22/12/10 21:46:08.47 DV2XUKqW.net
こういう無神経さが
数学科のメシを食ったことのあるちゃねらーたちを
ものすごくイラつかせることに気づいて
もう少し慎重にレスするようになれば
このスレも少しは落ち着くと思うのだが
651:１３２人目の素数さん
22/12/10 21:58:56.58 meH3MbbN.net
>>598
ま、でも彼も一つだけいい事をしましたよ
方程式論で初歩的な誤りを書き散らかしたせいで
初歩的かつ肝心なトラップを仕掛けてくれる人が出てきて
そのおかげで巡回多項式で重要なのは解の巡回関数と
ラグランジュの分解式（リゾルベント）だって
私に気づかせてくれたことです
ま、肝心の彼は未だに気づいてないみたいだけど
いつか気づけるといいな（本心から）
いやぁ古典って大事だな
現代的なことばっかりやってると
動機が分からなくなるんでね
652:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 22:17:25.55 898jbfXT.net
>>573 補足
wikipediaに下記があるので貼るよ
・ラグランジュのリゾルベントでは、解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する
・1861年にアーサー・ケイリーが与えたリゾルベントの6次方程式を解くことに帰着する方法が存在し、こちらが優れている
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
五次方程式（英語：quintic equation）とは、次数が5であるような代数方程式のこと。
限定的な代数的解法
一般式が代数的に解けないということは、上記に示したとおりであるが、特定の五次方程式がどのような場合�
653:ﾉ解けるかは分かっている。 ラグランジュが3次、4次で用いた手法をそのまま持ち込んだ場合、 x=(α1+ζα2+ζ^2α3+ζ^3α4+ζ^4α5)^5 (ただし ζ は1の原始5乗根) の置換を考察することになるが、この場合5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する。 そこでより位数の低い置換を与えるような式を考察する必要があるが、これは1861年にアーサー・ケイリーが与えたものが最良となる。 x=(α1α2+α2α3+α3α4+α4α5+α5α1-α1α3-α2α4-α3α5-α4α1-α5α2)^2 この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解法同様にして元の方程式の根を得る。これが五次方程式が代数的に解ける必要十分条件である。
654:１３２人目の素数さん
22/12/10 23:22:51.43 dZ9h00o/.net
>>594
>「”1の原始5乗根”の必要性 ＝不還元の話 だ」と諭してやった”
不還元の話って、実の根に対してべき根の中身が実数に出来るか？て話でしょ。
Q(ζ_5)は実2次体を含んでいる。
”1の原始5乗根”の必要性とは違うと思う。
還元可能な場合だって、ガロア群を作用させるとζ_5が出て来るんだよ。
もしかして知らなかった？
この事実からしても「1の原始5乗根”の必要性 ≠不還元の話」だね。
1はテキストを斜め読みして、関係ありそうなことをピックアップするというアホなことやってるから、おかしな出力になる。
「不還元の話」は関係ありそうだと思って書いたんだろうが、本質に関わらない蛇足だね。
655:１３２人目の素数さん
22/12/10 23:26:06.06 sxpPJ6rb.net
整数（有理）係数の５次方程式が冪根拡大により解けるための必要十分条件は、
藤原松三郎の代数学の本にも出ている。係数から計算される楕円ｊの値が
有理数で特定のパターンの時にだけ解ける。
656:１３２人目の素数さん
22/12/11 02:34:34.65 lnOtbAAb.net
代数的に解ける５次方程式は、５次方程式界のエリートだよな
ほとんどすべての５次方程式は、代数的には解けない平民
657:１３２人目の素数さん
22/12/11 02:49:48.14 lnOtbAAb.net
>>601
まったくごもっとも
だいたいx^5-1って、既約じゃないじゃんｗ
(x^5-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
だから４次方程式の根じゃん
それ解くのに５乗根いる？
x^4+x^3+x^2+x+1のガロア群は位数４の巡回群で
これは位数２の巡回群を正規部分群として持つ
その剰余群も位数２の巡回群
だから平方根だけで解けちゃう
ま、この事実だけなら高校生でも知ってる常識
一般に、x^n-1は既約じゃないし
すくなくともx-1で割れるから
出てくるのは最大でもn-1次の方程式で
そのガロア群は位数n-1の巡回群
しかもnが2以上の素数pなら
p-1は2で割れるんで
最大で(p-1)/2乗根使えば解ける
7なら3乗根、11なら5乗根、･･･
658:１３２人目の素数さん
22/12/11 03:05:35.42 lnOtbAAb.net
2p+1が素数の場合、
(x^(2p+1)-1)/(x-1) をx^pで割って
(x+1/x)=t と置きなおして得られる
p次方程式のガロア群は、位数pの巡回群
これ、根は全部実根
もちろん、ラグランジュのリゾルベントで解ける
ああ、気持ちええ･･･
659:１３２人目の素数さん
22/12/11 07:51:46.98 lnOtbAAb.net
>>600
質問
「ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式が
ケイリーのリゾルベントで解けるんですか？
Yes の場合、具体的に方程式を示すこと」
660:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:02:41.17 8wm/VM70.net
体上で既約な５次方程式のガロア群として可解なものは、
位数が５のもの１０のもの２０のものだけでOKだっけ？
１５のものはなかったかな？
661:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:12:12.89 lnOtbAAb.net
>>607
位数20の群は位数5の巡回群と位数4の巡回群の半直積
で、位数4の巡回群の正規部分群は単位群と位数2の巡回群しかないから
位数5と位数10しかない、ということかと
662:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:14:19.92 lnOtbAAb.net
>>607
まあ、単純に15は20の約数じゃないから
位数20の群の正規部分群にはならない
っていうほうが簡単でしたね
663:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:26:37.97 lnOtbAAb.net
>>601
＞1はテキストを斜め読みして、
＞関係ありそうなことをピックアップするから、
＞おかしな出力になる。
根にζ5がなく、しかも根の代数演算でζ5が出てこないことも気づいてるようです
しかしそこで「はいってませんね」と断定できず
なんかしらんけど「不還元」という言葉で誤魔化して
「最小分解体には入ってないが、ガロア拡大体には入ってる（筈）」（キリッ）
とかいっちゃう
しかもあやふやなら質問として書けばいいのに、勢いで断言しちゃう
アメリカとの戦争に突入した日本軍みたいな精神構造
それじゃ連戦連敗で敗北しますね
664:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 08:28:30.19 KrqrphNa.net
>>606
再録
>>600
質問
「ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式が
ケイリーのリゾルベントで解けるんですか？
Yes の場合、具体的に方程式を示すこと」
(引用終り)
１）ラグランジュのリゾルベントと、ケイリーのリゾルベントとは、原理的に同等
２）ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式は、ケイリーのリゾルベントでも解けない
３）但し、>>600に引用しているように、
目的によって、数あるリゾルベントでも向き不向きがあるってことです
４）方程式の可解性を説明するには（あるいは考えるには）、ラグランジュのリゾルベントが優れている
しかし、五次方程式を具体的に考察するには、ケイリーのリゾルベントが向いているってことです
665:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:31:42.65 lnOtbAAb.net
根本的にわかってないな、と感じるのは、いつまでもしつこく
最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いてる点
追加するのはたかだか２個でいいんですよ
位数５の巡回群に対応するものと、位数４もしくは２の巡回群に対応するもの
わかってるなら、可解と条件つけてるのに、漫然と５個全部書いたりしない
666:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:33:36.76 lnOtbAAb.net
>>611
＞ラグランジュのリゾルベントと、ケイリーのリゾルベントとは、原理的に同等
＞ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式は、ケイリーのリゾルベントでも解けない
でしょ？
じゃ意味ないっす
（完）
667:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:42:10.44 lnOtbAAb.net
>>611
＞方程式の可解性を説明するには、ラグランジュのリゾルベントが優れている
なら、それで終わりですね
＞しかし、五次方程式を具体的に考察するには、
＞ケイリーのリゾルベントが向いているってことです
それは考察の内容によるので、それが示されない限り無意味ですね
たとえば
「線型方程式系の解や逆行列を（クラメルの）公式として示すには行列式が必要」
というのは理解しますが
「線型方程式系の解や逆行列を求めるなら行列の階段化のほうが早い」
というのも事実です
率直にいえば、ラグランジュのリゾルベントを使えばいい、と理解すれば
別に公式は要りません、っていうか導けます
逆に公式だけ示されても「こんなんどうやって思いついた？」って思うだけ
公式を漫然と覚えるのは数学でもなんでもないですね
668:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:18:29.16 KrqrphNa.net
>>597
再録
>>589
＞２項方程式 x^5=a (a^(1/5)は無理数)で、
＞ある無理数a^(1/5)を、Q(a1,a2,a3,a4,a5)に含んでいても
＞それで、なんの不思議もないでしょ
2項方程式のガロア群は位数5の巡回群ではなくて位数20の群ですね
ガロア群が位数5の巡回群になる方程式もあります
そのような方程式の根は全て実根ですが、
根を求める式には1の５乗根は現れます
しかし、１の5乗根は最小分解体に現れません
どれか1つ根が求まれば、そこから有理関数である巡回関数で
他の4つの根が生成されるので、Qに根の1つを追加するだけで
最小分解体（もちろんガロア拡大体）ができますが、
どの根も実根なので、1以外の1の5乗根はどの4つとも入りません
(引用終り)
１）まず、方程式の可解性を論じるとき、二つの立場がある
簡単に基礎体Qで考える
a)基礎体Qをそのまま使う
b)基礎体Qに1のm乗根を含んだ体を使う
２）実際、彌永本 ガロアの時代・ガロアの数学 第二部 P208は、この立場です
つまり「定理 nを自然数 n!=m ζを1の原始m乗根ζmとする。体kがζを含めば
k[X]∋f(X),degf=n,f(X)の最小分解体をKとするとき
f(X)が可解であるための十分条件はG(K/k)が可解であることである」
とある。G(K/k)はガロア群で、必要十分条件だが、証明の都合で十分条件としたとある
３）幾つかの本では、上記１）のどちらの立場かを、はっきりしていないことがあるが
方程式の可解性を論じるとき
b)の基礎体Qに1のm乗根を含んだ体を使う
の立場が明解なのです
例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
例えば、X^3=2 だとQ(2^(1/3),ω)で6次だが、一般3次式のガロア群も対称群S3で6次と、しばしば言われるｗ
b)の基礎体Qに1のm乗根を含んだ体を使う立場だと
（この場合、上記２）彌永本の基礎体を”Qζ”と書くと）
X^2=-a では Qζ(√a)で2次で、X^3=a でもQζ(a^(1/3))で3次となる
（√a,a^(1/3)はQζに含まれない数とする）
つづく
669:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:19:13.61 KrqrphNa.net
>>615
つづき
４）次に、”ガロア群が位数5の巡回群になる方程式もあります
そのような方程式の根は全て実根ですが、
根を求める式には1の５乗根は現れます”
の部分って、意味不明では？
そもそも、5次の既約な式が前提でしょ？
それから、クンマー理論から、ガロア群が位数5の巡回群なら、べき根拡大では？（下記）
（クンマー理論も、”充分に多くの1の根が存在するとき”下記が前提ですよね）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クンマー理論
クンマー理論は、充分に多くの1の根が存在するときは、巡回拡大は冪根をとるという操作によって理解できるという理論である。類体論における主要な難所は、1の余剰な根をなしで済ませる（つまり、より小さな体へと「降下」する）ことである。それはクンマー理論と比べて非常に難しい。
クンマー拡大
略
クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。
(引用終り)
以上
670:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:22:20.58 KrqrphNa.net
>>624
>＞しかし、五次方程式を具体的に考察するには、
>＞ケイリーのリゾルベントが向いているってことです
> それは考察の内容によるので、それが示されない限り無意味ですね
Coxのガロワ理論下 P477 13.2 「5次多項式」を読みな
詳しく書いてあるよ
671:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:37:32.66 KrqrphNa.net
>>612
>根本的にわかってないな、と感じるのは、いつまでもしつこく
>最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いてる点
>追加するのはたかだか２個でいいんですよ
>位数５の巡回群に対応するものと、位数４もしくは２の巡回群に対応するもの
>わかってるなら、可解と条件つけてるのに、漫然と５個全部書いたりしない
あたまわるいな、こいつ
１）最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書くのは、形式的に一般的な場合を表す常套手段だよ
２）例えば、5次式で、f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4 と書くが如し
３）a0,a1,a2,a3,a4の幾つかで、ai=0であっても、それは上記の記法に含まれるのです
数学では、
これ
常套手段だよ
672:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:43:18.84 ZZrJoD9g.net
一番「頭悪いな」と思うのは、最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いていながら
「根を全部添加した体」がガロア拡大だと分かってなかった点。
「お前、そんなことも知らなかったの？」
673:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:44:39.85 ZZrJoD9g.net
>頭悪いな
1がなｗ
674:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:46:45.73 ZZrJoD9g.net
「Coxの本読め」とか言っても、本持ってるだけで
ガロア理論の初歩さえ頭に入ってないじゃん。
675:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:54:48.26 lnOtbAAb.net
>>615
>例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
僕「先生！また、１が💩踏みました」
１「チクるんじゃねーよ！」
先生「またか！１、お前どんだけ💩好きなんだ？」
生徒「ハハハハハハハ」
X^2=-2 だとQ((√2)i)だろ √２もiも含まれない
X^4＝４ ならQ(√２,i)
ま、X^4＝４は(X^2-2)(X^2+2)だから既約じゃないけど
676:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:59:49.39 lnOtbAAb.net
>>616
＞クンマー理論から、ガロア群が位数5の巡回群なら、べき根拡大では？
もしかして
「ガロア群が位数5の巡回群＝拡大体がQ(a^(1/5))、となる筈」
と云ってるんなら、こう返します
「んなこたぁない」
＃Coxが見たら泣くぞ
677:１３２人目の素数さん
22/12/11 10:06:58.23 ZZrJoD9g.net
>>622
ほんとだ。酷いね。
>>623
Q(a^(1/5))/Q こそ、non Galois の例。
1って10年ガロア理論勉強してそんなことも分からないのかｗｗ
678:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:22:01.91 KrqrphNa.net
>>614
> 率直にいえば、ラグランジュのリゾルベントを使えばいい、と理解すれば
> 別に公式は要りません、っていうか導けます
> 逆に公式だけ示されても「こんなんどうやって思いついた？」って思うだけ
> 公式を漫然と覚えるのは数学でもなんでもないですね
ほんと、あたまわるくない？
両方いるんだよ、数学では！
理解と公式と
特に、21世紀は膨大は数学の蓄積があるよね
ガウスやガロアの時代とはちがう
彼らの時代は、ちょっとした思いつきだけで、数学の最前線に出られたが
当時から100年以上、無数の数学者がいろんな思いつきで論文を量産しているんだ
�
679:Vしい論文を書くならば、まず最前線に立つしかない そのためには、すでにどんな公式があるのかは、せめてチラ見しておかないといけないよね それを踏まえて、自分で考えるべし 例えばさ、>>417 の「種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが」 関連で、下記がある 質問 １のｎ乗根で、n=11のとき 回答で、mathematica で FunctionExpand[Sin[2π/11]] などとやると，sin(2π/11) の具体的表式が出てくる 複素数の 3/5 乗などあるって 言いたいのは、 ”別に公式は要りません、っていうか導けます”は まず「mathematica 使え」に言い換えた方がいいだろうねｗ つづく
680:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:24:12.12 KrqrphNa.net
>>625
つづき
(参考)
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
教えてgoo
１のｎ乗根
質問者：noname#108554質問日時：2004/03/20 23:58回答数：13件
n=11のときにはどのように求めればよいのでしょうか？
高校で習うやり方では求められない最小のnです。
また、一般のnに対して求めるようなアルゴリズムはあるのでしょうか？
ちなみに、Mathematica4にやらせたところ、
(-1)^(1/11)のように出力されます。
No.11ベストアンサー
回答者： siegmund 回答日時：2004/03/24 14:08
mathworld のページ
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com) …
を見ていましたら，mathematica で
FunctionExpand[Sin[2π/11]]
などとやると，sin(2π/11) の具体的表式が出てくることがわかりました．
おい，かんべんしてくれよ，というような式です．
複素数の 3/5 乗などあって気持ちの悪い表式ですが，
共役な項などあるのでもっと簡単にはなりそうです．
N で近似値を出させると，ちゃんと虚部はゼロ(精度範囲で)になり，
sin(2π/11)の値が出てきます．
Mathematica の標準設定では mπ/n の三角関数で n≦6 の場合は
自動的に解析的表式に置き換えられるようです．
なお，grothendieck さんが No.3 で紹介されているページには
But this quintic equation has a cyclic Galois Group,
and so x, and hence sin(π/11) ,
can be expressed in terms of radicals,
although the explicit expression is quite complicated.
No.3
回答者： grothendieck 回答日時：2004/03/21 03:27
n=11については下記URLが参考になるかもしれません。
参考URL：URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com) …
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
Wolfram MathWorld
Trigonometry Angles--Pi/11
(引用終り)
以上
681:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:32:08.32 KrqrphNa.net
>>623-624
なに詭弁使って論点ずらしているの？ｗｗｗ
一般の代数拡大で、下記 「Q(√2)/Q は代数的である」と記されているよ
Q(√2)をガロア拡大と錯覚しているね
ああ、世にリゾルベントが、ラグランジュ・リゾルベントただ一つと錯覚した人が居たねｗ
あれと同じだね。拡大は、世にガロア拡大だけと錯覚している人いるんだｗｗ
下記を百回音読してねｗｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数拡大
体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 で�
682:ﾈい多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。 例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。
683:１３２人目の素数さん
22/12/11 10:43:47.39 ZZrJoD9g.net
>体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。
1さんに質問です。この２つはガロア拡大か否か？
684:１３２人目の素数さん
22/12/11 10:51:38.69 G4G3fajU.net
>>599
よくこの板でも叩かれてた某藤原さんのガロア理論の概説記事で
素朴な根の置換からグロタンディーク流のやり方解説してるのを読んで感心した私文学卒指数定理厨の俺様が来ましたよ。
685:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:58:11.52 KrqrphNa.net
>>627 訂正
Q(√2)をガロア拡大と錯覚しているね
↓
Q(a^(1/5))をガロア拡大と錯覚しているね
だね
686:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:03:52.45 lnOtbAAb.net
>>625
理論抜きで公式覚えるとか、理解抜きで数式処理システム使うとか
そんなんで数学の最前線に出られるわけないって 論文だって書けやしない
1はどんだけお花畑で夢見てるんだ？
まず、リンク先の文章読んで自分で計算しような
読む気もない計算する気もないなら、諦めて退散しような
数学は1の人生にとって全く無縁ってことだから
687:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:06:03.93 lnOtbAAb.net
>>627
＞なに詭弁使って論点ずらしているの？
1のいってることこそ詭弁ですがね
＞百回音読してね
何も考えてないなら千回音読しても理解できないって
688:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:10:07.43 lnOtbAAb.net
>>628
>>体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。
>1さんに質問です。
>この２つはガロア拡大か否か？
いい質問
ただ、1はガロア拡大の定義すら理解する気がないから
死ぬまで正しく答えることができないだろうな
別に数学に興味ない人がいてもかまわない
でもそういう人が数学分かってるつもりで
１０年も誤りを書き散らかし続けるのは
迷惑とか滑稽とか通り越して哀れだな
なんでそんなに数学に拘るんですかね？
689:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:12:45.42 lnOtbAAb.net
>>629
＞指数定理厨
ああ、指数関数の加法定理ね（と知っててとぼける）
690:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 11:30:02.57 KrqrphNa.net
>>622
>>>615
>>例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
> X^2=-2 だとQ((√2)i)だろ √２もiも含まれない
ほんとお主は、代数学(含むガロア理論)に弱いねｗ
それって、単拡大の定理の例じゃんかｗ（下記）
つまり、二つの要素の拡大を一つの要素に纏めることができるってことですよ
（一般には二つには限らない。繰返し適用すれば良いだけ）
（昔読んだ服部昭氏の本では、単項拡大定理と書いてあった気がする。ムズかったけど、それだけ覚えている）
URLﾘﾝｸ(cakravala.in.coocan.jp)
数学史の自習室
URLﾘﾝｸ(cakravala.in.coocan.jp)
単拡大の定理
体 Q に代数的数a, bを添加した体Q(a, b)
は, 次の式を満足する Q 上の代数的数tが存在する.
Q(a, b) = Q(t) ただし, t = a + cb
証明
略
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
平成 16 年度代数学 B
講義ノート
広島大学大学院理学研究科 都築 暢夫
目次
4. 単拡大 18
4. 単拡大
体拡大の構成において、一つの元で生成される拡大 - 単拡大 - は最も基本的なものである。この章で
は、単拡大について解説する。
この章を通して、L/K を体拡大とする。
P20
例 74.
α =√2 + √3 の Q 上の最小多項式は pα,Q(x) = x^4 ? 6x^2 + 1 である。
∵ Q(√2,√3) = Q(√2 + √3
691:) (例 21) なので、[Q(√2 + √3) : Q] = 4 (例 21) となる。 よって、定理69 から最小多項式の次数は 4 である。 https://www.アマゾン 現代代数学 (近代数学講座) Tankobon Hardcover ? March 15, 2004 by 服部 昭 (著) https://www.asakura.co.jp/detail.php?book_code=11651 近代数学講座 1 現代代数学 （復刊） 第4章 圏とホモロジー 22. 圏 23. 加法圏，アーベル圏 24. 関手 25. 表現と随伴 26. ホモロジー 27. 群のコホモロジー 第5章 可換体 28. 体の拡大と合成 29. 代数拡大 30. 代数拡大の同型写像 31. 分離性 32. 超越拡大
692:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:38:38.22 ZZrJoD9g.net
>X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
いやならないけど。本気でなると思ってるなら認知症レベル。
Q(√2 i)≠Q(√2,i). OK？
693:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 11:39:29.21 KrqrphNa.net
>>628 >>633
>>体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。
> 1さんに質問です。この２つはガロア拡大か否か？
確かに、言い質問かもｗ
お答えします
１）どちらもYes
２）C/R は、方程式x^2+1=0
Q(√2)/Qは、方程式x^2-2=0
を考えれば良い
３）どちらも、下記の”E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である”を満たす
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア拡大（英: Galois extension）は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。
ガロア拡大の特徴づけ
エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各ステートメントは E/F がガロア拡大であるというステートメントと同値である：
・E/F は正規拡大かつ分離拡大である。
・E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である。
694:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:43:34.44 lnOtbAAb.net
>>635
>ほんとお主は、代数学(含むガロア理論)に弱いね
>それって、単拡大の定理の例じゃんか
>つまり、二つの要素の拡大を一つの要素に纏めることができるってことですよ
じゃ、一般の５次方程式の最小分離体をQ(a1,a2,a3,a4,a5)と書いたらダメじゃんｗ
それ、単拡大Q(α)と書けるけど、実際はそうならないから
1、全然ガロア理論の初歩からわかってないって自分から白状してるじゃん
僕「先生！１が💩壺に落ちました」
１「いうんじゃねぇぇぇぇ！」
先生「・・・そ~っと、フタしとけ」
695:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:49:49.62 ZZrJoD9g.net
X^2=-2の根って、±√2 i で、これらの加減乗除で√2とiを個別に導くことは不可能。
一方でX^3=2 の根は2^(1/3), 2^(1/3)ω, 2^(1/3)ω^2で
加減乗除で2^(1/3)とωを個別に導くことが可能。
696:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:52:00.49 lnOtbAAb.net
１は実はこう言ってた
「全ての（ガロア）群は巡回群である」
そりゃ、全ての代数方程式がベキ根で解けると思うわけだ
もちろん答えは以下
「んなこたぁない」
697:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:58:11.19 lnOtbAAb.net
昔、単拡大の定理すら知らんかった馬鹿が
「５次方程式の最小分離体Q(a1,a2,a3,a4,a5)」
と書いて、とっちめられたのを見た・・・OTL
ま、しかしそれは無知だから仕方ない（ほんまけ？）
そして今、単拡大の定理を知ってるとうそぶく阿呆が
「５次方程式の最小分離体Q(a1,a2,a3,a4,a5)」
とドヤ顔で書くのを目撃
君、自分がおかしなこといってるって、気づかなかったのか？
どんな代数方程式のガロア群も巡回群になる
もちろん対称群も巡回群になる
って初歩的誤りを犯してるってことに
698:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:04:14.01 ZZrJoD9g.net
>Q(a1,a2,a3,a4,a5)
これは5つの根を添加した体って意味でしょ？
それなら合ってるよ。最大で120次、最小で5次拡大になる。
699:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:22:13.68 ZZrJoD9g.net
>>637
１）どちらもYes
２）C/R は、方程式x^2+1=0
ええ正解ですよ。ちなみにC/Rのガロア群は
共役写像a+bi→a-bi で生成される2次の巡回群。
これが唯一の連続なCの体自己同型。
（選択公理を認めると、無限に多くの体自己同型の存在が従うが
勿論、連続ではない。）
700:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:28:20.12 lnOtbAAb.net
>>642
では、マジ質問
Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、いかなる場合も単拡大Q(α)にできます？
701:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:33:46.34 ZZrJoD9g.net
>>644
できます？って自分が
702:出来るかというと考えるが 「出来るという定理がある」 ガロア論文はこの定理を基盤にしている。
703:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:41:03.12 lnOtbAAb.net
>>644
ああ、なるほど
Q(α)だというだけでは、ガロア群が
「単一の元で生成される巡回群」
だとは言えず、巡回群だというには
解の巡回関数が必要ってこと？
704:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:43:13.86 lnOtbAAb.net
>>645
すみません、何も分かってないアホでｗ
そもそもそれが基礎だと今知りましたｗ
705:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:45:31.01 lnOtbAAb.net
ということで、アルティンさん、
「ゴメンなさぁぁぁぁい！」
（ジャンピング土下座）
706:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:50:59.50 ZZrJoD9g.net
>>646
Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Q(α)としますね。
ak=f_k(α) (k=1,...,5)と有理式で表せますね。
このとき、αの共役根α'に対して
f_k(α') (k=1,...,5)が置換になっていて
そのような置換全体がガロア群をなすわけですよ。
勿論、一般には巡回群にはなりません。
707:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:54:27.60 lnOtbAAb.net
>>649
「あぁぁぁっ！！！」
また一つオリコウになってしまった・・・
いまの私の気分を歌にするとこんな感じ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
708:１３２人目の素数さん
22/12/11 13:02:53.31 lnOtbAAb.net
マジックスパイスの辛さレベルにたとえると
涅槃：巡回関数に目覚めた（をひ）
極楽：置換関数に目覚めた（こら）
天空：・・・
虚空：・・・
（続く）
709:１３２人目の素数さん
22/12/11 13:12:13.78 lnOtbAAb.net
いかん、さっそくガロア理論の本を買って読まねば・・・
（そういえば、大３のときも教科書買ってない（をひ））
ということで、ここでの流れを踏まえておすすめの本は何ですか？
（注：１には訊いてない ていうか、１は答えないで、ホント、マジでｗ）
710:１３２人目の素数さん
22/12/11 14:05:27.48 lnOtbAAb.net
ま、よく考えたら、急ぐ必要もないな
711:１３２人目の素数さん
22/12/11 15:30:21.74 lnOtbAAb.net
ガロア理論
昭和で分からず
令和でわかる
＃平成どうしたｗ
712:１３２人目の素数さん
22/12/11 15:44:12.06 ZZrJoD9g.net
正直、ガロアの論文含めて薄い本しか読んだことがない。
厚い本は必要に応じて参照する程度。それも今は手元にはない。
群論の本は結構読んだ。代数的整数論とかでガロア理論を
使ってるうちに、「数学的自然」として脳内に定着してくる感じ。
グロタンディークのガロア理論？
正直よく知らない。体拡大は幾何的には被覆と見做せるから
位相的な被覆と数論的被覆を統合するような話？
エタール基本群とかそういうことだろう。
713:１３２人目の素数さん
22/12/11 15:50:43.22 ZZrJoD9g.net
円分体が簡単な理由の一つは
ζ_n一つで他の共役根をすべてあらわすことが
極めて容易だから。
ガロアはガウスの理論をモデルにしたことは間違いない。
あとガロアには、楕円函数のモジュラー方程式という
重要な例もあった。あと遺書に出て来る幻の「第3論文」
の話とか見ると、代数函数論も統合しようとしていた
痕跡がある。それはアーベルにも共通だし
当時としては自然な思想だったのだろう。
714:１３２人目の素数さん
22/12/11 16:00:50.52 DdK5/wLe.net
曲解王>>1投稿者の集合A
いつもの予定調和思考に陥り、またもや基本的事実から逸脱
715:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:17:30.26 KrqrphNa.net
>>488 追加
再録
１）>>472より
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
だったね
２）これ、>>371-373より
可解な既約5次方程式の代数解法には
必ず5乗根が必要なことを示せ。
注意：5乗根の中身が基礎体に含まれるとは限らない。
例:
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
はQ上可解な既約5次方程式だが
5乗根の中身は、Q(ζ_5)の数になる。
（ζ_5は、1の原始5乗根。）
注意:検索コピペバカには解けない。
（仕組みが分かってないから。）
(引用終り)
１）良い資料が見つかった（下記）
２）”以下ζnで1の原始n乗根を表すものとし、係数体は既にこれを加えたQ(ζn)で考えるものとする（解の巡回の記事のQを全てQ(ζn)で置き換えても全く同じ議論が成立することに注意されたい*2”
とあるよね
３）上記 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0は
下記 chiebukuro.yahoo
32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0
と係数の並びが逆だね（本質的には同じだろう）
４）下記 Period-Mathematics 巡回多項式を代数的に解く
「一応公式化しておいたので共有しておく」で、5乗根使ってますよ（当然と思うけどｗ）
つづく
716:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:19:46.67 KrqrphNa.net
つづき
(参考)
URLﾘﾝｸ(period-mathematics.)はてなブログ.com/entry/2019/05/04/194452
Period-Mathematics
2019-05-04
巡回多項式を代数的に解く
巡回多項式とは簡単に言えば一つの根をもって他の根をその多項式で表せるような特別な多項式のことである。
略
で詳しく取り上げているが、そこの主定理によると既約多項式に対して、それが巡回多項式であることとその*1ガロア群が巡回群であることが同値なのであった。本稿はこの記事の証明パートを除いた部分は既知とした上で書いている。
以下ζnで1の原始n乗根を表すものとし、係数体は既にこれを加えたQ(ζn)で考えるものとする（解の巡回の記事のQを全てQ(ζn)で置き換えても全く同じ議論が成立することに注意されたい*2。しかしそうした場合例えば、本稿の例は該当しないが、巡回関数の係数にζnが出てくる可能性もある）。
解法の解説
PDFで取り上げられている巡回多項式の例*3、f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1 を考えていこう。これを代数的に解きたいとする。以下、根x=αを一つ固定する。まずこれは巡回関数として4つ候補があり、どれを選んでもよいのであった。よってここではPDFでもそうしているように、比較的単純なp(x)=x2-2を選ぶことにしよう。またガロア群は巡回群でGal(Lf/Q(ζ5))={idLf,σ,?,σ4}と書くことにする（ここでσ5=idLfである）。ただし、ここでσはσk(α)=p(k)(α)を満たすように取るものとする（これはのちの計算パートのところで、σを（計算可能な対象）p(x)=x2-2として扱うためである。以下のこの節の議論ではこの関係式は使わない）。
さて、方程式論において解を代数的に求める際にとても重要な役割を果たすのが以下に示す（ラグランジュの）リゾルベント（分解式）である。以下k=0,1,2,3,4とする。
r(α,k)=α+ζk5σ(α)+ζ2k5σ2(α)+ζ3k5σ3(α)+ζ4k5σ4(α)
これは解と1の原始累乗根のべきの線型結合で表される式で、非常に巧くできている。
つづく
717:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:20:12.10 KrqrphNa.net
>>659
つづき
具体的に計算
さて、前節でくどくど説明してきたのでここでは簡潔に行こう。計算にはPARI/GPを用いる。まずはコマンドを示そう。σはσk(α)=p(k)(α)を満たすように取っていたことに注意されたい。
略
PDFの結果とまさに同じことがわかるだろう。さて、後はこれらを使ってαを求めよう。一応公式化しておいたので共有しておく
公式略（但し5乗根ありますｗ）
他にも例えば
超難問、自作問題です。 - 5次方程式32x^5+16x^4-32x... - Yahoo!知恵袋には32x5+16x4-32x3-12x2+6x+1という例がある。これを計算してみると以下のような出力が出る。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
718:estion_detail/q14135829734 chiebukuro.yahoo sch********さん 2014/9/20 22:07 超難問、自作問題です。 5次方程式 32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 の実数解を求めてください。 近似値計算はダメです。 ベストアンサー tia********さん 2014/9/21 0:07 最近、大数の問題でcos(2π/7)等の三乗根の和を求める ものがあってそれを解く過程でこれらを解にもつ三次方程式 8x^3+4x-4x-1=0 を導く際に同様に広げることも可能だと考えていたので この問題を見た時にすぐに分かりました。 Π[k=1,m][x-cos{2kπ/(2m+1)}] は展開した時、x^(m-1)の係数は Σ[k=0,n-1]cos(2k/n)=0 から絶えず-1/2となります。また、それより低い次数に関しても 三角関数の積和の公式が cosαcosβ=(1/2){cos(α+β)+cos(α-β)} であることからcos{2kπ/(2m+1)}の和で閉じていることが 考察されます。この問題も Π[k=1,5]{x-cos(2kπ/11)} を展開して32をかけた物であることから解は cos(2kπ/11) k=1,2,3,4,5 であると思います。 (引用終り) 以上
719:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:26:01.93 KrqrphNa.net
>>641
>そして今、単拡大の定理を知ってるとうそぶく阿呆が
>「５次方程式の最小分離体Q(a1,a2,a3,a4,a5)」
>とドヤ顔で書くのを目撃
>君、自分がおかしなこといってるって、気づかなかったのか？
>どんな代数方程式のガロア群も巡回群になる
>もちろん対称群も巡回群になる
>って初歩的誤りを犯してるってことに
全く無知からくる誤解でしょ？
Q(a1,a2,a3,a4,a5)と書くことと
ガロア群が巡回群になることとは別
つまり、単拡大で、tを使ったとして
Q(t)と書いたら
ガロア群が{e}というが如し
720:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:36:18.60 KrqrphNa.net
>>639
>X^2=-2の根って、±√2 i で、これらの加減乗除で√2とiを個別に導くことは不可能。
スレ主です
ご指摘の通りです
訂正します。>>622のご指摘の通りです
721:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:54:01.16 KrqrphNa.net
>>644-645
>Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、いかなる場合も単拡大Q(α)にできます？
>「出来るという定理がある」
>ガロア論文はこの定理を基盤にしている。
もう解答でているが、蛇足です
定理は、服部昭氏の本>>635に「できる」とあった（気がする）
なお、ガロア論文の該当箇所は
冒頭の補助定理II
例えば V=Aa+Bb+Cc+・・としA,B,C・・は適当に選ばれた整数とすることができる
の箇所
なお、a,b,c・・は、根を表す
Vが根a,b,c・・の置換で、Vの値が全て異なるようにA,B,C・・を適当に選ぶ
つまり、5次ならa,b,c,d,eの5個の置換の話になる
（5個の置換で5！＝120の場合全てで、異なるように取るのは、A,B,C・・の選択肢が豊富なので可能というのが、これの略証です（論文の解説にあったね）
ガロアは、”整数”としているが、いま風なら基礎体ｋ内の数に取るでしょうね）
式Vを、後世の人はガロア・リゾルベントと名付けたそうな
722:１３２人目の素数さん
22/12/11 16:59:35.01 lnOtbAAb.net
>>658
＞良い資料が見つかった
ボクが教えてあげたんじゃんw
＞Period-Mathematics 巡回多項式を代数的に解く
＞「一応公式化しておいたので共有しておく」で、
＞5乗根使ってますよ
そこからζ5は出せないでしょ
「逆演算で出せる！」っていったけど
どう逆演算すんの？やってみせて
723:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:01:54.89 lnOtbAAb.net
>>661
＞全く無知からくる誤解でしょ？
無知は知を得ることで改善する
無思索は知を得ることでは改善しない
思索する以外ないよ 思索しようね
724:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:05:01.75 lnOtbAAb.net
>>663
1は書かなくていいよ 肝心なピンポイントがないから
>>649
「Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Q(α)としますね。
ak=f_k(α) (k=1,...,5)と有理式で表せますね。
このとき、αの共役根α'に対して
f_k(α') (k=1,...,5)が置換になっていて
そのような置換全体がガロア群をなすわけですよ。
勿論、一般には巡回群にはなりません。」
上記のような的確なコメントができない
1には別に何も教わらないよ
教える中身がないから
725:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:19:12.2
726:4 ID:lnOtbAAb.net
727:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:27:46.24 lnOtbAAb.net
x^3+x^2-2x-1=0も
x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1=0も
それぞれ円分多項式Φ7、Φ11をちょっと改造して
実根しか出ないような形にすることで出来上がる
実に面白い
巡回多項式は多項式の中のエリートである
数学、特に整数論は、エリートを研究する傾向が強い
エリートの対象は、都合のよい性質を多々有しているから
数学的な一般大衆の研究は、実用的であるが実に中身がうっすいｗ
728:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:44:33.17 lnOtbAAb.net
>>667
＞解の巡回は、有理関数f(a)=(a^2-2)で実現される
今、ふと、思ったんだけど・・・
これ、基本はcosの2倍角の公式だよな
2cos2θ=(2cosθ)^2-2
729:１３２人目の素数さん
22/12/11 19:54:04.71 lnOtbAAb.net
終わったな
730:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 23:14:00.48 KrqrphNa.net
>>658 追加
> ３）上記 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0は
> 下記 chiebukuro.yahoo
> 32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0
> と係数の並びが逆だね（本質的には同じだろう）
1）上記二つの方程式は、逆数の関係で、
前者がcos(2kπ/11)、後者が1/cos(2kπ/11)で
ほぼ自明だが、x=1/yと置いて、前者に代入すると
(1/y)^5 + 6 (1/y)^4 - 12 (1/y)^3 - 32 (1/y)^2 + 16 (1/y) + 32=0
ここで、y^5を掛けて整式に直すと
1+ 6 y - 12 y^2 - 32 y^3 + 16 y^4 + 32 y^5=0
となって
32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 が得られる
なかなか面白い工夫ですね
2）cos(2kπ/11)を考える方が分かり易いだろう
円分体の理論が使える
円の11等分であり
x^11 -1=0を考えれば良い
x-1で割ると
x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
ガロア群は(Z/nZ)×の乗法群(下記円分多項式より)で、位数10の巡回群（(Z/nZ)*の群構造2.2）
つづく
731:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 23:16:01.73 KrqrphNa.net
>>671
つづき
3）複素平面の上半部にk=1～5
複素平面の下半部にk=6～10
があって、上下対称で、共役複素数のペアが存在する
例えば、e^2kπ/11=cos2kπ/11+sin2kπ/11とe^-2kπ/11=cos2kπ/11-sin2kπ/11
e^2kπ/11+e^-2kπ/11＝2cos2kπ/11が出る
4）x^11 -1=0（つまり上記の10次方程式）を解けば、cos2kπ/11が得られるが
共役複素数のペアが存在するから、上半部のk=1～5だけで、5次の実係数方程式が得られるってことか
なかなか面白い仕掛けですね
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円分多項式
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cyclotomic polynomial
URLﾘﾝｸ(integers.)はてなブログ.com/entry/2016/07/24/163831
INTEGERS
2016-07-24
(Z/nZ)*の群構造
2.2
命題 (Z/nZ)×が巡回群になるための必要十分条件は
n=2, 4, p^e, 2p^eであることである(pは奇素数でeは自然数)。
(引用終り)
以上
732:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 00:17:19.70 qR3y03w/.net
>>672 追加
> 共役複素数のペアが存在するから、上半部のk=1～5だけで、5次の実係数方程式が得られるってことか
位数10の巡回群>>671の半分の5個だけ使うから、位数5の巡回群だね
そして、>>659より"（ラグランジュの）リゾルベント（分解式）である。以下k=0,1,2,3,4とする。
r(α,k)=α+ζk5σ(α)+ζ2k5σ2(α)+ζ3k5σ3(α)+ζ4k5σ4(α)"
を使うならば、
この時点で基礎体はQではなくQ(ζ5)に変わっている(ζ5は1の5乗根のうちの原始根)
さて
いまの場合、cos(2kπ/11)をべき根で表すときに、何かの5乗根が必要か？
>>660 の公式 （>>659 URLﾘﾝｸ(period-mathematics.)はてなブログ.com/entry/2019/05/04/194452 Period-Mathematics 2019-05-04 巡回多項式を代数的に解く より）
�
733:M用するならば ここには、r(α,1)=5√{s1(ζ5)}なる項が、和の形で含まれている （5√は5乗根（原文ご参照）） ので、和の形だと単拡大定理>>635が使えそうだ なので、何かの5乗根は、x^11 -1=0 による拡大体には含まれるんじゃないかな？ 5√{s1(ζ5)}を使っているが、最終はcos(2kπ/11)なる実根になるから、虚数部が消えるんだろうね しかし、実部では5乗根が残る気がする 証明は思いつかないけどｗ PARI/GP（>>659 はてなブログより）をぶん回せば、計算できるかも （手計算をやる気ないな。しかし、PARI/GPが手元にないｗ） 蛇足だが、cos(2kπ/11)が何かの5乗根を含めば、その逆数も含むだろう 1/cos(2kπ/11)で、分母を有理化できるだろう それができれば、分子に5乗根が含まれるし https://ja.wikipedia.org/wiki/PARI/GP PARI/GPは計算機代数アプリケーションであり、数論に関する様々な演算を行うために開発された。バージョン2.1.0からはフリーソフトウェアとしてGNU General Public Licenseにしたがって米フリーソフトウェア財団から公開、配布されている。PARI/GPはマルチプラットフォームであり、多くのプラットフォームで実行することができる。
734:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 00:23:59.69 qR3y03w/.net
>>664
>＞良い資料が見つかった
> ボクが教えてあげたんじゃんw
あなたが第一発見者であることは認める
ありがとね
ただ、独自のキーワード検索で見つけたけど（良いサイトだね）
>＞Period-Mathematics 巡回多項式を代数的に解く
>＞「一応公式化しておいたので共有しておく」で、
>＞5乗根使ってますよ
> そこからζ5は出せないでしょ
ほいよ >>673
なお、ζ5は4次の既約方程式の根だから、5乗根とは関係しないだろう
735:１３２人目の素数さん
22/12/12 06:57:52.39 TUjlnc/t.net
>>673
＞･･･んじゃないかな？
＞･･･気がする
＞証明は思いつかないけど
「証明できないけど正しいんじゃないかな、そんな気がする」
で、定理になるなら数学要らないな
736:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:07:33.50 TUjlnc/t.net
>>>5乗根使ってますよ
>> そこからζ5は出せないでしょ
>ほいよ
それだけですか
分かってないから全く説明できないんですね
ということで
>>570
＞ (a1,a2,a3,a4,a5)たちは、
＞a^(1/5)含んだ代数式ai＝f(a^(1/5)) （加減乗除とべき根、は1～5のどれか）
＞で表される
＞最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
＞かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
＞だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算f(a^(1/5))→a^(1/5)を施すことで、
＞a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
＞つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、
＞方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
逆演算、示してくださいね~
「証明できない」なら1の惨敗ですよ~
「正しいんじゃないかな、そんな気がする」なんて幼稚園児でもいえますよ~
だいたい、常に逆演算が可能だったら、全ての体は代数的閉体ですよ
「全ての部分群は正規部分群」
「全ての体は代数的閉体」
歴史はめぐる・・・
737:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:11:56.16 TUjlnc/t.net
ところで任意の素数ｐについて
cosθのｐ＾ｎ倍角の公式ーcosθ
（つまりｐ倍角のｎ回反復の不動点）
からいろいろ巡回多項式がひねくりだせそう
ああ、ヤバい・・・整数論沼にハマったか？
738:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:24:00.44 o5L78qQF.net
>>673
>位数10の巡回群>>671の半分の5個だけ使うから、位数5の巡回群だね
部分群じゃなくて剰余群なんだよ。ガロア理論で考えれば分かるけど。
>なので、何かの5乗根は、x^11 -1=0 による拡大体には含まれるんじゃないかな？
だから、含まれないって言ってるでしょ。
何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる。
ζ_5はQ(ζ_11)には含まれないから矛盾する。
739:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:25:58.50 TUjlnc/t.net
>>671
＞(Z/nZ)×の乗法群
乗法群(Z/nZ)×でいいんじゃね？
一応、1に質問
・(Z/nZ)の要素と加法と(Z/nZ)×の要素と乗法を、
740:それぞれ説明せよ
741:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:26:33.94 o5L78qQF.net
円分体のガロア群
G=Gal(Q(ζ_n)/Q)は(Z/nZ)^*に同型で
ガロア群の作用は k∈(Z/nZ)^*に対して
σ_k(ζ_n)=ζ_n^k で定まる。
ζ_n+ζ_n^{-1}は位数2の部分群Hで不変で
Gal(Q(ζ_n+ζ_n^{-1})/Q)=G/H.
n=11のときは、これが位数5の巡回群に同型。
(Z/nZ)^*の原始根（つまり生成元）gに対して
2cos(2πg/n)=f(2cos(2π/n))をみたす多項式fを
「巡回函数」と言ってるのだと思う。
n=11では2は原始根だから、g=2の多項式がそれに当たる。
gはより弱く、G/H の生成元でありさえすればよい。
742:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:27:51.88 o5L78qQF.net
HはGの部分群であれば任意で、Hの作用でちょうど不変になる式を作れば同様。
クロネッカー・ウェーバーの定理より
Q上の巡回（より広くアーベル）方程式は本質的にこのタイプに限られる。
例
n=31, H={1,5,6,25,26,30}のときG/Hは5次の巡回群。
α=Σ_{k∈H}σ_k(ζ_31)
とおくとαはHで不変で、次の巡回方程式をみたす。
x^5+x^4-12 x^3-21 x^2+x+5
743:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:30:19.15 o5L78qQF.net
>>677
pべきの場合はどうなるんだ？とは、わたしも昨日
少し頭をよぎりました。
>ああ、ヤバい・・・整数論沼にハマったか？
楽しんでおられるようで何よりです。
744:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:30:27.70 TUjlnc/t.net
>>679
＞・(Z/nZ)の要素と加法と(Z/nZ)×の要素と乗法を、それぞれ説明せよ
前者はアホでも分かる、後者はアホでないなら分かる
745:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:37:29.61 o5L78qQF.net
巡回函数を作るより、(Z/nZ)^*の乗法作用を使った方が見通しがいい
こういうのがアーベル体の構成とか、ガロア拡大でもいいが
保型函数のような「よい」函数の特殊値で拡大体を構成
することのご利益の初歩的な例。
746:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:38:03.42 TUjlnc/t.net
>>680-682
いわれてみればごもっともなんですが、
「三角関数のｎ倍角操作の不動点で遊べるじゃん！」
といまさらながら気づいた次第ですｗ
＞＞ああ、ヤバい・・・整数論沼にハマったか？
＞楽しんでおられるようで何よりです。
ありがとうございます
ということで今日はこの曲（古っ！）
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
747:１３２人目の素数さん
22/12/12 07:41:12.98 TUjlnc/t.net
>>684
おっしゃる通りと思いますが
・・・なにぶんにもハイハイから始めないと歩けない性分で
もう少々お待ちくださいｗ
748:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 08:07:34.56 qR3y03w/.net
>>678
>何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる。
>ζ_5はQ(ζ_11)には含まれないから矛盾する。
どうもです
質問で悪いが
1）”作用させる”は、不正確な表現では？
意味がとれない
2）そもそもは、
32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 >>617 の可解性だった
この5次方程式を解くのに、5乗根が必要ないという主張ですか？
3）あと、ζ_5を含んでも、方程式の可解性には影響しないし、
ラグランジュ・ソルベントで、ζ_5を使うんでしょ？
4）もしできるなら、種明かしついでに、
cos(2π/11)のべき根を使った表現で、5乗根なしで書けることを確認してみて
数学ソフト使って良いよ
式は、簡単にコピペできるならしてもらっていいし
できないなら、概略を言って貰えば可
5乗根なしで書けるなら、納得できるけど
5）あと、cos(2π/11)のべき根を使った表現で
そこから、逆に辿って、累乗と加減乗除で、
cos(2π/11)の方程式を構成できると思うけど、どう？
5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？
749:１３２人目の素数さん
22/12/12 09:49:00.25 PEfbYqO8.net
>>687
>”作用させる”は、不正確な表現では？意味がとれない
ガロア群を理解してれば意味取れるが、何か？
>そもそもは、
>32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 の可解性だった
>この5次方程式を解くのに、5乗根が必要ないという主張ですか？
定義に基づいて文章を論理的に解読しないから、似て非なる
750:文章と誤解する >あと、ζ_5を含んでも、方程式の可解性には影響しないし、 >ラグランジュ・ソルベントで、ζ_5を使うんでしょ？ 途中で出るから、最後のガロア拡大体にも出る、 と言う思い込みの論理的根拠は？無いよな >もしできるなら、種明かしついでに、 >cos(2π/11)のべき根を使った表現で、 >5乗根なしで書けることを確認してみて ああ、ガロア体に含まれないなら、 途中でも出てこない、と訳もなく思ってるのね それ、間違いだから ざんね～ん >5乗根なしで書けるなら、納得できるけど 間違った前提による納得は、有害無益 反相対論者の「絶対時間を維持するなら納得」 みたいなトンマな感じ >あと、cos(2π/11)のべき根を使った表現で >そこから、逆に辿って、累乗と加減乗除で、 >cos(2π/11)の方程式を構成できると思うけど、どう？ >5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？ 感想じゃ数学にならないの 分かる？
751:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 10:49:01.74 Zf32nHrU.net
>>688
スレ主です
これは、落ちこぼれ1号のおサルさん>>5だね
>>”作用させる”は、不正確な表現では？意味がとれない
> ガロア群を理解してれば意味取れるが、何か？
ゴマカシだね
数学では、まずは”作用させる”について、自分の主張での意味や定義を述べる
その上で、”ガロア群を理解してれば意味取れる”はありだが
そもそも、自分の主張での意味や定義を述べられないのはダメだよ
ガロア理論を、いま代数方程式の可解性の問題に限定して
基礎体をQとして、1のべき根が必要なだけ含まれるとする立場があるよね
それ理解しているかな？
>> 32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 の可解性だった
>>この5次方程式を解くのに、5乗根が必要ないという主張ですか？
>定義に基づいて文章を論理的に解読しないから、似て非なる文章と誤解する
またゴマカスｗ
ガロアの第一論文読んでみなよ
代数方程式の可解性の問題に対して
どういうべき根が必要か？
ガロアは、方程式のガロア群を見れば、それが分かるとしているよ
それは後世では、クンマー拡大＆クンマー理論となっているよ
>>あと、ζ_5を含んでも、方程式の可解性には影響しないし、
>>ラグランジュ・ソルベントで、ζ_5を使うんでしょ？
> 途中で出るから、最後のガロア拡大体にも出る、
> と言う思い込みの論理的根拠は？無いよな
還元不能問題(不還元)を>>381で取り上げているよ
百回音読してね
>>あと、cos(2π/11)のべき根を使った表現で
>>そこから、逆に辿って、累乗と加減乗除で、
>>cos(2π/11)の方程式を構成できると思うけど、どう？
>> 5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？
> 感想じゃ数学にならないの 分かる？
そういうことを言っているから、数学オチコボレさんになるｗ
数学では、未解決問題を解こうとするとき
予想を立てるよね
それと類似をやっているんだけど？
再度問う
「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？」
752:１３２人目の素数さん
22/12/12 11:13:09.95 PEfbYqO8.net
>>689
>落ちこぼれ1号だね
0号🐒がなんかキャッキャ言っとる
>ゴマカシだね
>またゴマカス
じゃ誤魔化し無しの直球勝負
2号さんのクロネッカー=ウェーバーの定理から
Ｑ上のガロア群がアーベル群である代数体は
ある1の元を有理数体Qに添加した体"の部分体"である
ここで""内を取っ払ったのが0号君
その結果どうなったか
Ｑに素数の平方根√ｐを添加した体は
ある1のべき根を含む
何故なら、√ｐは1のべき根の有理係数和として表せるから
ヒャッハー！！！
753:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 11:54:18.41 Zf32nHrU.net
>>690
詭弁と論点ずらし
そればっかりｗ
だからさ、そういう世間ずれした
ディベートもどきの論法
それは、なんとかヒロユキ氏が得意かもしれないが
それって、数学では有害無益
それやって、自分をゴマカスようになると
数学での進歩が止まるよ
754:１３２人目の素数さん
22/12/12 12:27:14.31 PEfbYqO8.net
>>691
反論不能だと、
「詭弁」「論点ずらし」「ディベート」
と絶叫発狂w
ビント外れの詭弁ディベートで
誰彼なくマウントしたがる🐒
それが落ちこぼれ0号の1
まさに、数学板のひろゆき
755:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 18:25:34.28 Zf32nHrU.net
>>689 追加
>再度問う
>「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？」
１）下記、元吉文男氏 巡回群をガロア群に持つ 5 次方程式の判別とその解法は、旧ガロアすれでも取り上げたことがある
ここで、”素数次既約方程式が代数的に可解であることの必要十分条件は、その任意の 2 根によって根が分離できることである”
とあります。ガロア第一論文の最後の定理ですね。
だから、可解な既約5次方程式（正規かつ分離）の最小分解体は、基礎体Qとして、Q(αi,αj) i≠j i,J = 1～5
つまり、5根全部を必要としないってことですね。うっかりしていました。昨晩気づいたがｗ
２）あと、下記「五次方程式の解の公式の存在条件」(長野県木曽青峰高校)
これ、力作ですね
ちょっと足せば、どこぞの大学の卒業研究になりそう
３）両者に一貫しているのは、5乗根の必要性です。当たり前ですが
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録
第 722 巻 1990 年 17-20
巡回群をガロア群に持つ 5 次方程式の判別とその解法
元吉文男 (Fumio Motoyoshi)
(電子技術総合研究所)
表題は正確には、 「$Q$上の 5 次既約多項式$f\in Q[x]$ の$Q$上のガロア群が巡回群であることの判定と、 そ
の場合に$f$を代数的に解く方法の数式処理による実現」である。以下の方法は 5 次に限らず素数次の場
合に適用できるが、実際に計算できるかどうかでは、せいぜい 7 次までであると考える。
\S 4. 5 次既約方程式の代数的可解性の判定
素数次既約方程式が代数的に可解であることの必要十分条件は、その任意の 2 根によって根が分離で
きることであるので、 これを利用して可解性の判定を行なうことができる。
\S 1 において因数分解を行なった際に、$r_{i}(x)$ のうちに次数が 5 次より大きいものがあるときには、ガ
ロア群が巡回群ではなかったが、 その式は Q(\alpha ) に f の\alpha 以外の根を添加した体の最小多項式になってい
る。 そこで、$f$の因数分解で分離できなかった式を、 この新しい体で因数分解してみて、 すべての根が . 分離できれば、$f$は代数的に可解であることがわかる。
つづく
756:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 18:26:05.02 Zf32nHrU.net
>>693
つづき
URLﾘﾝｸ(www.nagano-c.ed.jp)
長野県木曽青峰高等学校 理数科
URLﾘﾝｸ(www.nagano-c.ed.jp)
平成26年度課題研究
１ ５次方程式の解の公式の存在条件
URLﾘﾝｸ(www.nagano-c.ed.jp)
五次方程式の解の公式の存在条件
研究者 小垣外蘭南 下村晴喜
佐々木裕太郎 松葉文吾
指導者 宮崎一彦
(引用終り)
以上
757:１３２人目の素数さん
22/12/12 19:37:05.41 o5L78qQF.net
>>681
p=10n+1型の素数のとき、ζ_pの値から5次巡回方程式を作ることができる。
一方、これらとは別に
ζ_25の値からも5次巡回方程式が作れる。
ζ_25+ζ_25^7+ζ_25^18+ζ_25^24 を根の一つとして持つ方程式
x^5-10 x^3+5 x^2+10 x+1=0.
758:１３２人目の素数さん
22/12/12 19:38:52.46 TUjlnc/t.net
>>693
>”素数次既約方程式が代数的に可解であることの必要十分条件は、
> その任意の 2 根によって根が分離できることである”
なんでだかわかる？
ヒント：円分拡大とクンマー拡大
一方で「任意の１根で根が分離できる」おめでたい場合がある
ズバリ、巡回拡大でOKな場合 これが問題
759:１３２人目の素数さん
22/12/12 19:50:29.52 TUjlnc/t.net
ところで、ついうっかりと
「ガロア理論の頂を踏む」 石井俊全
買っちまったｗ
これ、いい本だわｗ
半分ぐらい読んだけど
そういや、
５次以上の交代群が可解でないことの証明で
交代群が長さ３の巡回置換で生成できて
次数が３＋２以上なら長さ３の任意の巡回置換が
長さ３の巡回置換の交換子積として実現できる
「トリック」を使ってたって、今思い出したよｗ
760:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 20:57:01.31 qR3y03w/.net
>>697
>「ガロア理論の頂を踏む」 石井俊全
>買っちまったｗ
ご苦労さまです
私も持っている（書棚のこやしですが）
私のは、2013/09/26 �
761:�2刷です 以前旧ガロアスレで、C++さんがこの本の記述で質問したときに、 自分の本を見て答えたら「古い（改訂がある）」と言われましたね いま見ると、下記の（初版～7刷）正誤表 20220614 現在があるね 多分それ7刷だな 注文カードの短冊がそのままあるから、多分アマゾンで買ったんだろう チラ見して、殆ど読まなかった。知っていることしか書いてなかったから（既習）（多分書店で見たら買わなかったと思う） > ５次以上の交代群が可解でないことの証明で >交代群が長さ３の巡回置換で生成できて >次数が３＋２以上なら長さ３の任意の巡回置換が >長さ３の巡回置換の交換子積として実現できる >「トリック」を使ってたって、今思い出したよｗ そうそう そこ有名どころですね 大概の本には書いてある (参考) https://www.beret.co.jp/books/detail/487 ベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全 発売日 2013年08月22日発売 https://www.beret.co.jp/books/tachiyomi/images/487.pdf 立ち読み https://www.beret.co.jp/books/contents/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E7%9B%AE%E6%AC%A1.pdf 目次 https://www.beret.co.jp/errata/book/487 誠に申し訳ございませんが、以下の本の記載に誤りがありました。 訂正してお詫び申し上げます。 ガロア理論の頂を踏む 『ガロア理論の頂を踏む』（初版～7刷）正誤表 https://www.beret.co.jp/errata/files/a133112872fa27db32f140046b7db310.pdf 『ガロア理論の頂を踏む』 正誤表 20220614 現在
762:１３２人目の素数さん
22/12/12 21:16:58.92 TUjlnc/t.net
>>698
>> ５次以上の交代群が可解でないことの証明で
>>交代群が長さ３の巡回置換で生成できて
>>次数が３＋２以上なら長さ３の任意の巡回置換が
>>長さ３の巡回置換の交換子積として実現できる
>>「トリック」を使ってたって、今思い出したよｗ
> そうそう そこ有名どころですね
> 大概の本には書いてある
でも、正規部分群の定義のaH=Haの＝を
同型と読んじゃう人にはワケワカランでしょ
ガロア拡大体も意味わかんないんじゃないかな
Q(２^(1/3))とQ(２^(1/3)ω)は同型だから
＝だとか読んじゃうじゃね？
（実はこれが体と同型群の対応関係なんだがね）
763:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 21:17:14.08 qR3y03w/.net
>>698 追加
そうそう
その石井本の第5章 4節 「体の次元を捉えよう」があるでしょ
そこに、下記と同様に
”既約多項式の互いに共役な元の入れ替えを考察するというのが、
ガロアによる方程式の理論の原型である。
一方、自己同型は線形空間として体拡大をとらえる現代的方法である。”
みたいな説明があるよね
（因みに、線形空間として捉える見方は、アルティンの創始らしい）
1次独立あるいは線形独立ね
多分、これと”代数的独立”の用語を混同したんだ
バカまるだしだったね
お粗末でした
院試だったら、首がとんでいるねｗ
まあ、ここは5ｃｈだからｗ
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
平成 16 年度代数学 B
講義ノート
広島大学大学院理学研究科 都築 暢夫
P27
7. 共役元
既約多項式の互いに共役な元の入れ替えを考察するというのが、ガロアによる方程式の理論の原型であ
る。一方、自己同型は線形空間として体拡大をとらえる現代的方法である。この章では、両者の関係を解説
する。
URLﾘﾝｸ(www.ritsumei.ac.jp)
環・体論 II ? GALOIS 理論
高山 幸秀 立命
P5
1.2. 拡大次数. 拡大体 L/K について、K と L を比較する際、もっとも素朴な疑問
のひとつは「L は K の何倍の大きさか？」であろう。それを測る尺度が拡大次数で
あり、それは拡大体が線形空間になっているという性質を使って定義される。
命題 8. 拡大体 L/K が与えられた時、L は K-線形空間である。 <
764:現代数学の系譜 雑談
22/12/12 21:27:31.73 qR3y03w/.net
>>699
いや、ぜんぶクリアしました
ガロアゲームは最後までクリアしました
まあ、大体は、
一部の天才は別として
殆どの人は、数学本の読み方は
躓きながら進んでいくものだろうさｗ
（落ちこぼれ2号さんは、5乗のべき根と巡回群の関係、そして5根全部が実のときとの関連箇所で、躓いたのかな？）
自分でも、言っていたろ？ｗ
昔、ガロア理論がワケワカだったって
で、あなたは、いま石井本読んでいる
それでいいのよ
765:１３２人目の素数さん
22/12/12 21:35:30.35 o5L78qQF.net
1が「ガロア理論の初歩から分かってない」ことはまったく明らか。
「既約方程式の根をすべて添加した体」がガロア拡大だと分かってなかったのだから。
ガロア拡大というのは、要するに「基礎体上、ガロア群が定義される体」ということ。
一方、ガロアは既約方程式の根の置換群としてガロア群を定義しているのだから
両者が一致しなければ話がつながらない。
そういうことが分かってないのが、数学センスが根本的にダメｗ
766:１３２人目の素数さん
22/12/12 21:57:20.18 TUjlnc/t.net
>>700
>1次独立あるいは線形独立と”代数的独立”の用語を混同したんだ
大学1年の線型代数からやり直せよｗ
>>701
はっきりいうと、
「拡大体は全て単拡大体」
が分かってなかったｗ
ところでα1,･･･,αnからθを作った場合
θを根とする最小多項式の他の根は
どうなってるんだろ？
一般には根はn!個ある筈だが
（もちろん、群が小さくなってればもっと少ない
位数nの巡回群なら、根はn個で
θはもとの方程式の根αiでいい）
767:１３２人目の素数さん
22/12/12 22:05:42.13 TUjlnc/t.net
>>703
>α1,･･･,αnからθを作った場合
>θを根とする最小多項式の他の根は
>どうなってるんだろ？
愚問だったｗ
θ=c1α1+･･･+cnαn
として、α1,･･･,αnを交換すりゃいいのか
そりゃ最大n!個だわな
768:１３２人目の素数さん
22/12/12 22:08:45.02 TUjlnc/t.net
なんだ、わかってしまえば屁みたいなことだったｗ
1はこんなのがわからんかったのか 馬鹿か？ｗ
まあいいや、円分方程式の根の計算が面白いからｗ
769:１３２人目の素数さん
22/12/12 22:12:43.44 o5L78qQF.net
>>704
>θを根とする最小多項式の他の根は
>どうなってるんだろ？
θが基礎体上でみたす既約方程式は自然に決まりますよね
その次数=ガロア群の位数ですよ。
ただ、既約方程式は「一意に決まる」と分かるだけで
実際に計算するのは中々大変です。
（既約性の判定などが必要になるから。）
770:１３２人目の素数さん
22/12/12 22:18:33.54 o5L78qQF.net
>既約方程式は「一意に決まる」
最小多項式は
771:１３２人目の素数さん
22/12/12 22:23:00.34 o5L78qQF.net
円分体でもガロア群の決定は円分多項式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
の既約性に帰着するが、この証明が一般の場合は中々難しいという話。
772:１３２人目の素数さん
22/12/12 23:13:16.96 TUjlnc/t.net
>>706
なるほど厄介 704は撤回ｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BD%93%E8%AB%96)
773:１３２人目の素数さん
22/12/12 23:30:32.39 TUjlnc/t.net
>>701
＞（落ちこぼれ2号さんは、5乗のべき根と巡回群の関係、
＞ そして5根全部が実のときとの関連箇所で、躓いたのかな？）
いや、
「５次方程式の最小分解体だから５乗根が追加されるのは当然」
という思い込みの💩壺に落ちたのは1こと0号、あんただよｗ
774:１３２人目の素数さん
22/12/13 04:12:50.23 V3OUy8Or.net
猿吉大明神が落ち零れ？なら>>1投稿者の集合Aは何だ？生き亡者か？
775:１３２人目の素数さん
22/12/13 05:48:55.95 Eed4vGmx.net
Q上の任意のアーベル体はある円分体の部分体である、を証明せよ。
776:１３２人目の素数さん
22/12/13 06:00:31.80 zy0H43fF.net
>>704が>>663のいう「ガロア・リゾルベント」だな
777:１３２人目の素数さん
22/12/13 07:14:47.56 zy0H43fF.net
1の誤りって結局
Q(ζ,ζ^(-1))=Q(ζ)=Q(ζ^(-1)) ならば
Q(ζ+ζ^(-1))=Q(ζ) と
何の考えもなく軽率に思い込んだってことよね
（実際にはQ(ζ+ζ^(-1))⊂Q(ζ)
例えば１の５乗根の場合
Q(ζ+ζ^(-1))＝Q(√５)⊂Q(ζ)
778:) だいたい、考えずにパッと判断して💩壺に落ちるよね おサル0号の1は まず、考えろよ 名目大卒の実質中卒なんだから
779:１３２人目の素数さん
22/12/13 07:30:41.52 /mF/XaZs.net
1はa^{1/5}にガロア群を作用させるとζ_5が出てくることさえ分かってない。
aは任意の代数体kの数であるとしてよい。
ただし5乗数ではない、つまりa^{1/5}はkには含まれないものとする。
どんなガロア群？ 十分大きなガロア拡大のガロア群
あるいは、「絶対ガロア群」とすればよい。
kの数を固定するものの全体は部分群をなす。
そしてその中にa^{1/5}→a^{1/5}ζ_5 と作用する元が必ずある。
一方で、ζ_5を含まないQ上のいかなるガロア拡大体の数に絶対ガロア群を作用させても
このような作用は持たない。矛盾するから。
780:１３２人目の素数さん
22/12/13 07:32:04.99 /mF/XaZs.net
ところで>>695の方程式は根が最も簡単なべき根表示を持つ既約5次方程式になっている。
なぜなら、ζ_25=(ζ_5)^(1/5)だから。
781:現代数学の系譜 雑談
22/12/13 15:00:04.30 2zFdfKF2.net
>>693 補足
>再度問う
>「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？」
１）だれかも言っていたが、クンマー拡大とクンマー理論があるよね（下記）
（クンマー拡大の逆を、クンマー理論が与えるという（下記））
２）下記「クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。」
３）いま、n=5(素数)と取る。n を割る数は、5と1のみ
４）次のクンマー拡大の逆
「K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K に添加すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大をなす。ここでできる体は多項式 X^n - a の分解体であるため、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回群となる」
を考える
つまり、上記の逆がクンマー理論とすれば、n=5(素数)と取るとき、位数 5 の巡回群であるガロア群があれば、
あるa∈Kが存在して、
aの5乗根を添加したクンマー拡大が存在する
ってことだね
５）ガロア群が位数 5 の巡回群のとき、あるa∈K の5乗根を添加する以外に
つまり、それは2乗根や3乗根、あるいは7乗根などでもいいけど
そういう5乗根以外のクンマー拡大があるとするのは、無理筋じゃね？
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は、基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、あるタイプの体の拡大を記述する理論である。クンマー理論は、元々は、1840年代にフェルマーの最終定理をエルンスト・クンマーが開拓しようとして発見した理論である。
つづく
782:現代数学の系譜 雑談
22/12/13 15:01:10.31 2zFdfKF2.net
>>717
つづき
クンマー理論の主な結果は、体の標数が n を割ってはいけないこと以外は体の性質に依存しておらず、従って、抽象代数学に属する。体 K の標数が n を割るときは、K の巡回拡大の理論はアルティン・シュライアー理論と呼ばれる。
クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分に多くの1の根が存在するときは、巡回拡大は冪根をとるという操作によって理解できるという理論である。類体論における主要な難所は、1の余剰な根をなしで済ませる（つまり、より小さな体へと「降下」する）ことである。それはクンマー理論と比べて非常に難しい。
クンマー拡大
K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K に添加すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大をなす。ここでできる体は多項式 Xn - a の分解体であるため、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回群となる。
クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Kummer theory
Kummer theory provides converse statements. When K contains n distinct nth roots of unity, it states that any abelian extension of K of exponent dividing n is formed by extraction of roots of elements of K.
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)<)はてなブログ.com/entry/hilberts-theorem-90
2017-11-15
ヒルベルトの定理90とクンマー理論
(引用終り)
以上
783:現代数学之陥穽 怪談
22/12/13 19:22:05.12 zy0H43fF.net
>>717
＞ガロア群が位数 5 の巡回群のとき、
＞あるa∈K の5乗根を添加する以外に
＞そういう5乗根以外のクンマー拡大がある
＞とするのは、無理筋じゃね？
壱 そもそもクンマー拡大ではなく円分拡大ではないか？
弐 クンマー拡大と円分拡大では解の置換の仕方が違わないか？
参 クンマー拡大の場合 α→ζα （α：5乗根 ζ：１の5乗根）
肆 円分拡大の場合 α→α^n （α：1のべき乗根）
伍 で α＋α^(-1) → α^n＋α^(-n) （cosのn倍角の公式）
参照
円分体のガロア群 美的数学のすすめ
URLﾘﾝｸ(biteki-math.)はてなブログ.com/entry/2015/04/08/090255
了
784:現代数学之陥穽 怪談
22/12/13 19:47:48.88 zy0H43fF.net
ということで
785:１３２人目の素数さん
22/12/13 22:04:39.68 /mF/XaZs.net
1が理解できもしないのに感心しそうなコピペｗ
「類体論の中で Kab を具体的に構成することは、最初にクンマー理論を使い
より大きな非アーベル拡大を構成し、それからアーベル拡大へ落とし込むこと
でなされるので、従ってアーベル拡大のより具体的な構成方法を問うている
ヒルベルトの問題の解には至っていない。」
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
786:現代数学の系譜 雑談
22/12/14 00:13:54.80 h2KJkl9Z.net
>>719
どうも
スレ主です
1）そのコテハン面白いな
2）クンマー拡大と円分拡大と、全く別物でもないんでないの？
3）どちらも、方程式のｎ乗根解法→ガロア理論 の範疇だし
4）a∈K で
aのｎ乗根を添加したときどうなるか？→巡回群：クンマー拡大
逆に、巡回群→ｎの約数のべき根拡大：クンマー理論
みたいな感じでないの？
5）なので再度問う
「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？」
6）つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？（クンマー理論から）
787:１３２人目の素数さん
22/12/14 03:25:44.77 pOsxGz9F.net
円分方程式の根は巾根だけを用いて表せるというと、そんなの当たり前じゃんといわれる。
どうして当たり前だと思うのかと聞くと、だって、1のｎ乗根は 1＾｛1／ｎ｝でしょ
だから円周ｎ分方程式の根は、1＾｛1／n}のｎ通りの値のうちの適切なものを
選べばすべて書けてるじゃないの、というのだ。ギャフン。
788:現代数学之陥穽 怪談
22/12/14 05:17:43.58 k8VlPTAV.net
数学板の幽霊である
>>722
壱 面白い？つまらんよ こんな名前
弐 巡回の仕方を理解せぬ、浅薄な感想には興味がない
参 どちらもガロア拡大、なんて当たり前のこと
肆 クンマーの話ばかりで円分拡大については何ひとつ述べてない 分かってないな
伍 >>719読め 音読はしなくていい 黙読しろ その代わり考えろ
一旦ここで切る
789:現代数学之陥穽 怪談
22/12/14 05:27:36.57 k8VlPTAV.net
>>722
＞再度問う
＞「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
＞ 5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？
＞ つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？」
壱 可解な既約5次方程式は必ず位数５の巡回群による拡大を要する、というのはよいとしよう
弐 問題は、位数５の巡回群による拡大は、必ず５乗根そのものを添加する、という点
参 ラグランジュの分解式を用いれば、解を表す式の中に５乗根は現れる
肆 一方で、その５乗根自体が最小分解体の中に含まれるか？といえば答えは否だ
伍 つまり５乗根を使わないことはないが、
必ず１の５乗根とある数の５乗根を追加したクンマー拡大�
790:ﾉなる というわけでもない、というのが答え 陸 ラグランジュの分解式に現れる解の巡回関数として何を用いるか おぬしは全く意識すらしていないのではないか？ それでは「ベキ根を使って方程式を解く」方法が理解できていないことになる
791:現代数学之陥穽 怪談
22/12/14 06:13:32.10 k8VlPTAV.net
壱 おそらく雑談 ◆yH25M02vWFhP 氏は、巡回について
「１／ｎ回転をｎ回繰り返せば１回転 これのみが巡回」
と思い込み、その理解に安住し切っていると思われる
考えることを嫌い、見たままで分かろうとする
サル🐒の典型的な本能といえばよいだろうか？
792:現代数学之陥穽 怪談
22/12/14 06:17:48.13 k8VlPTAV.net
>>726
弐 一方、素数ｐの円分多項式Φｐの根が、ｐ－１回の操作で循環するのは
目でみただけではわからない
なぜなら、操作が１／（ｐ－１）回転ではないからである
根をある角度としたとき、操作は角度のｎ倍になる
（ｎは２以上ｐ－１以下だが、どんなものでもよいわけではない）
793:現代数学之陥穽 怪談
22/12/14 06:26:08.90 k8VlPTAV.net
>>727
参 例えばΦ5について考える
ある根について角度を２倍にする操作をmod 5で見ると
１→２→４→３（＝８）→１（＝１６）→･･･
たかだかｐ－１回で戻るのは、そもそも根がｐ－１個しかないからである
しかしｐは素数だから、ｐ＞＝５ならばｐ－１は合成数であり、
ｐ－１の約数で巡回する場合がある、例えば４倍だと以下の通り
１→４→１（＝１６）→･･･
つまり円分方程式の根の巡回は、整数論的現象なのである
しかし整数論には全く興味がない、と臆面もなく語るサル🐒には、
上記のいわずもがなの事柄すら全く意識されていない
だから、●●の一つ覚えのようにクンマー！クンマー！！と叫ぶのである
私はクマ🐻ではない
794:現代数学之陥穽 怪談
22/12/14 06:29:37.16 k8VlPTAV.net
＝９＾３
795:現代数学の系譜 雑談
22/12/14 08:27:52.99 h2KJkl9Z.net
>>723
(引用開始)
円分方程式の根は巾根だけを用いて表せるというと、そんなの当たり前じゃんといわれる。
どうして当たり前だと思うのかと聞くと、だって、1のｎ乗根は 1＾｛1／ｎ｝でしょ
だから円周ｎ分方程式の根は、1＾｛1／n}のｎ通りの値のうちの適切なものを
選べばすべて書けてるじゃないの、というのだ。ギャフン。
(引用終り)
その話面白いな
1）まず、スタートを1＾｛1／ｎ｝ではなく
オイラーの式 e^2Πi＝1からスタートすべき
2）つまり、話は複素数根の問題で
円周ｎ分方程式の根は
e^2Πi/n＝cos(2Πi/n)+i sin(2Πi/n)
と書ける
これが、問題の式だ
3）よって、三角関数の式 cos(2Πi/n)、 sin(2Πi/n)
この三角関数の1/ｎ公式が、べき根だけで解ける（可解性）か？
が問題になるってこと
4）これを、解決したのが、
偉大なるガウス先生ってことです
(参考)
URLﾘﾝｸ(mathlog.info)
日曜数学会発表資料「1の19乗根を求めてみた話」子葉
ガロア理論 投稿日：06月19日 最終更新日：07月13日 （2022年かな？）
（追加参考）
file:///C:/Users/seta/Downloads/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%A0%B9%E3%81%AE%E5%88%86%E5%B8%83%E3%81%AE%E7%A0%94%E7%A9%B6%E3%81%8A%E3%82%88%E3%81%B3%E3%81%9D%E3%82%8C%E3%81%AB%E5%9F%BA%E3%81%A5%E3%81%8F%E6%95%99%E6%9D%90%E7%A0%94%E7%A9%B6.pdf
修士学位論文
方程式の根の分布の研究およびそれに基づく教材研究
宮城教育大学大学院 教育学研究科 (修士課程)
教科教育専攻 数学教育専修
17020 中野渡 峻也
学位授与年度 平成30年度
796:現代数学の系譜 雑談
22/12/14 10:18:56.62 XvLBbeMm.net
下記が面白い
「今回の研究によって、虚数角速度を持つ仮想世界を経由することで、クォークとグルーオンの閉じ込め現象について、信頼性の高い摂動計算のできる高温側から、未解決問題となっている低温側へと相転移なくアクセスできる可能性が示され、閉じ込め機構の解明に向けてまったく新しい研究の可能性が開拓されたとする」
これ、望月IUTも同様のアナロジーかな
楕円曲線の評価がほしい
↓
望月IUT（圏論による仮想の楕円曲線ワールド）
↓
不定性を持つ評価式
↓
元の楕円曲線の評価（不定性を含む）
だろうね
（参考）
URLﾘﾝｸ(news.mynavi.jp)
東大、虚数角速度を用いてクォーク閉じ込め相に到達できることを発表
2022/12/12 マイナビニュース
QCDは大きな相互作用エネルギーに対して結合定数が小さくなる性質(漸近的自由)を持っており、高温極限や高密度極限では質量が消失したり閉じ込めが失われたりする相転移があることがわかっている。このような相転移に関しては相対論的原子核衝突実験によって相図が調べられており、QCD相図の様相が少しずつ理解されてきたという。
最近では、原子核が衝突中心軸から互いにずれて衝突するときには、1秒間に1022(100垓)回転という大きな角速度を持つ高温物質が生成されることが、観測粒子のスピン偏極測定によって確認されており、QCD相図に対する回転の効果が大きな関心を集めているという。
つづく
797:現代数学の系譜 雑談
22/12/14 10:19:28.54 XvLBbeMm.net
>>731
つづき
ところが、角速度を取り入れると「符号問題」という深刻な困難によって摂動計算に頼らない理論解析が複雑になってしまい、角速度の効果について複数のグループから矛盾する計算結果が報告されるなど、理解が不十分な状況となっていたとする。
原子核衝突実験で生成されるような高速回転した物質の性質を数値計算によって解き明かすためには、符号問題を回避するために一旦、角速度を虚数にした仮想世界を経由する必要があるという。たとえば、通常の世界では時間と空間は区別されているが、時間を虚数に取った仮想世界では虚数時間はあたかも空間の一部のように見なすことが可能だ。そこで研究チームは今回、虚数角速度が虚数時間と同じように空間の性質と見なせることを指摘し、十分な高温状態に対して信頼できる理論計算を実行することにしたとする。
これまで、高温高密度のクォーク・グルーオン物質から閉じ込めの性質を調べるには、相転移を超えないと閉じ込め相にアクセスできないことから、従来の摂動計算には限界があった。しかし今回の研究によって、虚数角速度を持つ仮想世界を経由することで、クォークとグルーオンの閉じ込め現象について、信頼性の高い摂動計算のできる高温側から、未解決問題となっている低温側へと相転移なくアクセスできる可能性が示され、閉じ込め機構の解明に向けてまったく新しい研究の可能性が開拓されたとする。
(引用終り)
以上
798:現代数学の系譜 雑談
22/12/14 10:33:16.87 XvLBbeMm.net
>>732 追加
>ところが、角速度を取り入れると「符号問題」という深刻な困難によって摂動計算に頼らない理論解析が複雑になってしまい、角速度の効果について複数のグループから矛盾する計算結果が報告されるなど、理解が不十分な状況となっていたとする。
「符号問題」ね
下記が参考になるだろう
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.saiensu.co.jp)
サイエンス社
数理科学 2023年1月号 Ｎｏ.715
理論物理に立ちはだかる「符号問題」
克服を可能にする様々なアプローチ（12月15日発売予定）
立ち読み URLﾘﾝｸ(www.saiensu.co.jp)
内容詳細
物理学における様々な多体系の数値的研究においてモンテカルロ法は大きな成果を収めてきましたが，そこで現れる符号問題は素粒子，原子核，物性といった理論物理諸分野における重要な問題として知られています．しかしながら，符号問題の解決は理論の大きな進展にもつながると期待され，今日盛んに研究が進められています．
799:本特集では，モンテカルロ法や符号問題の基本的な解説から，物理諸分野の研究に現れる符号問題とその解決への様々なアプローチを，最近の進展とともに紹介していきます． ＜特集構成＞ 理論物理を覆う最後のベールは取り払えるか？／モンテカルロ計算と符号問題 ― 入門的記事．モンテカルロ法，符号問題とは何か，など／符号問題とレフシェッツ・シンブル法 ― Generalized thimble法，Tempered Lefschetz thimble法／有限密度QCDと符号問題／複素ランジュバン法と符号問題 ― ランジュバン方程式／超弦理論と符号問題 ― 時空創発と数値計算／符号問題という幻想 ― 量子もつれ／テンソルネットワークがつなぐ素粒子物理学と物性物理学 ― ハバード模型，高温超伝導など／量子力学的時間発展と符号問題 ― 経路積分法 (引用終り) 以上
800:現代数学の系譜 雑談
22/12/14 11:57:40.99 XvLBbeMm.net
>>722 追加
(引用開始)
4）a∈K で
aのｎ乗根を添加したときどうなるか？→巡回群：クンマー拡大
逆に、巡回群→ｎの約数のべき根拡大：クンマー理論
みたいな感じでないの？
5）なので再度問う
「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
5乗根なしだと、（元の方程式が）5次式にならないのではないの？」
6）つまり、「5次式→位数5の巡回群→5乗根による拡大」 となるのでは？（クンマー理論から）
(引用終り)
１）ガロア理論の”あらすじ”が、理解できていないのでは？
２）下記のベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全の目次を見て
”あらすじ”を、再度確認してみて
下記の”巡回拡大からベキ根拡大へ”が、クンマー拡大の逆＝クンマー理論では？
(参考)>>698より
URLﾘﾝｸ(www.beret.co.jp)
ベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全 2013
URLﾘﾝｸ(www.beret.co.jp)
目次
⑩ 同型写像ではみ出ない････････････････････････････････････････････ 377
・ガロア拡大体
定理 5.28 （最小分解体の次数）=（ガロア群の位数）････ 377
定義 5.8 ?ガロア拡大････････････････････････････････････････････････ 380
定理 5.29 Q(α) がガロア拡大体になる条件･･･････････････381
6? 1のベキ根の作る体････････････････････････････････････････････････････ 453
・円分体とガロア群
定理 6.3 ?円分体のガロア群･ ････････････････････････････････････ 457
7 x a 0 n- = の作る拡大体･･･････････････････････････････････････････････ 463
・クンマー拡大
定理 6.4 ?ベキ根拡大から巡回拡大を作る････････････････ 467
8? 巡回拡大はx a 0 n- = で作れる･･･････････････････････････････････ 472
・巡回拡大からベキ根拡大へ
定理 6.5 ?巡回拡大からベキ根拡大を作る･････････････････ 473
定理 6.6 ?デデキントの補題･ ･･･････････････････････････････････ 476
定理 6.7 ?ベキ根拡大を作るベキ根の存在･････････････････478
(引用終り)
以上