22/12/10 07:56:13.63 meH3MbbN.net
ところで、このスレッドの名前を12から
「数学とその適用」に変更することを提案します
574:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 07:58:21.11 898jbfXT.net
>>520
どうも
スレ主です
ご指摘ありがとう
確かに、皆さんにご指摘の通りで、「代数的に独立」という用語が、全く不適切でした
よって
>>450の書き直し下記
>>431 戻る
(引用開始)
１）>>391
「では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？
一般的な話として、可解な5次方程式でもいいですが。
つまり、5乗根を取る操作をガロア拡大（クンマー拡大）
にするなら、ζ_5は必然的に含まれますが
最小分解体（方程式が一次式の積に分解する最小の体）
には含まれるか否か？って質問です。」
(引用終り)
１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
２）下記 最小分解体の定義より、最小分解体は、Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加し�
575:ﾄ Q(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける ３）いま、ζ_5が、Q(α1,α2,α3,α4,α5)に含まれないならば（そしてそれが普通だが） ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だよね ４）繰り返すが、{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だし 仮に、{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、ζ_5がそれら虚数根を含む最小分解体に含まれないならば ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) であり、そのような場合こそ普通だろ ５）なので、果たして彼は、 この問い「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？」 で何を問いたかったのか？ 意味が分からない 以上
576:１３２人目の素数さん
22/12/10 07:59:54.67 meH3MbbN.net
純粋数学と応用数学があるのではなくて、数学というものがあって、
それを諸問題の解決へ適用する事例がある、という認識です
577:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 08:00:18.44 898jbfXT.net
>>536 タイポ訂正
根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
↓
根α1,α2,α3,α4,α5 とする
578:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 08:01:06.76 898jbfXT.net
>>535
自分でスレ立てな
579:１３２人目の素数さん
22/12/10 08:12:21.33 meH3MbbN.net
>>536
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP さん
おはようございます
＞Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
＞根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるもの」から
「根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立」がいえますか？
もし、独立と云えないなら
＞最小分解体の定義より、最小分解体は、
＞Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加してQ(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける
について
「最小分解体は、（根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立であるから）
Qに５根α1,α2,α3,α4,α5全てを添加した
Q(α1,α2,α3,α4,α5)としか書けない」
とはいえませんが
端的にいえば、根1個を追加したQ(α1)という形で書けませんか？
580:１３２人目の素数さん
22/12/10 08:13:52.64 meH3MbbN.net
>>539
スレッドを立てられないこともあり、提案させていただきました
581:１３２人目の素数さん
22/12/10 08:24:37.53 meH3MbbN.net
>>536
＞ζ_5が、最小拡大体に含まれないならば
＞ζ_5 not∈最小拡大体 だよね
ええ、トートロジーですから
＞（そしてそれが普通だが）
ええ、トートロジーですから
582:１３２人目の素数さん
22/12/10 08:28:28.20 meH3MbbN.net
>>536
＞{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、
＞ζ_5 not∈最小拡大体 だし
ええ、Qは全て実数だし、根が全て実数なら
それをQに追加した体の要素も全て実数です
一方、ζ_5は実数ではありませんから
ガロア理論以前のこととして、
高校生でも分かるかと思います
583:１３２人目の素数さん
22/12/10 08:33:14.30 meH3MbbN.net
>>536
＞{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、
＞ζ_5がそれら虚数根を含む最小分解体に含まれないならば
＞ζ_5 not∈最小分解体 であり
ええ、トートロジーですから
＞そのような場合こそ普通だろ
ええ、トートロジーですから
ところで、Q上の5次方程式f(x)のガロア群が位数5の巡回群の場合
・根は全て実根である
・最小分解体はQに根の1つαを追加したQ（α）である
がいえることは御存知でしたか？
584:１３２人目の素数さん
22/12/10 08:42:47.19 meH3MbbN.net
>>536
１）~４）のうち
・１）、２）については
「Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるもの」と
「根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立」が
両立することの証明がない
・３）および４）の後半は
「・・・に含まれないなら、not∈」
というトートロジーであり自明
・４）の前半は、実数の部分集合が、
実数でない数を要素として持つことはない
というもので、論理学におけるトートロジーではないが自明
ということで、残念ですが、誤りもしくは無内容、といわざるを得ませんでした
585:１３２人目の素数さん
22/12/10 08:48:49.89 d7i+9yuD.net
🍎algebra
Infinite addition of normal natural numbers
±1±2±3±4±5±6±･･････±∞≒±1/12⇔
0=0,
0=0/0,
0=±∞/0,
0=±0/±∞,
0=±∞/±∞
±1/12=±0,±∞±1/2,±1,±2,±3,±4±,5,±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12
when
-1/12⇔=0=⇔π^2/6
-1≈=π^2=e^πi ±1≈0=decimal
e^πi +1≒0⇔
→↑↓→e^πi±1←↑↓←
586:１３２人目の素数さん
22/12/10 09:06:15.83 meH3MbbN.net
>>372
「x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
はQ上可解な既約5次方程式」
>>392
「372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？」
>>545
＞何を問いたかったのか？ 意味が分からない
そもそも、371の質問とそれに対する381の回答の中身が分かってますか？
>>371
＞可解な既約5次方程式の代数解法には必ず5乗根が必要なことを示せ。
>>381
＞方程式の群の可解列で、最後{e}の一つ前が、位数5の巡回群になる。
＞これに対応するのが、5乗根の添加で 例えば x^5=aで
＞ここから、1の5乗根が出る
392は回答381への追加質問として書かれてます
もっと分かりやすく質問しますが
Q1.
５乗根の添加ということで、あるaの５乗根を添加するとして
aはQの元？それともQではないある体の元？
後者だとした場合、いかなる体の元？
Q2
「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、
５乗根そのものは要素として含まれる？
587:１３２人目の素数さん
22/12/10 09:06:19.73 dZ9h00o/.net
>>536
>１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
> 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「代数的に独立」の意味が分かってないね。
代数的関係があれば代数的に独立ではない。
特に代数的数同士は代数的に独立ではない。
超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。
だから多分、「根たちが不定元だ」と言いたいのだろう。
しかしその場合、基礎体はQに方程式の係数（つまり根たちの基本対称式）
を添加しなければならない。
そしてその場合、根たちは基礎体から代数的に導けるので
代数的に独立ではない。
代数方程式の根について論じてるのに、「代数的に独立」
という「魔法の言葉」で「証明」しようというのがバカだってこと。
正にトンデモ並の証明理解ｗ
588:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 09:16:33.15 898jbfXT.net
>>521
(引用開始)
「代数的に解くというのは
ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
ってこと」がわかってない
だからなんで可解性とかいう
「不可解」な定義が出てくんだ
と思っちゃう
ラグランジュのリゾルベントで解くしかない
と分かれば、ああ、何だ、それだけか、で終わりw
(引用終り)
違うよ
確かに、ガロア第一論文では、命題VIIでラグランジュ リゾルベントを使っている
（彌永本 ガロアの時代・ガロアの数学 第二部が詳しい。この部分の解説もある。
しかし、ガロアの”次数(n-2)！”の補助方程式が何を指すのか分からない などと、彌永先生の目から見て、意味不明な点もあるようだね）
さて
Lagrange resolventは、現代数学では一般化されて、Resolvent (Galois theory)となっている
従って、Lagrange resolventを使っても良いが、他のResolventを使うことも可能
（これについては、Cox ガロワ理論下 13.2 5次多項式が詳しい。実際、Lagrange resolventでなく 普遍6次分解式を使って説明している）
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(Galois_theory)
Resolvent (Galois theory)
Resolvents were introduced by Joseph Louis Lagrange and systematically used by Evariste Galois. Nowadays they are still a fundamental tool to compute Galois groups.
Terminology
・A Galois resolvent is a resolvent such that the resolvent invariant is linear in the roots.
・The Lagrange resolvent may refer to the linear polynomial
Σ_{i=0}^{n-1} X_iω^i
つづく
589:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 09:17:05.55 898jbfXT.net
>>549
つづき
Resolvent method
The resolvent method is just a systematic way to check groups one by one until only one group is possible. This does not mean that every group must be checked: every resolvent can cancel out many possible groups. For example, for degree five polynomials there is never need for a resolvent of D_{5}: resolvents for A_{5} and M_{20} give desired information.
(注：下記では、ラグランジュ・リゾルベントを上記の一般的なResolventに近い意味で使っている。また、代数的に解ける場合に限定している)
URLﾘﾝｸ(www.slideshare.net)
Jan. 23, 2013 Junpei Tsuji
可解性を説明できる代数的手法? 五次方程式の解法五次の交代群は単純群かつ
590:巡回群でない⇔ ラグランジュ・リゾルベントは存在しない⇔ 解の公式は存在しない76; 77. 方程式が解くことができる仕組みを説明したガロア理論。 ガロア理論を使って、五次方程式が解けないことを示すまで、を初学者向けに説明することを試みます。 わかりやすいことに念頭をおいて作ったため、多少の不正確さはあると思います。 興味を持った方はぜひ参考書にトライしてみてください。 ※2015/02/03 スライド63がちょっと正確でない気がしてきましたので、調査中です。近いうちに修正します。 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B50/pdf/B50_015.pdf ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察 高瀬正仁 九州大学 MI 研究所/日本オイラー研究所 P3 ラグランジュのいう 「一般原理」というのはいわゆるラグランジュの分解式を根 底におく解法原理のことである. (引用終り) 以上
591:１３２人目の素数さん
22/12/10 09:22:34.80 DV2XUKqW.net
>>550
以下の指摘に答えるべきなのは誰？
>１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
> 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「代数的に独立」の意味が分かってないね。
代数的関係があれば代数的に独立ではない。
特に代数的数同士は代数的に独立ではない。
超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。
592:１３２人目の素数さん
22/12/10 09:24:04.10 dZ9h00o/.net
>「代数的に解くというのは
> ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
> ってこと」
これは完全に正しいよ。
1がなぜ数学が出来ないか？
自分の頭で考えないから。
593:１３２人目の素数さん
22/12/10 09:29:22.35 DV2XUKqW.net
自分の頭「だけ」で考えなければ
考えはなかなかまとまらない。
だからコピペになるのだろう。
と、自分の頭で考えた。
594:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 09:38:34.27 898jbfXT.net
>>548
>「代数的に独立」の意味が分かってないね。
>代数的関係があれば代数的に独立ではない。
>特に代数的数同士は代数的に独立ではない。
>超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。
>だから多分、「根たちが不定元だ」と言いたいのだろう。
どうも
スレ主です
「代数的に独立」の意味が分かってなかった
用語の誤用がありました
（超越的との対比で使うべき用語だった）
なお、言いたいことは、>>536&>>538(タイポ訂正)です
(参考)
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
26. 超越拡大・代数的独立性
26-1. 代数的独立. 体の拡大 L/K に於いて、有限部分集合 S = {x1, . . . , xn} ⊂ L に対し、
・S : K 上代数的独立 (algebraically independent)
←⇒ φ : K[X1, . . . , Xn] → L; Xi → xi: 単射準同型
←⇒ ∀x ∈ S : x が K(S r {x}) 上超越的
←⇒ ∀k = 1, . . . , n に対し、xk : K(x1, . . . , xk?1) 上超越的
一般に、(無限かも知れない) 部分集合 S ⊂ L に対しては、
・S : K 上代数的独立 ←←⇒ S の任意の有限部分集合が K 上代数的独立
←⇒ ∀x ∈ S : x が K(S r {x}) 上超越的
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
代数学続論講義ノート 安藤哲哉
p4
2. 代数拡大
代数的独立
(引用終り)
以上
595:１３２人目の素数さん
22/12/10 09:44:43.21 meH3MbbN.net
>>552
ええ、わかってます だまされませんよ
371の質問にジャストミートしてると思いますが
ラグランジュのリゾルベントの使用に関する
一番分かりやすい説明は以下ですね
累開冪拡大とガロア群の関係
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
ただ、以前にもここは見てたんですが、その時はピンとこなかった
はじめて「あぁぁぁぁっ！そうだったのか！」（昇天）と気づいたのは
はてなブログのPeriod-Mathematicsの
”「解の巡回」にトドメをさす！～ガロア理論による背景の完全解明～”の、
この言葉を見たとき
（解の）巡回関数
＊V女優の告白じゃないですけど、はじめて「イク」体験をしました・・・
596:
597:１３２人目の素数さん
22/12/10 09:59:55.69 meH3MbbN.net
>>554
「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」さん
あなた・・・まだ、イッたことないですね
はっきりいいますが、もし５次方程式が代数的に解けるなら
５根を順繰りに巡る「巡回関数」がある体で存在する筈なんですわ
で、それは「５根が代数的に独立でない」ってことですわ
598:１３２人目の素数さん
22/12/10 10:15:26.68 d7i+9yuD.net
The type of space-time is
ζ、Γζη、ξ
0→M⇔➗⇔÷⇔2π^2
6･･････π^2
★
6･･････π^2
Solar system π^2 has 6 planets when the sun is given 0!
599:１３２人目の素数さん
22/12/10 10:56:26.59 d7i+9yuD.net
There are eight planets in the solar system, starting from the closest to the Sun, Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, and Neptune.
Everything is
at πi
being Generated
it is Perfect.
600:１３２人目の素数さん
22/12/10 11:09:42.22 fUcDTqXn.net
>>536
間違ってるぞ
×どうも
スレ主です
○どうも
ゴミ虫です
◎どうも
クソ虫です
よく自覚しておく様に｡
601:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 11:42:51.16 898jbfXT.net
>>554
追加
書誌情報
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
角皆 宏(つのがい ひろし)のウェブページ 上智
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
2008年度の講義概要
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
代数学IIe・講義内容と予定
1/22(予定)
配る予定のプリント [page 16(pdf,39KB) |page 17(pdf,33KB) ]
Galois理論。Dedekind-Artinの方法。
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
26. 超越拡大・代数的独立性 page 17(pdf,33KB)
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
安藤 哲哉
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
安藤哲哉 千葉大
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
講義ノート
代数学続論(体とガロア理論)Download (Algebta III)
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
代数学続論講義ノート 安藤哲哉
602:１３２人目の素数さん
22/12/10 11:58:45.28 meH3MbbN.net
>>561
わかります イキたいのにイケない・・・最悪ですよね
603:１３２人目の素数さん
22/12/10 12:07:17.22 meH3MbbN.net
10年間
検索→考えずに読む→分からんので怒って放り出す→･･･
というループを繰り返し続けてきたんでしょうね
なんで考えないんでしょう？
なんで計算しないんでしょう？
それは実は数学に全く興味がないからじゃないですか？
もしそうなら、数学諦めたほうが幸せになれるんじゃないですか？
604:１３２人目の素数さん
22/12/10 12:13:56.00 meH3MbbN.net
これはまったく自分の体験談として語るのですが
些細なきっかけにも気づかない、というのは
所詮その程度のうっすい興味でしかなかった
ってことなんですよ
ということでこの曲
きっかけ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
605:１３２人目の素数さん
22/12/10 12:24:08.78 dZ9h00o/.net
ξをn次巡回方程式の根として、αを適切なn乗根として
ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
とあらわせる。これって要するにフーリエ級数展開ですよね。
ガロア群G（巡回群）⇔ R/Z
α^k ⇔ 固有函数 exp(2πikx)
a_k ⇔ フーリエ係数
という対応関係。
ラグランジュリゾルベントは、フーリエ係数の積分計算に対応する。
（正確には、係数a_kではなく、n a_kα^k が計算される。）
いずれにしても「直交関係」を利用しているわけ。
606:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 13:11:23.02 898jbfXT.net
>>549 補足
607:>>521 (引用開始) 「代数的に解くというのは ラグランジュのリゾルベントを反復適用する ってこと」がわかってない だからなんで可解性とかいう 「不可解」な定義が出てくんだ と思っちゃう ラグランジュのリゾルベントで解くしかない と分かれば、ああ、何だ、それだけか、で終わりw (引用終り) １）補足するよ 原理的には、代数的に解ければ、ラグランジュのリゾルベントを反復適用できて解ける ２）なお、>>555 累開冪拡大とガロア群の関係 https://hooktail.sub.jp/algebra/SuccessiveExtentionGalois/ で、ラグランジェのリゾルベントでべき根拡大証明するのはありだが 数学の証明は、複数の別証明がある場合が多いよ ３）しかし、リゾルベントは目的により、いろいろ選べる 例えば、下記 5 次方程式の可解性の高速判定法にあるように ラグランジュのリゾルベント以外を使うのもあり ４）実際、Coxのガロワ理論下 13.2 ５次多項式の節 では、ラグランジュのリゾルベントは使ってない そして、同13.3 分解式の節では、分解式を一般化してガロワ群を計算するための系統的な方法を得る とある ５）勿論、ラグランジェのリゾルベントを使うこともあって 下記 Period-Mathematics 2019-05-11 可解な5次方程式のべき根による構成的解法 Dummitによる1991年の論文"Solving solvable quintics"では ラグランジェのリゾルベントも使っている (参考) https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf 数理解析研究所講究録 第 848 巻 1993 年 1-5 5 次方程式の可解性の高速判定法 電子技術総合研究所 元吉文男 (Fumio MOTOYOSHI) 2. G(z) の計算法 G(z) は x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} の対称式であるので、原理的には G(z) の式を展開して、根と 係数の関係から z の係数を a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} で表すことができるが、計算量が膨大になる ので以下に示す方法 [1] を利用する。 H(z) が求まれば G(z) も求まる。 H(z)=z^{6}+b_{1}z^{5}+b_{2}z^{4}+b_{3}z^{3}+b_{4}z^{2}+b_{5}z+b_{6} とする。 つづく
608:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 13:12:45.38 898jbfXT.net
>>565
つづき
URLﾘﾝｸ(period-mathematics.)<)も参考にした*1。
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
mathematics of computation
volume 57, number 195
july 1991, pages 387-401
SOLVING SOLVABLE QUINTICS
D. S. DUMMIT
(引用終り)
以上
609:１３２人目の素数さん
22/12/10 14:48:03.71 dZ9h00o/.net
>>564
一点だけ。
「ガロア群G上の函数」が定義されてませんでしたね。
これは「Gが作用している体Kの数」になります。
σ∈G, ξ∈K に対して
σ(ξ)と作用するわけですが、これを逆に見て
σ(ξ)を函数ξのG上の値 と見ればOK.
つまり、ξ(σ)とも書けますね。ξ(e)=ξ.
（通常は、ξ^σ のように書く。）
610:１３２人目の素数さん
22/12/10 14:48:05.36 meH3MbbN.net
>>565
＞補足するよ
どうぞ
＞原理的には、代数的に解ければ、ラグランジュのリゾルベントを反復適用できて解ける
それ、トートロジーですね
＞なお、･･･ラグランジェのリゾルベントでべき根拡大証明するのはありだが
＞数学の証明は、複数の別証明がある場合が多いよ
ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも、代数的に解けますか？
＞しかし、リゾルベントは目的により、いろいろ選べる
＞･･･ラグランジュのリゾルベント以外を使うのもあり
ラグランジュのリゾルベントと同等の方法なら同じことですよ
同等というのは、ラグランジュのリゾルベントで解けるならその別方法でも解け
逆に、その別方法でも解けるなら、ラグランジュのリゾルベントでも解ける、という意味
＞
611:実際、Coxのガロワ理論下 13.2 ５次多項式の節 では、 ＞ラグランジュのリゾルベントは使ってない ＞そして、同13.3 分解式の節では、分解式を一般化して ＞ガロワ群を計算するための系統的な方法を得る ＞とある 方程式を解いて解を得る、ということでないなら 例えばガロア群を計算するということなら ラグランジュのリゾルベントは使わないですよ 分かってると思いますが、ガロア群の計算は求解計算ではありませんよ ＞勿論、ラグランジェのリゾルベントを使うこともあって ＞下記 Period-Mathematics 2019-05-11 可解な5次方程式のべき根による構成的解法 ＞Dummitによる1991年の論文"Solving solvable quintics"では ＞ラグランジェのリゾルベントも使っている 解を求めるなら、ラグランジェのリゾルベントを使うでしょう
612:１３２人目の素数さん
22/12/10 14:51:06.10 meH3MbbN.net
>>568
では、「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」様に質問です
ラグランジュのリゾルベントを使うにあたり
分かってなくてはならないことがあります
それはなんでしょう？
ヒント
累開冪拡大とガロア群の関係
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
「ガロア群が巡回群 G(E/F)={1,φ,･･･,φ^n-1}だとすると（ この仮定が重要！ ）、
解 θ_0,θ_1,･･･,θ_[n-1] は、θ_0,φθ_0,...,φ^{n-1}θ_0 のように、
θ_0 と φ だけを使って書き換えることができます。」
とありますが、このφってなんですか？φθ_0って何をやってるんですか？
（ヒントのヒント
Period-Mathematics 2019-05-04 巡回多項式を代数的に解く
に書いてありますが、粗雑に流し読みすると、まあ見落としますね
そういう人は・・・涅槃にイケません）
涅槃
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
涅槃（ねはん）、
ニルヴァーナ（サンスクリット語: निर्वाण、nirvāṇa）、
ニッバーナ（パーリ語: निब्बान、nibbāna）とは、
一般にヒンドゥー教、ジャイナ教、仏教における概念であり、
繰り返す再生の輪廻から解放された状態のこと。
613:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 15:00:57.48 898jbfXT.net
>>547
お答えします
Q1
５乗根の添加ということで、あるaの５乗根を添加するとして
aはQの元？それともQではないある体の元？
後者だとした場合、いかなる体の元？
A1
簡単に基礎体を有理数Qとする
aの５乗根 a^(1/5)は、無理数とする
・実根のみを添加した体Q(a^(1/5))が考えられる
・実根以外も全て含めた体、Q(a^(1/5),ζ5)が考えられる（ζ5は、1の原始5乗根）
Q2
「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、
５乗根そのものは要素として含まれる？
A2
簡単に基礎体を有理数Qとする
また、元の方程式を、既約で可解な5次方程式とする
5つの根を (a1,a2,a3,a4,a5)とする
最小分解体は一般的にQ(a1,a2,a3,a4,a5)と書ける（a1,a2,a3,a4,a5は減らせるかも知れないが今は不問とする）
>>381に述べたように、ガロア第一論文の最後の定理から
位数5の巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる
ここから、ある補助式から出るaがあって、a^(1/5)を含んだ式が出てくる（a^(1/5)は、上記同様無理数）
つまり、 (a1,a2,a3,a4,a5)たちは、a^(1/5)含んだ代数式（加減乗除とべき根）で表される
例えば、この式を ai＝f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1～5のどれか)
最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
614:１３２人目の素数さん
22/12/10 15:26:35.68 meH3MbbN.net
2次方程式の場合
ax^2+bx+c の根の一つをαとする
このとき、
ax^2+bx+c
=a(x-α)(x-(-α+b/α))
と表せる
ま、この程度なら高校数学
615:１３２人目の素数さん
22/12/10 15:30:32.08 meH3MbbN.net
>>570
採点します
>Q1
>５乗根の添加ということで、あるaの５乗根を添加するとして
>aはQの元？それともQではないある体の元？
>後者だとした場合、いかなる体の元？
>A1
>簡単に基礎体を有理数Qとする
>aの５乗根 a^(1/5)は、無理数とする
>・実根のみを添加した体Q(a^(1/5))が考えられる
>・実根以外も全て含めた体、Q(a^(1/5),ζ5)が考えられる
>（ζ5は、1の原始5乗根）
質問にはまったく答えられてませんね
質問は
「aはQの元？それともQではないある体の元？
後者だとした場合、いかなる体の元？」
ですよ
ということですが、残念ですが、やり直し
まだ、涅槃にはイケませんね
616:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 15:45:02.88 898jbfXT.net
>>568
>＞なお、･･･ラグランジェのリゾルベントでべき根拡大証明するのはありだが
>＞数学の証明は、複数の別証明がある場合が多いよ
> ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも、代数的に解けますか？
１）解けるよ
２）そもそも、なぜ根の置換が重要か？
617: それは、下記の定理 6.3による （この定理と証明は、いろんな方程式論の本にある） ３）そして、下記「分解式を x1+ωx2+ ω^2x3 とおいたことは 天来の妙手としか言いようがないというこ とになってしまうので これの由来を説明する」 とあるよ。ここ読んでね ４）もちろん、１のべき根は必要に応じて、添加できる前提だが （１のべき根は、代数的に可解なので、当然ですが） (参考) https://sitmathclub.github.io/research/ 芝浦工業大学 数理科学研究会 https://sitmathclub.github.io/research/pdf/2015/shibaura/document/ishikawa_p.pdf 2015 多項式の解法 芝浦工業大学 数理科学研究会 石川 直幹 P12 定理 6.3 有理式 f(x1,x2,・・,xn) を変えない置換によって 他の有理式 φ(x1,x2,・・,xn)が変わらないならば φ＝(a0+a1f+a2f^2+・・)/(a'0+a'1f+a'2f^2+・・) のような恒等式が成り立つ (注：つまり、φは式 fの有理式で表される) P28 3 分解式の作り方 3.1 三次の場合 このままだと 分解式を x1+ωx2+ ω^2x3 とおいたことは 天来の妙手としか言いようがないというこ とになってしまうので これの由来を説明する (以下略。原文参照のこと。要するに、数ある分解式で、1次式で良さそうなものがこれって話です) なお P36 5 5次方程式の解法 その後の 6 補遺で5次方程式になぜ冪根解法がないかの探求をしているところは、参考になるだろう (引用終り) 以上
618:１３２人目の素数さん
22/12/10 15:55:13.19 dZ9h00o/.net
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
619:１３２人目の素数さん
22/12/10 15:58:29.92 meH3MbbN.net
>>570
さらに採点します
>Q2
>「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、
>元の方程式の最小分解体の中に、
>５乗根そのものは要素として含まれる？
>A2
（略）
>5つの根を (a1,a2,a3,a4,a5)とする
（略）
>ガロア第一論文の最後の定理から
>位数5の巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、
>従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる
>ここから、ある補助式から出るaがあって、
>a^(1/5)を含んだ式が出てくる
>つまり、 (a1,a2,a3,a4,a5)たちは、
>a^(1/5)含んだ代数式（加減乗除とべき根）で表される
>例えば、この式を ai＝f(a^(1/5)) とでもしましょう
>(ここに、iは1～5のどれか)
>最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
>かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
>だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
>f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Qには、
>方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
結論からいうと・・・誤り
あなたの発言を額面通りに受け取ると以下がいえる
「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、
逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、体Q上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、
f(x)→xを体Q内に得ることは可能」
つまり、Q上の方程式の根がQ上に存在するといえることになる！
・・・しかし、明らかに誤りですね
だってx^2=2も、x^2=-1も、その根はQじゃないですから
620:１３２人目の素数さん
22/12/10 16:03:32.46 dZ9h00o/.net
1はa^(1/5)にガロア群がどう作用するかも分かってない？
σ(a^(1/5))=ζ_5の何とか乗×a^(1/5) のように作用する。
これが固有函数 exp(2πikx) と同じ性質なわけ。
621:１３２人目の素数さん
22/12/10 16:07:35.66 meH3MbbN.net
>>575
それにしても
「最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能」
は
「任意の正方行列に対して、その逆行列が存在する」
に匹敵する発言ですね
もし
「体Ｆ上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、
f(x)→xを体F内に得ることは可能」
だったら、
・ピタゴラスは発狂して弟子を殺すことはなかった
（無理数なんて出てこないから）
・虚数なんて必要なくなった
（実数上の多項式は必ず実根を持つから）
・ガウスが代数学の基本定理を証明する必要もなかった
（だって自明な命題になっちゃいますから）
ってことになります
数学史が劇的に塗り替えられますよ！
622:１３２人目の素数さん
22/12/10 16:10:39.88 meH3MbbN.net
>> ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも、代数的に解けますか？
> 解けるよ
これは誤りですね
「ラグランジュのリゾルベントを使わなくても」ではなく
「ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも」です
つまり、代数的に解け、かつ
ラグランジュのリゾルベントの式が成立しない場合があるか？
という質問です
そんな場合はあり得ませんよ
623:１３２人目の素数さん
22/12/10 16:55:19.27 meH3MbbN.net
ところで、４次方程式までなら代数的に解けるのであるから
そこから、逆に任意の（４次以下の）方程式の
「解の巡回関数」が求まることになる
2次方程式の場合（>>571の修正）
ax^2+bx+c の根の一つをαとする
このとき、
ax^2+bx+c
=a(x-α)(x-(-α+b/a))
と表せる
-(-α+(b/a))+b/a
=α-b/a+b/a
=α
確かに巡回してるわ
624:１３２人目の素数さん
22/12/10 17:10:07.07 meH3MbbN.net
まあ、
「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、
逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、体Q上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、
f(x)→xを体Q内に得ることは可能」
なんて、ナイーブな誤りを先入見として持ち続けてる人に
ガロア理論は理解できるわけないですね
だって「」内は
「アーベル・ルフィニの定理は間違ってる！
方程式の次数がいかほど高くても、逆演算で解ける！」
って言ってるのと同じだもの
相ま、非ユま、ガロま
縁なき衆生は･･･
625:１３２人目の素数さん
22/12/10 17:12:01.24 meH3MbbN.net
>>580
「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」さんは
以下のように改名したほうがいいですね
「アーベルもガロアも間違ってる ◆yH25M02vWFhP」
626:１３２人目の素数さん
22/12/10 17:17:59.49 meH3MbbN.net
「アーベルもガロアも間違ってる」はいそうでいないタイプですね
「ゲーデルは間違ってる」はなにげにいますね
627:１３２人目の素数さん
22/12/10 17:21:38.69 meH3MbbN.net
ガロまに漢字をあててみた
「俄魯魔」
1こと「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」さんに差し上げます
「俄魯魔の集合A」
628:１３２人目の素数さん
22/12/10 17:26:45.06 meH3MbbN.net
俄魯魔の集合A 学位論文
いかなる体上のいかなる方程式も、その体上に根を持つ
「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、体上の式f(x) に上記の逆演算を施せば
f(x)→xを体内に得ることが可能である！」
複素数体だったら200年前に「あるドイツ人」が証明したんだけどねえ
「代数学の基本定理」っていうんですが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
629:１３２人目の素数さん
22/12/10 17:30:10.44 meH3MbbN.net
それにしても、長年数学板にガロア理論のスレッドを立ててた人の動機が、まさか
「ガロア理論は間違ってる！
任意の体上の方程式はその体上に根をもつ！
しかも具体的に逆演算で求められる！」
だったなんて、驚き桃の木山椒の木ですわ・・・
630:１３２人目の素数さん
22/12/10 18:13:23.60 90JrxjIA.net
「体K上のいかなる方程式も、その体上に根を持つ」ならKは代数閉体であるが、
有理数体も実数体も代数閉体でないことくらい中学生でも分かる
実際 X^2+1 は実根を持たない
631:１３２人目の素数さん
22/12/10 18:18:19.84 meH3MbbN.net
>>586
まったく同感
ただ、>>571の以下の文章は
任意の体は代数的閉体だと読めちゃうんですよ
「(a1,a2,a3,a4,a5)たちは、a^(1/5)含んだ代数式（加減乗除とべき根）で表される
例えば、この式を ai＝f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1～5のどれか)
最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、
方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる」
632:１３２人目の素数さん
22/12/10 18:19:00.64 meH3MbbN.net
>>586
まったく同感
ただ、>>570の以下の文章は
任意の体は代数的閉体だと読めちゃうんですよ
「(a1,a2,a3,a4,a5)たちは、a^(1/5)含んだ代数式（加減乗除とべき根）で表される
例えば、この式を ai＝f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1～5のどれか)
最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、
方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる」
633:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 19:07:58.80 898jbfXT.net
>>574
(引用開始)
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
(引用終り)
スレ主です
１）言っている意味が分からん
２）最小分解体分かってますか？
ガロア拡大がなんですと？
混乱しているように見えるのは私だけかな？
３）Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
２項方程式 x^5=a (a^(1/5)は無理数)で、
ある無理数a^(1/5)を、Q(a1,a2,a3,a4,a5)に含んでいても
それで、なんの不思議もないでしょ
４）Coxのガロワ理論下 P490に任意の可解な方程式で、x^5+ax+bの式の
明示的な解の公式の文献が、[1][29]にあると記されている
[29]がCharacterizaton of solvable quintcs x^5+ax+b Amer.Math.Monthy 101(1994),986-992
だが、キーワード Characterizaton of solvable quintcs x5+ax+b で検索すると下記などがヒットした
URLﾘﾝｸ(people.math.carleton.ca)
ROCKY MOUNTAIN
JOURNAL OF MATHEMATICS
Volume 28, Number 2, Spring 1998
634:ON SOLVABLE QUINTICS X5 + ax + b AND X5 + ax2 + b BLAIR K. SPEARMAN AND KENNETH S. WILLIAMS これで代用するよ ５）ここには、可解の場合の解の公式があって、全て、a^(1/5)の形の5乗根を含む それ当たり前でしょ？ 2次で平方根、3次で立方根、5次なら5乗根を含むだろう ６）そして、可解の場合の解の公式だから、5つ全部実根の場合も含むよ
635:１３２人目の素数さん
22/12/10 19:30:19.98 dZ9h00o/.net
>>589
>２）最小分解体分かってますか？
> ガロア拡大がなんですと？
> 混乱しているように見えるのは私だけかな？
>３）Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
標数0の場合「基礎体上のある方程式の根」をすべて添加したらガロア拡大になる。
最小分解体とは既約方程式が1次式の積に分解している最小の体だから、ガロア拡大。
そんなことも分からないバカ野郎ｗ
636:１３２人目の素数さん
22/12/10 19:41:57.44 dZ9h00o/.net
巡回方程式の根のべき根表示（フーリエ級数展開）
(1) ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
において、Q(ξ)の体にαが含まれるための必要十分条件は
Q(ξ)に1の原始n乗根ζ_nが含まれること。
それはラグランジュリゾルベントの計算を考えてみれば明らか。
逆に言えば、Q(ξ)にζ_nが含まれなければ
αはQ(ξ)には含まれない。それは表示式(1)と
まったく矛盾しない。
637:１３２人目の素数さん
22/12/10 19:50:36.30 dZ9h00o/.net
別の言い方をすると、巡回方程式の
根のべき根表示を得るにはクンマー拡大を経由する
基礎体にζ_nが含まれていなければ
少し大きい体を経由するする必要があるってこと。
638:１３２人目の素数さん
22/12/10 19:58:54.05 dZ9h00o/.net
>>372から言ってることが一貫してるでしょ？
639:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 21:18:05.38 898jbfXT.net
>>590
(引用開始)
>>589
>２）最小分解体分かってますか？
> ガロア拡大がなんですと？
> 混乱しているように見えるのは私だけかな？
>３）Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
標数0の場合「基礎体上のある方程式の根」をすべて添加したらガロア拡大になる。
最小分解体とは既約方程式が1次式の積に分解している最小の体だから、ガロア拡大。
そんなことも分からないバカ野郎ｗ
(引用終り)
１）あららのら！ｗ
２）>>488より再録
”３）で、私は回答>>381を書いた
そこに、還元不能問題（不還元）についても記した
４）>>391 ID:R+sEJurg氏が
「不還元の話は特に必要ないです」とか言い出した
５）で、私は >>399 で、「必要だよ」
「”1の原始5乗根”の必要性 ＝不還元の話 だ」と諭してやった”
これが、ズバリ当てはまるな！
３）下記で、5実根の場合は 最小分解体⊂R、つまり実の拡大体
４）一方、ガロア拡大なら実の拡大体では終わらない
５）これが、還元不能問題（不還元）です
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
分解体
与えられた多項式の分解体（英: splitting field）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数（英語版）が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。
つづく
640:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 21:18:29.18 898jbfXT.net
>>594
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア拡大
体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。
例
有理数体に、2の平方根を添加する（英語版）とガロア拡大を与えるが、2の立方根を添加すると非ガロア拡大を与える。標数 0 だからこれらの拡大はいずれも分離的である。前者は x2 ? 2 の分解体である。後者は1の虚立方根を含む正規閉包を持ち、したがって分解体ではない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
三次方程式
還元不能の場合
実数解しかないのにも関わらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある。
カルダノは負の数の平方根を計算に用いることはあったものの、それらの場合は不可能で役に立たないものと考えていた。
この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根と四則演算を有限回用いただけで解を書き下すことは不可能であるため、全て徒労に終わった。
(引用終り)
以上
641:１３２人目の素数さん
22/12/10 21:32:15.09 meH3MbbN.net
>>589
>Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
混乱してますな 俄魯魔の集合Aさん
>>594
>5実根の場合は 最小分解体⊂R、つまり実の拡大体
>一方、ガロア拡大なら実の拡大体では終わらない
混乱してますな 俄魯魔の集合Aさん
次から次へと息を吐くように初歩的な誤りの嘘を吐きますな
642:１３２人目の素数さん
22/12/10 21:44:24.02 meH3MbbN.net
>>589
＞２項方程式 x^5=a (a^(1/5)は無理数)で、
＞ある無理数a^(1/5)を、Q(a1,a2,a3,a4,a5)に含んでいても
＞それで、なんの不思議もないでしょ
2項方程式のガロア群は位数5の巡回群ではなくて位数20の群ですね
ガロア群が位数5の巡回群になる方程式もあります
そのような方程式の根は全て実根ですが、
根を求める式には1の５乗根は現れます
しかし、１の5乗根は最小分解体に現れません
どれか1つ根が求まれば、そこから有理関数である巡回関数で
他の4つの根が生成されるので、Qに根の1つを追加するだけで
最小分解体（もちろんガロア拡大体）ができますが、
どの根も実根なので、1以外の1の5乗根はどの4つとも入りません
だからいってるじゃないですか
根を表す式の中に1の5乗根が現れるからといって
最小分解体の中にそれが含まれるとはいえないんですって
10年前、初めてスレ立てたときに
ラグランジュの分解式（リゾルベント）って書いてたのに、
結局解き方が全然分かってなくていまだにそのままなんですね
いったい、何がしたいんですか？俄魯魔の集合Ａさん
643:１３２人目の素数さん
22/12/10 21:46:08.47 DV2XUKqW.net
こういう無神経さが
数学科のメシを食ったことのあるちゃねらーたちを
ものすごくイラつかせることに気づいて
もう少し慎重にレスするようになれば
このスレも少しは落ち着くと思うのだが
644:１３２人目の素数さん
22/12/10 21:58:56.58 meH3MbbN.net
>>598
ま、でも彼も一つだけいい事をしましたよ
方程式論で初歩的な誤りを書き散らかしたせいで
初歩的かつ肝心なトラップを仕掛けてくれる人が出てきて
そのおかげで巡回多項式で重要なのは解の巡回関数と
ラグランジュの分解式（リゾルベント）だって
私に気づかせてくれたことです
ま、肝心の彼は未だに気づいてないみたいだけど
いつか気づけるといいな（本心から）
いやぁ古典って大事だな
現代的なことばっかりやってると
動機が分からなくなるんでね
645:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 22:17:25.55 898jbfXT.net
>>573 補足
wikipediaに下記があるので貼るよ
・ラグランジュのリゾルベントでは、解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する
・1861年にアーサー・ケイリーが与えたリゾルベントの6次方程式を解くことに帰着する方法が存在し、こちらが優れている
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
五次方程式（英語：quintic equation）とは、次数が5であるような代数方程式のこと。
限定的な代数的解法
一般式が代数的に解けないということは、上記に示したとおりであるが、特定の五次方程式がどのような場合に解けるかは分かっている。
ラグランジュが3次、4次で用いた手法をそのまま持ち込んだ場合、
x=(α1+ζα2+ζ^2α3+ζ^3α4+ζ^4α5)^5 (ただし ζ は1の原始5乗根)
の置換を考察することになるが、この場合5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する。
そこでより位数の低い置換を与えるような式を考察する必要があるが、これは1861年にアーサー・ケイリーが与えたものが最良となる。
x=(α1α2+α2α3+α3α4+α4α5+α5α1-α1α3-α2α4-α3α5-α4α1-α5α2)^2
この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解法同様にして元の方程式の根を得る。これが五次方程式が代数的に解ける必要十分条件である。
646:１３２人目の素数さん
22/12/10 23:22:51.43 dZ9h00o/.net
>>594
>「”1の原始5乗根”の必要性 ＝不還元の話 だ」と諭してやった”
不還元の話って、実の根に対してべき根の中身が実数に出来るか？て話でしょ。
Q(ζ_5)は実2次体を含んでいる。
”1の原始5乗根”の必要性とは違うと思う。
還元可能な場合だって、ガロア群を作用させるとζ_5が出て来るんだよ。
もしかして知らなかった？
この事実からしても「1の原始5乗根”の必要性 ≠不還元の話」だね。
1はテキストを斜め読みして、関係ありそうなことをピックアップするというアホなことやってるから、おかしな出力になる。
「不還元の話」は関係ありそうだと思って書いたんだろうが、本質に関わらない蛇足だね。
647:１３２人目の素数さん
22/12/10 23:26:06.06 sxpPJ6rb.net
整数（有理）係数の５次方程式が冪根拡大により解けるための必要十分条件は、
藤原松三郎の代数学の本にも出ている。係数から計算される楕円ｊの値が
有理数で特定のパターンの時にだけ解ける。
648:１３２人目の素数さん
22/12/11 02:34:34.65 lnOtbAAb.net
代数的に解ける５次方程式は、５次方程式界のエリートだよな
ほとんどすべての５次方程式は、代数的には解けない平民
649:１３２人目の素数さん
22/12/11 02:49:48.14 lnOtbAAb.net
>>601
まったくごもっとも
だいたいx^5-1って、既約じゃないじゃんｗ
(x^5-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
だから４次方程式の根じゃん
それ解くのに５乗根いる？
x^4+x^3+x^2+x+1のガロア群は位数４の巡回群で
これは位数２の巡回群を正規部分群として持つ
その剰余群も位数２の巡回群
だから平方根だけで解けちゃう
ま、この事実だけなら高校生でも知ってる常識
一般に、x^n-1は既約じゃないし
すくなくともx-1で割れるから
出てくるのは最大でもn-1次の方程式で
そのガロア群は位数n-1の巡回群
しかもnが2以上の素数pなら
p-1は2で割れるんで
最大で(p-1)/2乗根使えば解ける
7なら3乗根、11なら5乗根、･･･
650:１３２人目の素数さん
22/12/11 03:05:35.42 lnOtbAAb.net
2p+1が素数の場合、
(x^(2p+1)-1)/(x-1) をx^pで割って
(x+1/x)=t と置きなおして得られる
p次方程式のガロア群は、位数pの巡回群
これ、根は全部実根
もちろん、ラグランジュのリゾルベントで解ける
ああ、気持ちええ･･･
651:１３２人目の素数さん
22/12/11 07:51:46.98 lnOtbAAb.net
>>600
質問
「ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式が
ケイリーのリゾルベントで解けるんですか？
Yes の場合、具体的に方程式を示すこと」
652:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:02:41.17 8wm/VM70.net
体上で既約な５次方程式のガロア群として可解なものは、
位数が５のもの１０のもの２０のものだけでOKだっけ？
１５のものはなかったかな？
653:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:12:12.89 lnOtbAAb.net
>>607
位数20の群は位数5の巡回群と位数4の巡回群の半直積
で、位数4の巡回群の正規部分群は単位群と位数2の巡回群しかないから
位数5と位数10しかない、ということかと
654:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:14:19.92 lnOtbAAb.net
>>607
まあ、単純に15は20の約数じゃないから
位数20の群の正規部分群にはならない
っていうほうが簡単でしたね
655:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:26:37.97 lnOtbAAb.net
>>601
＞1はテキストを斜め読みして、
＞関係ありそうなことをピックアップするから、
＞おかしな出力になる。
根にζ5がなく、しかも根の代数演算でζ5が出てこないことも気づいてるようです
しかしそこで「はいってませんね」と断定できず
なんかしらんけど「不還元」という言葉で誤魔化して
「最小分解体には入ってないが、ガロア拡大体には入ってる（筈）」（キリッ）
とかいっちゃう
しかもあやふやなら質問として書けばいいのに、勢いで断言しちゃう
アメリカとの戦争に突入した日本軍みたいな精神構造
それじゃ連戦連敗で敗北しますね
656:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 08:28:30.19 KrqrphNa.net
>>606
再録
>>600
質問
「ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式が
ケイリーのリゾルベントで解けるんですか？
Yes の場合、具体的に方程式を示すこと」
(引用終り)
１）ラグランジュのリゾルベントと、ケイリーのリゾルベントとは、原理的に同等
２）ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式は、ケイリーのリゾルベントでも解けない
３）但し、>>600に引用しているように、
目的によって、数あるリゾルベントでも向き不向きがあるってことです
４）方程式の可解性を説明するには（あるいは考えるには）、ラグランジュのリゾルベントが優れている
しかし、五次方程式を具体的に考察するには、ケイリーのリゾルベントが向いているってことです
657:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:31:42.65 lnOtbAAb.net
根本的にわかってないな、と感じるのは、いつまでもしつこく
最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いてる点
追加するのはたかだか２個でいいんですよ
位数５の巡回群に対応するものと、位数４もしくは２の巡回群に対応するもの
わかってるなら、可解と条件つけてるのに、漫然と５個全部書いたりしない
658:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:33:36.76 lnOtbAAb.net
>>611
＞ラグランジュのリゾルベントと、ケイリーのリゾルベントとは、原理的に同等
＞ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式は、ケイリーのリゾルベントでも解けない
でしょ？
じゃ意味ないっす
（完）
659:１３２人目の素数さん
22/12/11 08:42:10.44 lnOtbAAb.net
>>611
＞方程式の可解性を説明するには、ラグランジュのリゾルベントが優れている
なら、それで終わりですね
＞しかし、五次方程式を具体的に考察するには、
＞ケイリーのリゾルベントが向いているってことです
それは考察の内容によるので、それが示されない限り無意味ですね
たとえば
「線型方程式系の解や逆行列を（クラメルの）公式として示すには行列式が必要」
というのは理解しますが
「線型方程式系の解や逆行列を求めるなら行列の階段化のほうが早い」
というのも事実です
率直にいえば、ラグランジュのリゾルベントを使えばいい、と理解すれば
別に公式は要りません、っていうか導けます
逆に公式だけ示されても「こんなんどうやって思いついた？」って思うだけ
公式を漫然と覚えるのは数学でもなんでもないですね
660:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:18:29.16 KrqrphNa.net
>>597
再録
>>589
＞２項方程式 x^5=a (a^(1/5)は無理数)で、
＞ある無理数a^(1/5)を、Q(a1,a2,a3,a4,a5)に含んでいても
＞それで、なんの不思議もないでしょ
2項方程式のガロア群は位数5の巡回群ではなくて位数20の群ですね
ガロア群が位数5の巡回群になる方程式もあります
そのような方程式の根は全て実根ですが、
根を求める式には1の５乗根は現れます
しかし、１の5乗根は最小分解体に現れません
どれか1つ根が求まれば、そこから有理関数である巡回関数で
他の4つの根が生成されるので、Qに根の1つを追加するだけで
最小分解体（もちろんガロア拡大体）ができますが、
どの根も実根なので、1以外の1の5乗根はどの4つとも入りません
(引用終り)
１）まず、方程式の可解性を論じるとき、二つの立場がある
簡単に基礎体Qで考える
a)基礎体Qをそのまま使う
b)基礎体Qに1のm乗根を含んだ体を使う
２）実際、彌永本 ガロアの時代・ガロアの数学 第二部 P208は、この立場です
つまり「定理 nを自然数 n!=m ζを1の原始m乗根ζmとする。体kがζを含めば
k[X]∋f(X),degf=n,f(X)の最小分解体をKとするとき
f(X)が可解であるための十分条件はG(K/k)が可解であることである」
とある。G(K/k)はガロア群で、必要十分条件だが、証明の都合で十分条件としたとある
３）幾つかの本では、上記１）のどちらの立場かを、はっきりしていないことがあるが
方程式の可解性を論じるとき
b)の基礎体Qに1のm乗根を含んだ体を使う
の立場が明解なのです
例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
例えば、X^3=2 だとQ(2^(1/3),ω)で6次だが、一般3次式のガロア群も対称群S3で6次と、しばしば言われるｗ
b)の基礎体Qに1のm乗根を含んだ体を使う立場だと
（この場合、上記２）彌永本の基礎体を”Qζ”と書くと）
X^2=-a では Qζ(√a)で2次で、X^3=a でもQζ(a^(1/3))で3次となる
（√a,a^(1/3)はQζに含まれない数とする）
つづく
661:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:19:13.61 KrqrphNa.net
>>615
つづき
４）次に、”ガロア群が位数5の巡回群になる方程式もあります
そのような方程式の根は全て実根ですが、
根を求める式には1の５乗根は現れます”
の部分って、意味不明では？
そもそも、5次の既約な式が前提でしょ？
それから、クンマー理論から、ガロア群が位数5の巡回群なら、べき根拡大では？（下記）
（クンマー理論も、”充分に多くの1の根が存在するとき”下記が前提ですよね）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クンマー理論
クンマー理論は、充分に多くの1の根が存在するときは、巡回拡大は冪根をとるという操作によって理解できるという理論である。類体論における主要な難所は、1の余剰な根をなしで済ませる（つまり、より小さな体へと「降下」する）ことである。それは�
662:Nンマー理論と比べて非常に難しい。 クンマー拡大 略 クンマー理論 クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。 (引用終り) 以上
663:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:22:20.58 KrqrphNa.net
>>624
>＞しかし、五次方程式を具体的に考察するには、
>＞ケイリーのリゾルベントが向いているってことです
> それは考察の内容によるので、それが示されない限り無意味ですね
Coxのガロワ理論下 P477 13.2 「5次多項式」を読みな
詳しく書いてあるよ
664:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:37:32.66 KrqrphNa.net
>>612
>根本的にわかってないな、と感じるのは、いつまでもしつこく
>最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いてる点
>追加するのはたかだか２個でいいんですよ
>位数５の巡回群に対応するものと、位数４もしくは２の巡回群に対応するもの
>わかってるなら、可解と条件つけてるのに、漫然と５個全部書いたりしない
あたまわるいな、こいつ
１）最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書くのは、形式的に一般的な場合を表す常套手段だよ
２）例えば、5次式で、f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4 と書くが如し
３）a0,a1,a2,a3,a4の幾つかで、ai=0であっても、それは上記の記法に含まれるのです
数学では、
これ
常套手段だよ
665:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:43:18.84 ZZrJoD9g.net
一番「頭悪いな」と思うのは、最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いていながら
「根を全部添加した体」がガロア拡大だと分かってなかった点。
「お前、そんなことも知らなかったの？」
666:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:44:39.85 ZZrJoD9g.net
>頭悪いな
1がなｗ
667:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:46:45.73 ZZrJoD9g.net
「Coxの本読め」とか言っても、本持ってるだけで
ガロア理論の初歩さえ頭に入ってないじゃん。
668:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:54:48.26 lnOtbAAb.net
>>615
>例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
僕「先生！また、１が💩踏みました」
１「チクるんじゃねーよ！」
先生「またか！１、お前どんだけ💩好きなんだ？」
生徒「ハハハハハハハ」
X^2=-2 だとQ((√2)i)だろ √２もiも含まれない
X^4＝４ ならQ(√２,i)
ま、X^4＝４は(X^2-2)(X^2+2)だから既約じゃないけど
669:１３２人目の素数さん
22/12/11 09:59:49.39 lnOtbAAb.net
>>616
＞クンマー理論から、ガロア群が位数5の巡回群なら、べき根拡大では？
もしかして
「ガロア群が位数5の巡回群＝拡大体がQ(a^(1/5))、となる筈」
と云ってるんなら、こう返します
「んなこたぁない」
＃Coxが見たら泣くぞ
670:１３２人目の素数さん
22/12/11 10:06:58.23 ZZrJoD9g.net
>>622
ほんとだ。酷いね。
>>623
Q(a^(1/5))/Q こそ、non Galois の例。
1って10年ガロア理論勉強してそんなことも分からないのかｗｗ
671:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:22:01.91 KrqrphNa.net
>>614
> 率直にいえば、ラグランジュのリゾルベントを使えばいい、と理解すれば
> 別に公式は要りません、っていうか導けます
> 逆に公式だけ示されても「こんなんどうやって思いついた？」って思うだけ
> 公式を漫然と覚えるのは数学でもなんでもないですね
ほんと、あたまわるくない？
両方いるんだよ、数学では！
理解と公式と
特に、21世紀は膨大は数学の蓄積があるよね
ガウスやガロアの時代とはちがう
彼らの時代は、ちょっとした思いつきだけで、数学の最前線に出られたが
当時から100年以上、無数の数学者がいろんな思いつきで論文を量産しているんだ
新しい論文を書くならば、まず最前線に立つしかない
そのためには、すでにどんな公式があるのかは、せめてチラ見しておかないといけないよね
それを踏まえて、自分で考えるべし
例えばさ、>>417 の「種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが」
関連で、下記がある
質問 １のｎ乗根で、n=11のとき
回答で、mathematica で FunctionExpand[Sin[2π/11]]
などとやると，sin(2π/11) の具体的表式が出てくる
複素数の 3/5 乗などあるって
言いたいのは、
”別に公式は要りません、っていうか導けます”は
まず「mathematica 使え」に言い換えた方がいいだろうねｗ
つづく
672:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:24:12.12 KrqrphNa.net
>>625
つづき
(参考)
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
教えてgoo
１のｎ乗根
質問者：noname#108554質問日時：2004/03/20 23:58回答数：13件
n=11のときにはどのように求めればよいのでしょうか？
高校で習うやり方では求められない最小のnです。
また、一般のnに対して求めるようなアルゴリズムはあるのでしょうか？
ちなみに、Mathematica4にやらせたところ、
(-1)^(1/11)のように出力されます。
No.11ベストアンサー
回答者： siegmund 回答日時：2004/03/24 14:08
mathworld のページ
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com) …
を見ていましたら，mathematica で
FunctionExpand[Sin[2π/11]]
などとやると，sin(2π/11) の具体的表式が出てくることがわかりました．
おい，かんべんしてくれよ，というような式です．
複素数の 3/5 乗などあって気持ちの悪い表式ですが，
共役な項などあるのでもっと簡単にはなりそうです．
N で近似値を出させると，ちゃんと虚部はゼロ(精度範囲で)になり，
sin(2π/11)の値が出てきます．
Mathematica の標準設定では mπ/n の三角関数で n≦6 の場合は
自動的に解析的表式に置き換えられるようです．
なお，grothendieck さんが No.3 で紹介されているページには
But this quintic equation has a cyclic Galois Group,
and so x, and hence sin(π/11) ,
can be expressed in terms of radicals,
although the explicit expression is quite complicated.
No.3
回答者： grothendieck 回答日時：2004/03/21 03:27
n=11については下記URLが参考になるかもしれません。
参考URL：URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com) …
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
Wolfram MathWorld
Trigonometry Angles--Pi/11
(引用終り)
以上
673:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:32:08.32 KrqrphNa.net
>>623-624
なに詭弁使って論点ずらしているの？ｗｗｗ
一般の代数拡大で、下記 「Q(√2)/Q は代数的である」と記されているよ
Q(√2)をガロア拡大と錯覚しているね
ああ、世にリゾルベントが、ラグランジュ・リゾルベントただ一つと錯覚した人が居たねｗ
あれと同じだね。拡大は、世にガロア拡大だけと錯覚している人いるんだｗｗ
下記を百回音読してねｗｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数拡大
体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。
例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。
674:１３２人目の素数さん
22/12/11 10:43:47.39 ZZrJoD9g.net
>体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。
1さんに質問です。この２つはガロア拡大か否か？
675:１３２人目の素数さん
22/12/11 10:51:38.69 G4G3fajU.net
>>599
よくこの板でも叩かれてた某藤原さんのガロア理論の概説記事で
素朴な根の置換からグロタンディーク流のやり方解説してるのを読んで感心した私文学卒指数定理厨の俺様が来ましたよ。
676:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:58:11.52 KrqrphNa.net
>>627 訂正
Q(√2)をガロア拡大と錯覚しているね
↓
Q(a^(1/5))をガロア拡大と錯覚しているね
だね
677:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:03:52.45 lnOtbAAb.net
>>625
理論抜きで公式覚えるとか、理解抜きで数式処理システム使うとか
そんなんで数学の最前線に出られるわけないって 論文だって書けやしない
1はどんだけお花畑で夢見てるんだ？
まず、リンク先の文章読んで自分で計算しような
読む気もない計算する気もないなら、諦めて退散しような
数学は1の人生にとって全く無縁ってことだから
678:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:06:03.93 lnOtbAAb.net
>>627
＞なに詭弁使って論点ずらしているの？
1のいってることこそ詭弁ですがね
＞百回音読してね
何も考えてないなら千回音読しても理解できないって
679:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:10:07.43 lnOtbAAb.net
>>628
>>体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。
>1さんに質問です。
>この２つはガロア拡大か否か？
いい質問
ただ、1はガロア拡大の定義すら理解する気がないから
死ぬまで正しく答えることができないだろうな
別に数学に興味ない人がいてもかまわない
でもそういう人が数学分かってるつもりで
１０年も誤りを書き散らかし続けるのは
迷惑とか滑稽とか通り越して哀れだな
なんでそんなに数学に拘るんですかね？
680:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:12:45.42 lnOtbAAb.net
>>629
＞指数定理厨
ああ、指数関数の加法定理ね（と知っててとぼける）
681:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 11:30:02.57 KrqrphNa.net
>>622
>>>615
>>例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
> X^2=-2 だとQ((√2)i)だろ √２もiも含まれない
ほんとお主は、代数学(含むガロア理論)に弱いねｗ
それって、単拡大の定理の例じゃんかｗ（下記）
つまり、二つの要素の拡大を一つの要素に纏めることができるってことですよ
（一般には二つには限らない。繰返し適用すれば良いだけ）
（昔読んだ服部昭氏の本では、単項拡大定理と書いてあった気がする。ムズかったけど、それだけ覚えている）
URLﾘﾝｸ(cakravala.in.coocan.jp)
数学史の自習室
URLﾘﾝｸ(cakravala.in.coocan.jp)
単拡大の定理
体 Q に代数的数a, bを添加した体Q(a, b)
は, 次の式を満足する Q 上の代数的数tが存在する.
Q(a, b) = Q(t) ただし, t = a + cb
証明
略
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
平成 16 年度代数学 B
講義ノート
広島大学大学院理学研究科 都築 暢夫
目次
4. 単拡大 18
4. 単拡大
体拡大の構成において、一つの元で生成される拡大 - 単拡大 - は最も基本的なものである。この章で
は、単拡大について解説する。
この章を通して、L/K を体拡大とする。
P20
例 74.
α =√2 + √3 の Q 上の最小多項式は pα,Q(x) = x^4 ? 6x^2 + 1 である。
∵ Q(√2,√3) = Q(√2 + √3) (例 21) なので、[Q(√2 + √3) : Q] = 4 (例 21) となる。
よって、定理69 から最小多項式の次数は 4 である。
URLﾘﾝｸ(www.)<)
近代数学講座 1
現代代数学 （復刊）
第4章 圏とホモロジー
22. 圏
23. 加法圏，アーベル圏
24. 関手
25. 表現と随伴
26. ホモロジー
27. 群のコホモロジー
第5章 可換体
28. 体の拡大と合成
29. 代数拡大
30. 代数拡大の同型写像
31. 分離性
32. 超越拡大
682:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:38:38.22 ZZrJoD9g.net
>X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
いやならないけど。本気でなると思ってるなら認知症レベル。
Q(√2 i)≠Q(√2,i). OK？
683:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 11:39:29.21 KrqrphNa.net
>>628 >>633
>>体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。
> 1さんに質問です。この２つはガロア拡大か否か？
確かに、言い質問かもｗ
お答えします
１）どちらもYes
２）C/R は、方程式x^2+1=0
Q(√2)/Qは、方程式x^2-2=0
を考えれば良い
３）どちらも、下記の”E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である”を満たす
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア拡大（英: Galois extension）は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。
ガロア拡大の特徴づけ
エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各ステートメントは E/F がガロア拡大であるというステートメントと同値である：
・E/F は正規拡大かつ分離拡大である。
・E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である。
684:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:43:34.44 lnOtbAAb.net
>>635
>ほんとお主は、代数学(含むガロア理論)に弱いね
>それって、単拡大の定理の例じゃんか
>つまり、二つの要素の拡大を一つの要素に纏めることができるってことですよ
じゃ、一般の５次方程式の最小分離体をQ(a1,a2,a3,a4,a5)と書いたらダメじゃんｗ
それ、単拡大Q(α)と書けるけど、実際はそうならないから
1、全然ガロア理論の初歩からわかってないって自分から白状してるじゃん
僕「先生！１が💩壺に落ちました」
１「いうんじゃねぇぇぇぇ！」
先生「・・・そ~っと、フタしとけ」
685:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:49:49.62 ZZrJoD9g.net
X^2=-2の根って、±√2 i で、これらの加減乗除で√2とiを個別に導くことは不可能。
一方でX^3=2 の根は2^(1/3), 2^(1/3)ω, 2^(1/3)ω^2で
加減乗除で2^(1/3)とωを個別に導くことが可能。
686:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:52:00.49 lnOtbAAb.net
１は実はこう言ってた
「全ての（ガロア）群は巡回群である」
そりゃ、全ての代数方程式がベキ根で解けると思うわけだ
もちろん答えは以下
「んなこたぁない」
687:１３２人目の素数さん
22/12/11 11:58:11.19 lnOtbAAb.net
昔、単拡大の定理すら知らんかった馬鹿が
「５次方程式の最小分離体Q(a1,a2,a3,a4,a5)」
と書いて、とっちめられたのを見た・・・OTL
ま、しかしそれは無知だから仕方ない（ほんまけ？）
そして今、単拡大の定理を知ってるとうそぶく阿呆が
「５次方程式の最小分離体Q(a1,a2,a3,a4,a5)」
とドヤ顔で書くのを目撃
君、自分がおかしなこといってるって、気づかなかったのか？
どんな代数方程式のガロア群も巡回群になる
もちろん対称群も巡回群になる
って初歩的誤りを犯してるってことに
688:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:04:14.01 ZZrJoD9g.net
>Q(a1,a2,a3,a4,a5)
これは5つの根を添加した体って意味でしょ？
それなら合ってるよ。最大で120次、最小で5次拡大になる。
689:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:22:13.68 ZZrJoD9g.net
>>637
１）どちらもYes
２）C/R は、方程式x^2+1=0
ええ正解ですよ。ちなみにC/Rのガロア群は
共役写像a+bi→a-bi で生成される2次の巡回群。
これが唯一の連続なCの体自己同型。
（選択公理を認めると、無限に多くの体自己同型の存在が従うが
勿論、連続ではない。）
690:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:28:20.12 lnOtbAAb.net
>>642
では、マジ質問
Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、いかなる場合も単拡大Q(α)にできます？
691:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:33:46.34 ZZrJoD9g.net
>>644
できます？って自分が出来るかというと考えるが
「出来るという定理がある」
ガロア論文はこの定理を基盤にしている。
692:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:41:03.12 lnOtbAAb.net
>>644
ああ、なるほど
Q(α)だというだけでは、ガロア群が
「単一の元で生成される巡回群」
だとは言えず、巡回群だというには
解の巡回関数が必要ってこと？
693:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:43:13.86 lnOtbAAb.net
>>645
すみません、何も分かってないアホでｗ
そもそもそれが基礎だと今知りましたｗ
694:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:45:31.01 lnOtbAAb.net
ということで、アルティンさん、
「ゴメンなさぁぁぁぁい！」
（ジャンピング土下座）
695:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:50:59.50 ZZrJoD9g.net
>>646
Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Q(α)としますね。
ak=f_k(α) (k=1,...,5)と有理式で表せますね。
このとき、αの
696:共役根α'に対して f_k(α') (k=1,...,5)が置換になっていて そのような置換全体がガロア群をなすわけですよ。 勿論、一般には巡回群にはなりません。
697:１３２人目の素数さん
22/12/11 12:54:27.60 lnOtbAAb.net
>>649
「あぁぁぁっ！！！」
また一つオリコウになってしまった・・・
いまの私の気分を歌にするとこんな感じ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
698:１３２人目の素数さん
22/12/11 13:02:53.31 lnOtbAAb.net
マジックスパイスの辛さレベルにたとえると
涅槃：巡回関数に目覚めた（をひ）
極楽：置換関数に目覚めた（こら）
天空：・・・
虚空：・・・
（続く）
699:１３２人目の素数さん
22/12/11 13:12:13.78 lnOtbAAb.net
いかん、さっそくガロア理論の本を買って読まねば・・・
（そういえば、大３のときも教科書買ってない（をひ））
ということで、ここでの流れを踏まえておすすめの本は何ですか？
（注：１には訊いてない ていうか、１は答えないで、ホント、マジでｗ）
700:１３２人目の素数さん
22/12/11 14:05:27.48 lnOtbAAb.net
ま、よく考えたら、急ぐ必要もないな
701:１３２人目の素数さん
22/12/11 15:30:21.74 lnOtbAAb.net
ガロア理論
昭和で分からず
令和でわかる
＃平成どうしたｗ
702:１３２人目の素数さん
22/12/11 15:44:12.06 ZZrJoD9g.net
正直、ガロアの論文含めて薄い本しか読んだことがない。
厚い本は必要に応じて参照する程度。それも今は手元にはない。
群論の本は結構読んだ。代数的整数論とかでガロア理論を
使ってるうちに、「数学的自然」として脳内に定着してくる感じ。
グロタンディークのガロア理論？
正直よく知らない。体拡大は幾何的には被覆と見做せるから
位相的な被覆と数論的被覆を統合するような話？
エタール基本群とかそういうことだろう。
703:１３２人目の素数さん
22/12/11 15:50:43.22 ZZrJoD9g.net
円分体が簡単な理由の一つは
ζ_n一つで他の共役根をすべてあらわすことが
極めて容易だから。
ガロアはガウスの理論をモデルにしたことは間違いない。
あとガロアには、楕円函数のモジュラー方程式という
重要な例もあった。あと遺書に出て来る幻の「第3論文」
の話とか見ると、代数函数論も統合しようとしていた
痕跡がある。それはアーベルにも共通だし
当時としては自然な思想だったのだろう。
704:１３２人目の素数さん
22/12/11 16:00:50.52 DdK5/wLe.net
曲解王>>1投稿者の集合A
いつもの予定調和思考に陥り、またもや基本的事実から逸脱
705:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:17:30.26 KrqrphNa.net
>>488 追加
再録
１）>>472より
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
だったね
２）これ、>>371-373より
可解な既約5次方程式の代数解法には
必ず5乗根が必要なことを示せ。
注意：5乗根の中身が基礎体に含まれるとは限らない。
例:
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
はQ上可解な既約5次方程式だが
5乗根の中身は、Q(ζ_5)の数になる。
（ζ_5は、1の原始5乗根。）
注意:検索コピペバカには解けない。
（仕組みが分かってないから。）
(引用終り)
１）良い資料が見つかった（下記）
２）”以下ζnで1の原始n乗根を表すものとし、係数体は既にこれを加えたQ(ζn)で考えるものとする（解の巡回の記事のQを全てQ(ζn)で置き換えても全く同じ議論が成立することに注意されたい*2”
とあるよね
３）上記 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0は
下記 chiebukuro.yahoo
32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0
と係数の並びが逆だね（本質的には同じだろう）
４）下記 Period-Mathematics 巡回多項式を代数的に解く
「一応公式化しておいたので共有しておく」で、5乗根使ってますよ（当然と思うけどｗ）
つづく
706:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:19:46.67 KrqrphNa.net
つづき
(参考)
URLﾘﾝｸ(period-mathematics.)はてなブログ.com/entry/2019/05/04/194452
Period-Mathematics
2019-05-04
巡回多項式を代数的に解く
巡回多項式とは簡単に言えば一つの根をもって他の根をその多項式で表せるような特別な多項式のことである。
略
で詳しく取り上げているが、そこの主定理によると既約多項式に対して、それが巡回多項式であることとその*1ガロア群が巡回群であることが同値なのであった。本稿はこの記事の証明パートを除いた部分は既知とした上で書いている。
以下ζnで1の原始n乗根を表すものとし、係数体は既にこれを加えたQ(ζn)で考えるものとする（解の巡回の記事のQを全てQ(ζn)で置き換えても全く同じ議論が成立することに注意されたい*2。しかしそうした場合例えば、本稿の例は該当しないが、巡回関数の係数にζnが出てくる可能性もある）。
解法の解説
PDFで取り上げられている巡回多項式の例*3、f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1 を考えていこう。これを代数的に解きたいとする。以下、根x=αを一つ固定する。まずこれは巡回関数として4つ候補があり、どれを選んでもよいのであった。よってここではPDFでもそうしているように、比較的単純なp(x)=x2-2を選ぶことにしよう。またガロア群は巡回群でGal(Lf/Q(ζ5))={idLf,σ,?,σ4}と書くことにする（ここでσ5=idLfである）。ただし、ここでσはσk(α)=p(k)(α)を満たすように取るものとする（これはのちの計算パートのところで、σを（計算可能な対象）p(x)=x2-2として扱うためである。以下のこの節の議論ではこの関係式は使わない）。
さて、方程式論において解を代数的に求める際にとても重要な役割を果たすのが以下に示す（ラグランジュの）リゾルベント（分解式）である。以下k=0,1,2,3,4とする。
r(α,k)=α+ζk5σ(α)+ζ2k5σ2(α)+ζ3k5σ3(α)+ζ4k5σ4(α)
これは解と1の原始累乗根のべきの線型結合で表される式で、非常に巧くできている。
つづく
707:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:20:12.10 KrqrphNa.net
>>659
つづき
具体的に計算
さて、前節でくどくど説明してきたのでここでは簡潔に行こう。計算にはPARI/GPを用いる。まずはコマンドを示そう。σはσk(α)=p(k)(α)を満たすように取っていたことに注意されたい。
略
PDFの結果とまさに同じことがわかるだろう。さて、後はこれらを使ってαを求めよう。一応公式化しておいたので共有しておく
公式略（但し5乗根ありますｗ）
他にも例えば
超難問、自作問題です。 - 5次方程式32x^5+16x^4-32x... - Yahoo!知恵袋には32x5+16x4-32x3-12x2+6x+1という例がある。これを計算してみると以下のような出力が出る。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
chiebukuro.yahoo
sch********さん
2014/9/20 22:07
超難問、自作問題です。
5次方程式
32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0
の実数解を求めてください。
近似値計算はダメです。
ベストアンサー
tia********さん
2014/9/21 0:07
最近、大数の問題でcos(2π/7)等の三乗根の和を求める
ものがあってそれを解く過程でこれらを解にもつ三次方程式
8x^3+4x-4x-1=0
を導く際に同様に広げることも可能だと考えていたので
この問題を見た時にすぐに分かりました。
Π[k=1,m][x-cos{2kπ/(2m+1)}]
は展開した時、x^(m-1)の係数は
Σ[k=0,n-1]cos(2k/n)=0
から絶えず-1/2となります。また、それより
708:低い次数に関しても 三角関数の積和の公式が cosαcosβ=(1/2){cos(α+β)+cos(α-β)} であることからcos{2kπ/(2m+1)}の和で閉じていることが 考察されます。この問題も Π[k=1,5]{x-cos(2kπ/11)} を展開して32をかけた物であることから解は cos(2kπ/11) k=1,2,3,4,5 であると思います。 (引用終り) 以上
709:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:26:01.93 KrqrphNa.net
>>641
>そして今、単拡大の定理を知ってるとうそぶく阿呆が
>「５次方程式の最小分離体Q(a1,a2,a3,a4,a5)」
>とドヤ顔で書くのを目撃
>君、自分がおかしなこといってるって、気づかなかったのか？
>どんな代数方程式のガロア群も巡回群になる
>もちろん対称群も巡回群になる
>って初歩的誤りを犯してるってことに
全く無知からくる誤解でしょ？
Q(a1,a2,a3,a4,a5)と書くことと
ガロア群が巡回群になることとは別
つまり、単拡大で、tを使ったとして
Q(t)と書いたら
ガロア群が{e}というが如し
710:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:36:18.60 KrqrphNa.net
>>639
>X^2=-2の根って、±√2 i で、これらの加減乗除で√2とiを個別に導くことは不可能。
スレ主です
ご指摘の通りです
訂正します。>>622のご指摘の通りです
711:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 16:54:01.16 KrqrphNa.net
>>644-645
>Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、いかなる場合も単拡大Q(α)にできます？
>「出来るという定理がある」
>ガロア論文はこの定理を基盤にしている。
もう解答でているが、蛇足です
定理は、服部昭氏の本>>635に「できる」とあった（気がする）
なお、ガロア論文の該当箇所は
冒頭の補助定理II
例えば V=Aa+Bb+Cc+・・としA,B,C・・は適当に選ばれた整数とすることができる
の箇所
なお、a,b,c・・は、根を表す
Vが根a,b,c・・の置換で、Vの値が全て異なるようにA,B,C・・を適当に選ぶ
つまり、5次ならa,b,c,d,eの5個の置換の話になる
（5個の置換で5！＝120の場合全てで、異なるように取るのは、A,B,C・・の選択肢が豊富なので可能というのが、これの略証です（論文の解説にあったね）
ガロアは、”整数”としているが、いま風なら基礎体ｋ内の数に取るでしょうね）
式Vを、後世の人はガロア・リゾルベントと名付けたそうな
712:１３２人目の素数さん
22/12/11 16:59:35.01 lnOtbAAb.net
>>658
＞良い資料が見つかった
ボクが教えてあげたんじゃんw
＞Period-Mathematics 巡回多項式を代数的に解く
＞「一応公式化しておいたので共有しておく」で、
＞5乗根使ってますよ
そこからζ5は出せないでしょ
「逆演算で出せる！」っていったけど
どう逆演算すんの？やってみせて
713:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:01:54.89 lnOtbAAb.net
>>661
＞全く無知からくる誤解でしょ？
無知は知を得ることで改善する
無思索は知を得ることでは改善しない
思索する以外ないよ 思索しようね
714:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:05:01.75 lnOtbAAb.net
>>663
1は書かなくていいよ 肝心なピンポイントがないから
>>649
「Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Q(α)としますね。
ak=f_k(α) (k=1,...,5)と有理式で表せますね。
このとき、αの共役根α'に対して
f_k(α') (k=1,...,5)が置換になっていて
そのような置換全体がガロア群をなすわけですよ。
勿論、一般には巡回群にはなりません。」
上記のような的確なコメントができない
1には別に何も教わらないよ
教える中身がないから
715:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:19:12.24 lnOtbAAb.net
標準的なクンマー拡大の場合
例えばx^3-2=0の解の巡回は
ζ3を掛けることで実現される
2^(1/3) → 2^(1/3)*ζ3 → 2^(1/3)*ζ3^2 → 2^(1/3) → ･･･
だからといって、
「解の巡回をζ3を掛ける形でしか行えない」
と思うのは誤解である
それが、例えばx^3+x^2-2x-1=0の場合である
もちろん、解自体はζ3が現れる式で表示されるが、実数である
しかも、解の巡回は、有理関数f(a)=(a^2-2)で実現される
だから最小分解体の中のζ3は必要ないし、実際存在し得ない
716:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:27:46.24 lnOtbAAb.net
x^3+x^2-2x-1=0も
x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1=0も
それぞれ円分多項式Φ7、Φ11をちょっと改造して
実根しか出ないような形にすることで出来上がる
実に面白い
巡回多項式は多項式の中のエリートである
717:数学、特に整数論は、エリートを研究する傾向が強い エリートの対象は、都合のよい性質を多々有しているから 数学的な一般大衆の研究は、実用的であるが実に中身がうっすいｗ
718:１３２人目の素数さん
22/12/11 17:44:33.17 lnOtbAAb.net
>>667
＞解の巡回は、有理関数f(a)=(a^2-2)で実現される
今、ふと、思ったんだけど・・・
これ、基本はcosの2倍角の公式だよな
2cos2θ=(2cosθ)^2-2
719:１３２人目の素数さん
22/12/11 19:54:04.71 lnOtbAAb.net
終わったな
720:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 23:14:00.48 KrqrphNa.net
>>658 追加
> ３）上記 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0は
> 下記 chiebukuro.yahoo
> 32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0
> と係数の並びが逆だね（本質的には同じだろう）
1）上記二つの方程式は、逆数の関係で、
前者がcos(2kπ/11)、後者が1/cos(2kπ/11)で
ほぼ自明だが、x=1/yと置いて、前者に代入すると
(1/y)^5 + 6 (1/y)^4 - 12 (1/y)^3 - 32 (1/y)^2 + 16 (1/y) + 32=0
ここで、y^5を掛けて整式に直すと
1+ 6 y - 12 y^2 - 32 y^3 + 16 y^4 + 32 y^5=0
となって
32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0 が得られる
なかなか面白い工夫ですね
2）cos(2kπ/11)を考える方が分かり易いだろう
円分体の理論が使える
円の11等分であり
x^11 -1=0を考えれば良い
x-1で割ると
x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
ガロア群は(Z/nZ)×の乗法群(下記円分多項式より)で、位数10の巡回群（(Z/nZ)*の群構造2.2）
つづく