22/04/23 15:12:09.27 xjoVPEHE.net
できました
Rの切断を(A|B)とする。
a∈A、b∈B、c∈C、d∈Dとする。
Aの上界全体の集合をCとし、Cの補集合をR/Cとし、Dと書く。
実数の公理から連続の公理へ。
Aは上に有界だから唯一のsupAが存在する。任意のaに対してa≦supAとなる。
supA∈Aならば任意のbに対してsupA≦bとなることは明らかである。
supA∈Bの時。bが存在してb<supAとなると仮定する。supAの定義により、aが存在し、b<a≦supAとなる。これは(A|B)が切断であることと矛盾する。すなわちsupA=infBである。
連続の公理から実数の公理へ。
(D|C)は明らかにRの切断である。
αが唯一に定まり、任意のdに対してd≦α、任意のcに対してc≧αとなる。
もしα∈Dならばα∉Cであるから、aが存在してα<aとなる。