>857
もう死んだかな？
偏微分じゃないからどの変数とかいう概念がないんだけど
901:１３２人目の素数さん
22/11/12 11:54:36.34 0it9VBFW.net
1変数の時は’とかd/dx
偏微分の時は∂/∂xi
全微分の時はdf
普通の関数の時こうなってるんですからフレシェ微分という全微分に対応するものには’は使わないのです
902:１３２人目の素数さん
22/11/12 12:16:38.3
903:7 ID:owcmt/n0.net
904:１３２人目の素数さん
22/11/12 13:13:40.29 47O69Kl1.net
1変数とn変数で同じ記号使っちゃだめなの？
905:１３２人目の素数さん
22/11/12 13:20:56.18 0it9VBFW.net
f(x,y)があって、y=g(x)としたときに
df/dx=∂f/∂x+∂f/∂y*dy/dx
と書けるわけですけど、df/dxと∂f/∂x区別しないと訳わからないことになりますよね
906:１３２人目の素数さん
22/11/12 13:23:59.81 oal+64Ya.net
>>869
そういう質問じゃあないと思うよ
907:１３２人目の素数さん
22/11/12 13:47:30.09 0it9VBFW.net
わからないんですね
908:１３２人目の素数さん
22/11/12 14:20:45.92 psppLueC.net
>>869
>>df/dxと∂f/∂x区別しないと訳わからないことになりますよね
もしかしてこれを否定されたと思った？
このこと自体は正しい。
909:１３２人目の素数さん
22/11/12 14:27:02.25 0it9VBFW.net
わからないんですね
910:１３２人目の素数さん
22/11/12 14:33:39.84 OsiIECCH.net
>>869
本筋とあんま関係ないけどこの書き方って分かりにくいよな
左辺のfが正確には一変数関数f(x,g(x))を表してるのに対して右辺の∂f/∂xや∂f/∂yのfは二変数関数を表してるから両辺でfの意味が違う
911:１３２人目の素数さん
22/11/12 14:38:19.20 HArWnKKe.net
>>861
e^x は例として出しただけです。
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
は成り立たないが、
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + O(x^{n+1})
は成り立つという場合にも、教科書の形式に従うと、
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + o(x^{n+1})
などと書いてしまう人が出てきます。
912:１３２人目の素数さん
22/11/12 14:39:21.38 HArWnKKe.net
訂正します：
>>861
e^x は例として出しただけです。
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
は成り立たないが、
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + O(x^{n+1})
は成り立つという場合にも、教科書の形式に従うと、
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + o(x^{n})
などと書いてしまう人が出てきます。
913:１３２人目の素数さん
22/11/12 14:45:37.88 Z55pADda.net
そう書いてしまう人が出てくるかはわからないけど、そう間違ってしまう人がいたらその人の考えが足りなかったというだけでは。
教科書の進行上不都合が出てこないなら甘い評価で進めても問題なかろう
914:１３２人目の素数さん
22/11/12 15:26:52.30 iKYodEi8.net
>>874
分かりにくいって？
分かりやすくするためにこう書いているんだけど
915:874
22/11/12 15:39:03.66 f050CcFt.net
>>878
一つの式の中で同じ記号を別の意味で使ってなんで分かりやすくなるんだ
916:１３２人目の素数さん
22/11/12 15:51:19.81 ehr11irC.net
たまに高校生や大学1年のキッズで見かける。
y=f(x)=x^2 (について導関数を求めると…)
dy/dx = 2x (を得る。そして)
dy = 3x * dx
みたいに3行目で意味不明な操作をする人が
いるけどああいう感じの人なんだろうな。
dy/dx を分数だと思ってやがる。
(記号の見た目が似てるだけであって、分数ではない)
917:１３２人目の素数さん
22/11/12 15:52:53.77 ehr11irC.net
訂正 3行目
dy = 2x * dx
dyがあっちに行って、dxがこっちに行って…
とかいう意味不明な操作。
918:１３２人目の素数さん
22/11/12 16:12:10.79 ag9KozdJ.net
微分形式表現だと思えば別に間違ってもないですけど
919:１３２人目の素数さん
22/11/12 16:13:16.83 iKYodEi8.net
>>879
同じモノだからさ
fという値
それがx,yに関連している2変数関数だから
∂f/∂xという記法
y=g(x)という関係も含めたらxの1変数関数だから
df/dxという記法
何を意味しているのか明瞭だから区別して書いている
920:１３２人目の素数さん
22/11/12 16:18:51.58 iKYodEi8.net
大体
df/dx=∂f/∂x+∂f/∂y・dy/dx
の∂f/∂xも∂f/∂yもy=g(x)が代入されているxの1変数関数
だからこそ左辺の1変数関数（の微分である1変数関数）と
1変数関数として一致している
モチロンこれを
df(x,g(x))/dx=∂f/∂x(x,g(x))+∂f/∂y(x,g(x))・dg(x)/dx
と書くことを妨げるモノではない
921:874
22/11/12 16:31:32.48 I3jirpBg.net
うーん、まあいいや
俺は>>884の最後の式みたいに書いてあった方が分かる
922:１３２人目の素数さん
22/11/12 16:49:51.60 ehr11irC.net
>>882
正気か、おまえ。
923:１３２人目の素数さん
22/11/12 17:00:40.14 D+G+7nHj.net
わからないんですね
924:１３２人目の素数さん
22/11/12 17:41:14.35 VjRS2YpT.net
>>875
余計な仮定なしの極普通の条件「n回まで微分可そしてそれが連続」から言えるのは
f(x) = f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ)
教科書は一般論を述べたいはずなのでこれでいいんです.
解析関数のように O(x^{n+1}) と書ける場合を含んでいるし
その必要があれば O で書くでしょう. これで混乱する人はもっと他の所で躓くはず
fのn階導関数が連続ならば
f(x) = f(0) + ∫[0,x] f⁽¹⁾(ξ₁) dξ₁
= f(0) + ∫ [0,x] { f¹(0) + ∫ [0,ξ₁]f⁽²⁾(ξ₂)dξ₂ } dξ₁
= f(0) + f¹(0).x + ∫ [0,x] dξ₁ ∫ [0,ξ₁] dξ₂ f⁽²⁾(ξ₂)
= f(0) + f¹(0).x + ∫∫ [0,x]² dξ² χ(0≦ξ₂≦ξ₁≦x) f⁽²⁾(ξ₂)
= f(0) + .. + ∫..∫ [0,x]ⁿdξⁿ χ(0≦ξₙ≦..≦ξ₂≦ξ₁≦x).f⁽ⁿ⁾(ξₙ)
= f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ (1/(n-1)!) ∫..∫ [ξₙ,x]ⁿ⁻¹dξⁿ⁻¹ f⁽ⁿ⁾(ξₙ)
= f(0) + .. + (1/(n-1)!).∫ [0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹{ f⁽ⁿ⁾(0) + q(ξ) } .... ( q(ξ) := f⁽ⁿ⁾(ξ) - f⁽ⁿ⁾(0) )
= f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + (1/(n-1)!).∫ [0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹q(ξ)
|∫[0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹q(ξ)| ≦ (xⁿ/n!).sup{0≦ξ≦x}(|q(ξ)|) = o(xⁿ)
∵ lim{x→0} sup{0≦ξ≦x}(|q(ξ)|) = 0 {f⁽ⁿ⁾(ξ)の連続性}
よって f(x) = f(0) + .. + (1/n!).fⁿ(0).xⁿ + o(xⁿ)
> f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
> は成り立たないが,
これは、あまり考えたく無い条件「f^{(n+1)}(ξ)は連続ではない」が必要になります
そういうのは必要が生じたら考えればいいだけであって記法の心配とは無縁の話でしょう
925:888
22/11/12 19:37:10.05 VjRS2YpT.net
訂正: 「n回まで微分可」だけでよい.
「そしてそれが連続」である必要はない.
f(x) = f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) ∫..∫ [ξₙ₋₁,x]ⁿ⁻²dξⁿ⁻² f⁽ⁿ⁻¹⁾(ξₙ₋₁)
= f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) (x-ξₙ₋₁)ⁿ⁻² f⁽ⁿ⁻¹⁾(ξₙ₋₁)
= f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) (x-ξₙ₋₁)ⁿ⁻² { f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)+ f⁽ⁿ⁾(0)ξₙ₋₁ + o(ξₙ₋₁) } .... (∵ 微分の定義)
= f(0) + .. + (1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (B(n-1, 2)/(n-2)!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + Rₙ(x) .... (B(a,b)はベータ関数)
= f(0) + .. + (1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + Rₙ(x)
Rₙ(x) := (1/(n-2)!) .∫ [0,x] dξ (x-ξ)ⁿ⁻².o(ξ)
|Rₙ(x)| ≦ (1/(n-2)!) |∫ [0,x] dξ (x-ξ)ⁿ⁻².ξ. o(ξ)/ξ | ≦ (1/n!). |x|ⁿ. sup(|o(ξ)/ξ|)
lim[x→0] sup(|o(ξ)/ξ|) = 0 ∴ Rₙ(x) = o(xⁿ)
よって f(x) = f(0) + .. +(1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ)
> f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
> は成り立たないが
そんなのは存在しない
926:１３２人目の素数さん
22/11/12 19:57:40.35 VjRS2YpT.net
(追記) >>888, >>889 の証明は x ≧ 0 についてのもの
x<0 については
g(t) := f(-t) と置いて
t≧0 についての証明: g(t) = g(0) + .. + (1/n!).g⁽ⁿ⁾(0).tⁿ + o(tⁿ) より
f(-t) = f(0) + .. + (1/n!).(-1)ⁿ.f⁽ⁿ⁾(0).tⁿ + o(tⁿ) .... ∵ g⁽ⁿ⁾(t) = (-1)ⁿ. f⁽ⁿ⁾(-t)
x=-t で置き換えれば
x≦0 についての f(x) = f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ) を得る.
927:１３２人目の素数さん
22/11/12 20:46:07.40 PWYQ/msE.net
>>889
『余計な仮定』ということについて疑問がありますけど, テイラーの公式:
f(a+h) = f(a) + Df(a)(h) + ・・・(1/n!) D^n f(a)(h^n) + o(|h|^n)
は, f が a の近傍で n-1 回微分可能で, D^{n-1}f が
点 a でのみ微分可能であっても成り立つのではないですか？
928:１３２人目の素数さん
22/11/12 21:16:30.78 2eB0J2sg.net
ソリャそうだ
929:１３２人目の素数さん
22/11/12 21:45:48.86 rB7flw++.net
沙羅双樹
930:１３２人目の素数さん
22/11/12 23:56:09.15 noIkKf8g.net
dfとDfならdfが主流？
931:１３２人目の素数さん
22/11/13 00:01:54.43 8JuPYBWp.net
接空間の間に誘導される抽象的な写像の意味での微分についてはdfの方が一般的な気がする
932:１３２人目の素数さん
22/11/18 15:34:51.84 Ek2LZ9cy.net
G/Φ(G)が巡回群ならGは巡回群である。
Φ(G):フラッチニ部分群
よろしくお願いします。
933:１３２人目の素数さん
22/11/18 19:43:47.70 3nUcDPGY.net
lim sup_{D∋z → 1} |f(z)|の定義は何
934:ですか？
935:１３２人目の素数さん
22/11/18 19:51:10.99 h1p4weZH.net
あった
URLﾘﾝｸ(groupprops.subwiki.org)
936:１３２人目の素数さん
22/11/18 19:56:21.44 JuebbEhF.net
>>896
x∈G-Φ(G)とするとxとΦ(G)でGを生成するけどΦ(G)は生成系から取り除けるのでxで生成されるってんじゃないの？
937:１３２人目の素数さん
22/11/18 21:47:38.79 me8PpwxB.net
>>896
G/Φ(G) の生成元の代表元の一つをgとしてgで生成される部分群Hを考える。
G=Hでないとすると、Hを含むGの極大部分群はΦ(G)とgを共に含むことからGと一致することになって矛盾。
938:１３２人目の素数さん
22/11/18 21:54:33.78 FydCEdUH.net
補題 x∈φ(G),S⊂G,<{x}∪S> → <S> = G
(∵) <S>≠Gなら極大部分群Mを<S>⊂Mとなるようにとれる
x∈Mだから<{x}∪S>⊂M □
系 φ(G)が有限生成、S⊂G、<{sφ(G) | s∈S}> = G/φ(G) → <S>=G
(∵) 補題を用いてφ(G)の生成元の個数についての帰納法□
系 φ(G)が有限生成、G/φ(G)が巡回群→Gが巡回群
939:１３２人目の素数さん
22/11/19 07:19:49.93 4Ksz2N/Y.net
>>899-901
どうもありがとうございました。
ちょっと私の頭がボケていました。
940:１３２人目の素数さん
22/11/19 10:18:48.95 E9ryBNT0.net
関数の上極限が教科書に書いてないのはなぜですか？
941:１３２人目の素数さん
22/11/19 10:31:14.47 +73shWYA.net
その教科書のレベルが低いからです
942:１３２人目の素数さん
22/11/19 11:29:33.01 E9ryBNT0.net
関数の上極限が書いてある本の例をあげてください。
943:１３２人目の素数さん
22/11/19 14:06:14.27 jsOadLPr.net
解析概論とかなら載ってるんじゃない？知らんけど。
載ってない微積の教科書探す方が難しい気がするが。
944:１３２人目の素数さん
22/11/19 14:24:55.19 E9ryBNT0.net
解析概論、杉浦、小平
書いていませんね。
945:１３２人目の素数さん
22/11/19 14:39:46.31 jsOadLPr.net
実数列の上極限と実関数の極限は定義されているけど、って意味だったりする？
946:１３２人目の素数さん
22/11/19 14:45:16.12 E9ryBNT0.net
「実数列の上極限と実関数の極限」の定義はもちろん書いてあります。
947:１３２人目の素数さん
22/11/19 14:51:18.34 E9ryBNT0.net
野村隆昭著『複素関数論講義』
奇妙なことですが、複素関数が連続であることの定義は書いてあるのですが、複素関数の極限の定義が書いてありません。
そして、いきなり複素関数の微分の定義が書いてあります。
著者が亡くなってしまっているので、連絡できないのが残念です。
948:１３２人目の素数さん
22/11/19 15:05:34.53 jsOadLPr.net
>>909
じゃあいいじゃん
その二つの定義わかっていれば実関数の上極限くらい定義できるでしょ
それで二通り以上の定義の仕方が思いついたがどちらを採用すべきか、とかならそのように具体的に質問すべき
949:１３２人目の素数さん
22/11/19 15:39:47.13 E9ryBNT0.net
>>911
それでは、数列の極限が定義されていれば、関数の極限の定義は自分で定義できるから不要ということでしょうか？
950:１３２人目の素数さん
22/11/19 16:26:36.84 gYjtdFdQ.net
当然そうはならない
951:１３２人目の素数さん
22/11/19 16:29:00.47 Z2rwBay6.net
>>907
書いてある。
952:１３２人目の素数さん
22/11/19 16:33:00.76 gYjtdFdQ.net
>>907
書いてあるそうだ
953:１３２人目の素数さん
22/11/19 17:00:50.63 kRCAsDBm.net
書いてあるなしはどうでも良くね？
必要あるなら書くし
無ければ書かないかあるいは書くてだけ
954:１３２人目の素数さん
22/11/19 18:05:46.34 gYjtdFdQ.net
どうでもよくないのは
ウソをついているかどうか
955:１３２人目の素数さん
22/11/19 20:52:43.03 upZ/9WVw.net
>>910
>複素関数の極限の定義
本を持っていないからなんとも言えないけど、複素関数列の極限の意味ですか？
>>912
関数の列や、もっと一般にフィル
956:ターづけられた関数族の極限は、 その関数が属する関数空間にどんな位相を入れるかで、扱い方が異なります。 単に数列の極限を知っているからといって、関数列の極限を自力て書けるかどうかというと、 初学者には厳しいのではないでしょうか。
957:１３２人目の素数さん
22/11/19 21:01:53.83 E9ryBNT0.net
>>918
「複素関数の極限の定義」についてですが、『複素関数論講義』には、
lim_{z→a} f(z) = A
の定義が書いてありません。
一方、
lim_{z→a} f(z) = f(a) の定義は書いてあります。
そこが奇妙だと思います。
958:１３２人目の素数さん
22/11/19 21:07:11.94 upZ/9WVw.net
>>919
本の不備を論うことそのものが目的でないならば、お答えします。
lim_{z→a} f(z) = A
の定義は、任意の正数 ε に対し, 正数 δ が存在し, |z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し,
|f(z) - A| < ε となることです。
これは、正確には、関数の極限ではなく、関数『による』極限です。
959:１３２人目の素数さん
22/11/19 21:45:39.50 X0cNy/6h.net
>>920
>>|z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し,
「0<|z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し」にしないと
導関数の定義が書きにくいのでは？
960:１３２人目の素数さん
22/11/19 22:26:52.99 MpF5zjRB.net
>>912
数列の極限の定義から関数f(x)のx→aのとき極限の定義を想像しようとすると、ある収束列x_n→aを取って考えれば十分なのか全て考えなくてはならないのか、x_n=aとなるようなnがあって良いのか、といった点で(読者によっては)疑問が生じる
今考えている問題に比べるときちんと定義を書いてしかるべき問題だと思う
961:１３２人目の素数さん
22/11/19 22:28:22.55 kRCAsDBm.net
>>921
分母になるから？
0のときは除外で
962:１３２人目の素数さん
22/11/19 23:08:15.52 X0cNy/6h.net
こんなところに気を遣うのは嫌だけどね
963:１３２人目の素数さん
22/11/20 03:42:34.36 vwVhg6TJ.net
だいたいこんな重箱のすみつつくような話いつまでもいつまでもいつまでもがぎゃあぎゃあ言ってんのがバカの証拠だよ
ちょっと考えたらわかるやん
そんなもんに統一的な定義なんてできるはずない
そんな者取り仕切ってる世界的機関があるわけもなく、みんな何となく長い年月かけて少しずつ右に倣えで標準っぽいものができてくるだけで、もちろん人の好みで多少のズレが出て当たり前、だからみんなその場その場でこの人はどんな意味で使ってるんだろうと確認しながら読む、そしてそれができる力を身につける
そんな事2、3年数学勉強すればわかるやろに
本当にスーパーバカ
964:１３２人目の素数さん
22/11/20 07:01:54.37 O3/gkxDr.net
重箱の隅が一番居心地が良い人もいる