890:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 09:40:22.99 EhW0UvWQ.net
>>814
つづき
12 方程式のべき根による可解性
定義 12.1 K を C の部分体とする．f(x) ∈ K[x] に対して方程式 f(x) = 0 が K 上でべ
き根によって解けるまたは K 上可解であるとは，f(x) = 0 のすべての根が K の元から
出発して，べき乗根（2 項方程式の根）と 1 のべき乗根および四則演算を組み合わせて表
示できることと定義する．
定理 12.1 K をすべての 1 のべき乗根を含むような C の部分体，f(x) ∈ K[x] を 2 次以
上の多項式とする．このとき，方程式 f(x) = 0 が K 上べき根によって解けるための必要
十分条件は f(x) の K 上の分解体 L のガロア群 Gal(L/K) が可解群となることである．
証明:
(1) 必要性：f(x) = 0 が K 上可解であると仮定する．n 乗根による表示は，ある a
に対して 2 項方程式 x^n ? a の根を表すから，Fm ⊃ L となるような拡大体の列
Fm ⊃ Fm?1 ⊃ ・ ・ ・ ⊃ F1 ⊃ F0 = K
であって，各々の i = 1, . . . , m に対してある ni ∈ N とある ai ∈ Fi?1 があり，Fi は
x^ni ? ai の Fi?1 上の分解体となっているとしてよい．
このとき Fi = K(n1√a1, . . . ,ni√ai)
であるから，Fi は K 上のガロア拡大である．ただし ni√ai は x^ni ? ai の根の１つを表す
ものとする．（仮定より 1 の ni 乗根は K に含まれるので，どれを選んでも以下の議論に
影響はない．) 体の拡大 Fm ⊃ K の中間体のガロア対応により，
Hi:= Φ(Fi) = Gal(Fm/Fi) (i = 1, 2, . . . , m)
とおく．このとき定理 7.2 より Gal(L/K) の部分群の列
{id} = Hm ⊂ Hm?1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ H1 ⊂ H0 = Gal(Fm/K)
ができ，Hi = Gal(Fm/Fi) ⊂ Gal(Fm/Fi?1) = Hi?1 とみなせる．Fi ⊃ Fi?1 はガロ
ア拡大であるから，Fi をガロア拡大 Fm ⊃ Fi?1 の中間体とみなせば，Fi に対応する
Gal(Fm/Fi?1) の部分群が Hi であり，定理 7.2 により Hi は Hi?1 の正規部分群であり，
Hi/Hi?1～= Gal(Fi/Fi?1) が成立する．さらに定理 9.1 により Hi/Hi?1 は巡回群である．
以上により Gal(Fm/K) は可解群であることがわかった．Fm ⊃ L ⊃ K と L が K のガ
ロア拡大であることと命題 11.1 により Gal(L/K) ～= Gal(Fm/K)/Gal(L/K) も可解群である．
つづく
891:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 09:40:53.77 EhW0UvWQ.net
>>814
つづき
(2) 十分性： Gal(L/K) は可解群であると仮定する．部分群の列
{id} = Hm ⊂ Hm?1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ H1 ⊂ H0 = Gal(L/K)
であって，すべての i = 1, . . . , m について，Hi は Hi?1 の正規部分群であり Hi?1/Hi は
アーベル群であるようなものが存在する．アーベル群の基本定理によって，Hi?1/Hi はい
くつかの（有限）巡回群の直和になる．従って Hi?1 の部分群の列
Hi = Gl ⊂ Gl?1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ G1 ⊂ G0 = Hi?1
が存在して，すべての j = 1, . . . , l について Gj は Gj?1 の正規部分群であって Gj?1/Gj
は巡回群であるようにできる．従って，最初から各 Hi?1/Hi は巡回群であると仮定して
も一般性を失わない．
Fi:= L^Hi = {α ∈ L | σ(α) = α (∀σ ∈ Hi)}
とおけば，定理 7.1 と定理 7.2 により
L = Fm ⊃ Fm?1 ⊃ ・ ・ ・ ⊃ F2 ⊃ F1 ⊃ F0 = K
が成立する．前半の証明で示したように，Hi = Gal(L/Fi) ⊂ Gal(L/Fi?1) = Hi?1 とみな
せてHi は Hi?1 の正規部分群であるから，Fi ⊃ Fi?1 はガロア拡大である．
Gal(Fi/Fi?1) =Gal(L/Fi?1)/Gal(L/Fi) = Hi?1/Hi は位数 ni:= [Fi: Fi?1] の巡回群である．定理 7.2 に
より，ある ai ∈ Fi?1 が存在して Fi は x^ni ? ai の Fi?1 上の分解体となる．以上により，
f(x) = 0 はべき根によって解けることが示された．□
(引用終り)
以上
892:わかるすうがく
22/12/17 09:54:13.17 vkjQzDmx.net
>>814
雑談クンは本当に探しものがヘタだねぇ
答えが書いてあるのはそこじゃないよ
ｐ３０の例１に書いてあるじゃない
x^3－2 = (x －2^(1/3))(x －2^(1/3)ω)(x －2^(1/3)ω^2)
これを、1の原始5乗根ζを使って書き換えれば以下の通り
x^5－2 = (x －2^(1/5))(x －2^(1/5)ζ)(x －2^(1/5)ζ^2)(x －2^(1/5)ζ^3)(x －2^(1/5)ζ^4)
したがって>>793 Q1は
f(2^(1/5))=2^(1/5)ζ
f(2^(1/5)ζ)=2^(1/5)ζ^2
f(2^(1/5)ζ^2)=2^(1/5)ζ^3
f(2^(1/5)ζ^3)=2^(1/5)ζ^4
f(2^(1/5)ζ^4)=2^(1/5)ζ^5=2^(1/5)
つまりf(x)=x*ζ
5乗根ζを掛けるのが巡回関数
だからζを体に追加する必要がある
雑談クン、それ全然理解せずに、ただ何の根拠もなく
「クンマー拡大には、１のｎ乗根の追加が必要！」
っていってたでしょ それじゃ数学分かったことにならないよ
893:わかるすうがく
22/12/17 09:57
894::22.83 ID:vkjQzDmx.net
895:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 10:38:29.52 EhW0UvWQ.net
>>811 追加
>自分の書いたこと＝「群の作用」
>について
>”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”
>と言われて
>これが出来ない
>（多分、出来ないというよりも、自分の誤解か分かってないことに気付いたかなｗ）
>で、必死にゴマカスｗｗ
この人（ID:Yvnw5Kb3氏）は
ガロア理論を根本的に誤解していたんだね
１）
そもそも、躓きは>>547 の
”Q2
「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、
５乗根そのものは要素として含まれる？”
(引用終り)
から始まっているんだ
>>814 大阿久PDFにあるように
”方程式 f(x) = 0 が K 上でべ
き根によって解けるまたは K 上可解であるとは，f(x) = 0 のすべての根が K の元から
出発して，べき乗根（2 項方程式の根）と 1 のべき乗根および四則演算を組み合わせて表
示できることと定義する．”>>815
こういう体の拡大で考えておけばよかったべｗ
２）
これで、定理 12.1 の証明にあるように、位数5の巡回群なら方程式の根の表示に5乗根を使うってこと
あと、この人、ガロア理論を、>>391のように”方程式の最小分解体”ベースで考えていたのかな？
それで、きっと思考の迷路に入ってしまったんだね
３）
そこを突かれると、「群の作用」と言い出したんだ
（例えば、>>678"何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる。
ζ_5はQ(ζ_11)には含まれないから矛盾する"
とかｗ
ちゃんと、群Gと作用域Λ この2つを定義しないと議論が上滑りだよね。「ζ_5が出てくる」？ なにそれ？ｗ）
４）
さらに、”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”(上記)と言われて、答えられず
そりゃあ、そうでしょうね。「群の作用」なんて、論点ずらしで持ち出しただけだものねｗ
以上
896:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 10:53:23.21 EhW0UvWQ.net
>>800 追加
>ガロア理論10年以上勉強して「ガロア群の作用」も分かってないのがダメだね
別に、私がガロア理論を理解しているとかいうつもりはないけど
分かってない人から、言われてもねｗ
「ガロア群の作用」ね
だから、”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”と
ガロア群Gは、基礎体の取り方で違うよね。基礎体をどうするの？
作用域Λは？ 方程式の根とするのか、拡大体（の自己同型）とするのか？
これが、答えられないんだねｗｗｗ
（参考）
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
hooktail
体の自己同型写像
自己同型写像の群
897:１３２人目の素数さん
22/12/17 11:23:17.95 Yvnw5Kb3.net
>>819
頭悪いね。
問は意味はなしているのだから、正しく答えればよかっただけ。
問が意味をなしていないなら、ナンセンスだけど、意味をなしているのだから。
それで、方程式を解く際にあらわれるべき根は
最小分解体に含まれないことは理解できましたか？
898:１３２人目の素数さん
22/12/17 11:34:47.11 Yvnw5Kb3.net
>>820
>ガロア群Gは、基礎体の取り方で違うよね。基礎体をどうするの？
>作用域Λは？ 方程式の根とするのか、拡大体（の自己同型）とするのか？
それが分からないのが、貴方がガロア理論を理解してないって証拠。
「ガロア群の作用」が何通りもあると思ってるんでしょ？
バカだねぇｗｗ
基礎体をどうしようが、「部分群になる」という制限が入るだけ。
>方程式の根とするのか、拡大体（の自己同型）
どちらも同じだよ。方程式の根とした場合、体のk自己同型を
根に制限したものになってるだけ。
それが分かってないのが1=雑談。
899:１３２人目の素数さん
22/12/17 11:42:28.57 Yvnw5Kb3.net
再掲>>797
10年以上ガロア理論勉強して、本も多数揃えているという1=雑談のバカ発言
>クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
アホかｗｗ
aが5乗数じゃないとき
x^5-a=0 の根たち、a^{1/5},a^{1/5}ζ_5,...,a^{1/5}ζ_5^4
はすべて共役で、ガロア群が推移的に作用している。
一方で、a=1のときa^{1/5}=1にどんなガロア群を作用させても不変ですよｗｗ
900:１３２人目の素数さん
22/12/17 12:00:30.64 Yvnw5Kb3.net
ガロアが定義したガロア群とデデキントが定義したガロア群の関係。
前者は後者の忠実な置換表現になっている。つまり同型。
本質的に同じ。特に考えている根に限ればまったく同じ。
901:１３２人目の素数さん
22/12/17 12:29:01.45 Yvnw5Kb3.net
このスレで最初にクンマー拡大の話を出したのはわたし。>>391
それに対して「論点ずらしだ～」と泣いてるのが>>489 =1=雑談
全然論点ずらしじゃない。ど真ん中の核心を突いている。
自分が理解できない話だと「論点ずらしだ～」と泣き喚くのが1=雑談。
902:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 13:19:51.53 EhW0UvWQ.net
>>821-825 >>811より再録 くっさぁ～！ｗ 笑えるよ >>800より ”説明しろとは言ってないよ >>799の通りだ まず、 「群の作用を論じるならば、佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね」 ってこと” (引用終り) 自分の書いたこと＝「群の作用」 について ”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね” と言われて これが出来ない （多分、出来ないというよりも、自分の誤解か分かってないことに気付いたかなｗ） で、必死にゴマカスｗｗ 「バカに説明する労力が惜しい」>>801 と言いながら 言い訳を、グダグダと5連投する 5連投する暇があれば ”群Gと作用域Λ この2つの定義” さっと書けばいいだけのこと それが出来ないのは、出来ない事情があるんだね！ｗｗｗ (引用終り) 今回も、 言い訳を、 グダグダと5連投ねｗ >このスレで最初にクンマー拡大の話を出したのはわたし。>>391 そう確かに、このスレ限定ではねｗ 気付いているよ（多分言い訳に出したんだねｗ） しかし、クンマー拡大は旧ガロアスレで、さんざん出てきた 代数方程式の代数解法のガロア理論は、クンマー拡大抜きでは成り立たないよ。当然ですが
904:１３２人目の素数さん
22/12/17 13:48:31.70 Yvnw5Kb3.net
1=雑談って、>>615で
>例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
と認知症レベルの間違いしてるじゃん。
垂れ流し老人じゃんｗ
905:１３２人目の素数さん
22/12/17 14:01:41.43 Yvnw5Kb3.net
クンマー拡大K=k(a^{1/5}), a,ζ_5∈k
に対して、G=Gal(K/k)
円分拡大 k=Q(ζ_5) , G'=Gal(k/Q)
作用域はそれぞれK, k.
はい書きましたよ。
906:１３２人目の素数さん
22/12/17 14:07:41.94 Yvnw5Kb3.net
では、「円分拡大=クンマー拡大のa=1のとき」の説明できますかね？
できるわけない。間違ってるからｗｗ
907:わかるすうがく
22/12/17 14:57:14.50 vkjQzDmx.net
はい すうがくのせんせいですよ
すうがくでおちこぼれたみなさん おげんきですか？
きょうも たのしくすうがくをまなびましょうね
>>818
おやおや、雑談クンは、まだ、>>793のQ2に答えてないんだね
うーん、それじゃ、円分拡大がわからないままだよ
さて、Q2について
X^4+X^3+X^2+X+1=(X-ζ)(X-ζ^2)(X-ζ^3)(X-ζ^4)
だね。
で、雑談クンもしかして
f(ζ)=ζ^2
f(ζ^2)=ζ^3
f(ζ^3)=ζ^4
で、いける、とおもってるでしょｗ
でも、これがダメなんだなあ
だって
f(ζ^4)＝ζ^5=１
で、ζにならない！
f(x)=ζになるxは1だけど 1は根じゃない！
はい、ここで、雑談クンの
「円分方程式の解のガロア群による作用は
x^5-2=0の解のガロア群による作用と全く同じ」
というナイーブな直感が、誤っていることが明確に示されました！
ということで、核心の問いに戻るよ
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4 の４つを巡る関数g(x)ってなんですか？
もう、7次の場合は、石井本のp412-421に書いてあるって
>>808で云ってるじゃん
それを、5次に置き換えるだけだって
「簡単なんだよ、こんなの」
って涼宮ハルヒの何とかのEDみたいなこといっちゃった
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
908:わかるすうがく
22/12/17 16:08:12.10 vkjQzDmx.net
さて、2^xを5進法で表すことを考えてみようか
１→２→４ までは10進法と同じ 問題はこの後
8は5進法で表すと・・・13だね そして
16は5進法で表すと・・・31
1の位に着目すると、
1→２→4→3→1
ついでにいうと、3^xを5進法で表しても
3^2=9=14(5進法)
3^3=27=102(5進法)
3^4=81=311(5進法)
１の位に着目すると
1→3→4→2→1
もういい加減に気づいてくんないかな 雑談クンｗ
909:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 16:11:56.28 EhW0UvWQ.net
>>574 追加
(引用開始)
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
(引用終り)
戻る
１）元々は、>>417より
「種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
910:の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。」 だった。よって、上記の5次方程式はすべて実根だ ２）全て実根だから、 上記の最小分解体⊂Q(a1,a2,a3,a4,a5)*)⊂R(実数) *)注 形式的に5実根添加した拡大体 ３）よって、最小分解体には 1の5乗根の原始根ζ5は含まれないが、 しかし、クンマー拡大で何かの5乗根a^(1/5)が含まれるべき これを否定する人がいるんだｗ ４）a^(1/5)の存在を示すには、cos(2kπ/11)が何かの5乗根a^(1/5)を含む表式で表されれば分かる （つまり、1/cos(2kπ/11)も、何かの5乗根a^(1/5)を含む表式で表される） ５）下記に、cos(2kπ/11)の表式があって、事実として5乗根が使われている （面倒なので、式は一部のみ転写した。原文ご参照） 以上 (参考) https://mathlog.info/articles/3161 Mathlog 子葉 1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き) 目次 はじめに 解説 nが合成数のとき n=3,5,7のとき n=11のとき n=13のとき n=17のとき n=19のとき 原理的なところ おわりに 参考文献 はじめに n=p>=7 シリーズ cos(2π/11)=1/10(?1+(α+,+)^1/5 +(α-,+)^1/5+(α-,-)^1/5?+(α+,-)^1/5 解説 n=11のとき 略 (引用終り) 以上
911:わかるすうがく
22/12/17 16:16:35.60 vkjQzDmx.net
ええい、もうガマンできん
>>793のQ2の答え書くね
X^4+X^3+X^2+X+1=(X-ζ^2)(X-ζ^4)(X-ζ^3)(X-ζ) と並べなおして
g(ζ)=ζ^2
g(ζ^2)=ζ^4
g(ζ^4)=ζ^8=ζ^3
g(ζ^8)=ζ^16=ζ
つまりg(x)=x^2
ほら！ f(x)=x*ζ と全然違うだろ？
x^2は有理関数（そもそも多項式！）だから
Qに新たな元を追加する必要がない！
いかなる円分拡大も、ガロア群の作用はx^nで実現できる
(どんなnでもいいわけではないけど、要件を満たすｎは存在する）
ああ、円分体って・・・キモチイイ！
912:わかるすうがく
22/12/17 16:36:15.81 vkjQzDmx.net
さて、円分方程式Φ5を解くのに、
ラグランジュの分解式
L=ζ+iζ^2-ζ^4-iζ^3
を考えれば
(x-L)(x-iL)(x+L)(x-iL) は、
x^4-a という形にできて
a^(1/4)からLが得られ
同様の４つのラグランジュの分解式
a^(1/4),b^(1/4),c^(1/4),d^(1/4)の線型結合
でζが得られるって寸法なわけだが
Ｑ(ζ)⊂Ｑ(i,a^(1/4),･･･,d^(1/4)) であって、
Ｑ(ζ)＝Ｑ(i,a^(1/4),･･･,d^(1/4)) ではない
Q(ζ)はｉも a^(1/4) も・・・d^(1/4) も、要素としてもってないから！
913:わかるすうがく
22/12/17 16:48:28.50 vkjQzDmx.net
>>832
>(参考)
雑談クン、中身全く読んでないでしょ
それじゃ、いつまでたっても、数学は全く理解できないよ
まず、「頂を踏む」のp412~p421 合計10ページを読もう
ここ読めば、１のベキ根の解き方
（もっといえばラグランジュの分解式の使い方）
が分かる
雑談クン、1度も読んでないでしょ
まず、1度読んで！
914:わかるすうがく
22/12/17 18:07:51.40 vkjQzDmx.net
>>832
ζが1の11乗根でも834と同じ手が使える
1→2→4→8→5→10→9→7→3→6→1
ωを1の原始10乗根として
ラグランジュの分解式は以下の通り
ζ+ωζ^2+ω^2ζ^4+ω^3ζ^8+ω^4ζ^5-ζ^10-ωζ^9-ω^2ζ^7-ω^3ζ^3-ω^4ζ^6
これにωを掛けると名目上10通り、実質は5通り（ω^5＝-1だから）
そういう意味でいえば
1の5乗根のラグランジュの分解式は2通り で 追加するのは平方根
1の7乗根のラグランジュの分解式は3通り で 追加するのは３乗根
1の11乗根のラグランジュの分解式は5通り で 追加するのは５乗根
ってことか
915:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 18:14:33.04 EhW0UvWQ.net
>>832 追加
もっと戻ると
１）
>>371-372より
(引用開始)
916:可解な既約5次方程式の代数解法には 必ず5乗根が必要なことを示せ。 注意：5乗根の中身が基礎体に含まれるとは限らない。 例: x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 はQ上可解な既約5次方程式だが 5乗根の中身は、Q(ζ_5)の数になる。 （ζ_5は、1の原始5乗根。） (引用終り) だった ２）この問いそのものが、クンマー拡大＆クンマー理論でしょ？ ３）なんで>>832 「既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる」(私の発言) vs 「それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。 Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。） これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。 したがって、a^(1/5)は「含まれない」」（あなた） などと、おかしな発言するのかね？ ４）あなたは、根本的にというか 結構初歩的なところで ガロア理論を、なにか勘違いしているんじゃないの？
917:１３２人目の素数さん
22/12/17 18:21:10.50 vkjQzDmx.net
>>836
＞これにωを掛けると名目上10通り、実質は5通り（ω^5＝-1だから）
＞そういう意味でいえば
＞1の5乗根のラグランジュの分解式は2通り
＞1の7乗根のラグランジュの分解式は3通り
＞1の11乗根のラグランジュの分解式は5通り
いや、そういう理屈ではないな
918:わかるすうがく
22/12/17 18:28:38.53 vkjQzDmx.net
>>837
＞「既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、
＞ 方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる」(雑談クンの発言)
＞ vs
＞「それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
＞ Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、
＞ かつa^(1/5)が含まれるなら
＞ a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。
＞ （ガロア拡大の定義から。）
＞ これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
＞ したがって、a^(1/5)は「含まれない」」（名無し2号の出木杉クンの発言）
正しいのは出木杉クン
根の式には「1の5乗根」や「ある数aの5乗根」は現れます
し・か・し、
「だ・か・ら
既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)に
１の5乗根も方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)も含まれる」
とはいえません
だって根が全部実数の、既約で可解な5次方程式が実際存在しますから
残念！！！
919:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 18:40:50.16 EhW0UvWQ.net
>>779 補足
> 2）というか、クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
まあ、例えて言えば
特殊相対性理論：円分拡大
一般相対性理論：クンマー拡大
という感じかな
いま、aが複雑な計算式で、a＝1と気づかずに、クンマー拡大・クンマー理論で考えて結果を出した
その後、a＝1と気づいた
そのとき、最初のクンマー拡大・クンマー理論で考えて出した結果は、全く無駄か？
そうではないよね
途中の計算に間違いがなければ、得られた結果はそれなりに正しいはず
勿論、a＝1と気づいていたら
もっと簡単だったろうが
そして、両者を統合するのが、ガロア理論だろう
ガロア理論自身は、べき根拡大に限らない
楕円モジュラー関数とか超幾何級数とか
べき根以外の関数も使えるよ
どこでどう迷い道に入ったか知らないが
”a^(1/5)は「含まれない」”ね >>837
早く、自分の間違いに気づくのが いいだろうよ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数方程式
五次方程式
楕円モジュラー関数により 五次方程式の公式が得られる。
超幾何級数を用いた解の公式は、クラインにより示された。
920:１３２人目の素数さん
22/12/17 19:06:32.00 Yvnw5Kb3.net
>>837
>あなたは、根本的にというか
>結構初歩的なところで
>ガロア理論を、なにか勘違いしているんじゃないの？
それって、ガロア拡大が何かも分かってない貴方 1=雑談じゃん。
・まず、Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q（既約方程式の全ての根を添加した体）
はガロア拡大である。
・Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Kとおくと、Kの数がQ上みたす既約方程式の根は
すべてKに含まれる。（ガロア拡大の性質。）
・もしa^{1/5}∈Kならば、a^{1/5}がQ上みたす方程式
x^5-a=0の根はすべてKに含まれなければならない。
・Kが実の体であれば矛盾、したがって、a^{1/5}\not∈K
という簡単なロジックですよ。
921:１３２人目の素数さん
22/12/17 19:12:52.09 Yvnw5Kb3.net
数学において、ガロア拡大（ガロアかくだい、英: Galois extension）
は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。
正規拡大
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
同値な性質、および例
・L に根をもつような K[X] のすべての既約多項式は
L に根をすべてもつ。すなわち、L[X] において一次式に分解する。
（多項式は L で 分解する (split) と言う。）
はい、1=雑談はガロア拡大の性質さえ分かってませんでした。
まったく驚かないけど。
922:１３２人目の素数さん
22/12/17 19:29:41.69 Yvnw5Kb3.net
正直1=雑談にガロア理論は無理ｗ
一番体感できる方法は
3次方程式のカルダノの解法で得られる3つの根から
加減乗除で3乗根の部分を取り出せないことを
泥臭い計算で確かめること。
それが工学部卒、数学実質高卒の
1=雑談が納得する方法。
923:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 20:17:19.69 EhW0UvWQ.net
>>839
> 既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)に
> １の5乗根も方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)も含まれる」
> とはいえません
> だって根が全部実数の、既約で可解な5次方程式が実際存在しますから
１）数学の議論になってないね
根が全部実数になることと、無理数a^(1/5)が含まれることは両立するよ
その実例が、そもそもの方程式に使われた、1/cos(2kπ/11)やcos(2kπ/11)です>>832
２）なぜ5乗根が必要かも説明できるし、すでに解答済み
それが>>381で
「１）ガロア第一論文の最後にあるように、
既約5次方程式で可解な場合には、方程式の群は位数20の線形群になる
（アルティン第3章3節、Coxガロア理論下、彌永 ガロア本 第二部などご参照）
２）既約5次方程式で、重根を持たないとする（これ重要）
根 a1,a2,a3,a4,a5 の５つは、相異なるので、
巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる
３）ガロア第一論文の最後にあるように、方程式の群の可解列で、最後{e}(下記では{1})
の一つ前が、位数5の巡回群になる。これに対応するのが、5乗根の添加で
例えば x^5=aで ここから、1の5乗根が出る
これで、上記への回答はほぼ終わりだ
４）さて、追加で下記三次方程式における還元不能問題がある
（還元不能問題とは、下記のあるように全部実根でも、途中で虚数を必要とすることをいう）
５）5次方程式を含む一般の方程式の還元不能問題については
Coxガロア理論下 第III部 第8章 8.6節に詳しい
６）例えば、
命題8.6.4： M⊂Lはガロア拡大で、L⊂Rをみたし、
ある奇素数pに対して[L:M]=pをみたすと仮定する。
このときLはMの実べき根拡大の中に入り得ない
証明(略)（Coxを見よ）
この命題は、不還元の場合の解析において鍵となる道具であると書かれている
７
924:）上記の「必ず5乗根が必要」については、これで分かる なお、詳しく書き出せば切りが無い（実はめんどくさい）ので、この程度で終わる」 です つづく
925:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 20:20:08.41 EhW0UvWQ.net
>>844
つづき
３）補足すると、既約で可解な5次方程式のガロア群は、
”方程式の群は位数20の線形群になる”の部分で
細かく書くと、位数20のフロベニウス群F20⊃位数10の二面体群D5⊃位数5の巡回群C5
（念のため書き直すが F20⊃D5⊃C5）
この順に正規部分群の列を成す（可解列でもある）
４）対応する拡大体は、基礎体をQ(ζ)（＝1のべき根が必要なだけ添加されているQの拡大体）
で、Q(ζ)(√a)⊂Q(ζ)(√a)(√b)⊂Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)となる
（注：Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)は、Q(ζ)に順に(√a)と(√b)と(c^1/5)とを添加した拡大体。a,b,cは適当な定数）
５）上記の３）と４）の群vs体の対応が、ガロアの基本定理であり
ガロアの第一論文にもある通りです
６）なので、5乗根c^1/5が必要なことは、ガロア理論の必然の帰結で、
ガロアの第一論文にもある通りです
以上
926:わかるすうがく
22/12/17 20:47:23.19 vkjQzDmx.net
>>840
＞まあ、例えて言えば
＞特殊相対性理論：円分拡大
＞一般相対性理論：クンマー拡大
＞という感じかな
その発言、中二病って感じかな
＞クンマー拡大・クンマー理論で考えて
＞結果を出した
＞クンマー拡大・クンマー理論で考えて
＞出した結果は、全く無駄か？
＞そうではないよね
クマクマいってるけど
実際、使ってんのは
ラグランジュの分解式（リゾルベント）
だけど そこ、分かってる？
＞a＝1と気づいていたら
a=1以前のところが分かってないね
＞そして、両者を統合するのが、ガロア理論だろう
＞ガロア理論自身は、べき根拡大に限らない
＞楕円モジュラー関数とか超幾何級数とか
＞べき根以外の関数も使えるよ
モジュラ関数ｊがーとか
楕円関数の特殊値がーとか
なんとかいう前に
三角関数から理解し�
927:ﾈよ １のベキ根っていうけど 円の等分点だから ＞どこでどう迷い道に入ったか知らないが ＞”a^(1/5)は「含まれない」”ね 含まれないよ 含まれると思ってるなら間違ってるから ＞早く、自分の間違いに気づくのが いいだろうよ その言葉は鏡の前でいったほうがいいよ 雑談クン
928:１３２人目の素数さん
22/12/17 20:49:39.42 Yvnw5Kb3.net
「方程式のべき根解法」に焦点を当てた記述の場合
「基礎体には適宜必要な1のべき根を添加しておく」
としてあることがある。
この場合、確かに解法にあらわれるべき根は分解体に含まれる。
しかしそれはガロア拡大の必要条件ではない。
たとえばQ(ζ_7)/Q はガロア拡大。
そして、QにもQ(ζ_7)にもω=ζ_3は含まれないのだから
ζ_7をべき根表示したときの3乗根はQ(ζ_7)には含まれない。
それだけの話なのだが、斜め読み・コピペバカの1=雑談
にはそのことが分からない。
929:わかるすうがく
22/12/17 20:52:33.45 vkjQzDmx.net
>>844
＞根が全部実数になることと、
＞無理数a^(1/5)が含まれることは両立するよ
そのaが実数だと思ってるみたいだけど、違うよ
あとは全然見当違い
だから、石井本のp412-421を読みなって
わからないことがあるならここで質問しなって
わからないのにわかったとウソつくのはやめなって
ウソついても数学は理解できるようにならないよ 雑談クン
930:１３２人目の素数さん
22/12/17 21:03:50.45 Yvnw5Kb3.net
無理数a^(1/5)が実数だとしても、「共役」
としてa^(1/5)ζ_5が生じるのだから、それらの割り算で
ζ_5が生じる。したがって、「Q上のガロア拡大である」
かつ「ζ_5を含まない」いかなる代数体Kにも
a^(1/5)は「含まれない。」
（>>842の正規拡大の性質参照のこと）
931:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 23:34:02.06 EhW0UvWQ.net
>>840 追加
>いま、aが複雑な計算式で、a＝1と気づかずに、クンマー拡大・クンマー理論で考えて結果を出した
>その後、a＝1と気づいた
>そのとき、最初のクンマー拡大・クンマー理論で考えて出した結果は、全く無駄か？
>そうではないよね
>途中の計算に間違いがなければ、得られた結果はそれなりに正しいはず
例を追加しよう
下記の三次方程式なり、四次方程式の解の公式で、
当然クンマー拡大を使っているのだが
例えば、下記の3乗根3√ξ2を使った解の公式で
ξ2＝1のとき、解の公式が不成立になるのではなく、
そのまま解の公式が使えるってこと
つまり、クンマー拡大におけるa＝1は、特別な値ではあるが、
特異点のように特別扱いする必要がないってことだ
（解析関数の特異点は、特別扱いが必要なのだが）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
三次方程式
カルダノの公式
Q(3√ξ1, 3√ξ2, ω) の中で解くことができる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
四次方程式
解の公式（全文）
解の公式は以下の通りである：
(引用終り)
以上
932:１３２人目の素数さん
22/12/17 23:51:05.01 dYzV3NkX.net
元の体Qに対して定義上矛盾したxで拡張した拡大体(x)は定義できますか?
方程式の実数に虚数で拡張したら複素数の解を新たに定義する
i=sqr(-1)
と定義したものを拡大体(i)は{sqr(x)|x>=0に矛盾}定義できますか?
仮に定義できれば拡大体(i)の計算法則の定義の{sqr(x)|x>=0}はどう扱えばいいですか?
高校数学レベルの初学者で申し訳ない...
933:わかるすうがく
22/12/18 00:26:09.74 HDZ6pZhB.net
>>845
＞既約で可解な5次方程式のガロア群は、
＞位数20のフロベニウス群F20⊃位数10の二面体群D5⊃位数5の巡回群C5
＞（念のため書き直すが F20⊃D5⊃C5）
＞この順に正規部分群の列を成す（可解列でもある）
で、以下の記述だけど
＞対応する拡大体は、
＞基礎体をQ(ζ)（＝1のべき根が必要なだけ添加されているQの拡大体）
＞で、Q(ζ)(√a)⊂Q(ζ)(√a)(√b)⊂Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)となる
＞（注：Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)は、Q(ζ)に順に(√a)と(√b)と(c^1/5)とを添加した拡大体。a,b,cは適当な定数）
基礎体をQとしたら、どうなる？ 例えば
Q(√a)⊂Q(√a)(√b)⊂Q(√a)(√b)(c^1/5)
とできる？
自分で考えてみ
（ヒント １の5乗根をζとしたとき、Q(ζ)をQ(√a)(√b)で表せる？ そのときのa,bは？）
934:わかるすうがく
22/12/18 00:53:57.42 HDZ6pZhB.net
>>843
>一番体感できる方法は
>3次方程式のカルダノの解法で得られる3つの根から
>加減乗除で3乗根の部分を取り出せないことを
>泥臭い計算で確かめること。
>それが工学部卒、数学実質高卒の1=雑談が納得する方法。
さすが、出木杉クン いい提案ですね
いい例がありますよ 雑談クンが>>832でドヤ顔で示したものですが
URLﾘﾝｸ(mathlog.info)
2Cos(2π/7)は、
3次方程式 x^3+x^2-2x-1=0の根の一つで
以下の式で表されます
1/3(-1+((7+21√3i)/2)^(1/3)+((7-21√3i)/2)^(1/3))
で、当然ながらこれは実数です
他の２根は上記の根からCosの2倍角、4倍角の式（当然整数多項式）で求められます
で、これら３つの実数を有理数体Qに追加した体の演算で、
どうやって、複素数である
((7+21√3i)/2)^(1/3) と ((7-21√3i)/2)^(1/3))
をひねくりだすのか？
まあ、無理ですね
Qに実根３つを添加した体は、実数体の部分体ですから
（また、「これが還元不能の例だ！」と叫びそうですけど･･･
どう言い訳しても、間違ったのは雑談クンであって
出木杉クンではないですね 先生が保証します）
工学部卒でもわかることですが、
雑談クンは実は工学部行ってないんじゃないかな？
工業高校を1年の夏で中退したって聞いてますよ
935:わかるすうがく
22/12/18 00:58:32.30 HDZ6pZhB.net
>>851
ちょっと質問の意味がわからないですが、
例えばQ上では、x^2+1=0の根も、x^2-2=0の根も存在しませんが
根をQ上に添加した体は考えられますよ
936:わかるすうがく
22/12/18 01:15:42.39 HDZ6pZhB.net
>>850
＞カルダノの公式
＞Q(ξ1^(1/3), ξ2^(1/3), ω) の中で解くことができる
853の x^3+x^2-2x-1=0 で考えてみましょう
上記の方程式は、確かに
ξ1=(7+21√3i)/2
ξ2=(7-21√3i)/2
とすれば、Q(ξ1^(1/3), ξ2^(1/3), ω) の中で解けますね
一方、
Q(1/3(-1+((7+21√3i)/2)^(1/3)+((7-21√3i)/2)^(1/3)))は
Q(ξ1^(1/3), ξ2^(1/3), ω)とは一致しません（上が下の部分体です）
「解く」という観点では、ωを添加した体で、3乗根を求めて
その線型結合として解を表してますね
ただし、線型結合からどう頑張っても元の3乗根は取り出せないんですよ
＞三次方程式の解の公式で、
＞当然クンマー拡大を使っているのだが
＞例えば、3乗根3√ξ2を使った解の公式で ξ2＝1のとき、
＞解の公式が不成立になるのではなく、
＞そのまま解の公式が使えるってこと
ξ1、ξ2が、1どころか実数じゃなくてもいいんですよ
でも1/3(-1+ξ1^(1/3)+ξ2^(1/3))だけから、体の計算だけで
どう頑張っても ξ1^(1/3)、ξ2^(1/3) は取り出せない
そういうことです
わかりましたか？ 雑談クン
937:１３２人目の素数さん
22/12/18 05:17:02.66 PXeqpDqi.net
>>855
線形結合から元の3乗根を取り出すには、その数のラグランジュリゾルベントを取ればいい
ラグランジュリゾルベントを作るにはζ_3が必要。
だから、体にζ_3が含まれてるか否かがクリティカルなんですね。
で、なんで線形結合のラグランジュリゾルベントを取ると
べき根が成分ごとに出て来るかというと、それが「直交関係」なわけです。
938:わかるすうがく
22/12/18 06:11:02.84 HDZ6pZhB.net
>>856
出木杉クンは、さすがにいつも的確ですな
＞なんで線形結合のラグランジュリゾルベントを取ると
＞べき根が成分ごとに出て来るかというと、それが「直交関係」なわけです。
いま、ふと思ったんですが、
例えば以下って特殊なヴァンデルモンド行列ですよね？
１ １ １
１ ω ω＾２
１ ω＾２ ω
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ああっ、またエクスタシーがっ！
939:１３２人目の素数さん
22/12/18 06:48:34.99 PXeqpDqi.net
>>857
さすがに鋭いですね。
確かにそういう話もあったように思います。
でもなぜそうなのかちょっと思い出せない...
940:わかるすうがく
22/12/18 06:58:31.70 HDZ6pZhB.net
>>858
ま、１，ω、ω＾２が異なる数なら
ヴァンデルモンド行列は正則行列になるから
線形方程式系は唯一の解を持ちますよね
ということで、正則行列は大事だぞ 雑談クン！（ビシッ）
941:わかるすうがく
22/12/18 07:03:35.06 HDZ6pZhB.net
今日の私
人__人__人__人__人__人__人__人__人__人__人
Σ て
Σ びっくりするほどｳﾞｧﾝﾃﾞﾙﾓﾝﾄﾞ！ て人__人_
Σ びっくりするほどｳﾞｧﾝﾃﾞﾙﾓﾝﾄﾞ！ て
⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ) て
Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒
＿_＿＿＿＿＿
＿＿ ヽ(゜∀゜）ノ
＼＿〃´￣￣ ヽ..ヘ( )ミ
＼,.-～´￣￣ ω > （∀゜ ）ノ
＼∫＼ _,. - 、_,. - 、 ＼ ( ヘ)
＼ ＼＿＿＿＿＿＿ _＼<
＼ ￣￣￣￣￣￣￣
＼＿＿＿＿＿＿＿
942:わかるすうがく
22/12/18 09:00:11.57 HDZ6pZhB.net
さて、10年前のスレに戻ろうか
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
10年前の雑談クンは、ガロア分解式（リゾルベント）の虜だったようだ
ただ、これをどう扱えば代数的に解けるのか、理解してなかった
群論の言葉を使えば、
置換を、「正規部分群の同値類」でまとめることで
巡回置換を剰余群としてくくり出す操作を反復して単位群まで縮小できれば、
ガロア分解式から各段階の巡回置換に関するラグランジュ分解式が構成でき、
これを反復適用することで解が求められる
（実際、３次、４次の代数方程式の解法はその形で理解できる）
だから、ガロア分解式はラグランジュ分解式の子孫である
しかし、残念ながら、５次以上の対称群は、交代群までは潰せるけど
交代群は自身と単位群以外の正規部分群を持たないから、
「巡回群を剰余群としてくくり出す作戦」が使えない
これが結末である
Ｑ．方程式を代数的に解く方法とは何か？
Ａ．ラグランジュ分解式によって、ベキ根と線型代数で解く
謎は解けたよ 雑談クン（シャーロック・ホームズかいｗ）
943:わかるすうがく
22/12/18 09:04:52.39 HDZ6pZhB.net
方程式論におけるガロア理論の役割は、
数学理論におけるゲーデルの不完全性定理の役割と
同じかもしれん
一般の方程式が代数的に解けない
一般の論理式が論理的に充足判定できない
しかし、決して否定的結果で終わったわけではない
解ける方程式の研究は続けられ結実した
定理の証明の営みも続けられている
944:わかるすうがく
22/12/18 09:17:16.71 HDZ6pZhB.net
方程式論における重要テクニックがラグランジュの分解式なら
論理学における重要テクニックは何か？
私ならこう答える 「タブローの方法」
但し、述語論理では充足不能でない論理式のタブローは
延々と開いたままで閉じない
閉じないことが判定できるかどうかが問題だった
そしてそれは不可能だとわかった
だからといってこのテクニックが無意味なわけではない
充足不能ならタブローは閉じる
つまりある定理の証明が存在するなら
その定理の否定は充足不能であり
タブローを閉じることで証明が得られる
なんでこんな基本的なことを数学科で教えないのか理解できない
（物理学者が、自分が利用する数学の定理を知らなくても別に構わんが
数学者が、証明の意味を知らんというのはよろしくないと思う）
945:わかるすうがく
22/12/18 09:25:22.55 HDZ6pZhB.net
雑談クンは、整数論には全く興味がないようだ
円分方程式なんてヲタク的対象としか思ってないんだろう
まあ、全然ハズレというわけでもないが
（個人的にはガウスは最高の数学ヲタクだと思ってる）
そもそもヲタク精神がないなら、数学板に来てもつまらんだろう
数学板はヲタクの巣窟なのだから
946:わかるすうがく
22/12/18 09:39:29.77 HDZ6pZhB.net
雑談クンは、安直な解決法しか興味ない人のようだから
きっとこう尋ねるだろう？
「ラグランジュの分解式によらず、
いきなりガロアの分解式から解を求める方法はないのか？
そういえば、トマエの公式とかいうのがあるらしいが
それって、そういう方法じゃないのか？」
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
上記に対する回答は下記
「知らん」
947:１３２人目の素数さん
22/12/18 15:22:29.46 TXiL9yxC.net
>>1投稿者の集合A、SetAは
『有限小数だけの数学なら0.999…≠1になるよね。』発言が既成事実のSetA
『ωを自然数に含める考え方をしてもいい』発言も既成事実のSetA
いつだったか線形代数初歩の行列の初歩の話でも自殺に等しいと言っても過言ではない名誉自損発言をしてたな
確か、真ん中の脚の長さが16.8kmも有るアナーキー日吉大明神猿魔大王他化自在天摩羅波旬オッパッピーが覚えてるだろ
948:わかるすうがく
22/12/18 15:22:42.23 HDZ6pZhB.net
数学板に真の平穏が訪れた
949:わかるすうがく
22/12/18 15:25:59.66 HDZ6pZhB.net
>>866
ええと、あなたはどなたでしたっけ？
最近、健忘症がひどくって
>16.8km
それは何の長さですかな
950:わかるすうがく
22/12/18 15:29:43.41 HDZ6pZhB.net
>>866
＞『有限小数だけの数学なら0.999…≠1になるよね。』
有限小数だけの数学なら、そもそも0.999…が存在しないのではないですかな？
＞『ωを自然数に含める考え方をしてもいい』
それはω+1だけでなく、ω-1も存在するとしてもよい、という意味ですかな？
それならありですか、その場合のωは、極限順序数ωではありませんよね
951:わかるすうがく
22/12/18 15:31:53.51 HDZ6pZhB.net
しばし休憩
952:わかるすうがく
22/12/18 16:51:42.57 HDZ6pZhB.net
１の原始ｎ乗根を ζ
ｎ次巡回方程式の根を θ0,θ1,θ2,･･･,θ[n-1]
方程式の(n-1)次の係数/n次の係数 の値を c
n-1個のラグランジュのリゾルベントを L1,L2,･･･,L[n-1]
とする
θ0＋ θ1＋ θ2・・・＋ θ[n-1]=C
θ0＋ ζθ1＋ ζ^2θ2・・・＋ ζ^ (n-1)θ[n-1]=L1
θ0＋ ζ^2θ1＋ ζ^4θ2・・・＋ ζ^ (n-2)θ[n-1]=L2
･･･
θ0＋ζ^(n-1)θ1＋ζ^(n-2)θ2・・・＋ ζθ[n-1]=L[n-1]
したがって、方程式の係数からC,L1,L2,･･･,L[n-1]のn乗が求まれば
n乗根でL1,L2,･･･,L[n-1]を求めることができ、
そこから、ζによって構成されるヴァンデルモンド行列の逆行列で
根θ0,･･･,θ[n-1]が求まってしまう
ヘイ！なんてこったベイビー／(^o^)＼
953:わかるすうがく
22/12/18 17:09:10.22 HDZ6pZhB.net
今の気分
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
これで成仏できますわ（をひ）
954:１３２人目の素数さん
22/12/18 17:18:49.29 TXiL9yxC.net
>>868
他化自在天は欲界第六天の天神にして魔王の天魔。高位であればあるほど巨大となる故に真ん中の脚も長大｡
当人は謙虚にも『16.8cm』と単位の接頭辞を代えて言っていたが実際は『16.8km』だろう｡
この巨大物が淫術『♪やまたのおろちんぽっぽ～！』にて多茎増殖し世界を蹂躙する｡
955:わかるすうがく
22/12/18 17:25:23.09 HDZ6pZhB.net
２次方程式の場合
θ０＋θ１＝-b/a
θ０－θ１＝√((θ0+θ1)^2-4θ0θ1)＝√(b^2/a^2-4c)=(√(b^2-4ac))/a
956:１３２人目の素数さん
22/12/18 17:28:08.97 KUUXaCSx.net
平面 R^2 上の半径1の円と原点を通る周期2πの三角関数 f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x) のグラフを眺めていました
平面 R^2 上の半径1の円と原点を通る周期2πの幾何的構造や
三角関数 f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x) の独立変数xの値と従属変数 f(x) の値との対応
に関する解析的特性上、実代数的数全体からなる体K上πと線形従属な 0＜x＜π なる超越数は存在しないとのこと
或るπとは異なる超越数xが存在して、xに対して両方共に或る0とは異なる
実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、xが x=aπ+b と表されるとする
ここに、πとは異なる超越数xのみの存在性を仮定した時点では、
直後にxに対して存在性が仮定される実代数的数a、b (a≠0,b≠0) を
用いてxが x=aπ+b と表されてはいないものとする。仮定から 2x/a=2π+2b/a であり、
f(2x/a)=sin(2x/a)=sin(2π+2b/a)=sin(2b/a)、g(2x/a)=cos(2x/a)=cos(2π+2b/a)=cos(2b/a)
また、2x/a-2π=2b/a は実代数的数であり、
f(2x/a-2π)=sin(2x/a-2π)=sin(2b/a)、g(2x/a-2π)=cos(2x/a-2π)=cos(2b/a)
よって、平面 R^2 上の半径1の円周上の2点 (f(2x/a)、g(2x/a))、(f(2x/a-2π)、g(2x/a-2π)) は
どちらも平面 R^2 上の半径1の円周上の2点 (sin(2b/a)、cos(2b/a)) に等しい
複素平面C上において、実数体R上実数1と純虚数iは線形独立であるから、
平面 R^2 から複素平面Cへの写像 h:R^2→C (y,z)→y+zi は加法+に関して同型である
故に、f(2x/a)+ig(2x/a)＝f(2x/a-2π)
957:+ig(2x/a-2π)=sin(2b/a)+icos(2b/a) であり、 オイラーの公式から exp(i2x/a)=exp(i(2x/a-2π)) を得る 仮定から、2x/a=2π+2b/a は実数の超越数であり、2x/a-2π=2b/a は実代数的数だから、 exp(i2x/a)=exp(i(2x/a-2π)) の両辺に対して多価の対数関数の値を取れば、 或る p≠0 なる整数pが存在して 2x/a=2x/a-2π+2pπ が成り立ち矛盾が生じる この矛盾は、或るπとは異なる超越数xが存在して、xに対して両方共に或る0とは異なる 実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、xが x=aπ+b の形で表されると仮定したことから生じたから、 背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、如何なるπとは異なる超越数xに対しても 両方共に如何なる0とは異なる実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、xが x=aπ+b と表わされることはない
958:わかるすうがく
22/12/18 17:29:03.70 HDZ6pZhB.net
>>873
そんな時代もあったね、と
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
959:わかるすうがく
22/12/18 17:31:00.85 HDZ6pZhB.net
>>875
長いよｗ
960:わかるすうがく
22/12/18 17:32:33.31 HDZ6pZhB.net
>>875
＞平面 R^2 上の半径1の円と原点を通る
＞周期2πの三角関数 f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x)
＞のグラフを眺めていました
そんな時もある
961:わかるすうがく
22/12/18 17:35:08.33 HDZ6pZhB.net
>>878
＞平面 R^2 上の半径1の円と原点を通る周期2πの幾何的構造や
＞三角関数 f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x) の
＞独立変数xの値と従属変数 f(x) の値との対応に関する解析的特性上、
＞実代数的数全体からなる体K上
＞πと線形従属な 0＜x＜π なる超越数は
＞存在しないとのこと
そうなんですか？知りませんでした
で、どこに書いてあるんですか？
962:わかるすうがく
22/12/18 17:37:25.72 HDZ6pZhB.net
>>879
＞或るπとは異なる超越数xが存在して、
＞xに対して両方共に或る0とは異なる
＞実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、
＞xが x=aπ+b と表されるとする
もしかして、いきなり背理法による証明が始まってます？
いきなり、パンツ脱いで挿入してます？今、ここで？
963:わかるすうがく
22/12/18 17:39:39.87 HDZ6pZhB.net
>>880
＞ここに、πとは異なる超越数xのみの存在性を仮定した時点では、
＞直後にxに対して存在性が仮定される
＞実代数的数a、b (a≠0,b≠0) を用いて
＞xが x=aπ+b と表されてはいないものとする。
え？でも仮定してるんですよね？
もしかして挿入しようとしたけど、勃起してなかったって感じ？
964:わかるすうがく
22/12/18 17:41:12.98 HDZ6pZhB.net
>>881
＞仮定から 2x/a=2π+2b/a であり、
＞f(2x/a)=sin(2x/a)=sin(2π+2b/a)=sin(2b/a)、
＞g(2x/a)=cos(2x/a)=cos(2π+2b/a)=cos(2b/a)
なんだやっぱり入っちゃってるじゃないですか
965:わかるすうがく
22/12/18 17:42:47.64 HDZ6pZhB.net
>>882
＞また、2x/a-2π=2b/a は実代数的数であり、
＞f(2x/a-2π)=sin(2x/a-2π)=sin(2b/a)、
＞g(2x/a-2π)=cos(2x/a-2π)=cos(2b/a)
なるほど
966:１３２人目の素数さん
22/12/18 17:43:07.83 KUUXaCSx.net
>>879
平面 R^2 上の原点を中心とする単位円周上の点の原点またはx軸、y軸に関する対称性から
967:わかるすうがく
22/12/18 17:44:22.39 HDZ6pZhB.net
>>883
＞よって、平面 R^2 上の半径1の円周上の2点
＞(f(2x/a)、g(2x/a))、(f(2x/a-2π)、g(2x/a-2π))
＞は、どちらも平面 R^2 上の半径1の円周上の2点
＞(sin(2b/a)、cos(2b/a)) に等しい
なるほど、いい感じですよ
その調子でどんどん腰振ってみてくださいね
968:わかるすうがく
22/12/18 17:46:05.36 HDZ6pZhB.net
>>884
＞複素平面C上において、実数体R上実数1と純虚数iは線形独立であるから、
＞平面 R^2 から複素平面Cへの写像
＞ h:R^2→C (y,z)→y+zi
＞は加法+に関して同型である
そらそやろな
ま、どんどん腰振って
969:わかるすうがく
22/12/18 17:47:41.85 HDZ6pZhB.net
＞故に、
＞ f(2x/a)+ig(2x/a)
＞＝f(2x/a-2π)+ig(2x/a-2π)
＞=sin(2b/a)+icos(2b/a)
＞であり、オイラーの公式から
＞ exp(i2x/a)=exp(i(2x/a-2π))
＞を得る
そらそやろな
ま、どんどん腰振って
970:わかるすうがく
22/12/18 17:51:47.69 HDZ6pZhB.net
＞仮定から、
＞2x/a=2π+2b/a は実数の超越数であり、
＞2x/a-2π=2b/a は実代数的数だから、
＞exp(i2x/a)=exp(i(2x/a-2π)) の両辺に対して
＞多価の対数関数の値を取れば、
＞或る p≠0 なる整数pが存在して
＞2x/a=2x/a-2π+2pπ が成り立ち
＞矛盾が生じる
んー、多価なんだから
exp(a)＝exp(b)だけどa=bでなくても
よくないですか？
もしかして、すっぽ抜けた？
971:１３２人目の素数さん
22/12/18 17:55:20.25 KUUXaCSx.net
>>889
>或る p≠0 なる整数pが存在して
は
>或る p≠0 かつ p≠1 なる整数pが存在して
の間違い
972:１３２人目の素数さん
22/12/18 17:57:11.12 KUUXaCSx.net
>>888
>>889のレス番号は>>888
973:わかるすうがく
22/12/18 17:57:25.01 HDZ6pZhB.net
>>888
＞この矛盾は、
＞或るπとは異なる超越数xが存在して、
＞xに対して両方共に或る0とは異なる実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、
＞xが x=aπ+b の形で表されると仮定したことから生じたから、
＞背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、
＞如何なるπとは異なる超越数xに対しても
＞両方共に如何なる0とは異なる実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、
＞xが x=aπ+b と表わされることはない
うーん、違うんじゃないかな
exp(a)=exp(b)なら、a=b、っていう「誤解」によるものですよね
あー、ごめん、それじゃイケないわ
なんていうかな、奥にあたってない感じ
やっぱり硬さと太さが足んないかな
あなた、高校生？大学で複素数の対数を勉強したほうがいいかな
うん、そんな感じ
974:１３２人目の素数さん
22/12/18 18:05:32.57 KUUXaCSx.net
>>891
杉浦解析入門にもそういうことが書いてあった
975:わかるすうがく
22/12/18 18:10:27.86 HDZ6pZhB.net
>>892
読み間違いですね
残念ですけど
大学生なら即座に誤りに気づけますけど
・・・高校生じゃ
976:仕方ないかな ｘが虚数のexp、扱ったことないのよね？ はじめはみんな間違うのよ ダイジョウブ
977:わかるすうがく
22/12/18 18:14:27.05 HDZ6pZhB.net
ま、KUUXaCSxちゃんのおかげで
このスレッドも埋葬できるんで
そこはよかったかな
ありがと KUUXaCSxちゃん
978:わかるすうがく
22/12/18 18:15:48.59 HDZ6pZhB.net
じゃ、また休憩
979:１３２人目の素数さん
22/12/18 18:18:32.31 KUUXaCSx.net
>>893
何というか、杉浦解析入門はアールフォルスを参考に書いたようで、
複素変数zの指数関数 e^z の取り扱いの式は書いてあった
980:１３２人目の素数さん
22/12/18 18:19:08.59 TXiL9yxC.net
>>869
所が此のスレの>>1投稿者の集合A、SetAは、ωを最初極限順序数の意味で用い
『ωを自然数に含める考え方をしてもいい』 と述べていた。つまり
『最初極限順序数ωを自然数に含める考え方をしてもいい』と述べていたに等しいと同時に
『最初極限順序数の一つ前の順序数ω-1も存在する』と述べていた事にも等しいが
頭の本人はω-1の存在性是非を詰問されるも、その是非認識について回答する事から知らんぷりしている｡
中身空っぽのハッタリだらけのハリボテ主張だからだ｡
もしかしたらSetAの真ん中の脚も中身空っぽハリボテのハリボテ擬態なのかも知れない｡
981:わかるすうがく
22/12/18 19:06:45.16 HDZ6pZhB.net
>>896
言い訳はいいよ
真理を知りたいんだろ？
だったら間違いは認めなくちゃ
誰のためでもない 自分のためにさ
982:わかるすうがく
22/12/18 19:08:56.59 HDZ6pZhB.net
>>897
極限順序数は自然数ではないね
そこ間違う初心者は実に多いけど
間違いは間違いだね
ま、みんな間違うとおもえばいい
自分だけは間違わない、なんて思うのは大間違いさ
どう これで気楽になっただろ？ みんな
983:わかるすうがく
22/12/18 19:12:52.12 HDZ6pZhB.net
と、いうことで900
次のスレッドのタイトルからは
（含むガロア理論）を外そう
もういいだろ
かわりにコイツを入れてくれ
（まず整数論）
円分体論もこれでガンガンやれる
文句ないだろ？
984:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:20:33.18 HDZ6pZhB.net
数論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数論（すうろん、英語: number theory）は、
数、特に整数およびそれから派生する数の体系（代数体、局所体など）の性質について
研究する数学の一分野である。整数論とも言う。
985:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:21:47.15 HDZ6pZhB.net
整数論は通常代数学の一分野とみなされることが多い。
おおむね次の四つに分けられる。
・初等整数論
・代数的整数論
・解析的整数論
・数論幾何学
986:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:22:32.60 HDZ6pZhB.net
初等整数論
他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。
フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。
987:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:23:22.84 HDZ6pZhB.net
代数的整数論
扱われる対象は整数というよりも代数的整数である。
従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。
ガウスの整数を研究したカール・フリードリヒ・ガウスが
おそらくこの分野の創始者である。
体論はこの分野の基礎的根幹であって、
ガロア理論は（他の数学においてもそうだが）基本的な道具である。
代数体のアーベル拡大の統制を記述する類体論も、この分野の大きな成果である。
元来の岩澤理論もここに分類されよう。
988:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:24:14.93 HDZ6pZhB.net
解析的整数論
微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。
この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したディリクレに始まるとされる。
その弟子であるベルンハルト・リーマンによって
すでにこの分野の（ひいては数論）の
989:最大の未解決問題である リーマン予想（1859年）が提示されたのは興味深い。 素数定理の証明（1896年）はこの分野の一里塚である。 ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。
990:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:25:54.64 HDZ6pZhB.net
数論幾何学
整数論の問題を、代数幾何の手法で研究する、あるいは代数幾何の主対象である
代数多様体（もっと広くスキーム）の整数論的な性質を研究する分野である。
ディオファンタスによる研究（初等整数論の範疇）から考えても、その起源は古いが、
現代的な意味での数論幾何学の始祖はアンドレ・ヴェイユ
（合同ゼータ関数に関する研究、モーデル・ヴェイユの定理の証明のほか、
任意の体上での代数幾何学の研究など）といえるだろう。
1950年代後半以降のアレクサンドル・グロタンディークらによるスキーム論および
それに関連する各種理論の発展により、爆発的な発展を遂げ、
現在では数論の中核に位置しているといえる。
991:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:26:35.78 HDZ6pZhB.net
フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、
他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。
しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。
992:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:27:12.00 HDZ6pZhB.net
ガウスは次のような言葉を残している。
「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である」
993:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:28:14.47 HDZ6pZhB.net
整数論は、永らく実用性は無いと言われてきたが、
近年暗号（RSA,楕円曲線暗号）や符号により
計算機上での応用が発達しつつある。
994:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:31:40.70 HDZ6pZhB.net
ということで、
代数的整数論ならガロア理論使うし文句ないだろ
目標は類体論の理解ってことで
とかいうと、他の人が
「俺は解析的整数論やりたい」
とかいいだすんだよな
まあ、当人は、そういうだけで実は全然詳しくないんだけど・・・
995:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:33:55.40 HDZ6pZhB.net
歴史
古代ギリシア
数論はヘレニズム後期（紀元3世紀）のギリシア人数学者らに最も好まれた研究対象で、
エジプトのアレクサンドリアで活動したアレクサンドリアのディオファントスは、
自らの名が（後に）冠されたディオファントス方程式の
様々な特殊ケースを研究したことで知られている。
ディオファントスはまた、線型不定方程式の整数解を求める方法について考察した。
線型不定方程式とは、解の単一の離散集合を得るには情報が不足している方程式を指す。
例えば、x+y=5 という方程式は、x と y が整数だとしても解が無数に存在する。
ディオファントスは多くの不定方程式について、
具体的な解はわからなくとも解のカテゴリがわかっている形式に
還元できることに気づいた。
996:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:37:21.65 HDZ6pZhB.net
インド
中世インドでも数学者らはディオファントス方程式を深く研究しており、
線形ディオファントス方程式の整数解を求める体系的手法を初めて定式化した。
アリヤバータは著作『アーリヤバティーヤ』（499年）の中で
線型ディオファントス方程式 ay+bx=c の整数解の求め方を初めて明確に記している。
これを「クッタカ法」と呼び、ディオファントス方程式の解を連分数を使って表すもので、
アリヤバータの純粋数学における最大の貢献とされている。
アリヤバータはこの技法を応用し、重要な天文学上の問題に対応する
連立線型ディオファントス方程式の整数解を求めるのに使った。
彼はまた不定線型方程式の一般的解法も見つけている。
ブラーマグプタは著書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』（628年）で
さらに難しいディオファントス方程式を扱っている。
彼が使ったのは、61x^2+1=y^2 のようなペル方程式に代表される
二次のディオファントス方程式を解く「チャクラバーラ法」 (Chakravala method) である。
この著書は773年にアラビア語に翻訳され、
そこから1126年にラテン語に翻訳された。
フランス人数学者ピエール・ド・フェルマーは1657年に
この方程式 61x^2+1=y^2 を問題として提示している。
この方程式そのものは70年以上後にレオンハルト・オイラーが解いたが、
ペル方程式全般の解法が見つかけたのはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュで、
フェルマーが問題を提示してから100年以上たった1767年のことだった。
一方それより何世紀も前の1150年、バースカラ2世がペル方程式の解法を記述している。
彼はブラーマグプタのチャクラバーラ法を改良した解法を使っており、
同じ技法を応用して不定二次方程式や二次ディオファントス方程式の一般解も見つけている。
バースカラ2世のチャクラバーラ法によるペル方程式の解法は、
600年後のラグランジュが使った手法より単純だった。
バースカラ2世は他にも様々な二次/三次/四次など高次の不定多項方程式の解を求めている。
このチャクラバーラ法をさらに発展させたのがナーラーヤナ・パンディトで、
他の不定二次多項方程式や高次多項方程式の一般解を求めている。
997:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:39:57.61 HDZ6pZhB.net
中世イスラム
9世紀以降、アラビア数学は数論を熱心に研究するようになった。
先駆者とされる数学者はサービト・イブン＝クッラで、
友愛数を求めるアルゴリズムを発見したことで知られている。
友愛数とは、2つの異なる自然数の組で、
自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しい。
10世紀にはイブン・タヒル・アル＝バグダディが
サービト・イブン＝クッラの手法を若干変えた手法を見つけている。
10世紀のイブン・アル・ハイサムは
偶数の完全数（その数自身を除く約数の和がその数自身と等しいもの）
を世界で初めて分類しようと試みたと見られ、
2^k-1 が素数のとき、2^(k-1)(2^k-1) が完全数となることを発見した。
またアル・ハイサムはウィルソンの定理を最初に発見した。
これは、p が素数ならば 1+(p-1)! が p で割り切れるという定理である。
彼がこの定理の証明を知っていたかどうかは不明である。
ウィルソンの定理という名称は、エドワード・ウェアリングが
1770年にジョン・ウィルソンがこの定理に気づいたと記したことに由来する。
ウィルソンも証明を知っていた証拠はなく、
ウェアリングも確実に証明法を知らなかった。
この定理を証明したのはラグランジュで、1773年のことである。
イスラム数学では友愛数が大きな役割を果たした。
13世紀のペルシア人数学者アル・ファリシは、
因数分解と組合せ数学の新たな重要な方法を導入して、
サービト数と友愛数の関係について新たな証明を見出した。
彼はまた、17296 と 18416 という友愛数も発見している。
通常これらはオイラーが発見したとされているが、アル・ファリシの方が早いし、
サービト・イブン・クッラ自身も知っていた可能性がある。
17世紀にはムハンマド・バキル・ヤズディが
友愛数 9,363,584 と 9,437,056 を発見しており、
これもオイラーより先である。
998:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:43:36.96 HDZ6pZhB.net
ヨーロッパ
13世紀、レオナルド・フィボナッチは著書の1つとして
『平方の書』 (Liber Quadratorum) を書いた。
その中でピタゴラス数を扱っている。
彼は平方数が奇数の和として記述できると記している。
彼は合同数の概念を定義し、ab(a + b)(a - b) という形で表される数は
a + b が偶数ならば合同数であり、
a + b が奇数ならばそれを4倍したものが合同数だとした。
フィボナッチは x^2+C と x^2-C が共に平方数ならば
C が合同数であることを示した。
また、平方数は合同数となりえないことも証明した。
フィボナッチの数論への貢献は大きく、
「『平方の書』だけでフィボナッチはディオファントスと
17世紀のフランス人数学者ピエール・ド・フェルマーの間で
最大の貢献者に位置づけられる」とされている。
16世紀から17世紀には、フランソワ・ビエト、クロード＝ガスパール・バシェ・ド・メジリアクらが
数論の発展に貢献し、特にピエール・ド・フェルマーは無限降下法を用いて
ディオファントスの問題について初めての一般的証明を与えた。
1637年にフェルマーが提示したフェルマーの最終定理については、
1994年まで証明できなかった。
フェルマーは1657年に 61x^2+1=y^2 という方程式も問題として提示している。
18世紀にはオイラーとラグランジュが数論の分野で重要な貢献をした。
オイラーは解析的整数論の研究も行い、方程式 61x^2+1=y^2 の解法を見出した。
ラグランジュはさらに一般化したペル方程式の解法を見出した。
オイラーやラグランジュのペル方程式の解法は連分数を使うものだが、
インドのチャクラバーラ法に比べると複雑である。
999:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:46:29.49 HDZ6pZhB.net
近代数論の始まり
18世紀の終わりにルジャンドルの『数の理論に関する試作』
（Essai sur la Théorie des Nombres、1798年）が出版される。
19世紀に入って出版されたガウスの『算術研究』
（Disquisitiones Arithmeticae、1801年）は、
近代数論の扉を開いたとされている。
合同についての理論はガウスの著作『算術研究』が始まりである。
彼は次のような記法を導入した。
a ≡ b (mod c)
そして、合同算術について広く考察している。
1847年にチェビシェフはロシア語で合同算術についての著作を出版し、
フランスではジョゼフ・アルフレッド・セレがそれを広めた。
ルジャンドルはそれまでの成果をまとめただけでなく、
平方剰余の相互法則についても記している。
この法則はオイラーが数値計算に基づき帰納的に発見し発表したもので、
ルジャンドルが自著『数の理論に関する試作』（1798年）で証明を試みた。
オイラーやルジャンドルとは別にガウスも1795年にこの法則を独力で発見し、
1796年4月8日に最初の完全な証明を完成させた。
他にその発展に貢献した数学者として、コーシー、
数論の古典とされている『整数論講義』で知られるディリクレとデーデキント、
ヤコビ記号を導入したヤコビ、リウヴィル、アイゼンシュタイン、クンマー、クロネッカーらがいる。
この理論はさらに3次剰余の相互法則、4次剰余の相互法則へと発展した。
アイゼンシュタインは最初に3次剰余の相互法則の証明を発表した。
ガウスは数を二元二次形式で表現する理論の創始者でもある。
1000:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:50:11.37 HDZ6pZhB.net
19世紀
コーシー、ポアソン（1845年）、そして特にエルミートも数論に貢献している。
3次形式の理論についてはアイゼンシュタインが先駆者であり、
彼と H. J. S. Smith が形式論全般について注目に値する進展をもたらした。
Smithは3元2次形式を完全に分類し、ガウスの実数の2次形式を複素数へと拡張した。
4個から8個の平方数の和で表せる数の探求はアイゼンシュタインが進展させ、
Smithが理論として完成させた。
ディリクレはこの問題についてドイツの大学で初めて講義を行った。
彼は他にもフェルマーの最終定理
x^n+y^n≠z^n (x,y,z≠0,n>2)
の n = 5 と n = 14 の場合の証明に貢献している
（オイラーとルジャンドルが n = 3 とn = 4 の場合を既に証明しており、
それによって n が3または4の倍数の場合も含意されていた）。
19世紀後半から活躍した他のフランス人数学者として、
ボレル、貴重な回想録を数多く著しているポアンカレ、スティルチェスらがいる。
ドイツでは、レオポルト・クロネッカー、エルンスト・クンマー、デーデキントらがいる。
オーストリアではオットー・シュトル
1001:ツ、 イギリスではジェームス・ジョセフ・シルベスターも知られている。
1002:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:52:50.17 HDZ6pZhB.net
20世紀
20世紀の数論における大きな出来事として次のようなことが挙げられる。
・1920年代には、高木貞治、エミール・アルティン、フィリップ・フルトヴェングラーらが
類体論を創始し、1930年代にヘルムート・ハッセやクロード・シュヴァレーが発展させた。
・1940年代にアンドレ・ヴェイユがヴェイユ予想を発表し、
バーナード・ドゥワーク、アレクサンドル・グロタンディーク、ピエール・ルネ・ドリーニュらが
その証明に取り組んだ。
・1961年の M. B. Barban の成果に基づき、1965年にエンリコ・ボンビエリらが
「ボンビエリ＝ヴィノグラドフの定理」を定式化した。
・1960年代後半にロバート・ラングランズがラングランズ・プログラムを提唱し、
そこから他の数学者により様々な発展が得られた。
・陳景潤の定理が1966年に発表され、1973年に証明された。
・アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明（1994年）。
また、これと密接に関連する谷山・志村予想は1999年、
クリストフ・ブレイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラー
によって証明された。
1003:やっぱ数学は整数論でしょ
22/12/18 19:59:55.44 HDZ6pZhB.net
ところでヒルベルトの第１０問題の解決は論理学と考えられているようである
FRACTRAN
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
1004:１３２人目の素数さん
22/12/18 20:23:46.08 TXiL9yxC.net
此処に来て中島みゆきか。だが、時代は回らない
∵ 痴情で枯死
♪流行りーばかりーを追ーってー コピペーばかりーを貼ーってー
♪SetAはーホーラーばーかーりー吹いーてるー
1005:
22/12/18 20:56:21.30 HDZ6pZhB.net
コピペ・ダメ・ゼッタイ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
1006:現代数学の系譜 雑談
22/12/18 23:54:53.55 NiRCfpma.net
どうも
出かけていたら
名古屋の新幹線のトラブルに巻き込まれてね
さっき帰ってきた
さて
>>841
>・まず、Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q（既約方程式の全ての根を添加した体）
>はガロア拡大である。
>・Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Kとおくと、Kの数がQ上みたす既約方程式の根は
>すべてKに含まれる。（ガロア拡大の性質。）
>・もしa^{1/5}∈Kならば、a^{1/5}がQ上みたす方程式
>x^5-a=0の根はすべてKに含まれなければならない。
>・Kが実の体であれば矛盾、したがって、a^{1/5}\not∈K
１）
なるほど
それはそうだね
納得した
つづく
1007:現代数学の系譜 雑談
22/12/18 23:56:28.66 NiRCfpma.net
>>921
つづき
２）
ところで
ついでに>>715
「1はa^{1/5}にガロア群を作用させるとζ_5が出てくることさえ分かってない。」
についても、けり付けて下さい
１）ガロア群Gの定義
２）作用域Λの定義
３）”群Gを作用させるとζ_5が出てくること”の証明
よろしく
３）
それから戻るけど>>381
"では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？
一般的な話として、可解な5次方程式でもいいですが。
つまり、5乗根を取る操作をガロア拡大（クンマー拡大）
にするなら、ζ_5は必然的に含まれますが
最小分解体（方程式が一次式の積に分解する最小の体）
には含まれるか否か？って質問です。"
だったよね
つまり、聞きたいのは、
1008:そもそもの一般的な話の方 くどいが、>>372の具体的な式で5実根限定( >>417Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)) ) ではない方 一般的な場合でも、ζ_5は含まれないということですかね？ ４） さらに、冒頭に戻るけど、一般的な場合（5つ全部が実根ではない場合）で、 5乗根a^{1/5}は、最小分解体には含まれないことの証明も頼んますよ 以上
1009:１３２人目の素数さん
22/12/19 03:52:56.41 hS59ELf3.net
>>921>納得した
と心から言うなら
>>922くらい自分で考えなよ。
自分で考えなきゃ、一生コピペバカのままだぞ？
1010:１３２人目の素数さん
22/12/19 03:53:50.72 hS59ELf3.net
>>875->>894
ワロタ。昨日は〇っちゃんまで来ていたのかｗ
1011:１３２人目の素数さん
22/12/19 04:04:55.48 hS59ELf3.net
>>871
>ヴァンデルモンド行列の逆行列で
「そこ」がヴァンデルモンド行列になるという発想はなかった。
巡回方程式限定で考えたことがほとんどなかったので盲点になっていた。
本に書いてあるかもしれないが、あまり本は読んでないので。
で、n次巡回群に対してそのヴァンデルモンド行列をAとおくと
AA^*=nI が成立する。A^*はAの共役転置行列。これが「直交関係」。
1012:１３２人目の素数さん
22/12/19 04:11:26.10 hS59ELf3.net
ヴァンデルモンド行列というのはワクワクするんですよ。
なぜなら、和と積を結びつける公式は数論において貴重だから。
つまり、行列式というのは普通に計算すると和の形になる
それが綺麗な積の形にもなるという。それ自体が数論的な情報を含んでいる。
1013:１３２人目の素数さん
22/12/19 04:12:28.79 hS59ELf3.net
さて、冬の準備が忙しい...
1014:わかるすうがく
22/12/19 07:05:10.08 3hFxwn+B.net
>>921
＞なるほど それはそうだね 納得した
それだけ？ま、雑談クンのジャンピング土下座なんて期待してないけど
で、「納得した」って書いてるけど、理解した？
理解せずにただしぶしぶ納得しても、また同じ誤り繰り返すよ 大丈夫？
1015:わかるすうがく
22/12/19 07:16:45.61 3hFxwn+B.net
>>922
＞一般的な場合でも、ζ_5は含まれないということですかね？
具体的に、ζ_5が含まれない例があるなら その瞬間
一般的に、ζ_5が含まれる、といえないと分かりますが、何か？
雑談クンは、述語論理の初歩からやり直したほうがいい
ド・モルガンの法則から
∃Ｐ．￢Ｐ（ｘ）ならば、￢∀Ｐ．Ｐ（ｘ）ですが
え？もしかして∀ｘ．￢Ｐ（ｘ）
つまり、どんな場合もζ_5が含まれないといえるか？って尋ねてる？
んなわけないでしょ！
もちろんｘ＾５－２＝０の最小分解体にはζ_5は含まれますね
５つの根がどうなってるか考えれば、直接計算でも確かめられますよ
1016:わかるすうがく
22/12/19 07:22:53.24 3hFxwn+B.net
>>925
＞「そこ」がヴァンデルモンド行列になるという発想はなかった。
ご安心を、私も、形を見て気づくまで、全くなかったです
確かに、大学の線型代数でヴァンデルモンドの行列式は習いましたよ
そのときは
「なんでこんなもん考えたんだ？ワケワカラン」
と思ってましたｗ
改めて歴史を辿ったら、実はまさに代数方程式を解くために思いついたらしいです
松重豊が出てるＣＭじゃないけど
「それ、早く云ってよ~」
＞n次巡回群に対してそのヴァンデルモンド行列をAとおくと
＞AA^*=nI が成立する。A^*はAの共役転置行列。
＞これが「直交関係」。
ぬおおおお、そうでしたか！
1017:わかるすうがく
22/12/19 07:26:00.57 3hFxwn+B.net
>>926
なるほど！
ま、それとは全く別に名前がカッコいい
オランダ人ならよくある感じの苗字ですけどね
ファンデルモンド
ファンデルワールス
ファンデルヴェルデン
・・・
あ、スミマセン、クダラナイ感想で
1018:わかるすうがく
22/12/19 07:28:36.07 3hFxwn+B.net
今日の返答は遅くなります
スレ立ては950まで待ってね
あと、タイトルにはガロア理論じゃなくて代数的整数論と入れてね
1019:１３２人目の素数さん
22/12/19 17:24:11.35 KWbwJH3P.net
>>898
よく考えたら、そもそも示そうとしていた命題が間違っていたw
ま、昨日の証明を少し修正すれば通用するようにはなっている
1020:現代数学の系譜 雑談
22/12/19 18:19:57.75 30/ulwEg.net
>>924
>>>875->>894
>ワロタ。昨日は〇っちゃんまで来ていたのかｗ
そうか
昨日の ID:KUUXaCSx氏は、おっちゃんか！
なるほど
そういわれてみれば・・
お元気そうで何よりです。！
1021:現代数学の系譜 雑談
22/12/19 18:28:41.33 30/ulwEg.net
>>921-922 補足ｗ
秘孔を突いたようだｗｗ
まともに答えられないみたいだなｗｗｗ
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.nicovideo.jp)
人気の「秘孔」動画 13本 - ニコニコ
北斗の拳 北斗神拳伝承者の道 秘孔突き対戦
おまえはもう死んでいる
1022:わかるすうがく
22/12/19 20:23:43.48 3hFxwn+B.net
>>935
いや、雑談クン、君が肥壺に落っこちてるｗ
さて、雑談クンに問題だ
Π(i=1~n-1) 2*sin(iπ/n) はいくつになるかね？
試みにn=3で計算してみたまえ (n=2は自明すぎる）
そしてn=4,n=5と増やしてみたまえ
そのとき・・・君は驚愕のあまり脱💩する筈だ
＃なんでこんなことに気づいたかは・・・秘密
1023:現代数学の系譜 雑談
22/12/19 23:36:54.93 KRlSoN+A.net
次スレ立てた
ここを使ったら
次へ
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1024:現代数学の彼岸
22/12/20 06:50:53.98 UspPL0zv.net
>>937
ガロア理論はもういいだろ
みんな理解したよ･･･1以外は
1025:現代数学の彼岸
22/12/20 07:28:36.45 UspPL0zv.net
テンプレ、追加しときました
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:6番)-10
1026:現代数学の彼岸
22/12/20 07:37:55.99 UspPL0zv.net
出木杉氏ご指摘の通り、
「巡回方程式」の解からラグランジュ分解式の値への写像は
離散フーリエ変換と考えることができる
つまり、ラグランジュ分解式の値が分かるなら
それを離散フーリエ逆変換することで解が求まる
その意味するところが何なのか？
誰か分かる人いたら教えて！
1027:現代数学の系譜 雑談
22/12/20 11:45:51.64 aDZb/KDF.net
>>940
(引用開始)
出木杉氏ご指摘の通り、
「巡回方程式」の解からラグランジュ分解式の値への写像は
離散フーリエ変換と考えることができる
つまり、ラグランジュ分解式の値が分かるなら
それを離散フーリエ逆変換することで解が求まる
(引用終り)
１）数学が、ある種妄想に近いインスピレーションも必要だということは、認めるとして
２）しばしば、冷静に考えると、それほどでもないということが多いのでは
（いわゆる、千三つだが、そのような（ブレスト的＊）努力も結構必要ですけど）
３）離散フーリエ変換と逆変換ね（>>805や>>564)
個人的には、千三つの はずれクジの方と思うよ
４）例えば、幼少の子熊を見て、ネコに似ていると思うが如しかな？
いや、クンマーからクマを連想するが如しかもｗ
（参考）
URLﾘﾝｸ(makitani.net)
シマウマ用語集
千三つ（せんみつ）
千三つとは、マーケティングの領域においては「1000件のうち3件の確率」、つまり反応率が0.3％程度という意味の慣用句。読みは「せんみつ」。
不動産物件の成約率が1000件に3件程度だったことから、土地売買の職業のことをかつて「千三つ屋」と呼ぶことがあった。そこから派生して、商品開発の難しさやインターネットのバナー広告のクリック率なども概ねその確率であることから、「千三つ」と表現されることがある。
元々は「千回のうち3回ぐらいしか本当のことを言わない嘘つき」の意味の古い俗語である。江戸時代から用いられており、落語などでも登場する。
タレントでコメディアンのせんだみつお氏の芸名の由来でもある。
*）
URLﾘﾝｸ(next-sfa.jp)
SFA JOURNAL
公開日：2020/07/29
ブレストとは？本質を理解して効率のよい進め方を解説
ブレストとは「ブレインストーミング」の略になります。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フーリエ変換
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クマ
(引用終り)
以上
1028:１３２人目の素数さん
22/12/20 12:26:15.91 R0GrT6qP.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1029:１３２人目の素数さん
22/12/20 15:34:59.95 jqyIka++.net
べき根表示がフーリエ級数展開の類似だという話は
「ガロア群の作用」も分かってない1=雑談には理解できない。
逆に言えば、ガロア群の作用が分かっていれば自然な発想。
多分、数学者に訊けば「そりゃそうだね」と言われると思う。
自分で考えたが、数学的業績にはならないと思うからここに書いた。
「素人には自明でない」というのはどちらかといえば嬉しいｗ
1030:１３２人目の素数さん
22/12/20 15:39:35.61 jqyIka++.net
ガロア理論の解説書いてるひとも素人と言っては悪いが
少なくとも一流の数学者じゃないひとが多いよね。
1031:１３２人目の素数さん
22/12/20 15:43:19.90 jqyIka++.net
煽り反省m(__)m
1032:現代数学の系譜 雑談
22/12/20 18:49:40.15 aDZb/KDF.net
>>943
>べき根表示がフーリエ級数展開の類似だという話は
>「ガロア群の作用」も分かってない1=雑談には理解できない。
>逆に言えば、ガロア群の作用が分かっていれば自然な発想。
笑えるんだけどｗ
１）方程式の根の表示を、フーリエ級数展開することの
利点とその目的（なんのために？）を述べよ
２）フーリエ級数展開表示に対する「ガロア群の作用」を記述せよ
これ
”ガロア群の作用が分かっていれば自然な発想”
だったよねｗ
しっかりやってくれよｗ
（多分、ツッコミどころ満載だろうねｗｗ）
がんばってくれよｗｗｗ
1033:１３２人目の素数さん
22/12/20 19:36:03.58 jqyIka++.net
・「a^{1/5}へのガロア群の作用」さえ理解していない1=雑談に説明することは不可能。
・数学の彼岸さんは放っておいても自得するだろう。
・ここですべてのタネを明かしても、数学者には「自明」扱いの話でしかない。
・素人にとっては一定の意味のある話ではある。なぜなら
なぜ「べき根」による解法には一定の意味があるのか
「超べき根などは」ほぼナンセンスで話が広がらないのか
さらには正しい研究の方向性・可能性を示すことになるから。
1034:現代数学の彼岸
22/12/20 19:42:15.91 UspPL0zv.net
>>946
縁無き衆生は度し難し
解の巡回関数をf(x)で表す
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
θ=1/nΣ[k=0~n-1]L(ζ^k,θ) として
f(θ)
=f(1/nΣ[k=0~n-1]L(ζ^k,θ))
=1/nΣ[k=0~n-1]L(ζ^k,f(θ))
=1/nΣ[k=0~n-1]ζ^(-k)*L(ζ^k,θ)
となる
実によくでき�
1035:ﾄいる しかし、検索結果の式が読めず計算もできず ただ眺めてコピペするだけのサルには 生涯分からんだろう 嗚呼
1036:現代数学の彼岸
22/12/20 19:50:49.24 UspPL0zv.net
>>947
＞彼岸さんは放っておいても自得するだろう。
まあ、一度でも自分で計算してみれば、ああそういうことか、と分かるよね
分からん人は、まあ、一度も計算してない、と断言する
ボクも、解の巡回関数に気づくまで、計算一つできなかったから
計算するには、解の巡回関数に気づく必要がある
「きっかけ」は大事だね
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
1037:現代数学の彼岸
22/12/20 19:59:34.94 UspPL0zv.net
理解への道は険しい
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
1038:現代数学の系譜 雑談
22/12/20 21:09:57.83 uvZvHipH.net
>>946 追い打ちｗｗ
１）はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent)
下記の大阿久より
h(α) = α + ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α) (∀α ∈ L)
1 の原始 n 乗根 ζ
２）ラグランジュの分解式の優れているところは、
1 の原始 n 乗根 ζを導入することで、
自然に、クンマー拡大・クンマー理論の土俵の上に上げていること
３）これにより、大阿久の定理 9.3 （実質クンマー理論）
「ガロア群 G 位数 n の巡回群」
「L は x^n - a の分解体と一致」
が導かれる
（これで、十分尽きているのでは？ それ以上何があるのかな？ｗｗ）
４）さて、では問う”フーリエ級数展開の類似”と主張する意図は何か？ｗ
（利点とその目的（なんのために？）また”「ガロア群の作用」を記述せよ”）
５）そもそも、ラグランジュの分解式の表式と、フーリエ級数展開の式とは
似て非なるもの（結構別物だろ？）と思うのは、私だけかな？ｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.lab.twcu.ac.jp)
ガロア理論入門（体と群と方程式）
大阿久 俊則
9 2 項方程式と巡回拡大 34
P36
定理 9.3 K は C の部分体であり，ガロア拡大 L ⊃ K のガロア群 G := Gal(L/K) が位
数 n の巡回群であり，1 の原始 n 乗根は K に含まれると仮定する．このとき，ある a ∈ K
が存在して，L は x^n - a の分解体と一致する．さらに x^n - a は K 上既約である．
証明: σ を G の生成元（の１つ）とすると仮定より G = ?σ? = {idL, σ, . . . , σn-1} となる．
1 の原始 n 乗根 ζ を１つ固定して，写像 h : L → L を
h(α) = α + ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α) (∀α ∈ L)
で定義する（h は体準同型とは限らない）．
h(α) はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent) と呼ばれる．
idL, σ, . . . , σn-1 は相異なる L の自己同型
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クンマー理論
クンマー拡大
クンマー理論
1039:現代数学の系譜 雑談
22/12/20 21:11:07.27 uvZvHipH.net
>>951 タイポ訂正
１）はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent)
↓
１）ラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent)
1040:現代数学の系譜 雑談
22/12/20 21:37:24.08 uvZvHipH.net
>>951 追加
> ５）そもそも、ラグランジュの分解式の表式と、フーリエ級数展開の式とは
> 似て非なるもの（結構別物だろ？）と思うのは、私だけかな？ｗｗ
１）「似て非なるもの（結構別物だろ？）」の答えを書いておくよ（下記）
フーリエ級数は、” m を +∞ にした極限
Σ _n=-∞ ～∞ c_ne^inx=lim _m→ +∞ Σ _n=-m～m c_ne^inx
をフーリエ級数という”（下記）
なんだよね
２）フーリエ級数の意味とか分かってるのか？ｗ
３）ガロアも分かってないし、
フーリエも分かってないのか？！
(参考)（式が見にくいので原文ご参照）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フーリエ級数
複素数値関数のフーリエ級数（複素フーリエ級数）
オイラーの公式を用いると、複素数型のフーリエ級数を得ることができる。
オイラーの公式を用いると、複素数型のフーリエ級数を得ることができる。f も複素数値に取ることができ
c_n=1/2π∫ -π ～π f(t)exp(-int)dt,(n=0,± 1,± 2,・・・)}
を、f のフーリエ係数 (Fourier coefficient) といい、これを用いて書かれた多項式
Σ _n=-m～m c_ne^inx
を、m 次のフーリエ多項式 (Fourier polynomial) という。この m を +∞ にした極限
Σ _n=-∞ ～∞ c_ne^inx=lim _m→ +∞ Σ _n=-m～m c_ne^inx
をフーリエ級数という。
1041:現代数学の彼岸
22/12/20 21:47:35.13 UspPL0zv.net
>>951
全然追撃できてない･･･
＞ラグランジュの分解式の優れているところは、
＞1 の原始 n 乗根 ζを導入することで、
＞自然に、クンマー拡大・クンマー理論の土俵の上に上げていること
これ誤り、ζを導入しただけでは、クンマーには行けない
h(α) = α + ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α)
に対して
h(σ(α)) = σ(α) + ζσ^2(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)α
を考えると
h(σ(α)) = ζ^(-1)(α＋ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α))
= ζ^(-1)h(α)
であり
x^n-h(a)^n
=(x-h(α))(x-ζh(α))･･･(x-ζ^(n-1)h(α))
=(x-h(α))(x-h(σ^(n-1)(α)))･･･(x-h(σ(α))
である
が、σ(α)=ζα とはいえない（だから巡回拡大＝クンマー拡大とはいえない）
＞これにより、大阿久の定理 9.3
＞「ガロア群 G 位数 n の巡回群」
＞「L は x^n - a の分解体と一致」
＞が導かれる
これは二項方程式の場合であって、
ガロア群Gが位数 n の巡回群となるのは二項方程式に限る
と思ってるなら全くの誤りである
＞さて、では問う”フーリエ級数展開の類似”と主張する意図は何か？
＞そもそも、ラグランジュの分解式の表式と、フーリエ級数展開の式とは
＞似て非なるもの（結構別物だろ？）と思うのは、私だけかな？
似てるのではなく同じだが、何か？
h( 1,α) = α + σ(α) + ・ ・ ・ + σ^(n-1)(α)
h( ζ,α) = α + ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α)
h( ζ^2,α) = α + ζ^2σ(α) + ・ ・ ・ + ζ^2(n-1)σ^(n-1)(α)
・・・
h(ζ^(n-1),α) = α + ζ^(n-1)σ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)(n-1)σ^(n-1)(α)
左辺はh(1,α)を除いて全部ベキ根で求まる
だから、線型方程式系を解けば、解α,σ(α),･･･,σ^(n-1)(α)は全部求まる
σ^i(α)=1/nΣ(j=0~n-1)ζ^(-ij)*h(ζ^j,α) (i=0~n-1)
これ、同じこと、石井本のp412-421に書いてあるぞ
君、読んでないの？何で読まないの？まず読め！
1042:現代数学の彼岸
22/12/20 21:52:20.77 UspPL0zv.net
>>953
え？雑談クン、工学部卒のくせに離散フーリエ変換知らないの？
それは酷い・・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)