22/06/05 11:40:32.26 n5vX6CbC.net
>>102
>前スレの問題でf(z)が0でないから
>f(z)=exp(2πig(z))となるgが取れるのはわかるけど
>その上f(z)が1でないとなんでg(z)=cosh(h(z))となる
>hが取れるのかわからん
>g(z)が整数値をとらないことまでは分かったんだが
横だけど
>>104より
「補助定理」関数f(z)はz平面の開円板D：|z|<R で正則であって
そこでf(z)≠0であるとすれば、Dで
f(z)＝e^h(z)＝(g(z))^k (kは正の整数)
をみたすDでは正則な関数h(z),g(z)が存在する。
P170
「定理7.10」（ショットキ(Schottky)）
関数f(z)はz平面の開円板D：|z|<R で正則でそこで
f(z)≠0,1 であれば、任意の正の整数r(<R)に対し|z|<=rなら
K(f(0),R/r)^-1<=|f(z)|<=K(f(0),R/r)
となるf(0)とRr^-1のみに依存して定まる定数K(f(0),Rr^-1）が存在する
証明
補助定理によってf(z)=e^2πih(z)となるDでの正則関数h(z)が存在する
(引用終り)
この後、続けて”Dでf(z)≠1であるからh(z)はDで0にも1にも等しくなりえない
ゆえに ふたたび補助定理によって h(z)=（g(z)）^2・・”と続く
つまり、背理法で もしh(z)＝0,1のとき f(z)=e^2πih(z)＝1となるので、f(z)≠1に反する
よって、h(z)≠0,1が出て、そこから 補助定理が使えてとつづくわけです
で、h(z)=（g(z)）^2（補助定理の「(g(z))^k (kは正の整数)」を使う）のあと、h(z)-1=（g1(z)）^2と取り直して
{g(z)-g1(z)}{g(z)+g1(z)}=1
から、Dでg(z)-g1(z)≠0で、補助定理からg(z)-g1(z)＝e^φ(z) φ(z)はDで正則とできて
g(z)+g1(z)＝{g(z)-g1(z)}=e^-φ(z)であるから
g(z)＝(e^φ(z)+e^-φ(z))/2 よって
f(z)=e^2πih(z)＝e^2πi（g(z)）^2＝e^-1/2πi(e^2φ(z)+e^-2φ(z)))
を導いている
このe^-1/2πi(e^2φ(z)+e^-2φ(z))は、cosh(2φ(z))(=e^2φ(z)+e^-2φ(z)) と書けるってことね
（そもそも、彼の出題は >>74 f(z) = exp(2πicosh(g(z)))なので、これと合わせるのに、微調整がいる）
まあ、こんな不便で視認性の悪い板で、本格的な数式書かなくてもと思うが、行きがかりで書きました
原本を見られる環境なら、そちらが早い。なお、タイポなどあるかも知れないので、基本黒田に書いてある範囲で、質問は受けます