22/12/17 09:40:53.77 EhW0UvWQ.net
>>814
つづき
(2) 十分性： Gal(L/K) は可解群であると仮定する．部分群の列
{id} = Hm ⊂ Hm?1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ H1 ⊂ H0 = Gal(L/K)
であって，すべての i = 1, . . . , m について，Hi は Hi?1 の正規部分群であり Hi?1/Hi は
アーベル群であるようなものが存在する．アーベル群の基本定理によって，Hi?1/Hi はい
くつかの（有限）巡回群の直和になる．従って Hi?1 の部分群の列
Hi = Gl ⊂ Gl?1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ G1 ⊂ G0 = Hi?1
が存在して，すべての j = 1, . . . , l について Gj は Gj?1 の正規部分群であって Gj?1/Gj
は巡回群であるようにできる．従って，最初から各 Hi?1/Hi は巡回群であると仮定して
も一般性を失わない．
Fi:= L^Hi = {α ∈ L | σ(α) = α (∀σ ∈ Hi)}
とおけば，定理 7.1 と定理 7.2 により
L = Fm ⊃ Fm?1 ⊃ ・ ・ ・ ⊃ F2 ⊃ F1 ⊃ F0 = K
が成立する．前半の証明で示したように，Hi = Gal(L/Fi) ⊂ Gal(L/Fi?1) = Hi?1 とみな
せてHi は Hi?1 の正規部分群であるから，Fi ⊃ Fi?1 はガロア拡大である．
Gal(Fi/Fi?1) =Gal(L/Fi?1)/Gal(L/Fi) = Hi?1/Hi は位数 ni:= [Fi: Fi?1] の巡回群である．定理 7.2 に
より，ある ai ∈ Fi?1 が存在して Fi は x^ni ? ai の Fi?1 上の分解体となる．以上により，
f(x) = 0 はべき根によって解けることが示された．□
(引用終り)
以上