22/03/28 20:18:13.46 Mt47r6e7.net
>>623
微積線型は、「説明を見る→問題を解く→できてないところを復習」で勉強したのですが、
代数学は計算問題ではなくて、なかなか抽象的・論理的に証明できずにいます。
651:１３２人目の素数さん
22/03/28 20:30:41.95 JCSPThxz.net
>>626
代数学は計算問題ではなくて、なかなか抽象的・論理的に証明できずにいます。
来た。微積線型の教科書は何？
証明は完全にとばしたのか。
幼児的なままのいい加減な勉強で終わらせた後に「躓きが無い」と感じられるテキストなんてあるのか。
652:１３２人目の素数さん
22/03/28 20:37:11.87 JCSPThxz.net
>>625
微積線型の勉強がいい加減でもそのテキスト(雪江)を使って代数の勉強は可能。もちろん人にもよるけど。
証明や例題の解答で省略されている所や分からない所はこのスレとかで質問すれば行ける。底辺大学っぽいけど。
653:１３２人目の素数さん
22/03/28 21:39:21.91 XVIauYBm.net
>>625
>群Gの部分集合HがGの部分群になるための必要十分条件は,次の３つの条件が満たされることである.
その本で部分群であることの定義である条件がいくつか提示されていると思うけど
それも書いて
654:616
22/03/28 23:44:17.09 Mt47r6e7.net
>>627
大学の講義だけで教科書は使ってないです。重積分解くとか逆行列求めるとかその程度です。
聞いてると２年３年で代数学的になりそうですね。
そして数学的な証明をまず勉強する必要がありそうですね。
>>628
大学は宮廷なので底辺なのはどちらかというと私ですね。
>>629
Gを群, H ⊂ Gを部分集合とする. HがGの演算によって群になるとき, HをGの部分群という.
一瞬、定義から組み立てられるのかなとも思ったのですが、即書けるほど甘くないですね。
証明の部分部分は追えるのですが、書けといわれるとどう構築するかが解らないです。
集合と論理あたりを先に勉強したほうが良さそうですね。
655:１３２人目の素数さん
22/03/29 00:49:44.24 1XoDXVdk.net
>>630
>Gを群, H ⊂ Gを部分集合とする. HがGの演算によって群になるとき, HをGの部分群という.
なら群であるための定義はどう提示されているの？
656:１３２人目の素数さん
22/03/29 06:50:43.37 385K01/b.net
無駄にスレを消費しないで下さい。
657:１３２人目の素数さん
22/03/29 12:18:33.96 1XoDXVdk.net
>>632
じゃ
バッチリ答えてあげなよ
658:１３２人目の素数さん
22/03/29 13:40:16.48 uTNYbRGD.net
Michael Atiyah他著『Introduction to Commutative Algebra』を持っているのですが、松坂和夫さんの本を読むより分かりやすいですか？
659:１３２人目の素数さん
22/03/29 13:47:02.96 uTNYbRGD.net
なんか代数学への入門書で勉強するより、群論なら群論、環論なら環論の本を読んだほうがいいのではないかと思えてきたのですが。
660:１３２人目の素数さん
22/03/29 13:50:01.98 Ot/p6OTh.net
>>634
前者を読め。
お前が読めるとは思えないので途中で挫折したら「問題が解けないし僕には無理でした」とちゃんと報告すること。著者のせいにばかりするのはそろそろやめろ。
661:１３２人目の素数さん
22/03/29 16:00:12.28 385K01/b.net
うるせぇ、はげ
662:１３２人目の素数さん
22/03/29 19:29:39.40 THdx4nTq.net
>>631
お時間空いてすみません。
"""
Gを空集合ではない集合とする. G上の演算が定義されていて次の性質を満たすとき, Gを群という
(1) 単位元と呼ばれる元 e∈G があり, すべてのa∈Gに対し ae = ea = a となる.
(2) すべての a∈G に対し b∈G が存在し, ab = ba = eとなる. この元bはaの逆元とよばれ a^-1 とかく.
(3) すべての a,b,c ∈ G に対し, (ab)c = a(bc) が成り立つ
663:（結合法則）. """ 以上が群の定義です。 >>625について考えたこととして、 1_GはGの単位元, 1_HはHの単位元として, (2) x, y ∈ H なら、xy ∈ H.→ Gの演算が成立？（によってHが群になればよい）＜部分群の定義の言い換え＞ (1) 1_G∈H → 1_H∈H (単位元は一意なので) , すべてのa'∈Hに対し a'e = ea' = a' となる.＜群の定義（１）の言い換え＞ (3) すべての x∈H に対し x^-1∈H が存在し, x x^-1 = x^-1 x = 1_H∈Hとなる. ＜群の定義（2）の言い換え＞ のような形で対応しているとは思うのですが、群の定義の結合法則については言い換えてませんよね？ なぜ>>625の(1), (2), (3)で well defined(用法違いならすみません)なのか、なぜ結合法則を>>625では言い換えてないのか、 HがGの演算をしていることを示せているのかなど飲み込めていないです。何を示せばゴールといった明確な道標がわからないです。 収束の理論などはノルムさえ作れればあとは計算でしっくりきます。
664:１３２人目の素数さん
22/03/29 20:07:13.75 Ot/p6OTh.net
>>638
なるほど。お前全然駄目だな。よく分かった。「たまに質問して大部分は自力で進めて行ける」というようなレベルではない。ここに居るアスペと同じだ。
665:１３２人目の素数さん
22/03/29 20:34:51.66 0UX48HUh.net
>>638
とりあえずwell-definedの意味はまだ慣れていない
その例題が言っているのは
部分群⇔(1)かつ(2)かつ(3)
を示すということだけで、well-definedは関係ない
足を引っ張ろうとする人は気にせず、少しずつ理解していけばいいと思うよ
666:１３２人目の素数さん
22/03/29 20:39:28.11 1XoDXVdk.net
>>638
>群の定義の結合法則については言い換えてませんよね？
積を具体的にμ(x,y)と書くと結合法則は
すべてのx,y,z∈Gについてμ(μ(x,y),z)=μ(x,μ(y,z))が成立することを意味している
ところで
すべてのx,y,z∈Hについてμ(μ(x,y),z)=μ(x,μ(y,z))が成立すればHで結合法則が成り立つことになるんだけど
これ（すべてのx,y,z∈Hについてμ(μ(x,y),z)=μ(x,μ(y,z))）は成立しますかね？
667:１３２人目の素数さん
22/03/29 20:40:51.64 1w74Zo3k.net
>>641
Hの元をGの元と見れば結合律は自明
668:１３２人目の素数さん
22/03/29 21:13:47.30 /SNb8XOl.net
H⊂Gよりx,y,z∈Hならばx,y,z∈G
669:１３２人目の素数さん
22/03/29 22:19:07.17 1XoDXVdk.net
>>642,643
その通り！君元質問者？
違ったら元質問者の人>>642,643で分かったかな？
自明なので確認の必要が無いわけ
670:１３２人目の素数さん
22/03/29 22:28:59.66 /SNb8XOl.net
自明な事を言語化させるための演習だな
671:616
22/03/30 01:08:43.47 Dgy1DVL6.net
>>641-644
（結合法則）の位置だけ文頭にあるのを文末に替えてます。
HをGの部分群というときの条件（の１つ）として
"H（すべてのx,y,z∈H）がGの演算(μ(μ(x,y),z)=μ(x,μ(y,z)))によって群になるとき."
があるので、成立するように定義されていると条件を必要条件として満たす。
逆に十分条件は（２）によってx,y∈H → μ(x∈H, y∈H)∈H → μ(μ(x,y)∈H,z∈H) ∈ H
ということですかね。これだと、確かに定義から必要十分条件で結べてますね。
>>640
ありがとうございます。切り口がわかってきました。
部分群⇔(1)かつ(2)かつ(3)
を示すのところで、群や部分群の定義が疎かだったので、何をどうつなげるかに合点がいっていませんでした。
定義からつなげて必要十分条件を繋げれるように、まずは定義をしっかり覚えることにします。
>>645
そうですね。暗中模索でしたが、少し考え方がわかった気がします。
672:１３２人目の素数さん
22/03/30 12:58:18.57 /B5FJpee.net
なれないうちはμとμ|_Hを書き分けるべきだと思うの
673:１３２人目の素数さん
22/03/30 14:47:04.27 t2tndNMS.net
以下の行列は鏡映をする正方行列です。
{{cos[x], sin[x], 0},
{sin[x], -cos[x], 0},
{0
674:, 0, 1}} これの単因子を求めると 1, x-1, x^2+1 になると思います。 これをジョルダン標準形に直すと {{1, 0, 0 } {0, 1, 0}, {0, 0, -1}} となりますが、 この単因子はx-1,x-1,x-1だと思います。 単因子が異なるのに2つの行列が相似となるのはなぜでしょうか。
675:１３２人目の素数さん
22/03/30 15:45:11.82 vKjK7M3w.net
>>648
どちらも単因子は1, x-1, x^2-1
676:１３２人目の素数さん
22/03/30 16:39:04.91 6qYhvM+D.net
>>648
>これの単因子
xって数値？
で
変数xの特性行列の単因子？
677:１３２人目の素数さん
22/03/30 17:09:35.01 t2tndNMS.net
>>649
ありがとうございます。考え直してみます
>>650
そうです。変数xの特性行列の単因子です。
678:１３２人目の素数さん
22/03/30 17:24:20.59 t2tndNMS.net
記述にミスがあったため書き直しました。すみません。
以下の行列は鏡映をする正方行列です。
{{cos[θ], sin[θ], 0},
{sin[θ], -cos[θ], 0},
{0, 0, 1}}
この行列の特性x行列の単因子を求めると
1, x-1, x^2+1
になると思います。
これをジョルダン標準形に直すと
{{1, 0, 0 }
{0, 1, 0},
{0, 0, -1}}
となりますが、
この特性x行列の単因子はx-1,x-1,x+1だと思います。
単因子が異なるのに2つの行列が相似となるのはなぜでしょうか。
679:１３２人目の素数さん
22/03/30 18:31:40.81 vKjK7M3w.net
もう一度言います最初の行列の単因子は
1, x-1, x^2-1=(x-1)(x+1)
単因子は定義により一つ前の多項式は次の多項式の因子です
だから単因子がx-1,x-1,x+1となることはありません
x-1の次は(x-1)*(何か)，今の場合（何か）=x+1ですね
もう一度教科書を確かめてください
680:１３２人目の素数さん
22/03/30 18:45:23.12 6qYhvM+D.net
>>652
>この特性x行列の単因子はx-1,x-1,x+1だと思います。
(x-1,0
0.x+1)
の部分多項式成分の基本変形で
(1,0
0,x^2-1)
になるよ
ていうか君が
>{{cos[θ], sin[θ], 0},
>{sin[θ], -cos[θ], 0},
>{0, 0, 1}}
>この行列の特性x行列の単因子を求めると
>1, x-1, x^2+1
>になると思います。
と書いているθ=0のときが後者だけど
681:１３２人目の素数さん
22/03/30 19:06:48.95 t2tndNMS.net
>>653
>>654
ありがとうございます。いろいろ間違っていることがわかりました。
出直してきます。
682:１３２人目の素数さん
22/03/30 20:38:22.50 FMgtKCsb.net
高木貞治著『初等整数論講義第2版』
仮定によって (a, b) = 1 であるから, 任意の整数 k を
a*y + b*x = k
の形に表わすことができる（定理1.7）。
いま法 a*b に関して考察すれば、 ｘ を a の倍数だけ増減しても、または ｙ を ｂ の倍数だけ増減しても、 a*y + b*x は a*b の倍数だけ増減するのであるから、 a*b を法としての一類に属する。
よって a*y + b*ｘ なる式において、 ｘ には a を法としての各類代表の一組である a 個の値を与え、また ｙ には ｂ を法としての代表の一組である ｂ 個の値を与えるときに、この式 a*y + b*x から出る
a*b 個の値はすなわち a*b を法としての各類の代表の一組でなくてはならない.。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
「よって a*y + b*ｘ なる式において、 ｘ には a を法としての各類代表の一組である a 個の値を与え、また ｙ には ｂ を法としての代表の一組である ｂ 個の値を与えるときに、この式 a*y + b*x から出る
a*b 個の値はすなわち a*b を法としての各類の代表の一組でなくてはならない.。」
これが成り立つ理由を教えて下さい。
683:１３２人目の素数さん
22/03/30 20:47:44.82 FMgtKCsb.net
↓の2つの文を「よって」でつないでいますが、ギャップがありすぎませんか？
いま法 a*b に関して考察すれば、 ｘ を a の倍数だけ増減しても、または ｙ を ｂ の倍数だけ増減しても、
a*y + b*x は a*b の倍数だけ増減するのであるから、 a*b を法としての一類に属する。
よって、
a*y + b*ｘ なる式において、 ｘ には a を法としての各類代表の一組である a 個の値を与え、また ｙ には
ｂ を法としての代表の一組である ｂ 個の値を与えるときに、この式 a*y + b*x から出る a*b 個の値は
すなわち a*b を法としての各類の代表の一組でなくてはならない.。
684:１３２人目の素数さん
22/03/30 20:52:17.42 FMgtKCsb.net
a を法としての各類代表の一組である a 個の値の集合を {x_1, …, x_a} とし、
b を法としての各類代表の一組である b 個の値の集合を {y_1, …, y_b} とするとき、
a*y_j + b*x_i が互いに非合同であることを証明すればいいわけです。
685:１３２人目の素数さん
22/03/30 22:59:41.53 hhCzbwGk.net
>>656
>これが成り立つ理由を教えて下さい。
f(x,y)=ay+bx:Z^2->Zは全射準同形なので
p:Z->Z/(ab)をつなげても全射準同形
ker(pf)=aZ×bZであって
Z^2/(aZ×bZ)の完全代表系を
K={(x,y)∈Z^2|0≦x<a,0≦y<b}とすると
i:K⊂Z^2とつなげたpfi:K->Z/(ab)は全単射
686:１３２人目の素数さん
22/03/30 23:01:56.94 hhCzbwGk.net
>>657
>↓の2つの文を「よって」でつないでいますが、ギャップがありすぎませんか？
全然？
687:１３２人目の素数さん
22/03/31 07:37:27.13 RyhsBaxO.net
やはり「よって」で上の文と下の文をつなぐのはおかしいですよね。
「よって」と書いている
688:ということは、上の文に下の文の理由が書いてあるはずです。 ですが、上の文のどこを探しても下の文が成り立つ理由は書いてありません。 高木貞治さんは大丈夫な人だったのでしょうか？ いま法 a*b に関して考察すれば、 ｘ を a の倍数だけ増減しても、または ｙ を ｂ の倍数だけ増減しても、 a*y + b*x は a*b の倍数だけ増減するのであるから、 a*b を法としての一類に属する。 よって、 a*y + b*ｘ なる式において、 ｘ には a を法としての各類代表の一組である a 個の値を与え、また ｙ には ｂ を法としての代表の一組である ｂ 個の値を与えるときに、この式 a*y + b*x から出る a*b 個の値は すなわち a*b を法としての各類の代表の一組でなくてはならない.。
689:１３２人目の素数さん
22/03/31 07:47:26.73 RyhsBaxO.net
Hardy & Wrightの有名な本に同じ命題（定理59）が書いてありました。
非常に分かりやすい証明です。
690:１３２人目の素数さん
22/03/31 07:50:08.98 RyhsBaxO.net
a*y + b*x = a*y' + b*x' (mod a*b)
⇒
b*x = b*x' (mod a)
よって、 x = x' (mod a)
a*y = a*y' (mod b)
よって、 y = y' (mod b)
691:１３２人目の素数さん
22/03/31 07:57:34.62 RyhsBaxO.net
高木貞治さんが「よって、」の上の文で言っているのは、要するに以下のことです：
(1)
x = x' (mod a)
⇒
a*y + b*x = a*y + b*x' (mod a*b)
(2)
y = y' (mod b)
⇒
a*y + b*x = a*y' + b*x (mod a*b)
692:１３２人目の素数さん
22/03/31 08:00:45.28 RyhsBaxO.net
高木貞治さんの文章を数式で書くと以下になります。
「よって、」のおかしさは明白ですよね。
x = x' (mod a) ⇒ a*y + b*x = a*y + b*x' (mod a*b)
y = y' (mod b) ⇒ a*y + b*x = a*y' + b*x (mod a*b)
よって、
a*y + b*x = a*y' + b*x' (mod a*b) ⇒ x = x' (mod a) かつ y = y' (mod b)
693:１３２人目の素数さん
22/03/31 08:03:30.97 RyhsBaxO.net
Hardy & Wrightの証明
>>663
に類するようなことを書くべきだったわけです。
694:１３２人目の素数さん
22/03/31 08:48:56.55 RyhsBaxO.net
>>665
試験でこんな答案を書いたとしたら零点ですよね。
695:１３２人目の素数さん
22/03/31 09:19:45.70 rC8zEOK8.net
「ぼくでもすっきりわかるさいきょうのしょうめい」以外は認めない松坂くんからしたら、そりゃまあ零点でしょうね
普通の人からすれば零点ではないし、そもそも紙面の限られた教科書にある全ての証明一つ一つに対してそのままテストで満点取れる（笑）レベルの細かさを要求するのが間違い
696:１３２人目の素数さん
22/03/31 09:28:14.80 wrKDUxeZ.net
そもそもテストで求められる丁寧さもだれ対象かで変わってくる
学部の一回生のための試験と大学院入試とでは採点基準も変わる
そんな当たり前の事数学勉強始めて遅くとも最初の1年以内くらいには気づいてないといけない事
それがもう何年も何年も数学の教科書読んでるのに気がつかない能無しぶり
全く見込みがない
元々の地頭も悪いんだろうけど、数学という学問に対しての心構えそのものができてない、そしてそういうのが学問極めていくのに一番大切で数学の勉強のキモである事が一部の能無しには永遠に分からんのやろ
697:１３２人目の素数さん
22/03/31 09:36:07.51 DOhF98a2.net
単射見逃したところで少し牙が折れたかと思ったけど反省ゼロだったか
698:１３２人目の素数さん
22/03/31 09:39:12.16 wrKDUxeZ.net
>>670
まさにお前の話だよ、能無し
699:１３２人目の素数さん
22/03/31 09:57:24.20 dUjH0WlN.net
>>666
>に類するようなことを書くべきだったわけです。
言葉で説明していてアレで十分よ
700:１３２人目の素数さん
22/03/31 09:59:02.13 RyhsBaxO.net
>>672
>>665
のどこが十分なのでしょうか？
701:１３２人目の素数さん
22/03/31 09:59:06.85 dUjH0WlN.net
>>670
だったみたいね
702:１３２人目の素数さん
22/03/31 09:59:27.47 dUjH0WlN.net
>>673
ガンバってね
703:１３２人目の素数さん
22/03/31 10:44:24.21 N1ew4tno.net
>>663
これは自明なので著者はとばした。付いてこれない低能は読む資格が無いということ。
お前の質問は全て同じ。
普通の読者は、著者が自明とみなして省略した部分を自力で補いながら読む。「金返せ」と言わんばかりの勢いだが、お前は数学の本を読むのをやめろ。早く死ね。
704:１３２人目の素数さん
22/03/31 11:03:06.54 N1ew4tno.net
>>667
0点は無い。
しかしお前みたいな奴は面接で0点を取る可能性はあるな。しっかり見抜いて0点をつけてもらいたい。
一見細部にまで注意が行き届くように見えて実際には単なるアスペだからな。数学をやる能力が無い。
705:１３２人目の素数さん
22/03/31 11:08:22.30 RyhsBaxO.net
>>676
これが自明というのなら、自明だからという理由で飛ばさなければならない箇所は非常に多いと思います。
初等整数論講義第2版は薄っぺらい本になっていなければなりませんが、実際にはそうではありません。
706:１３２人目の素数さん
22/03/31 11:12:12.69 N1ew4tno.net
>>678
だから、お前には読む資格が無い本なんだよ。読むのをやめろ。お前の批判は的外れで低レベルなので共感を呼ばないのは分かるか？
707:１３２人目の素数さん
22/03/31 11:15:22.84 N1ew4tno.net
>>678
とばすか書くかはお前が決めるのではない。著者が決めること。薄くするのもありだがそれしかあり得ないという思考がお前がアスペの証拠。
お前はここに書き込む時に「自分がアスペでつまらない細かいことだけに目が向いてしまう」ということを自覚しろ。
708:１３２人目の素数さん
22/03/31 11:22:41.41 N1ew4tno.net
この種のアスペは
この本にはこの大事な定理が載っていません。著者は大丈夫な人でしょうか
とか、この本にはこんな無駄な定理が載っています。もっと他に書くことがあるのではないてしようか
とか、アスペ丸出しのことを書き込んてしまう。
709:１３２人目の素数さん
22/03/31 13:24:57.95 RyhsBaxO.net
石田信著『代数学入門』
メビウスの反転公式の証明ですが、以下のように書いています：
「
Σ_{d | m} μ(m/d) * F(d) = Σ_{d | m} μ(m/d) * Σ_{k | d} f(k) であるが、 k | d なら k | m, m/d | m/k だから、
これは Σ_{k | m} (Σ_{l | m/k} μ(l)) * f(k) にひとしい。
」
「k | d なら k | m, m/d | m/k だから、これは Σ_{k | m} (Σ_{l | m/k} μ(l)) * f(k) にひとしい。」
何が言いたいのか分かりません。
自分なりに証明すると以下のようになります：
関数 I を I(n) = 1 for all n ∈ {1, 2, 3, …} と定義する。
Σ_{d | m} μ(m/d) * F(d) = Σ_{d | m} μ(m/d) * F(d) = Σ_{d | m} μ(m/d) * Σ_{k | d} f(k) = Σ_{d | m} μ(m/d) * Σ_{k | d} f(k) * I(d/k)
= Σ_{d1 * d2 * d3 = m} μ(d1) * f(d2) * I(d3) = Σ_{d1 * d3 * d2 = m} μ(d1) * I(d3) * f(d2)
= Σ_{k | m} (Σ_{l | m/k} μ(l) * I((m/k)/l)) * f(k)
= Σ_{k | m} (Σ_{l | m/k} μ(l)) * f(k)
710:１３２人目の素数さん
22/03/31 13:25:47.35 RyhsBaxO.net
>>682
ダミーの関数 I を考えたところがうまいですね。
711:１３２人目の素数さん
22/03/31 13:44:16.14 jhVzzh6/.net
>>682
>何が言いたいのか分かりません。
割と分かりやすい部分だよ
712:１３２人目の素数さん
22/03/31 14:25:35.05 RyhsBaxO.net
石田信著『代数学入門』
「
しかし、 R が単位元をもつ環であっても、部分環 S は必ずしも単位元をもつとはかぎらない（例3参照）。
また部分環 S が単位元（≠ 0）をもっていても、それが R の単位元であるとはかぎらない（問5）。
」
この注意は必要ですよね。
松坂和夫著『代数系入門』では、単位元をもつ環のことを環と定義しています。
『代数系入門』での群 G の部分群の定義は、それ自身群になるような G の部分集合というものです。
部分環は、それ自身環になるような R の部分集合のこととは定義していません。
部分環とは、それ自身環になるような R の部分集合で、 R の単位元を含むものという定義です。
この定義は、
「また部分環 S が単位元（≠ 0）をもっていても、それが R の単位元であるとはかぎらない（問5）。」
↑のような S を部分環から排除したいためだと思いますが、このような例について『代数系入門』には記述がありません。
松坂和夫さんは一体何を考えていたのしょうか？
このような例は必ず書かなければならないものだと思います。
713:１３２人目の素数さん
22/03/31 14:34:37.92 RyhsBaxO.net
部分群の場合には、それ自身群になるような G の部分集合でありさえすれば、 1_G を必然的に含みますが、
環の場合にはそうではありません。
こういう違いがあるという注意は、いかにも松坂和夫さんが書きたがりそうな注意ですが、書いていません。
環の定義はやはり、加法について可換群であり、乗法について結合法則が成り立ち、分配法則が成り立つものという定義がいいと思います。
これだと環の場合にも、
部分環とは、それ自身環になるような R の部分集合のこと
と定義できるからです。
714:１３２人目の素数さん
22/03/31 14:54:58.35 RyhsBaxO.net
石田信著『代数学入門』
この本での部分体の定義はやはり
それ自身体になるような F の部分集合のこと
というものです。
「
ここでつぎの注意をしておこう。 S を環 R の部分環とする。このとき、 S は加法群としての R の部分群だから、 S の零元は R の零元 0 と一致し、
また S の元 c の S での（加法の）逆元は c の R での逆元 -c と一致する（1-7節参照）。さらに K が体 F の部分体のときは、 K^* = K - {0} は
乗法群としての F^* = F - {0} の部分群だから、 K の単位元は F の単位元 e と一致し、また K の元 c ≠ 0 の K での（乗法の）逆元は c の F での
逆元 c^{-1} と一致する（1-7節参照）。
」
統一感があって、気持ちがいいですね。
715:１３２人目の素数さん
22/03/31 16:50:45.25 RyhsBaxO.net
現在、1591位ですね。
誰か、買った人、書店で見た人いますか？
テンソル代数と表現論: 線型代数続論 単行本 ? 2022/3/26
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言語 ? : ? 日本語
単行本 ? : ? 304ページ
ISBN-10 ? : ? 4130629298
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716:１３２人目の素数さん
22/03/31 18:47:22.29 dUjH0WlN.net
>>685
>しかし、 R が単位元をもつ環であっても、部分環 S は必ずしも単位元をもつとはかぎらない（例3参照）。
>また部分環 S が単位元（≠ 0）をもっていても、それが R の単位元であるとはかぎらない（問5）。
普通の定義だと0と1は共通よ
あんまり広げてもつまらないし
717:１３２人目の素数さん
22/03/31 18:54:17.52 RyhsBaxO.net
石田信著『代数学入門』
Five Lemmaって何の役に立つんですか？
この命題を見ても、「だから何？」という感想しか持てませんよね。
718:１３２人目の素数さん
22/03/31 19:14:31.66 dUjH0WlN.net
>>690
誰かの言葉を借りれば
超基礎中の基礎
719:１３２人目の素数さん
22/03/31 19:40:24.12 RyhsBaxO.net
>>691
石田信著『代数学入門』
Five Lemmaで証明することが2つあります。
1つは本文で証明されています。
もう一方をノーヒントで証明しました。
証明の最後までの流れは見渡せない感じですが、次に何をすべきかは各段階で自ずと分かりますね。
各段階ですべきことをするといつの間にか最後の結論を導いているという感じですね。
センスありますか？
720:１３２人目の素数さん
22/03/31 19:55:45.22 dUjH0WlN.net
>>692
>いつの間にか最後の結論を導いているという感じ
つまり
一見意味不明に見えて当たり前の結果だってことなんだよね
721:１３２人目の素数さん
22/04/02 18:22:55.98 at4qHNQh.net
池田岳著『テンソル代数と表現論』
書店で見てきました。
ぱらぱらと見た感じでは、特に分かりやすく書かれているわけでもない普通の本という感じでした。
722:１３２人目の素数さん
22/04/02 19:46:10.09 CFY9yb0C.net
>>692
＞センスありますか？
自分の中では「歴史に名を残す大天才レベル」だと思ってそう
723:１３２人目の素数さん
22/04/02 22:21:42.19 qXvt9j2y.net
どこで質問したらよいのかわからないのでここで質問させてください。
より相応しい場所があれば教えていただけると助かります。
確率の問題です。
それぞれ異なる確率x1, x2, ..., xm で成功する独立した試行がm個存在するとき、
これらの試行のうちちょうどn個(0 <= n <= m)が成功する確率の求め方を教えてください。
n=0の時は(1- x1) * (1 - x2) * ...で、n=mの時は単純に全部かければよいとわかるのですが、
それ以外のパターンは一般化できるのでしょうか？
724:１３２人目の素数さん
22/04/02 22:48:04.28 at4qHNQh.net
リーマン・スティルチェス積分は普通のリーマン積分と難易度は少しも変わりませんが、なぜ一部の微分積分の教科書しかリーマン・スティルチェス積分について書かれていないのでしょうか？
725:１３２人目の素数さん
22/04/03 10:57:33.16 hj1bT/iI.net
>>696
二項分布
726:１３２人目の素数さん
22/04/03 11:46:00.63 LwomPzda.net
>>696
p1,p2,…,pmをそれぞれの生起確立とする
x1,x2,…,xmをそれぞれが起これば1起こらなければ0の確率変数とする
P(x1,x2,…,xm)
=p1^x1(1-p1)^(1-x1)p2^x2(1-p2)^(1-x2)
727:…pm^xm(1-pm)^(1-xm) Σ_{x1,x2,…,xm}P(x1,x2,…,xm)t^(x1+x2+…+xm) =Σ_{x1}p1^x1(1-p1)^(1-x1)t^x1Σ_{x2}p2^x2(1-p2)^(1-x2)t^x2…Σ_{xm}pm^xm(1-pm)^(1-xm)t^xm =(p1t+(1-p1))(p2t+(1-p2))…(pmt+(1-pm))=F(t) Σ_{x1+x2+…+xm=n}P(x1,x2,…,xm) =F^(n)(0)/n!
728:１３２人目の素数さん
22/04/03 11:51:19.12 qnTq7OrA.net
吉田伸生著『複素関数の基礎』
昨日、本屋でぱらぱらと見ました。
参考文献に「松阪和夫」などと書かれていました。
雪江明彦さんもYouTubeの講義動画で黒板に「松阪」などと書いていました。
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
729:１３２人目の素数さん
22/04/03 11:54:02.19 LwomPzda.net
m=4,n=2なら
p1p2(1-p3)(1-p4)+p1(1-p2)p3(1-p4)+p1(1-p2)(1-p3)p4+(1-p1)p2p3(1-p4)+(1-p1)p2(1-p3)p4+(1-p1)(1-p2)p3p4
=(p1p2+p1p3+p1p4+p2p3+p2p4+p3p4)-3(p1p2p3+p1p3p4+p2p3p4)+6p1p2p3p4
730:１３２人目の素数さん
22/04/03 12:11:14.36 LwomPzda.net
>>699
>(p1t+(1-p1))(p2t+(1-p2))…(pmt+(1-pm))=F(t)
F(t+1)=(1+tp1)(1+tp2)…(1+tpm)=Σt^ns_n(p1,p2,…,pm)
ここでs_n(x1,x2,…,xm)はn次基本対称式
F^(n)(t+1)=(F(t+1))^(n)=Σ((n+k)!/k!)t^ks_(n+k)(p1,p2,…,pm)
Σ_{x1+x2+…+xm=n}P(x1,x2,…,xm)
=F^(n)(0)/n!
=Σ(n,k)(-1)^ks_(n+k)(p1,p2,…,pm)
ここで(n,k)=(n+k)!/n!k!=(n+k)Cn
731:１３２人目の素数さん
22/04/03 12:56:46.02 qnTq7OrA.net
>>694
この本ですが、佐武一郎さんの本よりも分かりやすく書いたとか著者が書いていましたが、佐武一郎さんの本はそんなに分かりにくいんですか？
テンソル代数よりも前の部分は証明などが非常に明晰だと思うのですが。
732:１３２人目の素数さん
22/04/03 14:51:08.88 PETaFxsk.net
キミ
前に佐武さんて大丈夫な人なんですか
と書いていたんじゃない
今度は池田さんて大乗な人でしょうか
とかくの？
733:１３２人目の素数さん
22/04/03 16:43:19.86 LwomPzda.net
>>697
あんまり使わないから
734:１３２人目の素数さん
22/04/03 16:49:33.29 LwomPzda.net
でも
確率論やるなら必須
735:１３２人目の素数さん
22/04/03 17:13:41.40 qnTq7OrA.net
>>705-706
Walter Rudin著『Principles of Mathematical Analysis 3rd Edition』
では、 α が区間 [a, b] で単調非減少関数であるときに、
リーマン・スティルチェス積分 ∫_{a}^{b} f dα を定義しています。
岩波数学入門辞典を調べたら、 α は有界変動関数となっていました。
736:１３２人目の素数さん
22/04/04 10:09:15.59 3TmVav6Y.net
F を（可換）体とする。
R を F の部分環で単位元をもつとする。
R の単位元は F の単位元と一致することを示せ。
737:１３２人目の素数さん
22/04/04 10:46:08.85 3TmVav6Y.net
あ、簡単でした。
e_R * e_R = e_R = e_F * e_R
∴ e_R = e_F
738:１３２人目の素数さん
22/04/05 15:03:19.63 mjR/NTJt.net
開区間 I で定義された関数 f で、I 内に不連続な点が至る所稠密に分布しているのと同時に
I 内に微分可能な点が至る所稠密に分布しているようなものの例を挙げよ。
小平邦彦著『解析入門』にこのような例が書いてあります。
小平さんのオリジナルだと思いますが、小平さんとは違うもっと分かりやすい例はありますか？
739:１３２人目の素数さん
22/04/05 15:47:47.76 TN8WWiQx.net
>>710
その例知らんけど
普通はf(m/n)=1/nみたいなのでは？
これじゃ微分可能じゃないかな
まあでも似たようなのでできそう
740:１３２人目の素数さん
22/04/05 16:13:36.65 dCfhceFh.net
(0,1)の実数xに対して関数I(x)をxの十進表示(ある桁から全部9は禁止)x = Σ a(x,n)10^(-n)とする
I(x) = sup{ n | a(x,n) ≠ 0 }
としておく(∞もとりうる)
f(x) = Σ[ y ≦ x ] (1/100)^I(y)H(x - y )
とする、H(x)はH(0)=1/2のヘビサイドの関数
741:１３２人目の素数さん
22/04/05 19:03:01.52 mjR/NTJt.net
>>711-712
ありがとうございました。
>>712
小平さんの例のほうが分かりやすいようです。
742:１３２人目の素数さん
22/04/05 20:58:51.77 mjR/NTJt.net
小平邦彦さんのp.109例3.1の証明を読んでみましたが、証明の一番最後のところの議論が
むちゃくちゃ分かりにくかったです。
もっと議論を分かりやすくできるはずです。
743:１３２人目の素数さん
22/04/05 21:51:56.64 zo35/FUy.net
>>714
キミガヤルノラ
744:１３２人目の素数さん
22/04/06 09:39:17.20 NqZL91k4.net
笠原晧司著『微分積分学』
「
定理4.25 f(x) が x_0 で解析的なら、 x_0 の適当な近傍の各点で解析的である。
注意 これはおどろくべきことである。「1点で微分可能なら、その近傍の各点で
微分可能」などということはない。これと対照的に、解析性は1点での性質がある
近傍での同じ性質を導くのである。
」
などと書いています。
f を連続関数とします。
「1点で 0 でないなら、その近傍の各点で 0 でない」という性質が成り立ちます。
これはおどろくべきことでしょうか？
笠原さんは一体どんな数学的センスの持ち主なのでしょうか？
745:１３２人目の素数さん
22/04/06 10:19:27.09 jpE5qX2/.net
>>716
驚かされました
1点で0であるという性質と1点で微分可能であるという性質が同等であるとは
一体どんな数学的センスの持ち主なのでしょうか？
746:１３２人目の素数さん
22/04/06 10:26:57.36 XpyYLwVi.net
>>716
驚くべきことを発見しました。数学的センスの無い読者にかかるとどんな数学書の著者も侮蔑の対象になってしまうのですね。勉強になりました。
あなたのレスは全てそれですね。すごいですね。
747:１３２人目の素数さん
22/04/06 10:37:53.16 GMfgtPM7.net
まぁまともに相手するのも無意味だというのがこのレスひとつでよくわかるよな
この定理こそ人類が解析学の研究で発見した数ある定理の中でも最も重要なものの一つなのに
なぜこの定理がそんなに偉大な定理なのか理解できるのは確かに聞いてすぐ理解できる人間は少ない、しかしそこから「へぇ、そうなんや、なんでやろ」と次の目標を見つけて少しずつ少しずつ階段を上がって行くのが修行なのにこの能無しのクソはそもそも自分に対する過大評価でそれが全くできない
もう生まれついた人格異常なんやろ
どうせこの先も頭打ちの超低レベルなとこウロウロして終わりやからもうやめとけ
748:１３２人目の素数さん
22/04/06 17:50:11.06 NqZL91k4.net
小平邦彦著『解析入門』
この本、記号がひどすぎますね。
D^{+} f(x) = lim_{h→+0} (f(x+h) - f(x)) / h
という右微分係数を表す記号が定義されています。
その後、
D^{+} |sin(π*k)|
などという記号が登場します。
これが
f(x) = |x| の x = sin(π*k) における右微分係数なのか
f(x) = |sin(x)| の x = π*k における右微分係数なのか
f(x) = |sin(π*x)| の x = π*k における右微分係数なのか
D^{+} |sin(π*k)|
を見ただけでは判断できませんよね。
749:１３２人目の素数さん
22/04/06 17:51:20.01 NqZL91k4.net
訂正します：
小平邦彦著『解析入門』
この本、記号がひどすぎますね。
D^{+} f(x) = lim_{h→+0} (f(x+h) - f(x)) / h
という右微分係数を表す記号が定義されています。
その後、
D^{+} |sin(π*k)|
などという記号が登場します。
これが
f(x) = |x| の x = sin(π*k) における右微分係数なのか
f(x) = |sin(x)| の x = π*k における右微分係数なのか
f(x) = |sin(π*x)| の x = k における右微分係数なのか
D^{+} |sin(π*k)|
を見ただけでは判断できませんよね。
750:１３２人目の素数さん
22/04/06 17:55:42.56 NqZL91k4.net
関数を f(x) などと書くのも良くないですね。
751:１３２人目の素数さん
22/04/06 19:54:03.29 NqZL91k4.net
小平邦彦著『解析入門』
病的な関数の紹介が多すぎます。
これは良いことなのか悪いことなのかよく分かりません。
752:１３２人目の素数さん
22/04/06 19:57:01.27 jeXzMxlV.net
>>723
おまえもそのうち精神病理の教科書に載りそう。
753:１３２人目の素数さん
22/04/07 06:38:13.77 n18e/PjB.net
わけわからん
754:１３２人目の素数さん
22/04/07 08:06:05.35 I6NqjFX4.net
>>711
f'(α)=lim_{m/n->α)(1/n-0)/(m/n-α)
=lim_{m/n->α)1/(m-nα)
不定
g(m/n)=1/n^2
g'(α)=lim_{m/n->α)(1/n^2-0)/(m/n-α)
=lim_{m/n->α)1/n(m-nα)
=0
755:１３２人目の素数さん
22/04/07 13:12:35.51 or2L+ANl.net
小平邦彦著『解析入門』
↓定理の
756:成り立つ条件について細かすぎます。 f(x) = f(a) + f'(a)/1! * (x - a) + … + f^(n)(a)/n! * (x - a)^n + o((x - a)^n) この式が f(x) が I で n - 1 回微分可能で f^(n-1)(x) が点 a で微分可能ならば成立する。
757:１３２人目の素数さん
22/04/07 13:15:08.93 or2L+ANl.net
「I で n 回微分可能であれば、成り立つ」でいいですよね。
↑のコメントは細かすぎませんか？
758:１３２人目の素数さん
22/04/07 13:52:34.61 jPOlDp66.net
相変わらずの能無しぶり
759:１３２人目の素数さん
22/04/07 17:03:00.64 0k42bftw.net
実際に
＞「I で n 回微分可能であれば、成り立つ」
と本に書かれてたら「Iでn回微分可能じゃなくても成り立ちますよね。証明もそのまま変わらないのに余計な仮定をつけるなんて小平さんは大丈夫な人(ry」とケチつけてたんだろうなあ
760:１３２人目の素数さん
22/04/07 17:30:27.31 or2L+ANl.net
小平邦彦著『解析入門』
x_1 ≠ x_2
λ + μ = 1
f(λ*x_1 + μ*x_2) < λ*f(x_1) + μ*f(x_2)
が常に成り立つならば、 f(x) は狭義に凸であるという。
これだと狭義に凸であるような関数は存在しないことになってしまいますね。
λ = 0 or μ = 0 のときには不等式が成り立たないからです。
761:１３２人目の素数さん
22/04/07 17:37:49.87 BeIyTjXH.net
数学の本は間違いを直しながら読むもの
上の例はどう訂正すればよいかすぐにわかる
762:１３２人目の素数さん
22/04/07 19:18:24.30 /Oz/8ydl.net
自分の無能ぶりを指摘されると今度はムキになってしょうもない粗探し
精神構造が小学生
学問的才覚以前の問題
763:１３２人目の素数さん
22/04/07 20:50:22.71 1EFZZmtr.net
勉強してますアピールの日報代わりに書き込んでるような内容。
764:１３２人目の素数さん
22/04/08 03:19:08.07 YBywbTF1.net
>>723
数学以外をバックグラウンドに持つ人と話して何かの反例を出したりすると病的という単語で逃げることが多いね
それより君の主張が間違ってたことに対する訂正が先だろと思いながら見てる
765:１３２人目の素数さん
22/04/08 08:07:03.90 IJAwejbE.net
小平邦彦著『解析入門』
ψ(x) = 0 if x ≦ 0
ψ(x) = e^{-1/x} if x > 0
という関数が C^∞ 級ではあるが、実解析的ではない例として登場します。
もちろん、 C^∞ 級の関数なので、任意の n に対して、Taylorの公式
ψ(x) = (ψ^(n)(ξ) / n!) * x^n
が成り立ちます。
x > 0 とすると、
ψ(x) = (ψ^(n)(ξ) / n!) * x^n、 0 < ξ < x
です。
n → ∞ のとき、 (ψ^(n)(ξ) / n!) * x^n → 0 とならない。
当たり前のことが書いてあります。
766:１３２人目の素数さん
22/04/08 08:11:10.64 IJAwejbE.net
n → ∞ のとき、
ψ^(n)(ξ) = n! * e^{-1/x} / x^n → ∞ ですが、
lim_{x → +0} ψ^(n)(x) = 0
であるにもかかわらず、
x としていかに小さい値をとって固定しても、
n → ∞ のとき、 ψ^(n)(ξ) → ∞ になるというのは不思議じゃないですか？
もちろん、 ξ は n に依存しますが、これはどう考えればいいのでしょうか？
767:１３２人目の素数さん
22/04/08 08:28:47.04 T5T5pA/V.net
>>736
実解析的とC^∞の定義を理解し損ってる
そこの違いを明確にしときなさいという例だよ
まだそのレベルか
768:１３２人目の素数さん
22/04/08 08:53:48.04 IJAwejbE.net
>>738
Taylor展開はできませんが、Taylorの公式は任意の n に対して、 C^n 級なので成り立ちます。
769:１３２人目の素数さん
22/04/08 09:10:20.85 IJAwejbE.net
e^{-1/x} の n 階導関数のグラフって x = 0 の近くでのグラフを書いてみて納得しました。
普通じゃない関数なんですね。
770:１３２人目の素数さん
22/04/08 09:11:09.66 IJAwejbE.net
訂正します：
e^{-1/x} の n 階導関数のグラフを x = 0 の近くで描いてみて納得しました。
普通じゃない関数なんですね。
771:１３２人目の素数さん
22/04/08 09:19:20.91 IJAwejbE.net
x を 0 に近い値に固定する。
lim_{n → ∞} exp^{-1/x} / x^n = +∞
ですね。
でも、
lim_{x → +0} exp^{-1/x} / x^n = 0
なんですね。
異常です。
772:１３２人目の素数さん
22/04/08 09:23:46.73 wUCOOvCy.net
その程度がこれだけ本読んできてまだわかってないのが異常なんだよ能無し <
773:br> 粗探しばっかりしてるからホントに大切なポイント外して読んだ“フリ”しか出来てない能無しなんだよ そしてコレは心の問題、一生解決できんやろ 今のまんまの初心者レベルで一生終わる 能無し
774:１３２人目の素数さん
22/04/08 09:56:46.02 IJAwejbE.net
小平邦彦著『解析入門』
f, g を R 上の C^∞ 関数とする。
a, b を a < b であるような実数とする。
ε を任意の正の実数とする。
x ≦ a - ε のとき、 h(x) = f(x)
a ≦ x ≦ b のとき、 h(x) = g(x)
b + ε ≦ x のとき、 h(x) = f(x)
となるような R 上の C^∞ 関数 h が存在する。
これに類する定理をいくつか挙げていますが、どれも以下の ψ という一つの特殊な関数に頼り切っていますね。
結果自体は面白いですが、 ψ 一つに頼り切っていて異常な状況ですよね。
ψ(x) = 0 if x ≦ 0
ψ(x) = e^{-1/x} if x > 0
775:１３２人目の素数さん
22/04/08 14:59:30.64 IJAwejbE.net
小平邦彦著『解析入門』
記述が非常に丁寧な点は評価できますが、ネチネチとしていますね。
776:１３２人目の素数さん
22/04/08 15:15:35.42 IJAwejbE.net
小平邦彦著『解析入門』
定積分のところですが、区間 [a, b] の分割のmeshを δ[Δ] とします。
リーマン和の極限の式
s = lim_{δ[Δ] → 0} Σ_{k=1}^{m} f(ξ_k) * (x_{k} - x_{k-1})
の後に、「δ[Δ] → 0 のとき m → +∞ となることはいうまでもない。」
などと書いています。
これを正確に述べると、
「
任意の正の実数 M に対し、 正の実数 δ_0 で、
δ[Δ] < δ_0 を満たすような任意の分割 Δ に対し、 Δ の分割された区間の個数 m は M < m を満たす
ようなものが存在する。
」
で合っていますか？
777:１３２人目の素数さん
22/04/08 15:19:29.69 IJAwejbE.net
>>746
まるで極限 s は δ[Δ] → 0 としないと得られないかのような書き方ですが、 f が
定数関数の場合には、区間 [a, b] を分割する必要すらないですよね。
778:１３２人目の素数さん
22/04/08 16:58:03.49 IJAwejbE.net
小平邦彦著『解析入門』
「∫_{0}^{b} x^2 dx を定積分の定義から直接求めてみよう。」
などと書いて、
分割 Δ を与えたとき、
3 * Σ_{k=1}^{m} ξ_k^2 * (x_{k} - x_{k-1}) = b^3
となるような ξ_k を求めた上で、
∫_{0}^{b} x^2 dx = b^3/3 であると書いています。
これって説明が足らないですよね。
∫_{0}^{b} x^2 dx ≠ b^3/3 ならば、矛盾することを背理法で示さないといけないですよね。
779:１３２人目の素数さん
22/04/08 17:43:56.81 o5aOzIlv.net
>>735
多分あなたが屁理屈をこねているだけだと思う
780:１３２人目の素数さん
22/04/09 04:57:53.91 /FFR+xcg.net
>>749
反論できないけど何とかして反論したい人がよく屁理屈という言葉使うね
781:１３２人目の素数さん
22/04/09 11:05:27.07 VGfmJKH7.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
の１つ目の恒等式で
(右辺の部分和)/(左辺) の値を計算(評価)する一般的な方法はありますか？
782:１３２人目の素数さん
22/04/09 13:31:00.92 v4RdLh0t.net
積分の平均値の定理って何の役に立つんですか？
783:１３２人目の素数さん
22/04/09 13:49:54.04 0UGdv1bB.net
いろんなところで役に立つ
784:１３２人目の素数さん
22/04/09 16:26:44.83 v4RdLh0t.net
池田岳著『テンソル代数と表現論: 線型代数続論』
結局、注文してしまいました。
書店でぱらぱら見た感じでは、そんなに分かりやすい本という感じではありませんでしたが。
785:１３２人目の素数さん
22/04/09 16:32:32.76 zaGY4urx.net
まだ読んでいませんが、分かりやすい本という感じではありません。
池田岳さんは大丈夫な人なのでしょうか。
786:１３２人目の素数さん
22/04/09 17:23:01.16 v4RdLh0t.net
杉浦光夫著『解析入門I』
積分の定義をリーマン和の極限で定義していたんですね。
小平邦彦の本でもそうですね。
787:１３２人目の素数さん
22/04/09 18:05:09.56 heLwMQOE.net
>>750
それはあなたの理屈がそれに該当する事を意味しない
788:１３２人目の素数さん
22/04/09 19:16:19.39 v4RdLh0t.net
以下の命題は正しいか正しくないか？
g(x) は点 b で微分できないとする。
f(x) は点 a で微分可能とする。
b = f(a) とする。
g(f(x)) は点 a で微分できない。
789:１３２人目の素数さん
22/04/09 19:22:03.08 v4RdLh0t.net
g(x) = √x は x = 0 で微分できない。 <
790:br> f(x) = x^2 - 1 は x = 1 で微分可能である。 g(f(x)) = √(x^2 - 1) は x = 1 で微分できない。
791:１３２人目の素数さん
22/04/09 19:23:34.82 v4RdLh0t.net
>>758
小平邦彦著『解析入門』の原始関数の表を眺めていて、思いついた問題です。
792:１３２人目の素数さん
22/04/09 19:48:02.38 v4RdLh0t.net
正解は「正しくない」です。
例：
g(x) = x^{1/3}
f(x) = x^3
g(x) は x = 0 で微分可能でない。
g(f(x)) は x = 0 で微分できる。
793:１３２人目の素数さん
22/04/09 20:02:30.95 v4RdLh0t.net
同様に以下も正しくありません。
g(x) は点 b で微分できるとする。
f(x) は点 a で微分できないとする。
b = f(a) とする。
g(f(x)) は点 a で微分できない。
794:１３２人目の素数さん
22/04/09 20:06:05 v4RdLh0t.net
そこで質問があります。
f(x) = log(|x|)
g(x) = x + √(x^2 - 1)
とします。
g(x) は x = 1 で微分できません。
f(x) は x = g(1) = 1 で微分できます。
f(g(x)) が x = 1 で微分できないことはわざわざ微分の定義に戻って確かめる必要があるでしょうか？
795:１３２人目の素数さん
22/04/09 20:09:12 v4RdLh0t.net
ちなみに、 f(g(x)) は (-∞, -1) ∪ (1, +∞) で微分できて、導関数は、 1/√(x^2 - 1) です。
796:１３２人目の素数さん
22/04/09 20:25:16 v4RdLh0t.net
ちなみに、小平邦彦著『解析入門』に以下の定理があります：
p.125 定理3.10
区間 [c, b) で定義された連続関数 f(x) が、 (c, b) で微分可能で lim_{x → c+0} f'(x) が存在するならば、 f(x) は c においても微分可能で
f'(c) = lim_{x → c+0} f'(x).
797:１３２人目の素数さん
22/04/09 20:26:56 v4RdLh0t.net
以下は正しいですか？
区間 [c, b) で定義された連続関数 f(x) が、 (c, b) で微分可能で lim_{x → c+0} f'(x) が存在しないならば、 f(x) は c においても微分できない。
798:１３２人目の素数さん
22/04/09 20:27:51 v4RdLh0t.net
>>766
訂正します：
以下は正しいですか？
区間 [c, b) で定義された連続関数 f(x) が、 (c, b) で微分可能で lim_{x → c+0} f'(x) が存在しないならば、 f(x) は c において微分できない。
799:１３２人目の素数さん
22/04/09 20:52:58.85 g3mdVD+B.net
正しくない
800:１３２人目の素数さん
22/04/09 22:03:58.60 v4RdLh0t.net
>>768
では、以下は正しいですか？
区間 [c, b) で定義された連続関数 f(x) が、 (c, b) で微分可能で lim_{x → c+0} f'(x) = +∞ or -∞ ならば、 f(x) は c において微分できない。
801:１３２人目の素数さん
22/04/09 22:12:23.70 v4RdLh0t.net
>>769
正しいですね。
定理3.10と全く同じ証明で示せますね。
802:１３２人目の素数さん
22/04/09 22:20:22 v4RdLh0t.net
ということで、
↓わざわざ確かめる必要はないということになりますね。
f(g(x)) が x = 1 で微分できないことはわざわざ微分の定義に戻って確かめる必要があるでしょうか？
803:１３２人目の素数さん
22/04/09 23:16:09.19 ORLs89zo.net
>>771
わざわざ>>769を確かめる必要も無く
f(g(x))がx=1で微分できないことを微分の定義に戻って確かめることで示せますね
804:１３２人目の素数さん
22/04/10 11:04:49.83 A0iJeNrk.net
杉浦光夫著『解析入門1』
多変数のテイラーの定理についてはもちろん書いてあるのですが、
多変数の関数のテイラー展開については何も書いてありません。
他の本でも1変数の場合にはテイラー展開について書いてあるのに、多変数になると
テイラーの定理しか書いてありません。
小平邦彦著『解析入門』には多変数のテイラー展開の例は出てきませんが、テイラー展開
の定義についてのみ書いてあります。例はありません。
805:１３２人目の素数さん
22/04/10 11:05:38.66 A0iJeNrk.net
なぜですか？
806:１３２人目の素数さん
22/04/10 11:14:12.02 A0iJeNrk.net
小平邦彦著『解析入門』
f, g が C^n 級ならば、 a*f + b*g, f*g, f/g も C^n 級であること
f, g が C^n 級ならば、 g(f(x)) も C^n 級であること
単調関数 f が C^n 級ならば、 f^{-1} も C^n 級であること
を非常に丁寧に証明しています。
杉浦光夫著『解析入門1』では、これらの定理のステートメントすら書いてありません。
杉浦光夫さんは一体何を考えていたのでしょうか？
807:１３２人目の素数さん
22/04/10 11:58:00 A0iJeNrk.net
一松信著『解析学序説上巻（旧版）』
「積分には、区間内で有界でない点のある場合、および無限区間での積分が必要である。」
などと書かれています。
「有界でない点」とは一体何でしょうか？
関数 f がある区間で有界でないというのなら意味が通じます。
「関数 f がある区間内の点で有界でない」とは一体何を意味するのでしょうか？
一松信さんは大丈夫な人なのでしょうか？
808:１３２人目の素数さん
22/04/10 12:16:17 X2RwtncV.net
「大丈夫な人なのでしょうか」ってかなり破壊力あるフレーズだよね
809:１３２人目の素数さん
22/04/10 12:21:48 sEjts1xl.net
>>ID:A0iJeNrk
統失、薬飲んでるか？
810:１３２人目の素数さん
22/04/10 12:38:12 A0iJeNrk.net
一松信著『解析学序説上巻（新版）』でも依然として、
「積分には、区間内で有界でない点のある場合、および無限区間での積分が必要である。」
などと書かれています。
811:１３２人目の素数さん
22/04/10 13:05:33 RxqB7OvB.net
クロスエントロピー誤差の偏微分って出力変数の合計が1になるって制約は考えなくていいのはナゼ(・・?
出力変数がz1とz2の2つならz1について偏微分するときはz2=1-z1としなくていい?
812:１３２人目の素数さん
22/04/10 15:59:38.26 neV5spWy.net
爺さんたちの日本語は勿体ぶって偉そうに書いてるだけで実際は雑
適当に雰囲気を読み取って解釈するしかない
813:１３２人目の素数さん
22/04/10 22:20:12 cxWVCRxO.net
とりあえず数論には手を出すな
というのが伝わるNHKスペシャルだった
814:１３２人目の素数さん
22/04/10 22:34:39 Eb5aj5pr.net
まゆゆはでたの？まゆまゆ！
815:１３２人目の素数さん
22/04/10 23:10:08 hmV4WVUe.net
>>777
大丈夫かどうか怪しい人がそれ書いてるしね
816:１３２人目の素数さん
22/04/10 23:20:19 kjm0hrhA.net
まぁ直らんわな
直す気もないだろうし
どうでもいい
817:１３２人目の素数さん
22/04/11 07:45:34.73 Pz4vsRKO.net
小平邦彦著『解析入門』
区間 (a, b) で連続な関数 f(x) に対して lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
が存在するならば
(4.35) ∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
と定義する。ここで(4.35)は任意の正の実数 ε に対応して一つの正の実数 δ(ε) が定まって、
b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε) ならば
|∫_{a}^{b} f(x) dx - ∫_{s}^{t} f(x) dx| < ε
となることを意味するが、点 c, a < c < b, を一つ定めれば
∫_{s}^{t} f(x) dx = ∫_{s}^{c} f(x) dx + ∫_{c}^{t} f(x) dx
であるから
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx = lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
したがって(4.35)は
∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
とも書かれる。
818:１３２人目の素数さん
22/04/11 07:48:45.73 Pz4vsRKO.net
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
が存在するときに、
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx および lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
が両方とも存在することを証明しなければなりませんが、していませんね。
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx および lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
の両方の存在が証明されれば、
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx = lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
は自明と言ってもいいと思いますが、
im_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx および lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
の両方の存在の証明は、決して自明なことではありません。
819:１３２人目の素数さん
22/04/11 07:50:28.54 Pz4vsRKO.net
杉浦光夫さんの『解析入門1』でも、同じ過ちを犯しています。
820:１３２人目の素数さん
22/04/11 07:54:02.28 Pz4vsRKO.net
そこで以下の問題を出しておきます：
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx および lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
が両方とも存在することを証明せよ。
821:１３２人目の素数さん
22/04/11 09:08:17.49 Pz4vsRKO.net
>>789
目標となる極限値があらかじめ与えられていないところが難しいところだと思います。
822:１３２人目の素数さん
22/04/11 09:13:20.22 BbeHwTpV.net
ええ加減にせい能無し
お前にこの板で問題出すほどの実力あるわけないやろカス
823:１３２人目の素数さん
22/04/11 09:17:52 Pz4vsRKO.net
広義積分って定義だけ見ると、非常に人工的に見えますけど、ガンマ関数とか重要な関数が
広義積分を使って定義されるんですよね。
824:１３２人目の素数さん
22/04/11 10:53:54 Pz4vsRKO.net
小平邦彦著『解析入門』
広義積分のところで、普通の積分について成り立つ命題をいちいち広義積分の場合にも証明していて、
面倒くさすぎます。
825:１３２人目の素数さん
22/04/11 11:38:12 /PWg5M3T.net
>>793
自明じゃないからね
826:１３２人目の素数さん
22/04/11 11:59:58.32 UoGGbG9Q.net
そんなに面倒くさいなら読まなければいいだけ
827:１３２人目の素数さん
22/04/11 18:37:30 Pz4vsRKO.net
>>789
解答がありませんね。
難しすぎましたかね。
828:１３２人目の素数さん
22/04/11 19:50:21.99 8ttuGPfz.net
そう言ったら相手にしてもらえると思ってる時点で小学生なんだよ
そしてそれがお前が数学できない全ての理由なんだよ
829:１３２人目の素数さん
22/04/11 21:33:07 Pz4vsRKO.net
>>789
ヒントを出しておきます：
コーシーの判定法を使う。
830:１３２人目の素数さん
22/04/12 09:21:06 PrHDB321.net
R[x] ∋ x^2 + 1 とする。
x^2 + 1 = 0 が R に解を持たないことを証明せよと言われたら、
R の順序に関する性質を使って証明すると思います。
R を四則演算のみ定義された可換体と考えるときには、どうやって証明しますか？
831:１３２人目の素数さん
22/04/12 09:25:26.07 PrHDB321.net
R を四則演算のみ定義された可換体と考えるときに、そもそも
x^2 + 1 = 0
に解は存在しませんか？
832:１３２人目の素数さん
22/04/12 09:29:34.67 PrHDB321.net
R を構成するときには、順序が必要です。
順序体 R を作った後に、順序については忘れるということをすると R は一体何になるんですか？
833:１３２人目の素数さん
22/04/12 09:34:52.18 PrHDB321.net
>>799-800
順序を忘れた可換体 R は順序体 R と同形だから x^2 + 1 = 0 は解を持ちませんね。
834:１３２人目の素数さん
22/04/12 09:41:26.96 aaJo9gW4.net
>>799
「R[x] ∋ x^2 + 1 とする」などと書かれています。
x^2+1は初�
835:ﾟからR[x]の元なので、著者がそう置いたかのような書き方はおかしいですね。
836:１３２人目の素数さん
22/04/12 09:58:39.60 PrHDB321.net
順序体 R を作った後に、順序については忘れた体を S とします。
S を順序を考えずに構成できますか？
837:１３２人目の素数さん
22/04/12 10:35:07.70 PrHDB321.net
石田信著『代数学入門』
F = Z/(p) とする。
F[X] の元 X^p - a について考える。
フェルマの定理によって a^p = a であるから、 X^p - a = (X - a)^p である。
というような話が書いてあります。
a^p = a から分かるのは、 X = a が X^p - a = 0 の解であるということだけですよね。
普通、 (X - a)^p を展開すると p 次の係数と 0 次の係数以外はすべて 0 になるということを確認して、
(X - a)^p = X^p - a を証明しますよね。
838:１３２人目の素数さん
22/04/12 11:22:41.84 nG/E6vR2.net
>>801
順序を忘れたRになるだけ
839:１３２人目の素数さん
22/04/12 11:24:04.40 nG/E6vR2.net
>>804
作ろうと頑張ってみてよ
作れないことが証明できたら良いと思うけど
そういう証明が歩かないかは知らない
840:１３２人目の素数さん
22/04/12 11:25:35.32 nG/E6vR2.net
>>805
p乗が体の準同形だからだけど
それは2項定理から証明する
841:１３２人目の素数さん
22/04/12 12:00:47 ZbLim+zU.net
構うなよ、、、
842:１３２人目の素数さん
22/04/13 06:33:44.29 0ixtg4GU.net
質問いいですか
843:１３２人目の素数さん
22/04/13 06:52:11.62 0ixtg4GU.net
大学で
空集合の定義を
Φ：＝｛｝
０の定義を
０：＝Φ
１の定義を
１：＝｛Φ｝
と習ったのですがこれって
１＝｛Φ｝＝｛０｝＝｛｛｝｝だから、
｛｛｝｝⊇ ｛｝は真。逆は偽。よって｛｛｝｝≠ ｛｝
｛｛｝｝∋｛｝は真。逆は偽。
っていうところまではよかったんですけど、
｛｛｝｝⊃｛｝って真ですか？偽ですか？
｛｛｝，｛｝｝⊃｛｝は真だと思うんですけれど……
844:１３２人目の素数さん
22/04/13 06:59:31.20 0ixtg4GU.net
先生に聞いたら｛｛｝，｛｝｝＝｛｛｝｝とするみたいで、
でもそれだとやっぱり｛｛｝｝⊃｛｝の真偽が定まりません。？？？
845:１３２人目の素数さん
22/04/13 07:15:31.82 0ixtg4GU.net
解決しました。
846:１３２人目の素数さん
22/04/13 08:53:40.28 pIEgW9a2.net
>>811
何を誤解していたか読めない
847:１３２人目の素数さん
22/04/13 12:26:07.03 FgKJOfZP.net
第2同型定理HN/N=H/(H∩N)の証明が以下のページにあります
https://レポート代行.com/%e4%bb%a3%e6%95%b0%e5%ad%a6/%e7%ac%ac2%e5%90%8c%e5%9e%8b%e5%ae%9a%e7%90%86
「この写像が well-defined であることは、以下のようにして分かる。
h1N=h2N, (h1,h2∈H) とする。
すなわち、ある n1,n2∈N が存在して、h1∘n1=h2∘n2 が成り立つ。
このとき、
h1∘n1=h2∘n2
h1=h2∘n2∘n1^(－1)
h1(H∩N)=(h2∘n2∘n1^(－1))(H∩N)（*1）
h1(H∩N)=(h2∘n2)(H∩N)(*2)
h1(H∩N)=h2(H∩N)(*3)
より、h1(H∩N)=h2(H∩N) が言える。
従って、この写像 φ は well-defined である。」
（*1）から（*2)、（*2）から（*3）が成立する理由が分かりませんでした。
どうやれば示せますか？
848:１３２人目の素数さん
22/04/13 14:30:11.88 YQZhWMvU.net
h2^(-1)h1=n1^(-1)n2∈Nだからh2^(-1)h1N ⊂ N
∴ h1N = h2h2^(-1)h1N ⊂ h2N
逆も同様
849:１３２人目の素数さん
22/04/13 15:54:14.14 FgKJOfZP.net
>>816
ありがとうございます。
リンク先では写像を
「φ(hN)=h(H∩N) で定める。
この写像が well-defined であることは、以下のようにして分かる。」
とあります。
(*1)から(*2)の
(h2∘n2∘n1^(－1))(H∩N)=(h2∘n2)(H∩N)
はどうやれば示せるのでしょうか？
850:１３２人目の素数さん
22/04/13 16:19:29.28 BNHMSGAw.net
(X、d)を距離空間とする、Xの部分集合A、Bに対して
dist(A,B)=inf{d(a,b)|a in A ,b in B}とおく
って書いてあるのですが、dist(A,B)はうまく定義されてるのでしょうか。
851:１３２人目の素数さん
22/04/13 16:38:51.73 FgKJOfZP.net
距離関数はd(a,b)≧0なので下に有界でinfは存在するから問題�
852:ﾈい。
853:１３２人目の素数さん
22/04/13 16:46:57.90 cqeXNhVh.net
>>819
xをBの元でないXの元とすると
任意のεに対してあるBの元bがあってd({x}、b) ≤β+εを満たすβって存在するでしょうか。
854:１３２人目の素数さん
22/04/13 16:57:14.22 FgKJOfZP.net
>>820
dは実数値関数。実数の性質。デデキントの切断から証明できる。
§３ 上限と下限 定理１(ⅱ)
URLﾘﾝｸ(nekodamashi-math.blog.ss-blog.jp)
855:１３２人目の素数さん
22/04/13 17:16:21.92 fBdRfzsR.net
>>815
人の証明読むんでなくて自分で考えてみたらどうかも
856:１３２人目の素数さん
22/04/13 17:21:35.50 4+vDbrq9.net
>>821
{d(a,b)|a A b B}は実数の集合で下に有界だからinfは存在するのか。ありがとうございます。
857:１３２人目の素数さん
22/04/13 23:27:25.32 apLYO+gu.net
【質問】行列の積は行に対して列を掛けますが、和の演算では同じ行・列のものどうし
を足します。なんでこのようになるのですか？
行列どうしの積の意味は何ですか？
858:１３２人目の素数さん
22/04/14 00:36:27 QYH2In8M.net
>>815
h_1N=h_2N
h_2^{-1}h_1N=N
よってh_2^{-1}h_1 ∈N
よってあるn ∈Nがあって、h_2^{-1}h_1 =nと書ける
よってn ∈Hである
h_2^{-1}h_1 =nの両辺にh_2をかけて
h_1= h_2 nよって
h_1(H ⋂N)= h_2 n (H ⋂N)
nはHの元でもNの元でもあるのでH ⋂Nに吸収されて
h_1(H ⋂N )=h_2 (H ⋂N)
859:１３２人目の素数さん
22/04/14 01:22:20.44 5x5JkEZd.net
>>825
ありがとうございます。理解できました。
元のサイトの説明だと
(h2∘n2∘n1^(－1))(H∩N)
=(h2∘n2)(H∩N)
としているのですが、これは成り立たないですよね？
n1^(-1)∈H∩N
とまでは言えない。
860:１３２人目の素数さん
22/04/14 03:22:27 uHdSj82h.net
自分の頭の悪さを本の説明の悪さに転嫁する馬鹿がこのスレの常連さんなので、そういう書き方には賛同しにくい。
861:１３２人目の素数さん
22/04/14 07:54:13 4rat+pCv.net
雪江明彦著『代数学2 環と体とガロア理論』
deg f(x) * g(x) = deg f(x) + deg g(x) であることの証明中で以下の事実が証明なしで使われています。
自明ではないですよね？
--------------------------------------------------------------------------------
A を整域とする。
x = (x_1, …, x_n) を変数とする。
f(x), g(x) を A[x] の元とする。
f(x) は l 次斉次式式、 g(x) は m 次斉次式とする。
このとき、 f(x) * g(x) は (l + m) 次斉次式である。
862:１３２人目の素数さん
22/04/14 07:55:10 4rat+pCv.net
訂正します：
雪江明彦著『代数学2 環と体とガロア理論』
deg f(x) * g(x) = deg f(x) + deg g(x) であることの証明中で以下の事実が証明なしで使われています。
自明ではないですよね？
--------------------------------------------------------------------------------
A を整域とする。
x = (x_1, …, x_n) を変数とする。
f(x), g(x) を A[x] の元とする。
f(x) は l 次斉次式、 g(x) は m 次斉次式とする。
このとき、 f(x) * g(x) は (l + m) 次斉次式である。
863:１３２人目の素数さん
22/04/14 07:56:26.61 4rat+pCv.net
うまくキャンセルされて f(x) * g(x) = 0 となってしまう可能性がありますが、そういうことは
起こらないということを証明しなければならないですよね？
864:１３２人目の素数さん
22/04/14 08:03:01.88 4rat+pCv.net
あ、成り立つ理由が分かりました。
ですが、自明とまではいえないと思います。
865:１３２人目の素数さん
22/04/14 08:53:53.49 4rat+pCv.net
f(x) の各項のうち辞書式順序に関して最大の項を a*x_1^{i_1}*…*x_n^{i_n} とする。
g(x) の各項のうち辞書式順序に関して最大の項を b*x_1^{j_1}*…*x_n^{j_n} とする。
f(x) * g(x) の各項のうち辞書式順序に関して最大の項は a*b*x_1^{i_1+j_1}*…*x_n^{i_n+j_n} になる。
ゆえに、 f(x) * g(x) ≠ 0 である。
866:１３２人目の素数さん
22/04/14 09:22:45 4rat+pCv.net
訂正します：
f(x) の次数最大の各項のうち辞書式順序に関して最大の項を a*x_1^{i_1}*…*x_n^{i_n} とする。
g(x) の次数最大の各項のうち辞書式順序に関して最大の項を b*x_1^{j_1}*…*x_n^{j_n} とする。
f(x) * g(x) の次数最大の各項のうち辞書式順序に関して最大の項は a*b*x_1^{i_1+j_1}*…*x_n^{i_n+j_n} になる。
ゆえに、 f(x) * g(x) ≠ 0 である。
867:１３２人目の素数さん
22/04/14 09:26:13 zI/25SNd.net
Aは整域ならA[x](一変数)も整域←自明
帰納的にA[x_1,…x_n]も整域←自明
>>828の主張←自明
868:１３２人目の素数さん
22/04/14 09:34:44 4rat+pCv.net
>>833
あ、訂正の必要はなかったですね。
>>834
あ、そうですね。
869:１３２人目の素数さん
22/04/14 10:01:37.27 4rat+pCv.net
松坂和夫著『代数系入門』
石田信著『代数学入門』
環について本当にベーシックなことしか書いていないですね。
こんなんでいいんですかね？
870:１３２人目の素数さん
22/04/14 10:47:51 8l8MzYwb.net
>>824
森毅の本の説明が分かりやすい
でも分かりやすいのはそこ�
871:ｾけ
872:１３２人目の素数さん
22/04/14 10:56:07.90 4rat+pCv.net
>>824
松坂和夫著『代数系入門』のpp.193-194の説明が自然だと思います。
873:１３２人目の素数さん
22/04/14 11:02:09.98 4rat+pCv.net
線形写像 f の表現行列を A
線形写像 g の表現行列を B
とする。
線形写像の合成 f ・ g の表現行列を A * B と定義したいということだと思います。
そうすると結合法則や分配法則などが成り立ちます。
874:１３２人目の素数さん
22/04/14 11:12:39.08 zI/25SNd.net
>>824
高校生なら連立一次方程式を行列の形で書き直して、変数変換したらどうなるか考えてみたら？
875:１３２人目の素数さん
22/04/14 11:16:08.57 4rat+pCv.net
>>840
B*(A*x) = C*x となるような行列 C を B*A と定義するということですね。
876:１３２人目の素数さん
22/04/14 11:46:01.11 f0j2UYsy.net
>>839
こんなおバカな事ばっかり考えてるからいつまで経っても圏論的センスが身につかない
そしてそれが身についてこない事が勉強が次の段階に進まない理由だとわからん能無し
877:１３２人目の素数さん
22/04/14 13:09:35.04 GFjlvlg2.net
だって手帳持ちの真性キチガイだし
878:１３２人目の素数さん
22/04/14 13:31:15.82 zI/25SNd.net
>>841
そんな理解してる謎アピールは要らないです
879:１３２人目の素数さん
22/04/14 13:50:18.77 8DUAJbGC.net
>>826
h_1n_1=h_2n_2
h_1n_1n_2^{-1}=h_2
n_1n_2^{-1}=h_1^{-1}h_2
だからn_1n_2はHの元
880:１３２人目の素数さん
22/04/14 14:05:36.04 kc6aDZcl.net
>>845
そこからn_1はHの元またはn_2はHの元は言える？
881:１３２人目の素数さん
22/04/14 14:35:21.02 4rat+pCv.net
前にもかきましたが、松坂和夫著『代数系入門』では、普通、既約元とよばれるものを
素元とよんでいます。
そして、PID上では、任意のゼロでも単元でもない元が、素元の積に一意的に分解されることを
証明しています。
要するに、普通の言葉で言えば、PID上では、任意のゼロでも単元でもない元が、既約元の積に一意的に分解されることを
証明しているわけです。
PID上では素元は既約元であり、既約元は素元です。
このことを悪用したのが『代数系入門』ですね。
882:１３２人目の素数さん
22/04/14 14:37:22.41 4rat+pCv.net
他の代数学の本を読まない読者にとっては、非常に有害ですよね。
883:１３２人目の素数さん
22/04/14 16:15:16.29 4rat+pCv.net
同レベルの本である石田信著『代数学入門』では、きちんと素元と既約元を別々に定義しています。
なぜ松坂和夫さんがあんなことをしたのか理解に苦しみます。
884:１３２人目の素数さん
22/04/14 17:25:18.44 4rat+pCv.net
あ、UFDの定義ですけど、素元に分解されるという定義と既約元に分解されるという定義があるんですね。
885:１３２人目の素数さん
22/04/15 10:52:01.37 OUlSMVpT.net
小平邦彦著『解析入門』
定理4.7(1)
f(x) を開区間 (a, b) で連続な x の関数とする。
広義積分 ∫_{a}^{b} f(x) dx が収束するならば、点 c, a < c < b, を一つ選んで
F(x) = ∫_{c}^{x} f(x) dx
とおいたとき、 F(x) は閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) では微分可能で F'(x) = f(x)
である。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
まず微分可能のほうは有名な定理そのものです。
そして、連続のほうは、例えば、 ∫_{c}^{x} f(x) dx が x = b で連続になるように広義積分を定義している
ので明らかです。
わざわざ証明まで書いていますが、定理のステートメント自体不要だと思います。
886:１３２人目の素数さん
22/04/15 11:00:20.85 OUlSMVpT.net
おそらく日本語の本の中で、小平邦彦さんの本が広義積分について一番詳しく書いてあると思いますが、あっていますか？
887:１３２人目の素数さん
22/04/15 13:52:08.24 OUlSMVpT.net
小平邦彦著『解析入門』
広義積分について色々書いています。
例えば、以下の広義積分など使われることは一度でもあるのでしょうか？
関数 f(x) がすべての点 t, t > a に対して (a, t) で高々有限個の点を除いて連続で
広義積分 ∫_{a}^{t} f(x) dx が収束しているとき、極限 lim_{t → +∞} ∫_{a}^{t} f(x) dx
が存在するならば、広義積分 ∫_{a}^{+∞} f(x) dx を
∫_{a}^{+∞} f(x) dx = lim_{t → +∞} ∫_{a}^{t} f(x) dx
と定義し、広義積分 ∫_{a}^{+∞} f(x) dx は収束するという。
888:１３２人目の素数さん
22/04/15 13:52:59.62 OUlSMVpT.net
これなど理論のための理論ではないでしょうか？
889:１３２人目の素数さん
22/04/15 14:15:35.90 tLRzmP2n.net
>>854
顧みられない質問があるのと同じよ
890:１３２人目の素数さん
22/04/15 14:29:35.04 u6Ija5cW.net
>>85
891:3 統失のアホは、累積分布関数とか見たことないんか？
892:１３２人目の素数さん
22/04/15 19:17:34.23 OUlSMVpT.net
点 b が第二種不連続点の場合に、広義積分 ∫_{a}^{b} f(x) dx が存在する例、存在しない例ってありますか？
893:１３２人目の素数さん
22/04/16 07:16:13.36 kdp3FkZ+.net
1と0からなる数列a=(a[1],a[2],a[3],...)全体からなる集合Xは連続濃度ですが
その中でa[n]=a[n+m]=a[n+2m],a[n+1]=a[n+m+1]=a[n+2m+1],...,a[n+m-1]=a[n+2m-1]=a[n+3m-1]となるような部分
つまり同じ部分を3回繰り返すような数列(たとえばa=(0,0,1,0,1,0,1,1...)みたいな)をXから取り除いたX'を考えます
X'は空集合じゃなければ無限集合になりそうですが実際濃度はどうなるんでしょうか
894:１３２人目の素数さん
22/04/16 07:48:50.57 d6AgvgDx.net
>>857
簡単に見つかりました。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
895:１３２人目の素数さん
22/04/16 07:52:15.86 d6AgvgDx.net
こんな関数でも収束するんですね。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
896:１３２人目の素数さん
22/04/16 07:53:40.42 d6AgvgDx.net
やっと発散しました。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
897:１３２人目の素数さん
22/04/16 08:12:38.43 Zc1rPk1g.net
>>858
非可算個あるみたいです
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
898:１３２人目の素数さん
22/04/16 09:45:19.49 +uUNq8bS.net
むしろ物理とかだと積分って広義積分がデフォルトみたいなところがありますよね
積分範囲が∞になってないと面倒だなって思いますね
899:１３２人目の素数さん
22/04/16 10:00:41 sj4+BJCN.net
統失は、物理板にも来ててアホ晒してるわ
900:１３２人目の素数さん
22/04/16 14:19:04.22 Iu6Z0Ct6.net
質問です。
距離空間の直積距離空間と
距離空間からできる距離位相空間の直積空間は同じものになりますか？
901:１３２人目の素数さん
22/04/16 17:26:12.57 Zc1rPk1g.net
有限個の直積なら自明
902:１３２人目の素数さん
22/04/16 18:24:00 FzTxMFsC.net
そして非可算個の直積だとそもそも距離づけ不可能
903:１３２人目の素数さん
22/04/16 19:25:01.32 d6AgvgDx.net
池田岳著『テンソル代数と表現論』が届きました。
これから読み始めようと思います。
904:１３２人目の素数さん
22/04/16 19:27:46.45 IB0OBOos.net
これ↓コピペして使っていいよ
池田岳さんは大丈夫な人なのでしょうか？
905:１３２人目の素数さん
22/04/16 19:28:46.90 IB0OBOos.net
スレとあんまり関係ないけどIDが結構かっこいい
906:１３２人目の素数さん
22/04/17 14:53:34.62 WHuG1b+m.net
池田岳著『テンソル代数と表現論』
カバーと帯の配色が綺麗ですね。
907:１３２人目の素数さん
22/04/17 16:51:17.32 WHuG1b+m.net
池田岳著『テンソル代数と表現論』
第１章の途中まで読みましたが、よくまとまっていて、読みやすいと思います。
908:１３２人目の素数さん
22/04/18 00:33:40.37 HsfpgeqQ.net
↓コピペでどうぞ
池田さんは一体どんな数学的センスの持ち主なのでしょうか？
909:１３２人目の素数さん
22/04/18 11:51:56.32 KcHBreVd.net
質問です。
K=C(複素数)上のベクトル空間をVc、KをR(実数)に制限したベクトル空間をVrとします。
dimVc=dimVr は成り立ちますか？
成り立たないから反例を成り立つなら証明を教えて下さい。
910:１３２人目の素数さん
22/04/18 11:55:58.40 BGO5j9mA.net
C 上のベクトル空間 C は1次元ベクトル空間
R 上のベクトル空間 C は2次元ベクトル空間
911:１３２人目の素数さん
22/04/18 12:01:25.44 KcHBreVd.net
>>875
了解ですw
さすが早いですね…。
912:１３２人目の素数さん
22/04/18 12:56:10.28 BGO5j9mA.net
池田岳著『テンソル代数と表現論』
「～がしたがう。」という非常に奇妙な日本語を多用しています。
913:１３２人目の素数さん
22/04/18 13:02:13.65 BGO5j9mA.net
池田岳著『テンソル代数と表現論』
ジョルダン分解の話を読み終われば、第1章を無事読み終えることになります。
第1章は非常に分かりやすいです。
914:１３２人目の素数さん
22/04/18 22:55:36.39 9Ip71OTU.net
>>876
というか
例を自分で考えてみたらこれはすぐ思いつかねばならないのに
915:１３２人目の素数さん
22/04/19 11:49:58.52 TCoFcnyb.net
池田岳著『テンソル代数と表現論』
第1章を読み終わりました。非常に分かりやすかったです。
916:１３２人目の素数さん
22/04/19 18:27:17.57 mKgyKMR0.net
Kが可換体でf(x)∈Kが既約ならKの任意の有限次ガロア拡大におけるf(x)の既約因子は全て同じ次数である事を示せ
という問題が分かりません。教えていただけないでしょうか。
917:１３２人目の素数さん
22/04/19 18:50:32.81 fNfHllwS.net
>>881
L/Kをガロア拡大、M/Lをf(x)の完全分解体とする
g(x),h(x)をf(x)ほL(x)での規約因子とするときg(x), h(x)はGal(M/K)の作用で移り合う、(∵ g(x)の根α、h(x)の根をβとするときg(x),h(x)はα、βの最小多項式でα、βはGal(L/zk)の作用で共役)
よって主張が成り立つ
918:１３２人目の素数さん
22/04/19 19:10:40.73 mKgyKMR0.net
>>882
これでf(x)のL上の全ての既約因子の次数が等しいことが言えたんですか？
919:１３２人目の素数さん
22/04/19 19:11:42.66 mKgyKMR0.net
Gal(M/K)の作用で移り合うって部分がわからないです
920:１３２人目の素数さん
22/04/19 19:14:49.37 XMPzBtyf.net
>>883
人に教えて貰っといて何その偉そうな態度
921:１３２人目の素数さん
22/04/19 19:17:49.21 mKgyKMR0.net
すいません。
922:１３２人目の素数さん
22/04/19 19:21:40.85 mKgyKMR0.net
>>885
α、βはGal(L/zk)の作用で共役
の部分がわからないです。zkとはなんなのでしょうか。
またどんな作用であるのでしょうか
923:１３２人目の素数さん
22/04/19 20:03:30.87 rE9xLsQH.net
>>887
zはタイプミス
各係数にGal(M/K)を作用させる
924:１３２人目の素数さん
22/04/19 20:51:47.42 Re5udWBt.net
>>882
これって
g(x),h(x)が移り合うある作用σ∈Gal(M/K)が存在するって事ですよね
Gal(M/K)の全ての元に対してg(x),h(x)は移り合うわけではないですよね
925:１３２人目の素数さん
22/04/19 20:56:21.15 gnosbtOT.net
>>889
ないよ
だから書いてるやん
g(x)の根がα、h(x)の根がβ、σがα→βのときg(x)→h(x)
926:１３２人目の素数さん
22/04/19 22:01:22.10 Re5udWBt.net
>>890
うまくg(x)の根とh(x)の根が対応する様に延長したという認識で大丈夫でしょうか
927:１３２人目の素数さん
22/04/19 22:19:12.85 XMPzBtyf.net
>>891
ガロア拡大の定義をもう一度復習してみることを勧める
928:１３２人目の素数さん
22/04/19 22:32:16.89 dEFn3hsU.net
せやな
ここまで書いてもらって行間埋められないレベルだと多分その本にで出していいレベルにないやろな
929:１３２人目の素数さん
22/04/19 23:52:17.02 Re5udWBt.net
やっとわかった
g(x)の根がα、h(x)の根がβ、σがα→βのときg(x)→h(x)
を示す事ができた。むしろこれが証明できれば明らか。
これは自明では無いですよね。もしかして常識？
930:１３２人目の素数さん
22/04/20 00:38:54 dgcoUtFo.net
常識ではないやろ
頻出のテクニックかもしれんが
というか知らなくても>>881の問題見てどうするべと2、3分考えてフットひらめかないとダメやろ
4回になって研究室のゼミとか始まって論文とか読み始めたらこの程度の問題はできて当然とばかりにビュンビュン行間飛ばしてくるからな
931:１３２人目の素数さん
22/04/20 18:25:31.07 TRdJ37K5.net
微積分や線形代数の教科書は大丈夫でない人が書いているということがわかったのでこれからはもっとちゃ
932:んとした人だという噂の人たちが書いた本を読むことにします 手始めにアンドレ・ヴェイユとかジャン-ピエール・セールという人などの本を探して読むことにします 整数論入門や楕円関数の本があるそうなので私にも読めると思います
933:１３２人目の素数さん
22/04/20 19:40:19 WB7kMI0k.net
実際、Amazonすらなかった時代と違って、外国語が読めない以外の理由で今和書を読む理由はない
EGAみたいな一部の本以外の、セールなどの古書でないとより良い
934:１３２人目の素数さん
22/04/20 19:58:58.32 KIZDLrdx.net
>>869コピペしたらいいのに
>>873とか
935:１３２人目の素数さん
22/04/20 20:08:59.48 /IpzeaaI.net
斎藤毅著『線形代数の世界』
行列表示を使えば、線型空間と線形写像についての問題を、ベクトルと行列についての
問題に帰着させて解くことができる。例えば、 y = f(x) をみたす x ∈ V を求めるには、
対応する連立1次方程式 b = A*a を解けば、その解 a = (a_1, … ,a_n) ∈ K^n に
対応する x = a_1*x_1 + … + a_n*x_n ∈ V が求められる。
↑のことをちゃんと証明するとすると、以下のように証明しなければなりませんよね？
y ↔ b とする。
f(x) = y に解 x が存在すれば、 x ↔ a とすると、 b = A*a である。
y ↔ b とする。
a が b = A*a をみたすとする。
x ↔ a とする。
y' = f(x) とおく。
y' ↔ b' とすると、 b' = A*a が成り立つ。
b' = A*a = b であるから、 y' = y である。
∴ y = f(x) が成り立つ。
936:１３２人目の素数さん
22/04/22 22:49:31.55 e0MLUOTa.net
「群G, G'が同型であれば、群の演算にのみ依存する性質Pに関して、P(G)=P(G')である。」的な話はよくあるけど、「群の演算にのみ依存する」の辺りって数理論理学的にはどう厳密に定式化されるの？
937:１３２人目の素数さん
22/04/23 19:16:59.20 b/pvmdyR.net
池田岳著『テンソル代数と表現論』
第2章をもう少しで読み終わります。
この章も非常に分かりやすいです。
938:１３２人目の素数さん
22/04/24 00:42:58.16 s7toxtS0.net
三次方程式の解の公式をガロア理論的観点で見てみるという『環と体とガロア理論』に書いてある話に関して質問です
具体的には、
・体Kを標数0で、かつ、1でない1の三乗根を含む体とする
・f(x)は既約で、f(x)のガロア群はσ_3 (3次の置換群)
・体K上の多項式f(x) = x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3の根をα_1, α_2、α_3とし、L = k(α_1, α_2、α_3)とする
という設定で、
ガロア群と体の拡大の対応
L--{1}⊂σ_3
| |
M--<(123)>⊂σ_3
| |
K--σ_3
と、解の公式との関係を考えるという話に関してです。
KをMに拡大する部分は、
「f(x)の判別式をDとするとD^(1/2)は<(123)>⊂σ_3では不変で、(12)では不変でないので、M=K(D^(1/2))である」
ということが書いてあり、
MをLに拡大する部分は
「三次方程式の解の公式の形を見るとLはMに三乗根を添加したものであることが分かる」
ということが書いてあります。
KをMに拡大する部分は、
a_1,a_2,a_3の四則演算とべき根で表せて、かつ、σ_3のある元に関して不変でなく、かつ、<(123)>⊂σ_3では不変である、という元をKに添加すればいいんだなということで、
ガロア群を考えることで、解の公式を知らないという前提でもどのように体を拡大すればいいかの参考になる情報が得られていて、なるほどな、と思った一方で
MをLに拡大する部分はそういう記載はなかったので、少しもやっとしています。
KをMに拡大する部分と同じ感じで、MをLに拡大する部分について、Mに何を添加すればLになるのかを、解の公式を知らない前提で、ガロア群との対応を用いて考えることはできますか？
939:１３２人目の素数さん
22/04/24 01:02:53.70 s7toxtS0.net
>>902
同じ話でもう一つ質問です
f(x)をM上の多項式と思うと、ガロア群が<(123)>なのでf(x)はM上可約だと思うのですが、これは合ってますか？
f(x) = (x - α_1)(x- α_2)(x-α_3)ですが、α_1, α_2、α_3はいずれも三乗根を含んでいるのでMに含まれず、f(x)はM上既約のようにも思えてしまうのですが
940:１３２人目の素数さん
22/04/24 01:49:28 eZpJNZW1.net
>>902
3解をα、β、γ、1の原始三乗根をζとし、λ=α+βζ+γ/ζ とおけば
L = M( λ )
実際σをσ(α)=β、σ(β)=γ、σ(γ)=αであるGal(L/M)の元とすると
σ(λ) = λζからλはL＼Mの元でLはM上λで生成される
一般にこのようなλはGal(L/M)が巡回群のときα+σ(α)+σ^2(α)+...で作ることができる
そのM上の最小多項式は今の場合
x^3 - λ^3=0
となる
解の公式に仕立てるにはこのλ^3がMの生成元である判別式の平方根(α-β)(β-γ)(γ-α)で表示してやれば良い
実際
λ^3
=α^3+β^3+γ^3 + 6αβγ
+ 3ζ(α^2β + β^2γ + γ^2α )
+ 3/ζ(αβ^2 + βγ^2 + γα^2 )
=α^3+β^3+γ^3 + 6αβγ
+ 3(ζ+1/ζ)(α^2β + β^2γ + γ^2α + αβ^2 + βγ^2 + γα^2 )
- 3(ζ-1/ζ)(α^2β + β^2γ + γ^2α - αβ^2 - βγ^2 - γα^2 )
で前半2行は対称式なのでKの元、最後の一行は交代式なのでMの元なのでλ^3もf(x)の係数と±√Δで表示する事ができる
941:１３２人目の素数さん
22/04/24 01:57:18.48 eZpJNZW1.net
>>903
合ってる
Mの候補としては
M=K(α), K(β)、K(γ)どれをとっても同じ
例えばK(α)をとればf(x)=x^3+px^2+qx+rとして
f(x) = (x-α)(x^2+(p+α)x+ q+pα+α^2)
と因数分解される
942:１３２人目の素数さん
22/04/24 07:04:50.10 P5W6dpFx.net
菓子Aの重さと菓子Bの重さはそれぞれ独立で正規分布(10,5)と(30,10)に従う
菓子Aを4つ、菓子Bを4つ、箱に詰めた時の平均と分散はいくつか？
よろしくお願いします
943:１３２人目の素数さん
22/04/24 07:25:34.47 6T57fZCC.net
URLﾘﾝｸ(k-san.link)
944:１３２人目の素数さん
22/04/24 07:41:37.68 BRWood23.net
>>907
ありがとうございます
4つずつ取っても
(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)
と言うことですか？
(4μ1+4μ2,16σ1^2+16σ2^2)
かと思っていました
945:１３２人目の素数さん
22/04/24 07:50:39 ed0WovFy.net
>>908
そのページ見てそう思うならそうなんやろ
946:１３２人目の素数さん
22/04/24 08:05:40 rN44uxC+.net
>>909
文系なのに会社の関係で統計勉強し始めた
さっぱりわからん
助けてください
947:１３２人目の素数さん
22/04/24 10:10:05.70 ut1WHkIF.net
Aから取り出した重さx1, x2
Bから取り出した重さy1, y2
E[x1+x2+y1+y2]=E[x1]+E[x2]+E[y1]+E[y2]
=10+10+30+30
V[x1+x2+y1+y2]=V[x1]+V[x2]+V[y1]+V[y2]
=5+5+10+10 (独立だから)
948:１３２人目の素数さん
22/04/24 10:31:24.33 Akyn0GPL.net
>>911
ありがとう！
ありがとう！
ありがとうございます！
今後も勉強がんばります。
949:１３２人目の素数さん
22/04/24 12:13:46.10 s7toxtS0.net
>>904
詳しい説明ありがとうございます、とてもスッキリしました！
>>905
>Mの候補としては
>M=K(α), K(β)、K(γ)どれをとっても同じ
ここが分かりませんでした
M=K(D^(1/2))であり、また、ガロア群の部分群と中間体は一対一に対応するので、候補が複数あるというのはおかしいのでは？という気がするのですが。
（M=K(α), K(β)、K(γ)のどれとみなすこともできる、という意味だとすると、Mがαもβもγも含んでいることになるので、M=Lになり、やはりおかしいように思います）
950:１３２人目の素数さん
22/04/24 13:31:06.50 DZQ3BFjO.net
>>913
”Kにf
951:(x)の根をひとつ添加して得られる体”は同型なものが３つできる “同型である”と“同じ”とは違う、ここの違いを混同してはいけない ”Kにf(x)の根をひとつ添加して得られる体”はこの場合K(α), K(β), K(γ)の３つあってコレらは同型ではあるけどf(x)の分解体Lをひとつ固定して考えたとき“同型な異なる３つの体”として出てくる それぞれ位数2の部分群<(1,2)>, <(1,3)>, <(2,3)>に対応する体として出てくる
952:１３２人目の素数さん
22/04/24 13:42:53.02 hUk4tLE9.net
>>914
Mは<(123)>に対応してるですが
953:１３２人目の素数さん
22/04/24 14:30:30 t2KAYlcf.net
すみません、>>903については勘違いでした
>>903は誤って
三次方程式f（x）が可約↔ガロア群がz/3z
と思っていて出てきた疑問だったのですが、正しくは、f（x）の係数を用いて作られる別の多項式g（x）について
g（x）が可約↔ガロア群がz/3z
でした
なので、
>f(x)をM上の多項式と思うと、ガロア群が<(123)>なのでf(x)はM上可約
というのは間違いでした