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つづき
(参考)
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Period-Mathematics
2019-05-04
巡回多項式を代数的に解く
巡回多項式とは簡単に言えば一つの根をもって他の根をその多項式で表せるような特別な多項式のことである。
略
で詳しく取り上げているが、そこの主定理によると既約多項式に対して、それが巡回多項式であることとその*1ガロア群が巡回群であることが同値なのであった。本稿はこの記事の証明パートを除いた部分は既知とした上で書いている。
以下ζnで1の原始n乗根を表すものとし、係数体は既にこれを加えたQ(ζn)で考えるものとする（解の巡回の記事のQを全てQ(ζn)で置き換えても全く同じ議論が成立することに注意されたい*2。しかしそうした場合例えば、本稿の例は該当しないが、巡回関数の係数にζnが出てくる可能性もある）。
解法の解説
PDFで取り上げられている巡回多項式の例*3、f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1 を考えていこう。これを代数的に解きたいとする。以下、根x=αを一つ固定する。まずこれは巡回関数として4つ候補があり、どれを選んでもよいのであった。よってここではPDFでもそうしているように、比較的単純なp(x)=x2-2を選ぶことにしよう。またガロア群は巡回群でGal(Lf/Q(ζ5))={idLf,σ,?,σ4}と書くことにする（ここでσ5=idLfである）。ただし、ここでσはσk(α)=p(k)(α)を満たすように取るものとする（これはのちの計算パートのところで、σを（計算可能な対象）p(x)=x2-2として扱うためである。以下のこの節の議論ではこの関係式は使わない）。
さて、方程式論において解を代数的に求める際にとても重要な役割を果たすのが以下に示す（ラグランジュの）リゾルベント（分解式）である。以下k=0,1,2,3,4とする。
r(α,k)=α+ζk5σ(α)+ζ2k5σ2(α)+ζ3k5σ3(α)+ζ4k5σ4(α)
これは解と1の原始累乗根のべきの線型結合で表される式で、非常に巧くできている。
つづく