22/12/09 13:57:10.25 6tcmh4tK.net
ガロアは標数0の場合で考えてるから
「既約方程式は重根を持たない」という命題は
自動的に成立する。
しかし、有限体も含めてとか、状況を一般的にしておこう
とすると、話はどんどんややこしくなっていく。
そういうので挫折するひともいるかもね。
「標数0のとき既約方程式は重根を持たない」の証明。
既約方程式f(x)=0が重根を持っているなら
f'(x)は次数1以上の多項式で、かつf(x)と共通根を持つ。
そこで、この2つにユークリッドの互除法を適用すると
定数でない最大公約式d(x)が基礎体の中で求められ
それはf(x)より次数が小さく、かつ割り切ることになる。
これはf(x)の既約性に反する。