純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11at MATH

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 - 暇つぶし2ch893:可解であると仮定する．n 乗根による表示は，ある a に対して 2 項方程式 x^n ? a の根を表すから，Fm ⊃ L となるような拡大体の列 Fm ⊃ Fm?1 ⊃ ・・・ ⊃ F1 ⊃ F0 = K であって，各々の i = 1, . . . , m に対してある ni ∈ N とある ai ∈ Fi?1 があり，Fi は x^ni ? ai の Fi?1 上の分解体となっているとしてよい．このとき Fi = K(n1√a1, . . . ,ni√ai) であるから，Fi は K 上のガロア拡大である．ただし ni√ai は x^ni ? ai の根の１つを表すものとする．（仮定より 1 の ni 乗根は K に含まれるので，どれを選んでも以下の議論に影響はない．) 体の拡大 Fm ⊃ K の中間体のガロア対応により， Hi:= Φ(Fi) = Gal(Fm/Fi) (i = 1, 2, . . . , m) とおく．このとき定理 7.2 より Gal(L/K) の部分群の列 {id} = Hm ⊂ Hm?1 ⊂ ・・・ ⊂ H1 ⊂ H0 = Gal(Fm/K) ができ，Hi = Gal(Fm/Fi) ⊂ Gal(Fm/Fi?1) = Hi?1 とみなせる．Fi ⊃ Fi?1 はガロア拡大であるから，Fi をガロア拡大 Fm ⊃ Fi?1 の中間体とみなせば，Fi に対応する Gal(Fm/Fi?1) の部分群が Hi であり，定理 7.2 により Hi は Hi?1 の正規部分群であり， Hi/Hi?1～= Gal(Fi/Fi?1) が成立する．さらに定理 9.1 により Hi/Hi?1 は巡回群である．以上により Gal(Fm/K) は可解群であることがわかった．Fm ⊃ L ⊃ K と L が K のガロア拡大であることと命題 11.1 により Gal(L/K) ～= Gal(Fm/K)/Gal(L/K) も可解群である．つづく

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