21/12/25 23:48:04.93 tw+0E7O3.net
過去スレ
1 //cheese.2ch.sc/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.2ch.sc/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.2ch.sc/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.2ch.sc/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.2ch.sc/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.2ch.sc/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.2ch.sc/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.2ch.sc/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.2ch.sc/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1356149858/
3:１３２人目の素数さん
21/12/25 23:49:24.35 tw+0E7O3.net
過去スレ (続き)
21 //wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1572866819/
31 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1586230333/
33 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1598637093/
34 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1608679703/
35 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1614399625/
36 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1622242743/
37 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1624644393/
38 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1629715580/
39 //rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1633923732
4:１３２人目の素数さん
21/12/25 23:51:12.18 tw+0E7O3.net
俺が立てると言っておきながら規制で2日間も立てられなかった
申し訳ない
5:１３２人目の素数さん
21/12/25 23:55:01.03 tw+0E7O3.net
スレタイは前スレで言ったように、タイトルに数学を入れさせてもらった
6:１３２人目の素数さん
21/12/26 00:02:25.70 sHS00mFY.net
>>1 乙 テンプレもいい感じ
ではさっそく
実関数 f:R→R であって任意の実数 x,y について
f(x-y) = f(x)f(y) + sinx*siny
を満たすものを全て求めよ
7:１３２人目の素数さん
21/12/26 00:56:06.58 KJse5/GP.net
>>1 乙
8:１３２人目の素数さん
21/12/26 01:11:30.44 6fUfzKHA.net
>>6
f=cosx
9:１３２人目の素数さん
21/12/26 07:04:10.62 08zORs9/.net
f(π/2) = f(π/2)f(0) (∀x), f(0) = f(π/2)^2+1
∴ f(0) = 1 , f(π/2)=0
∴ f(x) = f((x+π/2) - π/2) = sin(x+π/2) = cos(x)
10:１３２人目の素数さん
21/12/26 07:16:50.00 6nKtf0PS.net
>>6
f(x)を定数だとすると sinx * siny が定数になるので矛盾
f(x) = f(x)f(0) なので f(0) = 1
f(x)^2 = f(x - x) - sin^2 x
= 1 - sin^2 x
= cos^2 x
-cosx は不適なので f(x) = cosx
類題もどき。
以下の条件を満たすときのf: R -> R, g: R -> Rの性質について調べよ
1. f(x - y) = f(x)f(y) + g(x)g(y)
2. ∃s > 0 s.t. (f(s) = 1 かつ ∀x ∈ [0, s] g(x) >= 0)
11:１３２人目の素数さん
21/12/26 08:06:04.98 sHS00mFY.net
>>9
おお、そんな方法が…正解です
>>10
厳密には f(x)=|cosx| 等の可能性も排除する必要あるから満点は出しにくいけど、
まあ正解出てるし修正も面倒じゃないだろうからOKかな…
ちなみに自分は f(0)=1, f(x)^2=cos^2 x, fが偶関数であることまで出たところで
f(x) = f(x/2-(-x/2)) = cos^2(x/2)-sin^2(x/2) = cosx
とするのを想定してました
12:１３２人目の素数さん
21/12/26 11:29:52.02 sFRnX62i.net
某大学の入試問題
結構鬼畜
てか高校で複素変数複素数値関数の概念扱わないだろう
【問】 f( x) は複素数平面全体で定義された関数であり，以下の条件(N)を満たすものとする．
＊条件(N)： Re( f( z) f (w ) )‾ )= Re (z w‾ ) が任意の複素数 z ， w に対して成り立つ．
（但し，複素数 α に対して， Re�α は α の実部を， α‾ は α の共役複素数を表す．）
(1) 複素数 z の絶対値が 1 ならば， f( z) の絶対値も 1 であることを証明せよ．
(2) 以下の等式を証明せよ．
(a) 任意の複素数 z ， w に対して f (z +w) =f( z)+ f( w) が成り立つ．
(b) 任意の実数 r と任意の複素数 z に対して f (r �z) =r�f ( z) が成り立つ．
(3) 絶対値が 1 の複素数 α を用いて，
f( z)= a�z または f (z )=a �z‾
と表せることを証明せよ．
13:１３２人目の素数さん
21/12/26 11:32:09.29 sFRnX62i.net
スペースが文字化けした
14:けど � は無視して下さい
15:１３２人目の素数さん
21/12/26 14:55:58.68 ivcj9cBc.net
z=rcis(θ),w=scis(φ),f(z)=r'cis(θ'),w='scis(φ')
のとき
LHS = r's'cos(θ'-φ')
RHS = rscos(θ-φ)
r=0である場合RHSはwについて恒等的に0だからLHSも任意の(s,φ)について0となる必要があり、よってf(0)=0
またr=s,θ=φのときr'=s', θ'=φ'でありr^2=r'^2
よって|z| = |z'|
さらに∠z0w = ∠z'0w'である
g(z)=f(z)/f(1)とおけばg(z)も同じ条件を満たすがこの時さらにg(1)=1
∠i01 = ∠g(i)0g(1), |g(i)| = 1によりg(i) = ±i
前者のときh(z)=g(z), 後者のときh(z) = g(z)^とすればh(x)も同じ性質を有しh(1)=1,h(i) =iである
この時任意のz≠0に対して
|h(z)| = |z|
∠z01 = ∠h(z)01
∠z0i = ∠f(z)0i
によりh(z) = z
16:１３２人目の素数さん
21/12/26 16:10:07.06 5VnkCav4.net
>>12
(1) w＝z とすれば｜f(z)｜^2＝｜z｜^2となるので、｜f(z)｜＝｜z｜である。
特に｜z｜＝1のとき、｜f(z)｜＝1 である。
(2) a,b∈C に対して｜a＋b｜^2＝｜a｜^2＋｜b｜^2＋2Re(a \bar{b}) であり、
右辺には Re(a\bar{b}) という項が出現している。この項を利用すると、z,w∈C と r∈R に対して
｜f(z＋w)－f(z)－f(w)｜^2 ＝ …(地道に全て展開)… ＝ 0,
｜f(rz)－rf(z)｜^2 ＝ …(地道に全て展開)… ＝ 0
が示せて、(a),(b)が成り立つ。
(3) x,y∈R に対して f(x＋iy)＝f(x)＋f(iy)＝xf(1)＋yf(i) なので、
f(1)とf(i)の値を詳しく見ればよい。
f(1＋i)＝f(1)＋f(i) なので、｜f(1)＋f(i)｜＝｜f(1＋i)｜＝｜1＋i｜＝√2 である。
また、｜f(1)｜＝1＝｜f(i)｜なので、f(1)＝e^{ia}, f(i)＝e^{ib}, a,b∈R と表せる。
よって、｜e^{ia}＋e^{ib}｜＝√2 である。両辺を2乗すると、2＋2Re(e^{i(b－a)})＝2 なので、
Re(e^{i(b－a)})＝0 となり、e^{i(b－a)}＝±i となる。
e^{i(b－a)}＝iのときは、x,y∈R に対して f(x＋iy)＝xf(1)＋yf(i)＝e^{ia}(x＋iy) となる。
これは f(z)＝e^{ia}z (z∈C) を意味する。
e^{i(b－a)}＝－iのときは、x,y∈R に対して f(x＋iy)＝xf(1)＋yf(i)＝e^{ia}(x－iy) となる。
これは f(z)＝e^{ia} \bar{z} (z∈C) を意味する。
17:１３２人目の素数さん
21/12/26 18:56:15.30 G0BbmZF6.net
URLﾘﾝｸ(imepic.jp)
18:１３２人目の素数さん
21/12/26 18:56:24.93 ipJYWcmG.net
>>12
これは誘導無視して（3）を単独で解いたら（1）（2）は自明やね
19:１３２人目の素数さん
21/12/26 19:39:04.68 MtCSJ91m.net
毎回湧いてくるバカのためにわざわざスレタイに数学を入れなきゃならんとは
20:１３２人目の素数さん
21/12/26 22:04:41.68 Ini2anRA.net
勝手にスレタイを変えるなよ
いまさら変えても意味ないやろ
21:１３２人目の素数さん
21/12/26 22:04:59.38 sFRnX62i.net
>>17
どこかで見た(3)を直接示す解法
{ w f(z)－z f(w) } { w‾ f(z)－z‾ f(w) } = 0
を示す
こんなん思いつく訳ないわ
22:１３２人目の素数さん
21/12/26 22:08:06.00 LCDqRPw5.net
ゆとりが始まる前の世代なら
A(z),B(w)のとき
OA→•OB→＝re(zw^)
は受験の必須公式だったんだけどな
23:１３２人目の素数さん
21/12/26 23:06:47.09 Fh2z24BT.net
次の条件を満たす二次元平面上の図形は何か？
(1)図形の全ての長さは有限
(2)二次元平面上のどの円(半径、中心は自由)内とも図形との共通部分があり、かつその円内での図形の長さは0より大きい
24:１３２人目の素数さん
21/12/26 23:24:27.34 5VnkCav4.net
うおおお>>6が一般化できた。
f,g：R → R は写像で、g(0)＝0 かつ f(x－y)＝f(x)f(y)＋g(x)g(y) (∀x,y∈R) とする。
このとき、f(x)＝g(x)＝0 (∀x∈R) または f(x)＝1－2g(x/2)^2 (∀x∈R) であることを示せ。
25:１３２人目の素数さん
21/12/26 23:30:01.65 bYYs/dsF.net
>>23
それどころか[0, 2π]の加算個の点でf(x) = cos(x)となることが証明できる
26:１３２人目の素数さん
21/12/26 23:30:33.34 bYYs/dsF.net
*加算無限個の点
27:１３２人目の素数さん
21/12/27 00:12:52.03 RLCBegf6.net
>>24-25
それは必ずしも成り立たない。f(x) ＝ cos(3x), g(x) ＝ sin(3x) のとき、
f,g：R → R, g(0)＝0, f(x－y)＝f(x)f(y)＋g(x)g(y) (∀x,y∈R)
が成り立つことが確かめられるが、
f(x) ＝ cos(x) となる x は [0,2π] の範囲に有限個しかない。
28:１３２人目の素数さん
21/12/27 00:35:16.17 Y6GwOFls.net
>>23
同じ仮定で任意のx,yについて g(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(y) が出せるな
あとは F(x)=f(x)+ig(x) と置いてごにょごにょしたら色々導けそう
29:１３２人目の素数さん
21/12/27 06:24:55.38 dee73DLH.net
これは数字が現れないけど、広義の数学の問題なのか？
まあ、面白いと感じるかどうかは個人差があるだろうけど。
某女子大には決して嘘をつかない女子大生と必ず嘘をつく女子大生がいることがわかっている。
この女子大の学生（嘘つきかどうかは不明）から
「あなたのいうことが正しければ手コキかフェラをしてあげる、間違っていれば何もしてあげない」と言われた。
女子大生にフェラをしてもらうには何と言えばいいか？
30:１３２人目の素数さん
21/12/27 06:28:16.06 dee73DLH.net
(1) サイコロを100個振ったときの目の和が100である確率を求めよ。
(2)サイコロを100個振ったときの目の和が101である確率を求めよ。
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が102である確率を求めよ。
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が期待値になる確率を求めよ。
サイコロの目のでる確率はどの目も完全に等しいというのは現実離れした想定であるので、いずれも概算値でよい。
31:１３２人目の素数さん
21/12/27 09:02:16.78 YtemeARj.net
>>16
△ABCの内心をI、AIとIにおいて直交する直線とAB,ACの交点をD,Eとする
BD=2,CE=3であるときDEを求めよ
32:１３２人目の素数さん
21/12/27 09:11:33.15 dIw+jcTN.net
やっぱりスレタイ変えた程度じゃ無駄だったね
33:１３２人目の素数さん
21/12/27 09:20:24.53 2qfEh3DC.net
スレタイ無視の荒らしは運営に通報した方がいいな
34:１３２人目の素数さん
21/12/27 12:31:50.10 sQZhwpNd.net
((x))をxの小数部分とする
∫_0^1 ((1/x)) dx を求めよ.
35:１３２人目の素数さん
21/12/27 12:54:39.97 RLCBegf6.net
>>27の指摘をもとに、更なる一般化。
f,g：R → R は写像で、g(0)＝0 かつ f(x－y)＝f(x)f(y)＋g(x)g(y) (∀x,y∈R) とする。
このとき、次の(i),(ii)のうちいずれかが成り立つことを示せ。
(i) f(x)＝g(x)＝0 (∀x∈R) である。
(ii) ある写像 θ：R → R が存在して、θ(0)∈Z, θ(x＋y)－θ(x)－θ(y)∈Z (∀x,y∈R),
f(x) ＝ cos(2πθ(x)), g(x) ＝ sin(2πθ(x)) (∀x∈R) である。
また、(ii) が成り立つ場合、f(x)＝1－2g(x/2)^2 (∀x∈R) が成り立つことを示せ。
36:１３２人目の素数さん
21/12/27 13:44:08.39 REGf6dBj.net
>>33
Σ[k=1,N]∫[1/(k+1),1/k](1/x-k)dx
=log(N+1) - Σ[k=1,N]1/(k+1)
→1-γ
37:１３２人目の素数さん
21/12/27 14:30:54.42 sQZhwpNd.net
>>35
素晴らしい
正解です
38:１３２人目の素数さん
21/12/27 14:31:51.42 dbdDCsGM.net
サイコロをn個(nは偶数)投げて出た目の和が期待値になる確率は
n=2のとき0.167
n=4のとき0.113
n=6のとき0.0928
n=8のとき0.0809
確率が5％未満になるのはnがいくつ以上のときか？
39:１３２人目の素数さん
21/12/27 14:33:20.07 dbdDCsGM.net
期待値という名称は誤解を招く命名だと思う。
期待したのに期待外れだから。
40:１３２人目の素数さん
21/12/27 14:37:03.26 dbdDCsGM.net
有意水準とか危険率だと５％以下だと稀な現象と判断する。
＞サイコロを100個振ったときの目の和が期待値になる確率を求めよ。
期待値というから稀じゃないと思って期待したら期待外れだった。
41:１３２人目の素数さん
21/12/27 15:00:27.38 dbdDCsGM.net
ある幼稚園で、砂場で遊んでいたA,B,C,D 部屋で遊んでいたE,F,Gの７人の中に、
逆上がりができる子が２人いることが分かっている。
そこで、A～Gに尋ねたところ、それぞれ以下の発言をした。
ただし、７人うち、本当のことを言っているのは２人だけで、あとの５人は間違ったことを言っていた。これらのことから確実にいえるのはどれか。
A：Bは逆上がりできるよ。
B：Aは間違ったことを言っているよ。
C：AもBも２人とも間違ったことを言っているよ。
D：砂場で遊んでいた子の中には逆上がりできる子はいないよ。
E：私は逆上がりできない。
F：逆上がりができるのは２人とも砂場で遊んでいた子だよ。
G：EとFの少なくともどっちかは本当のこと言っているよ。
42:１３２人目の素数さん
21/12/27 15:14:24.42 q+xi89c3.net
>>38
アンタ期待値もわかってないなら出てってくれる？
43:１３２人目の素数さん
21/12/27 16:51:23.05 coS87QM8.net
数学って書いてるのに論理パズルが出たぞ
44:イナ
21/12/27 17:11:28.35 RbkoMXJU.net
>>29
(1) サイコロを100個振ったときの目の和が100である確率は1/6^100
(2)サイコロを100個振ったときの目の和が101である確率は100/6^100=25/(3^2・6^98)=25/(9・6^98)
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が102である確率は(100+9900)/6^100=(2^2・5^2)/(2^100・3^100)=25/(2^98・3^100)
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が期待値350である確率は365である確率よりは高い。
45:イナ
21/12/27 17:24:53.32 RbkoMXJU.net
前>>43
>>40
BとEは逆上がりができるんじゃないかなぁ？
先生の気持ち的に。
46:１３２人目の素数さん
21/12/27 17:41:03.46 pXlgmPDx.net
>>40
正直者：BD
逆上がり可能：EF or EG
47:１３２人目の素数さん
21/12/27 18:04:30.30 Oxd4yvSC.net
3柱の神様A、B、Cは、それぞれ誰かが真神、偽神、乱神です。真神は必ず真実の答えを、偽神は必ず嘘の答えを言いますが、乱神が真実を答えるか嘘を答えるかは完全にランダムです。あなたは3つのイエスかノーかで答える質問をして、A、B、Cの正体（真神か偽神か乱神）を決めてください。1つの質問には1柱の神様しか答えてくれません（こちらで質問先A、B、Cの指定は可能）。神様は私たちの言葉を理解しますが、返答は私たちの言葉ではなく、神の言葉「Da」と「Ja」で返します。DaとJaのどちらがイエスでどちらがノーを意味するかは分かりません。
48:１３２人目の素数さん
21/12/27 18:13:21.66 dIw+jcTN.net
やっぱりスレタイ変えた程度じゃ無駄だったね
49:１３２人目の素数さん
21/12/27 18:14:11.88 pXlgmPDx.net
失せろ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
50:１３２人目の素数さん
21/12/27 18:36:28.88 Oxd4yvSC.net
>>48
そうだけどなんでそんなに怒るん？
ちゃんとした数学と問題だと思うけど？
51:１３２人目の素数さん
21/12/27 19:14:04.61 dbdDCsGM.net
高級アルコールとか、複雑骨折とかも誤解を招く用語である。
52:１３２人目の素数さん
21/12/27 19:51:38.95 dbdDCsGM.net
>>30
複素平面上に作図
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
計測すると
> abs(D-E)
[1] 4.898979
おまけ
> abs(A-D)
[1] 2.830646
> abs(A-I)
[1] 1.418647
> abs(A-E)
[1] 2.830646
> abs(B-C)
[1] 9.239314
53:１３２人目の素数さん
21/12/27 19:56:12.27 Oxd4yvSC.net
>>51
問題の意味もとれてないねぇ
54:１３２人目の素数さん
21/12/27 20:00:21.98 dbdDCsGM.net
>>46
神どおしはお互いの正体を知っているという前提でしょうか？
55:１３２人目の素数さん
21/12/27 20:04:08.76 dbdDCsGM.net
サイコロをn個(nは偶数)投げて出た目の和が期待値になる確率は
n=2のとき0.167
n=4のとき0.113
n=6のとき0.0928
n=8のとき0.0809
確率が5％未満になるのはnがいくつ以上のときか？
56:１３２人目の素数さん
21/12/27 20:06:41.24 Oxd4yvSC.net
>>53
答え貼られた問題になんでいつまでも固執するん？
そういうのが迷惑なんだよ
57:１３２人目の素数さん
21/12/27 20:11:25.17 Oxd4yvSC.net
全前スレでアホにながされた問題
平面上のPL-Jordan閉領域Dの境界J=∂D上に4点をとりJを4つの閉線分にわけて正の向きに順にR,T,L,Bとする
Jordan経路PがL∩P≠φ、R∩P≠φを満たすときPはDを横断すると呼び、T∩P≠φ、B∩P≠φを満たすときPはDを縦断すると呼ぶとする
Dのその２つのPL部分集合による被覆D=X∪Yを取る
このときXがDを横断する経路を持つか、またはYがDを縦断する経路を持つかのいずれかが成立する事を示せ
58:１３２人目の素数さん
21/12/27 20:15:12.64 dbdDCsGM.net
>>43
乱数発生させて実験した結果
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
和が350になった割合
> mean(y==350)
[1] 0.0232915
和が365になった割合
> mean(y==365)
[1] 0.0159091
59:１３２人目の素数さん
21/12/27 20:16:22.11 dbdDCsGM.net
>>55
まずは、自分で考えたいから
60:１３２人目の素数さん
21/12/27 20:22:00.64 Oxd4yvSC.net
>>58
自分で考えるのは勝手にすればいい
それをここに書くからみんな迷惑するんだよ
一生懸命数学の勉強して、実力つけて、それなりに面白い問題頑張って作って答えも用意して、それがそういうしょうもない、くっだらないレスにどんどん流されて言ってる時の気持ちわかる？
自分がどれだけ数学的になんの意味もない迷惑なだけのレスを貼り続けてるかわからんの？
時にはすごい面白い名作が並んでるのわかる？
みんなそれをどれだけ頑張って準備してるのか想像できんの？
61:１３２人目の素数さん
21/12/27 21:20:49.36 qrmsh/Ag.net
>>58
ハウス！
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板)
62:１３２人目の素数さん
21/12/28 00:58:15.66 LoE9TaIF.net
～このスレの皆さんへ～
現在、無意味なプログラムを書き込む悪質な荒らしが常駐しています
通称｢プログラムキチガイ｣｢害悪プログラムおじさん｣は医療・医者板にいる尿瓶、脳内医者と呼ばれている荒らしです
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板)
数学Iの三角比の問題や中学数学の平面図形の問題でさえ手計算では解けずに
わざわざプログラムで解くような人物です
二項分布の期待値npすら知らないレベルです
かなり低レベルの数学の問題もどきを出題してマウントを取りに来ます
下ネタが大好きです
63:１３２人目の素数さん
21/12/28 05:54:59.28 wS7aPNDN.net
>>41
期待という日本語にはpositiveな含蓄がある。期待される人間というと没落が期待されてはいないと思う。
hot waterに違和感はないが熱い水というのは違和感を覚える。
expcted lossを期待損失と訳すのは熱い水と同じ違和感を感じる。
こうのが理解できない気の毒な頭のようである。
64:１３２人目の素数さん
21/12/28 06:01:12.00 wS7aPNDN.net
>>59
面白いと考えた人が、サイコロを100個振ったときの目の和とか論理パズルにレスしてんじゃないの？
>30の問題って数学的に何か意味があんの？
俺は解くのが面白いから作図して計測した。
まあ、プログラムで方程式の数値解を出して座標を計算して長さを計測するというのをやっただけだが。
65:１３２人目の素数さん
21/12/28 06:02:51.08 wS7aPNDN.net
>>57
ワクワク期待していたのに、期待どおり（期待値どおり）になる頻度が２％とは期待外れと体感できた。
66:１３２人目の素数さん
21/12/28 06:46:28.78 wS7aPNDN.net
脱字補充
>>41
期待という日本語にはpositiveな含蓄がある。期待される人間というと没落が期待されてはいないと思う。
hot waterに違和感はないが熱い水というのは違和感を覚える。
expected lossを期待損失と訳すのは熱い水と同じ違和感を感じる。
こういうのが理解できない気の毒な頭のようである。
67:１３２人目の素数さん
21/12/28 06:54:05.58 6cL0voRz.net
>>63-65
専用のスレを作ったので、
今後、そういう問題は以下のスレに書き込んでください。
数値解析の問題を書き込むスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
＞主に数値解析を中心とする問題を紹介して解き合うスレです
＞
＞数学的な厳密解が求まりそうになく、
＞プログラム・シミュレーション等で概算値を出せれば十分、
＞という問題が中心となります
＞
＞ただし、普通の数学の問題もＯＫ
68:１３２人目の素数さん
21/12/28 08:01:29.73 LoE9TaIF.net
>>65
スレタイも読めない気の毒な頭のようである
69:１３２人目の素数さん
21/12/28 08:39:15.56 4kktpeCR.net
>>63
そういう言い訳もいらん
お前自分で数学の勉強した記憶ないやろ？
数学勉強してるした人間が何を面白いと思うのか、何が参考になるのかなんかお前みたいな能無しのカスにわかるわけないやろ？
黙ってロムっとけ
能無し
70:１３２人目の素数さん
21/12/28 08:59:53.61 KV1243AX.net
実関数f:R→Rであって任意の実数x,yについて
f(x+y)=f(x)cosy+f(y)cosx
を満たすものを全て求めよ
71:１３２人目の素数さん
21/12/28 11:23:11.25 wS7aPNDN.net
専門用語が一般用語のconnotationから外れる。
医学用語にはそういうのが多いな。合併症とか縫合不全とか術者の責任を回避するような用語がめだつと俺は感じている。
72:１３２人目の素数さん
21/12/28 11:29:49.36 LoE9TaIF.net
>>70
バカの文章はひらがながめだつなw
73:１３２人目の素数さん
21/12/28 11:31:09.86 9DyNMn+s.net
そういえばめちゃイケのテストで突然ひらがなが混じるのがバカの特徴みたいなこと言われてたなww
案外当たってるかも
74:１３２人目の素数さん
21/12/28 11:36:19.98 wS7aPNDN.net
>>68
こういうのが助言よりも罵倒を喜びとするクズ人間の典型。
75:１３２人目の素数さん
21/12/28 11:45:09.30 75OkJ5lL.net
>>73
特大ブーメラン
全部アンタのことだよそれ
76:１３２人目の素数さん
21/12/28 11:54:44.33 wS7aPNDN.net
さっそく罵倒厨がこういう投稿をしていて笑える
数学スレにはこういうのが多いね。
数値解析の問題を書き込むスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
5 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/12/28(火) 10:53:21.01 ID:V7fjP+Uc
>>1
よそでやれ
つまり、ここでやれとの「助言」だわなｗｗｗ
さて、ベンチタイムが終わったので成形して二次発酵にとりかかろう。
77:１３２人目の素数さん
21/12/28 11:58:55.19 75OkJ5lL.net
>>75
他の人はアンタの言動に失笑してるだけだと気づかないのが笑えるな
78:１３２人目の素数さん
21/12/28 12:04:05.53 KV1243AX.net
>>70
関係ない雑談の頻度が過ぎてると思うから雑談はこっちでやってね
雑談はここに書け！【６１】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
あと >>75 あんたの問題が統計スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
の方が適している事実は変わらないから今後はこっちに投稿すること
あんたの問題が面白くない（それにしつこい）と感じている人が大勢いるんだから
せめてコテつけてこっちが自衛できるようにするぐらいの配慮はしてよ
79:１３２人目の素数さん
21/12/28 14:26:33.91 QkgHFURT.net
連続関数f:R→Rついて、
任意のx＞0に対して、数列{f(x),f(2x),f(3x),...}が0に収束するとき、
lim(t→∞)f(t)=0を示してください.
80:１３２人目の素数さん
21/12/28 14:49:12.26 wwEbUN9p.net
それ昨日VIPで見たぞ
81:１３２人目の素数さん
21/12/28 15:08:48.73 QkgHFURT.net
>>79
ああ見てたのか
その場合は(・∀・)ﾆﾔﾆﾔでお願いします
82:１３２人目の素数さん
21/12/28 16:38:47.35 wwEbUN9p.net
(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ
83:１３２人目の素数さん
21/12/29 00:17:57.78 fiSnwSek.net
>>69
実数 z を任意に取り、x＝z－π/2, y＝π/2 として、
f(z)＝f(z－π/2)cos(π/2)＋f(π/2)cos(z－π/2)＝f(π/2)sin(z)
これが任意の z で言えるので、結局、ある λ∈R に対して
f(x)＝λsin(x) (∀x∈R) となる。逆に、このように表せる f は与式を満たす。
84:１３２人目の素数さん
21/12/29 00:51:58.85 it6W4Lm6.net
>>78
できた
閉集合Fnを
Fn = { x > 0 ; ∀m≧n |f(nx)|≦ε }
で定める
仮定により(0,∞) = ∪Fn である
ベールのカテゴリー定理により少なくとも一つのFnは内点を持たなければならない
(a,b)⊂Fnとする
n0>nを1+1/n0<b/aと選べば任意のm≧n0に対して(m+1)a<mbである
特に
∪[m≧n0](ma,mb) = (n0a,∞)である
よってx>n0aのときm>n0とy∈(a,b)をx=myと取れるがこの時|f(x)|=|f(my)|≦εである
85:１３２人目の素数さん
21/12/29 01:14:38.30 4SGrMrnF.net
数列問題
1,3,9,27,82,252,783,2457,？,24801,79596,256824,…
？を求めましょう
86:１３２人目の素数さん
21/12/29 07:42:29.67 ErlZeHnO.net
>>83
素晴らしいです お見事大正解
まさしく閉集合族F_nをそう置いてベールの範疇定理を使うのがミソでした
元ネタ
数学詳しいやつ来て！！！！！
ｽﾚﾘﾝｸ(news4vip板)
この>>1は一週間掛けて何も出来なかったと言っていたのに、たった数時間で解けるとはさすがですね
87:１３２人目の素数さん
21/12/29 08:21:22.09 UW0jVwTy.net
>>85
そげえな大道具が必要なんじゃな
88:１３２人目の素数さん
21/12/29 08:23:28.15 UW0jVwTy.net
もしか
こっち仮定したら被服定理証明できたりは？
さすがに無理かな
89:１３２人目の素数さん
21/12/29 08:27:16.61 ErlZeHnO.net
>>87
それはどうなんだろう
あと個人的に気になるのは
連続性を課さなかったら>>78の反例が出来るのか？
ということですね
90:１３２人目の素数さん
21/12/29 08:37:20.19 nGsGIQe9.net
>>82 正解！シンプルでいいね
>>88 連続じゃない時の反例は例えば
f(x)=1 (ある整数mについて x=e^m を満たす時),
f(x)=0 (それ以外)
があるんじゃないかな
個々の x>0 について f(xn)>0 を満たす正の整数nは高々一つだから
lim(n→∞) f(xn)=0 は成り立つが、一方
lim(x→∞) f(x)=0 は成り立たない
91:１３２人目の素数さん
21/12/29 08:38:44.54 1zmj0/3Y.net
連続性がなければいくらでも反例ありますがな
x1,x2,....
をQ上線形独立、limxi=∞ととって
f(x) = 1 ( ∃i x = xi )
0 ( otherwise )
で反例
92:１３２人目の素数さん
21/12/29 08:40:01.81 1zmj0/3Y.net
被ったorz
93:１３２人目の素数さん
21/12/29 08:45:40.97 UW0jVwTy.net
>>88
さすが無理よな
けんど
もそっと弱いとこからの証明があってしかるべしかとそう思てさ
94:１３２人目の素数さん
21/12/29 08:50:37.01 ErlZeHnO.net
>>89
>>90
すごい ありがとうございます
あーなるほど整数刻みであることを利用して
「複数のnでf(nx)≠0とはならない」ことを作ればいいのか 素晴らしい
クソーこういう反例をパッと思い浮かべるようになりたいな
95:１３２人目の素数さん
21/12/29 23:53:42.95 4SGrMrnF.net
>>84の答えは7777でした
96:１３２人目の素数さん
21/12/30 00:00:11.11 R3+2KyyT.net
>>94
その心は？
97:１３２人目の素数さん
21/12/30 00:28:41.32 BWxUHjcd.net
数列
1,3,8,21,55,144,377,…
(3倍して前の数を引いたやつが次の数)
と
数列
1,3,10,33,109,360,1189,…
(3倍して前の数を足したやつが次の数)
の平均が
>>84の数列
1,3,9,27,82,252,783,…
になる
9項目を求めると7777
98:１３２人目の素数さん
21/12/31 02:18:53.08 JZkFcsei.net
素数の有限集合で相加平均が2022であるものの元数の最大値を求めよ
#計算機可
#見たぞの人は(・∀・)ﾆﾔﾆﾔで
99:１３２人目の素数さん
21/12/31 07:20:47.72 AQhqhqk/.net
(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ
100:１３２人目の素数さん
21/12/31 10:20:00.11 QNczF9a7.net
区別のつかない100個の玉を区別のつかない5個の箱に入れる。
どの箱にも最低1個の玉はいれるものとする。
何通りの入れ方があるか？
101:１３２人目の素数さん
21/12/31 10:49:30.88 QNczF9a7.net
お年玉100万円を1万円単位で6人で分ける分け方は何通りあるか？
お年玉をもらいない人がいてもよいものとする。
102:１３２人目の素数さん
21/12/31 11:00:36.10 hsGyiNoM.net
119 １３２人目の素数さん[sage] 2021/12/31(金) 10:50:19.35 ID:QNczF9a7
お年玉100万円を1万円単位で6人で分ける分け方は何通りあるか？
誰も最低1万円はもらえるものとする。
マルチすんなゴミ
103:１３２人目の素数さん
21/12/31 11:28:39.39 fwwqbJxg.net
しんじろう 「これ意外と知らない方が多いんですけど
素数ってほとんどが奇数なんですよね」
↑ これは真であるか偽であるか？
104:１３２人目の素数さん
21/12/31 14:50:25.90 mMvhpjnP.net
命題ではない
105:１３２人目の素数さん
21/12/31 14:50:33.81 VaU9bGPw.net
数列 a_n = Σ_(k=1,n) sin(sin(k)) は有界であることを示せ
106:１３２人目の素数さん
21/12/31 19:25:25.54 5g7zFcBq.net
a_i,j(1≦i,j≦n)が
任意の実数x_i,y_i(i=1,2,…,n)に対して
Σ(1≦i≦n)(Σ(1≦j≦n)(a_i,j・x_j))y_i=0
を満たすならば
a_i,j=0であることを示せ
107:１３２人目の素数さん
21/12/31 19:52:12.83 mhAv9qAm.net
>>104
ヒントおながいします
108:１３２人目の素数さん
21/12/31 19:58:59.95 pOyiF5bF.net
>>105
xi=δiq,yj=δjpとすればa_pq=0
109:１３２人目の素数さん
21/12/31 20:41:00.34 VaU9bGPw.net
>>106
愚直だけど sin(sin(x)) をテイラー展開してそれぞれの項を評価する感じ
多分πの無理数度に関する結果も使うと思う
110:１３２人目の素数さん
21/12/31 20:41:55.22 VaU9bGPw.net
>>108
ちがう、フーリエ展開
111:イナ
21/12/31 20:46:28.66 wFkdsu3A.net
前>>44
>>102
素数で偶数なのは2だけだよ（(-｡-)
112:１３２人目の素数さん
21/12/31 20:57:18.73 fwwqbJxg.net
>>110
それって前提として
「自然数のうち、偶数でないものは奇数である」
っていうのが必要だよね？
それって証明されているの？
奇数でも偶数でもない素数が存在する可能性はどうなんだ？
自然数は「偶数、奇数、そのどちらでもない」
の3つの集団に分けられると考えてみよう。
そうすると、
「素数のほとんどが奇数」という表現はおかしくない。
113:１３２人目の素数さん
21/12/31 21:11:58.21 mhAv9qAm.net
>>108
ダメだ
大先生も教えてくれない
sin(sin(x))のフーリエ級数展開だけでも教えて下さい
114:１３２人目の素数さん
21/12/31 21:19:27.11 mhAv9qAm.net
>>108
ダメだ
円周率の無理数度も上からの評価がちょこちょこあるだけでどう使えばいいかサッパリわからない
もう少しヒントを
115:１３２人目の素数さん
21/12/31 22:08:31.39 ID
116::VaU9bGPw.net
117:１３２人目の素数さん
21/12/31 22:44:43.38 mhAv9qAm.net
>>114
え？
じゃあフーリエ級数展開を持つ任意の周期2πの関数でいえるって事？
118:１３２人目の素数さん
21/12/31 22:49:58.72 mhAv9qAm.net
ともかくフーリエ級数展開して
Σ[k,m]sin(sin(k)) = Σ[k,m]c_m sin(km)
にしてc_mは連続関数のフーリエ係数である事用いてある程度評価できてもm固定してk走らせた方の和
Σ[k]sin(km)
が評価できない
kが大きくなるとアーベルプラナも使えないし
119:１３２人目の素数さん
21/12/31 22:52:55.33 l6zLAtwi.net
>>104
解答の筋道はわかった。
sin(sin(x)) = a[1] sin(x) + a[3] sin(3x) + a[5] sin(5x) + ...
この係数はベッセル関数の母関数より
a[m] = 2*BesselJ[m](1)
〇係数の評価
ベッセル関数の積分表示より
|BesselJ[m](1)|
= (1/2)^m/(√πΓ(m+1/2))|∫[0,π]cos(cos(x))sin(x)^(2m)dx|
≦√π/(2^m Γ(m+1/2))
〇項別級数の評価
|Σ[k=1,n]sin(mk)|
=|sin(mn/2)sin(m(n+1)/2)/sin(m/2)|
≦1/|sin(m/2)|
したがって
|Σ[k=1,n]sin(sin(k))|
≦Σ[j=0,∞] √π/(2^(2j) Γ(2j+3/2)|sin(j+1/2)|)
あとは円周率の無理数度の評価からjの和が有界になることを示せばよい。
120:１３２人目の素数さん
21/12/31 22:53:33.22 VaU9bGPw.net
>>115
いやいや、sin(sin(x)) の場合はC^∞級だし、
関数の平均 ∫_[0,2π] sin(sin(x))dx の値が0だからね
不連続な関数とかだとこうはいかない
121:１３２人目の素数さん
21/12/31 23:00:01.66 mhAv9qAm.net
>>114
πの無理数度が有限というのは
ある定数c>0が存在して任意の自然数p,qに対して
|π-p/q| >1/q^c
が成立する
で合ってる？
フーリエ級数展開を持つ一般の関数について言えてる性質と上の事実だけから示せるで間違いない？
122:１３２人目の素数さん
21/12/31 23:14:16.64 mhAv9qAm.net
あ、そうか
sin(mk)cos(k)
= 1/2(sin(mk+k/2) -sin(mk-k/2))
でΣ[k]sin(mk)はexplicitに計算できるやん
なるほど
でsin(sin(x))の方はL^ ∞だから相方の級数はl^1に入ってるのか
123:１３２人目の素数さん
21/12/31 23:15:29.82 VaU9bGPw.net
>>117
そういうこと！
あとは無理数度を使うくだりかな
続きを考えたい人のために捕捉
πの無理数度の有限性から、1/πの無理数度の有限性も導けることに注意。
あと、実数 r に一番近い整数 n をとれば |sin(πr)|≧2|r-n| という評価も得られる。
これらを使えばある実数 A,B>0 が存在して、正の整数jについて
1/|sin(j/2)| ≦ Aj^B
が成り立つことを導ける
>>119
うん。知識としてはC^∞関数のフーリエ係数のオーダーと、
πの無理数度の有限性だけで足りるはず
124:１３２人目の素数さん
21/12/31 23:23:01.24 VaU9bGPw.net
（まあもう正解でもいいか）
125:１３２人目の素数さん
21/12/31 23:33:48.04 mhAv9qAm.net
>>121
うん、�
126:｡考えててそこまでは行った 相方こフーリエ級数の方がl^1に入ってるからもう片方の1/cos(km)がmについて有界とかならl^1×l^∞でl^1に入ってくれる しかし1/cos(km)の上から評価ぎできん inf { | l π/2 - km | ; l } とかを下から評価することになるけど無理数度有限から言えるのはjをとって | π/2 - km/l | > l^j という評価ぎ得られるだけで ここから1/cos(km)をどうやって上から評価していいか分からん フーリエ級数の方はl^1以上の援助は望めないよね？
127:１３２人目の素数さん
21/12/31 23:50:12.76 VaU9bGPw.net
>>123
1/|sin(k/2)|のこと？
>>117 で具体的に提示してくれた通り、
係数はl^1である以上に指数関数的な減少をしてくれるから
1/|sin(k/2)|を多項式で抑えれば収束性は十分示せると思うけど
128:１３２人目の素数さん
22/01/01 01:39:10.53 vRdsvE8n.net
>>124
うん、示せた
やはり最低でもsin(sin(x))のような筋のいい関数でないとダメやね
外のsinをマクローリン展開して
Σ[u:odd](-1)^((u-1)/2)1/u!(sin(x))^u
でm次のフーリエ展開の係数はこの係数に(sin(mx),(sin(x)^u) (ただし(,)はL^[-π,π]の内積、sin(mx)の長さが1になるように取っておく)をかけてu≧mで足し合わせるけど(sin(mx),(sin(x)^u) の発散より分母のu!の方が強くで和も1/m!より小さくなるから桶やね
Σ[k]sin(km)が初等的に足せるのうっかりしてた
129:１３２人目の素数さん
22/01/01 05:48:52.18 sn/pTPRs.net
A⊂[0,1]^2 はボレル可測で、その2次元ルベーグ測度は正とする。
このとき、ある異なるx_1,x_2∈[0,1]と、ある異なるy_1,y_2∈[0,1]が存在して、
(x_1,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_1),(x_2,y_2)∈A が成り立つことを示せ。
130:１３２人目の素数さん
22/01/01 10:19:58.28 AINN/vbo.net
>>126
測度が正の定義はこれで桶？
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
131:１３２人目の素数さん
22/01/01 10:24:46.15 sn/pTPRs.net
>>127
R^2のルベーグ測度をμと置くとき、μ(A)＞0 という意味。
132:１３２人目の素数さん
22/01/01 10:28:06.75 sn/pTPRs.net
せっかくだから清書し直すわ。
R^2のルベーグ測度をμと置く。A⊂[0,1]^2 はボレル可測で、μ(A)＞0 とする。
このとき、ある異なるx_1,x_2∈[0,1]と、ある異なるy_1,y_2∈[0,1]が存在して、
(x_1,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_1),(x_2,y_2)∈A が成り立つことを示せ。
133:１３２人目の素数さん
22/01/01 10:56:44.15 AINN/vbo.net
>>129
X = R×R×R×Rの座標関数をx1,x2,y1,y2として閉集合Fを{ x1=x2 or y1=y2 }とする
F(x1,x2,y1,y2) = | x1-x2||y1-y2|とする
閉区間の列In,Jn,Kn,Lnと正の数の列cnを
∪In×Jn×Kn×Ln = X＼F, p∈∪In×Jn×Kn×Ln→F(p)>cn
ととっておく
仮定から少なくとも一つのnで
μ(A×A×A×A ∩ In×Jn×Kn×Ln) > 0
であるからこの時∫[A×A×A×A]f(p)dp > 0である
よって特にA×A×A×Aは0ではない
f(p)≠0であるA×A×A×Aの点p=(x1,x2,y1,y2)をとればこれが条件を満たす
134:１３２人目の素数さん
22/01/01 11:13:16.52 sn/pTPRs.net
>>130
＞μ(A×A×A×A ∩ In×Jn×Kn×Ln) > 0
何かおかしい。次元が一致してない。
A⊂[0,1]^2 なので、A×A×A×A ⊂ R^8 となるが、
In,Jn,Kn,Ln は R の閉区間なので、In×Jn×Kn×Ln ⊂ R^4.
135:１３２人目の素数さん
22/01/01 11:41:58.61 AINN/vbo.net
あ、ホントだ
136:１３２人目の素数さん
22/01/01 12:07:05.90 yOpHBm/c.net
>>129
対偶を示す。つまり、A⊂[0,1]^2 をルベーグ可測な集合とする時、
もし異なる x1,x2∈[0,1] と異なる y1,y2∈[0,1] について
(xi,yj) (i,j=1,2) の全てがAの元になることがないならば、
Aのルベーグ測度が0となることを示す。
R^3の部分集合Bを B' = {(x1,x2,y)∈R^3 | (x1,y),(x2,y)∈A} と定める。
これはルベーグ測度 μ(A)^2 を持つ A^2⊂[0,1]^4 の射影であるから、
μ(A)^2≦μ(B') が成り立つ。
また、P={(x1x2,y)∈R^3 : x1≠x2} のルベーグ測度は0であるから、
B=B'-P と定めると μ(B)=μ(B') が成り立つ。
ここで、もし二点 (x1,x2,y),(x1,x2,y')∈R^3 が共にBの元であるとすると、
Bの定義より x1≠x2 となるが、これとAの仮定より y=y' でなければならない。
よって集合Bの、y軸（注意：yは第三成分）と平行な任意の直線との交点は高々一つ。
ゆえに μ(B)=0 であるから μ(A)=0.
137:１３２人目の素数さん
22/01/01 12:12:59.08 yOpHBm/c.net
>>133 ん？射影のくだりが何か変な気がする
ちょっと保留
138:１３２人目の素数さん
22/01/01 22:49:52.72 EdZz+tuI.net
>>129
できた
容易にA⊂I×Iとしてよいとわかる( ただしI = [0,1] )
各x∈Iに対してAx={y | (x,y)∈A}とおく
まずS = {x | μ(Ax)>0}は非可算である
そうでなければA' = A＼∪[x∈S]AxとおくとSが可算ならA'も可測でμ(A')=μ(A)でなければならないが一方でFubiniの定理より
μ(A') = ∫[x]μ({y|(x,y)∈A'})dx = 0
となるので矛盾を生じる
この時Sの可算部分集合Cと正の定数e>0をμ(Ax)>eと選ぶことができる
何故ならはφ:S→(0,∞)をx→μ(Ax)で定める時いずれかの自然数nでφ^(-1)((1/2^n,1/2^(n-1)])が非可算集合とならねばならないからそこから可算無限集合Cを選びe=1/2^nと取ればよい
この時Cから異なる2点x,x'をμ(Ax∩Ax')>0となるように選べる
そうでなければCの元をx1,x2,...と並べてBxi = Axi ＼∪[j<i]Axjと定めればBxiは互いに素で全て測度がeより大きいからμ(∪Bxi) = ∞となるが、コレはBxiが全てIの部分集合であることに反する
以上によりCから2点x,x'をμ(Ax∩Ax')>0と選べるが、この時特にAx∩Ax'は異なる2点を含む□
139:１３２人目の素数さん
22/01/01 23:34:05.95 sn/pTPRs.net
>>135
S は実際に非可算だが、その証明が何かおかしい。
＞ A' = A＼∪[x∈S]Ax
Ax ⊂ R なので ∪[x∈S]Ax⊂R だが、一方で A⊂R^2 なので、
A＼∪[x∈S]Ax は次元の異なる集合の差を取っていて意味を成さないように見える。
それ以外の部分は論証込みで合ってると思う。
140:
22/01/02 03:23:16.66 BBcGQXha.net
前>>110
自然数は奇数か偶然のどちらかです。
かつ2以外の偶数はすべて2で割れます。
∴ 素数で偶数なのは2だけだよ（(-｡-)
141:１３２人目の素数さん
22/01/02 12:37:20.02 bTMXpddk.net
>>136
書き方悪かったな
A'= A＼∪[x∈S] {(x,y) | y∈Ax }
ね
可算個しかないx∈Sに対して∪[x∈S] {(x,y) | y∈Ax }を抜く
まぁ抜かなくてもどのみち∪[x∈S] {(x,y) | y∈Ax }は測度0なんだけど
142:１３２人目の素数さん
22/01/02 14:31:28.64 5zFz/o7f.net
>>137
自然数が奇数か偶数かのどちらかであるって
そんなの未だに証明されていないよ。
143:
22/01/02 16:13:54.90 BBcGQXha.net
前>>137奇遇なのか奇数偶数交互にならんでんだ、しかも1差の等差数列。奇数偶数以外に自然数はないよ。
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＿＿＿＿＿‖川` , `; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ﾌﾟｽｯ!
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￣￣￣￣￣￣;_~U U~ ;;;;;;;;;;;;;;(_ _ )｀⌒つ;;;;
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144:１３２人目の素数さん
22/01/02 16:20:31.47 yL5jPeCX.net
暇つぶしに
-1<re(α)<1とする
∫[0,∞]x^α/(1+x^2)dx
を求めよ
145:１３２人目の素数さん
22/01/02 17:13:18.06 k20LBJbn.net
>>138
了解。それなら大丈夫
146:そう。まあ付け加えておくと、 S が高々可算なら、μ(Ax)＝0 a.e.x∈[0,1] なので μ(A)＝∫[0,1] μ(Ax) dx ＝ 0 となって矛盾。よって S は非可算。 …の方が直接的かなとは思う。
147:１３２人目の素数さん
22/01/03 10:01:36.26 xhXdejvo.net
>>139
下らん
148:１３２人目の素数さん
22/01/03 10:55:38.76 CQE+dlLY.net
(tan1°)^20は有理数か.
149:１３２人目の素数さん
22/01/03 18:08:11.55 AJKeQhJJ.net
定理
自然数nに対して
[Q(cot(2π/n)):Q]
= φ(n) ( n : odd )
φ(n) ( n ≡ 2 ( mod 4 ) )
φ(n)/2 ( n ≡ 4 ( mod 8 ) )
φ(n)/4 ( n ≡ 0 ( mod 8 ) )
( ∵ )
まず最後のケースに全て還元できることを示す
最後のケースで正しいと仮定してn≡4 ( mod 8 )とする
仮定より
[Q(cot(2π/(2n))):Q] = φ(2n)/4 = φ(n)/2
である
cot(2π/n)∈Q(cot(2π/2n))は明らかである
仮定より2π(k-1)/n<π/4<2πk/nとなる自然数kがとれるがこの時
cot(2π/(2n))=cot(2πk/n-π/4)∈Q(cot(2π/n))
であるからQ(cot(2π/(2n)))=Q(cot(2π/n))となり主張は示された
最後の２つのケースで正しいと仮定しててn≡2 ( mod 4 )とする
仮定より
[Q(cot(2π/(2n))):Q] = φ(2n)/2 = φ(n)
である
仮定より2π(k-1)/n<π/2<2πk/nとなる自然数kがとれるがこの時
cot(2π/(2n))=cot(2πk/n-π/2)∈Q(cot(2π/n))
であるからQ(cot(2π/(2n)))=Q(cot(2π/n))となり主張は示された
最後の３つのケースで正しいと仮定しててn:oddとする
仮定より
[Q(cot(2π/(2n))):Q] = φ(2n) = φ(n)
である
仮定より2π(k-1)/n<π<2πk/nとなる自然数kがとれるがこの時
cot(2π/(2n))=cot(2πk/n-π)∈Q(cot(2π/n))
であるからQ(cot(2π/(2n)))=Q(cot(2π/n))となり主張は示された
以上により8|nの場合に示せば十分である
nを8の倍数としてζ=exp(2πi/n)とおく
K=Q(tan(2π/n)),L=Q(ζ)とする
[L:Q] = φ(n)でありζはKにi,cos(2π/n)を添加した体に含まれどちらもK上の最小多項式の次数は1か2であるから[L:K]≦4である
σ,τ∈Gal(L/Q)をσ(ζ)=σ(1/ζ),σ(ζ)=-1/ζで定めればσは複素共役をとる変換だからσはtan(2π/n)を動かさない
τ(i)=τ(ζ^(n/4))=(-1/ζ)^(n/4)=-i
τ(ζ-1/ζ) = ζ-1/ζ
τ(ζ+1/ζ) = -(ζ+1/ζ)
によりτ(tan(2π/n))=tan(2π/n)
であり少なくともGal(L/K)は位数4以上である
よって[L:K]≧4である
以上により
[K:Q] = [L:Q]/4 = φ(n)/4を得る□
150:絶対こいつと契約するな！！
22/01/03 18:18:33.18 mEAABgyf.net
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151:１３２人目の素数さん
22/01/03 19:31:57.29 NBovi1OW.net
>>143
>>139ってそんなに変か？
「拡張した整数論」とかで探せば
実際にどこかの誰かが考えそうだが。
152:１３２人目の素数さん
22/01/03 20:54:14.37 CQE+dlLY.net
>>145
おおすごい
一般化した主張まで載せてありがとうございます
お見事
簡易的な想定解として、(cos1°)^2 = 1/(1+tan1°)∈Q(tan1°)より、
Q(tan1°)⊃Q(cos2°)で、
x^2 -2(cos2°)x +1 = 0の根がζ_180であるから、
[Q(ζ_180):Q(cos2°)]=2より、
[Q(tan1°):Q]≧[Q(cos2°):Q]=φ(180)/2=24
したがって(tan1°)^20は無理数
というものでした
153:１３２人目の素数さん
22/01/04 15:47:27.96 SARDw29x.net
さらに一般化
>>145だと(tan1°)^30とかは有理数になる可能性を否定できてない
定理 3以上の自然数nにおいて、ある自然数mで(cot(2π/n))^mが有理数となるのはn = 3,4,6,8,12のときである
補題 0でない実数aにおいて、I = { m∈Z | a^m ∈Q }が０以外の整数を含むとする
この時mをIに属する正の数の最小値とすればx^m-a^mがaの最小多項式である
(∵) ζ=exp(2πi/m)とおく
aの最小多項式はx^m-a^mの因子であるからaの共役元はaζ^kと表示される
よってS⊂{0,1,..,m-1}を{ aζ^k
154: | k∈S } がaの共役元全体となるようにとれる この時N(a) = ±a^#Sが有理数となる(ただしN:Q(ζ,a)→Qはノルム写像) 特に#S∈Iであるからm≦#Sである しかしSの取り方から明らかに#S≦mであるから#S = mでありaはちょうどm個の共役元を持つ□ (定理の証明) I = { m∈Z | cot(2π/n))^m∈Q }が自然数を含むとする 補題よりIの正の数の最小値mを取ればx^m - cot(2π/n)^mがcot(2π/n)の最小多項式となる 特にcot(2π/n)exp(2πi/m)はcot(2π/n)の共役元となる しかし一方でQ(cot(2π/n))はQのアーベル拡大であり特にQのガロア拡大で共役を取る操作について閉じている よってcot(2π/n)exp(2πi/m)はQ(cot(2π/n))の元でなければならず、よって特に実数でなければならない よってm=1,2しか許されない よって[Q(cot(2πi/n)):Q] = 1,2しか許されず前定理より n:奇数、φ(n) = 1,2 n≡2 ( mod 4 ), φ(n) = 1,2 n≡4 ( mod 8 ), φ(n) = 2,4 n≡0 ( mod 8 ), φ(n) = 4,8 が必要である コレを満たす3以上の自然数はn = 3,6,4,12,8,16,24しかなく、さらに cot(2π/3)=-1/√3, cot(2π/6)=1/√3, cot(2π/4)=0, cot(2π/12)=√3, cot(2π/8)=1, cot(2π/16)=1+√2, cot(2π/24)=2+√3 であるから主張は成立する□
155:１３２人目の素数さん
22/01/04 21:04:21.90 D0t91gE+.net
>>149
さらなる追加の一般命題をありがとう
なるほど確かに冪が一般の場合どうするのか考えてなかったですが
ζ_m∈Q(cot(2π/n))→m=1,2のみ(それ以上だと虚数を含む)→拡大次数が1,2のみ
という流れはとても筋がいいですね
156:１３２人目の素数さん
22/01/07 12:42:16.42 xiaEldzs.net
>>147
頑張れ！
157:１３２人目の素数さん
22/01/07 16:27:20.63 FI3vu8kc.net
>>151
おぅ、お前も頑張れよ （ '‘ω‘)
158:１３２人目の素数さん
22/01/08 13:02:57.56 O7HhITXp.net
f:R→Rを無限回微分可能な関数とする
どんなa∈Rに対しても、fを何度か微分して、aを代入すると0になるとき、fは多項式であることを示してください
159:１３２人目の素数さん
22/01/08 14:10:25.03 s1MB/Msh.net
多項式でない関数は、無限べき級数に展開。
多項式の関数は、有限級数。
よって自明。
160:１３２人目の素数さん
22/01/08 15:55:49.27 O7HhITXp.net
>>154
C^∞だからといって、無限べき級数に展開できるとは限りません
有名な例でいうと
f(x) = e^(-1/x^2) (x ＞ 0)
, 0 (x ≦ 0)
なんかがそうです
161:１３２人目の素数さん
22/01/08 15:59:09.48 O7HhITXp.net
>>154
さらに言えば
例え級数展開出来たとしても、
>>153の条件から、ただちには有限級数になることは示せないのではないでしょうか
「何度か」微分してaを代入すると0になる
この微分の回数はaに依存しています
162:１３２人目の素数さん
22/01/08 16:20:40.19 w4r5Z9TU.net
まあそのaに依存する微分回数に上界があれば自明だけどそうでない時にどうするか
まあそうはならないんだろうけど
163:１３２人目の素数さん
22/01/08 16:46:00.01 P0ilCoas.net
>>156
もしかすると>>154て偽なんじゃないか？
164:１３２人目の素数さん
22/01/08 16:52:13.41 s1MB/Msh.net
いや、適当に書き込んだので、軽くスルーしてくれ。すまん。
165:１３２人目の素数さん
22/01/08 20:26:51.96 O7HhITXp.net
>>158
>>153が偽ではないので
有限級数に展開可⇔多項式
なのは確かなことです
166:１３２人目の素数さん
22/01/08 21:13:31.79 RmGcOhjc.net
>>153
ヒントおながいします
167:１３２人目の素数さん
22/01/08 21:29:09.14 O7HhITXp.net
>>161
>>83のようにベールのカテゴリー定理を使います！
168:１３２人目の素数さん
22/01/08 22:18:54.83 RmGcOhjc.net
>>163
とりあえず閉集合は
Fn = { x | f^k(x)=0 ∀k≧n }
とかですか？
しかしコレが開区間を持ってても何の足しにもならない気が
もっと別の設定ですか？
169:１３２人目の素数さん
22/01/08 22:20:36.63 RmGcOhjc.net
あ、f^k(x)=0じゃなくてf^(k)(x)=0
n階以降の微分が全部消えてる集合
この閉集合の合併でどれかが開区間を含んでもそこで終わり
170:１３２人目の素数さん
22/01/08 23:37:05.06 RmGcOhjc.net
わかった
Fn = { x | f^(k)(x) = 0 (∀k≧n) }
としてさらに
Un = int Fn ∪ (R ＼ Fn)
とおく
各Unは稠密開集合である
実際任意のx∈Rに対しdist(x,R＼Fn)=0ならlim[i]ui=xとなるui∈R＼Fnを取る事ができるしdist(x,R＼Fn)>0ならx∈int Fnである
よってカテゴリー定理からD = ∩Unは稠密である
各x∈Dに対してx∈∩[n] int Fn ∪ (R ＼ Fn)であるが有限個を除いてxは (R ＼ Fn)の元に含まれる事はないから、ある番号でintFnの方に入る
そのような番号を選んでVx = intFnとおけば∪[x∈D]Vx = Rで各Vxでfは多項式だからR全体でも多項式□
171:１３２人目の素数さん
22/01/09 00:31:25.19 2H5f29dA.net
>>165
君、賢いねぇ
172:１３２人目の素数さん
22/01/09 01:57:55.14 VG2Vm4C/.net
>>165
お見事！
大変美しい解答をありがとうございます
このように、ベールのカテゴリー定理は
「任意のx∈Rに対してあるn∈Nが存在して、なんかホニャララを満たす」
みたいな命題の「任意」と「存在」をひっくり返したいとき、度々役に立つ
というお話でした
173:１３２人目の素数さん
22/01/09 13:06:45.71 2tW7OSpV.net
んー？自分が理解できてないのかな…
>>153 って『各 x∈R に対してある自然数 n が存在し、f^(n)(x)=0 が成り立つ』って意味で合ってる？
もし『各 x∈R に対してある自然数 n が存在し、任意の整数 k≧n について f^(k)(x)=0 が成り立つ』
って意味で書いてたら、自分の読み違いってことで申し訳ないんだけど
前者の解釈で合ってるなら、>>165 の回答の Fn って
全て空集合になる可能性もあり得るのでは？
そうすると、どんなxでもある番号でintFnに入るというのは成り立たないと思うんだけど
174:１３２人目の素数さん
22/01/09 14:12:35.72 sOUZOFWN.net
>>168
確かにそう読めるね
でもそれなら
Fn = { x ; f^(n)(x) = 0 }
でやれば同じ
175:１３２人目の素数さん
22/01/09 14:15:22.31 EBnZlHU3.net
高校範囲では無理なんかな
176:１３２人目の素数さん
22/01/09 15:49:18.12 yVccsDU6.net
あれ>>165穴あるかな
177:１３２人目の素数さん
22/01/09 15:57:08.46 VG2Vm4C/.net
>>168
すみません前者の
「各 x∈R に対してある自然数 n が存在し、f^(n)(x)=0 が成り立つ」
という意味で書いていました
なので>>169の通りF_nはこうするべきでしたね
178:１３２人目の素数さん
22/01/09 17:29:02.71 2tW7OSpV.net
>>169
あーそうかなるほど
そして >>165 のよくわかんなかった所もようやく自己解決できたっぽい
『ある番号でintFnに入る』を導くために ∪_n Fn = R という仮定を使ってるわけか
んで x∈intFn ということは関数 f^(n) が x の近傍でべったり0にくっついてることを意味するから
f は x の近傍で多項式。そしてこれが稠密な D 上で言えるから結果 f 全体も多項式、と…
よくできてるなあ
179:１３２人目の素数さん
22/01/09 20:02:48.29 JvJHC9jI.net
>>165は穴あるわ
Dが稠密で∪VxがDを被覆してても∪Vx=Rとは限らん
D={無理数}, Vx=( [x], [x]+1 )
のとき∪Vx=R＼Zになってしまう
以下訂正版
S = { U : open ; f はUの各連結成分上で多項式 }
とおく
R = ∪Fnだからカテゴリー定理いずれかのFnは内点を持つがintFnはSに属するからSは空ではない
またSの元は合併で閉じているから最大元を持つ
それをUとする
G = R＼Uとおく
G≠φとして矛盾を導く
再びカテゴリー定理よりG∩Fnは内点を持つ
よって開集合Vをとってφ≠G∩V⊂G∩Fnとできる
まずG∩Vは孤立点を持たない
何故ならもしc∈G∩Vが孤立点なら(a,b)∩G ∩V= {c}であるa,bがとれるが仮定�
180:ﾉよりfは(a,c), (c,b)において多項式だから十分大きなmで(a,c),∪(c,b)上f^(n)(x)=0でfはC^mだから(a,b)でf^(m)(x)=0 よってfは(a,b)で多項式となるがUの最大性からUは(a,b)を含まねばならずc∈R＼Uに反してしまう よってG∩Vは孤立点を含まない 次にa∈G∩Vのときm≧nなるmに対しf^(m)(a)=0である コレはmについての帰納法で示される m=nでは仮定により成立する m<kで成立するとしてm=kとする a∈G＼Vをとればコレは孤立点ではないからai∈G∩V＼{a}をlim[i]ai=aととれる このとき f^(m)(a) =lim[i](f^(m-1)(ai)-f^(m-1)(a))/(ai-a)=0 となるゆえ主張は成立する 最後にVにおいてfは多項式である c∈V,m≧nに対してf^(m)(x)がVで0になる事を示せば十分でc∈G∩Vの場合はすでに示された c∈V＼Gに対してc∈(a,b)⊂Vをfは(a,b)で多項式、a,bのいずれかはGの元ととれる f^(deg(f))(x)は[a,b]で0でない定数だからf^(deg(f))(a),f^(deg(f))(b)は共に0ではない よってdeg(f)<nとなりf^(m)(c)=0 (∀m≧n)である よってV⊂UとなりG∩V=φであるがVの仮定に反する□
181:１３２人目の素数さん
22/01/09 21:07:13.48 2tW7OSpV.net
ま？もしかして
『あるR上稠密な開集合の各々の連結成分上で多項式であるC^∞級関数は多項式である』
ってギャップだったのか、もう何もわからん…
182:１３２人目の素数さん
22/01/09 21:31:51.65 JvJHC9jI.net
うん、Rの被覆R = ∪Uiがあって各Uiでfが多項式ならR全体で多項式になるのは簡単に示せる
しかし稠密ではあるがR全体ではない開集合UでいくらfがUの各連結成分上で多項式であったとしてもR全体で多項式だと主張するのは自明では許してもらえないと思う
とは言っても反例は思いつかないんだけど
今回の場合Uの隙間であるG=R＼Uにおいても最低でも各点c∈Gにおいて少なくとも一個のf^(n)(c)が0になる事で穴が埋まってる
この仮定がない場合に反例が作れるのかどうか不明
つまり
UがRの稠密開集合でC^∞級関数fはUの各連結成分上では多項式とする
またR＼Uは孤立点を持たない閉集合であるとする
このときfはR全体で多項式か？
は不明
反例も見つからない
証明もわからない
183:１３２人目の素数さん
22/01/11 08:01:41.54 NzjZZfHv.net
無理数の無理数乗は必ず無理数となるか
184:１３２人目の素数さん
22/01/11 08:30:03.10 FidiTyBG.net
>>177
論理学の本に載ってたなそれ
x=sqrt(2)^sqrt(2)としてxが無理数と仮定するとx^√2=2だから無理数の無理数乗だが有理数
xが有理数と仮定すると無理数の無理数乗だが有理数
xが無理数か有理数か分からなくても証明出来るのは面白いよね
185:１３２人目の素数さん
22/01/11 08:30:48.53 bAgG2dS1.net
F_nをフィボナッチ数列(ただし, F_1=F_2=1)とする。
このとき,
n≧2m+5を満たす任意の自然数m,nで
不等式
F_n ≧ Σ[k=0→m](n-k+1-2m)・C[m,k]
が成り立つことを示せ。
186:１３２人目の素数さん
22/01/11 08:35:27.76 bAgG2dS1.net
どっかで計算ミスしてたので無視してください
187:１３２人目の素数さん
22/01/11 08:56:25.94 bAgG2dS1.net
F_nをフィボナッチ数列(ただし, F_1=F_2=1)とする。
このとき,
n≧2m+5を満たす任意の自然数m,nで
不等式
F_n ≧ Σ[k=0→m](n-m-k)・C[m,k]
が成り立つことを示せ
が正しかったです…
188:１３２人目の素数さん
22/01/11 12:07:12.55 MsiXX+Ne.net
>>177
有名すぎておもしろくない
反例がある
189:１３２人目の素数さん
22/01/11 14:18:44.33 Idqx+l1J.net
有理数の有理数乗が有利数 ある 1^1=1
有理数の有理数乗が無理数 ある 2^(1/2)=√2
有理数の有理数乗が不定形 ある 0^0
有理数の無理数乗が有利数 ある 1^(√2)=1
有理数の無理数乗が無理数 ある 2^(√2)
無理数の有理数乗が有利数 ある (√2)^2=2
無理数の有理数乗が無理数 ある (√2)^1=(√2)
無理数の無理数乗が有利数 ある ((√2)^(√2))^(√2)=2
無理数の無理数乗が無理数 ある (√2)^(√2)
190:１３２人目の素数さん
22/01/11 19:05:37.14 V9PX5rXA.net
f_n(x)=1/(√n-x)とする
n=1,2,3,4について各々f_nの12回合成を計算せよ
191:１３２人目の素数さん
22/01/11 19:19:01.10 jNa3xgaF.net
>>183
下２つは高校生でも分かるもっと簡単な例があるだろ
192:１３２人目の素数さん
22/01/11 20:00:40.91 hDiYwRkA.net
何回このやり取りするねん
�
193:ﾊ白い問題おしえて～な 39問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1633923732/630 630 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/11/25(木) 20:48:12.16 ID:IXjS2eTu 無理数の無理数乗が有理数になることはあるか? とかどうっすか
194:１３２人目の素数さん
22/01/11 23:50:41.37 V9PX5rXA.net
>>184
1つだけ仲間外れがあります
195:１３２人目の素数さん
22/01/12 01:44:15.73 nWcZAnE0.net
>>181
Gn = Σ[k=0→m](n-m-k)・C[m,k]
l = n - (2m+5)
とおく
Gn
= Σ[k=0→m](n-m-k)・C[m,k]
= 2^m×(n-m)-2^(m-1)m
= 2^(m-1)×(2n-3m)
= 2^(m-1)×(2l + m + 10)
F_(2l+2m+5)≧2^(m-1)×(2l + m + 10)
⇒F_(2l+2m+6)≧2^(m-1)×(2l + m + 10)
∴ F_(2l+2m+7)≧2^(m-1)×(2l + 2m + 20)
≧2^(m-1)×(2l+2 + m + 10)
∴l=0の場合示せばよい
∴F_(2m+5)≧2^(m-1)(m+10)を示せばよい
∴F_(k+5)≧2^(k/2-1)(k/2+10)を示せばよい
k=0→LHS = 5, RHS = 5
k=1→LHS = 8, RHS = 10.5/√2 = 7.424...
F_(k+5)≧2^(k/2-1)(k/2+10)
F_(k+6)≧2^(k/2-1/2)(k/2+10.5)
のとき
F_(k+7)≧2^(k/2)(k/4+5+k/√8+10.5/√2)
≧2^(k/2)( k/2 + 11 )
196:１３２人目の素数さん
22/01/12 02:01:24.02 nWcZAnE0.net
>>184
[[0,1],[-1,√n]]の特性方程式x^2-√nx+1=0を解いて
n=1→x=exp(2πi/3)
n=2→x=exp(2πi/4)
n=3→x=exp(2πi/6)
n=1→x=1
よってn=1,2,3なら単位行列
n=4はu = [[1],[1]]が固有ベクトルでv = [[0],[1]]がAv = v + u
A^12[u v ] = [ u v+12u] =[uv] [[1,12],[0,1]]
左から[uv]^(-1)かけたら答え
197:１３２人目の素数さん
22/01/12 13:34:00.46 QLFPVZOa.net
>>185
(√2)^2log2(3)=3
(√2)^log2(3)=√3
だな
198:１３２人目の素数さん
22/01/12 23:21:12.46 nWcZAnE0.net
>>184
よくよく考えたらn=4のとき固有値２つとも1なんだから
[[0,1],[-1,2]]^k
= [[1,0],[0,1]] + k[[0-1,1-0],[-1-0,2-1]]
= [[-k+1,k],[-k,k+1]]
やん
199:１３２人目の素数さん
22/01/13 00:23:53.51 fIVWsdcb.net
>>191
ですです
行列計算にして上手く累乗計算するという問題でした
関数の見た目だと1,2,3,4で大差ないように見えるのが面白いなと思って出題しました
200:１３２人目の素数さん
22/01/14 08:13:23.77 gxPhFubJ.net
めっちゃ簡単な問題
5以上の素数pについて、p±1のどちらかは必ず6の倍数であることを証明しろ！
201:１３２人目の素数さん
22/01/14 08:18:36.44 mDEIYTrg.net
6n+2,6n+3,6n+4(n≧1)は2や3の倍数になるから
5以上の素数は必ずp=6n±1の形になる
202:１３２人目の素数さん
22/01/14 08:19:39.97 mDEIYTrg.net
あ、最初のとこ6n+0が抜けた
203:１３２人目の素数さん
22/01/15 05:02:05.28 r9TB80Ws.net
どんな2n個の整数に対しても、その中のn個をうまく選べば和がnの倍数であることを示せ.
204:１３２人目の素数さん
22/01/15 10:16:14.74 4/6vqdAe.net
log[a] (log[b] (n)) = log [b^a] (n)
を証明せよ。
205:１３２人目の素数さん
22/01/15 10:16:47.82 4/6vqdAe.net
>>193
簡単すぎてハゲた。
206:１３２人目の素数さん
22/01/15 10:23:24.65 icpE+X1s.net
>>197
等しくない
207:１３２人目の素数さん
22/01/16 06:57:04.50 CzRUmJU9.net
日本人の血液型の割合はおよそA型40%,O型30%,B型20%,AB型10%とされる。
この割合で100人の献血ボランティアがいるとする。
すなわちA型40人,O型30人,B型20人,AB型10人である。
無作為に1人を選んで採血して4種類の血液がそろったら終了する。
同じ人を複数回採血することはない。
献血のお礼にジュースを献血者に1本与える。
99％の確率で4種類の血液をそろえるには何本のジュースが必要か？
208:１３２人目の素数さん
22/01/16 11:29:20.38 BSH76eZU.net
おそらくノーヒントでは無理なやつ
とりあえずノーヒント
0<a,b<1に対して
I(a,b) = ∫[0,π/2]1/√(a^2cos^2(θ) + b^2sin^2(θ))dθ
とおく
I((a+b)/2,√(ab)) = I(a,b)
を示せ
特に
π/2 = I(a,b) agm(a,b)
を示せ
209:１３２人目の素数さん
22/01/16 15:36:52.90 6pAzBueh.net
>>200
スレチ
数値解析スレでどうぞ
210:１３２人目の素数さん
22/01/16 16:51:58.45 PrgNU+yd.net
2桁以上の好きな素数を思い浮かべてください。
その素数を6で割ってください。
6で割ったあまりに5を足してください。
5を足したあと、4で割ってください。
最後に、4で割ったあまりを強く強く思い浮かべてください...
その数字は、、2ですね？
がはは
211:１３２人目の素数さん
22/01/16 18:07:14.34 SZJ+CDAZ.net
p=6m+1 or p=6m+5
212:１３２人目の素数さん
22/01/17 05:35:58.45 jD8LbTeh.net
>>202
スレチ連呼厨って答を出すことができないようだね。
数値解でもサクッと答えればいいのに。
>200みたいな問題は実用的で面白い。
213:１３２人目の素数さん
22/01/17 05:47:28.71 NYvJ+Lj4.net
P(n-1,4)=Σ[i=1,n-3]Σ[j=1,n-3]C[n-1,i]C[n-1-i,j]0.4^i×0.3^j×0.2^(n-1-i-j)
P(n-1)=Σ[i=1,4]P(n-1,i)
214:１３２人目の素数さん
22/01/17 05:50:12.88 NYvJ+Lj4.net
>>206 訂正
×P(n-1)=Σ[i=1,4]P(n-1,i)
〇P(n)=0.4×P(n-1,1)+0.3×P(n-1,2)+0.2×P(n-1,3)+0.1×P(n-1,4)
215:１３２人目の素数さん
22/01/17 06:42:56.01 jD8LbTeh.net
>>200
資金不足で臨床試験が中止に追いやられることもときにはある。
ジュースでなくて採血バッグの個数にした方がリアルだな。
日本人の血液型の割合はおよそA型40%,O型30%,B型20%,AB型10%とされる。
この割合で100人の献血ボランティアがいるとする。
すなわちA型40人,O型30人,B型20人,AB型10人である。
無作為に1人を選んで採血して4種類の血液がそろったら終了する。
同じ人を複数回採血することはない。
(1)99％の確率で4種類の血液をそろえるには何個の採血バッグが必要か？
(2)10個の採血バッグしかないときに4種類の血液が揃う確率はいくらか？
216:１３２人目の素数さん
22/01/17 06:52:47.44 jD8LbTeh.net
>>203
なんで2桁以上？
5以上でいいのでは？？
217:１３２人目の素数さん
22/01/17 07:39:28.58 G9uXWaOP.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
218:１３２人目の素数さん
22/01/17 10:27:11.78 byBENto8.net
>>210
ぐう自己満で草ｗ
（画像の会話考えた香具師も、登場人物もｗ）
219:１３２人目の素数さん
22/01/17 12:25:49.32 NZm4I09Y.net
宮迫の焼肉屋、
あれって国と自治体の補助金目当てってマジ？
店が繁盛するかどうか、元をとるのに何年かかるかを
まるで考えていないように見えた。
220:１３２人目の素数さん
22/01/17 13:25:27.28 NCVRTSGi.net
>>209
5以上でもいいよ
221:１３２人目の素数さん
22/01/17 13:52:52.14 vb/W1YV/.net
>>205
答えを出すことは簡単だ
だからこそこのスレに似つかわしくない
222:１３２人目の素数さん
22/01/17 14:52:31.40 igsBLdxO.net
>>201 は多分ノーヒント苦しいのでヒント
まず x = tan(θ) で置換すると
I(a,b) = ∫[0,∞]1/√((x^2+a^2)(x^2+b^2))dx
よって
I((a+b)/2,√(ab))
= ∫[0,∞]1/√((x^2+(a+b)2/2)(x^2+ab))dx
= 1/2∫[-∞,∞]1/√((x^2+(a+b)2/2)(x^2+ab))dx
コレをもう一回置換積分
どう置換するかがミソですがここまで来ればこの手の積分の置換の定石
コレがピタッとI(a,b)になるのがとても心地よい
223:１３２人目の素数さん
22/01/17 16
224::02:55.36 ID:igsBLdxO.net
225:１３２人目の素数さん
22/01/17 22:14:11.31 jWsBHMC1.net
>>196
これ難しい
226:１３２人目の素数さん
22/01/17 23:21:05.13 ajsE0Y1f.net
エルデシュの定理だっけ
素数の場合から始めるはず
227:１３２人目の素数さん
22/01/18 01:15:17.07 iQvcPKE+.net
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
228:１３２人目の素数さん
22/01/18 01:17:16.99 AH7u6ZfN.net
>>201
>>215
受験定番の置換t=x+√(x^2+ab)ですね
I((a+b)/2,√(ab))
= 1/2∫[-∞,∞]1/√((x^2+ab+(a-b)^2/4)(x^2+ab))dx
ここで置換 x = (t-ab/t)/2, dx = (1+ab/t^2)/2 dt をする
= 1/2∫[0,∞]1/√(((t-ab/t)^2/4+ab+(a-b)^2/4)((t-ab/t)^2/4+ab)) (1+ab/t^2)/2 dt
= ∫[0,∞]1/√(((t+ab/t)^2+(a-b)^2)t^2) dt
= ∫[0,∞]1/√((t^2+a^2)(t^2+b^2)) dt
= I(a,b)
この関係式から楕円関数論を見通したガウスは凄い
229:１３２人目の素数さん
22/01/18 01:38:51.60 iQvcPKE+.net
>>220
素晴らしい
大正解
同じ置換2発で
J((a+b)/2,√ab) = 1/2( abI(a,b) + J(a,b))‥(❇︎)
が示せます
そこまでできたとして次は
問題
a[n],b[n]を
a[0]=a, b[0]=b
a[n+1]=(a[n]+b[n])/2,
b[n+1]=√(a[n]b[n])
で定めるとき
J( a,b )/ I( a,b )
= ( a^2 + b^2 )/2 + Σ[n:0〜∞]2^n((a[n] - b[n])/2)^2
である事を示してください
----
(❇︎)がキーですがコレだけでは無理
とりあえずノーヒントで
しかしおそらくノーヒントは苦しいでしょう
230:１３２人目の素数さん
22/01/18 09:05:11.83 3nZ26UdM.net
>>218-219
面白そうな問題だから自力で解くまでこのスレ見ないでおこうと思ったけど全く解けないからスレ来てみたら、そういうことか
まず2n-1でもいけることに気付けないとダメだった…
231:１３２人目の素数さん
22/01/18 09:55:50.29 qwcI+C/q.net
19の正の倍数において、各桁の和の最小値は何か？
232:１３２人目の素数さん
22/01/18 10:43:50.20 6OGJwUGv.net
4
233:１３２人目の素数さん
22/01/18 11:40:32.33 qwcI+C/q.net
>>224
不正解です
すみません
19だと
1000...01で作れるので簡単でした
234:１３２人目の素数さん
22/01/18 11:40:58.09 qwcI+C/q.net
なので改題
79の正の倍数において、各桁の和の最小値は何か？
235:１３２人目の素数さん
22/01/18 11:41:34.84 qwcI+C/q.net
証明も方針だけでいいのでお願いします
236:１３２人目の素数さん
22/01/18 11:51:55.45 RydfxIbm.net
それも1000...01で作れるのでは？
237:１３２人目の素数さん
22/01/18 11:58:04.94 qwcI+C/q.net
>>228
作れないはずですよ
238:１３２人目の素数さん
22/01/18 12:40:14.80 gp/3vBBu.net
10010011 が 79 の倍数
239:１３２人目の素数さん
22/01/18 14:42:46.35 lbCzAwWm.net
素朴な疑問だけど
「各位の和はいくらか？」って
パズルの要素以外で役に立つ機会ってある？
何か自然科学などの計算に応用されたりしてるんかな？
「何桁ですか？」は使う場合があるのは理解できる。
10の何乗になるかが分かるから、
その数の大きさをおおざっぱに把握できるし。
240:１３２人目の素数さん
22/01/18 14:45:20.98 lbCzAwWm.net
例えば、 59^59 は何桁になりますか？
は使う場面も想像できるけど
これの各位の和はいくらになりますか？
は使う場面がまったく思いつかん。
というか各位の和って何か意味ある数じゃないよね。
241:１３２人目の素数さん
22/01/18 15:23:58.50 FQWDAW33.net
>>232
9で割った余り
242:１３２人目の素数さん
22/01/18 15:42:45.92
243:Mb0zjT6Z.net
244:１３２人目の素数さん
22/01/18 15:55:47.97 lbCzAwWm.net
>>234
そうじゃない。
ただ、各位の和 に
現実への応用が存在するんかなぁと思っただけ。
245:１３２人目の素数さん
22/01/18 16:27:52.77 qwcI+C/q.net
>>230
これで正解なんですが、証明もお願いします
246:１３２人目の素数さん
22/01/18 16:36:09.75 qwcI+C/q.net
>>236
すみません
想定解は発想もかなり必要ですが、かなりの力技でもあるので方針だけでおkです
247:１３２人目の素数さん
22/01/18 16:40:47.56 mzBz/OzM.net
自作の中学生用実力テスト作ったんだけど、解かせる人いなくて詰んだ
道ゆく中学生に全部正解したら1500円あげると言いながらビラみたいに撒いたら解いてくれるだろうか
不審者扱いされるだろうか
248:１３２人目の素数さん
22/01/18 17:05:55.06 0REspzHf.net
中学23年生のお兄さんでよければ解くよ？書いてごらん
249:１３２人目の素数さん
22/01/18 17:08:31.31 +HFfh/RS.net
3^n/2^n < k < (3^n-1)/(2^n-1) を満たす正整数n, k が存在しないことの証明か、反例をあげよ
250:１３２人目の素数さん
22/01/18 17:56:05.26 UcYWsuXo.net
>>237
ヨコだけど計算機マターやろ
1が不可能は自明
10^nを79で割ったあまりは
[1,8,10,18,21,22,38,46,52,62,64,65,67]
で78出てこないので2も無理
78-10^nを79で割ったあまりは
[11,13,14,16,26,32,40,56,57,60,68,70,77]
一致してるの出てこないので3も無理
251:１３２人目の素数さん
22/01/18 17:59:49.47 QoT96DmB.net
>>240
Waring問題におけるg(k)の決定にかかわる問題で未解決
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
252:１３２人目の素数さん
22/01/18 18:04:24.37 qwcI+C/q.net
>>241
解答ありがとうございます
すみません
10^nを79で割ったあまりは
[1,8,10,18,21,22,38,46,52,62,64,65,67]
↑このパターンだけというのはどのように導いたのでしょうか
あと3が無理の結論ですが、1と2を使った数字が出ないことも否定されるのでしょうか？
253:１３２人目の素数さん
22/01/18 18:15:25.68 qwcI+C/q.net
>>243
すみません前半自己解決しました
単純に余りがループするだけでしたね
254:１３２人目の素数さん
22/01/18 18:24:29.47 UcYWsuXo.net
>>243
10^m + 2×10^n ≡ 0 ( mod 79 )が解を持つなら
10^m + 10^n + 10^k ≡ 0 ( mod 79 )が解を持ち
10^m ≡ 78 - 10^n ( mod 79 )が解を持つから最後だけ否定しとけば十分でしょ
255:１３２人目の素数さん
22/01/18 18:26:50.78 qwcI+C/q.net
>>245
あーなるほど
失礼しました
ありがとうこういう解法もあるのか
お見事でした
256:１３２人目の素数さん
22/01/18 18:28:20.41 qwcI+C/q.net
用意していた想定解は次の通りです
まずmod 79で考えて、
0,1,2,...,78を頂点に持つ有向グラフを考える
頂点kに対して、頂点(k+1)にコスト1の有向辺を、
頂点10*kにコスト0の有向辺をつける
これをk=0,1,...,78の全てに行う
問題は頂点1から頂点0への最短経路問題になる
あとはダイクストラ法などを使ってこのグラフの最短経路問題を解けばいい
という感じでした
257:１３２人目の素数さん
22/01/18 22:49:55.26 koGbUQoF.net
test
258:１３２人目の素数さん
22/01/18 22:58:45.70 koGbUQoF.net
>>245
>10^m + 10^n + 10^k ≡ 0 ( mod 79 )が解を持ち
>10^m ≡ 78 - 10^n ( mod 79 )が解を持つから
ここがよくわからない。
10^(k+l) ≡ 1 ( mod 79 )
となるような適当な l をみつけて、
10^(m+l) ≡ 78 - 10^(n+l) ( mod 79 )
が解を持つからってこと？
259:１３２人目の素数さん
22/01/18 23:19:15.45 iQvcPKE+.net
>>249
> ここがよくわからない。
> 10^(k+l) ≡ 1 ( mod 79 )
> となるような適当な l をみつけて、
> 10^(m+l) ≡ 78 - 10^(n+l) ( mod 79 )
> が解を持つからってこと？
そう、l ≡ -k ( mod 78 ) を満たす正の整数でよい
260:１３２人目の素数さん
22/01/19 00:27:27.70 cj/AutuS.net
19 *
261: 579 = 11001 => 3
262:１３２人目の素数さん
22/01/19 10:34:58.09 fImGuT+t.net
19×52631579＝1000000001
263:１３２人目の素数さん
22/01/19 13:49:07.05 a7kTVwx1.net
7×143=1001
11×91=1001
13×77=1001
17×5882353=100000001
19×52631579=1000000001
23×4347826087=100000000001
29×3448275862069=100000000000001
264:１３２人目の素数さん
22/01/19 15:29:18.15 YHT5YPbg.net
>>226の出題者ですが「41」の方が良かったかもしれませんね
41の場合、実は5が最小値なのですが
その場合は100021や1002001、10003、などの可能性を全て否定しないといけないので
>>247のようにグラフ理論を用いた解法の方が幾分か楽かもしれません
265:１３２人目の素数さん
22/01/19 16:40:07.22 h0H/Iv3u.net
いわゆるゼロサム問題やな
上の方で出てたエルデシュの問題と同じ類
でもこっちは和がゼロになる最小の元数なので簡単
プログラム理論的にはdpの典型演習問題
10はZ/41Zの乗法群で位数5
A1=[1,10,18,16,37]
位数が奇数なのでこの中で和が0になるやつはない
２つの和で表される集合を探す
A2 = ns [ mod ( x+y ) 41 | x<- A1, y<-A1 ]
( ns は同じダブり消してるだけ)
= [2,6,11,12,14,17,19,20,26,28,32,33,34,36,38]
以下同文で繰り返す
let a3 = ns [ mod ( x + y ) 41 | x<-a2,y<-a1 ]
let a4 = ns [ mod ( x + y ) 41 | x<-a3,y<-a1 ]
let a5 = ns [ mod ( x + y ) 41 | x<-a4,y<-a1 ]
[2,6,11,12,14,17,19,20,26,28,32,33,34,36,38]
[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40]
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40]
a5にゼロが出て終了
まぁ位数の最小素因子で絶対0が出るのでもちろん4まで出なかった時点で5確定やけどな
266:１３２人目の素数さん
22/01/20 02:05:04.04 zmXpeh64.net
f:(-1,1)→Rを
f(x) = x-x^2+x^4-x^8+...=Σ_{k=1}^∞ x^(2^k)
と定める.
極限lim(x→1-0)f(x)は存在するか？
267:１３２人目の素数さん
22/01/20 02:05:55.11 zmXpeh64.net
>>256
訂正します
f:(-1,1)→Rを
f(x) = x-x^2+x^4-x^8+...=Σ_{k=0}^∞ (-1)^k x^(2^k)
と定める.
極限lim(x→1-0)f(x)は存在するか？
です
268:１３２人目の素数さん
22/01/20 03:05:41.55 H01KUwxR.net
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
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269:１３２人目の素数さん
22/01/20 19:12:27.18 ++pihKpq.net
>>257
g(t) = Σ[k=-∞,∞] e^(-πi(k+t)) x^(2^|k+t|)
と置くときgは周期1の関数で
g(t) = Σ[n=-∞,∞] a_n e^(2πint)
とフーリエ展開できる
係数は
a_n = ∫[0,1]Σ[k=-∞,∞] e^(-πi(k+t)) x^(2^|k+t|) e^(-2πint) dt
= ∫[-∞,∞] x^(2^|t|) e^(-πi(2n+1)t) dt
= ∫[1,∞] x^u u^(-πi(2n+1)/log2) du/(u log2) + complex conj.
= Γ(-πi(2n+1)/log2,-log x) (-log x)^(πi/log2) / log2 + complex conj.
ガンマ関数は虚軸方向に関して指数で急減少するので、g(0)の主要項はn=0で
a_0→2|Γ(-πi/log2)/log2| cos(πlog(-log x)/log2 + θ)
= 0.00274922168 * cos(πlog(-log x)/log2 + θ) as x→1-0
したがって振動する
270:１３２人目の素数さん
22/01/20 23:58:36.40 ++pihKpq.net
>>259
修正:係数の式のミス
a_n = ...
=...
...
× Γ(-πi(2n+1)/log2,-log x) (-log x)^(πi/log2) / log2 + complex conj.
〇 Γ(-πi(2n+1)/log2,-log x) (-log x)^(πi(2n+1)/log2) / log2 + complex conj.
補足:θはarg(Γ(-πi/log2))=1.513321789...,
f(x)=x-x^2+x^4-...
≒ 1/2 + 0.00274922168 cos(πlog(-log x)/log2 - 1.513321789
271:) (x→1-0)
272:１３２人目の素数さん
22/01/21 22:25:05.92 5kxkT9aM.net
>>257
f(x)=x-f(x^2) --- (*)
x^4=1-ε,0<ε<1/2と置くとx-x^2>ε/4より
f((1-ε)^(1/4))=f(x)=x-x^2+f(x^4)>ε/4+f(1-ε)
これを繰り返して
f((1-ε)^(1/4^n))
>f(1-ε)+ε/4+ε/4^2+...+ε/4^(n+1)
=f(1-ε)+ε(1-1/4^n)/3
ε=0.1,n>2とすると
f(0.9^(1/4^n))
>f(0.9)+0.1*(1-1/4^3)/3
>0.9-0.9^2+0.9^4-0.9^8+0.9^16-0.9^32+0.9^64-0.9^128+0.1*21/64
>0.50058
したがって(*)と合わせて考えると
0.5から少なくとも0.00058の距離で振動し収束しない