21/12/09 23:40:00.07 S+3An63U.net
Inter-universal geometry とABC 予想47
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:692番)
692 2021/12/09 ID:nwoSxie0
例えば数学科の一回生で"well-defined性"を習うけど、well-definedの規則を守って新しい概念を導入してできる理論は素の理論の保存拡大である事が補償されてるので、数学者は必要に応じて議論を円滑にするためにどんどん理論を“保存拡大”させていく事で理論の展開をスムーズにできる
もちろん保存拡大性さえ保証されてるなら一回生で習うこの方法に依らないオリジナルな記述法を利用するのはもちろん構わない
(引用終り)
これもな
この「通常の数学の保存拡大」という用語で、定義の"well-defined性"を論じているのがそもそもおかしいし
下記の一般的な”well-defined”とは、違う論になっているよね
どこの大学の数学科の一回生で、こんな教え方しているんだろうね？
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学におけるwell-defined[注釈 1]は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う
定義
ある定義がwell-definedであるのは次の二命題が示されたときである
・実際に成立する
（定義で）示された表式が成立しない場合[注釈 2]、well-definedであるとは言えない
・経由する中途の表式に依存しない
最終的な結論が中途の表式に依存している場合[注釈 4]、well-definedであるとは言えない
つまり定めた対象が一意に存在しているとき、well-definedであるという
代数学的定義
写像と定義域上の同値関係に対して、次のように数式を用いて記述することもできる。 集合X上の同値関係≡と写像f:?X → Yに対して
x ≡ x′ならばf(x) = f(x′)
が任意のx, x′ ∈ Xに対して成立するとき、写像fは関係≡に関してwell-definedであると言う
注釈
1^ 「容易く理解できる」といった意味の英語の形容詞である（反意語は ill-defined）
2^ 例えば極限値を用いた定義で、そもそも極限が存在しない場合など
3^ 例えば交わる二直線の狭角に関する定義で、その交点に（便宜的な理由から）新しい名前を付けるなど
4^ 前注釈の例を引き継いで述べると、用意した交点の位置（や名前）が変わると最終的な（定義の）結論が変わってしまう場合