22/04/08 08:07:03.90 IJAwejbE.net
小平邦彦著『解析入門』
ψ(x) = 0 if x ≦ 0
ψ(x) = e^{-1/x} if x > 0
という関数が C^∞ 級ではあるが、実解析的ではない例として登場します。
もちろん、 C^∞ 級の関数なので、任意の n に対して、Taylorの公式
ψ(x) = (ψ^(n)(ξ) / n!) * x^n
が成り立ちます。
x > 0 とすると、
ψ(x) = (ψ^(n)(ξ) / n!) * x^n、 0 < ξ < x
です。
n → ∞ のとき、 (ψ^(n)(ξ) / n!) * x^n → 0 とならない。
当たり前のことが書いてあります。