22/07/20 14:29:09.60 tPi43Zb0.net
とりあえず概略だけ書くで。
Gをコンパクトリー群、gをそのリー環の複素化、hをカルタン部分環、( , )をG不変で非退化な内積とする。
ルートαとg_αの0でない元Xに対し、g_{-α}の元Yで(X,Y)が0でないものがとれる。
H_0:=[X,Y]はhの元だが、hの元Hに対して([X,Y],H)を考えることにより、内積のG不変性からH_0が0でないことがわかる。
さらにh上でも内積が非退化であることに注意してX,Yを取り替えて同じようなことをすると[g_α,g_{-α}]=CH_0がわかる。
最後にgの部分空間V:=CY + CH_0 + g_α + g_{2α} +…について、Vがad X, ad Yで閉じていることからV上でad H_0のトレースは0.
これによりg_α=CXがわかる。