22/03/31 13:24:57.95 RyhsBaxO.net
石田信著『代数学入門』
メビウスの反転公式の証明ですが、以下のように書いています：
「
Σ_{d | m} μ(m/d) * F(d) = Σ_{d | m} μ(m/d) * Σ_{k | d} f(k) であるが、 k | d なら k | m, m/d | m/k だから、
これは Σ_{k | m} (Σ_{l | m/k} μ(l)) * f(k) にひとしい。
」
「k | d なら k | m, m/d | m/k だから、これは Σ_{k | m} (Σ_{l | m/k} μ(l)) * f(k) にひとしい。」
何が言いたいのか分かりません。
自分なりに証明すると以下のようになります：
関数 I を I(n) = 1 for all n ∈ {1, 2, 3, …} と定義する。
Σ_{d | m} μ(m/d) * F(d) = Σ_{d | m} μ(m/d) * F(d) = Σ_{d | m} μ(m/d) * Σ_{k | d} f(k) = Σ_{d | m} μ(m/d) * Σ_{k | d} f(k) * I(d/k)
= Σ_{d1 * d2 * d3 = m} μ(d1) * f(d2) * I(d3) = Σ_{d1 * d3 * d2 = m} μ(d1) * I(d3) * f(d2)
= Σ_{k | m} (Σ_{l | m/k} μ(l) * I((m/k)/l)) * f(k)
= Σ_{k | m} (Σ_{l | m/k} μ(l)) * f(k)