22/04/15 10:52:01.37 OUlSMVpT.net
小平邦彦著『解析入門』
定理4.7(1)
f(x) を開区間 (a, b) で連続な x の関数とする。
広義積分 ∫_{a}^{b} f(x) dx が収束するならば、点 c, a < c < b, を一つ選んで
F(x) = ∫_{c}^{x} f(x) dx
とおいたとき、 F(x) は閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) では微分可能で F'(x) = f(x)
である。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
まず微分可能のほうは有名な定理そのものです。
そして、連続のほうは、例えば、 ∫_{c}^{x} f(x) dx が x = b で連続になるように広義積分を定義している
ので明らかです。
わざわざ証明まで書いていますが、定理のステートメント自体不要だと思います。