22/01/23 22:08:03.39 IRvY/cUL.net
>>411 追加
(引用開始)
松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968）
このP105 問題の2に
昇鎖の定義がある
順序集合Aの要素からなる列 (an)n∈N（＝自然数）で、a1<a2<・・<an<・・
となるものを昇鎖という
降鎖は、この列の不等号が逆で、a1>a2>・・>an>・・
これ以外に、単なる列がある
この3つの差
(引用終り)
答えを書く
A）松坂和夫の昇鎖の定義を分解すると、1）順序集合A、2)Aの部分集合の要素 (an)n∈N（＝自然数）、3)全順序列 a1<a2<・・<an<・・
の3つの要素がある（順序の ”<” は、大前提とする）
B)降鎖も同様に、3つの要素があり、全順序列 a1>a2>・・>an>・・ となる点のみが、昇鎖と異なる
C)単なる列は、要素は1つで、列のみ。例えば、・・・,n1,n2,・・・,z1,z2,・・,q1,q2,・・・・,r1,r2,・・ （これは、数直線Rからランダムに数を選んで並べた列で、大小はランダム。列長さは連続濃度まで可）
分かるかな？
・A）B)には、始点のa1がある。列の長さのMaxは、N（＝自然数）で制限される
・対してC)は、数直線Rからランダムに数を選ぶとして、半開区間(0,1}で、1/n n∈N で列を作れば、・・1/n・・,1/2,1 の列ができる
半開区間(1,2}で、1+1/n n∈N で列を作れば、・・1+1/n・・,1+1/2,1+1=2 の列ができる
二つの列を直列すれば、・・1/n・・,1/2,1,・・1+1/n・・,1+1/2,1+1=2 となる列ができる
列の長さは、2ωになる。全順序の増加列だが、 定義(an)n∈Nから外れるので、松坂和夫の昇鎖の定義から外れる
が、・・<1/n<・・<1/2<1<・・<1+1/n<・・<1+1/2<1+1=2 と書いても間違いではない！ｗｗ