純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11at MATH

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 - 暇つぶし2ch924:最後にあるように、　既約5次方程式で可解な場合には、方程式の群は位数20の線形群になる　（アルティン第3章3節、Coxガロア理論下、彌永ガロア本第二部などご参照）　２）既約5次方程式で、重根を持たないとする（これ重要）　根 a1,a2,a3,a4,a5 の５つは、相異なるので、　巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる　３）ガロア第一論文の最後にあるように、方程式の群の可解列で、最後{e}(下記では{1}) 　の一つ前が、位数5の巡回群になる。これに対応するのが、5乗根の添加で　例えば x^5=aでここから、1の5乗根が出る　これで、上記への回答はほぼ終わりだ　４）さて、追加で下記三次方程式における還元不能問題がある　（還元不能問題とは、下記のあるように全部実根でも、途中で虚数を必要とすることをいう）　５）5次方程式を含む一般の方程式の還元不能問題については　Coxガロア理論下第III部第8章 8.6節に詳しい　６）例えば、　命題8.6.4： M⊂Lはガロア拡大で、L⊂Rをみたし、　ある奇素数pに対して[L:M]=pをみたすと仮定する。　このときLはMの実べき根拡大の中に入り得ない　証明(略)（Coxを見よ）　この命題は、不還元の場合の解析において鍵となる道具であると書かれている　７）上記の「必ず5乗根が必要」については、これで分かる　なお、詳しく書き出せば切りが無い（実はめんどくさい）ので、この程度で終わる」　ですつづく

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