22/01/26 08:26:29.73 gqrpC6se.net
>>567
>1．いま、順序集合Aとして、実数Rを考える。正の部分をR+＝{x｜x>0, x∈R}とする。同様に、負の部分をR-＝{y｜y<0, y∈R}とする
> 0に対して、∀y < 0 < ∀x と書ける。Rは連続だから、0の右隣も左隣もないが、何の問題もない
>2．いま、順序集合Aとして、有理数Qを考える。正の部分をQ+＝{x｜x>0, x∈Q}とする。同様に、負の部分をQ-＝{y｜y<0, y∈Q}とする
> 0に対して、∀y < 0 < ∀x と書ける。Qは稠密だから、0の右隣も左隣もないが、何の問題もない
そもそもR上でもQ上でも通常の大小関係＜は整列順序でないことは理解してる？
そもそもR上でもQ上でも二項関係＜はその名の通り二項の関係であることは理解してる？
619:１３２人目の素数さん
22/01/26 08:40:33.68 gqrpC6se.net
>>568
>つまり
>・通常の列は有限順序数 n または最小の超限順序数 ω で添字付けられていると考えることができる。
>・一般に、ある集合 X の元の集まりで、整列集合あるいは順序数によって添字付けられるものを広い意味で X の元の列と呼ぶことがある。
>・特に極限数 α をとれば、α によって添字付けられる列を考えることができる。
>ここ、分からない人がいるみたいだね
>百回音読してくださいｗ
添字集合を適当に選べば＜ωの左隣が存在しなくてもよいと言いたいの？
じゃあ 1<2<・・<ω なる＜列の写像を φ:Λ→N∪{ω} と書くとき、Λとφは何？
言い訳はいいからズバリ答えて
620:１３２人目の素数さん
22/01/26 10:50:19.16 zHhgiUVe.net
>>527 補足
下記２つの列は、数学的には等価（単に記法の違いのみ）
0,・・,1/n,・・,1/2,1,・・,1+1/n,・・,1+1/2,1+1=2
↓↑
0<・・<1/n<・・<1/2<1<・・<1+1/n<・・<1+1/2<1+1=2
どちらも、全順序の増加列です
列の長さは、2ωになる
これが、本質ですｗ
621:１３２人目の素数さん
22/01/26 12:32:25.67 gqrpC6se.net
>>572
>0<・・<1/n<・・<1/2<1<・・<1+1/n<・・<1+1/2<1+1=2
「1<」の右隣が何か聞いてるのになぜ逃げるの？
>これが、本質ですｗ
逃げるなら本質的に誤りであると認めては？
622:１３２人目の素数さん
22/01/26 13:42:26.17 zHhgiUVe.net
>>572 補足の補足
ちょうど、望月 vs ショルツェ氏の論争もこんな感じかも
おれは、おサルさんはまもとに相手せず、勝手に自説を書く
これで、十分勝てると思っている
望月先生も、こんな感じだろうｗ
623:１３２人目の素数さん
22/01/26 15:39:50.18 gqrpC6se.net
勝手に書くのはいいけどチラシの裏にしてね
ここは数学板であなたの妄想ワールドを書く所じゃないから
624:１３２人目の素数さん
22/01/26 15:55:26.21 AZhf0f3L.net
【山形メンヘラシスターズおじさん速報】ハラスメント・ストーカー(aka長野在住トラクンス男)が、新作自己紹介文を投下【人種差別と病人差別の反社会性人格障害が顕著化】
URLﾘﾝｸ(blog-imgs-17.fc42.com)
URLﾘﾝｸ(sites.googelgroups.com)
894 名前:名無しさん＠( ･∀･)つ旦~ :2022/01/26(水) 11:49:16.31 ID:gqrpC6se
このスレは女子トイレに侵入しようと試みた山形大学でばったり学生実験に出くわしてしまい居合わせた喪黒福造にドーンと成績Fを付けられて発狂してしまい長野県からリモートで15年に渡り山形の女性准教授宛に匿名掲示板でラブコールを送り続けている周囲の人にはただの気狂いとしか映らずボロを纏いその下は赤褌一枚で街を歩きつつ自分は「神」であり「魂のふるさと」であるというドトール出入り禁止のカンボジアの糖尿病おじさんことジンバブエの腸チフス専用の「愛」と「正義」を説き続けるスレです
625:１３２人目の素数さん
22/01/26 16:40:47.43 hbgHdQK0.net
>>576
あグロ
626:１３２人目の素数さん
22/01/26 18:53:45.71 .net
＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼ 「>>574おれは、＊＊はまもとに相手せず、勝手に自説を書く」
／ ⌒（__人__）⌒ ＼
| |r┬-| |
＼ `ー’´ ／
ノ ＼
／´ ヽ
| ｌ ＼
ヽ -一””””~~｀`’ー?､ -一”””’ー-､.
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
＿＿＿_
／_ノ ヽ､_＼
ﾐ ﾐ ﾐ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ﾐ ﾐ ﾐ だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
/⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼ /⌒)⌒)⌒) 「まもと」ってなんだよ チョーセンジンかよ
| / / / |r┬-| | (⌒)/ / / /／
| :::::::::::(⌒) | | | ／ ゝ :::::::::::/
| ノ | | | ＼ / ） /
ヽ / `ー’´ ヽ / ／
| | l||l 从人 l||l l||l 从人 l||l バンバン
ヽ -一””””~~｀`’ー?､ -一”””’ー-､
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
627:１３２人目の素数さん
22/01/26 18:59:18.64 .net
>>574
チョーセンから密入国した「まもと」クン曰く
>おれは、・・・勝手に自説を書く
>これで、十分勝てると思っている
なんだこの🐎🦌ｗｗｗ
１．初項はω
２．０の項以外の任意の項に対して、次の項が存在
上記のどちらかを外した時点でボロ負けぇぇぇぇぇｗｗｗｗｗｗｗ
整列順序理解できない全順序🐎🦌のニホンザルのボロ負けぇぇぇぇぇｗｗｗ
628:１３２人目の素数さん
22/01/26 19:26:49.86 9a+HSZkr.net
痛いですね…これは痛い…
629:１３２人目の素数さん
22/01/26 22:03:53.48 q/0DRuxd.net
ポニョ猿爺ちゃーん、うえええん、SetA爺の救いが無いよぉ…此の壗じゃSetA爺ちゃん無間地獄に落ちちゃうよおおおお
ポニョ猿爺ちゃぁん、ねぇ、ポニョ猿爺ちゃぁん、うわぁあああん、無間地獄に堕ちるの見たく無いよおおお…
630:１３２人目の素数さん
22/01/27 06:13:16.22 .net
ポニョって誰だ？
>此の壗じゃSetA爺ちゃん無間地獄に落ちちゃうよお
SET Aは地獄の業火に焼かれて死ね！！！
631:１３２人目の素数さん
22/01/27 06:16:35.52 .net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
阿鼻（あび）地獄 / 無間（むげん）地獄
地獄の最下層に位置する。
大きさは前の7つの地獄よりも大きく、
縦横高さそれぞれ2万由旬（8万由旬とする説もある）。
最下層ゆえ、この地獄に到達するには、
真っ逆さまに（自由落下速度で）落ち続けて2000年かかるという。
前の七大地獄並びに別処の一切の諸苦を以て一分として、
大阿鼻地獄の苦、1000倍もあるという。
剣樹、刀山、湯などの苦しみを絶え間（寸分・刹那）なく受ける。
背丈が4由旬、64の目を持ち火を吐く奇怪な鬼がいる。
舌を抜き出されて100本の釘を打たれ、
毒や火を吐く虫や大蛇に責めさいなまれ、
熱鉄の山を上り下りさせられる。
これまでの7つの地獄でさえ、
この無間地獄に比べれば夢のような幸福であるという。
632:１３２人目の素数さん
22/01/27 06:20:52.23 .net
Aviciこと阿鼻（あび）地獄に堕ちる者が犯した罪
殺生、盗み、邪淫、飲酒、
妄語（うそをつくこと）、
邪見（不正な誤った考えを持つこと）、
犯持戒人（尼僧・童女などへの強姦）、
父母・阿羅漢（聖者）殺害。
633:１３２人目の素数さん
22/01/27 07:40:50.15 fTQ+efrZ.net
>>557
>両側無限列あるいは双方向無限列 (doubly or bi-infinite sequence) である（前記>>556）
英語版にもあるよ
分からない人は
下記
「For example, the sequence (a_{n})_{n=1}^{∞ } is the same as the sequence (a_{n})_{n∈ N }, and does not contain an additional term "at infinity".」
を百回音読してくださいｗ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Sequence
The limits ∞ and -∞ are allowed, but they do not represent valid values for the index, only the supremum or infimum of such values, respectively.
For example, the sequence (a_{n})_{n=1}^{∞ } is the same as the sequence (a_{n})_{n∈ N }, and does not contain an additional term "at infinity".
The sequence (a_{n})_{n=-∞ }^{∞ } is a bi-infinite sequence, and can also be written as (・・・ ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},・・・ ).
634:１３２人目の素数さん
22/01/27 07:43:19.00 fTQ+efrZ.net
>>585 補足
＞The sequence (a_{n})_{n=-∞ }^{∞ } is a bi-infinite sequence, and can also be written as (・・・ ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},・・・ ).
これな
三歳児には難しいかもな
635:１３２人目の素数さん
22/01/27 10:11:
636:27.71 ID:K/vlCJ4I.net
637:１３２人目の素数さん
22/01/27 10:49:40.89 shhkAtxy.net
>>513 補足
(引用開始)
松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968）
このP105 問題の2に
昇鎖の定義がある
順序集合Aの要素からなる列 (an)n∈N（＝自然数）で、a1<a2<・・<an<・・
となるものを昇鎖という
降鎖は、この列の不等号が逆で、a1>a2>・・>an>・・
これ以外に、単なる列がある
この3つの差
A）松坂和夫の昇鎖の定義を分解すると、1）順序集合A、2)Aの部分集合の要素 (an)n∈N（＝自然数）、3)全順序列 a1<a2<・・<an<・・
の3つの要素がある（順序の ”<” は、大前提とする）
B)降鎖も同様に、3つの要素があり、全順序列 a1>a2>・・>an>・・ となる点のみが、昇鎖と異なる
C)単なる列は、要素は1つで、列のみ。例えば、・・・,n1,n2,・・・,z1,z2,・・,q1,q2,・・・・,r1,r2,・・ （これは、数直線Rからランダムに数を選んで並べた列で、大小はランダム。列長さは連続濃度まで可）
(引用終り)
１．最も一般化された列とは、順序集合Aの要素からなる列 (aλ)λ∈Λで、ここに添え字集合Λは、極限数 α>>557などとできる
また、複数の列をつなげた列 (aλ)λ∈Λ ＋ (bλ')λ'∈Λ'も考えられ、
また、ある列の並びを逆にして、つなげて、両側無限列あるいは双方向無限列 (doubly or bi-infinite sequence) （>>556）も可能である
また、Λは可算に限らず 非可算も可能です（有向点列>>558）
かように、添え字集合Λは 完全に自由と考えると、順序集合Aのある部分集合の元 aたちを その順序で並べたものといえる
２．さて、昇鎖とは、添え字集合Λ＝N（自然数）であって、左から右に増加する 全順序列 a1<a2<・・<an<・・（増加関数と同じ） と、考えることができる
３．逆に、降鎖とは、添え字集合Λ＝N（自然数）であって、左から右に減少する 全順序列 a1>a2>・・>an>・・（減少関数と同じ） と、考えることができる
この３つを、きちんと区別し 理解できていない
いや おそらくは理解する能力のない 三歳児レベルの人たちがいる
638:１３２人目の素数さん
22/01/28 01:51:27.61 XHv+DeMU.net
>>588
妄想はチラシの裏でお願いします
639:１３２人目の素数さん
22/01/28 02:05:06.81 XHv+DeMU.net
>>588
>また、複数の列をつなげた列 (aλ)λ∈Λ ＋ (bλ')λ'∈Λ'も考えられ、
が妄想でなければ、(aλ)λ∈Λ ＋ (bλ')λ'∈Λ'とやらを表す写像を答えて下さい。
有理数全体の集合Qは通常の大小関係<で全順序集合です。
>かように、添え字集合Λは 完全に自由と考えると、順序集合Aのある部分集合の元 aたちを その順序で並べたものといえる
が妄想でなければ、Qの元を昇順に並べたときの0の次の項を答えて下さい。
言い訳はいいのでズバリ答えて下さい。
もし答えられなければあなたの発言は妄想です。妄想はチラシの裏でお願いしますね。ここは数学板です。
640:１３２人目の素数さん
22/01/28 02:15:43.90 Ngy/VypR.net
金玉の裏を舐めてくださいお願いしますね
641:１３２人目の素数さん
22/01/28 06:20:40.73 .net
>>588
問い
1）…{{ }}…は集合？
2）{{… …}}は集合？
3) …{{… …}}…は集合？
※ …は無限に続く状態を表すものとする
642:１３２人目の素数さん
22/01/28 06:30:47.97 .net
＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼ 「>>320 N→Z→Q→R→C」
／ ⌒（__人__）⌒ ＼
| |r┬-| |
＼ `ー’´ ／
ノ ＼
／´ ヽ
| ｌ ＼
ヽ -一””””~~｀`’ー?､ -一”””’ー-､.
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
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／_ノ ヽ､_＼
ﾐ ﾐ ﾐ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ﾐ ﾐ ﾐ だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
/⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼ /⌒)⌒)⌒) こいつアレフ１の構成方もしらねぇのかよｗｗｗ
| / / / |r┬-| | (⌒)/ / / /／
| :::::::::::(⌒) | | | ／ ゝ :::::::::::/
| ノ | | | ＼ / ） /
ヽ / `ー’´ ヽ / ／
| | l||l 从人 l||l l||l 从人 l||l バンバン
ヽ -一””””~~｀`’ー?､ -一”””’ー-､
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
最小の非可算順序数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
643:１３２人目の素数さん
22/01/28 07:44:33.71 341TuiYA.net
>>7 追加
> ”（スレ55 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:158番)より）
> ＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
> ことも分からん「考えなしの素人」に数学はムリ”
反例が見つかった（下記）ｗ
下記のOrdinal arithmetic
・Addition で、... < 0'
・Multiplicationで、... < 01
・Exponentiationで、... < (0,1)
ｗｗｗ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ordinal arithmetic
Addition
The first transfinite ordinal is ω, the set of all natural numbers. For example, the ordinal ω + ω is obtained by two copies of the natural numbers ordered in the usual fashion and the second copy completely to the right of the first. Writing 0' < 1' < 2' < ... for the second copy, ω + ω looks like
0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...
This is different from ω because in ω only 0 does not have a direct predecessor while in ω + ω the two elements 0 and 0' do not have direct predecessors.
Multiplication
Here is ω・2:
00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ...,
which has the same order type as ω + ω.
Exponentiation
For instance, ω^2 = ω・ω using the operation of ordinal multiplication. Note that ω・ω can be defined using the set of functions from 2 = {0,1} to ω = {0,1,2,...}, ordered lexicographically with the least significant position first:
(0,0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ... < (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (0,2) < (1,2) < (2,2) < ...
Here for brevity, we have replaced the function {(0,k), (1,m)} by the ordered pair (k, m).
(引用終り)
以上
644:１３２人目の素数さん
22/01/28 09:18:39.79 .net
>>594
＞反例が見つかったｗ
＞下記のOrdinal arithmetic
＞・Addition で、... < 0'
＞・Multiplicationで、... < 01
＞・Exponentiationで、... < (0,1)
問い
1. < 0'の左隣の項は？
2. < 01の左隣の項は？
3. < (0,1)の左隣の項は？
＞ｗｗｗ
ニホンザル、ついに狂った？
645:１３２人目の素数さん
22/01/28 10:20:39.06 XHv+DeMU.net
>>594
>This is different from ω because in ω only 0 does not have a direct predecessor while in ω + ω the two elements 0 and 0' do not have direct predecessors.
しっかり書いてありますね 。0'の前者は無いと。英語読めますか？
つまり
>0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...
なる表記は＜列ではないと。＜列ならば二項関係＜の定義に従い < 0' の左隣が存在する必要がありますから。
コピペバカには理解不能かな？
646:１３２人目の素数さん
22/01/28 11:52:07.62 OCJDS5eR.net
>>595-596
三歳児知能のおサルさんたち、馬脚を現す（サルと馬では 形容矛盾だがｗ）
二項関係で、集合に全順序を定義できる
有限集合に、全順序を拡大定義できる
可算無限集合たる自然数Ｎにも、全順序を定義できる
自然数Ｎを超えて、Ordinal numbers（順序数） にも、全順序を定義できる
必然、”0' do not have direct predecessors.”>>594のような状態（極限順序数の場合）も出現するが、全順序はそのまま定義できて、不等号 < のそのまま使えるってことですよ
それは、扱う集合が、有限集合→ω＝自然数N（最小の加算無限）→順序数α
あるいは、有限集合→N→Q（有理数（稠密））→R（実数（連続））
と変遷しても、全て 不等号 < を使った全順序を与えることができて
その扱う集合に合わせて、二項関係たる 不等号 < の記法も自然に拡張され、それぞれに応じて 無限集合を扱うように発展してきたってことです
カントールが、19世後半に無限集合論を考えて以来、100年以上かけて、時代時代の数学者が考えてきたこと
まあ、三歳児知能のおサルさんたちには、ここは理解は難しいだろうねｗ
647:１３２人目の素数さん
22/01/28 12:16:03.70 XHv+DeMU.net
>>597
数学板で発言したいなら、順序関係の定義・二項関係の定義を確認しなさい
妄想を語りたいなら数学板から去りなさい
三歳児じゃないんだからどちらかにしなさい
648:１３２人目の素数さん
22/01/28 12:23:08.33 .net
>>597
こいつ正真正銘の🐎🦌だな（嘲）
問い
1. Zは整列順序集合でない その理由を答えよ
2. 非負の有理数Q+、非負の実数R+はいずれも整列順序集合でない
その理由を答えよ
ま、中卒の🐎🦌には無理か
ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
649:１３２人目の素数さん
22/01/28 12:28:14.36 .net
中卒🐎🦌のニホンザルは、一万遍死んでも理解できない文章
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
整列集合
出典: フ�
650:梶[百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 数学において、整列順序集合または整列集合（英: wellordered set）とは、 整列順序を備えた集合のことをいう。 ここで、集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、 S 上の全順序関係 "≤" であって、 S の空でない任意の部分集合が 必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
651:１３２人目の素数さん
22/01/28 12:32:04.66 XHv+DeMU.net
>>597
>その扱う集合に合わせて、二項関係たる 不等号 < の記法も自然に拡張され
こんなことはコピペ元に書かれてませんが？嘘だと思うなら書かれてる個所を抜粋してごらんなさい
妄想を語りたければチラシの裏でお願いしますね、ここは数学板です
652:１３２人目の素数さん
22/01/28 14:58:08.55 OCJDS5eR.net
全順序と整列の区別がつかないサルへ
鎖（さ、英: chain）の説明もある(下記)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全順序
全順序（英: total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。
単純順序（たんじゅんじゅんじょ、英: simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、英: linear order）とも呼ばれる。
集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。
即ち、集合 X が関係 ≦ による全順序をもつとは、X の任意の元 a, b, c に対して、次の3条件を満たすことである：
・反対称律：a ≦ b かつ b ≦ a ならば a = b
・推移律：a ≦ b かつ b ≦ c ならば a ≦ c
・完全律（比較可能）：a ≦ b または b ≦ a の何れかが必ず成り立つ
反対称性によって a < b かつ b < a であるという不確定な状態は排除される[1]。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係で比較可能（英語版）であることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。また完全性から反射性 (a ≦ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は（完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で）全順序よりも弱い条件である。与えられた半順序を拡張して全順序をえることは、半順序の線型拡張（英語版）と呼ばれる。
つづく
653:１３２人目の素数さん
22/01/28 14:59:07.11 OCJDS5eR.net
>>602
つづき
例
・実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として（同型を除いて）唯一の例を与えることが示せる（ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう）。
・N は上界を持たない最小の全順序集合である。
・Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。
・Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在することを言う。
・R は順序位相（後述）に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。
・順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。
関連する概念
鎖
全順序の同義語としても用いられる鎖（さ、英: chain）は、また適当な半順序集合の全順序部分集合に対しても用いられる。後者の�
654:ﾓ味での鎖はツォルンの補題で極めて重要な役割を果たす。 例えば整数全体の成す集合 Z に包含関係で半順序を入れた半順序集合を考えると、自然数 n に対し、n 以下の自然数全体の成す部分集合 In からなる集合族 {In | n は自然数} はこの順序に関する鎖、すなわち包含関係に関する全順序部分集合になる。実際、n ≦ k ならば In は Ik の部分集合である。 (引用終り) 以上
655:１３２人目の素数さん
22/01/28 15:42:36.79 .net
>>602
＞全順序と整列の区別がつかないサル
それは中卒の貴様じゃんｗｗｗ
で、なんで全順序のコピペしかしないの
整列順序の文章が理解できないから？ 貴様🐎🦌？
鎖とか関係ないじゃん 貴様🐎🦌
>>600読んで、どこがどう理解できないのか云ってみ？
「S 上の全順序関係 "≤" であって、
S の空でない任意の部分集合が
必ず ≤ に関する最小元をもつもの」
が理解できないの？
自分より大きな要素全体の集合が
最小元もたなかったから、
後者が存在しねぇじゃん
そんな初歩も理解できないの？ マジで🐎🦌なの？
656:１３２人目の素数さん
22/01/28 15:45:20.79 .net
中卒🐎🦌は以下も理解できねぇんだろ？
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
順序集合 X が全順序集合である場合、以下の条件はどれも互いに同値。
１．X は整列集合である。つまり、空でない任意の部分集合が最小元を持つ。
２．X の全体で超限帰納法が有効である。
３．X の元からなる任意の狭義単調減少列は必ず有限な長さで停止する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
657:１３２人目の素数さん
22/01/28 16:19:37.92 XHv+DeMU.net
>>604
>＞全順序と整列の区別がつかないサル
>それは中卒の貴様じゃんｗｗｗ
完全同意
658:１３２人目の素数さん
22/01/28 17:11:23.21 OCJDS5eR.net
さて
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 61
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:14番)
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
必死チェッカーもどき 数学 > 2021年11月06日 > 36fx/MEI
次号の「数学」に星さんの論説が載りますね
日本の数学者を語るスレ
708 ：１３２人目の素数さん[]：2021/11/06(土) 13:39:09.36 ID:36fx/MEI
数学 74巻1号 予定
論説
星裕一郎：遠アーベル幾何学の進展
五味清紀：トポロジカル絶縁体入門
ートポロジーの視点からー
-------------------------------------------
このほか、企画記事、書評、学会ニュース等が掲載
される予定です。
(引用終り)
上記の「論説 星裕一郎：遠アーベル幾何学の進展」は、どうかな？
そろそろ、「数学 74巻1号」が 発行されている時期ですが
つづく
659:１３２人目の素数さん
22/01/28 17:13:33.35 OCJDS5eR.net
>>607
つづき
脱線ですが下記
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
差出人: Hiraku Nakajima
件名: [MugenML 1633] Re: 数学論説原稿
日付: 2022年1月24日 11:00:22 JST
皆様
本日の arXiv をご覧になった方は気がついたかと思いますが，先日のメールで
書いたことと反して，arXiv に原稿を投稿しました．メーリングリストに送った
あとに編集部から訂正があり，arXivに投稿しても構わない，と許可があった
ためです．結果的に不必要なメールをメーリングリストに流すことになり申し訳
ありませんでした．
中島
件名: [MugenML 1632] 数学論説原稿
日付: 2022年1月20日 8:44:15 JST
皆様
Kavli IPMUの中島啓です．
雑誌数学の論説
超対称性ゲージ理論のクーロン枝の数学�
660:I定義とKac-Moody リー環の幾何学的佐武対応 の原稿を私のウェブサイト https://member.ipmu.jp/hiraku.nakajima/TeX/coulomb_sugaku_arxiv.pdf （超対称性ゲージ理論のクーロン枝の数学的定義と??孃??????リー環の幾何学的佐武対応） にアップロードしましたので，お知らせ申し上げます． ご意見，感想頂けましたら幸いです． 編集部に問い合わせたところ，arXivにはアップロードしないように指示されました． メーリングリストで論文のアナウンスをするのはあまり例がないかと思いますが， そういう事情ですのでご理解頂ければ幸いです． なお，次回の数学会の年会の企画特別講演では，この論説の内容の後半部分について 講演をさせていただく予定です． (引用終り) 余談ですが https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~toshi/jjm/JJMJ/JJM_JHP/jjm-index_jp.htm Official Journal of the Mathematical Society of Japan 編集委員 小野 薫(京大数理研) 河東 泰之(東京大学) 熊谷 隆(京大数理研) 小林 俊行(東京大学) 斎藤 毅(東京大学) 中島 啓(東大IPMU) ここの、小野 薫先生 次期数理解析研究所長とありますね https://twitter.com/math_jin?ref_src=twsrc%5Egoogle%7Ctwcamp%5Eserp%7Ctwgr%5Eauthor https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/ 2022/1/24 次期数理解析研究所長に 小野 薫 教授を選出しました (引用終り) 以上 (deleted an unsolicited ad)
661:１３２人目の素数さん
22/01/28 23:48:58.42 341TuiYA.net
>>513 補足
(引用開始)
松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968）
このP105 問題の2に
昇鎖の定義がある
順序集合Aの要素からなる列 (an)n∈N（＝自然数）で、a1<a2<・・<an<・・
となるものを昇鎖という
(引用終り)
1）>>7の上昇列 {1,2,3,・・・}∪{ω} | N＝{1,2,3,・・・} → (1,2,3,・・・,ω)
で、上記松坂の昇鎖の定義を当てはめると
a1=1,a2=2,a3=3,・・・ となり、列 N＝(1,2,3,・・・)の部分で 添え字集合 n∈N（＝自然数）を使い果たしてしまい、ωに届かない
つまり、上昇列 (1,2,3,・・・,ω)は、松坂の定義の昇鎖ではない！
2）一方、添え字集合をN → N∪{ω}＝{1,2,3,・・・,ω} へ拡張すれば、下記真の単調増加列の意味で昇鎖である>>603
(なお，列(1,2,3,・・・,ω)は、当然無限長列である)
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
列 (数学)
列a はその項を明示して(a1, a2, ...)のように表記される事もある。また簡単に (an) 、(an)n と記す方法もしばしば用いられる。
順序構造と単調性
「単調写像」も参照
列の項全体が、ある順序集合の部分集合を成すとき、単調列の概念を考えることができる。
列 (an) が（広義の）単調増加列または単調増大列 (monotonically increasing sequence) であるとは、
i < j ⇒ ai ≦ aj
を満たすことをいう（今の場合これは「どの項も直前の項以上となっていること」といっても同じである）。また、
i < j ⇒ ai < aj
つまり、どの項も直前の項より真に大きいときには、その列は真の（あるいは狭義の）増大列 (strictly monotonically increasing) という。
一般化
一般に、ある集合 X の元の集まりで、整列集合あるいは順序数によって添字付けられるものを広い意味で X の元の列と呼ぶことがある。特に極限数 α をとれば、α によって添字付けられる列を考えることができる。この語法では通常の（無限）列は ω で添字付けられた列ということになる。
(引用終り)
662:１３２人目の素数さん
22/01/29 01:58:36.20 vDIa2pb+.net
>>609
>つまり、どの項も直前の項より真に大きいときには、その列は真の（あるいは狭義の）増大列 (strictly monotonically increasing) という。
じゃダメじゃん
ωの直前の項が無いんだから
バカ？
663:１３２人目の素数さん
22/01/29 03:58:13.79 ynd1YKvE.net
セタ爺って本当にバカだな。不等号を使って表現できる事や、双方向無限列の存在する事､
ただそれだけの事で、何を答えられて�
664:驪Cに成ってるんだ？ そんな事で「末項の1つ手前の項や初項を示さず『…』に紛らわせた混ざり物だらけ回答」が 解として成立する理由なんかには成ってない｡ 結局、今日もまたセタ爺は suc(n)=ω なる n つまり ω を後続順序数とする順序数 n を 答える事から逃げる理由の捏造に言葉ならぬコピペ誤引用を尽くし、時間と手間を浪費しただけに過ぎないわけか｡ やっぱり人権以外に人間としての価値が無い動物だな、セタ爺は｡ 要するに、人間もやめ馬と鹿の交雑種もやめ便所虫もやめ便食虫に成り果てた不潔の極み動物だな｡ >>602 セタ爺それ、自らの主張を否定する事実だって事に気付いてるか？自爆おめでとう｡
665:１３２人目の素数さん
22/01/29 05:16:04.63 ynd1YKvE.net
不等号が使えても全要素無欠明示が出来なきゃ無駄
結局、セタ爺の言う「 {0,1,2,3,…,ω} 」って、砕けた書き方どころか崩し過ぎて誤った書き方で
正しくは「 {0,1,2,3,…},{ω} 」であって、つまり「 N+{ω} 」の事で
何をどうやったって矢張り ω は N の要素なんかには成りはしないんだよな｡
やっぱりセタ爺は Σ[k=1,∞]k は正しく書いた lim[n→∞]Σ[k=1,n]k を崩して砕けた書き方である事を知らない事にしろ
更に調子に乗って平然と ω を N に含む解釈も存在すると正気の本気の底意地の本音で思い込んでる事にしろ
セタ爺は此の世の全ての事物に対する理解の仕方が徹頭徹尾に崩して砕けた解釈なんだな｡
崩さず砕かない書き方で手抜かり無い解釈をすれば ∞ や ω が finite や N に含まれ様が無い事は
『“自”ずと“明”らか』なのに｡
わざわざ何でセタ爺は万人公知かつ先験自明の理を『理屈を“捏”ね繰り回して濫“造”』するんだろ？
都合よく考え過ぎだろ。矢張り自己愛性人格障害だと精神衛生上防衛本能が強過ぎて
節操も際限も無く捏造し続け、反省も自戒もせず開き直り続ける動物に成り下がるんだな｡
バカだろ。セタ爺の言う『多様性を重んじる21世紀』こそ、より細分かつ正確に解釈して行かなきゃいけないのに
セタ爺のやってる事と言えば真逆の『“有限”と“無限”の混同』ばかり｡
セタ爺は自分の信念である『多様性を重んじる21世紀の数学』にも背く 「『《“逃げ解釈”》』」の精神なんだな｡
数学板に現れてから言ってる事とやってる事が全て裏目、全て矛盾｡
本当にセタ爺は人権以外に無価値な純然たる公害なる不潔動物｡
666:１３２人目の素数さん
22/01/29 05:34:10.81 ynd1YKvE.net
そうだよな、こんな言い訳ですら無い正当化工作捏造曲解してばかりで
トドメを刺された事に気付いても「ここは嘘偽り風説の流布が横行する便所の落書き2ちゃんねる改め5ちゃんねる､
嘘を書いても問題無し」（セタ爺の過去発言）の無法かつ糞垂れ流しレベルの無節操で無際限に開き直り続ける、動く汚物｡
そうだよな、そんな動く汚物が、そうだよな。働けるはずがねぇや。連動共同は不能、マイペース共同も不能、自営も不能｡
やはり人権以外に無価値もとい負価値な人間をやめ馬と鹿の交雑種もやめ便所虫もやめ便食虫と化した動く汚物だな｡
しかも、便食虫なら便食だけさせてりゃ良いかと思いきや、蛆とは逆に更に悪臭不浄害毒化した便にする。矢張り公害｡
667:１３２人目の素数さん
22/01/29 07:49:40.15 2PdAu/y1.net
>>607 追加
URLﾘﾝｸ(www.fujisan.co.jp)
数学 最新号：2022年1月号 (発売日2022年01月28日) 岩波書店.
表紙画像 URLﾘﾝｸ(img.fujisan.co.jp)
表紙画像の目次を見ると
論説 遠アーベル幾何の進展 星裕一郎 P1
とあるね
なるほどね
668:１３２人目の素数さん
22/01/29 07:58:36.85 2PdAu/y1.net
>>610
>>つまり、どの項も直前の項より真に大きいときには、その列は真の（あるいは狭義の）増大列 (strictly monotonically increasing) という。
>じゃダメじゃん
>ωの直前の項が無いんだから
なんだ？
おまえ、そんなところで躓いているのか？ｗ
”∀n∈N（自然数）で、n ＜ ω ” と考えれば良い
それは、実数で
∀r∈R-（負の実数） 、 r ＜ 0 と同じだよ
まあ、君には難しいかもね
二項関係を、稠密集合Qや、連続のRに拡大したときには
上記と同様のことが起きる
中学校でしっかり勉強してねｗ
669:１３２人目の素数さん
22/01/29 08:28:46.70 2PdAu/y1.net
>>615 補足
まあ、下記でも百回音読してくださいね
”For instance, the ordinal number of the set N of all positive integers, ordered by the relation ≦, is ω.
The ordinal number of the set consisting of 1 and numbers of the form 1-1/n where n∈N, ordered by the relation ≦, is ω+1.”
これで、上記の” 1 ”の左の直前はない。1-1/n ｜ｎ∈N ですからね
でも、≦による二項関係は、ω+1なる列に拡張されている （” ordered by the relation ≦, is ω+1”）
君らには、難しいかなｗ
URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
encyclopediaofmath
Ordinal number
The order type of a well-ordered set.
This notion was introduced by G. Cantor in 1883 (see [2]).
For instance, the ordinal number of the set N of all positive integers, ordered by the relation ≦, is ω.
The ordinal number of the set consisting of 1 and numbers of the form 1-1/n where n∈N, ordered by the relation ≦, is ω+1.
670:１３２人目の素数さん
22/01/29 08:39:45.53 .net
☆曰く
「昨日の「１論説」とは，『遠アーベル幾何学の進展』という題で，
『数学』に掲載予定，2018年2月に依頼を引受け2019年2月に提出しました．
今となれば2019年3月以降の進展を組み込めなかった事が残念ですが，
この残念は，時が止まらない限り不可避ですし，
何より分野がきちんと動いている証左でしょう．」
望月論文のアクセプトに関する言及から、うまく逃げたな
671:１３２人目の素数さん
22/01/29 08:45:33.48 ynd1YKvE.net
うわ、まだ此の便食虫セタ爺は N と ω との間のミッシングリンクの存在に気付けないのか
672:１３２人目の素数さん
22/01/29 09:32:51.49 2PdAu/y1.net
>>614 追加
J-STAGEに、過去分あるけど（下記）
フィールズ賞 Peter Scholze氏の業績
2020 年 72 巻 1 号 p. 36-42
発行日: 2020/01/24
公開日: 2022/01/25
だから、2年遅れか
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
J-STAGEトップ/数学/巻号一覧
最新号
72 巻 (2020)
1 号 p. 1-
＜PDF＞
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
フィールズ賞受賞者紹介
Peter Scholze氏の業績
今井 直毅
2020 年 72 巻 1 号 p. 36-42
発行日: 2020/01/24
公開日: 2022/01/25
673:１３２人目の素数さん
22/01/29 09:50:36.43 2PdAu/y1.net
>>617
>「昨日の「１論説」とは，『遠アーベル幾何学の進展』という題で，
> 『数学』に掲載予定，2018年2月に依頼を引受け2019年2月に提出しました．
> 今となれば2019年3月以降の進展を組み込めなかった事が残念ですが，
> この残念は，時が止まらない限り不可避ですし，
> 望月論文のアクセプトに関する言及から、うまく逃げたな
ありがとう
星論説原文をみていないので、推測だが
1．「2019年3月以降の進展」は、南出の明示公式のことでは？
2．望月論文のアクセプトについては、既定路線で織込み済みと思うよ
でも、「2019年2月に提出しました」が、2022年1月号掲載か？
印刷
674:直前、あるいは編集会議直前まで、リバイズ可にすべきと思うけどね（星先生が手直しする気があればだが）
675:１３２人目の素数さん
22/01/29 09:59:20.62 ynd1YKvE.net
>>615-616
おいSetA爺
∪[k=1,∞]k
は『自然数の集合』じゃねぇよ、『アフィン拡大自然数の集合』だよ此の現実逃避便食虫野郎が｡
アフィン拡大実数の集合が
_
R
とオーバーライン( ￣ )付き R で書かれるから
アフィン拡大自然数、アフィン拡大整数、アフィン拡大有理数は
_
N
だな。単なる自然数の集合 N とは違う。また、超実数の集合 *R に属す 超自然数の集合 *N とも異なる｡
やっぱり『多様性を重んじる世紀の21世紀の数学』も、細分化かつ正確な区別で解釈すべきだな｡
老子も『必ずや名を正さんか！』と説いた様にな。SetA爺みたいに『有限と無限を一緒にする』様な
『ミソとクソを一緒にする』便食虫行為こそ、全く以てSetA爺が謳う『多様性を重んじる21世紀の数学』に反する行為だな｡
矢っ張り、SetA爺は人間をやめ馬と鹿の交雑種もやめ便所虫もやめ便食虫に成り果てた世界共通公害だな｡
676:１３２人目の素数さん
22/01/29 10:00:28.18 vDIa2pb+.net
>>615
>”∀n∈N（自然数）で、n ＜ ω ” と考えれば良い
じゃ ０＜・・・＜ω は有限列じゃん
nがどんな自然数でもn以下の自然数は有限個なんだから
バカ？
677:１３２人目の素数さん
22/01/29 10:06:01.02 vDIa2pb+.net
>>615
>二項関係を、稠密集合Qや、連続のRに拡大したときには
>上記と同様のことが起きる
また妄想か
二項関係の定義書いてみな？ ほれ、手を動かして書いてみろ
バカは手を動かすんだよ、頭悪いから頭で考えてもダメ
678:１３２人目の素数さん
22/01/29 10:08:18.42 ynd1YKvE.net
>>622
> バカ？
それはSetA爺は人間をやめ馬鹿つまり馬と鹿の交雑種だった頃の話､
今は馬鹿もやめ便所虫もやめ便食虫と成り果てた。と言うか便食虫の座からも落ちそうだ｡
食した糞を更に強毒悪臭不浄化した糞として排泄するから。蛆は逆に食した糞を浄化して排泄するのに｡
679:１３２人目の素数さん
22/01/29 10:23:59.23 vDIa2pb+.net
>>616
>上記の” 1 ”の左の直前はない。
じゃ≦列にならんやん、x≦1のxが無いんだからｗ
実際
>”For instance, the ordinal number of the set N of all positive integers, ordered by the relation ≦, is ω.
>The ordinal number of the set consisting of 1 and numbers of the form 1-1/n where n∈N, ordered by the relation ≦, is ω+1.”
のどこにも≦列なんて書かれてない 英語読めんのか？ｗ
680:１３２人目の素数さん
22/01/29 10:42:22.01 2PdAu/y1.net
>>618
>N と ω との間のミッシングリンクの存在に気付けないのか
ミッシングリンク？
なんだ、それ？ｗ
不等号 < を、そんなに狭く解釈したら
実数 r∈R なんて、至るところ ミッシングリンクだらけだぜ
普通の全順序で、ｒの直前と直後は存在しないぜ
でも、実数 r∈R 連続だよ
そもそも、ミッシングリンクなんて考えたら
下記のデデキント切断が理解できない
デデキント切断には、ミッシングリンクなんて、登場しないぜｗｗｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキント切断
デデキント切断（デデキントせつだん、英: Dedekind cut）、あるいは単に切断 (独: Schnitt) とは、リヒャルト・デデキントが考案した数学的な手続きで、実数論の基礎付けに用いられる。
定義
全順序集合 K を、一方が他方の全ての元よりも小であるような二つの組に分けたとする。
K = A ∪ B, A ≠ Φ, B ≠ Φ; a ∈ A, b ∈ B ⇒ a < b.
このような組 (A, B) をデデキント切断という。
概論
以下では全順序集合Kとして有理数をとり、「切断が一つの数を確定する」ことを公理に採用して有理数の"隙間"を埋める形で、実数を構成する。仮に上記のA,Bをそれぞれ下組、上組としておく。
有理数の切断を与えることで、切断に対応する実数をただ一つ定めることができる。
681:１３２人目の素数さん
22/01/29 11:07:36.92 ocBYH1Ei.net
↑
ここまで長野のキチガイジジイの自演
次から自演が再開
↓
682:１３２人目の素数さん
22/01/29 11:31:55.83 .net
中卒ニホンザルは降下列の条件が理解できんらしい
単に任意の
683:項について自身より右のどの項も 自身より小さければいいと思ってる （だから全順序ばかり🐎🦌の一つ覚えで繰り返す） しかし、降下列は以下の２条件を満たす必要がある １．初項が存在する ２．任意の項ｍについて、そのすぐ右の項である次項ｎが存在し、ｍ＞ｎである 上記２条件を満たす順序数列は有限長 つまり有限項数で０に達する いかにバカでかい順序数であってもそうなる それが数学 中卒ニホンザルは数学の初歩も理解できん正真正銘の🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
684:１３２人目の素数さん
22/01/29 11:44:09.74 ynd1YKvE.net
長野じゃねぇよ広島安芸だ大莫迦野郎
便食尚更不浄化便排泄虫SetA爺は関西圏だろ
猿魔大王ポニョ腹Papiyasは都内だか神奈川だかの大学を出たらしいが住まいが何処かは知らん
極稀に現れる自称おっちゃん（もうおっちゃんじゃねぇ、じっちゃんだよな）も住まいは何処か知らん
685:１３２人目の素数さん
22/01/29 11:48:44.53 ynd1YKvE.net
>>626 > 不等号 < を、そんなに狭く解釈したら
> 実数 r∈R なんて、至るところ ミッシングリンクだらけだぜ
> 普通の全順序で、ｒの直前と直後は存在しないぜ
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。｡ ｡ 。。ﾟ
。 ｡｡゜。ﾟ｡。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
ｽﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟｰﾝ!!!!!
+ ,, * +
" ＋※" + ∴ * ※ *
* * +※ ﾞ* ※ * ＋
+ "※ ∴ * + * ∴ +
* ※"+* ∵ ※ *"
( Д ) Д)Д))
莫迦の宇宙インフレーションじゃあ～!!!!!!
686:１３２人目の素数さん
22/01/29 11:53:17.48 ynd1YKvE.net
>>626 > そもそも、ミッシングリンクなんて考えたら
> 下記のデデキント切断が理解できない
> デデキント切断には、ミッシングリンクなんて、登場しないぜｗｗｗ
どうしてこんなになるまで放っておいたんだ！
三 三三
/;:"ゝ 三三 f;:二iュ 三三三
三 ＿ゞ::.ﾆ! ,..'´￣｀ヽﾉﾝ
／.;: .:}^（ <;:::::i:::::::.::: :}:} 三三
〈::::.´ .:;.へに)二/.::i :::::::,.イ ﾄ ヽ__
,へ;:ヾ-､lｌ＿＿/.:::::､:::::f＝ｰ'＝＝､`ｰ-="⌒ヽ
. 〈::ﾐ/;;;iーﾞii====:::::::.｀ Y￣￣￣,.シ'=llー一'";;;ド'
};;;};;;;;!￣ll￣￣:::::::::.ヽ＼-‐'"´￣￣ll
手の施し様が無く成ってしまってるぞ！
687:１３２人目の素数さん
22/01/29 11:58:46.08 vDIa2pb+.net
>>626
>不等号 < を、そんなに狭く解釈したら
解釈の問題じゃねえよ
定義の問題だよ
だから言ってるだろ？二項関係の定義を書けと
バカは手を動かず頭で妄想するから間違える
688:１３２人目の素数さん
22/01/29 12:00:12.59 ynd1YKvE.net
便食後尚更不浄化便排泄虫セタ爺のガキ(※)、超実数と言うか超現実数の感覚で順序数を曲解してやがんな｡
超限序数1+ω=ω≠ω+1を超現実数同様1+ω=ω+1≠ωに無理やり曲解してやがる｡
こりゃまた猿魔大王ポニョ腹Papiyasにロティサリーグリル焼きにされるな｡
689:１３２人目の素数さん
22/01/29 12:02:15.15 ynd1YKvE.net
※関西の特に大阪では歳上だろうと爺だろうと糞ガキな奴には「あんのガキゃああ」と激昂する
690:１３２人目の素数さん
22/01/29 12:04:42.69 vDIa2pb+.net
>>626
>不等号 < を、そんなに狭く解釈したら
解釈の余地があるという考えが根本的間違い
ある命題は人によって真だったり偽だったりするんか？それ数学か？
691:１３２人目の素数さん
22/01/29 14:53:00.14 2PdAu/y1.net
>>635
だから、下記の記法が標準だろ？ｗｗｗ
（ 不等号 ＜ で、具体的な すぐ右がどうの、左がどうの は、不要！ｗ ）
いろんな流儀が存在する場合もありだが、自分の幼稚な流儀をごり押ししなさんなｗ
（>>594より）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ordinal arithmetic
Addition
The first tra
692:nsfinite ordinal is ω, the set of all natural numbers. For example, the ordinal ω + ω is obtained by two copies of the natural numbers ordered in the usual fashion and the second copy completely to the right of the first. Writing 0' < 1' < 2' < ... for the second copy, ω + ω looks like 0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ... This is different from ω because in ω only 0 does not have a direct predecessor while in ω + ω the two elements 0 and 0' do not have direct predecessors. Multiplication Here is ω・2: 00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ..., which has the same order type as ω + ω. Exponentiation For instance, ω^2 = ω・ω using the operation of ordinal multiplication. Note that ω・ω can be defined using the set of functions from 2 = {0,1} to ω = {0,1,2,...}, ordered lexicographically with the least significant position first: (0,0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ... < (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (0,2) < (1,2) < (2,2) < ... Here for brevity, we have replaced the function {(0,k), (1,m)} by the ordered pair (k, m). (引用終り)
693:１３２人目の素数さん
22/01/29 15:20:36.37 vDIa2pb+.net
>>636
>いろんな流儀が存在する場合もありだが、自分の幼稚な流儀をごり押ししなさんなｗ
それがおまえ
>だから、下記の記法が標準だろ？ｗｗｗ
>（ 不等号 ＜ で、具体的な すぐ右がどうの、左がどうの は、不要！ｗ ）
だから二項関係の定義を書けと言ってるだろ
バカは頭で考えても無駄 手を動かせ
694:１３２人目の素数さん
22/01/29 15:23:02.41 vDIa2pb+.net
>>636
どこに
>0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...
が＜列って書いてあるんだよｗ
英語も読めんのか？ｗ バカは英語くらい勉強しろｗ
695:１３２人目の素数さん
22/01/29 18:09:12.72 jntxnafb.net
>>616
> ω+1なる列に拡張されている
「ω+1なる列」はω重シングルトンにならないだろ
ω重シングルトンは同様に書けば「ω+0なる列」
696:１３２人目の素数さん
22/01/29 18:19:28.40 2PdAu/y1.net
つづき
おサルは
>>158より
(引用開始)
＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
(引用終り)
という主張だ
対して、私はそれは無限列であって、下記の”無限降下列”（無限に下る）とは全く違う（無限列で可）って主張なのです（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二項関係が整礎であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理は、別名基礎の公理とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。
定義
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・∀xについて、無限下降列である x∋ x1∋x2∋ ... は存在しない。
略
(引用終り)
199 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/06/17(木) 15:11:56.19 ID:1ixenOss [5/10]
>>191
インデックス集合そのものに性質はない
強いて言えば添字付けたい集合への全射があればいい
今回の場合だと上昇列を考えたいので定義域に順序が入�
697:ﾁている必要もあると思うが、{0, …, ω}には順序数の標準の順序を入れればいい つづく
698:１３２人目の素数さん
22/01/29 18:20:50.80 2PdAu/y1.net
>>640
誤爆スマン
再投下ｗｗ
三歳児のおサルは、いつまでたってもωの理解が進まないなｗ
過去スレでもコテンパンにやられたのに、学習しないやつらだｗ
長いが再録するよｗｗｗ
＜過去レス再録＞（下記のスレ55の158,574,593とスレ56の104）
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 55
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:158番)
158 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/06/17(木) 09:25:42.97 ID:40Ayiq4a
>>141
猿回し君は、抽象数学を具体的に目で見て理解したいらしいが
残念ながら無理筋なのでキレイサッパリ諦めよう
＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
ことも分からん「考えなしの素人」に数学はムリ
176 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/06/17(木) 10:27:00.92 ID:1ixenOss [2/10]
>>172
０＜・・・＜ω
を見たときに、自分は
a:{0, …, ω}→{0, …, ω}でa(x)=xとなる列を思い浮かべたな
したがってインデックス集合{0, …, ω}が無限集合なので無限列と
179 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/06/17(木) 11:25:31.78 ID:1ixenOss [3/10]
>>178
上昇列の定義を確認したかったが見つからなかったので、自分で考えてみたが、
インデックス集合をIとして∀i,j∈I i≦j⇒ai≦ajが成り立つことかと思った
この場合、I={0, …, ω}から任意に2元i,jを取ってくると、i≦j⇒i=ai≦aj=jは自明に成り立つので、
a:{0, …, ω}→{0, …, ω}でa(x)=xとなる列は上昇列になるかなと
188 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/06/17(木) 13:13:12.50 ID:fmi4nuTk [8/15]
>>179
＞上昇列の定義を確認したかったが見つからなかったので、自分で考えてみたが、
それ、多分合っていると思うよ
そもそも、この話は下記の
整礎：真の無限降下列をもたない
正則性公理：∀xについて、無限下降列である x∋ x1∋x2∋ ... は存在しない
の議論に由来している
つづく
699:１３２人目の素数さん
22/01/29 18:21:41.27 2PdAu/y1.net
>>641
つづき
おサルは
>>158より
(引用開始)
＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
(引用終り)
という主張だ
対して、私はそれは無限列であって、下記の”無限降下列”（無限に下る）とは全く違う（無限列で可）って主張なのです（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二項関係が整礎であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理は、別名基礎の公理とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。
定義
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・∀xについて、無限下降列である x∋ x1∋x2∋ ... は存在しない。
略
(引用終り)
199 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/06/17(木) 15:11:56.19 ID:1ixenOss [5/10]
>>191
インデックス集合そのものに性質はない
強いて言えば添字付けたい集合への全射があればいい
今回の場合だと上昇列を考えたいので定義域に順序が入っている必要もあると思うが、{0, …, ω}には順序数の標準の順序を入れればいい
つづく
700:１３２人目の素数さん
22/01/29 18:22:02.89 2PdAu/y1.net
>>642
つづき
243 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/06/17(木) 18:31:53.16 ID:KCAxlwiy [1/3]
>>222
改めて整理すると、
a:{0, …, ω}→{0, …, ω}でa(x)=xとなる関数を考える
aの定義域はインデックス集合であり、aは列である
列をa、インデックス集合をIとして∀i,j∈I i≦j⇒ai≦ajが成り立つとき、aは真の上昇列や<上昇列であると呼ぶ
I={0, …, ω}とすると∀i,j∈I i < j ⇒ i = ai < aj = jが成り立つので、aは真の上昇列であり、インデックス集合が無限なので無限列でもある
論理的にどこが、そして何が誤っているかを知りたい
401 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/06/19(土) 12:25:32.47 ID:jEvz9hTC [1/5]
>>395
ω+1={1,2,3,...,ω}が最大値を持つ超限順序数であることと、無限降下列を持たないことごっちゃになってるな
中途半端に基礎論勉強したって感じなのかな
574 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/06/20(日) 17:27:33.12 ID:aiCb8/PE [59/66]
>>570
＞順序数は上昇列じゃないんだ。
＞じゃあωも上昇列でないてことでok？
ああ、そうだよ
そもそもID:jA2rtNGF君は、なんでωが上昇列だと思うんだい？
ちゃんと答えてごらん センセイ、怒らないからｗ
593 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/06/20(日) 18:16:19.00 ID:aiCb8/PE [66/66]
>>589
＞ω={0,1,2,...}が上昇列じゃないって言ったのは何なのさ
0<1<2<･･･が上昇列でない、といつどこで誰がいいました？
幻聴でしょうｗ
いわれているのは以下
「0<1<2…<ωは、無限上昇列ではない」
ニホンゴ、ワカリマスカ？ｗ
968 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/06/27(日) 21:24:36.76 ID:2cYyqlhC
>>946
>>574の�
701:N「ωは上昇列ではない」 >>593の君「ωは上昇列である」 あのもう議論としてあなたは詰んでしまってるんで てか一週間経って俺がいなくなってそうな状態を見計らっての、突然の勝利宣言は流石に笑える どんだけ悔しかったんだ (引用終り) 以上
702:１３２人目の素数さん
22/01/29 18:36:24.90 2PdAu/y1.net
>>639
>> ω+1なる列に拡張されている
>「ω+1なる列」はω重シングルトンにならないだろ
>ω重シングルトンは同様に書けば「ω+0なる列」
ああ、そうだね
ω重シングルトンの話は別
空集合Φを元とするシングルトン{Φ}を、1重とする
＜なお、カッコには添え字をつける。カッコが有限なら添え字の有無は同じ意味です＞
1重 {Φ}1
2重 {{Φ}1}2
・
・
n重 {・・{{Φ}1}2・・}n
・
・
ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
となる
つまり、1重,2重,・・,n重,・・とすべての自然数を尽くしたのち、ω重になる
カッコの添え字もそれに対応する
つまり、例えば 右カッコで }1}2・・}n・・とすべての自然数を尽くしたのち、ω重の}ωに至る
（左カッコも同様）
703:１３２人目の素数さん
22/01/29 19:16:05.11 ENybOWPw.net
>>644
> n重 {・・{{Φ}1}2・・}n
> ・
> ・
> ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
> ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
はω+1重だから
> ω重の}ω
ω重じゃないだろ
704:１３２人目の素数さん
22/01/29 19:59:37.87 vDIa2pb+.net
>>644
>ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・は集合？
YESならその元は何？
705:１３２人目の素数さん
22/01/29 20:24:48.49 p4T8SQRN.net
以上、キチガイの独り言
706:１３２人目の素数さん
22/01/29 23:31:14.45 2PdAu/y1.net
>>645
有限n重 {・・{{Φ}1}2・・}n
を認めるならば
ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
で合うだろ？
これは定義です
>>656
>>ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
>・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・は集合？
>YESならその元は何？
そういう突っ込みなら、urelement と考えて納得してもらえれば、それで結構だ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Urelement
}1}2・・}n・・ は、一つの状態です
1,2,・・,n,・・ と同じです
箱が可算無限個あるとする
□1,□2,・・,□n,・・ となる。添え字1,2,・・,n,・・は、全ての自然数を尽くす
707:１３２人目の素数さん
22/01/29 23:33:35.54 vDIa2pb+.net
>>648
>urelement と考えて納得してもらえれば、それで結構だ
つまり
>ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
なるものはZF上には存在しないと？
708:１３２人目の素数さん
22/01/30 06:26:43.75 17tiKPMs.net
>>648
> 有限n重 {・・{{Φ}1}2・・}n
> を認めるならば
>
> ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
> で合うだろ？
> これは定義です
> ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
> で合うだろ？
合わない
最小の有限順序数がΦ
Φ重は「ゼロ重」
最小の超限順序数がω
ω重は可算無限以上に限定した場合の「ゼロ重」
> ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
は可算無限以上の{}ωが1つあるのでω重とはならない
709:１３２人目の素数さん
22/01/30 07:54:49.27 .net
>>640
>お●●は
>＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
>という主張だ
>対して、私は
>それは無限(上昇)列であって、
>”無限降下列”（無限に下る）とは全く違う
>って主張なのです（＾＾
まさに食言、歴史の改竄
そもそも
「0<1<2<･･･ω
という無限上昇列があるから
それをそのままひっくり返せば
無限降下列になる！」
と🐎🦌丸出しな発言をしたのは
中卒🗾🐒 貴様だ
それに対して私が
「上記の列にはωの直前の項がない
したがって
0<1<2<･･･<x<ω
とはならないからひっくり返しても
無限降下列とはならない
ひっくり返して降下列となる上昇列
0<1<2<･･･<x<ω
は有限列となる な・ぜ・な・ら、
xに入るのは自然数nに限られるから」
と完璧に論破して🗾🐒を焼き尽くした
貴様はすでに我々に食われて🦴になってしまったのだよ
🗾🐒よ、安らかに眠れ R.I.P
710:１３２人目の素数さん
22/01/30 08:03:15.41 .net
>>641
>三歳児のお●●は、いつまでたってもωの理解が進まないなｗ
>過去スレでもコテンパンにやられたのに、学習しないやつらだｗ
>長いが再録するよｗｗｗ
無意味ｗ
>176 名前：１３２人目の素数さん[]
>投稿日：2021/06/17(木) 10:27:00.92 ID:1ixenOss [2/10]
>０＜・・・＜ω
>を見たときに、自分は
>a:{0, …, ω}→{0, …, ω}でa(x)=xとなる列
>を思い浮かべたな
これが間違い
なぜなら、そのような列は
０＜・・・ω
とは書けても
０＜・・・＜ω
とは書けない
＜ωの左の項が存在しないから
>179 名前：１３２人目の素数さん[]
>投稿日：2021/06/17(木) 11:25:31.78 ID:1ixenOss [3/10]
>上昇列の定義を確認したかったが見つからなかったので、自分で考えてみたが、
>インデックス集合をIとして∀i,j∈I i≦j⇒ai≦ajが成り立つことかと思った
これも間違い
なぜなら、そのような定義で�
711:ﾍ 任意の項について、その直前の項が存在するとはいえな 一方「＜ω」と書かれてしまったら、直前の項は存在しなければならない そう認めらないなら、国語ができない、論理が分からない🐎🦌だから いかに小難し気なことをいってもフフンと鼻で笑われるだけである >188 名前：１３２人目の素数さん[sage] >投稿日：2021/06/17(木) 13:13:12.50 ID:fmi4nuTk [8/15] >それ(179)、多分合っていると思うよ 多分でなく全然間違ってる 「と思う」は要らないｗ 🗾🐒は実にみっともないｗ
712:１３２人目の素数さん
22/01/30 08:12:13.35 .net
>>642
>199 名前：１３２人目の素数さん[]
>投稿日：2021/06/17(木) 15:11:56.19 ID:1ixenOss [5/10]
>インデックス集合そのものに性質はない
>強いて言えば添字付けたい集合への全射があればいい
>今回の場合だと上昇列を考えたいので
>定義域に順序が入っている必要もあると思うが、
>{0, …, ω}には順序数の標準の順序を入れればいい
はい、全然ダメｗ 間違い
「＜ω」と書かれてしまった時点でωの直前の項が必要
よく
「＜ωというのは、
ωより左にある項が、ωより小さければいい
という意味だ」
と言い訳をする🐎🦌がいるが、＜ωと書いた本人が
「そういう意味ではない
そういう意味なら別の記号、例えば<<を用いる」
と言い切ってバッサリ切り捨てたのだから
いつまでもそんな言い訳に固執するのは見苦しい
首を刎ねられた🗾🐒がいつまでも往生際悪く
口をパクパクさせるもんじゃないｗ
713:１３２人目の素数さん
22/01/30 08:18:49.56 .net
>>643
>243 名前：１３２人目の素数さん[]
>投稿日：2021/06/17(木) 18:31:53.16 ID:KCAxlwiy [1/3]
>論理的にどこが、そして何が誤っているかを知りたい
「a:{0, …, ω}→{0, …, ω}でa(x)=xとなる列
インデックス集合をIとして∀i,j∈I i≦j⇒ai≦ajが成り立つこと」
というだけでは
０＜・・・ω とは書けても
０＜・・・＜ω とは書けない
これが半可通の誤り
＜ωというのは、
ωより左にある項が、ωより小さければいい
という意味ではなく
ωの直前にｘ＜ωとなる項ｘがある
という意味だ」
この時点で半可通は
負けた、焼かれた、食われた、死んだ
🐎🦌が人間ヅラするな！！！
P.S.
>968 名前：１３２人目の素数さん[]
>投稿日：2021/06/27(日) 21:24:36.76 ID:2cYyqlhC
>俺がいなくなってそうな状態を見計らっての、
>突然の勝利宣言は流石に笑える
>どんだけ悔しかったんだ
おまえ、🗾🐒だろ？ｗ
相変わらずやることが姑息で見苦しいな
さすが人間失格の畜生だ（嘲）
714:１３２人目の素数さん
22/01/30 08:28:50.83 .net
>>644
>ω重シングルトンの話は別
>空集合Φを元とするシングルトン{Φ}を、1重とする
>＜なお、カッコには添え字をつける。カッコが有限なら添え字の有無は同じ意味です＞
>1重 {Φ}1
>2重 {{Φ}1}2
> …
>n重 {・・{{Φ}1}2・・}n
> …
>ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω
>となる
>つまり、1重,2重,・・,n重,・・とすべての自然数を尽くしたのち、ω重になる
>カッコの添え字もそれに対応する
>つまり、例えば 右カッコで }1}2・・}n・・とすべての自然数を尽くしたのち、
>ω重の}ωに至る（左カッコも同様）
番号のつけ方が間違ってるねｗ
{0}=1
{0,1}=2
…
{0,1,…,n-1}=n
…
{0,1,…,n-1,n,…}=ω
従って
1重 {Φ}0
2重 {{Φ}0}1
…
n重 {…{{Φ}0}1…}(n-1)
…
が正しい
そして、正しい考え方でω重を考えると
…{{…{{Φ}0}1…}(n-1)}n…
アルェー 一番外の{}がないぞ？
そりゃそうだ
{0,1,…,n-1,n,…}=ω
に、最大の要素なんか存在しないから
🗾🐒、順序数の定義を誤解して
ωのカッコつけの仕方を間違って
毎度恒例の大自爆ｗ
何度自爆して死ねば気が済むのやら
中卒ヤンキーの考えることは
大卒のニンゲン様には理解できんねｗ
715:１３２人目の素数さん
22/01/30 08:37:39.42 .net
>>648
>有限n重 {・・{{Φ}1}2・・}n を認めるならば
>ω重 {・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・}ω で合うだろ？
>これは定義です
n={1,…,n} という定義ではないがｗ
上記の定義は、正則性公理に真っ向から反するのでＮＧ
🗾🐒は、順序数の定義すら理解できないのか？
流石ニンゲン失格の畜生だな
高校中退の中卒ヤンキーに数学は無理 諦めろ
716:１３２人目の素数さん
22/01/30 08:41:15.80 .net
>>648
>>・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・は集合？
>そういう突っ込みなら、urelement と考えて納得してもらえれば、それで結構だ
urelementだとして、
ｘ＝・・{・・{{Φ}1}2・・}n・・
が、
Φ＜ｘ
｛Φ｝＜ｘ
｛｛Φ｝｝＜ｘ
となるのはなぜ？
🗾🐒、貴様、何も考えずに漫然と口からデマカセ言ってるだろ？ 脳味噌あんのか？
717:１３２人目の素数さん
22/01/30 08:44:54.53 .net
SET Aに質問
円x^2+y^2=1にはQ∪{∞}と１対１に対応する
無数の有理点が存在することを示したが、さて
円x^2+y^2=3には有理点が存在しない
これを証明せよ
718:１３２人目の素数さん
22/01/30 09:07:31.41 dinVA2/U.net
>>648
>そういう突っ込みなら、urelement と考えて納得してもらえれば、それで結構だ
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>Urelement
>}1}2・・}n・・ は、一つの状態です
> 1,2,・・,n,・・ と同じです
しかし、
719:この状態は、ZFC内でも至る所存在する 例えば、順序対 (1,2,・・)自然数全体よりなる これに、クラトフスキーの定義(a,b)_{K}:={{a},{a,b}}を適用したのち、外側の｛｝を外す その元を全部書き上げることができるか？ できないよね 同じように、ノイマン構成の自然数 {1,2,・・}で、外側の｛｝を外す そうすると、その元は 1,2,・・,n,・・ という状態になる。後半は、”n,・・”としか書けない状態になるよ この中に、{}の多重無限の状態となっている元が存在する（存在しなければNは無限集合ではない！） 同じだよ 元を具体的に書けない状態になる 人はそれを求めて、無限公理を置いたのです https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE 順序対 順序対（じゅんじょつい、英: ordered pair）は、一口に言えば対象を「対」にしたものである。二つの対象 a, b の順序対をふつうは (a, b) で表す。ここで、「順序」対において対象の現れる順番は重要であることに注意しなければならない、すなわち a = b でない限り (a, b) という対と (b, a) という対とが相異なる[注 1]。 順序対 (a, b) において、対象 a を第一成分 (first entry, first component), 対象 b を第二成分 (second entry, second component) などと呼ぶ。場合によっては、第一、第二座標や、左射影・右射影ともいう。 順序 n-組の再帰的定義が可能になる。例えば、順序三つ組 (a, b, c) を、ひとつの対を別の対へ入れ子にした (a, (b, c)) として定義できる。 直積集合やその部分集合である二項関係（これは対応と言っても同じであり、また従って当たり前のように目にする写像や函数もこれに含まれる）は順序対を用いて定義される。 集合論による順序対の定義 クラトフスキーの定義 Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義[5][注 4] (a,b)_{K}:={{a},{a,b}} を提唱した。
720:１３２人目の素数さん
22/01/30 09:47:12.89 .net
>>659
>この状態(注：urelement?)は、ZFC内でも至る所存在する
>順序対 (1,2,・・)自然数全体よりなる
>これに、クラトフスキーの定義(a,b)_{K}:={{a},{a,b}}を適用したのち、
>外側の｛｝を外す
>その元を全部書き上げることができるか？ できないよね
元が無限にあってもいい
無限にあるから、無限重が存在する、とはいえない
その推論は初歩レベルで間違ってるｗ
>ノイマン構成の自然数 {1,2,・・}で、外側の｛｝を外す
>そうすると、その元は 1,2,・・,n,・・ という状態になる。
>後半は、”n,・・”としか書けない状態になるよ
ああ、そうだよ そんなこと、どんな🐎🦌でもわかるｗ
>この中に、{}の多重無限の状態となっている元が存在する
>（存在しなければNは無限集合ではない！）
ギャハハハハハハ！！！
{}が無限重になってる元なんか一つも存在しねぇよｗ
無限集合だから無限重の元があるとかいってる中卒の貴様が
初歩レベルで間違ってる
自然数はみな有限 だから{}はどれもこれも有限重
有限重シングルトンが無限に存在すると矛盾するというなら
背理法で矛盾を導いてみろ できないからｗｗｗｗｗｗｗ
721:１３２人目の素数さん
22/01/30 09:50:50.32 Ry9RibmI.net
>>659
>同じように、ノイマン構成の自然数 {1,2,・・}で、外側の｛｝を外す
>そうすると、その元は 1,2,・・,n,・・ という状態になる。後半は、”n,・・”としか書けない状態になるよ
>この中に、{}の多重無限の状態となっている元が存在する
はい、大間違い。
{1,2,・・}の元はどれも自然数なのでどれも多重有限。
>（存在しなければNは無限集合ではない！）
はい、大間違い。
{1,2,・・}の元はどれも自然数だが無限集合。
全問不正解なのでゼロ点で落第です。
722:１３２人目の素数さん
22/01/30 09:52:55.29 .net
＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼ 「>>659ノイマン構成の自然数全体の集合の中には
／ ⌒（__人__）⌒ ＼ {}が無限重となっている元が存在する
| |r┬-| | 存在しなければ自然数全体の集合は無限集合でない！」
＼ `ー’´ ／
ノ ＼
／´ ヽ
| ｌ ＼
ヽ -一””””~~｀`’ー?､ -一”””’ー-､.
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
723:１３２人目の素数さん
22/01/30 09:53:39.78 .net
＿＿＿_
／_
724:ノ ヽ､_＼ ﾐ ﾐ ﾐ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ﾐ ﾐ ﾐ >>662だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ /⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼ /⌒)⌒)⌒) 有限集合が有限個しかないとか | / / / |r┬-| | (⌒)/ / / /／ マジで思ってんのかｗｗｗｗｗｗｗ | :::::::::::(⌒) | | | ／ ゝ :::::::::::/ | ノ | | | ＼ / ） / ヽ / `ー’´ ヽ / ／ | | l||l 从人 l||l l||l 从人 l||l バンバン ヽ -一””””~~｀`’ー?､ -一”””’ー-､ ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
725:１３２人目の素数さん
22/01/30 09:58:24.87 .net
【冗談】
ｎ階建てのビルで、階を１階からｎ階までで表示するが
あれは「間違ってる」と思ってるｗ
正しくは０階からｎ－１階までと表示すべきである
実際、いわゆる「１階」は階段を上らないのだからｗ
つまりω階のビルには最上階がない（これは冗談ヌキ）
０階、１階、２階、・・・延々と登れるが
どの階にもその上の階がある
もちろん、ω階なるものはない！
726:１３２人目の素数さん
22/01/30 10:33:43.43 Ry9RibmI.net
>>659
>同じように、ノイマン構成の自然数 {1,2,・・}で、外側の｛｝を外す
>そうすると、その元は 1,2,・・,n,・・ という状態になる。後半は、”n,・・”としか書けない状態になるよ
>この中に、{}の多重無限の状態となっている元が存在する（存在しなければNは無限集合ではない！）
1は有限重 かつ nが有限重ならネストが一つ増えたn+1も有限重 よって 任意の自然数は有限重
数学的帰納法も知らないとか中卒？
727:１３２人目の素数さん
22/01/30 10:53:30.18 Ry9RibmI.net
>>664
>正しくは０階からｎ－１階までと表示すべきである
イギリスはこれ
１階：the ground floor ２階：the first floor
728:１３２人目の素数さん
22/01/30 11:50:03.31 YUY+m/tE.net
ﾎﾃﾙ★ﾋﾙﾍﾞﾙﾄに呼ばれたﾎﾃﾄﾙ嬢が部屋番号０室やn-1号室に呼ばれちゃぅってほんと?めぅ!
(池沼大声)
729:１３２人目の素数さん
22/01/30 11:55:40.12 YUY+m/tE.net
００…;…00…号室
ｱｧｯ-!ｧﾓｩ、めちゃくちゃﾀﾞｮ!
助けて!ｧｨｧﾝﾏﾝ!∨ｧﾓｩｯﾁｬﾏﾝ!
730:１３２人目の素数さん
22/01/30 11:58:15.29 YUY+m/tE.net
でもでも…
電子カードkeyなら部屋番号管理、うん、安心!
731:１３２人目の素数さん
22/01/30 12:01:39.00 YUY+m/tE.net
縦横斜、全方位放射線状無尽蔵に部屋番号、整理整頓して付けてくれょな~頼むょ~
732:１３２人目の素数さん
22/01/30 12:03:31.51 DrMCpxs0.net
ﾊﾞｶｶﾞｲｸﾗｶﾝｶﾞｴﾃﾓｺﾀｴﾊﾃﾞﾅｲ
733:１３２人目の素数さん
22/01/30 12:06:01.99 YUY+m/tE.net
…ｧｯ!ｧｯ!…
…昨日も寄り道しちゃって…
…帰り道…
分からなくなっちゃったんでしたっけね、このﾅﾋﾞ、ｫｶｽｨｨ…(池沼小声)
734:１３２人目の素数さん
22/01/30 12:07:33.17 YUY+m/tE.net
>>671
ｫﾚが帰れなぃのゎ、ﾅﾋﾞ製作者ｶﾞﾊﾞｶなｾｨｯ!(池沼絶叫)
735:１３２人目の素数さん
22/01/30 13:45:08.03 X/pvc+4l.net
ｽﾙﾙｪ凍ｯﾃﾙｩｩ…!
許してくださぃ! ｾﾝｾﾝｼｧﾙ!
喪ｩ何ﾆﾓ書き込みﾏｾﾝｶﾗ!
(永久ﾆ(ﾄゎ言ｯﾃ)ﾅｨﾃﾞｽ)ｩｩ…
736:１３２人目の素数さん
22/01/30 13:49:16.37 X/pvc+4l.net
※フロア０がなくて地上１階から数え始める基準にすると、地下１階が地上１階に対応してるから、地平線が０階に相当する
ってほんと？めぅ
(豹変)
737:１３２人目の素数さん
22/01/30 13:54:37.79 X/pvc+4l.net
>>674
↑もしかしたらサイクリック宇宙論の立場をとるなら無限ともいえるかも知れない時空間のカウントの中において、嘘つき人間の“ぉ約束”、ほんの刹那の一瞬、ってほんとだょ?めぅ
の見本ﾚｽ
738:１３２人目の素数さん
22/01/30 14:13:46.73 04C7/STB.net
…ｯｨﾃﾞﾆｨｨ…
数学ﾁﾞｬﾅｸﾃ…
739:ﾓｼｬﾓｼｬｾﾝ!…ﾅﾝﾃｽｹﾄﾞ… 数え方の考え方ｯﾎﾟｨｶﾗ…数板ﾆ聞ｨﾁｬｨﾏｽ!(池沼大声)² 自然科学的ﾃﾞ…ﾓｼｬﾓｼｬｾﾝ… 建築工学や建材が発展してマントル越えできる建設技術が出現すると、対蹠点に到達する地下フロアも可能になったとしたら、“地下０地点”は丁度地球の中心点ですか？ これって流体力学的なポイントのカウントの仕方になりますか？
740:１３２人目の素数さん
22/01/30 14:16:30.34 04C7/STB.net
月までの往復コストを下げるのに宇宙エレベーターが考案されてますから、その先にはいずれ遠からず開発されて登場してそうなカウント法ですよね？
741:１３２人目の素数さん
22/01/30 14:17:16.36 04C7/STB.net
月までの往復コストを下げるのに宇宙エレベーターが考案されてますから、その先にはいずれ遠からず開発されて登場してそうなカウント法ですよね？
742:１３２人目の素数さん
22/01/30 14:21:40.67 04C7/STB.net
同ﾚｽ2投もｾﾝｾﾝｼｧﾙ!
更ﾆ、ｫｨｩﾁ…
そしたら🍩ｸｨｽﾞ、教ｪﾃ!ｾﾝｾﾝｼｧﾙ!
地球の中心点を貫いてｧｩﾄｫﾌﾞｧｩﾀ-ｽﾍﾟ-ｽに真っ直ぐ野比のび太な１本の線の両端は…
交わってる…交わってない…?
743:１３２人目の素数さん
22/01/30 14:26:07.83 04C7/STB.net
ｨｸﾗ考ｪﾃﾓ…ｺﾚｶﾞﾜｶﾗﾅｨ…
>>671助けて! 予ｹﾞﾝｼｬﾏﾝ!
ｾﾝｾﾝｼｧﾙ!
…MUR頭治ﾘﾃｪﾅｧ~ｫﾚﾓﾅｧ~…
744:１３２人目の素数さん
22/01/30 14:31:36.36 04C7/STB.net
>>675
>地平線
↗｢地表｣ﾉ方ｶﾞﾏｼﾀﾞﾀｶﾓ
745:１３２人目の素数さん
22/01/30 14:33:29.14 04C7/STB.net
ﾏﾀ ｽﾙﾙｪ散ﾗｶｼﾁｬｯ…ﾀ…ｱｧｧ゛ｧ゛…
ﾓｼｬﾓｼｬｾﾝ! ｾﾝｾﾝｼｧﾙ!
|=₃
746:１３２人目の素数さん
22/01/30 14:43:00.36 q6Naihye.net
>>659 補足
>この中に、{}の多重無限の状態となっている元が存在する（存在しなければNは無限集合ではない！）
エンドレス状態ってことですよｗ
つまり、個々の元は有限だが、任意のｎに対して、常にｎ+1が存在する
もっと言えば、常に 1～ｎは有限だが、常に ｎ＜ｘ∈Ｎ なる元ｘは無限に存在する状態です
こういう状態でなければ、Nは無限集合に成りえない
人は、そういう状態を求めて無限公理をおいた
最初の無限集合Nさえできれば、あとはそれをタネにして、いろんな無限状態をZFC内に作り出せるのです
Nを添え字集合に使ったり、Nのべき集合を作ったりしてね
747:１３２人目の素数さん
22/01/30 15:03:19.31 .net
>>684
>エンドレス状態ってことですよ
>つまり、個々の元は有限だが、任意のｎに対して、常にｎ+1が存在する
>もっと言えば、
>常に 1～ｎは有限だが、
>常に ｎ＜ｘ∈Ｎ なる元ｘは無限に存在する状態です
>こういう状態でなければ、Nは無限集合に成りえない
中卒🗾🐒 ちょとおちつこか？
あのな、要素の並びがエンドレスなんはみんなわかったとんねや
みんなあんたみたいな🐒やのうてニンゲンなんやから
で、あんた>>659でなんつうた？
「ノイマン構成の自然数 {1,2,・・}
この中に、{}の多重無限の状態となっている元が存在する」
つうたよな
「多重「無限」」？「無限重」のこっちゃろ？
無限の自然数がある、でないと自然数が無限個あるわけない
そうほえたやろ？
アホやろ？ドアホウやろ？
なんで有限の自然数が無限個あったらあかんねん？
無限個あると前提して矛盾導いてみせんかい？この🗾🐒！！！
748:１３２人目の素数さん
22/01/30 15:15:48.37 .net
>>666
>>正しくは０階からｎ－１階までと表示すべきである
>イギリスはこれ
>１階：the ground floor ２階：the first floor
イギリス人は正しい
アメリカ人はアホやｗ
・・・閑話休題
ω階があるのはω+1以上の階数のビルである
実はω階には下りの階段はない エレベータはあるがｗ
つまり、有限階からω階には階段では行けないのである
これ豆な
さてω階にお住まいのアイドル、久保史緒里さん（２０，仮名）が
下りのエレベータに乗ったとする。そのとき無数のヲタが
１階「よし、エレベータに乗ったろ」
２階「先に、エレベータに乗ったろ」
３階「先に、エレベータに乗ったろ」
・・・
とすべての有限回で一斉にエレベータのボタンを押した
さて、彼女が乗ったエレベータが最初に止まるのはどの階でしょう？
�
749:i続く）
750:１３２人目の素数さん
22/01/30 15:21:06.12 .net
ちなみに久保史緒里は乃木坂の二代目エースです
決して二代目エースは与田祐希や山下美月ではなぁい！💪
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
751:１３２人目の素数さん
22/01/30 15:26:52.97 .net
ちなみに乃木坂の初代エースは先日ご卒業された生田絵梨花さんです
決して西野七瀬や白石麻衣ではなぁい！💪
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
752:１３２人目の素数さん
22/01/30 15:34:59.06 .net
乃木坂の系譜
無能なセンター枠 西野→与田→遠藤
目立つセンター枠 白石→山下→賀喜
実はエース枠 生田→久保→…
５期オーディションで、３代目エースは現れるのか？！
753:１３２人目の素数さん
22/01/30 16:11:51.66 +33g6wHu.net
>>686
ω-1階!(ﾉｲｼﾞｰ池沼)
…と見せかけて…
私もそんなにバカじゃないんですよ…(池笑)
加算無限ｦﾀから狙われてるのを察知したｸﾎﾞﾁｮﾘゎ、ぉ住まぃのω階から+1の屋上に出てﾍﾘﾎﾟ-ﾄからﾍﾘで一気に好ｷｯﾁｬﾏのぉ住まぃの甘々ｽｳｨ-ﾄﾙ-ﾑにﾍﾘｺﾌﾟﾀ-ﾃﾞﾘで
｢私をぉ届け💞｣
ｽﾙﾝﾃﾞｽｮ?
ｳﾞｧﾚﾝﾀ淫💝ﾃﾞﾘﾍﾘ🚁ﾃﾞｽｮ。
全ｦﾀ憤ﾀﾋ。
754:１３２人目の素数さん
22/01/30 16:15:41.42 +33g6wHu.net
ｸｨｽﾞに釣ﾗﾚﾁｬｯ…ﾀ…ｱｧｧ…
ﾓｼｬﾓｼｬｾﾝｾﾝｼｧﾙ!
|=₃
755:１３２人目の素数さん
22/01/30 16:37:49.92 .net
>>690
これはこれはBKAのセンター、川栄李奈さんですねｗ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
756:１３２人目の素数さん
22/01/30 17:41:00.51 HM6h0Q7V.net
BKA…
入ﾚﾙｶﾓ…
ｯﾃ…勘違ｨｼﾁｬ´~`ｩｩ…ﾄｺ…
ｧﾘﾏｽ! ｧﾘﾏｽ! (食ｨ気味)
757:１３２人目の素数さん
22/01/30 17:45:16.42 HM6h0Q7V.net
今日の✨º₄ｯﾁｬﾏ✨ｻﾝﾄﾞ🥪…
一丁上ｶﾞﾘｯ!🍵終ﾜﾘｯ!ぉ仕舞ぃｯ!
ﾊﾟﾊﾟｯと終了ｯ!
ぉ休ﾐﾅｻｨｯ!
|=₃
758:１３２人目の素数さん
22/01/30 21:06:13.71 NMRGVGmL.net
生田絵梨花ｻﾝﾄｾｯｸｽｼﾀｲﾅ
ｵﾏﾝｺﾄｶｵｼﾘﾉｱﾅｦｼﾞｯｸﾘﾅﾒﾃ
ｵﾁﾝﾁﾝﾓｼｬﾌﾞｯﾃﾓﾗｯﾃ
ｵﾀｶﾞｲﾀｶﾏｯﾀﾄｺﾛﾃﾞﾇﾚﾇﾚﾉﾏﾝｺﾆｷﾞﾝｷﾞﾝﾉﾁﾝﾎﾟｦｲﾚﾃ
ﾀﾞｷｱｯﾃｷｽｼﾅｶﾞﾗｵﾀｶﾞｲﾊｹﾞｼｸｺｼｦｳｺﾞｶｼﾃ
ｱﾉﾖﾆｲｷﾀｲ
759:１３２人目の素数さん
22/01/30 21:20:34.07 aTNTScgh.net
a_watcherの正体を確認
760:１３２人目の素数さん
22/01/30 22:33:42.71 OBQ2WsI/.net
セタ爺、またもや自殺レス
>>636
> だから、下記の記法が標準だろ？ｗｗｗ
> （ 不等号 ＜ で、具体的な すぐ右がどうの、左がどうの は、不要！ｗ ）
> いろんな流儀が存在する場合もありだが、自分の幼稚な流儀をごり押ししなさんなｗ
セタ爺、遂に自殺しちまったな。『不等号 ＜ で、具体的な すぐ右がどうの、左がどうの は、不要！ｗ』なら
お前は初めから『ωの1つ前の序数を答える事が出来なかった』わけだからな｡
俺ら素人が何気無く扱う数学、だが数学者歴々は、お前の定義域指定みたいな抜け作が無い様に
公理系作りをして行って数学の厳正精確緻密細分化ぶりを高め深めて来たんだよ｡
ωの1つ前の序数を答えられる事を欠いて、数列番号範囲指定も、序数
761:集合列範囲指定も、完成しない｡ 残念ながら、お前の『k=1,∞』範囲指定は、数列番号版にしても、序数集合版にしても、抜け作、手落ち｡ おらセタ爺、問題を簡単にしてやるよ。『超限序数ωの1つ前の序数を答えよ』だから『超限序数ωの-1の序数を答えよ』だ｡ おら答えろよセタ爺。例え存在しない物でも『あると考える数学があってもいい！ｗ』と考えるのが セタ爺お前の言う『多様性を重んじる21世紀の数学』ならぬ『ミソもクソも一緒数学』だろ？ 多様性論は寧ろ厳正精確緻密細分化だからな。お前の『有限と無限を一緒くた』にする『ミソもクソも一緒数学』とは違う｡
762:１３２人目の素数さん
22/01/30 23:31:32.04 dinVA2/U.net
>>684 補足の補足
なんか、おサル>>7の落ちこぼれは
自然数の集合N＝ωが分かってないね
１．各自然数∀ｎ∈Ｎは有限。つまり極限順序数を含まない。が、列 1,2,・・ は可算無限長（Nの濃度は可算無限）
即ち、列 1,2,・・ はエンドレス無限
∀ｎ∈Ｎで、ｎは有限だが、列 1,2,・・ が可算無限長になることは、矛盾しない！！ｗ
これが、理解できていないんだな、きっとｗ
２．現代数学では、エンドレス無限をコンパクト化する（エンドを追加する）ことができる
例えば、ω∪{ω}とすれば良い。列 1,2,・・,ωができる
列 1,2,・・,の部分は可算無限長だから、列 1,2,・・,ωも可算無限長になる
普通に 不等号 < で全順序だから 列 1<2<・・<ωと書けて 列長さ可算無限長は不変
これが分からないんだねｗ
なんだかね
可算無限長列 1,2,・・,n,・・ で
常に前半部分の列 1,2,・・,nの長さは有限ｎであって、常に後半部分の列 n,・・ の長さが可算無限長となる
これが理解できないんだねｗ
なんだかねｗｗｗ
763:１３２人目の素数さん
22/01/31 00:06:15.91 BTa9xoAM.net
>>698 > 列 1,2,・・,の部分は可算無限長だから、列 1,2,・・,ωも可算無限長になる
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。｡ ｡ 。。ﾟ
。 ｡｡゜。ﾟ｡。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
ｽﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟｰﾝ!!!!!
+ ,, * +
" ＋※" + ∴ * ※ *
* * +※ ﾞ* ※ * ＋
+ "※ ∴ * + * ∴ +
* ※"+* ∵ ※ *"
( Д ) Д)Д))
SetA爺は最早、無間地獄行きでさえない、地獄道界からも落ちた外道界行きじゃぁあああ！
764:１３２人目の素数さん
22/01/31 02:54:40.71 J8Pf6tN4.net
>>698
>普通に 不等号 < で全順序だから 列 1<2<・・<ωと書けて 列長さ可算無限長は不変
<ωの左隣は何？
765:１３２人目の素数さん
22/01/31 07:04:04.52 .net
>>698
＞なんか、お●●の落ちこぼれは
＞自然数の集合N＝ωが分かってないね
自然数の集合N＝ωが分かってないのは
ナニワの中卒🗾🐒の貴様だよｗ
＞１．各自然数∀ｎ∈Ｎは有限。つまり極限順序数を含まない。
＞が、列 1,2,・・ は可算無限長（Nの濃度は可算無限）
＞即ち、列 1,2,・・ はエンドレス無限
＞∀ｎ∈Ｎで、ｎは有限だが、
＞列 1,2,・・ が可算無限長になることは、矛盾しない！！ｗ
だったら、有限重シングルトンの全体が
無限集合になることも矛盾しない
無限集合だから、無限重シングルトンがある
というナニワの中卒🗾🐒の🐎🦌発言 自ら否定ｗ
これが、理解できていないんだな 明らかにｗｗｗ
＞２．現代数学では、エンドレス無限をコンパクト化する
＞（エンドを追加する）ことができる
＞例えば、ω∪{ω}とすれば良い。列 1,2,・・,ωができる
＞列 1,2,・・,の部分は可算無限長だから、
＞列 1,2,・・,ωも可算無限長になる
＞普通に 不等号 < で全順序だから
＞列 1<2<・・<ωと書けて 列長さ可算無限長は不変
現代数学でも、ノンコンパクト集合は存在しますが何か？
Ｎは順序位相でノンコンパクトですが何か？
どういいつくろってもＮにωは入ってませんが何か？
これが分からないんだねｗ 🐎🦌だねｗｗｗｗｗ
＞可算無限長列 1,2,・・,n,・・ で
＞常に前半部分の列 1,2,・・,nの長さは有限ｎであって、
＞常に後半部分の列 n,・・ の長さが可算無限長となる
そんなこといくらいっても、
「後半に必ずωがあるんだもん」
という証明にはなりませんが何か？
これが理解できないんだねｗ 白痴だねｗｗｗｗｗｗｗ
766:１３２人目の素数さん
22/01/31 07:43:14.97 XXKH210d.net
>>641 補足
179 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/06/17(木) 11:25:31.78 ID:1ixenOss [3/10]
>>178
上昇列の定義を確認したかったが見つからなかったので、自分で考えてみたが、
インデックス集合をIとして∀i,j∈I i≦j⇒ai≦ajが成り立つことかと思った
この場合、I={0, …, ω}から任意に2元i,jを取ってくると、i≦j⇒i=ai≦aj=jは自明に成り立つので、
a:{0, …, ω}→{0, …, ω}でa(x)=xとなる列は上昇列になるかなと
(引用終り)
ここ、下記の英文wikipediaに定義ある
上記の定義で合っている
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Sequence
2.3 Increasing a
767:nd decreasing A sequence is said to be monotonically increasing if each term is greater than or equal to the one before it. For example, the sequence (a_n)_{n=1}^{∞} is monotonically increasing if and only if an+1 ≧ an for all n ∈ N. If each consecutive term is strictly greater than (>) the previous term then the sequence is called strictly monotonically increasing. A sequence is monotonically decreasing, if each consecutive term is less than or equal to the previous one, and strictly monotonically decreasing, if each is strictly less than the previous. If a sequence is either increasing or decreasing it is called a monotone sequence. This is a special case of the more general notion of a monotonic function. The terms nondecreasing and nonincreasing are often used in place of increasing and decreasing in order to avoid any possible confusion with strictly increasing and strictly decreasing, respectively.