22/08/21 11:38:40.66 wpUevH6M.net
Michael Spivakさんって2020年10月に亡くなってたんですね．
物理の本の第2巻はもう出ないですね．
201:１３２人目の素数さん
22/08/21 12:01:08.65 qBfCjWkP.net
Michael David Spivak[1] (25 May 1940 – 1 October 2020)[2][3] was an American mathematician specializing in differential geometry, an expositor of mathematics, and the founder of Publish-or-Perish Press. Spivak was the author of the five-volume A Comprehensive Introduction to Differential Geometry.
202:１３２人目の素数さん
22/08/21 17:57:21.46 wpUevH6M.net
Partitions of Unityって，作るまでの過程が泥臭すぎますね．
203:１３２人目の素数さん
22/08/21 18:00:14.96 qBfCjWkP.net
exp(-1/x^2)が泥臭い？
204:１３２人目の素数さん
22/08/21 23:17:46.78 0wJrwbEm.net
マンコクレッテ 本気なの 開集合できめるのあ？
205:１３２人目の素数さん
22/08/22 11:14:53.68 kskCSCM4.net
足立正久というトポロジーの先生は
マンクレスと読んでらした
206:１３２人目の素数さん
22/08/22 11:45:35.01 GNwZVh4P.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
207:１３２人目の素数さん
22/08/22 14:06:03.84 GNwZVh4P.net
加藤文元著『ガロア理論12講』
ガウスの補題の証明が面白いのですが，その証明が載っている本を教えてください．
ガウスの補題を証明に使う補題（補題2.4.1）：
G(x), H(x) ∈ Z[x] として， F(x) = G(x) * H(x) とする．素数 p が F(x) のすべての係数を割り切るならば，
p は G(x) のすべての係数を割り切るか，あるいは H(x) のすべての係数を割り切る．
ガウスの補題：
f(x) ∈ Z[x] が Q 上可約であるとする．このとき，定数でない Z[x] の元 g(x), h(x) で，
f(x) = g(x) * h(x) を満たすようなものが存在する．
b*g(x) ∈ Z[x] となるような正の b ∈ Z が存在する．
c*h(x) ∈ Z[x] となるような正の c ∈ Z が存在する．
a := b*c とおく．
G(x) := b*g(x) とおく．
H(x) := c*h(x) とおく．
a*f(x) = G(x) * H(X) が成り立つ．
a = 1 ならば，ガウスの補題が成り立つ．
a > 1 ならば， p1 | a となる素数 p1 が存在する．
a = p1 * a1 とする．
補題2.4.1により，「G(x) の係数はすべて p1 で割り切れる」または「H(x) の係数はすべて p1 で割り切れる」
のうち少なくとも一方が成り立つ．
前者が成り立つならば，G(x) := G(x)/p1 とする．
後者が成り立つならば，H(x) := H(x)/p1 とする．
a1*f(x) = G(x)*H(X) が成り立つ．
a1 = 1 ならばガウスの補題が成り立つ．
a1 > 1 ならば， p2 | a1 となる素数 p2 が存在する．
a1 = p2 * a2 とする．
補題2.4.1により，「G(x) の係数はすべて p2 で割り切れる」または「H(x) の係数はすべて p2 で割り切れる」
のうち少なくとも一方が成り立つ．
前者が成り立つならば，G(x) := G(x)/p2 とする．
後者が成り立つならば，H(x) := H(x)/p2 とする．
a2*f(x) = G(x)*H(X) が成り立つ．
a2 = 1 ならばガウスの補題が成り立つ．
a2 > 1 ならば，…
a > a1 > a2 > … だからいつかは a_l = 1 となる．
そのとき，
a_l*f(x) = f(x) = G(x) * H(x) が成り立つ．
208:１３２人目の素数さん
22/08/22 16:23:02.95 GNwZVh4P.net
加藤文元著『ガロア理論12講』
体の自己同型の定義ですが，
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
φ(a * b) = φ(a) * φ(b)
φ(1) = 1
を満たす全単射として定義されています．
φ(1) = 1
は導けるので無駄な条件ですよ�
209:ﾋ．
210:１３２人目の素数さん
22/08/22 19:14:26.98 ss8R5LzM.net
φ(1)=φ(1*1)=φ(1)*φ(1)
体は乗法逆元φ(1)^-1が存在するので両辺かけて
1=φ(1)
確かに冗長だな
導けることを書いたほうが勉強にはなる
211:１３２人目の素数さん
22/08/23 00:23:11.39 OPVVYtNN.net
0への定数写像除外してるんやろ
212:１３２人目の素数さん
22/08/23 05:04:32.54 O5evywXI.net
1あり環としての準同型、かつ全単射
って言ってるんじゃないの
213:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
スキーム(X,Ox)でOx(X)←はどんな環ですか。よくわかりません。
214:１３２人目の素数さん
22/08/23 17:56:56.50 gxhpVvUh.net
X=SpecAのときはOX(D(f))≡Afで、
X=X-φ=X-V(1)=D(1)
OX(X)≡A1=A
215:１３２人目の素数さん
22/08/23 18:37:28.38 nnwDCmiT.net
アフィンスキームじゃないスキーム(X,Ox)の時はOx(X)はどんな環ですか？
216:１３２人目の素数さん
22/08/23 19:00:58.53 DUxOFfOa.net
アフィンサブスキームU⊂Xを動かすときのOx(U)の射影極限
217:１３２人目の素数さん
22/08/23 21:13:42.72 Q6auPwj1.net
茎の集まりがOx(X)ていう考えはおかしいですか
218:１３２人目の素数さん
22/08/23 21:14:29.16 Q6auPwj1.net
射影極限はわからないです
219:１３２人目の素数さん
22/08/23 22:00:32.13 VOdo8F8R.net
>>214
分かれよ
220:１３２人目の素数さん
22/08/23 22:44:21.74 s/Bbg94s.net
スキーム(Z,Oz)、アフィンスキーム(specR,OspecR)に対して
Hom(sch)(Z,specR)全単射Hom(ring)(R,Oz(Z))なんですが
Hom(sch)(SpecR,Z)全単射Hom(ring)(Oz(Z),R)は成り立つでしょうか？
221:１３２人目の素数さん
22/08/24 00:56:42.74 4Jm05mBK.net
反例は思いつかんけど成り立たないに一票
222:１３２人目の素数さん
22/08/24 01:00:31.42 4Jm05mBK.net
ああ、Z = ℙ¹(ℂ)、R=ℂとかでもうダメやん
223:１３２人目の素数さん
22/08/24 03:11:23.89 Fmj7sYZC.net
ありがとうございます。
224:１３２人目の素数さん
22/08/24 03:14:34.58 Fmj7sYZC.net
k[t]/(t^2)の(t)による局所化がどんなものかわかりません。
教えていただけないでしょうか。あと導き方も。
225:１３２人目の素数さん
22/08/24 10:36:02.52 Fmj7sYZC.net
これはk[t]/(t^2)自身になりますか？
226:１３２人目の素数さん
22/08/24 11:14:56.36 9qds4ne1.net
>>221
なりますね
k[t]/(t^2)自身(t)が唯一の極大イデアルである局所環だから
あるいはat+b (b≠0)の逆元をt^2=0に注意して素手で計算できますから
227:１３２人目の素数さん
22/08/24 14:31:31.24 Fmj7sYZC.net
ありがとうございます。
「mを唯一の極大イデアルに持つ局所環のmによる局所化は自分自身になる。」みたいな定理ってありますか？
228:１３２人目の素数さん
22/08/24 14:41:44.51 XKlB1HWu.net
そりゃそもそも
R→SがRの局所化
⇔
1) Sは局所環
2) 任意の局所環TとR→Tに対してR→TはR→Sを一意に通過する
なんだからRが元々局所環ならS=R、R→Sはidが局所化になるのは当たり前やん？
元々局所環なのに局所化もへったくれもない
229:１３２人目の素数さん
22/08/24 16:48:13.61 Fmj7sYZC.net
>>222
下半分が理解できました。a+bt/c+dt,(cは0じゃない)みたいな形してるから、元のやつの逆元が計算できることに対応してるみたいな感じってことですね
230:１３２人目の素数さん
22/08/24 16:49:47.71 Fmj7sYZC.net
>>224
その局所化の定義みたいなのはわからないですけど、そうだということは当たり前だと覚えておきます。
231:１３２人目の素数さん
22/08/24 17:01:14.45 K2zEdikp.net
どんな勉強してるとそんなギャグを思いつくんだろ
232:１３２人目の素数さん
22/08/24 17:13:53.96 Fmj7sYZC.net
ギャグだと？どこら辺がギャグなんですか
233:１３２人目の素数さん
22/08/24 21:38:47.37 kmZv/DZO.net
>>226
覚えるな
分かれよ
234:１３２人目の素数さん
22/08/26 14:22:53.13 uyY29VJD.net
補題2-10
A ⊂ R^n を長方形とする．
f : A → R^n を連続微分可能とする．
A のすべての内点 x に対して， |D_j f^i(x)| ≦ M が成り立つような数 M が存在するならば，
|f(x) - f(y)| ≦ n^2 * M * |x - y|
がすべての x, y ∈ A に対して成り立つ．
235:１３２人目の素数さん
22/08/26 14:25:16.09 uyY29VJD.net
>>230
は， Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』に書いてある補題です．
D_j f^i は連続関数なので， A 上で最大値最小値をとります．
ですので，補題2-10での M は常に存在すると思います．
236:１３２人目の素数さん
22/08/26 14:28:22.58 19sWmT18.net
松坂くんは今日も絶好調
237:１３２人目の素数さん
22/08/26 14:35:05.59 uyY29VJD.net
>>230
の補題のステートメントは間違っているということですか？
238:１３２人目の素数さん
22/08/26 14:51:37.53 G+NNgRzd.net
絶好調なら「fは微分可能であれば十分です」とか言いそう
239:１３２人目の素数さん
22/08/26 17:38:13.71 uyY29VJD.net
>>230
結論として，著者の頭の中では A は開長方形なんだと思います．
ですが，そうだとすると，「A のすべての内点 x に対して」というのが奇妙な表現ということになります．
「A のすべての点 x に対して」と書けば十分だからです．
240:１３２人目の素数さん
22/08/26 18:58:35.14 wxKL6M42.net
その本持ってないから知らんけど長方形=2次元区間で開とも閉とも限ってないんじゃない？
241:１３２人目の素数さん
22/08/26 22:24:50.36 y5bNOXMh.net
>>230 有限増分の定理だね
242:１３２人目の素数さん
22/08/26 23:59:06.62 M6bEjZ5s.net
境界上では有界云々以前に微分すらできないときもある
243:１３２人目の素数さん
22/08/27 00:17:15.78 dWsFMi/l.net
>>232を受けて>>233ということは、一応自分がどのように思われてるかの認識はあるようだね
自分の能力を棚に上げた著者批判も、卑劣な行為だと理解した上でやってたことなのかな
244:１３２人目の素数さん
22/08/27 12:24:57.84 MVf7nPZe.net
関数解析の教科書(自習で使う)って何かいい物ありますか？
調べてみた感じ岩波の「関数解析」(岡本/中村)がよさそうですけどどう思いますか？
245:１３２人目の素数さん
22/08/27 13:06:40.50 RQUlSt7o.net
Sergei OvchinnilovのFunctional Analysis: An Introductory Courseとか好きだな
何を読むか最後に決めるのは本人だからなんとも言えんけど
246:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
>>230
の補題ですが，これは逆関数定理の証明に使うための補題です．
この補題の使われ方を調べるため，逆関数定理の証明を読んだのですが，この補題は以下のように書くのが自然です．
補題2-10
A ⊂ R^n を閉長方形とする．
f : A → R^n を連続微分可能とする．
M を A のすべての点 x に対して， |D_j f^i(x)| ≦ M が成り立つような数とする．
このとき，
|f(x) - f(y)| ≦ n^2 * M * |x - y|
がすべての x, y ∈ A に対して成り立つ．
247:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
そこで，気になるのが，斎藤正彦さん訳の『多変数解析学』でこの補題がどのように書かれているかです．
原著をそのまま訳しておかしなことになっているのか，斎藤正彦さんが，
>>242
のように適切に書き直しているかどうかです．
248:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
そのまま，理解せずにただ訳しただけなのか，理解して訳していたかが，ここを見れば
判定できると思います．
斎藤正彦訳『多変数解析学』を持っている人はいませんか？
249:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
あ，「齋藤」が正しいですね．
250:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
齋藤正彦さんって宮澤喜一さんのいとこなんですね．
251:１３２人目の素数さん
22/08/27 15:22:56.89 VEQYv+Zi.net
それが？
252:１３２人目の素数さん
22/08/27 17:03:31.21 TQ6jMk8S.net
Michael Spivakさんの逆関数定理の証明ですが，非常に巧妙な証明ですね．
逆関数定理の本質的に異なると考えられる証明ってどれくらいあるんですか？
253:１３２人目の素数さん
22/08/27 17:24:43.53 VEQYv+Zi.net
>>248
平方剰余の相互法則の証明と比べると
比較にならない
254:１３２人目の素数さん
22/08/27 19:44:15.17 wCnKhP4Z.net
ステートメントが真に本質的な部分で弱くなってる
そういう基本的な事がいつまで経っても分からんアンポンタン
しょうもない重箱の隅にしか目が入ってない
255:からそういう重要な話のポイントは何一つ頭に入ってない
256:１３２人目の素数さん
22/08/27 20:28:17.57 TQ6jMk8S.net
あ，
>>236
が正しいようですね．
257:１３２人目の素数さん
22/08/27 20:29:04.47 TQ6jMk8S.net
で，この補題を逆関数定理の証明で使う際には，閉長方形に対して適用しているわけですね．
258:１３２人目の素数さん
22/08/27 21:07:37.25 aMn2PrgK.net
論点と違うけど、n^2の部分ってn^(3/2)にできない？
||f(x)-f(y)||≦|f^1(x)-f^1(y)|+…+ |f^n(x)-f^n(y)|の代わりに
||f(x)-f(y)|| =√ ((f^1(x)-f^1(y))^2+…+ (f^n(x)-f^n(y))^2)に不等式を使えばnが√nになると思うんだけど
259:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
>>230
この補題ですが，わずかでも一般化すると嬉しいという数学者のセコさがあらわれていますね．
金持ちが，小銭をもらって喜んでいるような感じですね．
260:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
境界上での偏微分の定義とか、境界を持つ領域上の関数が連続微分可能であることの定義はどうなってるの？
261:１３２人目の素数さん
22/08/28 12:28:34.90 hX6K4csh.net
>>255
It is convenient to define a function f : R^n → R^m to be differentiable on A
if f is differentiable at a for each a ∈ A. If f : A → R^m, then f is called differentiable
if f can be extended to a differential function on some open set containing A.
262:１３２人目の素数さん
22/08/28 12:30:49.62 hX6K4csh.net
訂正します：
>>255
It is convenient to define a function f : R^n → R^m to be differentiable on A
if f is differentiable at a for each a ∈ A. If f : A → R^m, then f is called differentiable
if f can be extended to a differentiable function on some open set containing A.
263:１３２人目の素数さん
22/08/28 13:07:11.90 MczHZCVW.net
境界上での偏微分は定義してないの？
だとしたらそこを避けるためにAの内点に限って条件を書いたんじゃないの？
264:１３２人目の素数さん
22/08/28 13:28:05.58 I2phUq1W.net
「(X,O)がT3空間のとき、Xの部分集合Aも部分空間としてT3空間」を次のように証明しましたが、合っていますか？
T3空間は点x∈Xと閉集合F⊂Xがx/∈F(/∈は∈の否定) を満たすならば,
つねに開集合U,Vがx∈U, F⊂V, U∩V=фを満たすように存在することと定義します。
x∈A, F⊂A、x/∈F、Fは部分空間Aでの閉集合とする。
Xの開集合VがあってA-F=V∩Aとなるので
F=A-V∩A=X∩A-V∩A=(X-V)∩A=G∩A、GはXの閉集合と表せる。
x/∈Fだからx/∈G
(X,O)がT3空間なのでXの開集合U1、U2があって、x∈U1、G⊂U2、U1∩U2=фとできる。
x∈U1∩A、F⊂U2∩A、(U1∩A)∩(U2∩A)=ф
となるのでXの部分集合Aも部分空間としてT3空間である。
265:１３２人目の素数さん
22/08/28 14:03:38.46 53tfrfT9.net
>>258
普通はそうやろ
あくまで微分が定義されるのは内点のみ、特殊な事情でどうしても境界上で微分しなきゃならない時はするけどそっちの方が例外
だから「全体で連続、内点で微分可能」なんてごくありきたりの設定
そんなもん高校で平均値の定理が出てきたところで既に出てる話
その時点でで気付けよアホかつて話
266:１３２人目の素数さん
22/08/28 14:24:09.35 Ry2arKzo.net
supノルムを使う為にf’が有界であってほしい時に閉区間上のC^1級関数を考えたりはする
267:１３２人目の素数さん
22/08/28 15:00:20.82 BATJIuS8.net
条件を簡潔に述べやすくするための工夫
268:１３２人目の素数さん
22/08/28 15:55:38.95 hX6K4csh.net
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
>>187,190
変数変換の定理ですが，広義積分に対して，証明しています．
269:１３２人目の素数さん
22/08/28 15:56:40.84 hX6K4csh.net
訂正します：
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
>>187,190
変数変換の定理ですが，広義積分に対してのみ，証明しています．
270:１３２人目の素数さん
22/08/28 16:01:35.15 hX6K4csh.net
その理由として，以下です：
One reason is that the extended integral is actually easier to work with in this context
than the ordinary integral. The other is that even in elementary problems one often
needs to use the substitution rule in a situation where Theorem 17.1 does not apply,
as Example 2 shows.
杉浦光夫さんの本ではどうなっていますか？
271:１３２人目の素数さん
22/08/28 16:03:47.25 hX6K4csh.net
俳優の杉浦直樹さんのいとこの杉浦光夫さんの本は，細かすぎて本当に使いにくいですよね．
齋藤正彦は，政治家の宮澤喜一さんのいとこですね．
272:１３２人目の素数さん
22/08/28 16:05:21.47 hX6K4csh.net
藤原正彦さんは作家の新田次郎さんの息子ですね．
273:１３２人目の素数さん
22/08/28 16:17:26.68 53tfrfT9.net
>>282
閉領域で微分可能とするには結局厳密には
「その閉領域を含むある開領域で微分可能」とするしかない
しかしそれを前提条件とすると本質的に条件がかなりキツくなる
そんな事まで要求してしまったら
「f(x) = √(1-x²)でf(1) = f(-1) =0だからロルの定理よりあるcでf'(c)=0」もダメになる
そしてこの“内点で微分可能、全体で連続”というセットアップは数学において繰り返し繰り返し発生する状況でそのような状況で使えるように準備しておく事は決して“無用な拡張”をしてるわけではない
むしろ難しい関数を”なめらかな関数の境界になってる関数”と捉えて解析するのは数学の中心的手法と言っていい
数学ある程度勉強してわからんのはもう才能ない
274:１３２人目の素数さん
22/08/28 17:04:22.10 75XKd86R.net
才能があるかどうかって誰か質問したか？
275:１３２人目の素数さん
22/08/28 17:18:29.54 ojWOHsF1.net
初等解析に才能も何もないだろ
276:１３２人目の素数さん
22/08/28 17:48:47.14 quLDuoaA.net
>>269
>>268 の言いたいことは、『才能があるかないかという質問に対する答え』ではなく、
『お前には才能ないからもう数学はやめろ』という忠告ではないだろうか。
277:１３２人目の素数さん
22/08/28 19:05:59.13 pOMmGxca.net
まーたマウンティングか
数学と性格
278:１３２人目の素数さん
22/08/28 22:12:17.74 9bma0f6J.net
まぁアホ学生なんてこんなもん
279:１３２人目の素数さん
22/08/30 00:10:23.07 x/Qhz/yp.net
∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx について考える．
f(x, y) = √(x^2 + y^2) とおく．
f(x, y) = y (x = 0 のとき)
f(x, y) = √(x^2 + y^2) (x ≠ 0 のとき)
です．
f(x, y) は x が 0 であるかそうでないかによって，全く別のタイプの関数になります．
ですが， ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy は x の連続関数になるので，
g(x) = ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy を x ≠ 0 のときにのみ，計算して
∫_{0}^{1} g(x) dx を計算すれば，
∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx が求まります．
これって，なんか不思議じゃないですか？
280:１３２人目の素数さん
22/08/30 00:13:49.12 x/Qhz/yp.net
訂正します：
∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx について考える．
f(x, y) = √(x^2 + y^2) とおく．
f(x, y) = y (x = 0 のとき)
f(x, y) = √(x^2 + y^2) (x ≠ 0 のとき)
です．
f(x, y) は x が 0 であるかそうでないかによって，全く別のタイプの y の関数になります．
ですが， ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy は x の連続関数になるので，
g(x) = ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy を x ≠ 0 のときにのみ，計算して
∫_{0}^{1} g(x) dx を計算すれば，
∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx が求まります．
これって，なんか不思議じゃないですか？
281:１３２人目の素数さん
22/08/30 00:15:53.23 gkY36A/q.net
？？？？？
282:１３２人目の素数さん
22/08/30 00:19:05.54 x/Qhz/yp.net
g(y) = y
と
g(y) = √(1 + y^2)
では全くタイプのことなる関数ですよね．
283:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
>>277
y=√(0+y^2)
では？君の疑問の出所「タイプ」を突き詰めて考えないと
284:１３２人目の素数さん
22/08/30 08:13:20.35 x/Qhz/yp.net
y と 無理関数 √(a^2 + y^2) は明らかにタイプが異なる関数です．
285:１３２人目の素数さん
22/08/30 08:19:06.25 x/Qhz/yp.net
以下の定理は重要だと思うのですが，書いていない本が多いですね．
なぜでしょうか？
例えば，Michael Spivak著『Calculus 4th Edition』には書いてあります．
f が区間 [a, b] で積分可能であるとする．
このとき，
F(x) := ∫_{a}^{x} f(t) dt は [a, b] で連続である．
286:１３２人目の素数さん
22/08/30 08:21:46.71 x/Qhz/yp.net
f が連続関数ならば， F(x) は微分可能なので，
287:もちろん連続です． ですが， f が不連続関数の場合には， F(x) が連続であるというのはそれほど自明ではありません．
288:１３２人目の素数さん
22/08/30 08:27:26.92 x/Qhz/yp.net
齋藤正彦さんの本と野村隆昭さんの本には書いてありませんでした．
289:１３２人目の素数さん
22/08/30 08:29:53.12 x/Qhz/yp.net
あ，書いてある本のほうが多いかもしれませんね．
連続関数の積分に限定している本には書いていないということですかね．
290:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
>>279
？？？
291:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
Stephen Abbott著『Understanding Analysis』
売れ筋の本のようですが，どこがいいのか分かりません．
１変数のみですし，演習問題が多すぎます．
292:１３２人目の素数さん
22/08/30 16:30:09.98 I5fp4O9E.net
学部生の為のテキストだからな
293:１３２人目の素数さん
22/08/30 18:22:17.13 I1ep6B+K.net
演習問題が多いことに文句言う人初めて見た
294:１３２人目の素数さん
22/08/30 18:38:21.19 VRrUFFPw.net
講義で教科書に使っていて、試験は演習問題から出る
というシチュエーションならあり得る
295:１３２人目の素数さん
22/09/03 17:26:35.10 7anGMjm3.net
てすと
296:１３２人目の素数さん
22/09/07 21:00:50.25 Du667sV0.net
H.フランダース, 微分形式の理論 およびその物理科学への応用 (岩波書店)
(原題: Harley Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences )
p.22 の問題より
n次元ベクトル空間: V
添字組: H=(i₁,i₂,...,iₚ) { 1≦ i₁<i₂<...<iₚ ≦n }
p重ベクトル基底: σ^H := σ[i₁] ∧ σ[i₂] ∧ ... ∧ σ[iₚ] {基底ベクトル: σ[i]∈V}
として、
p重ベクトル: α = Σ{H} a[H] σ^H {a[H]∈R, ∃a[H]≠0}
を固定すると
部分ベクトル空間: M (⊂ V) { def: v∈M ⇔ α∧v=0 }
が定まります
以下を証明してください
問1. dim(M) ≦ p
問2. dim(M) = p が成り立つためには
α = u₁ ∧ u₂ ∧ ... ∧ uₚ {u₁,u₂,..,uₚ は適当な独立ベクトル}
の形に表せることが必要十分である
-----------------------------
問1.
a[H]から定まる C[n,p+1] × n 次行列 (Aとする) を考えてみたものの
dim(ker(A)) ≦ p を示す方法が分かりません
問2.
[必要性] 分からない
[十分性] w = u₁∧u₂∧...∧uₚ の時 M = span({u₁,u₂,...,uₚ}), よって dim(M)=p
297:１３２人目の素数さん
22/09/07 22:02:56.80 tRUMWk3T.net
>>290
7次元空間の3-formくらいで
空間の基底をp,q,r,s,t,u,vとして3-form ωにおいてp∧q∧rの係数が1とする
x∈Vがx∧ω=0を満たすとする
x = ap+bq+cr+ds+et+fu+gv (a～g∈ℝ)
とする
x∧ω∧s∧t∧u = 0よりg = 0
x∧ω∧s∧t∧v = 0よりf = 0
x∧ω∧s∧u∧v = 0よりe = 0
x∧ω∧t∧u∧v = 0よりd = 0
∴ x はp,q,rではられる空間に入る
∴ { x | x∧ω=0} ⊂ <p,q,r>, dim<p,q,r> = 3
ωの他の成分の係数、例えばp∧q∧sの係数も0でないなら{ x | x∧ω=0}は<p,q,s>にも含まれるから<p,q,r>∩<p,q,s> = <p,q>に含まれ次元は２以下
一般化はご自分で
298:１３２人目の素数さん
22/09/07 22:11:23.19 5HjBFIuh.net
>>290
問1: a[H]が0でないようなHについて、Hに出てこないような添字jに対するα∧σ[
299:j]が1次独立であることを確かめる。 問2: Mの基底を取り、それを含むようなVの基底をとって成分表示。
300:１３２人目の素数さん
22/09/07 22:45:38.65 Du667sV0.net
>>291, >>292 ありがとうございます
301:１３２人目の素数さん
22/09/08 12:40:33.16 rP0+O6dI.net
再びフランダース本より (p.23)
n次元ベクトル空間: V の1次変換: A が与えられた時、
p重ベクトル空間: ∧^p V の1次変換: ∧^p A を以下のようなものと定義する
(∧^p A)(σ[i₁] ∧ σ[i₂] ∧...∧ σ[iₚ]) := Aσ[i₁] ∧ Aσ[i₂] ∧...∧ Aσ[iₚ]
Aσ[i] = Σ{j} a[i,j].σ[j]
添字組: H={i₁,i₂,..,iₚ}, K={j₁,j₂,..,jₚ}
a[H,K] := 行列a[i,j]に対して 組Hから行を 組Kから列を 拾ったp次小行列
とすると
(∧^p A)(σ^H) = Σ{K} |a[H,K]| σ^K と表せます. (フランダース本 p.15)
問.
組H行, 組K列 の成分が p次小行列式 |a[H,K]| である C[n,p]次行列
この行列式の値を求めてください.
---------------
(元の文↓だと伝わらないと思ったので補いました. 意味は同じはずです)
問. dimL=n とし, 1次変換 A: L→L が与えられたとする. 次の行列式の値を求めよ |∧^p A|
---------------
次数計算 C[n,p]* p = n*C[n-1,p-1] から
|∧^p A| = |A|^C[n-1,p-1] になると予想しましたが、正しい保証はありません
例. p=1の場合, p=nの場合 は自明です.
例. n=3, p=2 の場合
組H,K = {(12),(13),(23)} ～ {1,2,3} に読み替えて
m = matrix(3)
m[1,1] = a11*a22-a12*a21
m[1,2] = a11*a23-a13*a21
m[1,3] = a12*a23-a13*a22
m[2,1] = a11*a32-a12*a31
m[2,2] = a11*a33-a13*a31
m[2,3] = a12*a33-a13*a32
m[3,1] = a21*a32-a22*a31
m[3,2] = a21*a33-a23*a31
m[3,3] = a22*a33-a23*a32
a = [ a11,a12,a13 ; a21,a22,a23; a31,a32,a33 ]
matdet(m) - matdet(a)^(binomial(n-1,p-1))
⇒ 0
よってこの場合は正しい {PARI/GPで検算}
302:１３２人目の素数さん
22/09/08 16:30:56.56 rP0+O6dI.net
(続き)
ランダム整数の行列を元に数値計算をしてみましたが
n=10 までは |∧^p A| = |A|^C[n-1,p-1] が成り立っている様子でした
(もちろん 証明にはなりません)
303:１３２人目の素数さん
22/09/08 17:36:32.30 QIjux8Cs.net
>>294
あまり綺麗じゃないけど、係数体をCに拡大してAをジョルダン分解、とか？
304:１３２人目の素数さん
22/09/08 19:01:46.70 X0JZww7y.net
1≦p≦nに対してn次元実ベクトル空間ℝⁿのp重交代積の空間をVₙₚとする
M∈Mₙ(ℝ)が引き起こす写像φᴍ:Vₙₚ→Vₙₚの行列式を対応させる写像Dₙₚを考えればDₙₚはMₙの成分の多項式で書ける写像だから連続
よって今示したい関係式
Dₙₚ(M) = ( det M )^(ₙ₋₁Cₚ₋₁)‥①
は両辺共に連続
よってこの等式がMの稠密部分集合で成立していれば良い
M'ₙ = { M ∈ Mₙ | Mは相異なるn個の固有値を持つ }
とすればM'ₙはMₙで稠密、かつM'ₙで①は成立
305:１３２人目の素数さん
22/09/08 20:05:07.11 rP0+O6dI.net
>>296 ありがとうございます. それでいいと思います.
|a[H,K]| が上三角行列になるので 対角行列になる >>297 と同様に簡単に等式が示せますね.
例. A e^{i,j,k} = A e[i] ∧ Ae[j] ∧ Ae[k] = (λ[i] e[i] + e[i-1]) ∧ (λ[j] e[j] + e[j-1]) ∧ (λ[k] e[k] + e[k-1])
= λ[i]λ[j]λ[k] . e^{i,j,k} + ({i,j,k} より低位の項)
>>297
「M'ₙはMₙで稠密」これはどこまで自明でしょうか？
306:１３２人目の素数さん
22/09/08 20:19:57.80 X0JZww7y.net
>>298
固有多項式の判別式は係数の多項式
それが0出ない空間はMₙの代数的開集合、すなわちZariski open
Mₙは既約だから任意のZariski openは稠密
307:１３２人目の素数さん
22/09/08 20:42:30.72 rP0+O6dI.net
>>299
すみません勉強が足りず今時点では理解が追いつかない感じですが、ありがとうございます.
308:１３２人目の素数さん
22/09/10 12:39:14.23 XV/Yduiy.net
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
変数変換の定理の証明を読んでいますが，技術的なことを細かく証明しているだけという
印象ですね．
証明ですが，6ページ半の長さです．
もちろん，その前に書いてある命題群も使うので，あまり長さに意味はありませんが．
309:１３２人目の素数さん
22/09/10 12:43:14.67 XV/Yduiy.net
無料で公開されているとは知りませんでした．
archive.org/details/MunkresJ.R.AnalysisOnManifoldsTotal/page/n173/mode/2up
この補題のStep 3まで読み終わりました．
310:１３２人目の素数さん
22/09/10 12:46:49.85 XV/Yduiy.net
変数変換の定理の証明で重要な役割をする「partitions of unity」というのも素朴な考え方ですよね．
その証明も技術的です．
311:１３２人目の素数さん
22/09/13 18:20:01.29 XvzSYEMQ.net
スキーム(X,O_X)の構造層O_Xってどんなイメージ？
312:１３２人目の素数さん
22/09/13 18:52:54.15 t9t/s19e.net
積分記号下の微分って重要ですか？
313:１３２人目の素数さん
22/09/13 19:24:14.38 SF6soQu5.net
変数変換のときに便利
314:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
>>304
O_Xはその層化と同型だから、O_X(U)はU⊆Xの点から茎の排他的和への関数の部分集合になる
これが古典的な代数幾何との類推
315:１３２人目の素数さん
22/09/13 23:54:37.40 FmOGMTZp.net
>>307
ありがとうございます。
スキームの層の方の準同型f#:O_Y→f*O_Xは、なんの元でどの元とどの元が対応しているんですか？
316:１３２人目の素数さん
22/09/14 06:28:35.30 MTtZ3L3m.net
距離化(距離付け)可能な位相空間だったら、最初から距離空間って言えばいいのに、距離化可能な位相空間って言うのは何でですか?
しっくり来る説明をしてもらっていいっすか?
317:１３２人目の素数さん
22/09/14 06:46:11.63 +2EXxi2O.net
同じ位相を定める異なる距離があるから
具体的な距離ではなく、あくまで距離化可能ということが純粋に位相的性質と言える
318:１３２人目の素数さん
22/09/14 14:16:04.52 YHYq3ABW.net
こんな質問する奴に答える意味あるんか？
319:１３２人目の素数さん
22/09/15 15:06:28.07 kkHTbITD.net
三段論法のわかり易い例を教えてください。
自分は理系なので、数学内の例ならわかるのですが、
日常的な例だとわかりません。 よろしくお願いします。
320:１３２人目の素数さん
22/09/15 16:30:49.26 ZlYf+Xep.net
>>312
ナニナニならばナニナニってのを何か思いつく？
321:１３２人目の素数さん
22/09/15 21:33:54.31 kkHTbITD.net
>>313
小学生ならば子供である
でよいでしょか？ ここまでは考えたのですが、ここからがわかりません
322:１３２人目の素数さん
22/09/16 07:10:13.30 A0zTZd47.net
>>314
誰か小学生を知ってる？
323:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
男は「三段論法を理解するために声を掛けた」などと供述しており…
324:１３２人目の素数さん
22/09/16 10:56:54.94 7HLoB6T0.net
>>315
近所の太郎君が小学生です。
325:１３２人目の素数さん
22/09/16 11:22:14.32 wx8X1dTs.net
φ : R^n → R のサポートが、
{x | φ(x) ≠ 0} ではなく、 {x | φ(x) ≠ 0} の閉包と定義されるのはなぜですか？
326:１３２人目の素数さん
22/09/16 12:42:44.13 Z4pT98eV.net
>>317
では
「小学生ならば子どもです」（大前提）
「近所の太郎君は
327:小学生です」（小前提） から三段論法により 「近所の太郎君は子どもです」（帰結） が導かれるました
328:１３２人目の素数さん
22/09/16 16:32:53.37 7HLoB6T0.net
親切に教えて頂いてありがとうございます。
ところで、(大前提)と(小前提)との使い分けは数学ではしないと思いますが、
必要なことなのですか？
たとえば、
「近所の太郎君は小学生です」（大前提）
「小学生ならば子どもです」（小前提）
から三段論法により
「近所の太郎君は子どもです」（帰結)
は、(大前提)と(小前提)との使い分けとしては間違いですか？
329:１３２人目の素数さん
22/09/16 18:26:53.29 5LGM9y47.net
Wikipediaによると
> 古代ギリシアに由来する西洋の三段論法は、
> 大概念 - 結論において述語（P）となる概念（項）。
> 小概念 - 結論において主語（S）となる概念（項）。
> 媒概念 - 大前提・小前提で上2つの概念（項）との関係性が示される媒介的な概念（項）。中項（M）。
> という3つの項（概念）の内、2つの組み合わせ（関係性）をそれぞれ表現する、
>
> 大前提 - 大概念/述語（P）と、媒概念/中項（M）の関係性を示す命題文
> 小前提 - 小概念/主語（S）と、媒概念/中項（M）の関係性を示す命題文
> 結論 - 小概念/主語（S）と、大概念/述語（P）の関係性を示す命題文
との事なので
数学的にはこうなる
・小概念 S: 近所の太郎君
・小前提 M(S): Sは小学生です
・大前提 ∀x { M(x)→P(x) }: (任意xについて){ (xが)小学生ならば(xは)子どもです }
・結論 P(S): S[=近所の太郎君]は子どもです
汎化(∀x) されてる方を「大前提」と呼ぶのは自然に感じますね.
330:１３２人目の素数さん
22/09/16 23:43:23.48 7HLoB6T0.net
皆さんが親切なので、わたしもやる気が出て調べてみました。
論理の教科書によると、三段論法とは次のことのようです。
[[P→Q]∧[Q→R]]→[P→R]
そうだとすると、「近所の太郎」の例はこれに当てはまらないので
違うのではないでしょうか？
331:１３２人目の素数さん
22/09/17 00:04:44.41 CuRiIZvi.net
>>322
それも三段論法
これも三段論法
P∧(P→Q)→Q
332:１３２人目の素数さん
22/09/17 00:09:10.53 pC+JzMH+.net
f:S^n→S^nが恒等写像の整数倍にホモトピックである事(π_n(S^n)=Z))の少し変わった証明法として
以下のように示せというHatcherの本の問題を考えています。
(1)fを単体近似して，q∈S^nでf^(-1)(q)は有限個の点{p_1,…p_k}からなり各p_iの近傍ではfは線形同型であるように
ホモトピーで動かして取れる
(2)gとしてqのある近傍の補集合を基点に潰す写像g:S^n→S^nを取り，合成gfを考える事でさらに(1)のk=1個の場合に帰着させよ
(3)可逆な行列は恒等行列かreflectionのどちらかに弧としてつなげる事を使って主張を示せ
という問題です。
(1)は解けたのですが(2)はこれはgfではなくfgの誤植ではないかと思ったのですが分かる方いたら教えて下さい。
fgであればgをp_iの周り以外を潰す写像とするとfgは(1)でk=1の場合になり
S^nを有限個のn-cellで分割して各n-cellにたかだか1つのp_iを含むようにすると
ホモトピー群での和を定めた時と同様に考えて
id=g_1+…g_kが言えて，これを使ってf=f。id=f。(g_1+…)としてうまくいきそうなのですが
fgではなくgfを考えて上手く示せる方法があるのでしょうか
URLﾘﾝｸ(pi.math.cornell.edu)
のPDFのp.368(ページ数ではp.359)のEx15の問題です
333:１３２人目の素数さん
22/09/17 01:30:36.60 feKDaZeq.net
白黒の縞模様を細かくしていくと
縞模様の中にそれとは異なる独特の歪みが生じて見えます。
あれは数学的に説明したりモデ
334:リングできるものでしょうか。
335:１３２人目の素数さん
22/09/17 01:52:57.69 yEinN9q2.net
>>328
gfでも証明できるやろ
以下qは北極N、基点は南極Sとして北半球と南半球が赤道Eで繋がってるとする
q₁～qₖ全部北半球としてよい
PL構造を北半球全体があるnセルの内点になってるようにとる、すなわち北半球はある線形空間の構造か入ってるとする
各qᵢの近傍Uᵢにfを制限すると線形写像でf(Uᵢ)は赤道Eを含むとしてよい
各qᵢの近傍Uᵢとその極座標(rᵢ,θᵢ)∈(0,[1)×Sⁿ⁻¹でf(1/2,θᵢ)∈Eとなるものがとれるとしてよい
fをホモトピックにgに取り替えて
各qᵢの近傍Uᵢとその極座標(rᵢ,θᵢ)∈(0,[1)×Sⁿ⁻¹で
g(t, θ) = f(2t,θ) ( if t ≦ 1/4 )
g(1-t, θ) = f(1-2t,t) ( if t ≦ 1/4)
g(r,θ) = f(1-t,θᵢ) ( if 1/4≦ t ≦ 1/2 )
g(1/2,θᵢ) = S
となるようにとれる
さらにgᵢを
gᵢ(p) = g(p) ( if p∈Uᵢ、rᵢ(p)≦1/2)
= S ( otherwise )
で定めれは
g = g₁+...+gₖ
になってて各gᵢは±idのどっちかにHomotopicだから了って話でしょ？
そこでf→gに話をreduceするとき赤道を南極に潰す部分をq₁～qₖまで全部同じの取れますよって話しでしょ？
同じにとる必要もないけど
336:１３２人目の素数さん
22/09/17 01:53:42.21 yEinN9q2.net
我ながらいつもいつもアンカーぎメチャクチャやな
337:１３２人目の素数さん
22/09/17 04:08:39.25 Kiw1vsvT.net
なんJ語と数式ってどっちの方が記述できる情報量多いんですか？
338:１３２人目の素数さん
22/09/17 04:18:40.32 CuRiIZvi.net
>>324
>これはgfではなくfgの誤植ではないか
そうですね
339:１３２人目の素数さん
22/09/17 09:57:45.99 wlMTi/KS.net
gとして「q」のある近傍の補集合を〜って書いてあるならgfで正しいんじゃない？
というかp_iの周り以外を潰す写像って少なくとも簡単には取れないでしょ。
p_1の周り以外を潰すときにp_2を通ってしまうみたいなことが起きるような。
340:１３２人目の素数さん
22/09/17 12:38:07.69 yEinN9q2.net
ℝⁿをn次元実ベクトル空閑としSⁿをℝⁿの|p|≧1なる点を一点に潰した空間とみなす
Sⁿの基点Bはこの潰した点と定める
f : Sⁿ → Sⁿを任意にとる
fとホモトピー同値な写像と取り替えることで点Q₁‥Qₖ、正の数r, r₁‥rₖ、可逆な一次変換l₁‥lₖを
f⁻¹(O) = { Q₁, ..., Qₖ }、
f⁻¹(Bᵣ(O)) = ∪ᵢ Bᵣᵢ(Qᵢ)
f(P) = lᵢ(P - Qᵢ)、(∀P∈Bᵣᵢ(Qᵢ))
と仮定できる
連続写像g : Sⁿ→Sⁿをg(p) = p/rで定める
gはidとホモトピックである
hᵢ = gf( P ) ( if P∈Bᵣᵢ(Qᵢ) )
B ( otherwise )
で定めるとき
f ～ gf = h₁+h₂+‥+hₖ
である
341:１３２人目の素数さん
22/09/17 14:32:42.60 KWrr8Zqx.net
>>323
貴殿の見識には感服の至りです
「ソクラテスは人間で、...」という有名な「アリストテレスの三段論法」
は実は、三段論法でもモダスポネンスでもないけど、
こういうのを全部まとめて「広義の三段論法」と言おう
ということですね。
342:１３２人目の素数さん
22/09/17 16:41:46.83 K2q5+AKs.net
>>323
その記法だとなんだか圏論の可換図みたく見えるのは単なる印象論だけで終わる話なのだろうか？
343:１３２人目の素数さん
22/09/17 18:10:13.26 KWrr8Zqx.net
>>332
この分野は、数学知らない哲学者たちが幅をきかせて、2000年前の習慣がいまだに続いている
344:１３２人目の素数さん
22/09/17 23:50:04.15 qkehNvla.net
ｿｸﾗﾃｽは人間である
人間は�
345:Kず死ぬ ｿｸﾗﾃｽは必ず死ぬ 確かに三段論法の典型例としてよく言われるこれって三段論法じゃないんですね なんか衝撃です P(x):xは人間である Q(x):xは必ず死ぬ ∀x P(x)→Q(x) 人間は必ず死ぬ P(ソクラテス)→Q(ソクラテス) ソクラテスは必ず死ぬ
346:１３２人目の素数さん
22/09/18 00:03:23.32 XuEcZjox.net
>>335
P（ソクラテス）→Q（ソクラテス）
で終わりならその例にあってないよ
P（ソクラテス）∧（P（ソクラテス）→Q（ソクラテス））→ Q(ソクラテス）
というのがその主張で
確かに三段論法
君が言っていたのは∀除去ね
∀xP(x)→P(a)
347:１３２人目の素数さん
22/09/18 11:35:37.32 sntW97q8.net
324ですがみなさんありがとうございます。
>>331でかなり頭が整理されて分かってきました
指摘の通りfgだと問題があってやっぱりgfを考えるのが正しかったです
感謝します
348:１３２人目の素数さん
22/09/18 16:13:37.48 NlcuiHM+.net
>>335
というか定義の問題だろ
人間の作った概念に合致してるか否かってそんな深い問題か？
単に現代人が共有してる社会通念に合致してるか否かってだけで法令の条文に書いてあるわけですらない
349:１３２人目の素数さん
22/09/18 17:32:11.10 pCCEpRA9.net
定言的三段論法っていうのは定義があるみたいだけど
数学におけれ三段論法っていう流通した定義はないんだから推移律を三段論法と呼んでも別におかしくない
350:１３２人目の素数さん
22/09/18 17:59:02.91 XuEcZjox.net
>>333
カレーはワードどうケ？
351:１３２人目の素数さん
22/09/19 07:53:15.73 yhHnsD0I.net
高校数学スレが荒らされてるからこっちで聞かせて下さい
∫cos(x-(1/x))dx
の不定積分はどのようにすれば求められるのでしょうか
(xは正の実数とします)
cos(•)のテイラー展開から適切にくくっていったりすると綺麗に解けるのでしょうか？
352:１３２人目の素数さん
22/09/19 09:15:54.85 fYNG4sHq.net
高校数学スレでそんなこと聞いたら燃料になるだけだわな
いろんな意味で
353:１３２人目の素数さん
22/09/19 09:34:07.36 Us/hBVsn.net
大先生が無理なら無理やろ
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
354:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
加藤十吉著『微分積分学原論』がヤフオクに出品されています。
ウォッチリストに登録している人の人数が20人を超えていますが、なぜそんなに人気なんですか？
355:１３２人目の素数さん
22/09/19 13:23:29.22 w3tdgeEj.net
300ページ未満の薄い本ですよね。
なぜ人気なのかが不思議です。
356:１３２人目の素数さん
22/09/19 15:18:42.55 s5fcCJLR.net
>>341
おそらく初等関数の組み合わせなどでは表示できないのではないかと思う。
可積分性はわかってもそれが求められないなんていうのもよくあるし。
357:１３２人目の素数さん
22/09/19 18:24:42.65 TewZOLMz.net
>>346
微分ガロア理論で不定積分は初等関数で表せないって分かるって
358:１３２人目の素数さん
22/09/19 18:42:08.91 w3tdgeEj.net
数学のとびら ルベーグ積分と測度 単行本（ソフトカバー） – 2022/2/25
山上 滋 (著)
多変数関数論 (数学のかんどころ 21) 単行本 – 2013/12/24
若林 功 (著), 飯高 茂 (編集), 中村 滋 (編集), 岡部 恒治 (編集), 桑田 孝泰 (編集)
を注文しました。
これらの本っていい本ですか？
359:１３２人目の素数さん
22/09/19 19:01:29.67 1MrDdaqU.net
>>344
日本数学会の出版賞の受賞者だから
人気は当然のこと
360:１３２人目の素数さん
22/09/19 21:04:38.54 w3tdgeEj.net
>>349
図書館でパラパラと見た記憶がありますが、薄いこれといって特長のない本に見えました。
1万円を超えましたね。
361:１３２人目の素数さん
22/09/20 01:20:17.88 uWxhSq6N.net
348の2冊は図書館で見てから買おうとは思わなかったのか
362:１３２人目の素数さん
22/09/20 19:01:52.21 eN6Oh8pP.net
学生じゃなければ大学の図書館使えないからな
普通の公立の図書館じゃまず置いてないだろうし
363:１３２人目の素数さん
22/09/20 21:42:10.57 nQfgTCP/.net
>>348
その著者たちの本ならば
きっと磨き抜かれているだろう
364:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
「素粒子ではなく素角度量を考えよう
素角度量には位置すらない
ある素角度量と別の素角度量が織りなす角度が存在する
宇宙の終わり、そして静止は、あるとしたらこの素角度量の同軸的分布である
万物の根源は角運動量である」
みたいな動機で、位置ではなく角度に次元を見出したい時に使える数学はありますか
365:１３２人目の素数さん
22/09/24 16:22:33.56 khbzygo5.net
それっぽい言葉を並べて馬鹿にしか見えん
366:１３２人目の素数さん
22/09/24 17:53:50.33 AniywPPL.net
直方体で考えましょう
縦、横、高さ。3次元ですね
円筒で考えましょう
半径、角度、奥行。3次元ですね
球で考えましょう
半径、角度A、角度B。3次元ですね
角度が3つだとどうなりますか
367:１３２人目の素数さん
22/09/28 00:04:33.21 1KhLce2r.net
ｐは2でない素数でGはp群で位数ｐの部分群が1つだけあります。指数ｐの部分群をHとします。指数ｐの部分群は巡回群になることがわかっています。
指数ｐの部分群が他にないとしたらGは巡回群になる。
Gは巡回群になるのを教えてください。生成元でもよいです。
368:１３２人目の素数さん
22/09/28 00:25:53.70 IZuAxTc/.net
>>357
G/H=Zpの生成元の引き戻しをa∈Gとしたら？pa∈H=Zp^(n-1)がpa∈pZp^(n-1)なら・・・・
369:１３２人目の素数さん
22/09/28 01:18:27.31 4bFn5DSA.net
最小反例を与えるGと素数pを取る
Pをpシロー群、Hを指数pの部分群とする
Hの位数を割り切る素数が2つ以上あるならH = H₁×H₂と非自明な巡回群で位数が互いに素である部分群２つの直積に分解する(∵仮定によりHは巡回群で可換)
よってπ:G→G/P→Hを自然な全射としπ⁻¹(Hᵢ)は共に前定条件を満たすことからGの最小性によりπ⁻¹(Hᵢ)は共に巡回群である
よってHᵢの生成元xᵢとPの生成元pをとればx₁x₂は可換、xᵢとpも可換、位数はすべて互いに素だからG全体が巡回群となり矛盾する
よってHの位数を割り切る素数はひとつだけである
v | |H| を素因子とする
仮定により|H| = vᵉとすればHは位数vᵉの巡回群である
Hの生成元xをとるK=<xᵛ>とすれば上と同じ要領で位数が|G|/vで条件を満たすものが構成できるからKPは巡回群でなければならない
特にxᵛとpは可換となる必要がある
よってx→pxp⁻¹によって定められるAut(H)の元σはAut(H)→Aut(K)のkernelに入らなければならないがこのkernelの位数はvでありpと互いに素である
よってσはHの単位写像でありpとxは可換である
370:１３２人目の素数さん
22/09/28 01:45:10.74 AS6nx51w.net
あ、そうか
難しく考えすぎやん
Pがpシロー群、Hを指数pの群とするなら仮定からPもHも正規部分群なんだからG = H×PでHもPも仮定から巡回群、位数互いに素で終わってるやん
371:１３２人目の素数さん
22/09/28 07:17:24.59 IZuAxTc/.net
>>360
Gはp群
372:１３２人目の素数さん
22/09/28 10:09:45.60 iS/gBx
373:Gr.net
374:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
G,pを条件を満たす群と素数とする
Hを指数pの部分群とする
仮定によりHは正規部分群である
Hが中心でないとするとg∈G＼C(H)がとれる
gᵖ∈C(H)として良い
この時φ:<g>→Aut(H)をφ(x)(h) = xhx⁻¹と定めればG = H⋊<x>とかける
しかしこの時GはHの部分群である位数pの部分群と<x>自身と２つの位数pの部分群を持つことになり矛盾
∴HはGの中心
ここでg∈G＼Hでgᵖ∈HなるgがとれるがG =<g,H>でHは中心に含まれるから<x,G>は可換
∴Gは唯一の位数pの部分群を持つアーベル群
∴Gは巡回群
375:１３２人目の素数さん
22/09/28 22:03:44.22 ImoLqyhF.net
G,pを条件を満たす群と素数とする
Hを指数pの部分群とする
仮定によりHは正規部分群である
Hが中心でないとするとg∈G＼C(H)がとれる
gᵖ∈C(H)= Hとして良い
Hの生成元yをとってxᵖ= yⁿとなるnをとる
n = pᵉm , ( p,m ) = 1とするときm>1ならzᵐ = xとなるzがとれてxの代わりにzを取り直すことによりm = 1と仮定できる
e>1であれば(xy^(-pᵉ⁻¹))ᵖ = 1で仮定によりxy^(-pᵉ⁻¹)∈Hとなって矛盾する
よってe=1であり<x>=Gである□
376:ともひこ
22/09/29 13:29:00.42 KP0uwdtn.net
↓ これって高校の知識で解けますか？
今、ともひこ君はガチャの「課金石を2000個買って特典ゲット」
をしようとしている。
そこで課金石をパック買いで小分けにして
最安値で満たすやり方を求めようとしている。
課金パックの買い方は以下のようになっており、大量セットほど単価が安くなる。
パックA { 50個 ,70円} を a回、
パックB { 100個 ,130円} を b回、
パックC { 250個 ,300円} を c回…
パックZ { 4000個 ,4400円} を z回 買う。
…というように。
ここでは、簡略化してパックCまでとする。
そうすると、3変数の2つの関数で表される (変数 a,b,c ∈ N+ である)
式の1… S(Stock) 購入する課金石数 =
s(a,b,c) = 50a + 100b + 250c
式の2… P(Price) 支払う総額 =
p(a,b,c) = 70a + 130b + 300c
・S = s(a,b,c) >= 2000 という条件を満たす。
・この時、価格 を最小値とするような
P = p(a,b,c) --> min. とするような (a,b,c) の組を求めよ。
追記:
今回は変数が正の自然数3つだけですが、
もしも変数が a,b,c,d,e と5つになった場合でも同じ手法で解けますか？
377:ともひこ
22/09/29 13:32:49.19 KP0uwdtn.net
>>365
2変数ならば、高校で解けるっていうのは分かる。
関数を平面に描けるし、変数は 正の自然数 っていう条件のおかげで
どれを何パック買うのかは求められる。
しかし、3変数とか5変数とかって 大学レベルよな
378:１３２人目の素数さん
22/09/29 13:38:03.42 NRCapDWa.net
変数の値が入ってるとして変数減らして考えていくでイイよ
379:１３２人目の素数さん
22/09/29 14:06:14.46 1px5wVdq.net
これが典型的な線形計画法
受験数学で「それ線形計画法ちゃう」ってのに“線形計画法”ってアホタイトル付けてるyoutube動画いっぱいあるけどこれが線形計画法の大元
単体法でグクったらいっぱい出てくる
380:１３２人目の素数さん
22/09/29 17:04:23.74 TVcV0njX.net
石を2100個買って100個は捨てるなり何なりと、とかはナシなの？
381:ともひこ
22/09/29 18:02:54.11 KP0uwdtn.net
>>367-369
思い出した、オペレーションズ・リサーチとか
線形計画とかいう類の奴だ！
変数の値が入っているとして…って
変数が5変数とか7変数だったらどうすんですか。
場合分けなんかしてたら、手で計算できねぇ。
>>369
2100個くらいならOKです。
2000個に対して100個超過ですが、それで
費用Pが「Pの最小値」に近いのであれば許容範囲です。
382:１３２人目の素数さん
22/09/29 18:30:48.94 e6JM1qT4.net
>>370
5個くらいなら単体法で手計算でできる範囲かもね
それくらいが普通大学の試験とかでやらされる範囲かな
それ以上は計算機かな
383:１３２人目の素数さん
22/09/29 21:56:49.83 BOfTb9ug.net
tan15° = √{(1-cos30°)/(1+cos30°)} = √{(1-√3/2)/(1+√3/2)} = 2 - √3
tan7.5° = √{(1-1/√(tan²15°+1))/(1+1/√(tan²15°+1))} = ( √(tan²15°+1) - 1 )/ tan15° = ... = √2 -√3 +√6 -2
tan67.5° = √{(1-cos135°)/(1+cos135°)} = √{(1+1/√2)/(1-1/√2)} = √2 + 1
...
何が言いたいかというと、こういった三角関数値が有名角(30°,60°,90°, ... ) でなくても比較的単純に表せる角度の一覧リストが欲しいです
どこかWEBサイトや書籍に載ってないでしょうか？
384:１３２人目の素数さん
22/09/29 23:03:23.33 bFhRTKAL.net
>>372
URLﾘﾝｸ(www10.plala.or.jp)
385:１３２人目の素数さん
22/09/29 23:11:32.88 BOfTb9ug.net
>>373
ありがとうございます、こういうのを見たかったんです
386:１３２人目の素数さん
22/09/29 23:32:03.19 NRCapDWa.net
>>372
π/5とπ/12ができるからπ/60行ける
π/120はどうするかね
半角？でも半角使うならπ/240もπ/480も・・・
387:１３２人目の素数さん
22/09/30 07:56:08.06 0xrJ/Isl.net
ここで質問するかは微妙なんですけど…
YouTuber謎の数学者って何者なんですか？
今後は阪大で教鞭をとるようですが…
388:１３２人目の素数さん
22/09/30 11:30:17.08 no4nLvpO.net
無限公理から無限集合の存在は言えるけど、そこから自然数の集合Nに相当するようなものが存在することを示すのってどうやるの？
389:１３２人目の素数さん
22/09/30 11:30:42.87 no4nLvpO.net
無限集合ってだけだと濃度色々あるけど
390:１３２人目の素数さん
22/09/30 11:33:11.03 no4nLvpO.net
>>377
自己解決した
391:ともひこ
22/10/01 03:03:00.48 UCW3WxwY.net
無理数 √p について、
その前後にあるもっとも近い有理数をqをとする。
√p と q の距離を 「√pの有理数への距離」 とよぶ。
√2 の有理数への距離 s、
√6の有理数への距離 t を考える。
sとt はどちらが大きいか？
(つまり、√2と√6のどちらが 「有理数から離れている」 か？)
392:１３２人目の素数さん
22/10/01 06:11:39.66 y+dAwVT0.net
>>380
有理数の稠密性からどちらも0
例えば√2に近づく有理数ksらなる列として
a[1]=1.4、a[2]=1.41、a[3]=1.414、a[4]=…
というものを考えれば|√2-a[n]|→0(n→♾)となる。
そもそも√2に最も近い有理数は記述できない。
393:ともひこ
22/10/01 07:32:48.61 i723xRsB.net
>>381
その理屈はおかしいです。
距離0だったら |√2 -s | = 0 となり
s = √2 , s = 有理数 の2つが矛盾して破綻します。
n->∞ であっても a[n] は決して√2 に届きませんし、
微小ではあるが距離は存在します、0にはなりえません。
394:１３２人目の素数さん
22/10/01 07:50:56.65 G4g2m2+O.net
>>381
>そもそも√2に最も近い有理数は記述できない
存在しない
>>382
存在しないものとの距離もない
別に有理数にしなくても
正実数全体のR+と0との距離どうする？
0に最も近い正実数も存在しないが
>>381の言うように0にすべきでは？
395:１３２人目の素数さん
22/10/01 12:10:19.83 BVze8W+H.net
流石にネタ
396:１３２人目の素数さん
22/10/01 12:18:39.26 E9mZxciV.net
整数のみ
397:を考える。 a ≦ a_1 ≦ … ≦ a_n ≦ b であるような (a_1, …, a_n) はいくつ存在するか？
398:１３２人目の素数さん
22/10/01 12:36:14.43 /zkr7Lqb.net
定理1：a＜b を2つの実数とするとき、開区間 (a, b) の中には必ず有理数が含まれる。
証明：有理数の稠密性から従う。
定理2：√2 の右側で最も √2 に近い有理数は存在しない。
証明：存在したとして p とする。よって、√2＜p であり、かつ p は有理数である。
定理1により、開区間 (√2, p) の中には有理数が存在する。それを1つ取って q とすれば、
√2＜q＜p であり、かつ q は有理数である。よって、q は √2 の右側にある有理数で、
しかも p より √2 に近い。これは p の定義に矛盾する。
以上により、√2 の右側で最も √2 に近い有理数は存在しない。
399:１３２人目の素数さん
22/10/01 12:56:34.81 uXYxrEU7.net
>>382
有理数の稠密性をわかってる上で話すと
√2に最も近い有理数が存在するとして、それをqとし、|√2-q|=s>0とする。
このとき有理数の稠密性から、区間(0,s)に含まれる有理数uが存在する。
しかしこれはsの最小性(qが最も√2に近い有理数であること)に矛盾。
なので>>383が補足してくれたように、最初の答えとしては(強いて言うなら)0とするのが妥当だと考えた。
とりあえず>>382は有理数の稠密性について勉強して下さい。
400:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
>>385
白石○を b-a 個
黒石●を n 個
用意して ○同士、●同士を区別せず横一列に並べる
その並べ方はは C(b-a+n, n) 通り
ある並べ方について
黒の中で左からi番目の●に着目し、そこから見て左側全体に計k個の○が置かれていたら
a_i = a+k と解釈する
そうすると石の並べ方と条件を満たす整数配置は一対一対応となる (少し手を動かしてみれば明らかでしょう)
よって、答えは C(b-a+n, n) 通り
例. ○○○●●●○○●○○● (a=1, b=8, n=5 の場合)
この石並びは (4, 4, 4, 6, 8) に相当する
401:ともひこ
22/10/02 21:36:44.83 89xUQxTm.net
>>380
ごめんなさい、有理数の稠密性について
完全に間違っていました、設問が悪かったです。
この問いでやりたかった事は、
「ある無理数について、有理数の近似値のとりやすさ」
を有理数らしさ と定義してその比較をして欲しかったんです。
例えば、超越数の π は
22/7 と割と精度の良い有理化の近似値がありますよね？
| π - 22/7 | = 小さめ、実用的な近似値
ここで登場する、7も22も どちらも正の整数としてかなり小さいもので
小学1年生の教科書でもよく見かけるものです。
この有理数の近似値のとりやすさの話がしたかった、
これは有理数らしさが高いと言えます。
いっぽうで、√2 や √6 にはそのような良い有理数の近似値がないです。
√2 と √6 を実際に有理数で近似値をとってみると分かりますが、
そうした場合、どちらが取りやすいか？ って話です。
結論を言うと、 √6 の方が有理数の近似値をとりやすい、有理数らしさが√2より高いです。
402:１３２人目の素数さん
22/10/02 22:05:57.12 ciVkDbw3.net
ふぅん
403:１３２人目の素数さん
22/10/02 23:22:10.70 NuzBHoCe.net
>>389
>この有理数の近似値のとりやすさ
定義して
404:１３２人目の素数さん
22/10/02 23:34:13.79 fVBRxa7D.net
多倍長有理数で頑張るか、いっそ浮動小数点に移るか、って話なら確かに見極めてみたいよね
405:ともひこ
22/10/03 01:51:25.79 JmU8rtnr.net
√2 などを連分数へ展開して表記してみる。
でその時に、現れる数字の大きさで
「有理化しやすさ」を判断でき…ないかな
406:ともひこ
22/10/03 01:56:16.82 JmU8rtnr.net
>>391 >>392
連分数とディオファントス近似があるじゃん！
407:ともひこ
22/10/03 02:07:48.92 JmU8rtnr.net
だんだんと見えてきたな？
目指すべきものが… ( '‘ω‘)
408:１３２人目の素数さん
22/10/03 04:24:11.82 OO8ibiYr.net
>>394
良いから定義して
409:ともひこ
22/10/03 04:56:21.47 JmU8rtnr.net
頼るな、少しは自分で考えろ
410:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
>>397
あそｗ
じゃガンバってね
411:ともひこ
22/10/03 09:19:04.91 JmU8rtnr.net
ドアホ！
言われんでも、皆頑張ってるんや！
412:１３２人目の素数さん
22/10/03 11:30:47.04 q3CV4yis.net
>>399
あそｗ
この件君だけよ
413:１３２人目の素数さん
22/10/03 13:36:54.61 7D9zjHx9.net
ディオファントス近似ってウィキペディアによると「任意の無理数 α に対して、誤差が 1/y^2 以下であるような、近似有理数 x/y を求める」らしいけど、1/y^2という部分は何か理由があるの？
414:１３２人目の素数さん
22/10/03 13:53:25.67 WZelol5E.net
フーリエ変換とラプラス変換って何か違うの？
415:１３２人目の素数さん
22/10/03 14:41:52.57 1ZYk4ypo.net
誤差が1/y未満になるのは当たり前だから、その次ということで2乗にしたんかなぁ
yに対する単調減少関数は色々あるけど
416:１３２人目の素数さん
22/10/03 17:36:00.54 W+yh4PDN.net
鳩ノ巣論法で簡単に示せるのが | α - p/q | < 1/q² だからだろ
417:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
意味ないかもしれないけど貼ってみる
URLﾘﾝｸ(ja.wikibooks.org)
418:ともひこ
[ここ壊れてます] .net
>>401
|√2-a/b| = |√2-a/b| |√2+a/b| / |√2+a/b|
= |2-(a^2/b^2)|/ (√2+a/b)
= |2b^2-a^2| / (√2+a/b)b^2 … A
分母の |2b^2 - a^2| >= 1 … S
1/(√2 + a/b)
1 < √2 < 3/2 … P
1 < a/b < 3/2 … Q
P,Q より 2 < √2+ a/b < 3
→ 1/3 < 1/(√2+a/b) < 1/2
したがって 式は
|√2-a/b| = 1/b^2 * (1以上の数) * (1/3 ~ 1/2の数)
>1/b^2 * 1/3
係数の1/b^2 は重要やね
419:ともひこ
[ここ壊れてます] .net
>>404
そこのきみ、なかなかやるな ( '‘ω‘)つ
420:１３２人目の素数さん
22/10/04 02:20:36.15 ddvDSC/t.net
「有理数の近似値のとりやすさ」の定義は？
421:１３２人目の素数さん
22/10/04 03:36:38.03 XrzeTeLR.net
irrationality measureという概念はある
422:ともひこ
22/10/04 07:10:18.50 MqdlMMLT.net
>>406
ちなみに、√6 で同じように計算すると
|√6-a/b| > 1/5 * (1/b^2)
が得られる。
1/素数 * (1/b^2)
423:ともひこ
22/10/04 09:36:02.31 MqdlMMLT.net
>>408
訊く前にじぶんで調べて。
>>409
補足ありがとうございます！ m(_ _)m
424:１３２人目の素数さん
22/10/04 09:47:33.99 OG1Afcn7.net
>>411
「有理数の近似値のとりやすさ」なるものの定義はないから、お前が定義しろってことだぞ。そうしないと何も先に進まんぞ。
まず、とりやすさって何だよ。曖昧すぎてお前の気分でいくらでもできるし、回答つける側の感覚で変わるだろ。
425:ともひこ
22/10/04 09:50:12.61 MqdlMMLT.net
>>404
そのうち、無理数α が √自然数 (２次の無理数) の場合は
もっと誤差は小さく出来て、1/q^2 の半分未満で見積もれるねぇ。
|α-p/q| < {(1/q^2) * (1/2)} (αが２次の無理数ならば)
…
合ってるよな？これ
426:ともひこ
22/10/04 09:52:07.50 MqdlMMLT.net
なんかスレの流れが良くないから
しばらく考えを整理してから
貴様らに示すわ。 覚悟しろ。
427:１３２人目の素数さん
2022/
428:10/04(火) 10:04:09.60 ID:6a2AJNkJ.net
429:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
「√2と√6でどちらが有理数で近似しやすいか」などと言われても、
まず最初に「近似のしやすさ」とやらを厳密に定義しないとナンセンス。
そして、「近似のしやすさ」なる指標を持ち出したのは「ともひこ」クンなのだから、
その定義を披露する責任は ともひこクンにある。
「訊く前にじぶんで調べて」という返答は問題外。
その定義を披露する責任は ともひこクンにある。
「考えを整理してから貴様らに示すから覚悟しろ」も問題外。
この話題を最初に書き込んだのは ともひこクンなのだから、
そもそも考えを整理して厳密な形で提示しておくのが大前提。
それができてない勉強不足の ともひこクンが勝手に追い詰められてるだけ。
430:１３２人目の素数さん
22/10/04 11:48:06.55 90Zdorxx.net
>>411
> 訊く前にじぶんで調べて。
ワロタ。そんな概念ねーよ。
431:１３２人目の素数さん
22/10/04 12:11:13.36 4tiUMKIN.net
>>412
言っても無駄だよｗ
自分で思うことを表現できず
自分が期待することを他者に考えさせようとしているのが彼の人
432:１３２人目の素数さん
22/10/04 12:16:08.21 4tiUMKIN.net
>>415
ネタか
433:１３２人目の素数さん
22/10/04 12:23:37.33 T5QAlmVy.net
>>389では
＞結論を言うと、 √6 の方が有理数の近似値をとりやすい、有理数らしさが√2より高いです。
と書かれているので、彼が想定している「近似のしやすさ」は irrationality measure ではないはず。
434:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
近似の精度で加点して分母の大きさで減点するような何かしらの評価をするんだろう
435:１３２人目の素数さん
22/10/04 15:10:27.09 rKNqr1hs.net
代数的数のirrationality measureは全部2
それ以上の細かい“近似しやすさ”を考えようとすると、そもそも正則連分数展開がどうなるか考えないといけないけど“正則連分数展開が周期的⇔２次無理数”くらいしか結果でてないやろ
もちろん三次以上でもっと何かわかるんかもしれんけど
まだまだこれからの研究ジャンルやろ
436:ともひこ
22/10/05 21:05:42.98 m/lYX5fW.net
こんなん研究して
何が楽しいんやろな
437:１３２人目の素数さん
22/10/05 21:48:13.02 Ax1Dxb+E.net
相関係数の計算公式について教えてください
n00=76; n10=4; n01=9; n11=1;
phi = (n11*n00 - n10*n01) / sqrt( (n10+n11)*(n00+n01)*(n01+n11)*(n00+n10) )
/* = 0.068599434057... */
( 出典: URLﾘﾝｸ(eloquentjavascript.net) ページ中段にてリス(squirrel)とピザ(pizza)の相関係数 "phi coefficient (ϕ)" を求めています )
統計変数が真偽値 (true, false) をとる場合は 数値化 (true→1, false→ 0 ) して処理したらよい
その程度の知識はあったものの こんな簡単な式になるとは知りませんでした
定義通りに計算すると
( ただし スケールしても相殺されるので true = → +1, false → -1 の対応にした )
N = n00+n10+n01+n11;
Mx = (+n10+n11 -n00-n01)/N;
My = (+n01+n11 -n00-n10)/N;
/* Sx = sqrt( (n10+n11)*(+1 - Mx)^2 + (n00+n01)*(-1 - Mx)^2 ); Sy = ... */
Sx = sqrt( (n10+n11)*(n00+n01)^2 + (n00+n01)*(n10+n11)^2 ) * 2/ N;
Sy = sqrt( (n01+n11)*(n00+n10)^2 + (n00+n10)*(n01+n11)^2 ) * 2/N;
phi = (+n00*(-1-Mx)*(-1-My)+n10*(+1-Mx)*(-1-My)+n01*(-1-Mx)*(+1-My)+n11*(+1-Mx)*(+1-My) ) / (Sx*Sy)
/* = 0.068599434057... */
合ってはいるもののどういう式変形で冒頭の式になるのかさっぱり分かりません
数式処理ソフトに頼らず何かスマートな方法があれば教えてください (きっとありますよね？)
438:１３２人目の素数さん
22/10/06 13:25:58.15 9K+q3POs.net
数体篩法の解説読んでたら、nを素因数分解したいときに
f(m)=0 mod nとなるf(x)とmを準備して、f(x)の根の一つをα∈C（複素数）とする、みたいなのが最初に出てきました
f(x)とmのペアは例えばnのm進展開を用いて準備すると説明されてたのですが、αについては単にf(x)の根の一つとしか書かれてなくて求め方が分からないのですがαはどうやって求めるんですか？
nが200桁以上ならf(x)は6次式とする、みたいな記述があるのでf(x)は一般に高次式でαは解析的に求まるものではないように思うのですが
439:１３２人目の素数さん
22/10/06 14:19:00.78 1Rqx6Fwu.net
そういうことは求める必要が出てから聞け。
440:１３２人目の素数さん
22/10/06 14:42:23.08 BGO5j9mA.net
ある工事完了に必要な作業1～6について以下の制約がある。
作業2は作業1が終わるまで開始できない。
作業3は作業1が終わるまで開始できない。
作業4は作業2と3が終わるまで開始できない。
作業5は作業3が終わるまで開始できない。
作業6は作業4と5が終わるまで開始できない。
この工事はT日以内で終えねばならず、各作業iはt_i日かかる。
しかし臨時作業員を雇うことにより作業日数を減らすことができるが、
s_i日よりは少なくはできない。また、1日減らすのにm_i万円かかる。
費用を最小にする作業計画をたてよ。
minimize: 農{i=1}^{6} m_i × (t_i - x_i)
subject to:
x_1 + x_2 + x_4 + x_6 ≦ T
x_1 + x_3 + x_4 + x_6 ≦ T
x_1 + x_3 + x_5 + x_6 ≦ T
s_i ≦ x_i ≦ t_i (i = 1, …, 6)
模範解答では各作業の開始日y_iという変数も考えています。
上の解答は間違っていますか？
441:１３２人目の素数さん
22/10/07 22:56:04.64 tgTnhMqH.net
>>424 自己解決しました
対応は true = → +1, false → 0 の方が楽な気がします
思ってたより簡単に変形できました
計算メモ
d c
a b
N = a+b+c+d
m₁ := Σx/N= (b+c)/N
m₂ := Σy/N = (c+d)/N
s₁² := Σ(x-m₁)² = (b+c)(1-m₁)²+(a+d)(0-m₁)² = { (b+c)(a+d)²+(a+d)(b+c)² }/N² = (a+d)(b+c)/N
s₂² := Σ(y-m₂)² = (d+c)(1-m₂)²+(a+b)(0-m₂)² = { (d+c)(a+b)²+(a+b)(d+c)² }/N² = (a+b)(d+c)/N
cov₁₂ := Σ(x-m₁)(y-m₂) = Σ xy - Nm₁m₂ = ( c(a+b+c+d) - (b+c)(c+d) ) / N = (ac - bd) / N
∴ phi = cov₁₂ / (s1 s2) = (ac - bd)/√{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}
442:１３２人目の素数さん
22/10/09 13:00:20.90 4uHLlbmt.net
Farkasの補題：
与えられた m×n 行列 A と m 次元ベクトル b に対して、次の一方のみが常に成り立つ。
(1) A * x = b, x ≧ 0 である x ∈ R^n が存在する。
(2) A^{T} * y ≧ 0, b^{T} * y < 0 である y ∈ R^m が存在する。
このFarkasの補題を証明するために、以下の補題を証明しています。
↓の証明では、 n_1 ≧ 0 かつ n_2 > 0 の場合にしか証明していないと思います。
ところが、著者らは、この補題の n_2 = 0 の場合がFarkasの補題であるからFarkasの補題が
成り立つと書いています。
本当に以下の証明で n_2 = 0 の場合も含めて証明されていますか？
imgur.com/tjPUnhg.jpg
443:１３２人目の素数さん
22/10/09 14:46:43.83 ezSTEjJW.net
n_2=0 の時は L = 0 と見なせばよい
444:１３２人目の素数さん
22/10/09 14:54:50.95 4uHLlbmt.net
例えば、 n_1 = 1, n_2 = 0 のときに補題2.2が成り立つことを補題2.2の証明法によって具体的に証明してみてください。
445:１３２人目の素数さん
22/10/09 17:23:51.44 or8fZONT.net
「素粒子ではなく素角度量を考えよう
素角度量には位置すらない
ある素角度量と別の素角度量が織りなす角度が存在する
宇宙の終わり、そして静止は、あるとしたらこの素角度量の同軸的分布である
万物の根源は角運動量である」
みたいな動機で、位置ではなく角度に次元を見出したい時に使える数学はありますか
なければ作る人はいま�
446:ｹんか ・直方体で考えます。縦、横、高さ。3次元です。 ・円筒で考えます。半径、角度、奥行。3次元です。 ・球で考えます。半径、角度A、角度B。3次元です。 ・角度が3つ。3次元です。いったいどのようなものがでしょう。 我々は位置には次元を見出すのに角度に次元を見出さないのはなぜでしょうか それとも俺は何か勘違いしてますか
447:１３２人目の素数さん
22/10/09 17:46:16.44 PjzuiDcd.net
これが大学学部レベル？
448:１３２人目の素数さん
22/10/09 17:51:24.50 or8fZONT.net
物理学的な意味が不明なだけで
数学的にはn次元角度量なんかは普通に存在し得るのかな、とも思いますが
449:１３２人目の素数さん
22/10/09 18:06:35.59 ezSTEjJW.net
>>431 はいどうぞ
オレオレ記法だけどまあ伝わるでしょ
Problem:
A₁=(a₁), A₂=(), b に対して
★1: ∃x { x₁a₁ = b, x₁≧0 }
★2: ∃y { a₁・y ≧0, b・y < 0 }
( ★1 か ★2 の一方のみ成り立つ )
Proof: (n₁=0, n₂≧0 については証明済みとする)
A₁'=(), A₂=(), b に対して
case 1: b=0 ⇒ x₁=0 (★1)
case 2: b≠0 ⇒ ∃y' { b・y' < 0 } ⇒ {
case (a₁・y' ≧0): ⇒ y:=y' (★2)
case (a₁・y' <0): {
A₁'=(), Ã₂=(a₁), b に対して
case 2: ∃y{ a₁・y=0, b・y < 0 } (★2)
case 1: ∃x₀{ a₁x₀=b } , 0> y'・b = y'・(a₁x₀) = (y'・a₁)x₀ ∴ x₀ > 0 ⇒ x₁:=x₀ (★1)
}
}
(★1)∧(★2) ⇒ 0≦ x₁(a₁・y) = (x₁a₁)・y = b・y < 0 {矛盾}
両立は不可能
450:１３２人目の素数さん
22/10/09 18:16:40.87 or8fZONT.net
>>433
大学学部レベルより上だという疑いですか、下だという疑いですか
451:１３２人目の素数さん
22/10/09 19:01:24.22 or8fZONT.net
>>433
あの…
452:ともひこ
22/10/09 19:13:03.81 KBngix44.net
こんなん小2でも解けるやん ( '‘ω‘)
453:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
>>432
角度は無次元量なんですよ
ラジアンの定義を思い出して貰えばわかると思いますけど、円周を直径で割ってますよね
長さを長さで割ってるので、次元なしです
角度の3次元バージョンに立体角とかいうのもありますけど、それも同じく無次元量です
454:１３２人目の素数さん
22/10/09 19:40:01.55 or8fZONT.net
>>439
ありがとう
455:１３２人目の素数さん
22/10/11 18:34:36.21 c76hLDXE.net
ファイバー束S^n-1→S^2n-1→S^nがあった時に射影p:S^2n-1→S^nの写像錐C_pが
多様体(できれば向き付可能性も言いたい)になる事を示したいのですがわかりません
局所的に座標が取れればよいのでq:R^2n-1→R^nという射影の写像錘の貼り合わせ箇所で考えればよさそうですがうまくいきません
また実際にはこのようなファイバー束はHopf束に限るという定理があるようですがそれは使わずに示したいです
よろしくおねがいします
456:１３２人目の素数さん
22/10/11 19:09:49.50 AiJUz2Ou.net
Cₚそのものに多様体の構造なんか入るわけないやん？
ある多様体MとS²ⁿ⁻¹→Mがあって合成Sⁿ⁻¹→Mが定数にホモトピックで誘導される写像Cₚ→Mがホモトピー同値ではないの？
少なくともオレが知ってる定義
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(topology)?wprov=sfti1
では多様体の構造なぞ普通は入らないけど
457:１３２人目の素数さん
22/10/11 19:37:30.75 c76hLDXE.net
>>442
一般には入らなんですか
Hopf束p:S^3→S^2=CP^1の場合だとこれはCP^2の4セルの接着写像と一致していて
C_pはこの場合にはCP^2に同相なので一般にも多様体になるのかと思ったのですが
一般に多様体にならないというのはどういう点を考えればわかるんでしょうか
実際はC_pのコホモ�
458:鴻Wーの計算(pのHopf不変量が1である事を示したい)で使いたいだけなので ご指摘の通りC_pが(向き付け可能な)多様体とホモトピー同値である事が言えれば十分です なのでこちらの問題で分かる人いたら教えてほしいです
459:１３２人目の素数さん
22/10/11 20:48:50.37 AiJUz2Ou.net
そもそも論としてSⁿ⁻¹→S²ⁿ⁻¹だったら自明な埋め込みにホモトピックにならない？
専門外だから自信ないけど
ホモトピー同値で取り替えていいの？
460:１３２人目の素数さん
22/10/11 21:09:37.87 XcLTaEJJ.net
違うな
p : S²ⁿ⁻¹→Sⁿ がfibreがSⁿ⁻¹であるfibrationの時pの与えるホップ不変量は1か？
なんだな
461:１３２人目の素数さん
22/10/11 22:00:02.29 c76hLDXE.net
>>445
そうです、記号がまぎらわしくてすみません
Hactherの本の問題なのですがそのfibrationのホップ不変量が1になる事を示したくて
ヒントとしてC_p(のホモトピー同値)が多様体である事を示してポアンカレ双対を使えというものがあり
向き付け可能多様体であると言えればポアンカレ双対より
H^nの生成元とH^nのある元の積がH^2nの生成元(基本類)になる事から
ホップ不変量が±1になる事が言える感じです
462:１３２人目の素数さん
22/10/11 22:37:51.66 4zcPOauu.net
なるほど、やっとわかった
じゃあMは2n次元の向き付け可能な多様体じゃないとダメなんじゃないの？
なら元のCₚの構造なんか全然ダメやん
pのイメージでない開部分しゆうこには多様体の構造あるけどそれ2n-1次元やん
463:１３２人目の素数さん
22/10/11 23:06:37.15 c76hLDXE.net
>>447
C_pで見ると写像錐はS^2n-1×Iの端点を潰しているものなので
貼り合わせの所以外だと2n次元になってます
なのでC_pは貼り合わせとしては2nセルをその境界をpに沿ってS^nに張り合わせてる状況です
一個仮定を忘れていてホップ不変量が1である事を言うにはn＞1を仮定します
この仮定の元でC_pはCW複体としての次元の要請(2nとnが次元2以上差があるので)から
2nとnにのみコホモロジーZを持っている事は言えている状況です
464:１３２人目の素数さん
22/10/11 23:19:56.33 h+HYtpTt.net
>>448
わかったかも
まずS²ⁿ⁻¹→Sⁿのfibre Sⁿ⁻¹にDⁿを貼り付けてSⁿ上のDⁿ fibreをつくる
これはS²ⁿ⁻¹を境界とする境界付き多様体になる
この境界にD²ⁿを貼り付けると2n次元多様体になってCₚとhomotopy 同値になる気がする
465:１３２人目の素数さん
22/10/11 23:28:35.06 QqAA+9Hc.net
>>444
ファイバーだからそこ関係ない
466:１３２人目の素数さん
22/10/11 23:37:40.62 QqAA+9Hc.net
>>449
正解
ベーススペースのS^nはそのディスクバンドルのレトラクト
467:１３２人目の素数さん
22/10/11 23:53:40.57 c76hLDXE.net
>>449
おお確かにいけてそうな気がします
最初のディスクバンドルがS^nへの貼り付けを与える写像柱とみなせて
その境界に2nセル張ってるのでC_pと同相ともみなせそうですね
ありがとうございます
468:１３２人目の素数さん
22/10/12 06:46:30.36 0ULuUry2.net
>>452
励み給え ( '‘ω‘)
469:１３２人目の素数さん
22/10/12 12:33:13.73 LcGAHvvd.net
log(z)+log(z)=2log(z).(zは複素数)は正しいですか？
470:１３２人目の素数さん
22/10/12 13:45:24.31 0ULuUry2.net
>>454
z が以下であるならば、正しい。
{ -∞ < z < 0, 0 < z < +∞ }
のドメインにおいて。
471:( '‘ω‘
22/10/12 13:46:33.80 0ULuUry2.net
一応、言っておくけど
ワイの書き込みは話半分で聞いてくれな、
理系は得意じゃねんだわ。
ち、ちなみに謙虚な神戸大卒 TOEIC700です…( ; ‘ω‘) ﾊｧﾊｧ
472:１３２人目の素数さん
22/10/12 14:10:35.28 THJ4XHv0.net
>>455
ありがとうございます。
log(z)+log(z)=2log(z).(zは0を除く複素数)は正しい。
学校の先生は正しくないと言っている。どうしたらいいですか？
473:１３２人目の素数さん
22/10/12 14:35:05.51 THJ4XHv0.net
log(z)が複素数の時log(z)+log(z)が2log(z)じゃないなら代数学的に矛盾していますよね？
474:１３２人目の素数さん
22/10/12 14:55:31.53 faRHPKD6.net
「オドレのいうとる事は代数的に矛盾しとるやろ？あ？」と先生にいう
475:１３２人目の素数さん
22/10/12 15:01:18.83 ykgPdznk.net
2*Log(z) ≠ Log(z^2)
たぶんこういうのを言いたかったんだろ
( Log は log の 主分岐 )
476:１３２人目の素数さん
22/10/12 15:37:00.31 3s6ooDuk.net
ガンマ関数に0.1を入れた時の計算を教えて下さい
0.5なら√PIになることはわかったのですが
0.5以外の小数が出てきたときの求め方がわかりません
例えばガンマ(2.1)のとき
1.1 × 0.1 × ガンマ(0.1) となるのですがどのように求めたらよいでしょうか
数値ではなく解き方が知りたいです
477:( '‘ω‘
22/10/12 15:42:18.31 0ULuUry2.net
あ、正しくないわ。
複素関数での e^z は 集合になるから性質が違う。
実数 だけの e^r は 1つの数だけだ。
例えば、 e^2 = 7.38... これ1個。
しかし、複素関数での e^z は…1つの数じゃないよね？
これ集合だよね？ (2πn で n=1,2,3,... と幾らでも出てくる)
そういうわけで実際に log(z) + log(z) = 2log(z) にはならない。
・ 左辺の1項目の集合 と 2項目の集合
・ 右辺の 2log(z)の集合
計算したら分かるけど、これが一致しないんだよね。
(右辺は 4πn みたいな形が出てきてしまう)
478:１３２人目の素数さん
22/10/12 15:59:47.12 AoumqALj.net
>>491
多分無理
見たことない
479:１３２人目の素数さん
22/10/12 16:00:22.92 AoumqALj.net
>>461
多分無理
見たことない
480:１３２人目の素数さん
22/10/12 16:20:17.90 THJ4XHv0.net
log(z)≠log(z)?
定義:log(z)=log|z|+i(θ+2kπ),(kは整数)←定義されてない？
481:１３２人目の素数さん
22/10/12 16:30:45.38 THJ4XHv0.net
log (z)={log|z|+i(arg(z)+2nπ)| nは整数}ってかんがえればいいの？
482:( '‘ω‘
22/10/12 16:39:10.30 0ULuUry2.net
>>466
定義より複素数を 量と偏角 で表すと
log z = ln |z| + i(arg z + 2πN) | N=0,±1,±2,....}
この時、z = e^iπ として
左辺と右辺のそれぞれの偏角について考える
左辺 = log z + log z の偏角 = arg z + arg z = (arg z + 2πL) + (arg z + 2πM)
= {2 arg z + 2π(L+M) | L,M = 0,±1,±2,....}
右辺 = 2 log z の偏角 = 2 arg z = 2(arg z + 2πN)
= { 2 arg z + 4πN | N=0,±1,±2,....}
483:( '‘ω‘
22/10/12 16:41:08.19 0ULuUry2.net
>>466
そう。
そして、1つの数を足し算で操作しているのではない。
集合のそれぞれの要素に足し算の操作をしている。
っていうのを踏まえると、
log z + log z = 2 log z が
ダメだというのは分かる。
484:( '‘ω‘
22/10/12 16:45:04.69 0ULuUry2.net
複素数は1変数で2つの元を持つから
ただのベクトルと同じように見えるが違う。
複素関数で、複素数の指数・対数を通常の数のように扱ってはいけない。
というか、そういう操作が許されるのは線形代数のベクトルの話だぁね。
485:１３２人目の素数さん
22/10/12 17:05:39.31 THJ4XHv0.net
>>469
ありがとうございます。log zは危ない。zの偏角を決めないと足し算すらおかしい。
結局log(z) +log(z)はzの偏角を決めないと意味不明。
486:１３２人目の素数さん
22/10/12 17:43:09.51 e/PLthP6.net
>>462
>しかし、複素関数での e^z は…1つの数じゃないよね？
1つとするのが主流
487:１３２人目の素数さん
22/10/12 17:45:09.59 e/PLthP6.net
>>470
まあいいけどそれなら
log z=log z
も成り立たないがな
488:１３２人目の素数さん
22/10/12 17:52:34.07 h1A9UuGI.net
まぁこういう俺様複素数使ってるアホいっぱいいるやろな
489:( '‘ω‘
[ここ壊れてます] .net
>>471
1つの集合な。
490:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
exp()は2^C上の関数だという珍説
491:１３２人目の素数さん
22/10/12 21:32:08.61 vTPEG6Yw.net
>>474
１つの数
492:１３２人目の素数さん
22/10/12 21:35:15.57 vTPEG6Yw.net
>>474
493:普通は1つの数になるのが分からないなら 複素函数への理解ができていないのだが
494:１３２人目の素数さん
22/10/12 22:32:59.38 Qy0Qadd3.net
一般にアーベル群Gの部分集合A、Bに対し、A+Bを{a+b|a∈A，b∈B}で、2Aを{a+a|a∈A}で定義するとA+Aと2Aは一般には異なる。
log(z)+log(z)=2log(z)は正しくない、というのはそういう意味。
495:１３２人目の素数さん
22/10/12 22:34:26.36 vTPEG6Yw.net
>>478
そのように定義しなくてはいけないという理由は無い
496:１３２人目の素数さん
22/10/12 23:16:22.25 Qy0Qadd3.net
>>479
なぜ間違いかを煎じ詰めるとこうなる、という話をしている。
497:１３２人目の素数さん
22/10/12 23:20:24.64 Qy0Qadd3.net
ID:vTPEG6Ywはlogが集合値関数だということをわかっていない
498:１３２人目の素数さん
22/10/13 00:25:34.67 4ZePgFRf.net
>>480
logzはその中のどれかという解釈なら間違いではない
499:１３２人目の素数さん
22/10/13 00:26:56.01 4ZePgFRf.net
>>481
集合関数であるという解釈をする必要も無く
むしろ
普通はリーマン面上の一価関数なのだが
500:１３２人目の素数さん
22/10/13 00:30:28.71 4ZePgFRf.net
浅い解釈で折角打ち建てた金字塔をどぶに捨て去って悦に入るとは愚
501:１３２人目の素数さん
22/10/13 01:38:51.02 O87E6OEh.net
logz足すlogzは2logz(mod 2πi) これだろ！！、！
502:１３２人目の素数さん
22/10/13 01:43:48.11 O87E6OEh.net
logz/~これこそが真のlog
503:１３２人目の素数さん
22/10/13 01:49:09.47 O87E6OEh.net
>>482
じゃあどうやって計算すんのか言ってみろやぁ！、！、
504:( '‘ω‘))
[ここ壊れてます] .net
補足ありがとうございます。
505:１３２人目の素数さん
22/10/13 13:52:17.96 HKfIJbgv.net
>>485
x=a mod nのとき2x=2a mod 2nであるべきとか思ってそう
いやまあいいけど
506:１３２人目の素数さん
22/10/13 14:31:33.06 nf5PQNRW.net
とりま、旧帝大未満の人は黙ってて。
ち、ちなみに謙虚な
神戸大卒 TOEIC700です…( ; ‘ω‘) ﾊｧﾊｧ
神戸帝国大学…
( '^ω^) なんつってなwww
507:１３２人目の素数さん
22/10/13 15:07:48.13 7HnmmlxS.net
旧帝大未満の神戸大卒（）がなんで書き込みしてるの？
508:１３２人目の素数さん
22/10/13 16:52:45.76 9IuVJBX9.net
多価関数って昔の人の考え方じゃないの？
509:１３２人目の素数さん
[ここ壊れてます] .net
(2)はどうやって解くのですか？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
510:１３２人目の素数さん
22/10/13 21:02:56.34 HnRC5ifv.net
>>493
院試なら大学と年度を
511:１３２人目の素数さん
22/10/13 21:19:43.42 Tibm/2EF.net
院試ではありません。（１）は数Ⅲの簡単な問題ですが、（２）は高校数学ではちょっと
見ないような問題なので、こちらで質問してみました。
512:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:10:18.80 qv10Eqyj.net
特殊な発想は必要ないと思う
がんばれ
513:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:12:18.35 5IaGgQQn.net
u<vを任意にとる
p,qをg(x) = f(x)-(px+q)とおく時g(u) = g(v) = 0となるようにとる
g(x) ≡ 0 ( x ∈ [u,v] )を示す
[u,v]においてg(x)はx=a∈(u,v)で最大値mをとるとする
a≦(u+v)/2とすればr = (u+v)/2-uに対して
2rm = 2rg(a) = ∫[a-r,a+r] g(t)dt ≦ 2rm
等号成立は[a-ra+r]においてg(x) ≡ mである場合に限るからこの時
m = g(u) = 0
a≧(u+v)/2の場合も同様だから結局a∈(u,v)→m = 0
a = u,v → m = 0は仮定から明らかだから全ての場合でm = 0
同様にして[u,v]での最小値も0
∴ g(x) ≡ 0
514:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:32:16.85 RMClmb3X.net
(2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。
(2)の等式を x で微分すると、 f(x + r) - f(x - r) = 2 * r * f'(x) が成り立つことが分かる。
これらより、
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
f(x - r) = f(x) - r * f'(x)
が成り立つことが分かる。
ここで x を固定する。
y を任意の実数とする。
y > x のとき、
r = y - x > 0 とおく。
f(y) = f(x + r) = f(x) + r * f'(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
y < x のとき、
r = x - y > 0 とおく。
f(y) = f(x - r) = f(x) - r * f'(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
y = x のとき、
f(y) = f(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
よって、任意の実数 y に対して、
f(y) = f(x) + (y - x) * f'(x)
である。
よって、 f は 1次関数ないし、定数関数である。
515:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:48:28.69 zit5Jgpv.net
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
f(x - r) = f(x) - r * f'(x)
が成り立つことが分かる。
これどうするの？
516:１３２人目の素数さん
22/10/13 22:54:17.82 9SLloGwN.net
答え書いちゃう感じか
いろんな解き方があるよな
517:１３２人目の素数さん
22/10/13 23:19:04.43 5/zuJNL8.net
f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x)をrで微分するとf‘(x+r)=f’(x-r)
r=xとおいてf’(2x)=f’(0)=定数
ともできる
または
f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x)を
f(x+r)-f(x)=f(x)-f(x-r)と変形して
f(x)=(f(1)-f(0))*x+f(0)を連続性から証明してもいい
この方針ならfの微分可能性は使わない