22/04/14 17:06:08 73EXi+FU.net
>>426 追加
Z＾ ゼットハットないしはズィーハットについて、松田茂樹先生の詳しい説明があるので
抜粋して貼る。文字化けあるので、原文見て下さい。
図解が良い！分かり易い！
（長文ご容赦）
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
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極限 (2012～)千葉大の4年生、院生向けの極限の紹介文 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
2.3 ポセット上の逆極限, 順極限 . . . . . . 5
P2
(1.1.5).
極限によって,「無限」的なもの, 例えば有限生成でない加群や, 完備な群や環などを扱う極め
て有効な手段が手に入ることになる。
P7
(2.3.8) 命題. 集合の圏 C = (Set) においては, 任意の逆系に対し逆極限が存在する。実際, (Xλ, φλμ) をポセット Λ 上の逆系とするとき,
(2.3.8.1) lim←-Xλ =((xλ)λ ∈Yλ∈ΛXλ｜λ ≦ μ なら φμλ(xλ) = xμ)
とし, また lim←-Xλ →QXλ → Xλ なる合成写像を φλ とすると, (lim←-Xλ, φλ) は逆極限の普遍性を満たす。
(証明). 定義から (2.3.1) の (1) の条件を満たすことは明らかである。集合 Y と fλ : Y → Xλ を (2.3.1) の
(2) のような条件を満たすものとする。これに対し, f : Y → lim←-Xλ を f(y) = (fλ(y)) と定めれば, 次の図式
は可換であるし, 逆にそうなるためには f(y) を上のように定義するしかない。
略
よって逆極限の普遍性が成立する。
P8
(2.3.10) 補足. 極限の話ではもちろんその普遍性が重要ではあるが, 一方で集合の圏では (2.3.8.1) の形で逆
極限が構成されることは, 極限のイメージをつかむ上でも実際の計算の上でも重要である。実際には環の圏,
加群の圏, 位相環, 位相群の圏などでも全く同様に逆極限が構成される。(2.3.12) や, (2.4.17), (2.4.11) などを
参照。従って, このような圏の場合の逆極限しか扱わない場合は, (2.3.8.1) (に適切な代数構造や位相を入れた
もの) を逆極限の定義としていることも多い。
つづく