22/06/12 06:11:33.60 Vf6rE6Wr.net
>>269 補足
URLﾘﾝｸ(www1.econ.hit-u.ac.jp)
複素解析特論I タイヒミュラー空間と複素力学系への応用 川平 友規 普遍被覆面 「リーマン面の一意化定理」
これのP13が、9.2 写像の持ち上げで
命題 9.5 (写像の持ち上げ) （略）で
このような f~ を f の持ち上げ (lift) と呼ぶ．
と記されている
(引用開始)
＜証明のスケッチ＞ x~ ∈ S~ を変数として，f~(x~) ∈ R~ を上の可換図式を満たすように定義しよう．S~ 内
のパス γ~ として，p~ を始点とし x~ を終点となるようなものとする．（S~ は単連結であるから．このよ
うな γ~ はすべて互いにホモトピックである．）すると γ = π ○ γ~ は p を始点とし x = π(x~) を終点と
する S 内のパスである．さらにこのパスを f で写すと，q = f(p) を始点とし y = f(x) を終点とす
る R 内のパス γ′ = f ○ γ を得る．最後に，解析的関数の「解析接続」の要領で，γ′ を R~ のパス γ~′
に「持ち上げる」：πR は局所的に同相写像であることから，q の近傍を q~ の近傍へ同相に写す局所
的な逆写像が存在する．これを用いて，γ′ の断片を q~ を始点とするパスの断片へと写すことができ
る．この操作を γ に沿って繰り返すことで（パスのコンパクト性より有限回で必ず終わる），q~ を始
点するパス γ~′ で，πR ○ γ~′ = γ′ を満たすものが存在する．その終点は，γ の取り方によらず一意的
に決まるので，これを f~(x~) と定めればよい．写像 x~ → f~(x~) は連続かつ先の図式を可換にすること
は容易にわかる．
(引用終り)
つまり、「写像の持ち上げ」の証明には、”解析的関数の「解析接続」の要領で”とある
（これを繰り返す）
解析接続を使うなら、黒田本でも「補助定理」>>104で、その証明は、
URLﾘﾝｸ(imgur.com) P170 の冒頭にある通りで
テイラー展開を使っているから、本質は同じ
というか、いまの問題では ”f(z) = exp(2πicosh(g(z)))”と具体的な関数の形が与えられているから
もし”持ち上げ”とか、普遍被覆の大定理が使えたとしても
大定理の証明で、”「解析接続」の要領”を使うならば、黒田本の方が、直接的ですっきりしているって、ことです
つづく