22/10/12 16:39:10.30 0ULuUry2.net
>>466
定義より複素数を 量と偏角 で表すと
log z = ln |z| + i(arg z + 2πN) | N=0,±1,±2,....}
この時、z = e^iπ として
左辺と右辺のそれぞれの偏角について考える
左辺 = log z + log z の偏角 = arg z + arg z = (arg z + 2πL) + (arg z + 2πM)
= {2 arg z + 2π(L+M) | L,M = 0,±1,±2,....}
右辺 = 2 log z の偏角 = 2 arg z = 2(arg z + 2πN)
= { 2 arg z + 4πN | N=0,±1,±2,....}
483:( '‘ω‘
22/10/12 16:41:08.19 0ULuUry2.net
>>466
そう。
そして、1つの数を足し算で操作しているのではない。
集合のそれぞれの要素に足し算の操作をしている。
っていうのを踏まえると、
log z + log z = 2 log z が
ダメだというのは分かる。
484:( '‘ω‘
22/10/12 16:45:04.69 0ULuUry2.net
複素数は1変数で2つの元を持つから
ただのベクトルと同じように見えるが違う。
複素関数で、複素数の指数・対数を通常の数のように扱ってはいけない。
というか、そういう操作が許されるのは線形代数のベクトルの話だぁね。
485:１３２人目の素数さん
22/10/12 17:05:39.31 THJ4XHv0.net
>>469
ありがとうございます。log zは危ない。zの偏角を決めないと足し算すらおかしい。
結局log(z) +log(z)はzの偏角を決めないと意味不明。
486:１３２人目の素数さん
22/10/12 17:43:09.51 e/PLthP6.net
>>462
>しかし、複素関数での e^z は…1つの数じゃないよね？
1つとするのが主流
487:１３２人目の素数さん
22/10/12 17:45:09.59 e/PLthP6.net
>>470
まあいいけどそれなら
log z=log z
も成り立たないがな
488:１３２人目の素数さん
22/10/12 17:52:34.07 h1A9UuGI.net
まぁこういう俺様複素数使ってるアホいっぱいいるやろな
489:( '‘ω‘
[ここ壊れてます] .net
>>471
1つの集合な。
490:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
exp()は2^C上の関数だという珍説
491:１３２人目の素数さん
22/10/12 21:32:08.61 vTPEG6Yw.net
>>474
１つの数
492:１３２人目の素数さん
22/10/12 21:35:15.57 vTPEG6Yw.net
>>474
493:普通は1つの数になるのが分からないなら 複素函数への理解ができていないのだが
494:１３２人目の素数さん
22/10/12 22:32:59.38 Qy0Qadd3.net
一般にアーベル群Gの部分集合A、Bに対し、A+Bを{a+b|a∈A，b∈B}で、2Aを{a+a|a∈A}で定義するとA+Aと2Aは一般には異なる。
log(z)+log(z)=2log(z)は正しくない、というのはそういう意味。
495:１３２人目の素数さん
22/10/12 22:34:26.36 vTPEG6Yw.net
>>478
そのように定義しなくてはいけないという理由は無い
496:１３２人目の素数さん
22/10/12 23:16:22.25 Qy0Qadd3.net
>>479
なぜ間違いかを煎じ詰めるとこうなる、という話をしている。
497:１３２人目の素数さん
22/10/12 23:20:24.64 Qy0Qadd3.net
ID:vTPEG6Ywはlogが集合値関数だということをわかっていない
498:１３２人目の素数さん
22/10/13 00:25:34.67 4ZePgFRf.net
>>480
logzはその中のどれかという解釈なら間違いではない
499:１３２人目の素数さん
22/10/13 00:26:56.01 4ZePgFRf.net
>>481
集合関数であるという解釈をする必要も無く
むしろ
普通はリーマン面上の一価関数なのだが
500:１３２人目の素数さん
22/10/13 00:30:28.71 4ZePgFRf.net
浅い解釈で折角打ち建てた金字塔をどぶに捨て去って悦に入るとは愚
501:１３２人目の素数さん
22/10/13 01:38:51.02 O87E6OEh.net
logz足すlogzは2logz(mod 2πi) これだろ！！、！
502:１３２人目の素数さん
22/10/13 01:43:48.11 O87E6OEh.net
logz/~これこそが真のlog
503:１３２人目の素数さん
22/10/13 01:49:09.47 O87E6OEh.net
>>482
じゃあどうやって計算すんのか言ってみろやぁ！、！、
504:( '‘ω‘))
[ここ壊れてます] .net
補足ありがとうございます。
505:１３２人目の素数さん
22/10/13 13:52:17.96 HKfIJbgv.net
>>485
x=a mod nのとき2x=2a mod 2nであるべきとか思ってそう
いやまあいいけど
506:１３２人目の素数さん
22/10/13 14:31:33.06 nf5PQNRW.net
とりま、旧帝大未満の人は黙ってて。
ち、ちなみに謙虚な
神戸大卒 TOEIC700です…( ; ‘ω‘) ﾊｧﾊｧ
神戸帝国大学…
( '^ω^) なんつってなwww
507:１３２人目の素数さん
22/10/13 15:07:48.13 7HnmmlxS.net
旧帝大未満の神戸大卒（）がなんで書き込みしてるの？
508:１３２人目の素数さん
22/10/13 16:52:45.76 9IuVJBX9.net
多価関数って昔の人の考え方じゃないの？
509:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
(2)はどうやって解くのですか？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
510:１３２人目の素数さん
22/10/13 21:02:56.34 HnRC5ifv.net
>>493
院試なら大学と年度を
511:１３２人目の素数さん
22/10/13 21:19:43.42 Tibm/2EF.net
院試ではありません。（１）は数Ⅲの簡単な問題ですが、（２）は高校数学ではちょっと
見ないような問題なので、こちらで質問してみました。
512:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:10:18.80 qv10Eqyj.net
特殊な発想は必要ないと思う
がんばれ
513:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:12:18.35 5IaGgQQn.net
u<vを任意にとる
p,qをg(x) = f(x)-(px+q)とおく時g(u) = g(v) = 0となるようにとる
g(x) ≡ 0 ( x ∈ [u,v] )を示す
[u,v]においてg(x)はx=a∈(u,v)で最大値mをとるとする
a≦(u+v)/2とすればr = (u+v)/2-uに対して
2rm = 2rg(a) = ∫[a-r,a+r] g(t)dt ≦ 2rm
等号成立は[a-ra+r]においてg(x) ≡ mである場合に限るからこの時
m = g(u) = 0
a≧(u+v)/2の場合も同様だから結局a∈(u,v)→m = 0
a = u,v → m = 0は仮定から明らかだから全ての場合でm = 0
同様にして[u,v]での最小値も0
∴ g(x) ≡ 0
514:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:32:16.85 RMClmb3X.net
(2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。
(2)の等式を x で微分すると、 f(x + r) - f(x - r) = 2 * r * f'(x) が成り立つことが分かる。
これらより、
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
f(x - r) = f(x) - r * f'(x)
が成り立つことが分かる。
ここで x を固定する。
y を任意の実数とする。
y > x のとき、
r = y - x > 0 とおく。
f(y) = f(x + r) = f(x) + r * f'(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
y < x のとき、
r = x - y > 0 とおく。
f(y) = f(x - r) = f(x) - r * f'(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
y = x のとき、
f(y) = f(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
よって、任意の実数 y に対して、
f(y) = f(x) + (y - x) * f'(x)
である。
よって、 f は 1次関数ないし、定数関数である。
515:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:48:28.69 zit5Jgpv.net
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
f(x - r) = f(x) - r * f'(x)
が成り立つことが分かる。
これどうするの？
516:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:54:17.82 9SLloGwN.net
答え書いちゃう感じか
いろんな解き方があるよな
517:１３２人目の素数さん
22/10/13 23:19:04.43 5/zuJNL8.net
f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x)をrで微分するとf‘(x+r)=f’(x-r)
r=xとおいてf’(2x)=f’(0)=定数
ともできる
または
f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x)を
f(x+r)-f(x)=f(x)-f(x-r)と変形して
f(x)=(f(1)-f(0))*x+f(0)を連続性から証明してもいい
この方針ならfの微分可能性は使わない
518:１３２人目の素数さん
22/10/13 23:47:14.26 PgAUAiGe.net
>>497
良さげな方針だけど、a<(u+v)/2の時はa-r<uとなって積分区間が[v,u]をはみ出すから
∫[a-r,a+r] g(t)dt ≦ 2rmは言えないんじゃないか
519:１３２人目の素数さん
22/10/13 23:48:29.11 Tibm/2EF.net
>>497
後でよく考えてみます。
>>498
よく分かりました。
>>501
>r=xとおいて
そのような方法で考えていましたが、そんなこと勝手に
やっていいのか自信がありませんでした。
みなさんありがとうございます。
520:１３２人目の素数さん
22/10/14 00:00:09.85 3cnBxLxf.net
>>503
rは任意だから正の数なら何でも代入していい(xが負ならr=-xとする)
521:１３２人目の素数さん
22/10/14 00:13:54.18 GpEqnVo/.net
>>502
どっか描き損してるかもしれんけど要するにu<a<vでハジに近い方で考える
はじまで定数、ハジは0、だから全部0
522:１３２人目の素数さん
22/10/14 00:15:02.89 ewnpUunG.net
>>504
>xが負ならr=-xとする
なるほど。そうですね。
ありがとうございました。
523:１３２人目の素数さん
22/10/14 00:45:43.64 dopjiXCT.net
>>505
a<(u+v)/2の時は大小関係がa-r<u<a+r<vとなるな積分区間は[a-r,a+r]でmは[u,v]における最大値
[a-r,u]の部分ではg(t)がmを超える可能性が否定できないんじゃないかと思う
524:１３２人目の素数さん
22/10/14 00:48:47.59 x8IVTMKi.net
>>507
だからそんなとこ相手にしてないんだよ
目標はm = 0、それが言えればいい[u,v]に入ってないとこなんか最初から相手にしてない
任意のu<vに対して[u,v]で定数を示そうとしている
525:１３２人目の素数さん
22/10/14 00:54:15.40 x8IVTMKi.net
[u,v]で一次式ね
任意の閉区間で一次式なら全域で一次式
526:１３２人目の素数さん
22/10/14 00:56:57.90 dopjiXCT.net
>>508
∫[a-r,a+r] g(t)dt ≦ 2rmの根拠を教えてくれ
[a-r,a+r]におけるg(t)の最大値がmだと思ったからじゃないのか？
527:１３２人目の素数さん
22/10/14 01:08:43.68 x8IVTMKi.net
>>510
仮定は[u,v]での最大値がm
それを幅2rである区間で積分したら積分値は2rm以下、f(x)が連続関数なのだから等号成立は区間全体でmに等しい時
528:１３２人目の素数さん
22/10/14 01:11:48.40 x8IVTMKi.net
区間[u,v]全体での最大値をmとおいてるんだから[a-r,a+r]でもf(x)≦mやん？
a≦(u+v)/2と仮定してるんだから区間[a-r,a+r]全体は[u,v]の部分集合
529:１３２人目の素数さん
22/10/14 01:16:16.57 dopjiXCT.net
>>512
[a-r,a+r]と[u,v]は長さが同じだから中心がズレればはみ出す部分があるが
530:１３２人目の素数さん
22/10/14 01:20:42.81 dopjiXCT.net
あー言いたいことが分かった
rの定義が間違ってる
531:１３２人目の素数さん
22/10/14 01:43:42.69 x8IVTMKi.net
>>514
そやね
r = mi
532:n{ a-u, v -a} 要するにハジに近い方までの距離 そこまでは少なくとも定数
533:１３２人目の素数さん
22/10/14 12:34:20.31 /75flvKM.net
>>498
で終わりなのにまだやるの？
534:１３２人目の素数さん
22/10/14 12:51:16.08 ewnpUunG.net
>>498
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
(2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。
左辺のf(x)をrで微分すると左辺はゼロになるということみたいですけど
このときf(x)は定数と考えているのですか？
xはrの関数ですよね？
すると
(1/dx)f(x)*(dx/dr)となると思います。これは何故ゼロなんですか？
どなたか高校数学レベルでの解説をお願いします。
535:１３２人目の素数さん
22/10/14 12:54:17.55 FOk2ZA7Y.net
>>498はオレも分からん
(2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。
(2)の等式を x で微分すると、 f(x + r) - f(x - r) = 2 * r * f'(x) が成り立つことが分かる。
↑コレはいいんだけどココからなにがどうなって
↓こうなるん？
これらより、
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
f(x - r) = f(x) - r * f'(x
536:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:02:34.42 ewnpUunG.net
>>518
それはその2つの式の両辺に２をかけて２つの式を足したり引いたりすれば
出てきます。
517の質問をよろしくお願いいたします。
537:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:04:30.30 ewnpUunG.net
２をかけてではなく２で割ってでした。
538:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:05:00.51 /75flvKM.net
>>517
大学数学のスレなのに？
539:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:07:26.72 FOk2ZA7Y.net
>>518
kwsk
f'の項はなんで消えるの？
540:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:11:17.19 ewnpUunG.net
>>521
すみません。
大学数学は色々ありますが、高校数学は最大公約数なので。
541:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:11:57.92 FOk2ZA7Y.net
アンカーズレた
ともかくf絡みの項とf'絡みの項があってなぜf'絡みの項が消せるのか分からんしそもそも何より実質
f(x)が一次式であるのを示せ
で
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
コレがx,rについて恒等式になる事が示せてるのならもうこの時点で終わってる、そっから何無駄な事してるのですって話になる
ホントにこの方針で解けてるの？
542:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:14:49.77 ewnpUunG.net
>>522
僕もそれが分からない。
498さんの解説
>(2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。
543:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:21:26.88 FOk2ZA7Y.net
f(x-r) + f(x+r) = 2rf(x)
という代数的条件だけだと反例ありそうな気がする
つまりココから足したりひいたりの代数的処理だけでなんかできるとは思えないんだけどなぁ
微分可能性と絡めていかないと無理じゃない？
代数的に足したりひいたりだけで
f(x+r) = f(x) + rf'(x)
なんて無理だと思う
コレ成り立てばもちろんf(x)は一次式なんだから終わりだけど
544:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:25:26.54 zZP1BkDK.net
高校数学でと言えば、最大値最小値の定理って高校数学なんかな
545:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:28:07.12 FOk2ZA7Y.net
>>527
それは高校数学では範囲外やね
ただ検定教科書の平均値の定理のとこでロルの定理を“証明”していてそこで最大、最小の原理使ってるのでグレーゾーン
546:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:36:49.39 zZP1BkDK.net
>>524
本人に代わって説明すると、rのとりうる値が正の数に限られてるのとf(x)=ax+bの形に整形したいからもう一手間いる
547:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:38:57.58 0UjWINlX.net
高校数学スレが荒らされていたのでこちらで質問させていただきます
a=b^xのような形の式をx=の形に式変形するにはどうしたら良いのでしょうか？
548:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:53:33.35 FOk2ZA7Y.net
>>529
kwsk
そもそもできるん？
549:１３２人目の素数さん
22/10/14 13:58:05.33 ewnpUunG.net
>>504
すべての実数ｒだからといってｒを変数ｘに置き換えてよい理由は何ですか？
例えば定数rをすべての実数として
f(x)=r/x であったなら rをxに変えたらf(x)＝１ となってしまいます。
rをxとして導いたf(x)はr＝xのときは成り立つといってるだけのような気がしますが。
どこが違うのですか？
550:１３２人目の素数さん
22/10/14 14:03:56.34 FOk2ZA7Y.net
しかし
f(x-r) + f(x+r) = 2rf(x)
がx,rの恒等式であればあとは連続性だけでなんとかなるな
551:１３２人目の素数さん
22/10/14 14:08:38.81 lyP8Ikg0.net
>>532
552:問いは全ての実数xと全ての正の数rで成立すると書かれてますよね なので、r=xとしても成り立つ必要があります 全てのrで成り立つ→r=xでも成り立つ しかし逆は成り立たないので、後で十分性のチェックが必要ですね r=xでも成り立つはずだから答えはf=定数になるはず でもそれだけだとr=x以外の時でも成り立つか調べる必要がある 実際に、f=定数はr=x以外の時でも成り立つからそれが答え という論法です 必要条件で絞って、後で十分性を確かめるということですね
553:１３２人目の素数さん
22/10/14 14:15:19.00 QhitkY+O.net
>>532
定数rがすべての実数ってどういう意味？定数だから一つの実数じゃないの？
554:１３２人目の素数さん
22/10/14 14:29:01.25 ewnpUunG.net
>>534
ありがとうございます。
そういうことなら分かります。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
左辺f(x)をrで微分するとゼロになるのは何故ですか？
xはrの関数ですよね？
すると
(1/dx)f(x)*(dx/dr) となると思いますが、これがゼロになるという理由が知りたいです。
555:１３２人目の素数さん
22/10/14 14:31:54.26 brNUCzf2.net
> xはrの関数ですよね？
なんで？どんな関数？
556:１３２人目の素数さん
22/10/14 14:37:14.11 ewnpUunG.net
>>537
あ、そうか
ｘはrの関数ではないですね。
そうするとrで微分する場合はf(x)を定数と考えるのですね？
557:１３２人目の素数さん
22/10/14 14:43:01.15 brNUCzf2.net
>>538
そう
558:１３２人目の素数さん
22/10/14 14:45:03.75 ewnpUunG.net
>>539
ありがとうございます。
559:１３２人目の素数さん
22/10/14 14:45:59.41 78ZMfYa4.net
f(0) = f(1) = 0としてよい
f(x-r) + f(x-r) = 2rf(x)
が恒等式だから任意のa∈ℝとn∈ℤに対して
f(na) = nf(a)
である
よって任意のx∈ℚに対してf(x)=0である
fは連続だから任意のx∈ℝに対してf(x)=0である
560:１３２人目の素数さん
22/10/14 17:43:23.54 ewnpUunG.net
>>534
すべての正の実数rで
f(x)=r/x であるときf(x)はどんな関数か
というときr＝ｘのときはf(x)＝１であるからといって
それがf(x)の必要条件とはならないですよね。
下記は納得できません。
>実際に、f=定数はr=x以外の時でも成り立つからそれが答え
という論法です
561:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:19:44.35 lyP8Ikg0.net
>>534
すべての正の実数rでf(x)=r/x である
→
f(x)=1
普通に正しいと思いますけどね
ただ、その場合は前提条件が成り立つ関数fというのはないのでなんか変な気がするんじゃないですか？
偽→真は真ですし、偽→偽も真です
偽の前提からは何でも導くことができるので
r=x^2とすればf(x)=xとかなりますしね
562:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:21:59.51 ewnpUunG.net
すべての正の実数rでf(x)=r/x であるときf(x)は双曲線ではなく直線ということですか？
563:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:24:12.61 lyP8Ikg0.net
すべての正の実数rでf(x)=r/x である場合というのは存在しないので、それを前提に組み立てられた論理に意味はないということです
形式的には、偽の命題からはいかなる命題も導けてしまいますので、fは定数でもあり、直線でもあり、双曲線でもある、ということは可能ですけど、それにどのような意味があるのかと言われるとないですよね
564:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:24:54.72 ewnpUunG.net
rは任意の正の定数という意味ではない？
565:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:25:31.97 lyP8Ikg0.net
すべての正の実数rでf(x)=r/x であるとき
という場合がそもそもありえないのは理解できてます？
566:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:30:18.15 ewnpUunG.net
>>545
下記の（２）の解き方 >>501
について考えているのです。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
567:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:31:49.57 lyP8Ikg0.net
それとf(x)=r/xの話は違うじゃないですか
その問題だとf(x)は定数になるんですよね？
双曲線にはなってないですよね
568:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:34:08.57 lyP8Ikg0.net
問題の例ではf(x)=定数という答えがある
f(x)=r/xには答えがないので矛盾している命題です
矛盾命題からはいかなる命題も導けるので、正しい命題も間違ってる命題も導けるわけで、矛盾命題から推論して得られた結果は一切信用してはいけません
569:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:40:25.16 h0dk/JMO.net
もう少し簡単な例で説明しましょう
0=1だと仮定します
両辺を2倍すると0=2となるのですがこれはおかしいのではないですか？
これと同じことですよ
おかしいのは出てきた結果ではなく、前提条件です
570:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:46:58.83 ewnpUunG.net
その問題だとf(x)は定数になるんですよね？
双曲線にはなってないですよね
f(x)は定数とは書いてないです。
xを定数と考えればf(x)も定数ですけど。
571:１３２人目の素数さん
22/10/14 18:51:59.40 Seywt5Dh.net
いや答えの話ですよ
f(x)は定数か一次関数になるんですよね？
572:１３２人目の素数さん
22/10/14 20:01:39.10 rIHkiAaS.net
>>530
誰も相手しないとこを見ると荒らしか
573:１３２人目の素数さん
22/10/14 20:35:56.08 qAcM
574:EQxL.net
575:１３２人目の素数さん
22/10/14 20:52:59.05 qAcMEQxL.net
>>498について勝手に推測。>>498の最後の部分で、
「任意の実数 x,y に対して f(y) = f(x) + (y - x) * f'(x)」が示せている。
a≠b なる実数 a,b を任意に取る。
x＝a, y＝b を適用して f(b) = f(a) + (b - a) * f'(a) なので、(f(b)－f(a))/(b－a) ＝ f'(a)
x＝b, y＝a を適用して f(a) = f(b) + (a - b) * f'(b) なので、(f(a)－f(b))/(a－b) ＝ f'(b)
(f(b)－f(a))/(b－a) ＝ (f(a)－f(b))/(a－b) だから、f'(a)＝f'(b)
a≠b は任意だから、f'(x) は x∈R 上で定数。よって、f は高々1次関数。
576:１３２人目の素数さん
22/10/14 20:58:57.14 H0mENB0+.net
>>556
だから
f(y) = f(x) + (y - x) * f'(x)
が恒等式になるならf(x)が一次式なのは自明だというのに
右辺はyの一次式ですがな
577:１３２人目の素数さん
22/10/14 20:59:33.44 Mm0m7eQ/.net
>>523
意味不明
578:１３２人目の素数さん
22/10/14 21:00:57.94 Mm0m7eQ/.net
>>556
なんでそうひねるかね
579:１３２人目の素数さん
22/10/14 21:01:56.08 Mm0m7eQ/.net
>>530
対数の定義
580:１３２人目の素数さん
22/10/14 21:28:30.41 qAcMEQxL.net
>>557
言われてみればそうだな。
こういうのは等式の第一印象から抜け出せないこともあるもんでな。
581:１３２人目の素数さん
22/10/14 23:54:26.38 g+08cg6G.net
2*f(x) = f(x+r) + f(x-r) の 両辺を rで偏微分して
0 = f’(x+r) - f’(x-r)
x, r の任意性より (x,r) → (x/2, x/2) の置き換えが可能で
f’(x) = f’(0) {定数} を得る
つまり f(x) は定数か一次関数である.
たったこれだけのことを難しく考え過ぎだろ
582:１３２人目の素数さん
22/10/14 23:56:36.99 0FyGirq0.net
なるほどそれが1番簡単やな
583:１３２人目の素数さん
22/10/15 08:23:52.16 W5kfaZLU.net
>>553
双曲線が駄目ならy=r-xで考えたらいいです。
論法は同じです。
584:１３２人目の素数さん
22/10/15 08:28:49.40 ZKqUdNNS.net
>>562
この問題はfの微分性を仮定してるけど、ついついもっと一般に成り立つ解法を考えたくなっちゃう
(実際連続の仮定だけでよい)
585:１３２人目の素数さん
22/10/15 08:45:09.86 RXGxtXqX.net
>>564
双曲線と何も変わってないですけど
答えがないことに変わりはないですよね？
586:１３２人目の素数さん
22/10/15 09:58:44.11 AeK04YCa.net
しかし連続性だけしか仮定しない証明も>>541にあるし
連続性を仮定しないなら条件
f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)
は線形写像なら全て満足するけどℝは加法群としてはℚを非可算無限個直和したものなので非自明な線形写像は無限にあるからこの条件は一次式であるための十分条件でないのも確実
終わりやね
587:１３２人目の素数さん
22/10/15 12:11:57.65 gh3mhLku.net
>>541
> f(x-r) + f(x-r) = 2rf(x)
右辺間違ってますよ
588:１３２人目の素数さん
22/10/15 12:36:20.52 K/srz5BG.net
そこの間違い訂正したらいいだけですがな
どのみち整数nは外に出せる
f(na) = nf(a)
には違いない
こんな程度のミスは気づいてもいちいち直さんやろ
589:１３２人目の素数さん
22/10/15 13:54:51.53 O
590:Px8yoo4.net
591:１３２人目の素数さん
22/10/15 14:11:44.94 OPx8yoo4.net
自分は(2)を
2rf(x)=∫[x-r,x+r] f(t)dt
にしてから（r>0でなくても成立）xとrで偏微分して
2rf’(x)=f(x+r)-f(x-r)
2f(x)=f(x+r)+f(x-r)
から辺々足して2で割って
rf’(x)+f(x)=f(x+r)
でx=0代入して
rf’(0)+f(0)=f(r)
で1次以下というのを思いついた
f(x)が積分は可能だが微分可能と仮定しない場合は
2f(x)=f(x+r)+f(x-r)
だけなのでg(x)=f(x)-f(0)とすると
2g(x)=g(x+r)+g(x-r)
から帰納法でn∈Zについて
g(nx)=ng(x)
よってx∈Qについて
g(x)=g(1)x
でg(x)の連続性からx∈Rで
f(x)=g(1)x+f(0)
かなと
けど連続性も仮定しない場合に(2)の右辺が定義されるのかというのがよく分からなくて
592:１３２人目の素数さん
22/10/15 14:13:09.37 pVoaMnY6.net
>>570
積分可能性なんか後付けで条件付け足すなよ
元の問題の積分方程式に戻ってしまうなら積分方程式から微分可能性が出てしまうから意味ないやろ
「微分可能性は仮定しない」と宣言したその時からもう元の問題の積分可能性も抜けるやろ
そもそも”可積分”+“2rf(x) = ∫～”からの解も上の方で出てるし
593:１３２人目の素数さん
22/10/15 14:19:35.55 pVoaMnY6.net
あ、違うな
上の方で出てる積分の不等式使う証明も連続性使ってるな
f(x)≦m の時∫[x-r,x+r]f(t)dt ≦ 2mrまでは可積分性だけで済むけど「等号成立はf(x)数学mの時」がきかない
実際関数方程式
2f(x) = f(x+r) + f(x-r)
で一次式でないやつは可積分性の仮定だけでは排除できん
594:１３２人目の素数さん
22/10/15 14:40:35.27 OPx8yoo4.net
>>572
>積分可能性なんか後付けで条件付け足すなよ
はぁ
595:１３２人目の素数さん
22/10/15 15:31:26.83 ddDg7hOY.net
f の連続性がなくても、ルベーグ可測だと同じ結果が示せたりする。
f：R → R はルベーグ可測で、任意の実数 x と任意の正の実数 r に対して
f(x－r)＋f(x＋r)＝2f(x) が成り立つとする。
このとき、ある実数a,bが存在して f(x)＝ax＋b (x∈R) が成り立つ。
a.e.x∈R ではなくて、任意の x∈R で f(x)＝ax＋b になる。
596:１３２人目の素数さん
22/10/15 15:32:53.30 ZKqUdNNS.net
連続性を仮定しない場合の反例は非可測関数しか知らない
可積分性から線形性が出るなら面白い
597:１３２人目の素数さん
22/10/15 15:48:46.78 orboLtrX.net
>>574
なにがはぁやカス
お前のレス見てたら対して実力もないのスケて見えるは
しょうもない問題にいつまでもいつまでも粘着してるカス
出てけカス
598:１３２人目の素数さん
22/10/15 15:54:44.92 OPx8yoo4.net
>>575,576
なるほど
ルベーグ可測なら1次（以下）になるんですね
線形性だけならたとえばf(0)=f(e)=0, f(1)=1みたいなやつで非可測な例があると
もしかしてQ上の基底に対して適当に値を決めたらほぼほぼ非可測になるんですかね？
599:１３２人目の素数さん
22/10/15 15:56:49.93 OPx8yoo4.net
>>577
ぁは
600:１３２人目の素数さん
22/10/15 16:00:04.70 orboLtrX.net
まぁアホ問題考えとれ能無し
601:１３２人目の素数さん
22/10/15 16:02:54.53 orboLtrX.net
>>570
アホのアホレスに答えといたるわ
ℝのℚの基底(ハメル基底)好きに選んでℚ線形写像作ったらa.e 0の可測線形写像なんかいくらでもできるわバーカ
602:１３２人目の素数さん
22/10/15 16:23:57.49 pVoaMnY6.net
しまった
可測じゃなかった
吊ってくるわ
603:１３２人目の素数さん
22/10/15 16:30:59.41 OPx8yoo4.net
>>581
とは思うんだけどホントにa.e.0になるの？
たとえばf(1)=1で他の基底全部0にしても
f(他の基底+1)=1だけど大丈夫？
604:１３２人目の素数さん
22/10/15 17:58:00.26 ElAUCxX5.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
605:１３２人目の素数さん
22/10/15 20:11:48.94 gTuDYYEJ.net
>>584
ありがとう
デンスでんすか
606:１３２人目の素数さん
22/10/15 20:13:44.25 gTuDYYEJ.net
>>581
> ID:orboLtrX
>>582
> ID:pVoaMnY6
IDentityだったか
607:１３２人目の素数さん
22/10/15 20:21:46.52 2001jQqS.net
適当な例題で考えてみれば分かるだろ。
f:Q → Q
有理数だけの空間で
微積分がどう機能するか。
平均値の定理や中間値の定理は…どうなるか。
608:１３２人目の素数さん
22/10/16 12:03:34.91 TsL4LpwB.net
>>587
完備じゃ無いのにどうなるものとも
609:１３２人目の素数さん
22/10/16 12:35:37.50 /MgOYEWz.net
集合の集合を考えると矛盾が生じるとのことですが
集合族を考えるのは大丈夫なのでしょうか？
610:１３２人目の素数さん
22/10/16 13:35:55.40 fWYLnn9B.net
>>589
書き方からしてラッセルのパラドックスは知ってまね。
集合族というと、最初に何か決まった集合Xがあって、それの部分集合の集まりのこととなるので、ラッセルのパラドックスのような状況になりません。(というのが私の認識)
611:ともひこ
22/10/16 13:53:52.03 LxZnvA6K.net
>>588
補足ありがとうございます ( '‘ω‘)
612:１３２人目の素数さん
22/10/16 13:59:58.69 UGtrtt2W.net
>>591
注意
この人は駄目な人
相手をしないことをおすすめする
613:１３２人目の素数さん
22/10/16 17:38:07.15 kXa9bdAo.net
( e^(i PI) + 1 ) を掛けたらどんな数でもゼロになるの？
614:１３２人目の素数さん
22/10/16 18:19:43.61 lyarOMkD.net
G = (V, E) を連結な無向グラフとする。
|E| ≧ |V| - 1
が成り立つことを証明せよ。
615:１３２人目の素数さん
22/10/16 18:21:08.26 9qzG/3NM.net
自明ですね
616:１３２人目の素数さん
22/10/16 19:36:25.95 lyarOMkD.net
>>594
が成り立たないと仮定する。
>>594
が成り立たないような連結な無向グラフのうち、点の数が最小であるようなグラフを G = (V, E) とする。
|V| = 1 であるようなグラフを考えると、 |E| = 0 であるから、 |E| = 0 ≧ 0 = |V| - 1 が成り立つ。
よって、 |V| ≧ 2 である。
仮定より、 |E| ≦ |V| - 2 が成り立つ。
617:１３２人目の素数さん
22/10/16 19:36:53.68 lyarOMkD.net
G には次数が 1 の点が必ず存在することを背理法で以下に示す：
G には次数が 1 の点は存在しないと仮定する。
G は連結で |V| ≧ 2 だから、次数が 0 の点は存在しないと仮定する。
よって、 G のすべての点の次数は 2 以上でなければならない。
2 * |E| = 農{v ∈ V} deg(v) ≧ 農{v ∈ V} 2 = 2 * |V|
が成り立つ。
よって、
|E| ≧ |V|
が成り立つ。
よって、
|V| ≦ |E| ≦ |V| - 2
となるがこれは矛盾である。
よって、 G には次数が 1 の点 v が存在する。
618:１３２人目の素数さん
22/10/16 19:37:16.04 lyarOMkD.net
G から v と、 v に接続するただ一つの辺を除去したグラフを G' = (V', E') とする。
|V'| = |V| - 1 < |V| であるから、 G に関する仮定から、
|E'| ≧ |V'| - 1
が成り立つ。
一方、
|E'| = |E| - 1
が成り立つ。
以上から、
|V| = |V'| + 1 ≦ |E'| + 2 = |E| + 1
が成り立つ。
すなわち、
|V| - 1 ≦ |E|
が成り立つ。
G に関する仮定により、 |E| ≦ |V| - 2 であったから、これは矛盾である。
よって、
>>594
は成り立つ。
619:１３２人目の素数さん
22/10/16 19:39:05.40 lyarOMkD.net
訂正します：
G には次数が 1 の点が必ず存在することを背理法で以下に示す：
G には次数が 1 の点は存在しないと仮定する。
G は連結で |V| ≧ 2 だから、次数が 0 の点は存在しない。
よって、 G のすべての点の次数は 2 以上でなければならない。
2 * |E| = 農{v ∈ V} deg(v) ≧ 農{v ∈ V} 2 = 2 * |V|
が成り立つ。
よって、
|E| ≧ |V|
が成り立つ。
よって、
|V| ≦ |E| ≦ |V| - 2
となるがこれは矛盾である。
よって、 G には次数が 1 の点 v が存在する。
620:１３２人目の素数さん
22/10/16 19:41:45.89 lyarOMkD.net
>>585
これが自明ですか？
621:１３２人目の素数さん
22/10/16 19:42:34.21 lyarOMkD.net
訂正します：
>>595
これが自明ですか？
622:１３２人目の素数さん
22/10/16 19:48:19.58 5H5W3hCC.net
引き算逆転やろ
β₀≦1
∴ 1 ≧ χ = β₀-β₁ = E - V
623:１３２人目の素数さん
22/10/16 20:28:42.97 TsL4LpwB.net
>>601
自明だけど
624:１３２人目の素数さん
22/10/16 20:30:34.82 lyarOMkD.net
>>603
では、証明してください。
625:１３２人目の素数さん
22/10/16 20:35:51.88 TsL4LpwB.net
>>604
自明だから証明要らないよ
626:ともひこ
22/10/16 20:45:16.78 LxZnvA6K.net
私には不明ですけどね
627:１３２人目の素数さん
22/10/16 20:47:46.93 jwlbf+Rb.net
|V|＝0のときは自明。|V|＝kのとき成り立つとして、|V|＝k
628:＋1のときを考える。 Vのどの頂点の次数も2以上のときは、2|E|＝Σ[v∈V]deg(v)≧Σ[v∈V]2＝2|V| すなわち|E|≧|V|となるので成立。それ以外の場合は、ある頂点v_0の次数が1以下である。 (V,E)の連結性により、v_0の次数は自動的に1となる。Vからv_0を取り除き、 v_0から出ている唯一の辺も取り除く。残ったグラフを(V',E')とすると、 これは再び連結グラフであり、|V'|＝k なので、帰納法の仮定から|E'|≧|V'|－1 である。 |E|＝|E'|＋1, |V|＝|V'|＋1 なので、|E|≧|V|－1 となる。よって、|V|＝k＋1のときも成立。 これは証明の書き方の問題で、上記の書き方なら見通しがよく自明に感じられる。 一方で、ID:lyarOMkDみたいな書き方をすると、論理構造が不必要に複雑な様相を呈してしまい、 なんというか、心理的に「難しいことをやった満足感」が出てしまって、 自明ではないように錯覚してしまうのだろう。
629:１３２人目の素数さん
22/10/16 21:54:23.77 jJqywZFn.net
>>594
グラフの中にループがあれば 適当に |E.loop| 個の辺を取り除けばツリー構造となる
さらに頂点の辺の対(pinhead & pin) を取り除いていけば最後に 1つだけ頂点が残る
よって |E| = |E.loop| + |E.pin| ≧ |E.pin| = |V.pinhead| = |V| - 1
クソ真面目な証明もあるけど、これくらいで十分だろ
先に行けば難しいことなんていくらでもあるし力抜けるとこは抜いていくべき
630:１３２人目の素数さん
22/10/16 22:02:55.34 TsL4LpwB.net
何で1本増やして何点増えるか差分で考えないかね
631:１３２人目の素数さん
22/10/17 00:38:59.75 iu9UMTW/.net
大学なんだからオイラー標数使ってええやろ
632:あ
22/10/17 09:51:15.47 hB8RaM6d.net
永守さん、こんな切羽詰まった毎日の経営者なのか
覚悟が出来ている経営者だから強いのか
それでも後継者選びでの困難って大変やな
シャープをぶっ壊して、安泰老後の某2名とはエライ違いだな
そりゃ、そのうち1名は解任（事実上のクビ）になるわけだ
もう1名は、ノコノコとFRIDAYされているし
そこでも、うなぎの秘伝のタレではなく、オムライスとか、目玉焼きとかわけのわからん持論を
公に展開しているし
ダメだわ、ここの過去のトップ
日本電産・永守会長が20年前に吐露した「死への恐怖、ポスト永守、『自分より上』の経営者…」
10/17(月) 6:01配信
URLﾘﾝｸ(news.yahoo.co.jp)
一部引用）
永守氏 それは違う。死に対する恐怖があるかどうか、最期はそこやね。
ぼくは何も怖くない。ただ、死に対する恐怖はある。で、おそらく会社をつぶしたら自殺するでしょう。
つぶしておいて、のこのこ世間さまに出ていく勇気はないですわな。死で償う。
その死が怖いから、365日会社に行って、ああ今日もまだある、と思っているわけや。
―つまり、人生を賭けている。
永守氏 そうや。その緊張感が経営者としての条件でしょう。だいたい、今の日本は総理大臣から経営者まで、
死に対する恐怖がなさすぎる。下手をしても、国会や株主総会で頭
633:を下げれば済むと思っている。 みなさん立派な能力をお持ちなんだけど、能力だけで経営はできない。 一部引用続く）
634:１３２人目の素数さん
22/10/17 10:37:26.15 E3JR+M03.net
f(x + y) = f(x) * f(y) for all x ∈ R を満たす関数で、 f(x) = a^x (a >0)、 f(x) = 0 以外の
関数が存在することを示せ。
635:１３２人目の素数さん
22/10/17 12:34:50.45 nKbGJWvs.net
加法群の準同型写像p(x):ℝ→ℝと正の数aに対してf(x) = a^p(x)は条件を満たす
636:１３２人目の素数さん
22/10/17 13:20:47.53 mn7HhBDI.net
>>610
使ったらどう説明できるの？
637:ともひこ
22/10/17 15:30:48.12 VdiRS3FD.net
自分でかんがえて
638:１３２人目の素数さん
22/10/17 15:45:01.09 E3JR+M03.net
命題2.4：
始点 s から各頂点へ最短路が存在すると仮定する。このとき、 s を根とする
有向全域木 T が存在して、 T における s から頂点 v への有向路は、 s から
頂点 v への最短路となっている。
証明：
始点 s から各頂点 v への最短路（の枝集合）を P_v とし、 T = ∪_{v ∈ V} P_v とおく。
定理2.3と命題2.2より、 P_v は単純有向路としてよい。 T の要素数がちょうど n - 1 であれば、
これは有向全域木であり、各頂点への最短路を含む。一方、 T の要素数が n 以上の場合は、
以下の手順で最短路を繰り返し修正することにより、所望の有向全域木を求めることができる。
T の要素数が n 以上と仮定する。このとき、ある頂点 v_* ∈ V - {s} が存在して、 T の中には
v_* に向かう枝が2つ以上ある。
…
639:１３２人目の素数さん
22/10/17 16:01:23.79 E3JR+M03.net
v_* に向かう枝が2つ以上あることの証明ですが、どのような証明が典型的なものと考えられますか？
証明：
T を無向グラフと考えたとき、 T は連結であり、 #T = n だから無向閉路が存在する。
T の作り方から s に向かう枝は存在しないから、 s はこの無向閉路上にはない。
仮に、
>>616
での v_* が存在しないと仮定する。
v を 上の無向閉路上の任意の頂点とする。 T の定義により、 T の中には v へ向かう枝が存在するが、
仮定により、そのような枝は唯一つしか存在しない。ゆえに、この無向閉路を有向グラフとして考えた
とき、有向閉路である。
T の作り方から、 s から v への有向路が存在する。
ところが、 s は上の有向閉路には含まれないからこれは矛盾である。
640:１３２人目の素数さん
22/10/17 16:23:53.02 E3JR+M03.net
分かりやすく書き直しました：
命題2.4：
始点 s から各頂点へ最短路が存在すると仮定する。このとき、 s を根とする
有向全域木 T が存在して、 T における s から頂点 v への有向路は、 s から
頂点 v への最短路となっている。
証明：
始点 s から各頂点 v への最短路（の枝集合）を P_v とし、 T = ∪_{v ∈ V} P_v とおく。
定理2.3と命題2.2より、 P_v は単純有向路としてよい。 T の要素数がちょうど n - 1 であれば、
これは有向全域木であり、各頂点への最短路を含む。一方、 T の要素数が n 以上の場合は、
以下の手順で最短路を繰り返し修正することにより、所望の有向全域木を求めることができる。
T の要素数が n 以上と仮定する。このとき、ある頂点 v_* ∈ V - {s} が存在して、 T の中には
v_* に向かう枝が2つ以上ある。
…
v_* に向かう枝が2つ以上あることの証明ですが、どのような証明が典型的なものと考えられますか？
証明：
T を無向グラフと考えたとき、 T は連結であり、 #T = n だから無向閉路が存在する。
仮に、上の v_* が存在しないと仮定する。
v を上の無向閉路上の任意の頂点とする。 T の定義により、 T の中には v へ向かう枝が存在するが、
仮定により、そのような枝は唯一つしか存在しない。ゆえに、この無向閉路を有向グラフとして考えた
とき、有向閉路である。 T の作り方から s に向かう枝は存在しないから、 s はこの有向閉路上にはない。
T の作り方から、 s から v への有向路が存在する。
この有向路上の頂点で最初に上の有向閉路上の頂点ともなる頂点を w とする。
上の有向路上で w の直前の頂点を u とする。 w は上の有向閉路上の頂点であるから、 w へ向かう
上の有向閉路上の枝が存在する。 u は w についての仮定から、上の有向閉路上の頂点ではない。
以上から、 w へ向かう少なくとも2つ以上の枝が存在することになる。 これは矛盾である。
641:１３２人目の素数さん
22/10/17 16:33:41.35 E3JR+M03.net
もっと分かりやすく書き直しました：
命題2.4：
始点 s から各頂点へ最短路が存在すると仮定する。このとき、 s を根とする
有向全域木 T が存在して、 T における s から頂点 v への有向路は、 s から
頂点 v への最短路となっている。
証明：
始点 s から各頂点 v への最短路（の枝集合）を P_v とし、 T = ∪_{v ∈ V} P_v とおく。
定理2.3と命題2.2より、 P_v は単純有向路としてよい。 T の要素数がちょうど n - 1 であれば、
これは有向全域木であり、各頂点への最短路を含む。一方、 T の要素数が n 以上の場合は、
以下の手順で最短路を繰り返し修正することにより、所望の有向全域木を求めることができる。
T の要素数が n 以上と仮定する。このとき、ある頂点 v_* ∈ V - {s} が存在して、 T の中には
v_* に向かう枝が2つ以上ある。
…
v_* に向かう枝が2つ以上あることの証明ですが、どのような証明が典型的なものと考えられますか？
証明：
T を無向グラフと考えたとき、 T は連結であり、 #T = n だから無向閉路が存在する。
仮に、上の v_* が存在しないと仮定する。
v を上の無向閉路上の任意の頂点とする。 T の定義により、 T の中には v へ向かう枝が存在するが、
仮定により、そのような枝は唯一つしか存在しない。ゆえに、この無向閉路を有向グラフとして考えた
とき、有向閉路である。この有向閉路を C とする。 T の作り方から s に向かう枝は存在しないから、
s は C 上にはない。
T の作り方から、 s から v への有向路 P が存在する。
s は C 上にはなく、 v は C 上にあることに注意する。
P 上の頂点で最初に C 上の頂点ともなる頂点を w とする。
w は s とは異なるから、 P 上には、 w の直前の頂点 u が存在する。u は w についての仮定から、
C 上の頂点ではない。 w は C 上の頂点であるから、 w へ向かう C 上の枝が存在する。
以上から、 w へ向かう少なくとも2つ以上の枝が存在することになる。 これは矛盾である。
642:１３２人目の素数さん
22/10/17 19:16:34.13 uCeLdhKm.net
>>615
君に聞いたんじゃ無いけど？
分かんないなら口出さないでね
643:１３２人目の素数さん
22/10/17 19:17:42.47 xXilSQkW.net
だな
644:１３２人目の素数さん
22/10/21 19:20:50.27 SO5fgyTN.net
微分積分の教科書で最初の数章に必ずある「実数と連続」や「関数」
などをより詳しく学びたい場合はどういうジャンルの本を学べばいいんですか？
「微分積分」というジャンルではないですよね？
でも「実数、連続」みたいなジャンルのコーナーは書籍に存在しないし、総当たりで探しても全く見つかりません
645:１３２人目の素数さん
22/10/21 19:22:52.38 f5ITm
646:dZ2.net
647:１３２人目の素数さん
22/10/21 19:25:59.42 POBo4qaZ.net
>>622
よく分からないからもっと詳しい説明が書いてある本を探しているということですか？
648:１３２人目の素数さん
22/10/21 19:39:20.80 GFb/PGdE.net
>>622
descriptive set theoryで検索したら貴方好みのページが見つかるかも
649:１３２人目の素数さん
22/10/21 19:53:40.42 T0X1VZyu.net
そんなに突っ込んだ話じゃなくちょっと詳しくやりたい程度なら
東大出版の「数学の基礎」あたりで十分かと
650:１３２人目の素数さん
22/10/21 20:08:39.09 ScNOTOVp.net
連続性なら「ホモトピー」だろ
651:１３２人目の素数さん
22/10/21 20:15:35.47 ScNOTOVp.net
テレビ版旧エヴァの最終回は
ホモトピー代数とかのニワカが拘束力学系の解析力学をゲージ理論方面から眺めたわかってんだかわかってないんだかな議論みたく見える。
源平討魔伝のエンディングの「神は死んだ、悪魔は去った」の神と名字が被る深谷賢治あたりの同時代感がある論説記事にテーマが近く感じる。
まあ違うナムコのDDS2のエンディング前に「プログラムドバイナカジマ」を確認できるエビラの人と同時期両看板なイメージだが。
652:１３２人目の素数さん
22/10/21 21:29:12.30 ScNOTOVp.net
これからの幾何学 深谷～広がりゆくトポロジーの世界 玉木
ぐらいの期間の印象。
653:１３２人目の素数さん
22/10/21 21:31:28.62 Wgp7wJ2y.net
>>622
Basic Analysis 1(Jiri Lebl)など
そもそも最近の海外ででている解析学の教科書と比べて、和書の解析学(微分積分学)の教科書はちゃんと書かれていない(厳密ではなくイメージに依存した古い感覚で書かれている)
だから疑問に持つのもおかしくない
654:１３２人目の素数さん
22/10/21 22:12:59.29 fSYIhYE1.net
>>622
位相空間論？
655:１３２人目の素数さん
22/10/21 22:16:16.79 fSYIhYE1.net
>>627
>連続性なら「ホモトピー」だろ
バカ？
656:１３２人目の素数さん
22/10/21 22:24:12.08 ScNOTOVp.net
URLﾘﾝｸ(www.sci.tohoku.ac.jp)
657:１３２人目の素数さん
22/10/21 23:22:58.62 WxIJeRy+.net
以下の複素積分の問題の解法を教えて頂きたいです
C:z=exp(it) (0≦t≦π)とするとき、
∫_C(√z)dzの値を求めよ。
（√zは平方根の主値を表す）
答えは-2(1+i)/3です
658:１３２人目の素数さん
22/10/21 23:29:53.56 2SQbOIKX.net
>>634
∫_C(√z)dz
= ∫[0,π]exp(it/2)i exp(it)dt
= i∫[0,π]exp(3/2it)dt
= 2/3[exp(3/2it)]_0^π
= 2/3exp(3π/2i) - 2/3exp(0)
659:ともひこ
22/10/21 23:44:59.51 wmINIqH6.net
ふくそ数のびぶんなんて
そんなこと、できてたまるか。 （ ' ‘ω‘ )
660:１３２人目の素数さん
22/10/21 23:54:45.60 fSYIhYE1.net
>>634
[(2/3)z^(3/2)][1,-1]（ただし平方根は上半平面の分枝）
=(2/3)(i^3-1)
=-(2/3)(1+i)
661:１３２人目の素数さん
22/10/22 00:42:23.39 IJaKiA99.net
>>635
わかりました！
ありがとうございます！
>>637
zの範囲を出して解いた感じですかね？
教科書の例題は
662:>>635さんが書いてくれたやり方になってるんですが、こちらのやり方でも問題ないならこちらを使いたいです
663:１３２人目の素数さん
22/10/22 12:23:13.12 IJaKiA99.net
∫[1, π+i] zcos2z dz
=(cosh2-2sinh2+2πisinh2-1)/4
となるはずなのですが、途中の処理の仕方がわかりません
{(2zsin2z+cos2z)/4}'=zcos2z という原始関数を利用すると答えが合いませんでした
664:１３２人目の素数さん
22/10/22 12:45:16.87 YZXAzKeC.net
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
665:１３２人目の素数さん
22/10/22 14:40:48.29 IJaKiA99.net
>>640
こんな便利なサイトがあったとは……
教えて頂きありがとうございます！
666:１３２人目の素数さん
22/10/23 01:39:31.16 7oDzHDGj.net
複素積分で
∫_(|z|=1) tanz dz=0 を証明せよ。
という問題なのですが、tanzが正則であることを示すにはどうすればいいですかね？
|z|=1からz=exp(it) (0≦t≦2π)として代入して処理すべきですか？
正則であることが言えればコーシーの積分定理を適用して証明できるはずなんです
667:１３２人目の素数さん
22/10/23 02:01:58.45 +nDVMN8I.net
>>642
coszの零点はどこか2次方程式を解いて調べると分かろうよ
668:１３２人目の素数さん
22/10/23 07:18:36.60 zyp/ASe3.net
>>642
t+t^{-1}=0-->t^2=-1-->t=\pmi
e^{iz}=\pmi---> z=\pm\pi/2+2n\pi
よってcoszは|z|<1でゼロ点を持たない。
669:１３２人目の素数さん
22/10/23 12:58:00.62 7oDzHDGj.net
>>643
tanz=sinz/coszで、分母であるcoszが0にならなければ正則だということですよね
sinz,coszは正則だからtanzも正則になると
わかりましたありがとうございます！
>>644
すみません自分の勉強不足で式の意味がよくわかりませんでした……
670:１３２人目の素数さん
22/10/23 13:40:37.82 +nDVMN8I.net
>>645
チと違う
>>644を
671:１３２人目の素数さん
22/10/23 16:22:08.58 7oDzHDGj.net
>>646
sinz,coszは複素数平面上で常に正則
cosz=0すなわちz=(2n+1)π/2のときは正則でないが、これは|z|=1を満たさない
ゆえに|z|=1の範囲ではtanzは正則
という理解で合ってますかね……？
672:１３２人目の素数さん
22/10/23 16:28:26.59 oIrBag/h.net
|z|=1ではないですよね
673:ともひこ
22/10/23 16:40:28.65 RXvo6MCl.net
それは
たしか確かな情報です。
674:１３２人目の素数さん
22/10/23 16:53:01.69 +NZEJ9WX.net
>>647
>>cosz=0すなわちz=(2n+1)π/2のときは正則でないが、これは|z|=1を満たさない
>>ゆえに|z|=1の範囲ではtanzは正則
「cosz=0すなわちz=(2n+1)π/2」ここを2次方程式を解いて検証したのが644
\pmはプラスマイナス(複合)
675:１３２人目の素数さん
22/10/23 16:57:13.41 +NZEJ9WX.net
訂正
複合ー－＞複号
676:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:13:04.06 7oDzHDGj.net
>>650
なるほど！そういう意味でしたか
理解できましたありがとうございます！
677:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:29:54.39 F4feulSb.net
>>652
たぶんわかってない
「|z|=1の範囲ではtanzは正則」ではなく
「|z|≦1の範囲ではtanzは正則」を示さないといけない
(うるさく言うと|z|≦1を含む開領域でtanzは正則を示す)
678:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:40:35.11 xgrNemdI.net
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap3-4/chap3-4.pdf
問題3.4.4（クーポンコレクター問題）の解答は正しいでしょうか？
679:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:54:01.93 7IX/Ea5L.net
回数の期待値がN/1+N/2+‥+N/Nになるのは正しい
途中は知らんけど
680:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:56:49.32 xgrNemdI.net
途中の解説がよく分かりません。その解説が正しいものなのかが知りたいです。
681:１３２人目の素数さん
22/10/23 17:57:55.12 7IX/Ea5L.net
まぁぱっと見あってるよ
682:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:02:46.28 xgrNemdI.net
r種類のコインを既に持っている状態からr+1種類目のコインを手に入れるまでに必要なコインの購入回数が
1回以上である確率 = 1
2回以上である確率 = (r/N)^1
3回以上である確率 = (r/N)^2
4回以上である確率 = (r/N)^3
などとなるのはわかりますが、
これからN種類のコインを集めるのに必要な購入回数の期待値が、
1 + (r/N)^1 + (r/N)^2 + … + = N / (N - r)
になるというのが分かりません。
683:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:09:35.57 xgrNemdI.net
ちょうど1回である確率 = 1 - (r/N)^1
ちょうど2回である確率 = (r/N)^1 - (r/N)^2
ちょうど3回である確率 = (r/N)^2 - (r/N)^3
などとなるので、
1 * [1 - (r/N)^1] + 2 * [(r/N)^1 - (r/N)^2] + 3 * [(r/N)^2 - (r/N)^3] + …
= 1 + (r/N)^1 + (r/N)^2 + … + = N / (N - r)
となるという説明であれば納得がいきますが、いきなり最後の式を導出しています。
684:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:10:06.70 +nDVMN8I.net
>>653
>うるさく言うと
五月蝿くない
そこ重要
685:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:12:54.28 7oDzHDGj.net
>>653
複素数平面上ではsinz,coszは常に正則なので、tanzもcosz=0の時以外は正則
そのcosz=0の時のzは|z|=1の内部に無い
つまり|z|=1の内部ではtanzは正則
っていう書き方だと減点されますかね？
686:１３２人目の素数さん
22/10/23 18:29:07.66 7IX/Ea5L.net
>>659
> ちょうど1回である確率 = 1 - (r/N)^1
> ちょうど2回である確率 = (r/N)^1 - (r/N)^2
> ちょうど3回である確率 = (r/N)^2 - (r/N)^3
> などとなるので、
> 1 * [1 - (r/N)^1] + 2 * [(r/N)^1 - (r/N)^2] + 3 * [(r/N)^2 - (r/N)^3] + …
> = 1 + (r/N)^1 + (r/N)^2 + … + = N / (N - r)
> となるという説明であれば納得がいきますが、いきなり最後の式を導出しています。
上の式変形して下の式になるので納得行くならそれでいいやん
687:１３２人目の素数さん
22/10/23 19:04:29.96 F4feulSb.net
>>660
状況に応じて厳密さを使い分けることを覚えましょう
688:１３２人目の素数さん
22/10/23 19:09:18.60 iiQM/xNP.net
>>661
|z|=1の境界ではどうなんだろうってちょっと気になりますね
689:１３２人目の素数さん
22/10/23 20:52:23.95 ESu0BzCm.net
∫_C1/(z^3+4z)dz（C:|z|=3）
これを解くとき被積分関数をどう変形すれば良いですか
690:１３２人目の素数さん
22/10/23 20:53:57.42 +nDVMN8I.net
>>663
立派なことですこと
691:１３２人目の素数さん
22/10/23 21:01:04.75 7oDzHDGj.net
>>664
なるほど……
内部だけでなく境界にも含まないことを明示しないとまずいですか
692:１３２人目の素数さん
22/10/23 21:33:31.86 xgrNemdI.net
事象が独立、確率変数が独立、試行が独立
これらが詳しく解説されている本はありますか？
693:１３２人目の素数さん
22/10/23 22:43:40.11 F4feulSb.net
>>666
立派でもなんでもない普通の話。
単一の尺度しか使えない人間がおかしい。
694:１３２人目の素数さん
22/10/24 00:41:20.74 +y5g9lSl.net
Σ1/(n+i)って発散するんですか？
ダランベールの判定法を使うと収束しそうなんですが……
695:１３２人目の素数さん
22/10/24 00:53:24.28 +apjz/4q.net
Σ1/(n+i)が収束→Σ1/(n+i)、1/(n-i)が収束→Σn/(n²+1)が収束→Σn/(n²+1) + 1/(n(n²+1))が収束→Σ( n/(n²+1) + 1/(n(n²+1)) ) = Σ1/nが収束
696:１３２人目の素数さん
22/10/24 01:27:59.89 gxR2VJPY.net
>>670
Σ1/nから有限個の項がないだけなので発散する。(これじゃ納得いかないか？
ダランベール判定法だと1になって収束発散は判定できないと思うが。
考えの詳細を書いてもらわないとこれ以上はコメントできないな。
697:１３２人目の素数さん
22/10/24 06:36:25.48 NqDJNPzo.net
>>669
他人をおかしいと言い切るのはご立派で無くてはできませんね
698:１３２人目の素数さん
22/10/24 07:04:49.48 GaDzP1V7.net
自分に対するどんな批判も許さないというのは
プーチンのように
老い先短いものにのみ許された特権かもしれない
699:１３２人目の素数さん
22/10/24 09:20:07.31 +y5g9lSl.net
>>672
Σ1/n自体は収束しますよね？
だから有限個の項を取り除いたΣ1/(n+i)も収束するんじゃ……？
ダランベールの判定法は1になると判定できないんですね
勘違いしてました
700:１３２人目の素数さん
22/10/24 09:55:21.35 RVVdPxf0.net
>>673
>>666については言いきれ
701:る
702:１３２人目の素数さん
22/10/24 10:41:00.43 nK7uX7AC.net
>>675
2^k/leq n <2^{{k+1}}-->1+1/2+/cdots+1/n>(k+1)/2.
n/to/inftyならk/to/inftyなので
Σ1/n=/infty
703:１３２人目の素数さん
22/10/24 10:55:22.47 rexIrF14.net
さすがにネタ
704:１３２人目の素数さん
22/10/24 10:57:17.82 Y4d1F0jj.net
>>675
調和級数は発散します
高校生でも知ってると思いますけど
705:１３２人目の素数さん
22/10/24 10:59:27.70 +y5g9lSl.net
調和級数を知らなかった……お恥ずかしい……
Σ1/nは発散するので有限個の項を抜いただけのΣ1/(n+i)も発散する、と
調和級数を使わずにΣ1/(n+i)単体で証明する方法とかって他にありますかね？
コーシーもダランベールも使えないので難しいですか
706:１３２人目の素数さん
22/10/24 11:04:38.27 ZMzmMyLF.net
>>676
>>663がご立派な方からのご指南であることも論を俟ちませんね
707:１３２人目の素数さん
22/10/24 11:05:05.66 nK7uX7AC.net
>>680
>>Σ1/nは発散するので有限個の項を抜いただけのΣ1/(n+i)も発散する
iは自然数であって虚数単位ではなかった？
708:１３２人目の素数さん
22/10/24 11:13:53.19 +y5g9lSl.net
>>682
iは虚数単位です
あれ虚数単位だと有限個の項を抜いて調和級数になるわけじゃない……？
頭がごちゃごちゃになってきた……
709:１３２人目の素数さん
22/10/24 12:07:43.74 GwN+2kc1.net
気持ち悪い文末の「…」をNGにした
710:１３２人目の素数さん
22/10/24 12:41:11.28 +y5g9lSl.net
>>684
癖でつけてました不快にさせてすみません
711:１３２人目の素数さん
22/10/24 13:12:20.23 WhN3UlUK.net
…のかわりに(´・ω・`)使うとキモさがパワーアップしていいよ
712:１３２人目の素数さん
22/10/25 09:30:37.43 PmjaftZ2.net
二項分布B(n, p)がnが大きいとき、正規分布で近似できるという定理を証明するのに必要な
予備知識は何ですか？
713:１３２人目の素数さん
22/10/25 09:39:22.89 wusYNZro.net
Levyの反転公式とか
714:１３２人目の素数さん
22/10/25 09:41:08.17 wusYNZro.net
イヤ, crtではなくて2項分布限定ならstiringの公式だけでもなんとかなるか
715:１３２人目の素数さん
22/10/25 10:17:52.70 PmjaftZ2.net
>>688-689
ありがとうございました。
純粋に解析学の結果だと思いますが、微分積分の本で演習問題か何かで証明している本はないですか？
716:１３２人目の素数さん
22/10/25 10:36:54.58 R1CUsz0D.net
>>687
個数が多いと独立に近づいていく
717:１３２人目の素数さん
22/10/25 10:47:35.28 wusYNZro.net
>>690
Levy の反転公式はちょっと高度、教科書でさがすなら数学科の専門課程で読むレベルの教科書当たらないと難しい
Stiringの公式はそうでもない、般教のレベルの教科書に載ってる
具体的にと言われると俺の読んだ教科書はもう絶版してる
でも今の時代なら今のキーワードでググればアホほどネットに転がってる
718:１３２人目の素数さん
22/10/25 13:04:36.00 PmjaftZ2.net
>>691-692
ありがとうございました。
>>692
ネットで探してみます。
719:１３２人目の素数さん
22/10/25 16:42:04.11 NushXwQu.net
三行目の式変形がわからなくて困ってる どうしたら1/xが出てくるんだ
初歩的な質問で申し訳ない
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
720:１３２人目の素数さん
22/10/25 17:11:46.34 PmjaftZ2.net
甘利俊一さんの情報理論の本ですね。
721:１３２人目の素数さん
22/10/25 17:16:27.43 PmjaftZ2.net
f(x + ε * x) = f(1 + ε) + f(x)
f(x + ε * x) - f(x) = f(1 + ε)
この両辺を ε * x で割ると、
[f(x + ε * x) - f(x)] / [ε * x] = (1/x) * f(1 + ε) / ε
となる。
ということだと思います。
722:１３２人目の素数さん
22/10/25 18:05:16.84 PmjaftZ2.net
以下のコードが配列 A を昇順にソートすることを証明せよ。
for i in range(N):
723: ■■for j in range(N): ■■■■if A[i] < A[j]: ■■■■■■swap(A[i], A[j])
724:１３２人目の素数さん
22/10/25 18:24:25.90 J3r5rMEr.net
>>694
左辺の分母εxじゃん
725:１３２人目の素数さん
22/10/25 19:35:35.09 x3m7p8p/.net
for loop でi はrange(A)(だよね)の小さい方から呼ばれるのは確定してるん？
726:１３２人目の素数さん
22/10/25 19:39:56.71 PmjaftZ2.net
>>699
C++風に書くと、以下のコードになります。
vector<int> A(N);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
■■cin >> A[i];
}
for (int i = 0; i < N; ++i) {
■■for (int j = 0; j < N; ++j) {
■■■■if (A[i] < A[j]) {
■■■■■■swap(A[i], A[j]);
■■■■}
■■}
}
727:１３２人目の素数さん
22/10/25 20:41:41.34 qRcqF8Uu.net
>>700
Aのサイズに関するinduction
♯A = 1なら自明
♯A<Nではよいとして♯A=Nとする
i = 1 で内ループが終わった状態ではA[1]に最大元が移動する
ここでi:2～N-1でのステップでj=Nとなる時点では必ずA[i]は最大元が入ることになるので事実上A[N]は動かない
よってループはサイズがひとつ小さいサイズのArrayに対して行なっている操作と同じになる、ただしiが2～しか走っていないが、仮に改めてもう一度i:1～N-1で走らせてもA[1]に最大元が入っている状態からスタートなのでどのみちi=1の時点では何も起こらない事に注意する
よってi:2～N-1まで走らせた時点で帰納法の仮定からA[1]～A[N-1]は昇順に並んでいる
この状態で最後のi=Nのステップで全て昇順になる事は容易である□
728:１３２人目の素数さん
22/10/26 00:30:01.50 P3jpJ7pP.net
補題 長さNのarray A[0]～A[N-1]においてA[0]～A[N-2]は昇順であるとする
ここに次のコードをapplyすると全体が昇順にソートされる
i = N-1;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
(∵) Nについての帰納法
N=1なら自明
N<Mで成立するとしてN=Mとする
j=0での処理を終えた時点でA[0]が最小元となるのは自明
またA[1]～A[N-2]は昇順でここにi=1から始まるコードをapplyすればA[1]～A[N-1]は帰納法の仮定により昇順にソートされる□
729:１３２人目の素数さん
22/10/26 00:30:40.36 P3jpJ7pP.net
主張の証明
♯A < N で成立すると仮定して♯A = Nとする
コードを次のように変更しても結果は変わらない
i = 0;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
for (int i = 0; i < N-1; ++i) {
for (int j = 0; j < N-1; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
}
i = N-1;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
(∵ 元のコードでi=0の処理が終わった時点でA[0]には最大元が入っている
一方で各1≦i<N-1にたいしてj<N-1の処理が終わった段階ではA[i]にはA[0]～A[N-2]の最大元が入る
よってこの時点でA[i]には全体の最大元が入ることになる
よって続くj=N-1のときの処理ではifの条件は常にFalseであり処理が行われる事はない
よって1≦i<N-1, j=N-1の時の処理は省いても結果は変わらない)
ここで帰納法の仮定により改変後のコードにおいて最後のループを始める前の時点ではA[0]～A[N-2]は昇順になっている
この状態で最後のループによって昇順になる事は既に補題で示されている□
730:１３２人目の素数さん
22/10/26 04:40:11.07 cHlveV8v.net
>>696, 698
ありがとうございます、助かりました
731:１３２人目の素数さん
22/10/26 06:56:09.62 Vss1j+8B.net
>>701-703
多分正解だと思いますが、正当性を記述するのって面倒ですね。
732:１３２人目の素数さん
22/10/26 10:15:21.88 Vss1j+8B.net
>>697,700
著者の解答は以下です：
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap3-6/chap3-6.pdf
これって間違っていませんか？
733:１３２人目の素数さん
22/10/26 10:37:34.59 rvp30j2k.net
まぁダメやろな
i = 0～N-2まで動く時もjは0～N-1まで動いてしまうためにi:0～N-2の時の動作結果は“帰納法の仮定”を適用できんからな
734:１３２人目の素数さん
22/10/26 11:38:43.03 8peJPiGV.net
>>706
735: だいたい合ってるよ 細かいこと言うならこんな感じ↓ i=I-1の ”内側 j ループ終了の” 時点で、A[t－1] ≦ A[I] ”<” A[t]のとき .. . . • j=t+1,..., I－1でもswapされる。 結果は同じだが A[I]=A[j] の時は swapされない swap過程で A[1]≦A[2]≦...≦A[I-1] 順序に変化は起きないことは明らか • それ以降: A[I] の値が増える可能性はあるが、減ることはない j=I－1 直後は A[I-1] ≦ A[I] とは限らないが jループ終了後は A[I] に最大値が入ることは明らか その結果 A[1]≦A[2]≦...≦A[I-1] ≦A[I] となる.
736:708
22/10/26 14:06:51.89 8peJPiGV.net
> j=I－1 直後は A[I-1] ≦ A[I] とは限らないが
↑
少し訂正
I = 0 の場合:
明らかに内側 j ループ終了時点で A[I] に最大値が入る.
I > 0 の場合:
内側 j ループ ”処理開始”時点で A[I-1] に最大値が入っている(※帰納法の仮定に加える)ので
j=I-1 で swap が起きたら A[I-1] < A[I] , 起きなければ A[I-1] = A[I] のまま変わらない.
いずれにしろ j=I-1 ”処理終了”時点で A[I-1] ≦ A[I] が確定して A[I] に最大値が入る.
j=I 以降で swap は生じない.
737:１３２人目の素数さん
22/10/26 18:28:46.82 i/+rfYjL.net
まぁ二重の帰納法で受験数学の問題だとかなり難問だよな
738:１３２人目の素数さん
22/10/26 20:47:56.30 KTa78anx.net
>>705
プログラムの正当性の証明を与える理論があったような気がする
帰納法で証明するなら
「内側のループ抜けた時点でそこまでのソートが終了している」
という命題にするのね
739:１３２人目の素数さん
22/10/27 20:03:51.08 dVXdGNpU.net
atcoder.jp/contests/math-and-algorithm/tasks/math_and_algorithm_bi
f : N → N を f(n) が n の約数の個数であるような関数とする。
1 * f(1) + 2 * f(2) + … + n * f(n)
の値を O(n) で出力する方法を述べよ。
740:１３２人目の素数さん
22/10/27 20:04:43.63 dVXdGNpU.net
>>707-711
ありがとうございました。
741:１３２人目の素数さん
22/10/27 20:06:25.53 dVXdGNpU.net
リンク先を間違えました。訂正します。
atcoder.jp/contests/math-and-algorithm/tasks/abc172_d
f : N → N を f(n) が n の約数の個数であるような関数とする。
1 * f(1) + 2 * f(2) + … + n * f(n)
の値を O(n) で出力する方法を述べよ。
742:１３２人目の素数さん
22/10/27 20:56:35.09 dVXdGNpU.net
あ、分かりました。
農{d = 1}^{n} d * (floor(n/d) * (floor(n/d) + 1)) / 2
これで Θ(n) で計算できますね。
743:１３２人目の素数さん
22/10/27 21:49:23.36 TYQqpd07.net
>>715
どうしてこれで計算できるのか、誰か教えてください
744:１３２人目の素数さん
22/10/28 01:21:30.81 lv2p8O4G.net
1 * f(1) + 2 * f(2) + … + n * f(n)
= Σ[ m ≦ n ]Σ[ d ≦ n, d | m ] m
= Σ[ d ≦ n ]Σ[ m ≦ n, d | m ] m
= Σ[ d ≦ n ]( d + 2d + 3d + ... + ⌊n/d⌋d )
= Σ[ d ≦ n ] d⌊n/d⌋(⌊n/d⌋+1)/2
745:１３２人目の素数さん
22/10/28 08:04:37.22 7H6AX/lv.net
>>717
ありがとうございます、理解できました
Σ[ m ≦ n ]Σ[ d ≦ m, d | m ] m
= Σ[m ≦ n]Σ[d ≦ m] m * θ(d|m) { θ(expr) := expr ? 1 : 0 }
= Σ[m ≦ n]Σ[d ≦ n ] m * θ(d|m)
= Σ[d ≦ n]Σ[m ≦ n] m * θ(d|m)
=Σ[d ≦ n] { d + 2d + ... + floor(n/d)*d } = ...
746:１３２人目の素数さん
22/10/28 09:47:19.16 Fb3X/X4M.net
以下は、高校の教科書からの引用です。
(1)
次に、 U の中に、2つの事象 A, B がある場合を考えよう。
このとき、次のような事象を考えることが多い。
A, B がともに起こる事象 A ∩ B
A, B の少なくとも一方が起こる事象 A ∪ B
-----------------------------------------------------------
(2)
1枚の硬貨を投げる試行を T_1、1つのサイコロを投げる試行を
T_2 とし、試行 T_1 と試行 T_2 を組み合わせた試行を考える。
この試行において、
硬貨では表が出る事象を A,
サイコロでは 1 または 2 の目が出る事象を B
とするとき、確率 P(A ∩ B) を求めてみよう。
-----------------------------------------------------------
(1)では、全事象 U というのがあって、 A, B はその中の事象です。
(2)では、 T_1 に対応する全事象 U_1 があり、 T_2 に対応する
全事象 U_2 があります。 A は U_1 の中の事象であり、 B は U_2
の中の事象です。それにもかかわらず、「確率 P(A ∩ B) を求めてみよう」
などと平然と書いています。 A ∩ B などというものは考えられないにもかかわらず。
747:１３２人目の素数さん
22/10/28 10:11:13.31 lqOqCRZy.net
このスレを見ていると
3流の国立や私立大の理系への考えが変わったわ。
「3流大でも入学後にちゃんと勉強して単位をとってたら
それなりに出来るようになるんやなぁ」 って。
であるならば、入学試験の6科目の受験勉強、
あれは何だったんだろうな。
過剰な学力の訓練・要求に思えてきた。
だって入学後にちゃんと大学レベルの数学、解析学についていけるやん？
ち、ちなみに謙虚な神戸大卒 TOEIC700です…( ; ‘ω‘) ﾊｧﾊｧ
748:１３２人目の素数さん
22/10/28 10:25:55.37 7H6AX/lv.net
>>719
高校数学は変な縛りがあるんで執筆者も雑なのは分かってて書いてると思います
この場合の全事象 U は積空間の U_1 × U_2 に
事象 A は A × U_2, 事象 B は U_1 × B に読み替えるべきですね
749:１３２人目の素数さん
22/10/28 10:30:44.97 jgM6IsNM.net
>>720
三流大学や四流大学と認定される大学の学生さんが、ちゃんと学べていないのは、
入試ができない人が学ぶことができないというよりもむしろ、
「三流や四流の自分が勉強しても仕方ない」という意識を持つからだろうね
実際、日本の学力テストが素質を測れるという根拠は存在しない
これは日本の人材の損失で、少子化で更に人材が減っていく以上、三流や四流みたいな固定観念を撤廃していかない限り日本が他の国々に差をつけられていくのは必定だと思う
750:１３２人目の素数さん
22/10/28 11:40:23.68 lqOqCRZy.net
>>722
一般入試組が受験オタク、学力厨という事実が
明るみになってきてますし
今はAO入試・指定校推薦が
入学者の半分近くっていう大学も多いですね。
(下手したら、学力の高いはずの人々が
大学の成績でAO・指定校などの学力の低めの人に負けている場合さえある)
751:１３２人目の素数さん
22/10/28 11:57:16.81 FpKcJleB.net
また部外者君か
752:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:02:15.89 FpKcJleB.net
>>723
AOと推薦がどうしようもないのは2流3流大の場合
1流と4流では大して違いない
ていうか４流では入試機能しないからな
753:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:32:54.51 zGG7ayBU.net
>>723
東北大、早稲田大で、AO入学者のほうが成績が良いというデータもあるしね
成績が最もいいのはAO入学者 東北大、早稲田大の内部資料で判明
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
入試のあり方を今一度見直したほうが良いだろうな、
共通一次が1979年に導入されて以降見直しが殆どないのもどうかと思うし
754:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:36:44.59 FpKcJleB.net
>>726
ここでやる話題ではないし
1流大のAOによい学生が集まるのは当然
枠が増えれば低劣になるだろうも当然
755:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:44:56.72 zGG7ayBU.net
>>727
例えば京都大学の学生数が22,785で、
イギリスのオックスフォード
756:大学が11,930 イギリスの人口が6733万人で日本の1/2しかないことを考えると、 オックスフォード大学はかなり京都大学より枠を広げてるわけだけど、 間違いなく質はオックスフォード大学のほうが京都大学より上だよね？
757:１３２人目の素数さん
22/10/28 12:48:20.49 zGG7ayBU.net
オックスフォード大学は京都大学と同じくらいの枠だな、すまん
とはいえ、同じくらいの枠でオックスフォード大学のほうが京都大学よりずっと上ということは、
やはり京都大学の学生さんに優秀な人が集まっているとは言えないと思う
それはつまり、入試という物差しが優秀さを測ってはいないということだよね
758:１３２人目の素数さん
22/10/29 09:18:23.92 dxAYdFmh.net
K を自然数とする。
M を K の倍数の集合とする。
N を自然数の集合とする。
f : N → N を f(n) が n を10進法で表したときの各桁の和であるような関数とする。
min {f(n) | n ∈ M} を O(K * log(K)) で計算する方法を述べよ。
759:１３２人目の素数さん
22/10/29 09:19:36.57 dxAYdFmh.net
N を自然数の集合とする。
K ∈ N とする。
M ⊂ N を K の倍数の集合とする。
f : N → N を f(n) が n を10進法で表したときの各桁の和であるような関数とする。
min {f(n) | n ∈ M} を O(K * log(K)) で計算する方法を述べよ。
760:１３２人目の素数さん
22/10/29 09:37:37.51 vKZvh9tp.net
g(K) = min {f(n) | n ∈ M} = 1
761:１３２人目の素数さん
22/10/29 10:06:22.86 dxAYdFmh.net
>>732
不正解です。
762:１３２人目の素数さん
22/10/29 10:18:10.55 aLXm9oeN.net
>>732
おっと、そりゃそうだ
確認だけど四則演算はO(1)でいいんやな？
763:１３２人目の素数さん
22/10/29 11:09:16.64 dxAYdFmh.net
>>734
はい。
764:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:33:04.91 FyC0Ec0W.net
まだdebugしてないけど
for(i=0; i<K; i++) A[i] = K;
for(i=0; i<K; i++){
for(f=1; f<10; f++){
A[ (10^i * f)%K ]
= min ( A[ (10^i * f)%K ], f );
}
}
m = 0;
while(A[0]>m){
i = 0;
for(j=0; j<K; j++){
if( A[j]>m && A[j]<A[i] ) i=j;
}
m=A[i];
for(f = 1; f<10; f++){
for(j=0; j<K; j++]{
A[ ( i+10^j * f)%K ]
= min(A[( i + 10^j * f )%K], A[ i ]+f );
}
}
}
765:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:42:21.55 dxAYdFmh.net
>>736
書きませんでしたが、
>>731
は、以下の問題です。
atcoder.jp/contests/math-and-algorithm/tasks/arc084_b
766:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:43:03.30 dxAYdFmh.net
いままで見た競技プログラミングの問題の中でも、いい問題だと思いました。
767:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:49:33.11 dxAYdFmh.net
>>736
コードの内容は見ていませんが、最終的に答えは A のどの要素に入っているんですか？
768:１３２人目の素数さん
22/10/29 17:51:14.90 FyC0Ec0W.net
>>739
A[0]
769:１３２人目の素数さん
22/10/29 18:07:44.42 dxAYdFmh.net
ideone.com/GSFtad
間違っているようです。
770:１３２人目の素数さん
22/10/29 18:11:45.06 mKrwvqce.net
プログラミングの人居着いちゃったけど
出来たら別スレでやってくれないかな
771:１３２人目の素数さん
22/10/29 18:55:32.41 FyC0Ec0W.net
せやね
プログラミングスレの方がいいかもね
772:１３２人目の素数さん
22/10/29 19:12:08.74 FyC0Ec0W.net
書いてきた
ｽﾚﾘﾝｸ(tech板:845番)
プログラミングのお題スレ Part20
773:１３２人目の素数さん
22/10/30 02:36:16.07 jzYKBiql.net
そもそもコレ本当にO(Klog(K))でできるん？
グラフのサイズV = K, E = K²だよな？
探索アルゴリズムこのサイズのグラフでKlog(K)のやつはグクっても見つからないんだけど
774:１３２人目の素数さん
22/10/30 04:55:48.16 7xF2sv+k.net
どのようなグラフを考えているのか知りませんが、
#E = 10 * K
のグラフを考えるのが普通ではないでしょうか？
775:１３２人目の素数さん
22/10/30 09:56:14.75 y/CG6F55.net
>>748
イヤ、普通に
V = {0,1,2,3,4,...}
E = {(p,q,f) ∈ V×V | f∈{1,2,..,9 }, ∃e∈ℤ, p-q ≡ f×10ᵉ ( mod K ) }
w((p,q,f)) = f
で1～9の重�
776:ﾝ付き有向グラフの単経路問題 コレが1番普通だと思うけど これだとちょっと必然的に♯E = O(K²)になるよ
777:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:08:37.85 AezHc4Ib.net
最近、スレのレベルが落ちてるんちゃうかな？
778:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:14:02.25 e4jmSuJH.net
ウィキペディアに、累次積分(逐次積分)と多重積分が違うものだと書かれているのですが、本当ですか？
> 逐次積分の概念を考えるに当たり一つ重要な点としては、これは多重積分とは原則として異なる概念であるということが挙げられる。すなわち、一般にはこの二つは異なるのであるけれども、それでも十分緩やかな条件下でこれらが一致することを主張するフビニの定理が知られている。
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
何が違いますか？
779:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:17:10.47 y/CG6F55.net
>>749
何が違うも何も明らかに定義違うやん
両方の定義書いてみればいい
780:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:26:31.96 y/CG6F55.net
>>746
そもそもホントにO(Klog(K))のプログラム作って実証実験した？
どっかのフリーideにうpしてよ
781:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:29:00.44 7xF2sv+k.net
>>747,751
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap4-5/chap4-5.pdf
問題5.4.8の解答を見てください。
782:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:30:05.71 7xF2sv+k.net
訂正します：
>>747,751
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap4-5/chap4-5.pdf
問題4.5.8の解答を見てください。
783:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:31:32.58 7xF2sv+k.net
#E = 10 * K - 1
ダイクストラのアルゴリズムを使います。
784:１３２人目の素数さん
22/10/30 10:36:47.46 7xF2sv+k.net
ダイクストラのアルゴリズムは、priority queueを使うバージョンです。
785:１３２人目の素数さん
22/10/30 11:30:00.48 pXesArml.net
14x715=10010.
786:１３２人目の素数さん
22/10/30 11:39:48.34 j/LQV7BO.net
高校数学スレの次はここを糞スレにするつもりか
787:１３２人目の素数さん
22/10/30 11:56:21.17 NTLeY4Kt.net
>>750
定義は同じだと思いますけど
積分記号が重なってるという風に存在論的に見るか、逐次という風に操作的に見るかという捉え方の違いなだけで
788:１３２人目の素数さん
22/10/30 12:02:45.26 TFu5GMWG.net
>>758
いや全然違いますけどね
重積分可能でも逐次積分できないものもありますよ
789:１３２人目の素数さん
22/10/30 12:42:23.39 4zjSqvRJ.net
>>754
イヤ、解答ざっと見る限り♯E=O(K²)なんだけど？
♯Eはある一点から出てる辺の本数じゃないよ？
グラフ全体の辺の本数だよ？
そしてダイクストラアルゴリズムの計算量でO(√♯E)ですむアルゴリズムなんかないやろ？
790:１３２人目の素数さん
22/10/30 12:43:54.16 4zjSqvRJ.net
>>758
じゃあ同じと思っとけばいいよ
教科書に書いてある話全部信用しなくてもいい
791:１３２人目の素数さん
22/10/30 12:59:21.82 7xF2sv+k.net
各点から多くとも 10 本の辺が出ています。
そして、点の数は K です。
792:１３２人目の素数さん
22/10/30 13:03:34.07 LJk7NKkj.net
>>762
なんでやねん？
例えば同じ3をついかするのでも
302,3002,3002,....
は全部mod Kの類は違うやん？
もし逆に「そこは0を使えばいい」だと今度は0が何個使った何桁のKの倍数がゴールか決まらないから単経路問題にならない