22/02/13 22:00:40.43 5atzqbN6.net
>>969
君君
1021:１３２人目の素数さん
22/02/13 22:30:01.44 Fi/By+9P.net
まぁ
Σ[k=1,n^2] sin(π√k)
> 0 ( if n : odd)
<0 ( if n : even )
示すんだろな
どうやろう？
1022:１３２人目の素数さん
22/02/13 22:55:20.85 Fi/By+9P.net
できた
f(x) = sin(π√x)とおく
オイラーマクローリンより
Σ[k=0,n^2]f(k)
= f(0)/2 + f(n^2)/2 + ∫[0,n^2]f(x)dx
+ ∫[0,n^2](x-[x]-1/2)f'(x)dx
= (-1)^n/2 + 2/π (-1)^(n-1) n +R(n^2)
ただし
R(x)
= ∫[0,x](x-[x]-1/2)f'(x)dx
であり|x-[x]_1/2|≦1/2より
|R(x)|≦∫[0,x] π/(4√x)dx=π√x/2
∴Σ[k=0,n^2]f(k)>0 ( if k odd )
<0 ( if k even )
1023:１３２人目の素数さん
22/02/13 23:03:20.12 Fi/By+9P.net
でもここから先もそんな自明ではないな
しかし受験数学の範囲内縛りだとかなりしんどいな
1024:１３２人目の素数さん
22/02/13 23:11:29.23 EPYFiJwx.net
この場合オイラーマクローリンは証明なしに認めていいでしょうか
1025:１３２人目の素数さん
22/02/13 23:13:23.15 Fi/By+9P.net
いや、オイラーマクローリンのとこだけか、受験数学縛りでしんどいのは
符号変化だけ示しとけば符号変化する瞬間全体値が1/√n近辺しか変化しないから後は容易だわな
オイラーマクローリンもそんな証明難しい訳ではないから後は調べてねで終わりか
1026:１３２人目の素数さん
22/02/13 23:13:48.75 Fi/By+9P.net
>>986
ダメやろ
そこ含めて宿題やろ
1027:１３２人目の素数さん
22/02/13 23:47:57.79 ZLtUTfMz.net
|R(x)|≦π√x/2 により、｜R(n^2)｜≦ (π/2)n
また、2/π (-1)^(n-1) n の係数である (2/π) は (2/π) ＜ (π/2) を満たしている。
よって、>>984だと符号変化がきちんと言えてない気がする。
1028:１３２人目の素数さん
22/02/13 23:49:10.59 ZLtUTfMz.net
f ' で止める方のオイラーマクローリンじゃなくて、f ' ' まで使う方のオイラーマクローリンを使えば、
符号変化とか考えることなしに一発で終わる(まあ符号変化に拘っても行けるけど)。
無論、「 f ' ' までのオイラーマクローリンの証明」が(高校縛りなら)別途必要になるが。
想定解がどういうものなのかは気になる。
1029:１３２人目の素数さん
22/02/14 00:15:34.88 z8q70iXP.net
>>989
積分値はπ/2n、誤差項はπ/4なので積分値の方の符号で決まる
1030:１３２人目の素数さん
22/02/14 00:20:33.64 z8q70iXP.net
おっと、値間違えた
ともかく誤差項の方は積分値の方の半分しかない
wikiで言うところのm=0で止めてるのはそれ以上やるとベルヌーイ数足すとこの寄与も出てきてめんどくさい
以外にオイラーマクローリンは展開を深くやっても良いことないことが多い
やってないからわからんけど
1031:１３２人目の素数さん
22/02/14 00:32:31.90 JV+gYgrS.net
>>992
何も面倒くさいことはない。f ' ' まで使うオイラーマクローリンだと、
∫[0,n^2](x-[x]-1/2)f'(x)dx
の部分がさらに分解されて、n のオーダーがより精密に求まる。
その結果、符号変化なんて必要なくなる(というより、符号変化が自明になる)。
まあ、f ' のままでも符号変化がきちんと制御できるなら、それでいいけど。
1032:１３２人目の素数さん
22/02/14 00:51:49.70 z8q70iXP.net
>>993
やってみせて下さい
1033:１３２人目の素数さん
22/02/14 01:11:48.45 VgkzDjH9.net
>>920, >>923
ありがとうございます！
単純に20×1/2=10回、て話じゃないんですね。。。
1034:１３２人目の素数さん
22/02/14 01:17:28.87 GSOgdRqd.net
アホとバカの言い争いはやっと終わったのか？
1035:１３２人目の素数さん
22/02/14 01:17:48.25 GSOgdRqd.net
埋め
1036:１３２人目の素数さん
22/02/14 01:18:04.69 GSOgdRqd.net
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1037:１３２人目の素数さん
22/02/14 01:18:22.15 GSOgdRqd.net
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