22/12/10 13:11:23.02 898jbfXT.net
>>549 補足
>>521
(引用開始)
「代数的に解くというのは
ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
ってこと」がわかってない
だからなんで可解性とかいう
「不可解」な定義が出てくんだ
と思っちゃう
ラグランジュのリゾルベントで解くしかない
と分かれば、ああ、何だ、それだけか、で終わりw
(引用終り)
１）補足するよ
原理的には、代数的に解ければ、ラグランジュのリゾルベントを反復適用できて解ける
２）なお、>>555 累開冪拡大とガロア群の関係
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
で、ラグランジェのリゾルベントでべき根拡大証明するのはありだが
数学の証明は、複数の別証明がある場合が多いよ
３）しかし、リゾルベントは目的により、いろいろ選べる
例えば、下記 5 次方程式の可解性の高速判定法にあるように
ラグランジュのリゾルベント以外を使うのもあり
４）実際、Coxのガロワ理論下 13.2 ５次多項式の節 では、ラグランジュのリゾルベントは使ってない
そして、同13.3 分解式の節では、分解式を一般化してガロワ群を計算するための系統的な方法を得る とある
５）勿論、ラグランジェのリゾルベントを使うこともあって
下記 Period-Mathematics 2019-05-11 可解な5次方程式のべき根による構成的解法
Dummitによる1991年の論文"Solving solvable quintics"では ラグランジェのリゾルベントも使っている
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録
第 848 巻 1993 年 1-5
5 次方程式の可解性の高速判定法
電子技術総合研究所 元吉文男 (Fumio MOTOYOSHI)
2. G(z) の計算法
G(z) は x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} の対称式であるので、原理的には G(z) の式を展開して、根と
係数の関係から z の係数を a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} で表すことができるが、計算量が膨大になる
ので以下に示す方法 [1] を利用する。
H(z) が求まれば G(z) も求まる。
H(z)=z^{6}+b_{1}z^{5}+b_{2}z^{4}+b_{3}z^{3}+b_{4}z^{2}+b_{5}z+b_{6}
とする。
つづく