22/12/12 18:25:34.28 Zf32nHrU.net
>>689 追加
>再度問う
>「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？」
１）下記、元吉文男氏 巡回群をガロア群に持つ 5 次方程式の判別とその解法は、旧ガロアすれでも取り上げたことがある
ここで、”素数次既約方程式が代数的に可解であることの必要十分条件は、その任意の 2 根によって根が分離できることである”
とあります。ガロア第一論文の最後の定理ですね。
だから、可解な既約5次方程式（正規かつ分離）の最小分解体は、基礎体Qとして、Q(αi,αj) i≠j i,J = 1～5
つまり、5根全部を必要としないってことですね。うっかりしていました。昨晩気づいたがｗ
２）あと、下記「五次方程式の解の公式の存在条件」(長野県木曽青峰高校)
これ、力作ですね
ちょっと足せば、どこぞの大学の卒業研究になりそう
３）両者に一貫しているのは、5乗根の必要性です。当たり前ですが
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録
第 722 巻 1990 年 17-20
巡回群をガロア群に持つ 5 次方程式の判別とその解法
元吉文男 (Fumio Motoyoshi)
(電子技術総合研究所)
表題は正確には、 「$Q$上の 5 次既約多項式$f\in Q[x]$ の$Q$上のガロア群が巡回群であることの判定と、 そ
の場合に$f$を代数的に解く方法の数式処理による実現」である。以下の方法は 5 次に限らず素数次の場
合に適用できるが、実際に計算できるかどうかでは、せいぜい 7 次までであると考える。
\S 4. 5 次既約方程式の代数的可解性の判定
素数次既約方程式が代数的に可解であることの必要十分条件は、その任意の 2 根によって根が分離で
きることであるので、 これを利用して可解性の判定を行なうことができる。
\S 1 において因数分解を行なった際に、$r_{i}(x)$ のうちに次数が 5 次より大きいものがあるときには、ガ
ロア群が巡回群ではなかったが、 その式は Q(\alpha ) に f の\alpha 以外の根を添加した体の最小多項式になってい
る。 そこで、$f$の因数分解で分離できなかった式を、 この新しい体で因数分解してみて、 すべての根が . 分離できれば、$f$は代数的に可解であることがわかる。
つづく