819:１３２人目の素数さん
22/12/15 03:35:48.03 j/qjOTBM.net
ギャフンといわずに、あたりまえだのクラッカーという学生に、
君の理解は間違って居るぞと、根拠をもって説得・洗脳するには
如何に論を説くべきや？ということだ。単に教科書の丸写しを
黒板に書いて教えているというだけならそれは理解したかのように
演じている役者でしかないのかもしれない。
オンラインでオンデマンド講義をするには、見た目の良い俳優を
遣う方が、学習効果が上がるというようなことになったら、大変だ
ろうが、案外それは正しいのかもしれないわけです。少なくとも
客が呼べるからね。
820:現代数学之陥穽 怪談
22/12/15 06:48:50.90 eN8xOiy4.net
>>749
(無意味に三角関数書いてるところを全部書き換え)
>（1の11乗根の実部の）具体的表式
>「･･･」とあるから、5乗根を使っています
「「･･･」とあるから」と
全く考えなしに他人の言葉を丸写しせずに
理解した上で自分の言葉で書くべし
>c_11を1の11乗根の実部、s_11を虚部として
>c_11^2 = 1-s_11^2 （高校数学レベル）
>と書ける
ほら、高校数学なら
他人の言葉の丸写しじゃなく
自分の言葉で書けるだろ
大学数学でも全く同様にやるべし
それが数学を理解する、ということ
>s_11 の具体的表式が、複素数の 3/5 乗を含むならば
>√(1-s_11^2) は、複素数の 3/5 乗を含む
>∵s_11を二乗して1との差の√（＝開平）をしただけだから
>これで、c_11が、
>べき根の表式で”5乗根を使っている”
>という話は決着でいいよね！ｗ
というか、そもそもs_11を経由する必要ない
c_11に対して、例えば”2倍角の公式”2c^2-1を5回適用したら元に戻る
2^5=32=3*11-1=-1(mod 11)
(c_11+s_11*i)^(-1)=c_11-s_11
で、実部に関しては等しいから
このことから、
ラグランジュの分解式を用いれば
5乗根を用いた式が直接導ける
やってみるべし！
しかしそのことは
「c11を根とする5次方程式の分解体が
1の5乗根や、分解式に現れる5乗根を
要素として含む」
ことを全く意味しない
（実際含まれない）
P.S.
>多分、mathematica で 直接 FunctionExpand[Cos[2π/11]]とやれば、良いのだろうが
>残念ながら、私は mathematicaを持っていないので、だれかやってみて
>違ったら、書いてください（当然、違わないだろうがｗ）
バカチョンで数式処理使っても利口にはなれんよ
821:現代数学之陥穽 怪談
22/12/15 06:55:48.86 eN8xOiy4.net
さて、
グロタ
822:ンディクを２０世紀のガロアと考えたとき ２０世紀のガウスにあたるのは誰なんだろうか？
823:現代数学之陥穽 怪談
22/12/15 07:07:47.68 eN8xOiy4.net
リゾルベントという言葉は、数学の各分野で使われてるので注意が必要
方程式論のリゾルベント
論理学のリゾルベント
線型作用素のリゾルベント
は、それぞれ異なる
824:現代数学の系譜 雑談
22/12/15 08:04:42.47 hn13nMmQ.net
>>749 追加
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
Trigonometry Angles--π/11
（抜粋）
Letting alpha=pi/11 and x=sin^2alpha then gives
sinπ=0=11-220x+1232x^2-2816x^3+2816x^4-1024x^5. (3)
But this quintic equation has a cyclic Galois group, and so x, and hence sin(π/11), can be expressed in terms of radicals (of complex numbers). The explicit expression is quite complicated, but can be generated in the Wolfram Language using Developer`TrigToRadicals[Sin[π/11]].
cos(π/11) = (32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1)_5 (4)
(引用終り)
ここに、
”But this quintic equation has a cyclic Galois group, and so x, and hence sin(π/11), can be expressed in terms of radicals (of complex numbers).”
と明記されているね
ならば、関数cosも同じだ
（cos^2 Θ + sin^2 Θ ＝1 で
cos Θ ＝√(1-sin^2 Θ) なので）
あと、
cos(π/11) = (32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1)_5 (4)
↓
cos(2π/11) = (32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1)_5 (4)
だな
そうでないと、次数が合わない
あと、>>660 より
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
chiebukuro.yahoo
32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0
の実数解を求めてください。
この問題も
Π[k=1,5]{x-cos(2kπ/11)}
を展開して32をかけた物であることから解は
cos(2kπ/11)
k=1,2,3,4,5
であると思います。
(引用終り)
これで、
cos(π/11) = (32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1)_5 (4)
vs
32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0
で微妙にプラスマイナスが異なる
どちらかが、間違っているかも
（手計算で確認できるかな）
825:現代数学の系譜 雑談
22/12/15 08:12:55.29 hn13nMmQ.net
>>750
>ギャフンといわずに、あたりまえだのクラッカーという学生に、
ありがとう
「昭和を代表するあの名フレーズ、今も健在 そんなの、あたりまえだ」
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
昭和を代表するあの名フレーズ、今も健在 そんなの、あたりまえだ
渡義人2022年12月8日 15時00分
まだまだ勝手に関西遺産
百貨店の大阪銘菓コーナーで初めて見かけたとき、思わず二度見してしまった。
「あたり前田のクラッカー」
昭和を代表する名フレーズだと思っていたが、まさか実在したとは。赤いパッケージの真ん中に、そのままの商品名がしっかりと記されている。
「会社の名前より、はるかに認知されている言葉です」
製造している前田製菓（堺市）の前田堅一朗専務（41）は笑う。
当初は大阪近郊だけで売られていたが、一躍全国で知られるようになったのは、同社がスポンサーになったテレビ番組「てなもんや三度笠」の影響だ。
笠を手にした渡世人「あんかけの時次郎」（藤田まこと）と小坊主「珍念」（白木みのる）が、全国を旅する時代劇コメディー。朝日放送（大阪市）の制作で、62～68年の日曜夕方に全国放映された。
記事後半では、あの〝前田さん〟にもひとこと、うかがいました。
826:１３２人目の素数さん
22/12/15 09:23:00.10 rFv
827:liE9e.net
828:１３２人目の素数さん
22/12/15 09:52:40.23 eIChDb+1.net
>>754
>32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1=0 (cos(π/11))
> vs
>32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 (cos(2π/11))
>で微妙にプラスマイナスが異なる
>どちらかが、間違っているかも
どっちも正しいよ
計算しなくても分かる
あんた、三角関数も分かってないねぇ
829:１３２人目の素数さん
22/12/15 10:05:35.54 eIChDb+1.net
訂正
>>754
>32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1=0 (cos(π/11))
> vs
>32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 (cos(10π/11))
>で微妙にプラスマイナスが異なる
>どちらかが、間違っているかも
どっちも正しいよ
計算しなくても分かる
あんた、三角関数も分かってないねぇ
830:現代数学の系譜 雑談
22/12/15 10:47:20.82 YwputiFG.net
>>756-758
ありがとうございます
スレ主です
>要約するとcos(10π/11)=-cos(π/11)がわからない
なるほどね
cos(π/11)は、円周等分で、
cos(2π/22)で、22等分を考えることになるけど
虚数軸で折り返す（鏡映）対称になっているってことですね
（cos(2π/11)の11等分では、x=1に対応する点が、鏡映では存在しないが、22等分では存在していて全体としても鏡映対称だと）
>>で微妙にプラスマイナスが異なる
>>どちらかが、間違っているかも
> どっちも正しいよ
> 計算しなくても分かる
> あんた、三角関数も分かってないねぇ
同意
まだ、(正確には)ピンと来てないけどｗ
上記のcos(2π/22)で、22等分の円周等分を考えて
虚数軸で折り返す（鏡映）対称を使うと
"微妙にプラスマイナスが異なる"が、説明できるかも
なかなか鋭いツッコミですね
ありがとうございます
831:現代数学の系譜 雑談
22/12/15 11:06:56.94 YwputiFG.net
>>759 追加
自己レス
下記のCyclotomic polynomial
Φ22＝x^10 -x^9 +x^8 -x^7 +x^6 -x^5 +x^4 -x^3 +x^2 -x +1
が、既約ではなく可約で、
>>758の二つの式に因数分解できる？
確認してないけど
そうかも・・
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cyclotomic polynomial
Φ22＝x^10 -x^9 +x^8 -x^7 +x^6 -x^5 +x^4 -x^3 +x^2 -x +1
832:１３２人目の素数さん
22/12/15 11:27:05.10 rFvliE9e.net
既約であることも>>758との関係も分かってないってすごいね
833:１３２人目の素数さん
22/12/15 12:17:42.47 IFvk9atl.net
>>760
>Cyclotomic polynomial
>Φ22＝x^10 -x^9 +x^8 -x^7 +x^6 -x^5 +x^4 -x^3 +x^2 -x +1
>が、既約ではなく可約で、
> >>758の二つの式に因数分解できる？
>確認してないけど
ここ、笑うとこ？
どうせなら、素数pの場合のΦpとΦ2p、見比べてなんか気付けよw
834:１３２人目の素数さん
22/12/15 12:44:51.02 UwjoSSML.net
多項式の規約判定方法も知らんの？
ほんとにガロア理論スレ？
835:１３２人目の素数さん
22/12/15 13:01:16.62 IFvk9atl.net
>>763
1は何も知らんよ
836:１３２人目の素数さん
22/12/15 14:26:03.02 VHHzYaPG.net
>>752
アティヤとその子供たちが芽吹くったのもあるし
日本の佐藤スクールよりも広い意味で化石文系が
837:現代数学の系譜 雑談
22/12/15 16:29:54.16 YwputiFG.net
>>759-760 大訂正
大外しでした
もとい
１）22等分の円周等分を考えて、x^22-1＝0
ここで、自明な根が、二つx=1,i
２）従って、x^22-1＝(x-1)(x-i)g(x)
と因数分解できる
g(x)は20次の（相反の）多項式
３）そして、多分
g(x)=g1(x)・g2(x)
と因数分解できる？
g1(x),g2(x)とも10次の（相反の）多項式
４）(x-1)g1(x)の式で、g1(x)からcos(2π/11）が出る
t=x+1/x を使って、10次の（相反の）多項式を5次に落とせる
５）(x-i)g2(x)の式で、g2(x)からcos(π/11）が出る
上記同様に、t=x+1/x を使って、10次の（相反の）多項式を5次に落とせる
６）上記４）の場合が、cos(2π/11） 32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 >>754
上記５）の場合が、"cos(π/11) = (32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1)_5 (4)" >>754
となるのかな？
（あらすじだけで、未検証ですが・・）
>>761-765
ありがとうございます。
みんな、鋭いツッコミですね
838:１３２人目の素数さん
22/12/15 16:45:09.20 rFvliE9e.net
iだけが解になる違和感
839:現代数学之陥穽 怪談
22/12/15 19:54:55.83 eN8xOiy4.net
>>766
>22等分の円周等分を考えて、x^22-1＝0
>ここで、自明な根が、二つx=1,i
壱 iは根ではない i^22=i^2=-1 -1-1=-2
>従って、
>x^22-1＝(x-1)(x-i)g(x)
>と因数分解できる
>g(x)は20次の（相反の）多項式
弐 正しくは-1が根である
したがって
x^22-1=(x-1)(x+1)g(x)
なお、x+1はΦ2
>そして、多分
>g(x)=g1(x)・g2(x)
>と因数分解できる？
>g1(x),g2(x)とも10次の（相反の）多項式
参 多分ではなく確実に
g(x)=Φ11(x)Φ22(x)
Φ11(x)=Σ(i=0～10)x^i
Φ22(x)=Σ(i=0～10)((-1)^(10-i))x^i
>g1(x)からcos(2π/11) が出る
>t=x+1/x を使って、10次の（相反の）多項式を5次に落とせる
>g2(x)からcos( π/11) が出る
>t=x+1/x を使って、10次の（相反の）多項式を5次に落とせる
肆 正確には 2t=x+1/x
>上の場合が、cos(2π/11）= 32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0
>下の場合が、cos( π/11) = 32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1=0
>となるのかな？
伍 なんだ貴様自分で計算してないのか？この🐎🦌モンが！
数学板に書き込みたいなら、まず自分で計算せい！
なお、正確にいえば
上の式の根は
cos(2π/11),cos(4π/11),cos(6π/11),cos(8π/11),cos(10π/11)
下の式の根は
cos( π/11),cos(3π/11),cos(5π/11),cos(7π/11),cos( 9π/11)
で
cos( 2π/11) = -cos(9π/11)
cos( 4π/11) = -cos(7π/11)
cos( 6π/11) = -cos(5π/11)
cos( 8π/11) = -cos(3π/11)
cos(10π/11) = -cos( π/11)
840:現代数学の系譜 雑談
22/12/15 20:42:08.46 hn13nMmQ.net
>>767-768
スマン
ご指摘ありがとう
その指摘は正しい
よって、>>766を書き直し下記
１）22等分の円周等分を考えて、x^22-1＝0
ここで、自明な根が、二つx=1,-1
２）従って、x^22-1＝(x-1)(x+1)g(x)
と因数分解できる
g(x)は20次の（相反の）多項式
３）そして、多分
g(x)=g1(x)・g2(x)
と因数分解できる？
g1(x),g2(x)とも10次の（相反の）多項式
４）(x-1)g1(x)の式で、g1(x)からcos(2π/11）が出る
t=x+1/x を使って、10次の（相反の）多項式を5次に落とせる
５）(x+1)g2(x)の式で、g2(x)からcos(π/11）が出る
上記同様に、t=x+1/x を使って、10次の（相反の）多項式を5次に落とせる
６）上記４）の場合が、cos(2π/11） 32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 >>754
上記５）の場合が、"cos(π/11) = (32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1)_5 (4)" >>754
となるのかな？
上記で大丈夫かな？
頭の中に画を描いたら、間違ってた
頭悪いな、おれってｗ
（iが出てきたときに、なんかヘンと思わないとね。バカだね）
841:現代数学の系譜 雑談
22/12/15 20:47:16.34 hn13nMmQ.net
>>768
>肆 正確には 2t=x+1/x
ありがとう
そこ
2t=x+1/xと
t=x+1/xと
両方ありだろう
どちらの式が、
あとの式の係数の計算が楽になるか
だけだろう
842:現代数学の系譜 雑談
22/12/15 21:15:03.86 hn13nMmQ.net
>>749
> >>736より
>”5）なので再度問う
> 「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？」
> 6）つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？（クンマー理論から）”
戻るよ
１）(参考)>>698より
URLﾘﾝｸ(www.beret.co.jp)
ベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全 2013
URLﾘﾝｸ(www.beret.co.jp)
目次
9 ピークの定理に立とう！････････････････････････････････････････････････････････････ 480
・ベキ根で解ける方程式の条件
ピークの定理 ････････････････････････････････････････････････････････････480
定理 6.8 可解群のとき解はベキ根で表される･･････････480
定理 6.9 累ベキ根拡大体のガロア閉包････････････････････ 481
定理 6.10 解がベキ根で表されるときは可解群････････486
２）ここで、定理 6.9 累ベキ根拡大体のガロア閉包（これ多分クンマー理論相当だろう）
「αがベキ根で表されているとき、
E/Qが累巡回拡大かつガロア拡大
となるαを含むQの拡大体Eが存在する」
この部分は、証明というより
説明と解説になっているが
分かり易いよ
要するに、5乗根がなければ、群の位数に5の因子が入らないと思うよ
３）そして、定理6.10のすぐまえに
拡大体Eについて、作り方のポイントは
１．予め十分な1のｎ乗根を仕込んでおく
２．途中、Ｋの元αに対して、α^1/n だけでなく
略
α^1/n,{σ2(α)}^1/n,・・・,{σn(α)}^1/n も一緒に加える
と説明している
４）なので、繰り返すが
石井本をちゃんと読めば
ガロア群が位数5の群（5は素数なので巡回群だ）であるとき
5乗根によるクンマー拡大を持つ
もちろん、”予め十分な1のｎ乗根を仕込んでおく”前提
以上まあ、石井本をちゃんと読んでねってことかね
（どのガロア本でも、似たことは書いてあるけどね）
843:現代数学之陥穽 怪談
22/12/15 21:17:27.96 eN8xOiy4.net
>>770
>そこ
>2t=x+1/xと
>t=x+1/xと
>両方ありだろう
「両方とも、方程式のガロア群が巡回群になる」という意味なら正しいが
「どっちでも、同じ方程式になる」という意味なら誤り
粗雑な言葉遣いは誤りを産む 即刻正せ
844:現代数学之陥穽 怪談
22/12/15 21:42:15.19 eN8xOiy4.net
>>771
＞(参考)
＞URLﾘﾝｸ(www.beret.co.jp)
＞ベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全 2013
＞URLﾘﾝｸ(www.beret.co.jp)
読むなら、>>744で指摘した通り、以下の箇所
第6章 「根号で表す」
1 1のn乗根をベキ根で表す･･･････････････････････････････････････････････････････････412
＞定理 6.9 累ベキ根拡大体のガロア閉包（これ多分クンマー理論相当だろう）
＞（中略）
＞要するに、5乗根がなければ、群の位数に5の因子が入らないと思うよ
「･･･と思うよ」が間違ってる
クンマーは一旦、完全に忘れろ
p420で、ベキ根が現れるが、これはラグランジュのリゾルベントによるもの
実は第6章の1では、リゾルベントだといってないが、
出てくる式がリゾルベントそのものである
＞そして、定理6.10のすぐまえに
＞拡大体Eについて、作り方のポイントは
＞１．予め十分な1のｎ乗根を仕込んでおく
＞２．途中、Ｋの元αに対して、α^1/n だけでなく
＞ α^1/n,{σ2(α)}^1/n,・・・,{σn(α)}^1/n も一緒に加える
＞と説明している
「クンマー拡大でないとベキ根が出てこない」というのは誤った思い込み
円分拡大でもベキ根が出てくるから
＞繰り返すが
＞石井本をちゃんと読めば
＞ガロア群が位数5の群（5は素数なので巡回群だ）であるとき
＞5乗根によるクンマー拡大を持つ
＞もちろん、”予め十分な1のｎ乗根を仕込んでおく”前提
「Qの拡大でガロア群が位数5の群の場合」
はクンマー拡大ではない
＞以上まあ、石井本をちゃんと読んでねってことかね
おぬしはなぜ第6章の1を全く読まないのか？
読んでいないだろう
読んで理解していたら
そんな誤りは決してしないからな
845:現代数学之陥穽 怪談
22/12/15 21:57:29.62 eN8xOiy4.net
解を表す式の中に５乗根が現れるからといって
最小分解体の中に５乗根が含まれるわけではない
１のベキ根をζとしたとき Q(ζ+(1/ζ))の中にはζは含まれない
なぜならζ+(1/ζ)は実数だから
Q(ζ+(1/ζ))は、Q(ζ)の部分体ではあるが、Q(ζ)そのものではない
846:現代数学之陥穽 怪談
22/12/15 22:25:50.04 eN8xOiy4.net
>>773
＞クンマーは一旦、完全に忘れろ
とはいえ、ラグランジュのリゾルベントは１のベキ根を導入してるから
「Q上で考えてないじゃん、円分拡大してんじゃん」と言われても仕方ないし
「ベキ根とってんじゃん、実質クンマー拡大じゃん」と言われても仕方ないが
ただ、円分拡大体の巡回拡大を、Qの巡回拡大に「縮小」できる場合は、
最初っから円分拡大の枠内で考えたほうがいいんじゃね？というのはある
847:１３２人目の素数さん
22/12/16 00:48:57.23 xj8WWQAR.net
リー群で二重被覆表現（スピン）が出てくることがあるけれども、
代数函数のリーマン面のように、三重被覆とか四重被覆とか
五重被覆が出てこない理由をだれか簡単に説明してもらえないだろうか？
848:現代数学之陥穽 怪談
22/12/16 05:21:58.70 qsccuf5Z.net
いかん、全てわかってしまった・・・
ガロアはｎ次方程式f(x)=(x-θ_[0])･･･(x-θ_[n-1])を
c0θ_[0]+･･･+c1θ_[n-1]と、根θ[i]の置換で得られる
ｎ！個の数σ[ｊ]を根とする方程式
g(X)=(X-σ[0])･･･(X-σ[n!-1])
に蹴り上げた（g(X)が既約ならガロア群はn次対称群だろう）
一方、根θ[i]が巡回置換するなら、ラグランジュの分解式
θ_[0]+ζθ[1]+･･･+ζ^(n-1)θ_[n-1]とその巡回置換
ζ^i(θ_[0]+ζθ[1]+･･･+ζ^(n-1)θ_[n-1])を根とする方程式は
X^n-(θ_[0]+ζθ[1]+･･･+ζ^(n-1)θ_[n-1])^n=0となりベキ根で解ける、
そして、各θ[i]は、そのベキ根を使って表せる
だから対称群Snに対して、剰余群が巡回群となるような
正規部分群をとり続けることで、単位群まで縮小できれば
元の方程式が、ベキ根を解くことで根を求められる筈
実際３次も４次もそうやって解けた
しかし！５次以上では交代群Anが、自分と単位群以外の
正規部分群を持たないからその戦略が破綻する！！！
849:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 08:26:46.60 5lN5KQGq.net
>>776
無理
多分5ｃｈでは無理
おしえてgooか、yahoo知恵袋へ投稿が良いんじゃね？
投稿したらおしえて下さい。
850:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 08:32:37.02 5lN5KQGq.net
>>777
そうだろｗ
1）円分拡大とクンマー拡大とは矛盾しない
2）というか、クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
3）ガロア群の位数5と、クンマー拡大の次元5は関連している。これは既約方程式で5次であることとも関連している
4）円分拡大とクンマー拡大と全部合わせて、ガロア理論
このあらすじが、分かってないね
851:１３２人目の素数さん
22/12/16 09:57:00.48 2jW05cQt.net
>クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
「円分拡大=クンマー拡大K=k(a^{1/n})のa=1のとき」ではない！
>ガロア群の位数5と、クンマー拡大の次元5は関連している。これは既約方程式で5次であることとも関連している
出た！
852:数学ワカランチンがよく言うワード「関連している」ｗ だからさ、数学は「連想ゲーム」じゃないんだよ。 「関連している」なら誰でも言えるが、数学ワカランチンが言う場合は 「何も分かってない」ときのフラグである場合が多い。 >このあらすじが、分かってないね 「あらすじ」で数学を理解しているつもりの結果が 「ガロア理論を10年勉強してモノにならなかった」という現実。
853:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 12:16:15.91 Bc1n6x8o.net
>>780
>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
話が上滑りだよ
１）群の作用を論じるならば、下記 佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね
２）さらに、ガロア群は、一般に二つの定義があるみたいだけど？ どっち？
３）さらに、基礎体の取り方で、違いがあるよね
（基礎体をＱとして、クンマー拡大を考えるとき、1のべき根ζが十分添加されたＱ(ζ)を考える。ここもはっきりさせてね）
４）また、普通には、下記のように体の拡大のガロア群を考えるよね
ガロア理論の基本定理から代数方程式の可解性へ繋がるのがこれだから
これらを明確に
（参考）
URLﾘﾝｸ(www2.math.cst.nihon-u.ac.jp)
佐々木隆二 日大
URLﾘﾝｸ(www2.math.cst.nihon-u.ac.jp)
Manuscript
プレプリント The automorphism group of the McLaughlin graph and the sporadic simple group
講義要項 ２０１１年代数学 C, D 講義要項
２０１０年代数学入門講義要項
＊代数の基礎[868 KB]
＊数学入門[425 KB]
＊houkoku[72 KB]
つづく
854:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 12:18:01.92 Bc1n6x8o.net
つづき
URLﾘﾝｸ(www2.math.cst.nihon-u.ac.jp)代数学の基礎/2014/12/fa75a316529d0ac746d8f50958ba66ed.pdf
代数学の基礎
佐々木隆二
1.7 正規列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.7.1 作用域をもつ群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
P46
1.7 正規列
1.7.1 作用域をもつ群
Λ を集合とし, G を群とする. 写像
σ : Λ × G → G; (λ, a) → λa
が与えられ
λ ab = (λa)(λb) (∀a, b ∈ G)
を満たすとき, G を 作用域 Λ をもつ群, 或は Λ-群 という.
P47
例 1.7.1 G を群とし, Inn(G) を作用域とするとき, Inn(G)-部分群は正規部分群である. また,
Aut(G) を作用域とするとき, Aut(G)-部分群を 特性部分群 という.
つづく
855:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 12:18:29.20 Bc1n6x8o.net
>>782
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア群
定義
体の拡大のガロア群
E を体 F の拡大体とし、その体の拡大を E/F と表わすこととする。また E/F の自己同型を、 F の各元を固定する E の自己同型と定義する。このとき、 E/F の自己同型全体は群を成す。これを Aut(E/F) と表わす。 E/F がガロア拡大であるなら、 Aut(E/F) を拡大 E/F のガロア群と呼び、 Gal(E/F) で表わす。 E/F がガロア拡大でない場合は、 E のガロア閉包 G に対する自己同型群 Aut(G/F) を、E/F のガロア群と定義することもある。
多項式のガロア群
体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。
性質
ガロア理論の基本定理
詳細は「ガロア理論の基本定理」を参照
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。L と K の中間体 M と Gal(L/K) の部分群 H について次の式が成立つ。
略
代数方程式の可解性
詳細は「可解群」を参照
標数0の体上においては、代数方程式が四則演算及びべき根で解けることと、その方程式のガロア群が可解群となることは同値となる。またそのことより、5次以上の代数方程式にはべき根による一般的解法が存在�
856:ｵないことが示せる。 関連項目 ガロア理論 ガロア拡大 絶対ガロア群 (引用終り) 以上
857:１３２人目の素数さん
22/12/16 19:04:15.87 2jW05cQt.net
Q(ζ_p^2)/Q(ζ_p) は実はクンマー拡大である。
しかし、
Q(ζ_p)/Q はどう考えてもクンマー拡大にはならない。
>クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
というのがバカ発言なのであるｗ
858:１３２人目の素数さん
22/12/16 19:09:46.76 2jW05cQt.net
>>781-783
コピペは出来ても、自分の頭では理解できてないから
自分の頭で数学を出力することが出来ない。
肝心なことが何かも分かってないから、コピペの羅列になる。
859:１３２人目の素数さん
22/12/16 19:14:47.45 2jW05cQt.net
>>776
位相群が単連結でなくて、何重かに覆った時点で単連結になる
という制約もなければ、理屈の上では何重でもありうるのでは。
860:わかるすうがく
22/12/16 19:20:06.71 qsccuf5Z.net
はい すうがくのせんせいですよ
すうがくでおちこぼれたみなさん おげんきですか？
きょうも たのしくすうがくをまなびましょうね
>>779
＞＞（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
>>780
＞ その理解が間違っている。
＞ 「円分拡大=クンマー拡大K=k(a^{1/n})のa=1のとき」
＞ ではない！
そうですね
雑談 ◆yH25M02vWFhP くんへ
x^n-1は、Q上で既約ではないですよ (x-1)で割り切れますから
高校の数学で習うことですけど、わかってますか？
861:１３２人目の素数さん
22/12/16 19:22:46.05 2jW05cQt.net
>>784
Q(ζ_p)/Q (ζ_{p-1})は（広義）クンマー拡大になる。
このように遡っていけば、いずれQには達する。
しかし、クンマー拡大を何度か続けて出来る体のことを
「クンマー拡大」とは言わない。
862:わかるすうがく
22/12/16 19:28:07.41 qsccuf5Z.net
はい すうがくのせんせいですよ
すうがくでおちこぼれたみなさん おげんきですか？
きょうも たのしくすうがくをまなびましょうね
>>780
＞＞クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
>>781
＞ 話が上滑りだよ
おやおや 雑談 ◆yH25M02vWFhP くん
きょうもがろありろんがわからなくてすべっちゃったのかな？
＞ 群の作用を論じるならば、
＞…群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね
ああ、雑談 ◆yH25M02vWFhP くん
群Gの作用域Λが わからなかったのかな？
じゃ質問
Q1．方程式X^5-2=0の、Q(ζ5)上のクンマー拡大のガロア群Gとその作用域Λは？
またλ∈Λ g∈Gを具体的に記した上で、λgを具体的に書けるかな？
Q2．X^5-1は(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)と因数分解されるね じゃ
方程式X^4+X^3+X^2+X+1=0の、Q上の円分拡大のガロア群Gとその作用域Λは？
そしてλ∈Λ g∈Gを具体的に記した上で、λgを具体的に書けるかな？
おちついてかんがえようね
ああ、それから、かんにんぐしてもいいけど
わけもわからず「こぴぺ」でごまかすのはやめようね
わからないのにわかってるとうそついてもみじめなだけだよ
じゃ、がんばって
863:１３２人目の素数さん
22/12/16 19:53:39.84 2jW05cQt.net
>>788
>Q(ζ_p)/Q (ζ_{p-1})は（広義）クンマー拡大になる。
いやならないわ。正しくは
Q(ζ_p,ζ_{p-1})/Q (ζ_{p-1})は（広義）クンマー拡大になる。
いずれにしれても1=雑談の「円分体もクンマー拡大の
特別な場合として捉えられるじゃん」という発想が
アホだってこと。
864:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 20:56:57.93 5lN5KQGq.net
>>781より再録
>>780
>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
話が上滑りだよ
１）群の作用を論じるならば、下記 佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね
２）さらに、ガロア群は、一般に二つの定義があるみたいだけど？ どっち？
３）さらに、基礎体の取り方で、違いがあるよね
（基礎体をＱとして、クンマー拡大を考えるとき、1のべき根ζが十分添加されたＱ(ζ)を考える。ここもはっきりさせてね）
４）また、普通には、下記のように体の拡大のガロア群を考えるよね
ガロア理論の基本定理から代数方程式の可解性へ繋がるのがこれだから
(引用終り)
早く答えて
自分の書いた文の定義を聞かれて
答えられないってのは
数学ではダメダメですよｗ
865:わかるすうがく
22/12/16 21:07:56.39 qsccuf5Z.net
はい すうがくのせんせいですよ
すうがくでおちこぼれたみなさん おげんきですか？
きょうも たのしくすうがくをまなびましょうね
>>791
あれあれ、雑談 ◆yH25M02vWFhP くん
いままで、群Gと作用域Λがまったくわからないで
数学書を読みとばしてたのかな それじゃ全然中身がわからなかったでしょ
じゃ質問
Q1．方程式X^5-2=0の、Q(ζ5)上のクンマー拡大のガロア群Gとその作用域Λは？
またλ∈Λ g∈Gを具体的に記した上で、λgを具体的に書けるかな？
Q2．X^5-1は(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)と因数分解されるね じゃ
方程式X^4+X^3+X^2+X+1=0の、Q上の円分拡大のガロア群Gとその作用域Λは？
そしてλ∈Λ g∈Gを具体的に記した上で、λgを具体的に書けるかな？
おちついてかんがえようね
ああ、それから、かんにんぐしてもいいけど
わけもわからず「こぴぺ」でごまかすのはやめようね
わからないのにわかってるとうそついてもみじめなだけだよ
じゃ、がんばって
866:わかるすうがく
22/12/16 21:14:49.70 qsccuf5Z.net
>>792
雑談 ◆yH25M02vWFhP くんにはむずかしかったかな
じゃ、もっとやさしいしつもんね
Q1．X^5-2=(X-A)(X-B)(X-C)(X-D)(X-E) として
B=f(A)、C=f(B)、D=f(C)、E=f(D)、A=f(E) としたとき
関数 f は何かな？
Q2．X^4+X^3+X^2+X+1=(X-A)(X-B)(X-C)(X-D) として
B=g(A)、C=g(B)、D=g(C)、A=g(D) としたとき
関数 g は何かな？
ヒント f と g は異なる関数
867:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 21:28:51
868:.44 ID:5lN5KQGq.net
869:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 21:29:22.45 5lN5KQGq.net
>>794
つづき
一般に１の原始ｎ乗根(primitive ｎth root of unity)の１つをζnで記述することにします。そして帰納法の仮定として,問題としている素数ｐに対し,ｍ≦(ｐ－1)の１の原始ｍ乗根はすべてベキ根で解けると仮定します。
また,ζp は１の原始ｐ乗根の１つですからｐ－1次の円分方程式を満足し,この円分方程式はｐが素数なのでＱを有理数体としてＱで既約ですから,Ｑにζpを添加した拡大体Ｑ(ζp)については,次数は[Ｑ(ζp):Ｑ]＝ｐ－1です。そしてこの円分方程式のガロア群(Galois group)Gal(Ｑ(ζp)/Ｑ)は(Ｚ/ｐＺ)×に同型なので,アーベル群(Abel group)であり,それゆえ可解群(solvable group)です。
略
それゆえ,ガロアの偉大な定理によってＱ'(ζp)/Ｑ'もベキ根による拡大になります。したがってＱ'(ζp)の元ζpはＱ'の上でベキ根で解けるはずですが,Ｑ'＝Ｑ(ζp-1)におけるζp-1自身も帰納法の仮定によってＱの上でベキ根で表わせるのですから,結局のところζpはＱの上でベキ根で解けることが示されたことになります。
ガロア理論を理解するために１のベキ乗根をベキ根で表わせることを証明したいと思って,ガウスの証明を参照したかったのですが,肝心のところに関する参考文献が,当面のところ不明だったので,結局ガロア理論を用いてしまったわけで我ながらいささか本末転倒の感があります。
参考文献:原田耕一郎 著「群の発見」(岩波書店),足立恒雄 著「ガロア理論講義」(日本評論社)
(引用終り)
以上
870:１３２人目の素数さん
22/12/16 21:40:50.51 2jW05cQt.net
>>791
ガロア理論10年以上勉強して「ガロア群の作用」も分かってないのがダメだね
そんなひとにも分かる説明ってあるの？ｗ
ガロア群の作用が何通りもある�
871:ﾆ思ってるフシがあるし。 本質的には一通りですよ。でなきゃ、「絶対ガロア群」なんて定義できない。
872:１３２人目の素数さん
22/12/16 21:42:08.83 2jW05cQt.net
10年以上ガロア理論勉強して、本も多数揃えているという1=雑談のバカ発言
>クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
アホかｗｗ
aが5乗数じゃないとき
x^5-a=0 の根たち、a^{1/5},a^{1/5}ζ_5,...,a^{1/5}ζ_5^4
はすべて共役で、ガロア群が推移的に作用している。
一方で、a=1のときa^{1/5}=1にどんなガロア群を作用させても不変ですよｗｗ
873:１３２人目の素数さん
22/12/16 22:01:24.71 2jW05cQt.net
1はコピペする前に>>728読んで理解しろ。
これで理解できないなら、どんな本読んでも理解できないよ。
874:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 23:47:10.67 5lN5KQGq.net
再度問う
>>781より再録
>>780
>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
話が上滑りだよ
１）群の作用を論じるならば、下記 佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね
２）さらに、ガロア群は、一般に二つの定義があるみたいだけど？ どっち？
３）さらに、基礎体の取り方で、違いがあるよね
（基礎体をＱとして、クンマー拡大を考えるとき、1のべき根ζが十分添加されたＱ(ζ)を考える。ここもはっきりさせてね）
４）また、普通には、下記のように体の拡大のガロア群を考えるよね
ガロア理論の基本定理から代数方程式の可解性へ繋がるのがこれだから
(引用終り)
早く答えて
自分の書いた文の定義を聞かれて
答えられないってのは
数学ではダメダメですよｗ
875:現代数学の系譜 雑談
22/12/16 23:57:16.97 5lN5KQGq.net
>>796
ふっ
ID:2jW05cQtさん、必死でゴマカスの図かよｗ
>ガロア群の作用が何通りもあると思ってるフシがあるし。
>本質的には一通りですよ。でなきゃ、「絶対ガロア群」なんて定義できない。
>>780より
>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
この>>780って、ID:2jW05cQtさん、
あなたの発言だよ
>ガロア理論10年以上勉強して「ガロア群の作用」も分かってないのがダメだね
>そんなひとにも分かる説明ってあるの？ｗ
説明しろとは言ってないよ
>>799の通りだ
まず、
「群の作用を論じるならば、佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね」
ってこと
おれが理解できなくても
アホなことを書いたら
周りからツッコミあるよね
それが怖くて書けないんだろ？ｗ
やれやれｗｗｗ
876:１３２人目の素数さん
22/12/17 00:43:29.80 Yvnw5Kb3.net
バカに説明する労力が惜しい。貴方のバカ発言
>クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
に対する明確な反例は>>797で挙げてありますよ。
まずはこの事実を理解しましょう。
「揚げ足取るために、たくさん書かせよう」
なんて根性腐ってますね。なお、これまでたくさん書いてきたが
残念ながらツッコミは無い。>>728さんはわたしではない。
877:１３２人目の素数さん
22/12/17 01:14:58.76 Yvnw5Kb3.net
まさかとは思ったが、「ζ_nへのガロア群の作用」という
ガロア理論中の超重要例であり、常識とも言える内容を
理解していない様子からしても、>>728の見立てが正しいと
言わざるを得なかった次第。
878:１３２人目の素数さん
22/12/17 04:41:56.18 Yvnw5Kb3.net
一箇所とんでもない勘違いしてた。
>>738の勘違い。
>一旦Q(ζ_5)を経由してクンマー拡大すると
>一般的にそれはQ上非アーベル拡大になることは理解してますかね？
リゾルベントを構成するのに円分体の数しか使ってないんで、非アーベルになるわけないですね。
謹んで訂正致します m(__)m
879:１３２人目の素数さん
22/12/17 05:00:57.80 Yvnw5Kb3.net
Q上の5次巡回方程式を解くときのラグランジュリゾルベント
も含めてすべての数はQ(ζ_{5p})に含まれている。
pは10n+1型の素数または5。
880:１３２人目の素数さん
22/12/17 05:33:04.59 Yvnw5Kb3.net
ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
>>564に書いたように、根のべき根表示
(1) ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
において、「直交関係」を利用して
項別に値を取り出す計算式であり
(1)をフーリエ級数展開の類似物と見たとき
フーリエ積分に対応している。
これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する。
881:わかるすうがく
22/12/17 07:06:37.56 vkjQzDmx.net
>>801
> 728さんはわたしではない。
ええ、わたしです。
トリップ違ってますが、昨日のIDで２つトリップつかってるので
「怪談」と私が同じ人物であることが証明されますね
>>802
>「ζ_nへのガロア群の作用」という
>ガロア理論中の超重要例であり、
>常識とも言える内容を
>理解していない様子からしても、
> 728の見立てが正しいと
>言わざるを得なかった次第。
まあ、雑談クンは、以前に
「(Z/pZ)×の位数がｐ」
�
882:ﾆかいってたのを覚えてるので そもそも(Z/pZ)×も、円分方程式の解への作用も 全然分かってないだろうと思ってますよ その証拠に>>792、>>793の質問に全く答えませんからね できない問題にはダンマリなんですよ できない生徒の反応って本当にわかりやすい でも、それ乗り越えていかないと できるようにならないよ 雑談クン！
883:わかるすうがく
22/12/17 07:16:26.98 vkjQzDmx.net
>>803
違うな、と思いましたが、
自分で気づかれるだろう、と思ったので、指摘しませんでした
長年の経験と勘で、できる人かできない人か、わかりますね
というより、私より全然わかってらっしゃるでしょ
雑談クンは、全然わかってませんね
ガロア理論の本も通り一遍しか読まないから、上滑りしてるんですね
基本的なことこそ、きっちり定義を理解して、自分で計算して確かめないと
決して理解できるようにはなりませんからね
まあ、Yvnw5Kb3さんには、釈迦に説法でしょう
雑談クンが、「縁なき衆生」でないことを祈るばかりです
数学板で書き込むなら、縁があったと思いたいですね
884:わかるすうがく
22/12/17 07:36:33.24 vkjQzDmx.net
>>794
＞ちょっと、・・・をチラ見してみて
チラ見 だから上滑る わかるね
ついでだが、そのことなら
美的数学のすすめ
円分体のガロア対応 2015-04-17
URLﾘﾝｸ(biteki-math.)はてなブログ.com/entry/2015/04/17/104038
がわかりやすい ガウスすげぇ！
＞ガロア理論で
＞「１のベキ乗根はベキ根で解けるか?（円分多項式の根）」
＞を解いているよ つまり、
＞ガロア理論＝体の拡大とガロア群の関係
＞→そこからべき根による可解性判定もできる
解くだけのことなら、ガロア理論とかいう前に
ラグランジュの分解式でできるよ
石井本の第６章の１
ｐ４１２~４２１ の１０ページ分
そこに７次の場合の実例つきで全部書いてあるから
理解できるまで何度でも読んでみて
あ、音読はしなくていいよ
声に出すことばかり意識すると
内容が全く分からなくなるから
728で指摘したことは、p417で書いてあるよ
なんで、３，２，６，４，５，１なのか
３＾２＝ ９＝ ２ (mod7)
３＾３＝ ２７＝２×３＝６ (mod7)
３＾４＝ ８１＝６×３＝４ (mod7)
３＾５＝２４３＝４×３＝５ (mod7)
３＾６＝７２９＝５×３＝１ (mod7)
だからだけど、そもそも
「なんでべきをとってるのか？」
を考えてね、ついでにいうと、
３じゃなくても５でもいいけど
２や４や６じゃダメだよ
なんでかって？考えてみようね
ああ、教育って大変
ガウスもボヤイ父が
「平行線公準が証明できた！」
とかいって証明持ってくるたびに
「またですか ブツブツ」
とかいいながら添削指導してあげたんだろうなあ・・・
885:わかるすうがく
22/12/17 07:49:06.58 vkjQzDmx.net
>>794
＞歴史の順番は、
＞ ラグランジュ・リゾルベント
＞→可解性(ガウス)
＞→アーベル理論
＞→ガロア理論（クンマー拡大･クンマー理論）
＞という流れだ
で、そもそも、雑談クンは
「なんで、ガロア群が巡回群だと、
ラグランジュの分解式（リゾルベント）
で解けるのか」
全然分かってないでしょ
なんで解けるのか、
なんでそれがクンマーと結びつくのか
>>777で述べたんだけど
ということで777読んでみて
書き忘れたけど、
ラグランジュの分解式のｎ乗は
解くべきθが現れない形で求められる
そうでなかったら、そもそも意味ないよなｗ
886:わかるすうがく
22/12/17 08:05:50.75 vkjQzDmx.net
それにしても、777で歴史的書き込みが出来たのは偶然なのか・・・
887:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 09:05:39.76 EhW0UvWQ.net
>>801-805
くっさぁ～！ｗ
笑えるよ
>>800より
”説明しろとは言ってないよ
>>799の通りだ
まず、
「群の作用を論じるならば、佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね」
ってこと”
(引用終り)
自分の書いたこと＝「群の作用」
について
”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”
と言われて
これが出来ない
（
888:多分、出来ないというよりも、自分の誤解か分かってないことに気付いたかなｗ） で、必死にゴマカスｗｗ 「バカに説明する労力が惜しい」>>801 と言いながら 言い訳を、グダグダと5連投する 5連投する暇があれば ”群Gと作用域Λ この2つの定義” さっと書けばいいだけのこと それが出来ないのは、出来ない事情があるんだね！ｗｗｗ
889:わかるすうがく
22/12/17 09:11:34.34 vkjQzDmx.net
>>811
>”群Gと作用域Λ この2つの定義”
>さっと書けばいいだけのこと
>それが出来ないのは、
>出来ない事情があるんだね！
それ、雑談君が答える問題
彼が答えないのは、君に答えを教えることになるから
それが事情
わかった？じゃ、さっさと、>>793答えてね 雑談クン
これ答えられないんじゃ、ガロア理論どころか
そもそも円分拡大がわからんってことになる
１０年間、ガロア理論の本を積読して、
掲示板でバカ書いてただけってことになる
まあ、それが実態ってことは、みんなわかってるけど
それでいいのかい？君の人生
890:わかるすうがく
22/12/17 09:21:50.37 vkjQzDmx.net
>>812
>じゃ、さっさと、>>793答えてね 雑談クン
ほぼ、>>808で答えを書いてるけどね
５乗根の場合、〇乗ならＯＫで●乗はＮＧ
さあ、〇と●に入る数はそれぞれ何でしょう
ああ、もう、ここまで出かかってるわ
891:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 09:39:48.19 EhW0UvWQ.net
>>771
>以上まあ、石井本をちゃんと読んでねってことかね
>（どのガロア本でも、似たことは書いてあるけどね）
年末忙しいので、結論を急ぐよ
下記の大阿久先生のPDFに、ちゃんと書いてあるね
（下記引用より原文の方が、圧倒的に見やすいよ）
下記大阿久より
１）”Fi = K(n1√a1, . . . ,ni√ai)”および
”Gal(Fi/Fi?1) =Gal(L/Fi?1)/Gal(L/Fi) = Hi?1/Hi は位数 ni:= [Fi: Fi?1] の巡回群である．定理 7.2 に
より，ある ai ∈ Fi?1 が存在して Fi は x^ni ? ai の Fi?1 上の分解体となる”
にご注目
ここが、ガロア理論の眼目ですよ
２）ガロア群で、位数 ni:= [Fi: Fi?1] の巡回群→ある ai ∈ Fi?1 が存在して Fi は x^ni ? ai の Fi?1 上の分解体となる
３）だから、ガロア理論で、べき根ni√aiが導かれる
４）位数5の巡回群なら、5乗根が導かれる
ということです
（注：ni√aiは、aiのni乗根です。他も同様。5ｃｈでは、こういう数学記号が正確に書けないので、数学の議論には不便です）
（なお、下記で「K をすべての 1 のべき乗根を含むような C の部分体」とするのは、Kが大きく成りすぎる危険があるよね
だから、Kを有理数体Qの拡大体ですべての 1 のべき乗根を含む とする方が、すっきりしている気がする）
>>429より再録
URLﾘﾝｸ(www.lab.twcu.ac.jp)
Toshinori Oaku (大阿久 俊則)(おおあく としのり)
東京女子大学 現代教養学部 数理科学科 数学専攻
講義録（学部）
11.ガロア理論入門, 「ガロア理論入門」演習問題解答,
URLﾘﾝｸ(www.lab.twcu.ac.jp)
ガロア理論入門（体と群と方程式）
大阿久 俊則
P45
つづく
892:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 09:40:22.99 EhW0UvWQ.net
>>814
つづき
12 方程式のべき根による可解性
定義 12.1 K を C の部分体とする．f(x) ∈ K[x] に対して方程式 f(x) = 0 が K 上でべ
き根によって解けるまたは K 上可解であるとは，f(x) = 0 のすべての根が K の元から
出発して，べき乗根（2 項方程式の根）と 1 のべき乗根および四則演算を組み合わせて表
示できることと定義する．
定理 12.1 K をすべての 1 のべき乗根を含むような C の部分体，f(x) ∈ K[x] を 2 次以
上の多項式とする．このとき，方程式 f(x) = 0 が K 上べき根によって解けるための必要
十分条件は f(x) の K 上の分解体 L のガロア群 Gal(L/K) が可解群となることである．
証明:
(1) 必要性：f(x) = 0 が K 上
893:可解であると仮定する．n 乗根による表示は，ある a に対して 2 項方程式 x^n ? a の根を表すから，Fm ⊃ L となるような拡大体の列 Fm ⊃ Fm?1 ⊃ ・ ・ ・ ⊃ F1 ⊃ F0 = K であって，各々の i = 1, . . . , m に対してある ni ∈ N とある ai ∈ Fi?1 があり，Fi は x^ni ? ai の Fi?1 上の分解体となっているとしてよい． このとき Fi = K(n1√a1, . . . ,ni√ai) であるから，Fi は K 上のガロア拡大である．ただし ni√ai は x^ni ? ai の根の１つを表す ものとする．（仮定より 1 の ni 乗根は K に含まれるので，どれを選んでも以下の議論に 影響はない．) 体の拡大 Fm ⊃ K の中間体のガロア対応により， Hi:= Φ(Fi) = Gal(Fm/Fi) (i = 1, 2, . . . , m) とおく．このとき定理 7.2 より Gal(L/K) の部分群の列 {id} = Hm ⊂ Hm?1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ H1 ⊂ H0 = Gal(Fm/K) ができ，Hi = Gal(Fm/Fi) ⊂ Gal(Fm/Fi?1) = Hi?1 とみなせる．Fi ⊃ Fi?1 はガロ ア拡大であるから，Fi をガロア拡大 Fm ⊃ Fi?1 の中間体とみなせば，Fi に対応する Gal(Fm/Fi?1) の部分群が Hi であり，定理 7.2 により Hi は Hi?1 の正規部分群であり， Hi/Hi?1～= Gal(Fi/Fi?1) が成立する．さらに定理 9.1 により Hi/Hi?1 は巡回群である． 以上により Gal(Fm/K) は可解群であることがわかった．Fm ⊃ L ⊃ K と L が K のガ ロア拡大であることと命題 11.1 により Gal(L/K) ～= Gal(Fm/K)/Gal(L/K) も可解群である． つづく
894:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 09:40:53.77 EhW0UvWQ.net
>>814
つづき
(2) 十分性： Gal(L/K) は可解群であると仮定する．部分群の列
{id} = Hm ⊂ Hm?1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ H1 ⊂ H0 = Gal(L/K)
であって，すべての i = 1, . . . , m について，Hi は Hi?1 の正規部分群であり Hi?1/Hi は
アーベル群であるようなものが存在する．アーベル群の基本定理によって，Hi?1/Hi はい
くつかの（有限）巡回群の直和になる．従って Hi?1 の部分群の列
Hi = Gl ⊂ Gl?1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ G1 ⊂ G0 = Hi?1
が存在して，すべての j = 1, . . . , l について Gj は Gj?1 の正規部分群であって Gj?1/Gj
は巡回群であるようにできる．従って，最初から各 Hi?1/Hi は巡回群であると仮定して
も一般性を失わない．
Fi:= L^Hi = {α ∈ L | σ(α) = α (∀σ ∈ Hi)}
とおけば，定理 7.1 と定理 7.2 により
L = Fm ⊃ Fm?1 ⊃ ・ ・ ・ ⊃ F2 ⊃ F1 ⊃ F0 = K
が成立する．前半の証明で示したように，Hi = Gal(L/Fi) ⊂ Gal(L/Fi?1) = Hi?1 とみな
せてHi は Hi?1 の正規部分群であるから，Fi ⊃ Fi?1 はガロア拡大である．
Gal(Fi/Fi?1) =Gal(L/Fi?1)/Gal(L/Fi) = Hi?1/Hi は位数 ni:= [Fi: Fi?1] の巡回群である．定理 7.2 に
より，ある ai ∈ Fi?1 が存在して Fi は x^ni ? ai の Fi?1 上の分解体となる．以上により，
f(x) = 0 はべき根によって解けることが示された．□
(引用終り)
以上
895:わかるすうがく
22/12/17 09:54:13.17 vkjQzDmx.net
>>814
雑談クンは本当に探しものがヘタだねぇ
答えが書いてあるのはそこじゃないよ
ｐ３０の例１に書いてあるじゃない
x^3－2 = (x －2^(1/3))(x －2^(1/3)ω)(x －2^(1/3)ω^2)
これを、1の原始5乗根ζを使って書き換えれば以下の通り
x^5－2 = (x －2^(1/5))(x －2^(1/5)ζ)(x －2^(1/5)ζ^2)(x －2^(1/5)ζ^3)(x －2^(1/5)ζ^4)
したがって>>793 Q1は
f(2^(1/5))=2^(1/5)ζ
f(2^(1/5)ζ)=2^(1/5)ζ^2
f(2^(1/5)ζ^2)=2^(1/5)ζ^3
f(2^(1/5)ζ^3)=2^(1/5)ζ^4
f(2^(1/5)ζ^4)=2^(1/5)ζ^5=2^(1/5)
つまりf(x)=x*ζ
5乗根ζを掛けるのが巡回関数
だからζを体に追加する必要がある
雑談クン、それ全然理解せずに、ただ何の根拠もなく
「クンマー拡大には、１のｎ乗根の追加が必要！」
っていってたでしょ それじゃ数学分かったことにならないよ
896:わかるすうがく
22/12/17 09:57:22.83 vkjQzDmx.net
>>817
じゃ、同様に、>>793のQ2、答えてみて
大阿久氏のpdfにはそのままコピペできる箇所はないな
ま、答えの情報は書いてあるかもしれんけど
君は探し物が苦手だから見つけられないね
ということで自分で考えてみて
頑張って！
897:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 10:38:29.52 EhW0UvWQ.net
>>811 追加
>自分の書いたこと＝「群の作用」
>について
>”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”
>と言われて
>これが出来ない
>（多分、出来ないというよりも、自分の誤解か分かってないことに気付いたかなｗ）
>で、必死にゴマカスｗｗ
この人（ID:Yvnw5Kb3氏）は
ガロア理論を根本的に誤解していたんだね
１）
そもそも、躓きは>>547 の
”Q2
「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、
５乗根そのものは要素として含まれる？”
(引用終り)
から始まっているんだ
>>814 大阿久PDFにあるように
”方程式 f(x) = 0 が K 上でべ
き根によって解けるまたは K 上可解であるとは，f(x) = 0 のすべての根が K の元から
出発して，べき乗根（2 項方程式の根）と 1 のべき乗根および四則演算を組み合わせて表
示できることと定義する．”>>815
こういう体の拡大で考えておけばよかったべｗ
２）
これで、定理 12.1 の証明にあるように、位数5の巡回群なら方程式の根の表示に5乗根を使うってこと
あと、この人、ガロア理論を、>>391のように”方程式の最小分解体”ベースで考えていたのかな？
それで、きっと思考の迷路に入ってしまったんだね
３）
そこを突かれると、「群の作用」と言い出したんだ
（例えば、>>678"何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる。
ζ_5はQ(ζ_11)には含まれないから矛盾する"
とかｗ
ちゃんと、群Gと作用域Λ この2つを定義しないと議論が上滑りだよね。「ζ_5が出てくる」？ なにそれ？ｗ）
４）
さらに、”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”(上記)と言われて、答えられず
そりゃあ、そうでしょうね。「群の作用」なんて、論点ずらしで持ち出しただけだものねｗ
以上
898:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 10:53:23.21 EhW0UvWQ.net
>>800 追加
>ガロア理論10年以上勉強して「ガロア群の作用」も分かってないのがダメだね
別に、私がガロア理論を理解しているとかいうつもりはないけど
分かってない人から、言われてもねｗ
「ガロア群の作用」ね
だから、”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”と
ガロア群Gは、基礎体の取り方で違うよね。基礎体をどうするの？
作用域Λは？ 方程式の根とするのか、拡大体（の自己同型）とするのか？
これが、答えられないんだねｗｗｗ
（参考）
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
hooktail
体の自己同型写像
自己同型写像の群
899:１３２人目の素数さん
22/12/17 11:23:17.95 Yvnw5Kb3.net
>>819
頭悪いね。
問は意味はなしているのだから、正しく答えればよかっただけ。
問が意味をなしていないなら、ナンセンスだけど、意味をなしているのだから。
それで、方程式を解く際にあらわれるべき根は
最小分解体に含まれないことは理解できましたか？
900:１３２人目の素数さん
22/12/17 11:34:47.11 Yvnw5Kb3.net
>>820
>ガロア群Gは、基礎体の取り方で違うよね。基礎体をどうするの？
>作用域Λは？ 方程式の根とするのか、拡大体（の自己同型）とするのか？
それが分からないのが、貴方がガロア理論を理解してないって証拠。
「ガロア群の作用」が何通りもあると思ってるんでしょ？
バカだねぇｗｗ
基礎体をどうしようが、「部分群になる」という制限が入るだけ。
>方程式の根とするのか、拡大体（の自己同型）
どちらも同じだよ。方程式の根とした場合、体のk自己同型を
根に制限したものになってるだけ。
それが分かってないのが1=雑談。
901:１３２人目の素数さん
22/12/17 11:42:28.57 Yvnw5Kb3.net
再掲>>797
10年以上ガロア理論勉強して、本も多数揃えているという1=雑談のバカ発言
>クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
アホかｗｗ
aが5乗数じゃないとき
x^5-a=0 の根たち、a^{1/5},a^{1/5}ζ_5,...,a^{1/5}ζ_5^4
はすべて共役で、ガロア群が推移的に作用している。
一方で、a=1のときa^{1/5}=1にどんなガロア群を作用させても不変ですよｗｗ
902:１３２人目の素数さん
22/12/17 12:00:30.64 Yvnw5Kb3.net
ガロアが定義したガロア群とデデキントが定義したガロア群の関係。
前者は後者の忠実な置換表現になっている。つまり同型。
本質的に同じ。特に考えている根に限ればまったく同じ。
903:１３２人目の素数さん
22/12/17 12:29:01.45 Yvnw5Kb3.net
このスレで最初にクンマー拡大の話を出したのはわたし。>>391
それに対して「論点ずらしだ～」と泣いてるのが>>489 =1=雑談
全然論点ずらしじゃない。ど真ん中の核心を突いている。
自分が理解できない話だと「論点ずらしだ～」と泣き喚くのが1=雑談。
904:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 13:19:51.53 EhW0UvWQ.net
>>821-825
>>811より再録
くっさぁ～！ｗ
笑えるよ
>>800より
”説明しろとは言ってないよ
>>799の通りだ
まず、
「群の作用を論じるならば、佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね」
ってこと”
(引用終り)
自分の書いたこと＝「群の作用」
について
”群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね”
と言われて
これが出来ない
（多分、出来ないというよりも、自分の誤解か分かってないことに気付いたかなｗ）
で、必死にゴマカスｗｗ
「バカに説明する労力が惜しい」>>801
と言いながら
言い訳を、グダグダと5連投する
5連投する暇があれば
”群Gと作用域Λ この2つの定義”
さっと書けばいいだけのこと
それが出来ないのは、出来ない事情があるんだね！ｗｗｗ
(引用終り)
今回も、
言い訳を、
グダグダと5連投ねｗ
>このスレで最初にクンマー拡大の話を出したのはわたし。>>391
そう確かに、このスレ限定ではねｗ
気付いているよ（多分言い訳に出したんだねｗ）
しかし、クンマー拡大は旧ガロアスレで、さんざん出てきた
代数方程式の代数解法のガロア理論は、クンマー拡大抜きでは成り立たないよ。当然ですが
905:１３２人目の素数さん
22/12/17 13:48:31.70 Yvnw5Kb3.net
1=雑談って、>>615で
>例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
と認知症レベルの間違いしてるじゃん。
垂れ流し老人じゃんｗ
906:１３２人目の素数さん
22/12/17 14:01:41.43 Yvnw5Kb3.net
クンマー拡大K=k(a^{1/5}), a,ζ_5∈k
に対して、G=Gal(K/k)
円分拡大 k=Q(ζ_5) , G'=Gal(k/Q)
作用域はそれぞれK, k.
はい書きましたよ。
907:１３２人目の素数さん
22/12/17 14:07:41.94 Yvnw5Kb3.net
では、「円分拡大=クンマー拡大のa=1のとき」の説明できますかね？
できるわけない。間違ってるからｗｗ
908:わかるすうがく
22/12/17 14:57:14.50 vkjQzDmx.net
はい すうがくのせんせいですよ
すうがくでおちこぼれたみなさん おげんきですか？
きょうも たのしくすうがくをまなびましょうね
>>818
おやおや、雑談クンは、まだ、>>793のQ2に答えてないんだね
うーん、それじゃ、円分拡大がわからないままだよ
さて、Q2について
X^4+X^3+X^2+X+1=(X-ζ)(X-ζ^2)(X-ζ^3)(X-ζ^4)
だね。
で、雑談クンもしかして
f(ζ)=ζ^2
f(ζ^2)=ζ^3
f(ζ^3)=ζ^4
で、いける、とおもってるでしょｗ
でも、これがダメなんだなあ
だって
f(ζ^4)＝ζ^5=１
で、ζにならない！
f(x)=ζになるxは1だけど 1は根じゃない！
はい、ここで、雑談クンの
「円分方程式の解のガロア群による作用は
x^5-2=0の解のガロア群による作用と全く同じ」
というナイーブな直感が、誤っていることが明確に示されました！
ということで、核心の問いに戻るよ
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4 の４つを巡る関数g(x)ってなんですか？
もう、7次の場合は、石井本のp412-421に書いてあるって
>>808で云ってるじゃん
それを、5次に置き換えるだけだって
「簡単なんだよ、こんなの」
って涼宮ハルヒの何とかのEDみたいなこといっちゃった
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
909:わかるすうがく
22/12/17 16:08:12.10 vkjQzDmx.net
さて、2^xを5進法で表すことを考えてみようか
１→２→４ までは10進法と同じ 問題はこの後
8は5進法で表すと・・・13だね そして
16は5進法で表すと・・・31
1の位に着目すると、
1→２→4→3→1
ついでにいうと、3^xを5進法で表しても
3^2=9=14(5進法)
3^3=27=102(5進法)
3^4=81=311(5進法)
１の位に着目すると
1→3→4→2→1
もういい加減に気づいてくんないかな 雑談クンｗ
910:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 16:11:56.28 EhW0UvWQ.net
>>574 追加
(引用開始)
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
(引用終り)
戻る
１）元々は、>>417より
「種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。」
だった。よって、上記の5次方程式はすべて実根だ
２）全て実根だから、 上記の最小分解体⊂Q(a1,a2,a3,a4,a5)*)⊂R(実数)
*)注 形式的に5実根添加した拡大体
３）よって、最小分解体には 1の5乗根の原始根ζ5は含まれないが、
しかし、クンマー拡大で何かの5乗根a^(1/5)が含まれるべき
これを否定する人がいるんだｗ
４）a^(1/5)の存在を示すには、cos(2kπ/11)が何かの5乗根a^(1/5)を含む表式で表されれば分かる
（つまり、1/cos(2kπ/11)も、何かの5乗根a^(1/5)を含む表式で表される）
５）下記に、cos(2kπ/11)の表式があって、事実として5乗根が使われている
（面倒なので、式は一部のみ転写した。原文ご参照）
以上
(参考)
URLﾘﾝｸ(mathlog.info)
Mathlog
子葉
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
目次
はじめに
解説
nが合成数のとき
n=3,5,7のとき
n=11のとき
n=13のとき
n=17のとき
n=19のとき
原理的なところ
おわりに
参考文献
はじめに
n=p>=7 シリーズ
cos(2π/11)=1/10(?1+(α+,+)^1/5 +(α-,+)^1/5+(α-,-)^1/5?+(α+,-)^1/5
解説
n=11のとき
略
(引用終り)
以上
911:わかるすうがく
22/12/17 16:16:35.60 vkjQzDmx.net
ええい、もうガマンできん
>>793のQ2の答え書くね
X^4+X^3+X^2+X+1=(X-ζ^2)(X-ζ^4)(X-ζ^3)(X-ζ) と並べなおして
g(ζ)=ζ^2
g(ζ^2)=ζ^4
g(ζ^4)=ζ^8=ζ^3
g(ζ^8)=ζ^16=ζ
つまりg(x)=x^2
ほら！ f(x)=x*ζ と全然違うだろ？
x^2は有理関数（そもそも多項式！）だから
Qに新たな元を追加する必要がない！
いかなる円分拡大も、ガロア群の作用はx^nで実現できる
(どんなnでもいいわけではないけど、要件を満たすｎは存在する）
ああ、円分体って・・・キモチイイ！
912:わかるすうがく
22/12/17 16:36:15.81 vkjQzDmx.net
さて、円分方程式Φ5を解くのに、
ラグランジュの分解式
L=ζ+iζ^2-ζ^4-iζ^3
を考えれば
(x-L)(x-iL)(x+L)(x-iL) は、
x^4-a という形にできて
a^(1/4)からLが得られ
同様の４つのラグランジュの分解式
a^(1/4),b^(1/4),c^(1/4),d^(1/4)の線型結合
でζが得られるって寸法なわけだが
Ｑ(ζ)⊂Ｑ(i,a^(1/4),･･･,d^(1/4)) であって、
Ｑ(ζ)＝Ｑ(i,a^(1/4),･･･,d^(1/4)) ではない
Q(ζ)はｉも a^(1/4) も・・・d^(1/4) も、要素としてもってないから！
913:わかるすうがく
22/12/17 16:48:28.50 vkjQzDmx.net
>>832
>(参考)
雑談クン、中身全く読んでないでしょ
それじゃ、いつまでたっても、数学は全く理解できないよ
まず、「頂を踏む」のp412~p421 合計10ページを読もう
ここ読めば、１のベキ根の解き方
（もっといえばラグランジュの分解式の使い方）
が分かる
雑談クン、1度も読んでないでしょ
まず、1度読んで！
914:わかるすうがく
22/12/17 18:07:51.40 vkjQzDmx.net
>>832
ζが1の11乗根でも834と同じ手が使える
1→2→4→8→5→10→9→7→3→6→1
ωを1の原始10乗根として
ラグランジュの分解式は以下の通り
ζ+ωζ^2+ω^2ζ^4+ω^3ζ^8+ω^4ζ^5-ζ^10-ωζ^9-ω^2ζ^7-ω^3ζ^3-ω^4ζ^6
これにωを掛けると名目上10通り、実質は5通り（ω^5＝-1だから）
そういう意味でいえば
1の5乗根のラグランジュの分解式は2通り で 追加するのは平方根
1の7乗根のラグランジュの分解式は3通り で 追加するのは３乗根
1の11乗根のラグランジュの分解式は5通り で 追加するのは５乗根
ってことか
915:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 18:14:33.04 EhW0UvWQ.net
>>832 追加
もっと戻ると
１）
>>371-372より
(引用開始)
可解な既約5次方程式の代数解法には
必ず5乗根が必要なことを示せ。
注意：5乗根の中身が基礎体に含まれるとは限らない。
例:
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
はQ上可解な既約5次方程式だが
5乗根の中身は、Q(ζ_5)の数になる。
（ζ_5は、1の原始5乗根。）
(引用終り)
だった
２）この問いそのものが、クンマー拡大＆クンマー理論でしょ？
３）なんで>>832
「既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる」(私の発言)
vs
「それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」」（あなた）
などと、おかしな発言するのかね？
４）あなたは、根本的にというか
結構初歩的なところで
ガロア理論を、なにか勘違いしているんじゃないの？
916:１３２人目の素数さん
22/12/17 18:21:10.50 vkjQzDmx.net
>>836
＞これにωを掛けると名目上10通り、実質は5通り（ω^5＝-1だから）
＞そういう意味でいえば
＞1の5乗根のラグランジュの分解式は2通り
＞1の7乗根のラグランジュの分解式は3通り
＞1の11乗根のラグランジュの分解式は5通り
いや、そういう�
917:搴�ではないな
918:わかるすうがく
22/12/17 18:28:38.53 vkjQzDmx.net
>>837
＞「既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、
＞ 方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる」(雑談クンの発言)
＞ vs
＞「それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
＞ Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、
＞ かつa^(1/5)が含まれるなら
＞ a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。
＞ （ガロア拡大の定義から。）
＞ これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
＞ したがって、a^(1/5)は「含まれない」」（名無し2号の出木杉クンの発言）
正しいのは出木杉クン
根の式には「1の5乗根」や「ある数aの5乗根」は現れます
し・か・し、
「だ・か・ら
既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)に
１の5乗根も方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)も含まれる」
とはいえません
だって根が全部実数の、既約で可解な5次方程式が実際存在しますから
残念！！！
919:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 18:40:50.16 EhW0UvWQ.net
>>779 補足
> 2）というか、クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
まあ、例えて言えば
特殊相対性理論：円分拡大
一般相対性理論：クンマー拡大
という感じかな
いま、aが複雑な計算式で、a＝1と気づかずに、クンマー拡大・クンマー理論で考えて結果を出した
その後、a＝1と気づいた
そのとき、最初のクンマー拡大・クンマー理論で考えて出した結果は、全く無駄か？
そうではないよね
途中の計算に間違いがなければ、得られた結果はそれなりに正しいはず
勿論、a＝1と気づいていたら
もっと簡単だったろうが
そして、両者を統合するのが、ガロア理論だろう
ガロア理論自身は、べき根拡大に限らない
楕円モジュラー関数とか超幾何級数とか
べき根以外の関数も使えるよ
どこでどう迷い道に入ったか知らないが
”a^(1/5)は「含まれない」”ね >>837
早く、自分の間違いに気づくのが いいだろうよ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数方程式
五次方程式
楕円モジュラー関数により 五次方程式の公式が得られる。
超幾何級数を用いた解の公式は、クラインにより示された。
920:１３２人目の素数さん
22/12/17 19:06:32.00 Yvnw5Kb3.net
>>837
>あなたは、根本的にというか
>結構初歩的なところで
>ガロア理論を、なにか勘違いしているんじゃないの？
それって、ガロア拡大が何かも分かってない貴方 1=雑談じゃん。
・まず、Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q（既約方程式の全ての根を添加した体）
はガロア拡大である。
・Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Kとおくと、Kの数がQ上みたす既約方程式の根は
すべてKに含まれる。（ガロア拡大の性質。）
・もしa^{1/5}∈Kならば、a^{1/5}がQ上みたす方程式
x^5-a=0の根はすべてKに含まれなければならない。
・Kが実の体であれば矛盾、したがって、a^{1/5}\not∈K
という簡単なロジックですよ。
921:１３２人目の素数さん
22/12/17 19:12:52.09 Yvnw5Kb3.net
数学において、ガロア拡大（ガロアかくだい、英: Galois extension）
は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。
正規拡大
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
同値な性質、および例
・L に根をもつような K[X] のすべての既約多項式は
L に根をすべてもつ。すなわち、L[X] において一次式に分解する。
（多項式は L で 分解する (split) と言う。）
はい、1=雑談はガロア拡大の性質さえ分かってませんでした。
まったく驚かないけど。
922:１３２人目の素数さん
22/12/17 19:29:41.69 Yvnw5Kb3.net
正直1=雑談にガロア理論は無理ｗ
一番体感できる方法は
3次方程式のカルダノの解法で得られる3つの根から
加減乗除で3乗根の部分を取り出せないことを
泥臭い計算で確かめること。
それが工学部卒、数学実質高卒の
1=雑談が納得する方法。
923:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 20:17:19.69 EhW0UvWQ.net
>>839
> 既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)に
> １の5乗根も方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)も含まれる」
> とはいえません
> だって根が全部実数の、既約で可解な5次方程式が実際存在しますから
１）数学の議論になってないね
根が全部実数になることと、無理数a^(1/5)が含まれることは両立するよ
その実例が、そもそもの方程式に使われた、1/cos(2kπ/11)やcos(2kπ/11)です>>832
２）なぜ5乗根が必要かも説明できるし、すでに解答済み
それが>>381で
「１）ガロア第一論文の
924:最後にあるように、 既約5次方程式で可解な場合には、方程式の群は位数20の線形群になる （アルティン第3章3節、Coxガロア理論下、彌永 ガロア本 第二部などご参照） ２）既約5次方程式で、重根を持たないとする（これ重要） 根 a1,a2,a3,a4,a5 の５つは、相異なるので、 巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる ３）ガロア第一論文の最後にあるように、方程式の群の可解列で、最後{e}(下記では{1}) の一つ前が、位数5の巡回群になる。これに対応するのが、5乗根の添加で 例えば x^5=aで ここから、1の5乗根が出る これで、上記への回答はほぼ終わりだ ４）さて、追加で下記三次方程式における還元不能問題がある （還元不能問題とは、下記のあるように全部実根でも、途中で虚数を必要とすることをいう） ５）5次方程式を含む一般の方程式の還元不能問題については Coxガロア理論下 第III部 第8章 8.6節に詳しい ６）例えば、 命題8.6.4： M⊂Lはガロア拡大で、L⊂Rをみたし、 ある奇素数pに対して[L:M]=pをみたすと仮定する。 このときLはMの実べき根拡大の中に入り得ない 証明(略)（Coxを見よ） この命題は、不還元の場合の解析において鍵となる道具であると書かれている ７）上記の「必ず5乗根が必要」については、これで分かる なお、詳しく書き出せば切りが無い（実はめんどくさい）ので、この程度で終わる」 です つづく
925:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 20:20:08.41 EhW0UvWQ.net
>>844
つづき
３）補足すると、既約で可解な5次方程式のガロア群は、
”方程式の群は位数20の線形群になる”の部分で
細かく書くと、位数20のフロベニウス群F20⊃位数10の二面体群D5⊃位数5の巡回群C5
（念のため書き直すが F20⊃D5⊃C5）
この順に正規部分群の列を成す（可解列でもある）
４）対応する拡大体は、基礎体をQ(ζ)（＝1のべき根が必要なだけ添加されているQの拡大体）
で、Q(ζ)(√a)⊂Q(ζ)(√a)(√b)⊂Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)となる
（注：Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)は、Q(ζ)に順に(√a)と(√b)と(c^1/5)とを添加した拡大体。a,b,cは適当な定数）
５）上記の３）と４）の群vs体の対応が、ガロアの基本定理であり
ガロアの第一論文にもある通りです
６）なので、5乗根c^1/5が必要なことは、ガロア理論の必然の帰結で、
ガロアの第一論文にもある通りです
以上
926:わかるすうがく
22/12/17 20:47:23.19 vkjQzDmx.net
>>840
＞まあ、例えて言えば
＞特殊相対性理論：円分拡大
＞一般相対性理論：クンマー拡大
＞という感じかな
その発言、中二病って感じかな
＞クンマー拡大・クンマー理論で考えて
＞結果を出した
＞クンマー拡大・クンマー理論で考えて
＞出した結果は、全く無駄か？
＞そうではないよね
クマクマいってるけど
実際、使ってんのは
ラグランジュの分解式（リゾルベント）
だけど そこ、分かってる？
＞a＝1と気づいていたら
a=1以前のところが分かってないね
＞そして、両者を統合するのが、ガロア理論だろう
＞ガロア理論自身は、べき根拡大に限らない
＞楕円モジュラー関数とか超幾何級数とか
＞べき根以外の関数も使えるよ
モジュラ関数ｊがーとか
楕円関数の特殊値がーとか
なんとかいう前に
三角関数から理解しなよ
１のベキ根っていうけど
円の等分点だから
＞どこでどう迷い道に入ったか知らないが
＞”a^(1/5)は「含まれない」”ね
含まれないよ
含まれると思ってるなら間違ってるから
＞早く、自分の間違いに気づくのが いいだろうよ
その言葉は鏡の前でいったほうがいいよ 雑談クン
927:１３２人目の素数さん
22/12/17 20:49:39.42 Yvnw5Kb3.net
「方程式のべき根解法」に焦点を当てた記述の場合
「基礎体には適宜必要な1のべき根を添加しておく」
としてあることがある。
この場合、確かに解法にあらわれるべき根は分解体に含まれる。
しかしそれはガロア拡大の必要条件ではない。
たとえばQ(ζ_7)/Q はガロア拡大。
そして、QにもQ(ζ_7)にもω=ζ_3は含まれないのだから
ζ_7をべき根表示したときの3乗根はQ(ζ_7)には含まれない。
それだけの話なのだが、斜め読み・コピペバカの1=雑談
にはそのことが分からない。
928:わかるすうがく
22/12/17 20:52:33.45
929:vkjQzDmx.net
930:１３２人目の素数さん
22/12/17 21:03:50.45 Yvnw5Kb3.net
無理数a^(1/5)が実数だとしても、「共役」
としてa^(1/5)ζ_5が生じるのだから、それらの割り算で
ζ_5が生じる。したがって、「Q上のガロア拡大である」
かつ「ζ_5を含まない」いかなる代数体Kにも
a^(1/5)は「含まれない。」
（>>842の正規拡大の性質参照のこと）
931:現代数学の系譜 雑談
22/12/17 23:34:02.06 EhW0UvWQ.net
>>840 追加
>いま、aが複雑な計算式で、a＝1と気づかずに、クンマー拡大・クンマー理論で考えて結果を出した
>その後、a＝1と気づいた
>そのとき、最初のクンマー拡大・クンマー理論で考えて出した結果は、全く無駄か？
>そうではないよね
>途中の計算に間違いがなければ、得られた結果はそれなりに正しいはず
例を追加しよう
下記の三次方程式なり、四次方程式の解の公式で、
当然クンマー拡大を使っているのだが
例えば、下記の3乗根3√ξ2を使った解の公式で
ξ2＝1のとき、解の公式が不成立になるのではなく、
そのまま解の公式が使えるってこと
つまり、クンマー拡大におけるa＝1は、特別な値ではあるが、
特異点のように特別扱いする必要がないってことだ
（解析関数の特異点は、特別扱いが必要なのだが）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
三次方程式
カルダノの公式
Q(3√ξ1, 3√ξ2, ω) の中で解くことができる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
四次方程式
解の公式（全文）
解の公式は以下の通りである：
(引用終り)
以上
932:１３２人目の素数さん
22/12/17 23:51:05.01 dYzV3NkX.net
元の体Qに対して定義上矛盾したxで拡張した拡大体(x)は定義できますか?
方程式の実数に虚数で拡張したら複素数の解を新たに定義する
i=sqr(-1)
と定義したものを拡大体(i)は{sqr(x)|x>=0に矛盾}定義できますか?
仮に定義できれば拡大体(i)の計算法則の定義の{sqr(x)|x>=0}はどう扱えばいいですか?
高校数学レベルの初学者で申し訳ない...
933:わかるすうがく
22/12/18 00:26:09.74 HDZ6pZhB.net
>>845
＞既約で可解な5次方程式のガロア群は、
＞位数20のフロベニウス群F20⊃位数10の二面体群D5⊃位数5の巡回群C5
＞（念のため書き直すが F20⊃D5⊃C5）
＞この順に正規部分群の列を成す（可解列でもある）
で、以下の記述だけど
＞対応する拡大体は、
＞基礎体をQ(ζ)（＝1のべき根が必要なだけ添加されているQの拡大体）
＞で、Q(ζ)(√a)⊂Q(ζ)(√a)(√b)⊂Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)となる
＞（注：Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)は、Q(ζ)に順に(√a)と(√b)と(c^1/5)とを添加した拡大体。a,b,cは適当な定数）
基礎体をQとしたら、どうなる？ 例えば
Q(√a)⊂Q(√a)(√b)⊂Q(√a)(√b)(c^1/5)
とできる？
自分で考えてみ
（ヒント １の5乗根をζとしたとき、Q(ζ)をQ(√a)(√b)で表せる？ そのときのa,bは？）
934:わかるすうがく
22/12/18 00:53:57.42 HDZ6pZhB.net
>>843
>一番体感できる方法は
>3次方程式のカルダノの解法で得られる3つの根から
>加減乗除で3乗根の部分を取り出せないことを
>泥臭い計算で確かめること。
>それが工学部卒、数学実質高卒の1=雑談が納得する方法。
さすが、出木杉クン いい提案ですね
いい例がありますよ 雑談クンが>>832でドヤ顔で示したものですが
URLﾘﾝｸ(mathlog.info)
2Cos(2π/7)は、
3次方程式 x^3+x^2-2x-1=0の根の一つで
以下の式で表されます
1/3(-1+((7+21√3i)/2)^(1/3)+((7-21√3i)/2)^(1/3))
で、当然ながらこれは実数です
他の２根は上記の根からCosの2倍角、4倍角の式（当然整数多項式）で求められます
で、これら３つの実数を有理数体Qに追加した体の演算で、
どうやって、複素数である
((7+21√3i)/2)^(1/3) と ((7-21√3i)/2)^(1/3))
をひねくりだすのか？
まあ、無理ですね
Qに実根３つを添加した体は、実数体の部分体ですから
（また、「これが還元不能の例だ！」と叫びそうですけど･･･
どう言い訳しても、間違ったのは雑談クンであって
出木杉クンではないですね 先生が保証します）
工学部卒でもわかることですが、
雑談クンは実は工学部行ってないんじゃないかな？
工業高校を1年の夏で中退したって聞いてますよ
935:わかるすうがく
22/12/18 00:58:32.30 HDZ6pZhB.net
>>851
ちょっと質問の意味がわからないですが、
例えばQ上では、x^2+1=0の根も、x^2-2=0の根も存在しませんが
根をQ上に添加した体は考えられますよ
936:わかるすうがく
22/12/18 01:15:42.39 HDZ6pZhB.net
>>850
＞カルダノの公式
＞Q(ξ1^(1/3), ξ2^(1/3), ω) の中で解くことができる
853の x^3+x^2-2x-1=0 で考えてみましょう
上記の方程式は、確かに
ξ1=(7+21√3i)/2
ξ2=(7-21√3i)/2
とすれば、Q(ξ1^(1/3), ξ2^(1/3), ω) の中で解けますね
一方、
Q(1/3(-1+((7+21√3i)/2)^(1/3)+((7-21√3i)/2)^(1/3)))は
Q(ξ1^(1/3), ξ2^(1/3), ω)とは一致しません（上が下の部分体です）
「解く」という観点では、ωを添加した体で、3乗根を求めて
その線型結合として解を表してますね
ただし、線型結合からどう頑張っても元の3乗根は取り出せないんですよ
＞三次方程式の解の公式で、
＞当然クンマー拡大を使っているのだが
＞例えば、3乗根3√ξ2を使った解の公式で ξ2＝1のとき、
＞解の公式が不成立になるのではなく、
＞そのまま解の公式が使えるってこと
ξ1、ξ2が、1どころか実数じゃなくてもいいんですよ
でも1/3(-1+ξ1^(1/3)+ξ2^(1/3))だけから、体の計算だけで
どう頑張っても ξ1^(1/3)、ξ2^(1/3) は取り出せない
そういうことです
わかりましたか？ 雑談クン
937:１３２人目の素数さん
22/12/18 05:17:02.66 PXeqpDqi.net
>>855
線形結合から元の3乗根を取り出すには、その数のラグランジュリゾルベントを取ればいい
ラグランジュリゾルベントを作るにはζ_3が必要。
だから、体にζ_3が含まれてるか否かがクリティカルなんですね。
で、なんで線形結合のラグランジュリゾルベントを取ると
べき根が成分ごとに出て来るかというと、それが「直交関係」なわけです。
938:わかるすうがく
22/12/18 06:11:02.84 HDZ6pZhB.net
>>856
出木杉クンは、さすがにいつも的確ですな
＞なんで線形結合のラグランジュリゾルベントを取ると
＞べき根が成分ごとに出て来るかというと、それが「直交関係」なわけです。
いま、ふと思ったんですが、
例えば以下って特殊なヴァンデルモンド行列ですよね？
１ １ １
１ ω ω＾２
１ ω＾２ ω
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ああっ、またエクスタシーがっ！
939:１３２人目の素数さん
22/12/18 06:48:34.99 PXeqpDqi.net
>>857
さすがに鋭いですね。
確かにそういう話もあったように思います。
でもなぜそうなのかちょっと思い出せない...
940:わかるすうがく
22/12/18 06:58:31.70 HDZ6pZhB.net
>>858
ま、１，ω、ω＾２が異なる数なら
ヴァンデルモンド行列は正則行列になるから
線形方程式系は唯一の解を持ちますよね
ということで、正則行列は大事だぞ 雑談クン！（ビシッ）
941:わかるすうがく
22/12/18 07:03:35.06 HDZ6pZhB.net
今日の私
人__人__人__人__人__人__人__人__人__人__人
Σ て
Σ びっくりするほどｳﾞｧﾝﾃﾞﾙﾓﾝﾄﾞ！ て人__人_
Σ びっくりするほどｳﾞｧﾝﾃﾞﾙﾓﾝﾄﾞ！ て
⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ) て
Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒Ｙ⌒
＿_＿＿＿＿＿
＿＿ ヽ(゜∀゜）ノ
＼＿〃´￣￣ ヽ..ヘ( )ミ
＼,.-～´￣￣ ω > （∀゜ ）ノ
＼∫＼ _,. - 、_,. - 、 ＼ ( ヘ)
＼ ＼＿＿＿＿＿＿ _＼<
＼ ￣￣￣￣￣￣￣
＼＿＿＿＿＿＿＿
942:わかるすうがく
22/12/18 09:00:11.57 HDZ6pZhB.net
さて、10年前のスレに戻ろうか
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
10年前の雑談クンは、ガロア分解式（リゾルベント）の虜だったようだ
ただ、これをどう扱えば代数的に解けるのか、理解してなかった
群論の言葉を使えば、
置換を、「正規部分群の同値類」でまとめることで
巡回置換を剰余群としてくくり出す操作を反復して単位群まで縮小できれば、
ガロア分解式から各段階の巡回置換に関するラグランジュ分解式が構成でき、
これを反復適用することで解が求められる
（実際、３次、４次の代数方程式の解法はその形で理解できる）
だから、ガロア分解式はラグランジュ分解式の子孫である
しかし、残念ながら、５次以上の対称群は、交代群までは潰せるけど
交代群は自身と単位群以外の正規部分群を持たないから、
「巡回群を剰余群としてくくり出す作戦」が使えない
これが結末である
Ｑ．方程式を代数的に解く方法とは何か？
Ａ．ラグランジュ分解式によって、ベキ根と線型代数で解く
謎は解けたよ 雑談クン（シャーロック・ホームズかいｗ）