22/12/08 19:48:34.29 faK6emHQ.net
>>488
>「”1の原始5乗根”の必要性 =不還元の話 だ」
なぜそう妄想したのか知らんが、初歩の誤り
例えば、5次方程式で、ガロア群が位数5の巡回群となるものがある
(>>475はその例)
で、これはQに方程式のある根αを添加した体で分解されるが、
そのαは実根であり、したがって、Q(α)には1の原始5乗根は含まれない
(αは例えば2cos(2π/11)としてよい)
546:132人目の素数さん
22/12/08 20:08:13.79 faK6emHQ.net
>>489
全然トンチンカンなので全部割愛w
>>496で、5次方程式でガロア群が位数5の巡回群となるものは
1の5乗根が分解体に含まれないことを示した
こう書くと、ウカツな馬鹿(例えば1)は
「え?じゃ5乗根要らねえじゃん!」
と早とちりするだろう
し・か・し、1の5乗根が方程式の分解体に含まれなくても
方程式の解の表示には1の5乗根が必要なのである!
巡回多項式を代数的に解く Period-Mathematics
あのさ、ホントのリファレンスサービスってのは
こういうのをいうんだぜw
547:132人目の素数さん
22/12/08 20:17:08.10 faK6emHQ.net
>>497
Period-Mathematics は、はてなブログなのでリンクが張れないが、
内容はリゾルベント使って解けますよって話
その理屈はガロア理論に基づいてるってことだが
大学数学のオチコボレの1には生涯分からんだろうw
>>489-490
わけもわからずクンマークンマーって叫ぶのは
リファレンスサービスにもなんにもなってないw
>>491-492
なるほど、1は考えもせずに解法丸暗記で入試を誤魔化したから
大学でものの見事にオチコボレたんだなw
548:132人目の素数さん
22/12/08 20:27:02.63 faK6emHQ.net
まあ、全部実根の方程式の根を表すのに1の5乗根使ってるんだから
それって不還元の例じゃんとか、馬鹿1はほざくんだろうが、
それは全然中身の理屈がないので問われたことに全然答えてない
答えは「リゾルベント」なんだが、1は理屈が分からないからそこに思い至らない
だからいってるじゃん、中卒が現代数学に興味持っても全く理解できないから無駄だって
今やってる朝ドラで、航空学校の教官が無能な学生を落第させるってのがあったけど
あれって愛だぜ かなわぬ夢を見させるってザンコクだからな 止め刺しれ殺すのが優しさw
549:132人目の素数さん
22/12/08 20:29:35.26 faK6emHQ.net
>>495
そもそも1のイキりっぷりが不快
自己評価が低いのをひっくり返したくて必死なんだろうが
1は論理力が実に低いから無理よ もう60過ぎてんだろ
いまさら無駄だから、これからの人生、数学以外の趣味に生きろよw
550:132人目の素数さん
22/12/08 20:47:12.13 xpFZils6.net
コピペによって
見栄を張る場所が
確保できたような錯覚に陥っている。
551:132人目の素数さん
22/12/08 20:50:38.04 faK6emHQ.net
>>501
そもそも他人が書いた文章の丸写しコピペでエクスタシーを感じる変態趣味が理解できんw
552:132人目の素数さん
22/12/08 20:53:05.72 faK6emHQ.net
数学は理解することでのみエクスタシーを感じる
理解もせん文章をコピペしても何のエクスタシーも感じない
1はなにかと「面白い」というが
何も理解できてないのに何が面白いのか
正直自分に嘘をつき続ける哀れなヤツとしか思えん
553:
554:132人目の素数さん
22/12/08 21:00:27.94 xpFZils6.net
>>503
みんなそう思っているから
ことさらあげつらうべきことでもない。
555:132人目の素数さん
22/12/08 21:01:39.11 faK6emHQ.net
>>504
1の●違いぶりが実に不快だから仕方ない
556:132人目の素数さん
22/12/08 21:14:47.77 xpFZils6.net
>>505
やりすぎは悪趣味
557:132人目の素数さん
22/12/08 21:32:11.52 faK6emHQ.net
>>506
数学が理解できないくせに理解してると嘘つく変質者の1は消えてほしい
558:132人目の素数さん
22/12/08 22:03:51.25 faK6emHQ.net
・独善的なHNやめてほしい
・トンチンカンなコピペやめてほしい
・意味不明な番号付けコメントやめてほしい
誰もそんなおかしなことしてないよ
559:132人目の素数さん
22/12/09 01:28:20.07 StZWSrLa.net
🍎Urusei ★★★★☆☆☆☆Yatsura
That’s one small step for a man, one giant leap for mankind.
π0↑0↑00↑0000↑
π0↑1↑2×3↑2
π0↑1☆☆↑★3
0=0
π^0≒ζfunction
1=ζ431↑137
431↑137=3
3↑8≒ζ431↑137
59,047↑3↑8
59,047
205,870,212,096,823
1.215601841368e19
560:132人目の素数さん
22/12/09 11:12:34.98 tzsKM43U.net
>>508
スレ主ですw
”嫌われている”>>495 ?
いやなら、
このスレに来なくていいぞww
このスレで放し飼いにしているサル>>5が、必死に騒ぐw
まあ、外で暴れるより、このスレに放し飼いがましだろうよww
さて
1)傷口に塩をすり込んでほしいらしいなw
2)再度問う
>>489 より再録w
6)そこから、ぐだぐだ論点ずらしが始まった
>>391「では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね?
一般的な話として、可解な5次方程式でもいいですが。
つまり、5乗根を取る操作をガロア拡大(クンマー拡大)
にするなら、ζ_5は必然的に含まれますが
最小分解体(方程式が一次式の積に分解する最小の体)
には含まれるか否か?って質問です。」
ときたw
7)詭弁の常套手段で、難しそうな用語で、論点ずらしかよw
”最小分解体”ね、昔々聞いたことがある。反応に時間が掛かったが
>>431に書いたように、x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0が
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))に由来するならば
5つ全部実根で、最小分解体⊂R だから、ゆえに複素数のζ_5は「含まれない」
つまり、ζ_5は虚数(実数でなく)、5つの実根の最小分解体は実数R内って話だ
8)で、さらに >>450の5)で ”なので、果たして彼は、
この問い「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね?」
で何を問いたかったのか? 意味が分からないww”
と茶化してやったら、今度は”クンマー理論”ときたもんだw
9)どんどん、論点ずらししてさw
でもさ、数学って、それやっても何にもならんぜよ
そもそもの上記8)「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね?」
で何を問いたかったのか? については、何も答えていないでしょ
(引用終り)
おサルさん、代わりに答えてやりなよw
それだけ、ブイブイと必死に騒ぐのならねww
561:132人目の素数さん
22/12/09 11:24:34.29 AwVuxaPS.net
>>510
>スレ主です
>>493
管理能力ない主って一体…
562:132人目の素数さん
22/12/09 11:27:21.57 AwVuxaPS.net
>>510
>”嫌われている”?
好かれる要素はないよな
>いやなら、このスレに来なくていいぞ
はい脅迫 通報しました
563:132人目の素数さん
22/12/09 11:32:12.31 AwVuxaPS.net
>>510
>傷口に塩をすり込んでほしいらしいな
サディストか 変態サンですね
>再度問う
何が分からんのか分からんので答えようないよな
564:132人目の素数さん
22/12/09 11:47:12.20 AwVuxaPS.net
1はラグランジュのリゾルベントを理解するまで
ここに書くなよ
565:現代数学の系譜 雑談
22/12/09 12:20:26.23 tzsKM43U.net
スレ主ですw
>>512
>>”嫌われている”?
> 好かれる要素はないよな
ありがとね
じゃあ
もっとやるねw
コテハン付けるぜよww
>>513
>>再度問う
> 何が分からんのか分からんので答えようないよな
1)分からんとは言ってないぞw
2)再録>>510より
”そもそもの上記8)「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね?」
で何を問いたかったのか? については、何も答えていないでしょ”
3)これで問うているのは、質問の意図
もっと言えば、5次の可解方程式で、
自分が作って5つの実根を持つと分かっている>>488
のにもかかわらず
「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね?」
問うた数学的意味だよwww
4)”5つ全部実根で、最小分解体⊂R だから、ゆえに複素数のζ_5は「含まれない」
つまり、ζ_5は虚数(実数でなく)、5つの実根の最小分解体は実数R内って話”
だってこと。これに気づいてなかったとしか思えない、クソ質問だってこと
以上
566:132人目の素数さん
22/12/09 12:50:48.77 AwVuxaPS.net
>>515
>「>>372の方程式の最小分解体に
> ζ_5が含まれるか否か分かりますかね?」
>何を問いたかったのか?
>質問の意図
>数学的意味
1は方程式のガロア群が巡回群ってわかったらどうやって解く?
それが>>371の問
で答えは、ラグランジュのリゾルベント
1は10年もガロア理論のスレッド立て続けたくせに
全然答えられなかったな
何やってたの?マジで
567:132人目の素数さん
22/12/09 13:00:19.39 6tcmh4tK.net
含まれないと分かってるなら「含まれない」と答えればよかった。
しかし、1には答えられなかった。なぜか?
自分の頭で考えられない脳無しだし、1が以前言ってたこと
「1のべき根なんて最初から添加しておけばいいじゃん」
という粗雑な考えしかなかったからww
568:132人目の素数さん
22/12/09 13:06:47.89 6tcmh4tK.net
で、答えられなかったくせに、解答を知った上で
得意気に書いた自己流の証明が>>450
あのさ、どこがおかしいか分かる?
代数方程式の解について論じてるのに
代数的に独立だぁ? アホかw
よく見ると基礎体に係数が含まれてないじゃん。
この「証明」が1の本当の「実力」w
569:132人目の素数さん
22/12/09 13:16:43.12 6tcmh4tK.net
1のバカ発言。>>450
>根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
根たちは代数方程式をみたすのに「代数的に独立」ってどういうこと?
570:132人目の素数さん
22/12/09 13:21:32.74 6tcmh4tK.net
>ζ_5が、{α1,α2,α3,α4,α5}たちと代数的に独立(下記)ならば(そしてそれが普通だが)
それって証明すべきことを前提にしてませんかね?
aを不定元としてもいいよ。では、貴方の「証明」で
x^5-aの分解体にζ_5が含まれる理由はどうなりますかね?
説明できてませんね。証明失敗ですねw
571:132人目の素数さん
22/12/09 13:22:12.24 AwVuxaPS.net
>>517
要するに、1は2012/1/31 22:32に
最初のガロア理論スレッドを立ててから
現在に至るまで、全然分かってないのよ
結局、代数的に解くというのは
ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
ってことで、もし任意の方程式でそれが可能なら
任意次数の対称群について、剰余群が巡回群になる
分解を繰り返して単位群に出来るはずだが
5次以上の対称群はそうなってないから無理
ってだけなんだが
ガロア理論が分からんというのは、実は
「代数的に解くというのは
ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
ってこと」がわかってない
だからなんで可解性とかいう
「不可解」な定義が出てくんだ
と思っちゃう
ラグランジュのリゾルベントで解くしかない
と分かれば、ああ、何だ、それだけか、で終わりw
どうだ?これで数学板から昇天できるだろ?1
とか思うせいなん
572:132人目の素数さん
22/12/09 13:38:38.29 6tcmh4tK.net
>>521
ま、天下り的というか、教え方が悪いってのはあるかもね。
573:132人目の素数さん
22/12/09 13:50:11.10 AwVuxaPS.net
>>521
>どうだ?これで数学板から昇天できるだろ?1
ついでにいえば、
ラグランジュのレゾルベント
を超える超代数的方法は
トマエの公式とかある
完全に終わったな
574:132人目の素数さん
22/12/09 13:57:10.25 6tcmh4tK.net
ガロアは標数0の場合で考えてるから
「既約方程式は重根を持たない」という命題は
自動的に成立する。
しかし、有限体も含めてとか、状況を一般的にしておこう
とすると、話はどんどんややこしくなっていく。
そういうので挫折するひともいるかもね。
「標数0のとき既約方程式は重根を持たない」の証明。
既約方程式f(x)=0が重根を持っているなら
f'(x)は次数1以上の多項式で、かつf(x)と共通根を持つ。
そこで、この2つにユークリッドの互除法を適用すると
定数でない最大公約式d(x)が基礎体の中で求められ
それはf(x)より次数が小さく、かつ割り切ることになる。
これはf(x)の既約性に反する。
575:132人目の素数さん
22/12/09 14:48:42.79 VGubpJF6.net
>>522
ま、Aさんはいい方だと思うんで
多分私の向学心のなさが原因ですw
576:132人目の素数さん
22/12/09 19:46:36.49 Eqis7K55.net
>>468
Jリーグどころかリトルリーグにも失礼だろ、
>>1の投稿者の集合Aにはシルバー向けサッカー教室を薦めるべきだ。
相手は『A=BかつA≠Bとなる数学が在ってもいい。それが21世紀の数学だよ。』発言の集合Aだ。
577:132人目の素数さん
22/12/09 19:55:36.03 Eqis7K55.net
>>503
分かるだろ
数学を理解してこそ得られるはずの楽しみを理解せずに楽しめる、ならぬ、愉しめるのは
虚栄心に基づき愉悦に浸るからだ。楽しみではなく愉しみ。穢れ。
578:132人目の素数さん
22/12/09 20:45:52.62 a5nyjbvB.net
愉悦とは
URLリンク(dic.pixiv.net)
「pixivや二次創作・ネット上での扱い
Fateシリーズの1作品『Fate/Zero』の影響から、
現在ではもっぱら他者が心を砕いて何かに力を尽くす姿を、
破滅しかない結末を知りながら素知らぬふりで見て嘲笑う
(時に背中を押して破滅に進ませる)という、
かなり下衆な意味合いで使われるようになった。
ただ、こちらもあくまで誤用であるという点に注意。」
ネットって変態が嘘ばっか書くので困る
579:132人目の素数さん
22/12/09 21:09:01.73 T+YnZBA1.net
w^3+x^3+y^3=z^3
Use ζ(2) to check whether the formula w^3+x^3+y^3=z^3 holds for all integers.
It becomes 2×3ζ(3) with ± from the integer.
6×ζ(3)⇔ζ(2)=π^2/6⇔ζ(3)⇔π^2
Therefore, since it converges, an integer is spewed out from the divergence of ζ(3)!
So integers exist.
So we found 42 with computer power!
580:132人目の素数さん
22/12/09 21:40:03.61 T+YnZBA1.net
There exists a natural number z that satisfies z^2 when the π^2 form of Fermat's Last Theorem is a multiple of 6.
581:132人目の素数さん
22/12/10 04:28:31.84 sxpPJ6rb.net
昔の数学者はユークリッドの第五公準(平行線公理)は
それまでの4つの公準にくらべて複雑な述べられ方をしていたこともあり、
実は平行線の公理は定理であって最初の4つの公理から証明が導ける
のではないかと思って、様々な考察と誤った証明を作り出しては誤りが判明する
という歴史を積み重ねてきた。いくらやってもうまく証明することに成功した
者がいないという歴史の積み重ねであった。
もしすると、現代の数学の証明ができていない命題も、実は
今の公理の中からでは正しいという証明も、正しくないという証明も
導けないのかもしれない。たとえば、まだ知られていないなんらかの
公理が見つかっておらずに、それなしでは証明ができないのかもしれない。
はたしてリーマン予想などにはそういう可能性は少しでもあるのだろうか??
582:132人目の素数さん
22/12/10 05:56:16.14 YlCNGCVp.net
>>531
選択公理と強制法ぐらいは挙げないと。
583:132人目の素数さん
22/12/10 07:38:32.91 meH3MbbN.net
>>531
>現代の数学の証明ができていない命題も、実は今の公理の中からでは
>正しいという証明も、正しくないという証明も導けないのかもしれない。
決定不能命題、ってことですね
>たとえば、まだ知られていないなんらかの公理が見つかっておらず、
>それなしでは証明ができないのかもしれない。
また、その公理を否定する命題を公理とすることで
予想の否定が証明できるかもしれない
584:132人目の素数さん
22/12/10 07:41:49.83 meH3MbbN.net
>>532
選択公理がZFにおける決定不能命題であることが
強制法(forcing)によって証明された
ってことですよね
リーマン予想が数論における決定不能命題であると
強制法によって示せるかどうかは知りませんな
585:132人目の素数さん
22/12/10 07:56:13.63 meH3MbbN.net
ところで、このスレッドの名前を12から
「数学とその適用
586:」に変更することを提案します
587:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 07:58:21.11 898jbfXT.net
>>520
どうも
スレ主です
ご指摘ありがとう
確かに、皆さんにご指摘の通りで、「代数的に独立」という用語が、全く不適切でした
よって
>>450の書き直し下記
>>431 戻る
(引用開始)
1)>>391
「では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね?
一般的な話として、可解な5次方程式でもいいですが。
つまり、5乗根を取る操作をガロア拡大(クンマー拡大)
にするなら、ζ_5は必然的に含まれますが
最小分解体(方程式が一次式の積に分解する最小の体)
には含まれるか否か?って質問です。」
(引用終り)
1)いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
2)下記 最小分解体の定義より、最小分解体は、Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加して
Q(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける
3)いま、ζ_5が、Q(α1,α2,α3,α4,α5)に含まれないならば(そしてそれが普通だが)
ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だよね
4)繰り返すが、{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だし
仮に、{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、ζ_5がそれら虚数根を含む最小分解体に含まれないならば
ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) であり、そのような場合こそ普通だろ
5)なので、果たして彼は、
この問い「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね?」
で何を問いたかったのか? 意味が分からない
以上
588:132人目の素数さん
22/12/10 07:59:54.67 meH3MbbN.net
純粋数学と応用数学があるのではなくて、数学というものがあって、
それを諸問題の解決へ適用する事例がある、という認識です
589:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 08:00:18.44 898jbfXT.net
>>536 タイポ訂正
根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
↓
根α1,α2,α3,α4,α5 とする
590:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 08:01:06.76 898jbfXT.net
>>535
自分でスレ立てな
591:132人目の素数さん
22/12/10 08:12:21.33 meH3MbbN.net
>>536
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP さん
おはようございます
>Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
>根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるもの」から
「根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立」がいえますか?
もし、独立と云えないなら
>最小分解体の定義より、最小分解体は、
>Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加してQ(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける
について
「最小分解体は、(根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立であるから)
Qに5根α1,α2,α3,α4,α5全てを添加した
Q(α1,α2,α3,α4,α5)としか書けない」
とはいえませんが
端的にいえば、根1個を追加したQ(α1)という形で書けませんか?
592:132人目の素数さん
22/12/10 08:13:52.64 meH3MbbN.net
>>539
スレッドを立てられないこともあり、提案させていただきました
593:132人目の素数さん
22/12/10 08:24:37.53 meH3MbbN.net
>>536
>ζ_5が、最小拡大体に含まれないならば
>ζ_5 not∈最小拡大体 だよね
ええ、トートロジーですから
>(そしてそれが普通だが)
ええ、トートロジーですから
594:132人目の素数さん
22/12/10 08:28:28.20 meH3MbbN.net
>>536
>{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、
>ζ_5 not∈最小拡大体 だし
ええ、Qは全て実数だし、根が全て実数なら
それをQに追加した体の要素も全て実数です
一方、ζ_5は実数ではありませんから
ガロア理論以前のこととして、
高校生でも分かるかと思います
595:132人目の素数さん
22/12/10 08:33:14.30 meH3MbbN.net
>>536
>{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、
>ζ_5がそれら虚数根を含む最小分解体に含まれないならば
>ζ_5 not∈最小分解体 であり
ええ、トートロジーですから
>そのような場合こそ普通だろ
ええ、トートロジーですから
ところで、Q上の5次方程式f(x)のガロア群が位数5の巡回群の場合
・根は全て実根である
・最小分解体はQに根の1つαを追加したQ(α)である
がいえることは御存知でしたか?
596:132人目の素数さん
22/12/10 08:42:47.19 meH3MbbN.net
>>536
1)~4)のうち
・1)、2)については
「Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるもの」と
「根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立」が
両立することの証明がない
・3)および4)の後半は
「・・・に含まれないなら、not∈」
というトートロジーであり自明
・4)の前半は、実数の部分集合が、
実数でない数を要素として持つことはない
というもので、論理学におけるトートロジーではないが自明
ということで、残念ですが、誤りもしくは無内容、といわざるを得ませんでした
597:132人目の素数さん
22/12/10 08:48:49.89 d7i+9yuD.net
🍎algebra
Infinite addition of normal natural numbers
±1±2±3±4±5±6±・・・・・・±∞≒±1/12⇔
0=0,
0=0/0,
0=±∞/0,
0=±0/±∞,
0=±∞/±∞
±1/12=±0,±∞±1/2,±1,±2,±3,±4±,5,±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12
when
-1/12⇔=0=⇔π^2/6
-1≈=π^2=e^πi ±1≈0=decimal
e^πi +1≒0⇔
→↑↓→e^πi±1←↑↓←
598:132人目の素数さん
22/12/10 09:06:15.83 meH3MbbN.net
>>372
「x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
はQ上可解な既約5次方程式」
>>392
「372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね?」
>>545
>何を問いたかったのか? 意味が分からない
そもそも、371の質問とそれに対する381の回答の中身が分かってますか?
>>371
>可解な既約5次方程式の代数解法には必ず5乗根が必要なことを示せ。
>>381
>方程式の群の可解列で、最後{e}の一つ前が、位数5の巡回群になる。
>これに対応するのが、5乗根の添加で 例えば x^5=aで
>ここから、1の5乗根が出る
392は回答381への追加質問として書かれてます
もっと分かりやすく質問しますが
Q1.
5乗根の添加ということで、あるaの5乗根を添加するとして
aはQの元?それともQではないある体の元?
後者だとした場合、いかなる体の元?
Q2
「5乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、
5乗根そのものは要素として含まれる?
599:132人目の素数さん
22/12/10 09:06:19.73 dZ9h00o/.net
>>536
>1)いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
> 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「代数的に独立」の意味が分かってないね。
代数的関係があれば代数的に独立ではない。
特に代数的数同士は代数的に独立ではない。
超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。
だから多分、「根たちが不定元だ」と言いたいのだろう。
しかしその場合、基礎体はQに方程式の係数(つまり根たちの基本対称式)
を添加しなければならない。
そしてその場合、根たちは基礎体から代数的に導けるので
代数的に独立ではない。
代数方程式の根について論じてるのに、「代数的に独立」
という「魔法の言葉」で「証明」しようというのがバカだってこと。
正にトンデモ並の証明理解w
600:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 09:16:33.15 898jbfXT.net
>>521
(引用開始)
「代数的に解くというのは
ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
ってこと」がわかってない
だからなんで可解性とかいう
「不可解」な定義が出てくんだ
と思っちゃう
ラグランジュのリゾルベントで解くしかない
と分かれば、ああ、何だ、それだけか、で終わりw
(引用終り)
違うよ
確かに、ガロア第一論文では、命題VIIでラグランジュ リゾルベントを使っている
(彌永本 ガロアの時代・ガロアの数学 第二部が詳しい。この部分の解説もある。
しかし、ガロアの”次数(n-2)!”の補助方程式が何を指すのか分からない などと、彌永先生の目から見て、意味不明な点もあるようだね)
さて
Lagrange resolventは、現代数学では一般化されて、Resolvent (Galois theory)となっている
従って、Lagrange resolventを使っても良いが、他のResolventを使うことも可能
(これについては、Cox ガロワ理論下 13.2 5次多項式が詳しい。実際、Lagrange resolventでなく 普遍6次分解式を使って説明している)
(参考)
URLリンク(en.wikipedia.org)(Galois_theory)
Resolvent (Galois theory)
Resolvents were introduced by Joseph Louis Lagrange and systematically used by Evariste Galois. Nowadays they are still a fundamental tool to compute Galois groups.
Terminology
・A Galois resolvent is a resolvent such that the resolvent invariant is linear in the roots.
・The Lagrange resolvent may refer to the linear polynomial
Σ_{i=0}^{n-1} X_iω^i
つづく
601:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 09:17:05.55 898jbfXT.net
>>549
つづき
Resolvent method
The resolvent method is just a systematic way to check groups one by one until only one group is possi
602:ble. This does not mean that every group must be checked: every resolvent can cancel out many possible groups. For example, for degree five polynomials there is never need for a resolvent of D_{5}: resolvents for A_{5} and M_{20} give desired information. (注:下記では、ラグランジュ・リゾルベントを上記の一般的なResolventに近い意味で使っている。また、代数的に解ける場合に限定している) https://www.slideshare.net/junpeitsuji/ss-16134472 Jan. 23, 2013 Junpei Tsuji 可解性を説明できる代数的手法? 五次方程式の解法五次の交代群は単純群かつ巡回群でない⇔ ラグランジュ・リゾルベントは存在しない⇔ 解の公式は存在しない76; 77. 方程式が解くことができる仕組みを説明したガロア理論。 ガロア理論を使って、五次方程式が解けないことを示すまで、を初学者向けに説明することを試みます。 わかりやすいことに念頭をおいて作ったため、多少の不正確さはあると思います。 興味を持った方はぜひ参考書にトライしてみてください。 ※2015/02/03 スライド63がちょっと正確でない気がしてきましたので、調査中です。近いうちに修正します。 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B50/pdf/B50_015.pdf ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察 高瀬正仁 九州大学 MI 研究所/日本オイラー研究所 P3 ラグランジュのいう 「一般原理」というのはいわゆるラグランジュの分解式を根 底におく解法原理のことである. (引用終り) 以上
603:132人目の素数さん
22/12/10 09:22:34.80 DV2XUKqW.net
>>550
以下の指摘に答えるべきなのは誰?
>1)いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
> 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「代数的に独立」の意味が分かってないね。
代数的関係があれば代数的に独立ではない。
特に代数的数同士は代数的に独立ではない。
超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。
604:132人目の素数さん
22/12/10 09:24:04.10 dZ9h00o/.net
>「代数的に解くというのは
> ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
> ってこと」
これは完全に正しいよ。
1がなぜ数学が出来ないか?
自分の頭で考えないから。
605:132人目の素数さん
22/12/10 09:29:22.35 DV2XUKqW.net
自分の頭「だけ」で考えなければ
考えはなかなかまとまらない。
だからコピペになるのだろう。
と、自分の頭で考えた。
606:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 09:38:34.27 898jbfXT.net
>>548
>「代数的に独立」の意味が分かってないね。
>代数的関係があれば代数的に独立ではない。
>特に代数的数同士は代数的に独立ではない。
>超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。
>だから多分、「根たちが不定元だ」と言いたいのだろう。
どうも
スレ主です
「代数的に独立」の意味が分かってなかった
用語の誤用がありました
(超越的との対比で使うべき用語だった)
なお、言いたいことは、>>536&>>538(タイポ訂正)です
(参考)
URLリンク(pweb.cc.sophia.ac.jp)
26. 超越拡大・代数的独立性
26-1. 代数的独立. 体の拡大 L/K に於いて、有限部分集合 S = {x1, . . . , xn} ⊂ L に対し、
・S : K 上代数的独立 (algebraically independent)
←⇒ φ : K[X1, . . . , Xn] → L; Xi → xi: 単射準同型
←⇒ ∀x ∈ S : x が K(S r {x}) 上超越的
←⇒ ∀k = 1, . . . , n に対し、xk : K(x1, . . . , xk?1) 上超越的
一般に、(無限かも知れない) 部分集合 S ⊂ L に対しては、
・S : K 上代数的独立 ←←⇒ S の任意の有限部分集合が K 上代数的独立
←⇒ ∀x ∈ S : x が K(S r {x}) 上超越的
URLリンク(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
代数学続論講義ノート 安藤哲哉
p4
2. 代数拡大
代数的独立
(引用終り)
以上
607:132人目の素数さん
22/12/10 09:44:43.21 meH3MbbN.net
>>552
ええ、わかってます だまされませんよ
371の質問にジャストミートしてると思いますが
ラグランジュのリゾルベントの使用に関する
一番分かりやすい説明は以下ですね
累開冪拡大とガロア群の関係
URLリンク(hooktail.sub.jp)
ただ、以前にもここは見てたんですが、その時はピンとこなかった
はじめて「あぁぁぁぁっ!そうだったのか!」(昇天)と気づいたのは
はてなブログのPeriod-Mathematicsの
”「解の巡回」にトドメをさす!~ガロア理論による背景の完全解明~”の、
この言葉を見たとき
(解の)巡回関数
*V女優の告白じゃないですけど、はじめて「イク」体験をしました・・・
608:132人目の素数さん
22/12/10 09:59:55.69 meH3MbbN.net
>>554
「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」さん
あなた・・・まだ、イッたことないですね
はっきりいいますが、もし5次方程式が代数的に解けるなら
5根を順繰りに巡る「巡回関数」がある体で存在する筈なんですわ
で、それは「5根が代数的に独立でない」ってことですわ
609:132人目の素数さん
22/12/10 10:15:26.68 d7i+9yuD.net
The type of space-time is
ζ、Γζη、ξ
0→M⇔➗⇔÷⇔2π^2
6・・・・・・π^2
★
6・・・・・・π^2
Solar system π^2 has 6 planets when the sun is given 0!
610:132人目の素数さん
22/12/10 10:56:26.59 d7i+9yuD.net
There are eight planets in the solar system, starting from the closest to the Sun, Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, and Neptune.
Everything is
at πi
being Generated
it is Perfect.
611:132人目の素数さん
22/12/10 11:09:42.22 fUcDTqXn.net
>>536
間違ってるぞ
×どうも
スレ主です
○どうも
ゴミ虫です
◎どうも
クソ虫です
よく自覚しておく様に。
612:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 11:42:51.16 898jbfXT.net
>>554
追加
書誌情報
URLリンク(pweb.cc.sophia.ac.jp)
角皆 宏(つのがい ひろし)のウェブページ 上智
URLリンク(pweb.cc.sophia.ac.jp)
2008年度の講義概要
URLリンク(pweb.cc.sophia.ac.jp)
代数学IIe・講義内容と予定
1/22(予定)
配る予定のプリント [page 16(pdf,39KB) |page 17(pdf,33KB) ]
Galois理論。Dedekind-Artinの方法。
URLリンク(pweb.cc.sophia.ac.jp)
26. 超越拡大・代数的独立性 page 17(pdf,33KB)
URLリンク(researchmap.jp)
安藤 哲哉
URLリンク(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
安藤哲哉 千葉大
URLリンク(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
講義ノート
代数学続論(体とガロア理論)Download (Algebta III)
URLリンク(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
代数学続論講義ノート 安藤哲哉
613:132人目の素数さん
22/12/10 11:58:45.28 meH3MbbN.net
>>561
わかります イキたいのにイケない・・・最悪ですよね
614:132人目の素数さん
22/12/10 12:07:17.22 meH3MbbN.net
10年間
検索→考えずに読む→分からんので怒って放り出す→・・・
というループを繰り返し続けてきたんでしょうね
なんで考えないんでしょう?
なんで計算しないんでしょう?
それは実は数学に全く興味がないからじゃないですか?
もしそうなら、数学諦めたほうが幸せになれるんじゃないですか?
615:132人目の素数さん
22/12/10 12:13:56.00 meH3MbbN.net
これはまったく自分の体験談として語るのですが
些細なきっかけにも気づかない、というのは
所詮その程度のうっすい興味でしかなかった
ってことなんですよ
ということでこの曲
きっかけ
URLリンク(www.youtube.com)
616:A8%E5%9D%8246OFFICIALYouTubeCHANNEL
617:132人目の素数さん
22/12/10 12:24:08.78 dZ9h00o/.net
ξをn次巡回方程式の根として、αを適切なn乗根として
ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
とあらわせる。これって要するにフーリエ級数展開ですよね。
ガロア群G(巡回群)⇔ R/Z
α^k ⇔ 固有函数 exp(2πikx)
a_k ⇔ フーリエ係数
という対応関係。
ラグランジュリゾルベントは、フーリエ係数の積分計算に対応する。
(正確には、係数a_kではなく、n a_kα^k が計算される。)
いずれにしても「直交関係」を利用しているわけ。
618:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 13:11:23.02 898jbfXT.net
>>549 補足
>>521
(引用開始)
「代数的に解くというのは
ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
ってこと」がわかってない
だからなんで可解性とかいう
「不可解」な定義が出てくんだ
と思っちゃう
ラグランジュのリゾルベントで解くしかない
と分かれば、ああ、何だ、それだけか、で終わりw
(引用終り)
1)補足するよ
原理的には、代数的に解ければ、ラグランジュのリゾルベントを反復適用できて解ける
2)なお、>>555 累開冪拡大とガロア群の関係
URLリンク(hooktail.sub.jp)
で、ラグランジェのリゾルベントでべき根拡大証明するのはありだが
数学の証明は、複数の別証明がある場合が多いよ
3)しかし、リゾルベントは目的により、いろいろ選べる
例えば、下記 5 次方程式の可解性の高速判定法にあるように
ラグランジュのリゾルベント以外を使うのもあり
4)実際、Coxのガロワ理論下 13.2 5次多項式の節 では、ラグランジュのリゾルベントは使ってない
そして、同13.3 分解式の節では、分解式を一般化してガロワ群を計算するための系統的な方法を得る とある
5)勿論、ラグランジェのリゾルベントを使うこともあって
下記 Period-Mathematics 2019-05-11 可解な5次方程式のべき根による構成的解法
Dummitによる1991年の論文"Solving solvable quintics"では ラグランジェのリゾルベントも使っている
(参考)
URLリンク(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録
第 848 巻 1993 年 1-5
5 次方程式の可解性の高速判定法
電子技術総合研究所 元吉文男 (Fumio MOTOYOSHI)
2. G(z) の計算法
G(z) は x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} の対称式であるので、原理的には G(z) の式を展開して、根と
係数の関係から z の係数を a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} で表すことができるが、計算量が膨大になる
ので以下に示す方法 [1] を利用する。
H(z) が求まれば G(z) も求まる。
H(z)=z^{6}+b_{1}z^{5}+b_{2}z^{4}+b_{3}z^{3}+b_{4}z^{2}+b_{5}z+b_{6}
とする。
つづく
619:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 13:12:45.38 898jbfXT.net
>>565
つづき
URLリンク(period-mathematics.)<)も参考にした*1。
URLリンク(www.ams.org)
mathematics of computation
volume 57, number 195
july 1991, pages 387-401
SOLVING SOLVABLE QUINTICS
D. S. DUMMIT
(引用終り)
以上
620:132人目の素数さん
22/12/10 14:48:03.71 dZ9h00o/.net
>>564
一点だけ。
「ガロア群G上の函数」が定義されてませんでしたね。
これは「Gが作用している体Kの数」になります。
σ∈G, ξ∈K に対して
σ(ξ)と作用するわけですが、これを逆に見て
σ(ξ)を函数ξのG上の値 と見ればOK.
つまり、ξ(σ)とも書けますね。ξ(e)=ξ.
(通常は、ξ^σ のように書く。)
621:132人目の素数さん
22/12/10 14:48:05.36 meH3MbbN.net
>>565
>補足するよ
どうぞ
>原理的には、代数的に解ければ、ラグランジュのリゾルベントを反復適用できて解ける
それ、トートロジーですね
>なお、・・・ラグランジェのリゾルベントでべき根拡大証明するのはありだが
>数学の証明は、複数の別証明がある場合が多いよ
ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも、代数的に解けますか?
>しかし、リゾルベントは目的により、いろいろ選べる
>・・・ラグランジュのリゾルベント以外を使うのもあり
ラグランジュのリゾルベントと同等の方法なら同じことですよ
同等というのは、ラグランジュのリゾルベントで解けるならその別方法でも解け
逆に、その別方法でも解けるなら、ラグランジュのリゾルベントでも解ける、という意味
>実際、Coxのガロワ理論下 13.2 5次多項式の節 では、
>ラグランジュのリゾルベントは使ってない
>そして、同13.3 分解式の節では、分解式を一般化して
>ガロワ群を計算するための系統的な方法を得る
>とある
方程式を解いて解を得る、ということでないなら
例えばガロア群を計算するということなら
ラグランジュのリゾルベントは使わないですよ
分かってると思いますが、ガロア群の計算は求解計算ではありませんよ
>勿論、ラグランジェのリゾルベントを使うこともあって
>下記 Period-Mathematics 2019-05-11 可解な5次方程式のべき根による構成的解法
>Dummitによる1991年の論文"Solving solvable quintics"では
>ラグランジェのリゾルベントも使っている
解を求めるなら、ラグランジェのリゾルベントを使うでしょう
622:132人目の素数さん
22/12/10 14:51:06.10 meH3MbbN.net
>>568
では、「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」様に質問です
ラグランジュのリゾルベントを使うにあたり
分かってなくてはならないことがあります
それはなんでしょう?
ヒント
累開冪拡大とガロア群の関係
URLリンク(hooktail.sub.jp)
「ガロア群が巡回群 G(E/F)={1,φ,・・・,φ^n-1}だとすると( この仮定が重要! )、
解 θ_0,θ_1,・・・,θ_[n-1] は、θ_0,φθ_0,...,φ^{n-1}θ_0 のように、
θ_0 と φ だけを使って書き換えることができます。」
とありますが、このφってなんですか?φθ_0って何をやってるんですか?
(ヒントのヒント
Period-Mathematics 2019-05-04 巡回多項式を代数的に解く
に書いてありますが、粗雑に流し読みすると、まあ見落としますね
そういう人は・・・涅槃にイケません)
涅槃
URLリンク(ja.wikipedia.org)
涅槃(ねはん)、
ニルヴァーナ(サンスクリット語: निर्वाण、nirvāṇa)、
ニッバーナ(パーリ語: निब्बान、nibbāna)とは、
一般にヒンドゥー教、ジャイナ教、仏教における概念であり、
繰り返す再生の輪廻から解放された状態のこと。
623:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 15:00:57.48 898jbfXT.net
>>547
お答えします
Q1
5乗根の添加ということで、あるaの5乗根を添加するとして
aはQの元?それともQではないある体の元?
後者だとした場合、いかなる体の元?
A1
簡単に基礎体を有理数Qとする
aの5乗根 a^(1/5)は、無理数とする
・実根のみを添加した体Q(a^(1/5))が考えられる
・実根以外も全て含めた体、Q(a^(1/5),ζ5)が考えられる(ζ5は、1の原始5乗根)
Q2
「5乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、
5乗根そのものは要素として含まれる?
A2
簡単に基礎体を有理数Qとする
また、元の方程式を、既約で可解な5次方程式とする
5つの根を (a1,a2,a3,a4,a5)とする
最小分解体は一般的にQ(a1,a2,a3,a4,a5)と書ける(a1,a2,a3,a4,a5は減らせるかも知れないが今は不問とする)
>>381に述べたように、ガロア第一論文の最後の定理から
位数5の巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる
ここから、ある補助式から出るaがあって、a^(1/5)を含んだ式が出てくる(a^(1/5)は、上記同様無理数)
つまり、 (a1,a2,a3,a4,a5)たちは、a^(1/5)含んだ代数式(加減乗除とべき根)で表される
例えば、この式を ai=f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1~5のどれか)
最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
624:132人目の素数さん
22/12/10 15:26:35.68 meH3MbbN.net
2次方程式の場合
ax^2+bx+c の根の一つをαとする
このとき、
ax^2+bx+c
=a(x-α)(x-(-α+b/α))
と表せる
ま、この程度なら高校数学
625:132人目の素数さん
22/12/10 15:30:32.08 meH3MbbN.net
>>570
採点します
>Q1
>5乗根の添加ということで、あるaの5乗根を添加するとして
>aはQの元?それともQではないある体の元?
>後者だとした場合、いかなる体の元?
>A1
>簡単に基礎体を有理数Qとする
>aの5乗根 a^(1/5)は、無理数とする
>・実根のみを添加した体Q(a^(1/5))が考えられる
>・実根以外も全て含めた体、Q(a^(1/5),ζ5)が考えられる
>(ζ5は、1の原始5乗根)
質問にはまったく答えられてませんね
質問は
「aはQの元?それともQではないある体の元?
後者だとした場合、いかなる体の元?」
ですよ
ということですが、残念ですが、やり直し
まだ、涅槃にはイケませんね
626:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 15:45:02.88 898jbfXT.net
>>568
>>なお、・・・ラグランジェのリゾルベントでべき根拡大証明するのはありだが
>>数学の証明は、複数の別証明がある場合が多いよ
> ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも、代数的に解けますか?
1)解けるよ
2)そもそも、なぜ根の置換が重要か?
それは、下記の定理 6.3による
(この定理と証明は、いろんな方程式論の本にある)
3)そして、下記「分解式を x1+ωx2+ ω^2x3 とおいたことは 天来の妙手としか言いようがないというこ
とになってしまうので これの由来を説明する」
とあるよ。ここ読んでね
4)もちろん、1のべき根は必要に応じて、添加できる前提だが
(1のべき根は、代数的に可解なので、当然ですが)
(参考)
URLリンク(sitmathclub.github.io)
芝浦工業大学 数理科学研究会
URLリンク(sitmathclub.github.io)
2015
多項式の解法
芝浦工業大学 数理科学研究会
石川 直幹
P12
定理 6.3
有理式 f(x1,x2,・・,xn) を変えない置換によって 他の有理式 φ(x1,x2,・・,xn)が変わらないならば
φ=(a0+a1f+a2f^2+・・)/(a'0+a'1f+a'2f^2+・・)
のような恒等式が成り立つ
(注:つまり、φは式 fの有理式で表される)
P28
3 分解式の作り方
3.1 三次の場合
このままだと 分解式を x1+ωx2+ ω^2x3 とおいたことは 天来の妙手としか言いようがないというこ
とになってしまうので これの由来を説明する
(以下略。原文参照のこと。要するに、数ある分解式で、1次式で良さそうなものがこれって話です)
なお
P36
5 5次方程式の解法
その後の
6 補遺で5次方程式になぜ冪根解法がないかの探求をしているところは、参考になるだろう
(引用終り)
以上
627:132人目の素数さん
22/12/10 15:55:13.19 dZ9h00o/.net
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。(ガロア拡大の定義から。)
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
628:132人目の素数さん
22/12/10 15:58:29.92 meH3MbbN.net
>>570
さらに採点します
>Q2
>「5乗根の添加」によってつくられた解を添加した、
>元の方程式の最小分解体の中に、
>5乗根そのものは要素として含まれる?
>A2
(略)
>5つの根を (a1,a2,a3,a4,a5)とする
(略)
>ガロア第一論文の最後の定理から
>位数5の巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、
>従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる
>ここから、ある補助式から出るaがあって、
>a^(1/5)を含んだ式が出てくる
>つまり、 (a1,a2,a3,a4,a5)たちは、
>a^(1/5)含んだ代数式(加減乗除とべき根)で表される
>例えば、この式を ai=f(a^(1/5)) とでもしましょう
>(ここに、iは1~5のどれか)
>最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
>かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
>だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
>f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Qには、
>方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
結論からいうと・・・誤り
あなたの発言を額面通りに受け取ると以下がいえる
「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、
逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、体Q上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、
f(x)→xを体Q内に得ることは可能」
つまり、Q上の方程式の根がQ上に存在するといえることになる!
・・・しかし、明らかに誤りですね
だってx^2=2も、x^2=-1も、その根はQじゃないですから
629:132人目の素数さん
22/12/10 16:03:32.46 dZ9h00o/.net
1はa^(1/5)にガロア群がどう作用するかも分かってない?
σ(a^(1/5))=ζ_5の何とか乗×a^(1/5) のように作用する。
これが固有函数 exp(2πikx) と同じ性質なわけ。
630:132人目の素数さん
22/12/10 16:07:35.66 meH3MbbN.net
>>575
それにしても
631: 「最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、 かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、 f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能」 は 「任意の正方行列に対して、その逆行列が存在する」 に匹敵する発言ですね もし 「体F上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、 f(x)→xを体F内に得ることは可能」 だったら、 ・ピタゴラスは発狂して弟子を殺すことはなかった (無理数なんて出てこないから) ・虚数なんて必要なくなった (実数上の多項式は必ず実根を持つから) ・ガウスが代数学の基本定理を証明する必要もなかった (だって自明な命題になっちゃいますから) ってことになります 数学史が劇的に塗り替えられますよ!
632:132人目の素数さん
22/12/10 16:10:39.88 meH3MbbN.net
>> ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも、代数的に解けますか?
> 解けるよ
これは誤りですね
「ラグランジュのリゾルベントを使わなくても」ではなく
「ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも」です
つまり、代数的に解け、かつ
ラグランジュのリゾルベントの式が成立しない場合があるか?
という質問です
そんな場合はあり得ませんよ
633:132人目の素数さん
22/12/10 16:55:19.27 meH3MbbN.net
ところで、4次方程式までなら代数的に解けるのであるから
そこから、逆に任意の(4次以下の)方程式の
「解の巡回関数」が求まることになる
2次方程式の場合(>>571の修正)
ax^2+bx+c の根の一つをαとする
このとき、
ax^2+bx+c
=a(x-α)(x-(-α+b/a))
と表せる
-(-α+(b/a))+b/a
=α-b/a+b/a
=α
確かに巡回してるわ
634:132人目の素数さん
22/12/10 17:10:07.07 meH3MbbN.net
まあ、
「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、
逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、体Q上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、
f(x)→xを体Q内に得ることは可能」
なんて、ナイーブな誤りを先入見として持ち続けてる人に
ガロア理論は理解できるわけないですね
だって「」内は
「アーベル・ルフィニの定理は間違ってる!
方程式の次数がいかほど高くても、逆演算で解ける!」
って言ってるのと同じだもの
相ま、非ユま、ガロま
縁なき衆生は・・・
635:132人目の素数さん
22/12/10 17:12:01.24 meH3MbbN.net
>>580
「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」さんは
以下のように改名したほうがいいですね
「アーベルもガロアも間違ってる ◆yH25M02vWFhP」
636:132人目の素数さん
22/12/10 17:17:59.49 meH3MbbN.net
「アーベルもガロアも間違ってる」はいそうでいないタイプですね
「ゲーデルは間違ってる」はなにげにいますね
637:132人目の素数さん
22/12/10 17:21:38.69 meH3MbbN.net
ガロまに漢字をあててみた
「俄魯魔」
1こと「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」さんに差し上げます
「俄魯魔の集合A」
638:132人目の素数さん
22/12/10 17:26:45.06 meH3MbbN.net
俄魯魔の集合A 学位論文
いかなる体上のいかなる方程式も、その体上に根を持つ
「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、体上の式f(x) に上記の逆演算を施せば
f(x)→xを体内に得ることが可能である!」
複素数体だったら200年前に「あるドイツ人」が証明したんだけどねえ
「代数学の基本定理」っていうんですが
URLリンク(ja.wikipedia.org)
639:132人目の素数さん
22/12/10 17:30:10.44 meH3MbbN.net
それにしても、長年数学板にガロア理論のスレッドを立ててた人の動機が、まさか
「ガロア理論は間違ってる!
任意の体上の方程式はその体上に根をもつ!
しかも具体的に逆演算で求められる!」
だったなんて、驚き桃の木山椒の木ですわ・・・
640:132人目の素数さん
22/12/10 18:13:23.60 90JrxjIA.net
「体K上のいかなる方程式も、その体上に根を持つ」ならKは代数閉体であるが、
有理数体も実数体も代数閉体でないことくらい中学生でも分かる
実際 X^2+1 は実根を持たない
641:132人目の素数さん
22/12/10 18:18:19.84 meH3MbbN.net
>>586
まったく同感
ただ、>>571の以下の文章は
任意の体は代数的閉体だと読めちゃうんですよ
「(a1,a2,a3,a4,a5)たちは、a^(1/5)含んだ代数式(加減乗除とべき根)で表される
例えば、この式を ai=f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1~5のどれか)
最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、
方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる」
642:132人目の素数さん
22/12/10 18:19:00.64 meH3MbbN.net
>>586
まったく同感
ただ、>>570の以下の文章は
任意の体は代数的閉体だと読めちゃうんですよ
「(a1,a2,a3,a4,a5)たちは、a^(1/5)含んだ代数式(加減乗除とべき根)で表される
例えば、この式を ai=f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1~5のどれか)
最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、
方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる」
643:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 19:07:58.80 898jbfXT.net
>>574
(引用開始)
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。(ガロア拡大の定義から。)
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
(引用終り)
スレ主です
1)言っている意味が分からん
2)最小分解体分かってますか?
ガロア拡大がなんですと?
混乱しているように見えるのは私だけかな?
3)Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
2項方程式 x^5=a (a^(1/5)は無理数)で、
ある無理数a^(1/5)を
644:、Q(a1,a2,a3,a4,a5)に含んでいても それで、なんの不思議もないでしょ 4)Coxのガロワ理論下 P490に任意の可解な方程式で、x^5+ax+bの式の 明示的な解の公式の文献が、[1][29]にあると記されている [29]がCharacterizaton of solvable quintcs x^5+ax+b Amer.Math.Monthy 101(1994),986-992 だが、キーワード Characterizaton of solvable quintcs x5+ax+b で検索すると下記などがヒットした https://people.math.carleton.ca/~williams/papers/pdf/206.pdf ROCKY MOUNTAIN JOURNAL OF MATHEMATICS Volume 28, Number 2, Spring 1998 ON SOLVABLE QUINTICS X5 + ax + b AND X5 + ax2 + b BLAIR K. SPEARMAN AND KENNETH S. WILLIAMS これで代用するよ 5)ここには、可解の場合の解の公式があって、全て、a^(1/5)の形の5乗根を含む それ当たり前でしょ? 2次で平方根、3次で立方根、5次なら5乗根を含むだろう 6)そして、可解の場合の解の公式だから、5つ全部実根の場合も含むよ
645:132人目の素数さん
22/12/10 19:30:19.98 dZ9h00o/.net
>>589
>2)最小分解体分かってますか?
> ガロア拡大がなんですと?
> 混乱しているように見えるのは私だけかな?
>3)Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
標数0の場合「基礎体上のある方程式の根」をすべて添加したらガロア拡大になる。
最小分解体とは既約方程式が1次式の積に分解している最小の体だから、ガロア拡大。
そんなことも分からないバカ野郎w
646:132人目の素数さん
22/12/10 19:41:57.44 dZ9h00o/.net
巡回方程式の根のべき根表示(フーリエ級数展開)
(1) ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
において、Q(ξ)の体にαが含まれるための必要十分条件は
Q(ξ)に1の原始n乗根ζ_nが含まれること。
それはラグランジュリゾルベントの計算を考えてみれば明らか。
逆に言えば、Q(ξ)にζ_nが含まれなければ
αはQ(ξ)には含まれない。それは表示式(1)と
まったく矛盾しない。
647:132人目の素数さん
22/12/10 19:50:36.30 dZ9h00o/.net
別の言い方をすると、巡回方程式の
根のべき根表示を得るにはクンマー拡大を経由する
基礎体にζ_nが含まれていなければ
少し大きい体を経由するする必要があるってこと。
648:132人目の素数さん
22/12/10 19:58:54.05 dZ9h00o/.net
>>372から言ってることが一貫してるでしょ?
649:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 21:18:05.38 898jbfXT.net
>>590
(引用開始)
>>589
>2)最小分解体分かってますか?
> ガロア拡大がなんですと?
> 混乱しているように見えるのは私だけかな?
>3)Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
標数0の場合「基礎体上のある方程式の根」をすべて添加したらガロア拡大になる。
最小分解体とは既約方程式が1次式の積に分解している最小の体だから、ガロア拡大。
そんなことも分からないバカ野郎w
(引用終り)
1)あららのら!w
2)>>488より再録
”3)で、私は回答>>381を書いた
そこに、還元不能問題(不還元)についても記した
4)>>391 ID:R+sEJurg氏が
「不還元の話は特に必要ないです」とか言い出した
5)で、私は >>399 で、「必要だよ」
「”1の原始5乗根”の必要性 =不還元の話 だ」と諭してやった”
これが、ズバリ当てはまるな!
3)下記で、5実根の場合は 最小分解体⊂R、つまり実の拡大体
4)一方、ガロア拡大なら実の拡大体では終わらない
5)これが、還元不能問題(不還元)です
(参考)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
分解体
与えられた多項式の分解体(英: splitting field)とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数(英語版)が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。
つづく
650:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 21:18:29.18 898jbfXT.net
>>594
つづき
URLリンク(ja.wikipedia.org)
ガロア拡大
体の代数拡大 E
651:/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。 例 有理数体に、2の平方根を添加する(英語版)とガロア拡大を与えるが、2の立方根を添加すると非ガロア拡大を与える。標数 0 だからこれらの拡大はいずれも分離的である。前者は x2 ? 2 の分解体である。後者は1の虚立方根を含む正規閉包を持ち、したがって分解体ではない https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F 三次方程式 還元不能の場合 実数解しかないのにも関わらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある。 カルダノは負の数の平方根を計算に用いることはあったものの、それらの場合は不可能で役に立たないものと考えていた。 この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根と四則演算を有限回用いただけで解を書き下すことは不可能であるため、全て徒労に終わった。 (引用終り) 以上
652:132人目の素数さん
22/12/10 21:32:15.09 meH3MbbN.net
>>589
>Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
混乱してますな 俄魯魔の集合Aさん
>>594
>5実根の場合は 最小分解体⊂R、つまり実の拡大体
>一方、ガロア拡大なら実の拡大体では終わらない
混乱してますな 俄魯魔の集合Aさん
次から次へと息を吐くように初歩的な誤りの嘘を吐きますな
653:132人目の素数さん
22/12/10 21:44:24.02 meH3MbbN.net
>>589
>2項方程式 x^5=a (a^(1/5)は無理数)で、
>ある無理数a^(1/5)を、Q(a1,a2,a3,a4,a5)に含んでいても
>それで、なんの不思議もないでしょ
2項方程式のガロア群は位数5の巡回群ではなくて位数20の群ですね
ガロア群が位数5の巡回群になる方程式もあります
そのような方程式の根は全て実根ですが、
根を求める式には1の5乗根は現れます
しかし、1の5乗根は最小分解体に現れません
どれか1つ根が求まれば、そこから有理関数である巡回関数で
他の4つの根が生成されるので、Qに根の1つを追加するだけで
最小分解体(もちろんガロア拡大体)ができますが、
どの根も実根なので、1以外の1の5乗根はどの4つとも入りません
だからいってるじゃないですか
根を表す式の中に1の5乗根が現れるからといって
最小分解体の中にそれが含まれるとはいえないんですって
10年前、初めてスレ立てたときに
ラグランジュの分解式(リゾルベント)って書いてたのに、
結局解き方が全然分かってなくていまだにそのままなんですね
いったい、何がしたいんですか?俄魯魔の集合Aさん
654:132人目の素数さん
22/12/10 21:46:08.47 DV2XUKqW.net
こういう無神経さが
数学科のメシを食ったことのあるちゃねらーたちを
ものすごくイラつかせることに気づいて
もう少し慎重にレスするようになれば
このスレも少しは落ち着くと思うのだが
655:132人目の素数さん
22/12/10 21:58:56.58 meH3MbbN.net
>>598
ま、でも彼も一つだけいい事をしましたよ
方程式論で初歩的な誤りを書き散らかしたせいで
初歩的かつ肝心なトラップを仕掛けてくれる人が出てきて
そのおかげで巡回多項式で重要なのは解の巡回関数と
ラグランジュの分解式(リゾルベント)だって
私に気づかせてくれたことです
ま、肝心の彼は未だに気づいてないみたいだけど
いつか気づけるといいな(本心から)
いやぁ古典って大事だな
現代的なことばっかりやってると
動機が分からなくなるんでね
656:現代数学の系譜 雑談
22/12/10 22:17:25.55 898jbfXT.net
>>573 補足
wikipediaに下記があるので貼るよ
・ラグランジュのリゾルベントでは、解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する
・1861年にアーサー・ケイリーが与えたリゾルベントの6次方程式を解くことに帰着する方法が存在し、こちらが優れている
URLリンク(ja.wikipedia.org)
五次方程式(英語:quintic equation)とは、次数が5であるような代数方程式のこと。
限定的な代数的解法
一般式が代数的に解けないということは、上記に示したとおりであるが、特定の五次方程式がどのような場合�
657:ノ解けるかは分かっている。 ラグランジュが3次、4次で用いた手法をそのまま持ち込んだ場合、 x=(α1+ζα2+ζ^2α3+ζ^3α4+ζ^4α5)^5 (ただし ζ は1の原始5乗根) の置換を考察することになるが、この場合5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する。 そこでより位数の低い置換を与えるような式を考察する必要があるが、これは1861年にアーサー・ケイリーが与えたものが最良となる。 x=(α1α2+α2α3+α3α4+α4α5+α5α1-α1α3-α2α4-α3α5-α4α1-α5α2)^2 この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解法同様にして元の方程式の根を得る。これが五次方程式が代数的に解ける必要十分条件である。
658:132人目の素数さん
22/12/10 23:22:51.43 dZ9h00o/.net
>>594
>「”1の原始5乗根”の必要性 =不還元の話 だ」と諭してやった”
不還元の話って、実の根に対してべき根の中身が実数に出来るか?て話でしょ。
Q(ζ_5)は実2次体を含んでいる。
”1の原始5乗根”の必要性とは違うと思う。
還元可能な場合だって、ガロア群を作用させるとζ_5が出て来るんだよ。
もしかして知らなかった?
この事実からしても「1の原始5乗根”の必要性 ≠不還元の話」だね。
1はテキストを斜め読みして、関係ありそうなことをピックアップするというアホなことやってるから、おかしな出力になる。
「不還元の話」は関係ありそうだと思って書いたんだろうが、本質に関わらない蛇足だね。
659:132人目の素数さん
22/12/10 23:26:06.06 sxpPJ6rb.net
整数(有理)係数の5次方程式が冪根拡大により解けるための必要十分条件は、
藤原松三郎の代数学の本にも出ている。係数から計算される楕円jの値が
有理数で特定のパターンの時にだけ解ける。
660:132人目の素数さん
22/12/11 02:34:34.65 lnOtbAAb.net
代数的に解ける5次方程式は、5次方程式界のエリートだよな
ほとんどすべての5次方程式は、代数的には解けない平民
661:132人目の素数さん
22/12/11 02:49:48.14 lnOtbAAb.net
>>601
まったくごもっとも
だいたいx^5-1って、既約じゃないじゃんw
(x^5-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
だから4次方程式の根じゃん
それ解くのに5乗根いる?
x^4+x^3+x^2+x+1のガロア群は位数4の巡回群で
これは位数2の巡回群を正規部分群として持つ
その剰余群も位数2の巡回群
だから平方根だけで解けちゃう
ま、この事実だけなら高校生でも知ってる常識
一般に、x^n-1は既約じゃないし
すくなくともx-1で割れるから
出てくるのは最大でもn-1次の方程式で
そのガロア群は位数n-1の巡回群
しかもnが2以上の素数pなら
p-1は2で割れるんで
最大で(p-1)/2乗根使えば解ける
7なら3乗根、11なら5乗根、・・・
662:132人目の素数さん
22/12/11 03:05:35.42 lnOtbAAb.net
2p+1が素数の場合、
(x^(2p+1)-1)/(x-1) をx^pで割って
(x+1/x)=t と置きなおして得られる
p次方程式のガロア群は、位数pの巡回群
これ、根は全部実根
もちろん、ラグランジュのリゾルベントで解ける
ああ、気持ちええ・・・
663:132人目の素数さん
22/12/11 07:51:46.98 lnOtbAAb.net
>>600
質問
「ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式が
ケイリーのリゾルベントで解けるんですか?
Yes の場合、具体的に方程式を示すこと」
664:132人目の素数さん
22/12/11 08:02:41.17 8wm/VM70.net
体上で既約な5次方程式のガロア群として可解なものは、
位数が5のもの10のもの20のものだけでOKだっけ?
15のものはなかったかな?
665:132人目の素数さん
22/12/11 08:12:12.89 lnOtbAAb.net
>>607
位数20の群は位数5の巡回群と位数4の巡回群の半直積
で、位数4の巡回群の正規部分群は単位群と位数2の巡回群しかないから
位数5と位数10しかない、ということかと
666:132人目の素数さん
22/12/11 08:14:19.92 lnOtbAAb.net
>>607
まあ、単純に15は2
667:0の約数じゃないから 位数20の群の正規部分群にはならない っていうほうが簡単でしたね
668:132人目の素数さん
22/12/11 08:26:37.97 lnOtbAAb.net
>>601
>1はテキストを斜め読みして、
>関係ありそうなことをピックアップするから、
>おかしな出力になる。
根にζ5がなく、しかも根の代数演算でζ5が出てこないことも気づいてるようです
しかしそこで「はいってませんね」と断定できず
なんかしらんけど「不還元」という言葉で誤魔化して
「最小分解体には入ってないが、ガロア拡大体には入ってる(筈)」(キリッ)
とかいっちゃう
しかもあやふやなら質問として書けばいいのに、勢いで断言しちゃう
アメリカとの戦争に突入した日本軍みたいな精神構造
それじゃ連戦連敗で敗北しますね
669:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 08:28:30.19 KrqrphNa.net
>>606
再録
>>600
質問
「ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式が
ケイリーのリゾルベントで解けるんですか?
Yes の場合、具体的に方程式を示すこと」
(引用終り)
1)ラグランジュのリゾルベントと、ケイリーのリゾルベントとは、原理的に同等
2)ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式は、ケイリーのリゾルベントでも解けない
3)但し、>>600に引用しているように、
目的によって、数あるリゾルベントでも向き不向きがあるってことです
4)方程式の可解性を説明するには(あるいは考えるには)、ラグランジュのリゾルベントが優れている
しかし、五次方程式を具体的に考察するには、ケイリーのリゾルベントが向いているってことです
670:132人目の素数さん
22/12/11 08:31:42.65 lnOtbAAb.net
根本的にわかってないな、と感じるのは、いつまでもしつこく
最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いてる点
追加するのはたかだか2個でいいんですよ
位数5の巡回群に対応するものと、位数4もしくは2の巡回群に対応するもの
わかってるなら、可解と条件つけてるのに、漫然と5個全部書いたりしない
671:132人目の素数さん
22/12/11 08:33:36.76 lnOtbAAb.net
>>611
>ラグランジュのリゾルベントと、ケイリーのリゾルベントとは、原理的に同等
>ラグランジュのリゾルベントで解けない方程式は、ケイリーのリゾルベントでも解けない
でしょ?
じゃ意味ないっす
(完)
672:132人目の素数さん
22/12/11 08:42:10.44 lnOtbAAb.net
>>611
>方程式の可解性を説明するには、ラグランジュのリゾルベントが優れている
なら、それで終わりですね
>しかし、五次方程式を具体的に考察するには、
>ケイリーのリゾルベントが向いているってことです
それは考察の内容によるので、それが示されない限り無意味ですね
たとえば
「線型方程式系の解や逆行列を(クラメルの)公式として示すには行列式が必要」
というのは理解しますが
「線型方程式系の解や逆行列を求めるなら行列の階段化のほうが早い」
というのも事実です
率直にいえば、ラグランジュのリゾルベントを使えばいい、と理解すれば
別に公式は要りません、っていうか導けます
逆に公式だけ示されても「こんなんどうやって思いついた?」って思うだけ
公式を漫然と覚えるのは数学でもなんでもないですね
673:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:18:29.16 KrqrphNa.net
>>597
再録
>>589
>2項方程式 x^5=a (a^(1/5)は無理数)で、
>ある無理数a^(1/5)を、Q(a1,a2,a3,a4,a5)に含んでいても
>それで、なんの不思議もないでしょ
2項方程式のガロア群は位数5の巡回群ではなくて位数20の群ですね
ガロア群が位数5の巡回群になる方程式もあります
そのような方程式の根は全て実根ですが、
根を求める式には1の5乗根は現れます
しかし、1の5乗根は最小分解体に現れません
どれか1つ根が求まれば、そこから有理関数である巡回関数で
他の4つの根が生成されるので、Qに根の1つを追加するだけで
最小分解体(もちろんガロア拡大体)ができますが、
どの根も実根なので、1以外の1の5乗根はどの4つとも入りません
(引用終り)
1)まず、方程式の可解性を論じるとき、二つの立場がある
簡単に基礎体Qで考える
a)基礎体Qをそのまま使う
b)基礎体Qに1のm乗根を含んだ体を使う
2)実際、彌永本 ガロアの時代・ガロアの数学 第二部 P208は、この立場です
つまり「定理 nを自然数 n!=m ζを1の原始m乗根ζmとする。体kがζを含めば
k[X]∋f(X),degf=n,f(X)の最小分解体をKとするとき
f(X)が可解であるための十分条件はG(K/k)が可解であることである」
とある。G(K/k)はガロア群で、必要十分条件だが、証明の都合で十分条件としたとある
3)幾つかの本では、上記1)のどちらの立場かを、はっきりしていないことがあるが
方程式の可解性を論じるとき
b)の基礎体Qに1のm乗根を含んだ体を使う
の立場が明解なのです
例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
例えば、X^3=2 だとQ(2^(1/3),ω)で6次だが、一般3次式のガロア群も対称群S3で6次と、しばしば言われるw
b)の基礎体Qに1のm乗根を含んだ体を使う立場だと
(この場合、上記2)彌永本の基礎体を”Qζ”と書くと)
X^2=-a では Qζ(√a)で2次で、X^3=a でもQζ(a^(1/3))で3次となる
�
674:i√a,a^(1/3)はQζに含まれない数とする) つづく
675:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:19:13.61 KrqrphNa.net
>>615
つづき
4)次に、”ガロア群が位数5の巡回群になる方程式もあります
そのような方程式の根は全て実根ですが、
根を求める式には1の5乗根は現れます”
の部分って、意味不明では?
そもそも、5次の既約な式が前提でしょ?
それから、クンマー理論から、ガロア群が位数5の巡回群なら、べき根拡大では?(下記)
(クンマー理論も、”充分に多くの1の根が存在するとき”下記が前提ですよね)
(参考)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
クンマー理論
クンマー理論は、充分に多くの1の根が存在するときは、巡回拡大は冪根をとるという操作によって理解できるという理論である。類体論における主要な難所は、1の余剰な根をなしで済ませる(つまり、より小さな体へと「降下」する)ことである。それはクンマー理論と比べて非常に難しい。
クンマー拡大
略
クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。
(引用終り)
以上
676:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:22:20.58 KrqrphNa.net
>>624
>>しかし、五次方程式を具体的に考察するには、
>>ケイリーのリゾルベントが向いているってことです
> それは考察の内容によるので、それが示されない限り無意味ですね
Coxのガロワ理論下 P477 13.2 「5次多項式」を読みな
詳しく書いてあるよ
677:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 09:37:32.66 KrqrphNa.net
>>612
>根本的にわかってないな、と感じるのは、いつまでもしつこく
>最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いてる点
>追加するのはたかだか2個でいいんですよ
>位数5の巡回群に対応するものと、位数4もしくは2の巡回群に対応するもの
>わかってるなら、可解と条件つけてるのに、漫然と5個全部書いたりしない
あたまわるいな、こいつ
1)最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書くのは、形式的に一般的な場合を表す常套手段だよ
2)例えば、5次式で、f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4 と書くが如し
3)a0,a1,a2,a3,a4の幾つかで、ai=0であっても、それは上記の記法に含まれるのです
数学では、
これ
常套手段だよ
678:132人目の素数さん
22/12/11 09:43:18.84 ZZrJoD9g.net
一番「頭悪いな」と思うのは、最小分解体Q(a1,a2,a3,a4,a5) と書いていながら
「根を全部添加した体」がガロア拡大だと分かってなかった点。
「お前、そんなことも知らなかったの?」
679:132人目の素数さん
22/12/11 09:44:39.85 ZZrJoD9g.net
>頭悪いな
1がなw
680:132人目の素数さん
22/12/11 09:46:45.73 ZZrJoD9g.net
「Coxの本読め」とか言っても、本持ってるだけで
ガロア理論の初歩さえ頭に入ってないじゃん。
681:132人目の素数さん
22/12/11 09:54:48.26 lnOtbAAb.net
>>615
>例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
僕「先生!また、1が💩踏みました」
1「チクるんじゃねーよ!」
先生「またか!1、お前どんだけ💩好きなんだ?」
生徒「ハハハハハハハ」
X^2=-2 だとQ((√2)i)だろ √2もiも含まれない
X^4=4 ならQ(√2,i)
ま、X^4=4は(X^2-2)(X^2+2)だから既約じゃないけど
682:132人目の素数さん
22/12/11 09:59:49.39 lnOtbAAb.net
>>616
>クンマー理論から、ガロア群が位数5の巡回群なら、べき根拡大では?
もしかして
「ガロア群が位数5の巡回群=拡大体がQ(a^(1/5))、となる筈」
と云ってるんなら、こう返します
「んなこたぁない」
#Coxが見たら泣くぞ
683:132人目の素数さん
22/12/11 10:06:58.23 ZZrJoD9g.net
>>622
ほんとだ。酷いね。
>>623
Q(a^(1/5))/Q こそ、non Galois の例。
1って10年ガロア理論勉強してそんなことも分からないのかww
684:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:22:01.91 KrqrphNa.net
>>614
> 率直にいえば、ラグランジュのリゾルベントを使えばいい、と理解すれば
> 別に公式は要りません、っていうか導けます
> 逆に公式だけ示されても「こんなんどうやって思いついた?」って思うだけ
> 公式を漫然と覚えるのは数学でもなんでもないですね
ほんと、あたまわるくない?
両方いるんだよ、数学では!
理解と公式と
特に、21世紀は膨大は数学の蓄積があるよね
ガウスやガロアの時代とはちがう
彼らの時代は、ちょっとした思いつきだけで、数学の最前線に出られたが
当時から100年以上、無数の数学者がいろんな思いつきで論文を量産しているんだ
�
685:Vしい論文を書くならば、まず最前線に立つしかない そのためには、すでにどんな公式があるのかは、せめてチラ見しておかないといけないよね それを踏まえて、自分で考えるべし 例えばさ、>>417 の「種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが」 関連で、下記がある 質問 1のn乗根で、n=11のとき 回答で、mathematica で FunctionExpand[Sin[2π/11]] などとやると,sin(2π/11) の具体的表式が出てくる 複素数の 3/5 乗などあるって 言いたいのは、 ”別に公式は要りません、っていうか導けます”は まず「mathematica 使え」に言い換えた方がいいだろうねw つづく
686:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:24:12.12 KrqrphNa.net
>>625
つづき
(参考)
URLリンク(oshiete.goo.ne.jp)
教えてgoo
1のn乗根
質問者:noname#108554質問日時:2004/03/20 23:58回答数:13件
n=11のときにはどのように求めればよいのでしょうか?
高校で習うやり方では求められない最小のnです。
また、一般のnに対して求めるようなアルゴリズムはあるのでしょうか?
ちなみに、Mathematica4にやらせたところ、
(-1)^(1/11)のように出力されます。
No.11ベストアンサー
回答者: siegmund 回答日時:2004/03/24 14:08
mathworld のページ
URLリンク(mathworld.wolfram.com) …
を見ていましたら,mathematica で
FunctionExpand[Sin[2π/11]]
などとやると,sin(2π/11) の具体的表式が出てくることがわかりました.
おい,かんべんしてくれよ,というような式です.
複素数の 3/5 乗などあって気持ちの悪い表式ですが,
共役な項などあるのでもっと簡単にはなりそうです.
N で近似値を出させると,ちゃんと虚部はゼロ(精度範囲で)になり,
sin(2π/11)の値が出てきます.
Mathematica の標準設定では mπ/n の三角関数で n≦6 の場合は
自動的に解析的表式に置き換えられるようです.
なお,grothendieck さんが No.3 で紹介されているページには
But this quintic equation has a cyclic Galois Group,
and so x, and hence sin(π/11) ,
can be expressed in terms of radicals,
although the explicit expression is quite complicated.
No.3
回答者: grothendieck 回答日時:2004/03/21 03:27
n=11については下記URLが参考になるかもしれません。
参考URL:URLリンク(mathworld.wolfram.com) …
URLリンク(mathworld.wolfram.com)
Wolfram MathWorld
Trigonometry Angles--Pi/11
(引用終り)
以上
687:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:32:08.32 KrqrphNa.net
>>623-624
なに詭弁使って論点ずらしているの?www
一般の代数拡大で、下記 「Q(√2)/Q は代数的である」と記されているよ
Q(√2)をガロア拡大と錯覚しているね
ああ、世にリゾルベントが、ラグランジュ・リゾルベントただ一つと錯覚した人が居たねw
あれと同じだね。拡大は、世にガロア拡大だけと錯覚している人いるんだww
下記を百回音読してねwww
(参考)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
代数拡大
体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的(英: algebraic)であると言う。L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。
例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。
688:132人目の素数さん
22/12/11 10:43:47.39 ZZrJoD9g.net
>体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。
1さんに質問です。この2つはガロア拡大か否か?
689:132人目の素数さん
22/12/11 10:51:38.69 G4G3fajU.net
>>599
よくこの板でも叩かれてた某藤原さんのガロア理論の概説記事で
素朴な根の置換からグロタンディーク流のやり方解説してるのを読んで感心した私文学卒指数定理厨の俺様が来ましたよ。
690:現代数学の系譜 雑談
22/12/11 10:58:11.52 KrqrphNa.net
>>627 訂正
Q(√2)をガロア拡大と錯覚しているね
↓
Q(a^(1/5))をガロア拡大と錯覚しているね
だね
691:132人目の素数さん
22/12/11 11:03:52.45 lnOtbAAb.net
>>625
理論抜きで公式覚えるとか、理解抜きで数式処理システム使うとか
そんなんで数学の最前線に出られるわけないって 論文だって書けやしない
1はどんだけお花畑で夢見てるんだ?
まず、リンク先の文章読んで自分で計算しような
読む気もない計算する気もないなら、諦めて退散しような
数学は1の人生にとって全く無縁ってことだから
692:132人目の素数さん
22/12/11 11:06:03.93 lnOtbAAb.net
>>627
>なに詭弁使って論点ずらしているの?
1のいってることこそ詭弁ですがね
>百回音読してね
何も考えてないなら千回音読しても理解できないって