Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64at MATH

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64 - 暇つぶし2ch567: ）順序集合Aの元の列(an)n∈Nで，a1<a2<…<an<…となるものをAにおける昇鎖という．これと相対的にAにおける降鎖が定義される． Aが全順序集合であるとき，Aが整列集合であるための必要十分条件は，Aにおいて降鎖が存在しないことであることを示せ．存在を追え！証明（⇒） Aが整列集合で，Aにおいて降鎖が存在すると仮定する．このとき，Aの元の列(an)n∈Nで， a1>a2>…>an>… となるものが存在するが，{an}n∈Nには最小元が存在せず，矛盾である．（←） Aが整列集合でないならばAにおいて降鎖が存在することを示す（対偶）．仮定により，Aは整列集合でないから￢(Aが整列集合) 　↓↑ ￢(空でない任意の部分集合が最小元をもつ) 　↓↑ ￢(M≠Φ,M⊂A⇒Mは最小元をもつ) 　↓↑ ∃M[M≠Φ,M⊂A,Mは最小元をもたない…(*)] ￢(Mが最小元をもつ) 　↓↑ ￢(∃a∈M∀x∈M[a?x]) 　↓↑ ∀a∈M∃x∈M[x<a]…(**) したがって(*)を満たすMが存在する．このMの任意の元aに対して，(**)により，x<aとなるx∈Mが存在する．そこで，Mの元を任意に1つとり（これをa1とおく），それに応じて定まる（x<a1を満たす）x∈Mをa2とおくと a2<a1 となる．さらにこのa2∈Mに対して，再び(**)により，上と同様にx<a2となるx∈Mが存在する．これをa3とおけば， a3<a2 が成り立つ．これを繰り返してAの元の列(an)n∈Nを定めれば，これが示すべきものとなる．証明終 (引用終り) 以上

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