22/06/26 18:39:50.13 DJ9GW858.net
>>578 補足
下記の吉冨 賢太郎を併せて読むと良い
（>>632より再録）
URLﾘﾝｸ(www2.meijo-u.ac.jp)
第 15 回 整数論サマースクール 報告集, pp.1-13
リーマン面と代数曲線 吉冨 賢太郎
P4
定理 1.5. 被覆多様体 S’ーf’→ S において S があるリーマン面 R の基底空間のとき, S’ にも
f’ が解析写像となるようなリーマン面の構造が入り, リーマン面 R’ の基底空間となる.
このとき, R’ を R の被覆リーマン面という. 被覆多様体の同型や自己同型群などは位相
写像のかわりに解析写像として同様に定義される. このようにして (閉) リーマン面を分類
するには単連結リーマン面を考え, その自己同型群の不連続部分群の共役類を求め, その代
表系に対応するリーマン面を考えればよいことがわかる.
而して, リーマン面は以下のように分類される.
定理 1.6. リーマン面 R は以下のいずれかと同型である. それぞれ, 普遍被覆リーマン面
が 楕円型, 放物型, 双曲型であるという.
(1) 複素球面 P1(C)
(2) 複素平面 C を被覆リーマン面とする以下のもの.
(2-1) C = P1(C) ＼ {∞}
(2-2) C ＼ {0} = P1(C) ＼ {0, ∞}
(2-3) C/L, L は 2 次元格子群 Zω1 + Zω2, ω1/ω2 ∈ H.
(3) 上半平面 H を合同部分群でわったもの.
注: (2-3) は楕円曲線である.
注: (3) はモジュラー曲線などがその典型的な例である.
上の分類から, 閉リーマン面となるのは, リーマン球面か, 楕円曲線, もしくは, 上半平面
の一次分数変換群の離散部分群による商空間 (のコンパクト化) となる. これらの基本領域
を考えると, 最初の 2 つについては明白であり, 楕円曲線の場合は格子の内部と接する辺が
基本領域となる. この場合, 後述の標準切断はこの 2 本の辺の像である閉曲線によるもので
ある. 一方, (3) の場合も基本領域は 2n 角形になることがわかり, 基本群の元は, この基本
領域 ? の各辺をとなりあう基本領域の接しない 1 辺に写すただ