22/02/17 20:18:29.51 pdt2mYRm.net
>>257
スカラー倍で閉じてないだろ
265:１３２人目の素数さん
22/02/17 20:18:37.42 8MqyaEz4.net
(1/2)*2 が偶数に見えるのならあってるかもしれない
266:１３２人目の素数さん
22/02/18 00:25:59.22 E9ImNuSN.net
整数絡めたいならZ加群とかそういうの考えた方が良さそう
267:１３２人目の素数さん
22/02/18 01:02:44.93 c3AMEtnC.net
ただのアーベル群という罠
268:１３２人目の素数さん
22/02/18 01:14:10.13 punXMhyZ.net
>>258 >>259
あ、そっか、1\2倍もスカラー倍か
不得手なもので...ありがとうございました！
269:１３２人目の素数さん
22/02/26 14:39:32.27 J+8ZV7dP.net
雪江先生の代数学に
(1)Qの有限次拡大体を代数体という
(2)Lを代数体、Ωを代数的整数環(CのうちZ上整なものの集合)とするとき、L∩ΩをLの整数環という
とありますが、代数体Lは常にCの部分体とみなせて、そうみなした場合のL∩ΩをLの整数環というという意味でよいでしょうか？
270:１３２人目の素数さん
22/02/26 20:35:48.19 RXaUygON.net
よい
271:１３２人目の素数さん
22/02/27 01:49:02.46 S9NDN6oL.net
>>264
ありがとうございます
272:１３２人目の素数さん
22/03/03 01:59:15.68 ANlVnbXn.net
小林昭七「接続の微分幾何とゲージ理論の」P４５の（２．１５）式ってなんでD^2φ=R∧φになるんですか？
（２．５）によれば、と書いてあるんですが、（２．５）の説明から（２．１５）までの行間が分かりません。
この本を持っていなければ、
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)
このリンク（田崎博之さんの微分幾何のｐｄｆ）のｐｄｆのＰ６７（サイトのページ数では６９）の真ん中くらいの
d^∇d^∇φ = d^∇d^∇(φ1φ2) = (d^∇d^∇φ1) ∧ φ2 = (R^∇φ1) ∧ φ2 = R^∇ ∧ φ1φ2 = R^∇ ∧ φ
この式の (R^∇φ1) ∧ φ2 = R^∇ ∧ φ1φ2この部分の質問です。
273:１３２人目の素数さん
22/03/03 02:03:19.65 ANlVnbXn.net
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
リンクがちゃんと貼れてなかったので再送信します。
また送れていない場合は、「田崎博之 微分幾何学 pdf」でググると多分１番上に出てきます。
274:１３２人目の素数さん
22/03/03 09:03:13.96 g6h29mqj.net
αを任意の実数とする。
この時、任意の０～９
275:の有限列はαの十進小数展開の中に見出すことができる これは真ですか？
276:１３２人目の素数さん
22/03/03 09:45:16.32 Xs/1esYn.net
1/3=0.333... には（0と）3以外出てこないよ
277:１３２人目の素数さん
22/03/04 04:02:35.11 Y+W5uF8D.net
>>268
訂正
｢αを任意の無理数とする。｣
278:１３２人目の素数さん
22/03/04 04:03:15.06 Y+W5uF8D.net
>>270
訂正します
｢αを任意の超越数とする。｣
279:１３２人目の素数さん
22/03/04 04:28:50.15 Vcg2+F3M.net
つURLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
280:１３２人目の素数さん
22/03/07 13:57:18.46 Va66C910.net
>>266
詳しいことは分からないが、直前に
「これより R∇ = d∇d∇ ∈ Ω2(M ; EndE) とみなすことができる。」
と書いてあるのは見ているのですか？
281:１３２人目の素数さん
22/03/08 19:27:47.80 onvGb6T0.net
群の表示を機械的に得る方法ってないですか？ガロア群の計算で、生成元に課される関係式を説明無しにポンと出して、「この関係式から二面体群D4に同型であることが分かる」と書かれているんですが、すぐに分かる方法とかあるんでしょうか？
282:１３２人目の素数さん
22/03/08 19:29:43.49 FlzLgAId.net
自明だから
283:１３２人目の素数さん
22/03/08 19:33:28.69 JGNVKvhn.net
>>274
良く分かんないけどティーツェ変換とかとかその辺の話？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
284:１３２人目の素数さん
22/03/08 19:39:17.47 yTD6aKsd.net
雪江明彦著『代数学1群論入門』
K = <x, y | x^3 = y^2 = 1, y*x*y = x^{-1}> とすると、
K = S_3 = D_3 であることを証明せよ。
これって証明する必要があることですか？
自明ではないですか？
285:１３２人目の素数さん
22/03/08 19:56:23.85 UxsRhYfi.net
コレを自明で切って捨てていいと思ってるなら群論の教科書に手を出せるレベルにはない
286:１３２人目の素数さん
22/03/08 20:21:47.30 yTD6aKsd.net
>>277
σ := (1, 2, 3)
τ := (1, 2)
とすると、
σ^3 = ()
τ｀^2 = ()
τ*σ*τ = σ^{-1}
が成り立ちます。
そして、この3つの関係式だけを使って、 S_3 のCayley Tableを完成させることができます。
確かに、 y^i * x^j ((i, j) ∈ {0, 1{ × {0, 1, 2}) がすべて異なるかと言われると証明が必要な気もしますが。
K を考える意味って何ですか？
287:１３２人目の素数さん
22/03/08 20:23:54.99 yTD6aKsd.net
松坂和夫さんの本には、自由群、生成元と関係式について全く記述がないですね。
松坂さんは、綺麗に説明しにくいことは書きたがらないように思います。
288:１３２人目の素数さん
22/03/08 20:32:29.92 yTD6aKsd.net
K = F_n / N
F_n をつくるときにまず、同値関係で類別しています。
K をつくるときにさらに同値関係で類別しています。
分かりにくくないですか？
雪江さんは、語とその語の同値類を区別しないなどと宣言しています。
さらに、F_n / N の元は、 x*N (x は語の同値類）ですが、これも語と区別しないなどと宣言しています。
宣言すれば何でもOKなどと思っているのではないでしょうか？
289:１３２人目の素数さん
22/03/08 20:36:22.13 D0IqaTd6.net
さすが松坂くん、今日も冴えまくってますね！
290:１３２人目の素数さん
22/03/08 20:37:30.02 UxsRhYfi.net
>>279
ほら、わかってない
そうやって相手に言われた毎にいちいちカチンときて間抜けな話書いてるレベルの人間性しかないからいつまで経ってもわからないんだよ
そしてお前が今問題にしてる事こそ圏論におけるユニバーサリティの話なんだよ
その1番大切な重要ポイントを“自明”と言って切り捨てて�
291:ｵまってるから何やってもだめなんだよ その大元がお前がいつまでも抜け出せない小学生みたいな人間性や 諦めろ お前に学問を修める才覚はない
292:１３２人目の素数さん
22/03/08 20:46:29.83 qoofTIPc.net
>>274
有限群のプログラムあるやン
何て言ったっけ
293:１３２人目の素数さん
22/03/08 20:46:55.96 UhWa7JZA.net
>>274
有限群のプログラムあるやン
何て言ったっけ
294:１３２人目の素数さん
22/03/09 16:34:51.63 tzkVTZvd.net
群Gの極大正規部分群Nと組成部分群HでHがNに含まれないとき、NH=Gだと思うの
ですが、どう示せばよいのでしょうか？
よろしくお願いします。
295:１３２人目の素数さん
22/03/09 16:55:58.71 QohnJgNI.net
GじゃないならH極大ちゃうやん
296:１３２人目の素数さん
22/03/09 17:00:01.73 tzkVTZvd.net
>>287
すみません。HがNに含まれないときは、極大ですか？
297:１３２人目の素数さん
22/03/09 17:11:49.44 tzkVTZvd.net
G⊃G1⊃G2⊃・・・⊃H
G⊃A
でAはHを含まないという場合はないのですか？
298:１３２人目の素数さん
22/03/09 17:14:01.00 zKx5QXYQ.net
まだ群論に手出すの早すぎるんじゃないの？
299:１３２人目の素数さん
22/03/09 17:19:17.41 tzkVTZvd.net
わかりました。考え直します。
300:１３２人目の素数さん
22/03/09 17:52:57.89 DEX6kRo8.net
>>286
NH={nh : n∈N⊂G, h∈H⊂G}でGは積で閉じているので、NHの任意の要素はGの元であり、NH⊂Gであることが示せた
HはGの部分群であり、単位元を持つので、N={n1 : n∈N, 1∈H}⊂NHであり、更に⊂Gである
Nは極大なので、
N=NHまたはNH=Gである…①
HはNに含まれないので、HにありNにない元hを取ると、h∈NHだがh∈Nではなく、ゆえにN≠NH
これと①から、NH=Gである
301:１３２人目の素数さん
22/03/09 18:23:02.85 q5VBbH12.net
>>286
G⊃NH⊃N
NH=G or NH=N
NH⊃H
NH¥N⊃H¥N≠φ
NH≠N
G=NH
302:１３２人目の素数さん
22/03/09 19:00:21.95 NMYN85ET.net
Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』
この本では、二面体群 D_n が <x, y | x^n, y^2, xyxy> と同形であるということは明らかであるという考えですね。
<x_1, …, x_n | r_1, …, r_k> の定義の直後に、
「Thus the dihedral group D_n is isomorphic to the group <x, y | x^n, y^2, x*y*x*y>.」
と書いてあります。
303:286
22/03/09 19:07:32.34 tzkVTZvd.net
Gの極大正規部分群は正規部分群の中で極大なもので、Gの極大部分群とは
限らないと思います。
それから、自己解決しました。
304:１３２人目の素数さん
22/03/09 20:28:27.55 NtKKk1/f.net
>>294
生成元とリレーションの考え方がまるでわかってない、そしてまるでわかってないという指摘を受けて悔し紛れに本を読んで反論っぽい事を試みる
全てがクズ
お前に学問の話されるだけで虫唾が走る
305:１３２人目の素数さん
22/03/09 21:02:14.57 AZvQOM9b.net
>>294
その前のページに
For example, the dihedral group Dn of symmetries of a regular n-sided polygon is generated by the rotation x with angle 2π/n and a reflection y, and these generators satisfy relations that were listed in (6.4.3):
(7.10.2) x^n =1,y^2 =1,xyxy= 1.
と書いてある。
お粗末にも程がある。
306:１３２人目の素数さん
22/03/09 21:35:14.52 NMYN85ET.net
>>297
それだけでは、 D_n と <x, y | x^n, y^2, xyxy> が同形であることの証明にはならないというのが正しいのではないでしょうか？
例えば、寺田
307:至・原田耕一郎著『群論』では、 D_n と <x, y | x^n, y^2, xyxy> は同形であることを証明しています。
308:１３２人目の素数さん
22/03/09 21:36:07.21 NMYN85ET.net
>>297
証明には半ページくらい使っています。
309:１３２人目の素数さん
22/03/09 21:54:54.65 G3/jqlUu.net
えっ
310:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:01:23.63 AZvQOM9b.net
proposition 6.4.3を見てないでしょ
有限群にしか通用しない荒っぽい論証だとは思うが
311:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:04:05.12 4k8d6X/3.net
あれ？
でも大先生によると積分表示までは間違いない
∫1/√(u(1-u)(1-x^2u))du from 0 to 1
= 2K(x)
(ただし一般的なK(x) = 大先生ではK(x^2))
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
x∫(1-u)^(-1/2)(1-x^2u)^(-1/2)du from 0 to 1
= atanh(x)
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
312:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:04:22.94 4k8d6X/3.net
誤爆
orz
313:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:23:13.93 NMYN85ET.net
>>301
その命題は単に、 D_n = {x^i * y^j | (i, j) ∈ {0, 1, …, n-1} × {0, 1}} と書けるということを言っているだけですよね。
Artinさんは、 D_n が <x, y | x^n = y^2 = 1, y*x = x^{n-1}*y> と同形であることは証明していません。
314:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:32:53.18 AZvQOM9b.net
いや、ちゃんと証明になっている
315:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:33:25.87 NMYN85ET.net
F を集合 S = {x, y} 上の自由群とする。
R = {x^n, y^2, x*y*x*y} ⊂ F とする。
N を R を含む最小の F の正規部分群とする。
Artinさんは、 F/N が D_n と同形であることを証明していません。
316:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:36:38.99 NMYN85ET.net
>>305
F を集合 S = {x, y} 上の自由群とする。
R = {x^3, y^2, x*y*x*y} ⊂ F とする。
N を R を含む最小の F の正規部分群とする。
雪江明彦さんは、 F/N が D_3 と同形であることを証明しています。
雪江明彦著『代数学1群論入門』のp.113の例題4.6.6を見てください。
317:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:44:44.30 AZvQOM9b.net
<x, y | x^n, y^2, xyxy>からD_nへの全射準同型があって位数が同じだから単射。
どこがわからない？
318:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:47:54.96 NMYN85ET.net
>>308
Artinさんはその全射準同型について述べていません。
319:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:51:11.85 NMYN85ET.net
雪江明彦さんの本では、そのような全射準同型の存在は定理として書いてあります。
320:１３２人目の素数さん
22/03/09 22:52:16.62 NMYN85ET.net
Artinさんはそのようなことを論じず、単に、明らかだと言っているようなものです。
321:１３２人目の素数さん
22/03/09 23:01:05.28 AZvQOM9b.net
>>309
>>297に書いてあるじゃん
322:１３２人目の素数さん
22/03/09 23:02:07.31 ZPbyjoTC.net
Artinさんの本を読むレベルに達していないということです
安心してください
323:１３２人目の素数さん
22/03/09 23:09:58.72 eXqQmm7/.net
その半ページ位の証明の中にその群の位数が2nって書いてあるって話じゃないの？
324:１３２人目の素数さん
22/03/10 22:04:31.63 dx5fHmpW.net
森田康夫著『代数概論』
G を群とする。
S を G の部分集合とする。
F(S) を S で生成される自由群とする。
W(S) を S 上の語の集合とする。
W(S) ∋ (s_1, s_2, …, s_n) → s_1 * s_2 * … * s_n ∈ G
は、 (s_1, s_2, …, s_n) の同値類のとり方によらずに定まり、
i : F(S) → G
なる群の準同型を与える。
特に R ⊂ F(S) とするとき、 R の類を含む最小の F(S) の正規部分群が Ker(i) となるなら、 R の元を = 1 とおいたものの集合を、 G の生成元 S に
関する基本関係とよぶ。
「R の類」って何ですか？
325:１３２人目の素数さん
22/03/10 23:04:02.90 tEwUO+1Q.net
松坂くんは今日も通常運行
326:１３２人目の素数さん
22/03/11 10:37:53.84 IEqHSrBq.net
結局、「free groups, generators, relations」について一番分かりやすく丁寧に説明している本は何ですか？
327:１３２人目の素数さん
22/03/11 10:58:40.82 IEqHSrBq.net
こういう当たり前のような当たり前じゃないような話って面倒ですね。
328:１３２人目の素数さん
22/03/11 11:07:29.88 IEqHSrBq.net
Todd - Coxeter Algorithmってどうですか？
329:１３２人目の素数さん
22/03/11 11:23:07.45 IEqHSrBq.net
Michael Artin著『Algebra 1st Edition』のほうがMichael Artin著『Algebra 2nd Edition』
330:よりも説明が分かりやすいですね。
331:１３２人目の素数さん
22/03/11 11:28:32.88 IEqHSrBq.net
Michael Artin著『Algebra 1st Edition』の説明は雪江明彦さんの本での説明と同様ですね。
332:１３２人目の素数さん
22/03/11 14:31:37.93 IEqHSrBq.net
あ、やっぱり、Artinさんの本の説明も分かりにくいところがあります。
---------------------------------------------------------------------------------
命題8.1：
F を集合 S = {a, b, …} 上の自由群とする。
G を群とする。
f : S → G とする。
f は F から G への準同型 φ に一意的に拡張される。
S 上の自由群から G への準同型 φ が全射であるとき、 S は G を生成するという。
---------------------------------------------------------------------------------
S の各元は自由群の元であって、 G の元でないにもかかわらず、 S が G を生成するというのはおかしくないですか？
そのことについての説明が全くありません。
333:１３２人目の素数さん
22/03/11 14:48:44.68 kdaWbqk+.net
昨日より悪化している様子ですが、至って通常運行です
334:１３２人目の素数さん
22/03/11 18:08:00.13 IEqHSrBq.net
自由群の部分群が自由群であることの証明って難しいんですか？
335:１３２人目の素数さん
22/03/11 18:59:22.33 jJTaHo17.net
自明そうに見えて実は証明が難しいので有名な定理の一つだね。
樹状グラフへの群作用の一般論からすぐに出るが、その一般論の展開に手間がかかる。
336:１３２人目の素数さん
22/03/11 19:56:48.71 IEqHSrBq.net
山内恭彦さんが、「問題を解くな」という題で、
「本文を十分に理解しないで、問題によって定理の内容がはじめてわかるというのは邪道である。いくつかの例題を解かなければ、
わかったかどうか自信の持てないようないい加減な読み方をしていたのでは数学は自分のものにならない。」
などと書いていますが、合っていますか？
ちなみに、
「私はもちろん鈍才ではなかった。」
などとも書いています。
337:１３２人目の素数さん
22/03/11 20:00:53.56 NyqtH1lx.net
>>326
出典を示してもらいたい。
338:１３２人目の素数さん
22/03/11 20:32:50.59 Bf3/1QXe.net
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
自由群はグラフの基本群、グラフの被覆空間はまたグラフ
339:１３２人目の素数さん
22/03/11 20:44:31.57 IEqHSrBq.net
>>327
吉田洋一・矢野健太郎編『私の数学勉強法』（ダイヤモンド社）です。
340:１３２人目の素数さん
22/03/11 20:52:40.49 jJTaHo17.net
それはとても良い本だ
資格の勉強のために数学を勉強しているうちに数学が好きになって応用数学の研究者になった人の話が感動的だった
341:１３２人目の素数さん
22/03/12 07:10:32.51 M+ctUvN/.net
>>322
「S 上の自由群から G への準同型 φ が全射であるとき、φ(S) は G を生成するという。」に書き換えたらいいでしょ
本文を補いながら読めないのは駄目だよ
342:１３２人目の素数さん
22/03/12 10:56:06.27 AVAZDub7.net
>>329
全体を読んでみないと、山内さんの真意はわからんな。
当然、逆説的な意味合いで書いたものと想像するけど。
この本、古い本で、ネット書店、近くの公立図書館（含：出身大学の附属図書館）にも無くて、状態の悪い古本しかない。
問題を解く解かないの以前に、本文をきちんと読んで十分理解する（そのように最善の努力をする）のは当然。
しかし、手を動かして問題を解いてみて、初めて定理が腑に落ちることがあるのも事実。
もう少し手に入りやすい本で、
新・数学の学び方
著者 小平 邦彦 （編）,深谷 賢治 （ほか著）
がある。手元にあるから、この機会に読み直してみようっと。
343:１３２人目の素数さん
22/03/12 11:07:00.59 2n9q4Fwf.net
逆説的ではなく素直に「問題を解くのは邪道、本文で理解すべき」と読んだけど
344:１３２人目の素数さん
22/03/12 11:16:33.02 2n9q4Fwf.net
>>331
粗探しし続ける人をかばうわけではな�
345:｢が、本のギャップは人に聞くものだと思うけどな
346:１３２人目の素数さん
22/03/12 11:32:26.80 EqUMV0Hv.net
そもそも射がある対称を生成するという言い回しは圏論では普通に出てくる
それが不自然だなんだとバカな事ばっかり言ってるからいつまで経っても前に進まん
元々素頭悪すぎるから性格直しても前になど進まないだろうがね
347:１３２人目の素数さん
22/03/12 12:48:01.17 M+ctUvN/.net
>>332
いや、文字通りの意味。二冊演習問題のついてない名著の実例を挙げていた。一冊は吉田耕作の本だと記憶している。
和算の難問の出し合いは日本数学の正常な発展を阻害した悪習である、と言っていたはずだが、ID:IEqHSrBqよ、この記憶合ってる？
348:１３２人目の素数さん
22/03/12 14:14:09.64 SYo+2ymZ.net
>>336
「このごろ数学の本を書くと問題を付けないと本屋で出版してくれない。ところがワイルの本（Classical Groupsその他）でも吉田先生（Differential and Integral Equations）の本でも、
数学の本当に優れた書物には、問題なんていうものは付いていない。だいたい問題というものは、本文をよく読んでいれば当然解けるものか、あるいは本文とは別な独創的（？）な
アイデアがなければ解けないものである。後の場合、ほかの本を読んで別の知識を持っていればわけなく解けるというような人を馬鹿にしたものもある。」
「こんなのは、日本の旧い和算の伝統で、数学の正常の発達を阻害した悪習である。」
などと書いています。
また、
「ほかの自然科学の学科も同じように勉強しなかったが、このほうは96±2ぐらいに安定していた。」
「とくに一番でいながらお行儀の悪かったのには諸先生を悩ましたものだった。」
などとも書いています。
349:１３２人目の素数さん
22/03/12 14:29:20.48 SYo+2ymZ.net
ファン・デル・ヴェルデン著『現代代数学1』
ですが、この本って何がいいんですか？
群論なんて初歩の初歩しか書いていないですよね。シローの定理も書いてありません。
350:１３２人目の素数さん
22/03/12 14:30:15.11 SYo+2ymZ.net
準同型定理までしか書いてありません。
レベルが低すぎやしないでしょうか？
351:１３２人目の素数さん
22/03/12 15:33:08.99 sw88OIef.net
今日はいつもに増して一段と冴えている様子です
352:１３２人目の素数さん
22/03/12 15:54:34.63 M+ctUvN/.net
>>337
ああ、結構合ってた。
353:１３２人目の素数さん
22/03/12 16:19:17.77 YJEEu3Hb.net
>>336
>和算の難問の出し合いは日本数学の正常な発展を阻害した悪習である
遺題継承ってやつでしょ？んな西洋でも同じやン
てゆーかそれと
>>337
>「このごろ数学の本を書くと問題を付けないと本屋で出版してくれない。ところがワイルの本（Classical Groupsその他）でも吉田先生（Differential and Integral Equations）の本でも、
>数学の本当に優れた書物には、問題なんていうものは付いていない。だいたい問題というものは、本文をよく読んでいれば当然解けるものか、あるいは本文とは別な独創的（？）な
>アイデアがなければ解けないものである。後の場合、ほかの本を読んで別の知識を持っていればわけなく解けるというような人を馬鹿にしたものもある。」
の本書くときに付けないと出版してくれない問題って遺題継承のようなのじゃなくて例題・演習問題のことよね
書いてる本のレベルにも依らないかな
微積とか線形代数とか各種解析学や代数学位相幾何の初歩とかの本のことジャね？
専門書にもあると読者は嬉しいけど無くてもカマワンでしょ
354:１３２人目の素数さん
22/03/12 16:24:33.24 M+ctUvN/.net
「遺題継承ってやつでしょ？んな西洋でも同じやン」
高次方程式の解法とかね。あれも明らかに悪習と言える。
20世紀ではハンガリーが問題の出し合いが数学みたいな変な方向に行っていた(今はどうなのか知らない)
355:１３２人目の素数さん
22/03/12 16:30:59.44 SYo+2ymZ.net
彌永昌吉・小平邦彦著『現代数学概説1』
この本って本当に小平邦彦さんが書いた部分もあるんですか？
自由群について読もうとしましたが、半群とかから書いてある本なので面倒なので読むのをやめました。
Nathan Jacobson著『Basic Algebra I Second Edition』ってどうですか？
「Ocassionally, we shall find
356:it convenient to develop some of the applications in exercises. For this reason, as well as others, the working of a substantial number of the exercises is essential for a thorough understanding of the material.」 などと書いてあったので、不便な本だなと思いましたが。
357:１３２人目の素数さん
22/03/12 16:32:59.77 SYo+2ymZ.net
今まで調べた本の中では、自由群についての記述は、Michael Artinさんの本が一番ましだと思います。
358:１３２人目の素数さん
22/03/12 17:03:01.66 SYo+2ymZ.net
テンソル代数と表現論
URLﾘﾝｸ(www.utp.or.jp)
この本、売れそうな気がしますが、内容は、佐武一郎さんの本に書いてあるようなことですよね？
いつも内容を見ずに期待だけで買って失敗しているので、今回は書店でチェックしてから良さそうな本だったら買おうと思います。
359:１３２人目の素数さん
22/03/12 17:19:09.81 J71hwjQ5.net
まぁ何読んでも無理やろ
またどうせ途中で投げ出して無かった事にするオチ
前の代数学の基本定理も投げ出したままやろ
ちょっとかじっては分からなくなったら本にガタガタイチャモンつけて終わりを繰り返すだけ
いつまで経っても何にもできないまま
360:１３２人目の素数さん
22/03/12 17:25:07.73 SYo+2ymZ.net
>>346
第5章 群の表現論、主に有限群の場合
第6章 対称群の表現
この辺りが興味あるのですが、線形代数を使わないと解明されない有限群の性質は何ですか？
361:１３２人目の素数さん
22/03/12 17:56:32.96 SYo+2ymZ.net
Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』ですが、
2面体群 D_n は 2*π/n の回転 x と折り返し y によって生成される。これらの生成元は、
x^n = 1
y^2 = 1
x*y*x*y = 1
を満たす。
これらの関係を使って、 D_n の元たちを x^i * y^j (0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2）の形に書くことができる。
---------------------------------------------------------------------------------
こういう内容が書いてあります。
ですが、 D_n の元たちを x^i * y^j (0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2）の形に書くのに、
x^n = 1
y^2 = 1
x*y*x*y = 1
を使って書く人なんていますか？
何が言いたいのか分かりません。
x^i * y^j (0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2）の形で表わした D_n の元たちの間の積を求めるのに、幾何学的に考えずに、
x^n = 1
y^2 = 1
x*y*x*y = 1
の関係式を使って代数的に求めるという話なら分かるのですが。
362:１３２人目の素数さん
22/03/12 17:59:37.13 SYo+2ymZ.net
S = {x, y, x^{-1}, y^{-1}} をアルファベットとする任意の語を x^i * y^j (0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2）の形に変形するのに、
x^n = 1
y^2 = 1
x*y*x*y = 1
を使うという話なら分かるのですが。
363:１３２人目の素数さん
22/03/12 18:01:15.24 SYo+2ymZ.net
D_n = {x^i * y^j | 0 ≦ i < n, 0 ≦ j < 2} であることは関係式とか持ち出さなくても D_n の定義から明らかですよね。
364:１３２人目の素数さん
22/03/12 18:12:08.55 SYo+2ymZ.net
生成元と関係式についてなんですが、どんな関係式が良い関係式なのかといった話がいままで調べてきた本には一切書かれていないのですが、なぜ
そのような重要な話を書かないのでしょうか？
365:１３２人目の素数さん
22/03/12 18:29:59.44 J71hwjQ5.net
お前そのクソみたいな能力でなんで何が重要でなにが重要でないか分かると思ってんの？
何様？
ひとつも何もやり遂げた事ないクセに
何にもできん能無しのくせになんでそんな上から目線で講釈垂れる事ができるん？
お前が文句垂れてる本の作者はみんなお前なんか足元にも及ばんような功績を上げてきた人たちなのがなんで分からんの？
366:１３２人目の素数さん
22/03/12 19:40:47.53 SYo+2ymZ.net
#D_n ≦ #<x, y | x^n, y^2, x*y*x*y> の証明ですが、Artinさんや雪江さんの本での証明のような抽象的な証明方法しかないんですか？
D_n とかを持ち出してそれとの関係によって証明するのではなく、 <x, y | x^n, y^2, x*y*x*y> の中で完結している証明はないんですか？
367:１３２人目の素数さん
22/03/12 19:57:56.79 NT+/FWh4.net
時代の流れに逆らって引きこもり証明に拘るオレかっけー
368:１３２人目の素数さん
22/03/12 20:23:12.59 YJEEu3Hb.net
>>352
重要と思うなら自分でその主張に基づいた発表でもするのが数学徒でしょ？
369:１３２人目の素数さん
22/03/12 21:00:48.27 M+ctUvN/.net
一般論として与えられた関係からその群がどのような性質を持つかを判定するのは極めて難しい
例えば有限群であるかどうかを判定するアルゴリズムは存在しない
370:１３２人目の素数さん
22/03/13 11:03:10.66 BGO5j9mA.net
群 <x, y, z | x^3, y^3, z^2, x*y*z> を考える。
この群の元 y*x*y*x は 1 に等しいことを示せ。
371:１３２人目の素数さん
22/03/13 11:13:17.68 BGO5j9mA.net
>>358
これは、Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』にある例題ですが、良い例題ですね。
372:１３２人目の素数さん
22/03/13 12:28:23.30 oVhRSUwo.net
-1乗を'で表すとして、群<略>の中で
xyz=1よりz=y'x'
1=z^2=y'x'y'x'
よってxyxy=1
右からy^2かけてxyx=y^2
左からyかけてyxyx=y^3=1
ただの計算練習でしかないと思うんだけど、どこらへんが良い例題なのか詳しく教えて
373:１３２人目の素数さん
22/03/13 13:45:11.15 BGO5j9mA.net
あ、簡単でしたね。
でも、Artinさんは必要以上に複雑なやり方で示しているんです。
「The next example shows that computation in R can become complicated, even in a relatively simple case.」
などと書いているので、複雑に見せたいんだと思います。
あるいは高齢のArtinさんにとっては複雑な問題だったのかもしれませんね。
374:１３２人目の素数さん
22/03/13 13:46:22.85 e7P6IMU4.net
>>359
>>361
手のひら返しが酷い
375:１３２人目の素数さん
22/03/13 15:29:32.93 BGO5j9mA.net
Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』
free groups, generators and relationsについて大分理解が進みました。
これから、Todd - Coxeter Algorithmのセクションを読もうと思います。
Todd - Coxeter Algorithmについて書いてある日本語の代数学の本はおそらくないと思いますが、なぜでしょうか？
非常に重要な話だと思います。
376:１３２人目の素数さん
22/03/13 15:37:13.14 BjRkWk92.net
能無しのクセにどこまでも上から目線のクソ
377:１３２人目の素数さん
22/03/13 16:34:16.11 BGO5j9mA.net
Michael Artin著『Algebra 2nd Edition』のTodd - Coxeter Algorithmのセクションですが、完全な記述をしているわけじゃないんですね。
378:１３２人目の素数さん
22/03/13 16:46:44.17 9Ip71OTU.net
>>361
その感想は正しいと思えないよ
379:１３２人目の素数さん
22/03/13 17:08:15.98 BGO5j9mA.net
>>365
不完全な記述を読むのは止して、雪江明彦著『代数学1群論入門』の「位数12の群の分類」のセクションを読もうと思います。
雪江さんの本の参考文献のところを見ると、鈴木通夫さんの本にTodd - Coxeter Algorithmの解説があるみたいなのですが、
鈴木さんの解説は分かりやすいですか？
380:１３２人目の素数さん
22/03/13 17:14:10.67 sUAGfNGR.net
>>367
おまえには分からん
381:１３２人目の素数さん
22/03/13 17:15:58.55 sUAGfNGR.net
どうせ鈴木さんて大丈夫な人ですか
て来るんだろう
382:１３２人目の素数さん
22/03/13 17:16:29.20 sUAGfNGR.net
どうせ鈴木さんて大丈夫な人ですか
て来るんだろう
383:１３２人目の素数さん
22/03/13 19:02:16.33 9Ip71OTU.net
>>362
おそらく彼が何も理解してないからだろうなとも思いますね
384:１３２人目の素数さん
22/03/13 20:00:39.74 gu4Ou024.net
>>361
そんなことは聞いてないです
どこらへんが良い例題だと感じたのか？それを聞いています
この人は日本語が読めないのでしょうか？
大丈夫な人なのでしょうか？
385:１３２人目の素数さん
22/03/13 20:08:06.65 OMYBLP8F.net
まぁ変なやつではある
そもそも何のために数学やってるのか全くわからん
まず能力的に将来数学で飯が食える見込みはまるでない
本人もそれは自覚してるだろう
そして多くの数学者が数学を志す理由の一つである“数学という学問”に対する畏敬の念もまるでない
おそらくは”化け物級の自己愛性の人格障害者”なんだろうとは思うが
まぁほっとけばいいんだがともかく敬愛する偉大な数学者たちを散々にコケおろすのが我慢ならん
386:１３２人目の素数さん
22/03/15 20:12:36.39 pvcvqVHf.net
近藤武著『群論』ってどうですか？
自由群についても書いてあるので図書館から借り�
387:ﾄきました。 貸し出し履歴の紙が本に貼ってありますが、1件も貸し出し記録がありませんでした。 なぜか、月報が本に挟んでありました。 岩波講座基礎数学月報4に三村征雄さんが、 「私はいま、学士入学したつもりで、この講座を読もうかと思っている。私のような老書生にもわかるように、親切でやさしいものを 書いて下さるよう、諸先生にお願いしたい。」 などと書いています。
388:１３２人目の素数さん
22/03/15 20:20:49.47 lOra4tQp.net
>>374
岩波の基礎数学は親切で優しくて為になるよね
389:１３２人目の素数さん
22/03/15 23:10:55.13 KDNuwgA2.net
>>近藤武著『群論』ってどうですか？
昔それを読みかけたとき
ミスプリではない誤りを見つけて
岩波にハガキを出したことがある。
意外なことに
著者が感謝していたという返事が来た。
それでも読んでみようと思ったくらいだから
よい本だったに違いない。
390:１３２人目の素数さん
22/03/16 13:14:59.87 BqiFGRDi.net
松坂和夫著『代数系入門』
この本での「環」は乗法に関する単位元をもちます。
環 R の部分環の定義ですが、それ自身環であり、 R の乗法に関する単位元を含むものという定義です。
群のときには、部分群の定義はそれ自身群であるようなものという定義でした。
ですので、環 R の部分環の定義をそれ自身環であるようなものと定義すると、 R の乗法に関する単位元を含まない可能性がある
ということを注意書きは必要だと思うのですが、『代数系入門』には一切そのことについて触れていません。
これはOKですか？
391:１３２人目の素数さん
22/03/16 13:51:46.71 x/iBQDje.net
OKです
392:１３２人目の素数さん
22/03/16 14:11:54.92 BqiFGRDi.net
松坂和夫著『代数系入門』
環の準同型写像の定義ですが、
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(x * y) = f(x) * f(y)
f(1) = 1
と定義しています。
群の場合には、
f(0) = 0
は導かれるため、定義に含まれていませんでした。
環の準同型写像の定義を
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(x * y) = f(x) * f(y)
とすると、
f(1) = 1
は成り立たないかもしれないという注意が必要だと思うのですが、『代数系入門』には一切そのことについて書いてありません。
これはOKですか？
393:１３２人目の素数さん
22/03/16 14:16:17.93 x/iBQDje.net
OKです
394:１３２人目の素数さん
22/03/16 15:57:43.72 BqiFGRDi.net
予想通り、この本は売れそうですね。
現在、ランキング1377位です。
佐武一郎さんの本より分かりやすいですかね？
テンソル代数と表現論: 線型代数続論 単行本 ? 2022/3/28
池田 岳 (著)
出版社 ? : ? 東京大学出版会 (2022/3/28)
発売日 ? : ? 2022/3/28
言語 ? : ? 日本語
単行本 ? : ? 304ページ
ISBN-10 ? : ? 4130629298
ISBN-13 ? : ? 978-4130629294
Amazon 売れ筋ランキング: - 1,377位本 (の売れ筋ランキングを見る本)
395:１３２人目の素数さん
22/03/16 15:58:40.95 BqiFGRDi.net
>>381
アマゾンですが、
「本 (の売れ筋ランキングを見る本)」っておかしくないですか？
396:１３２人目の素数さん
22/03/16 16:45:18.55 BqiFGRDi.net
本が売れるかどうかということでいうと、斎藤毅さんが代数学の本を書けば売れると思います。
397:１３２人目の素数さん
22/03/16 16:47:35.02 BqiFGRDi.net
なんで桂さんが代数の本を書いたんですかね。
398:１３２人目の素数さん
22/03/16 17:00:32.02 Avy90WpM.net
ピーターショルツが代数学の教科書を書いたらかなり他の人にとっては有益だろうなと思う
代数の先の造詣も深いし証明も非常に分かりやすく、イノベーターとしてショルツ個人の観点も価値が大きい
399:１３２人目の素数さん
22/03/16 17:07:42.03 x/iBQDje.net
>>385
IUT批判してる人か
400:１３２人目の素数さん
22/03/16 17:37:21.10 Avy90WpM.net
>>386
それはおまけでパーフェクトイド空間の人
401:１３２人目の素数さん
22/03/17 08:41:34.00 YP6mgV26.net
松坂和夫著『代数系入門』
「
R を環とし、 J を R に等しくない R の左イデアルとする。もし J を含む R の左イデアルが R と J 自身のほかに存在しないならば、 J を R の極大左イデアル
という。同様にして極大右イデアルも定義される。 R が可換の場合にはもちろんこれらの概念は一致し、単に極大イデアルとよばれる。
」
などと書かれていま�
402:ｷ。 この書き方だと「極大イデアル」という用語は可換環の場合にしか使われないというようにとれます。 「 R を環とし、 J を R に等しくない R の左イデアルとする。もし J を含む R の左イデアルが R と J 自身のほかに存在しないならば、 J を R の極大左イデアル という。同様にして極大右イデアルも定義される。 J が極大左イデアルかつ極大右イデアルであるとき、単に極大イデアルとよばれる。 R が可換の場合にはもちろんこれらの概念は一致する。 」 と書くべきですよね？
403:１３２人目の素数さん
22/03/17 09:36:52.73 DPjNswdB.net
いいえ
404:１３２人目の素数さん
22/03/17 14:10:56.65 YP6mgV26.net
成田正雄著『初等代数学』
多項式の積について結合法則が成り立つことの証明ですが、「積の定義からあまりにも明らかであろう」などと書いて証明を書いていません。
一方、 (1, 0, 0, …) が積に関する単位元であることは証明しています。
明らかに、結合法則のほうが証明を記述するのが面倒です。
一体何を考えていたんですかね？
405:１３２人目の素数さん
22/03/17 14:13:11.96 YP6mgV26.net
松坂和夫著『代数系入門』
でも、routine workだなどとして、証明を読者の練習問題にしています。
こういうきちんと書くのが大変なものは、松坂さんの常套手段ですが、読者に押し付けますね。
406:１３２人目の素数さん
22/03/17 14:19:38.91 YP6mgV26.net
結合法則が成り立つことの証明ですが、
f = (a_0, a_1, …)
g = (b_0, b_1, …)
h = (c_0, c_1, …)
(f * g) * h
f * (g * h)
のどちらも l 次の項の係数は、添字の和が l になるような a_i * b_j * c_k をすべて足したものになる。
よって、
(f * g) * h = f * (g * h)
が成り立つ。
これでOKですか？
407:１３２人目の素数さん
22/03/17 15:37:08.83 xbmzOGB5.net
>>392
OKです
もそっと厳密に言うなら
Σが和に関して分配則
Σ同士の積（作用の合成）に関して結合則を満たすことを示してからということになりましょうが
ほぼ自明ですし
408:１３２人目の素数さん
22/03/17 15:58:02.70 YP6mgV26.net
>>393
ありがとうございました。
409:１３２人目の素数さん
22/03/17 18:22:54.47 YP6mgV26.net
単項イデアル整域というのがあります。
なぜ、単なる「単項イデアル環」というのは考えないのでしょうか？
410:１３２人目の素数さん
22/03/17 18:25:22.44 YP6mgV26.net
>>395
松坂和夫著『代数系入門』では、そういう説明が全くありません。
そして、突然、考える環を整域に限定して単項イデアル整域などというものを持ち出してきます。
411:１３２人目の素数さん
22/03/17 18:29:29.00 zkopiL4v.net
黙って読め能無し
412:１３２人目の素数さん
22/03/17 19:04:20.17 YP6mgV26.net
整除の関係ってもっとすっきりと記述できないんですか？
413:１３２人目の素数さん
22/03/17 19:24:45.90 RQYWBCG3.net
>>395
整域ではない環の素因数分解について考えてみて下さい
414:１３２人目の素数さん
22/03/17 19:51:32.35 PLBzgQ22.net
>>396
単項イデアル環を定義する本もあるので、他の本を読んでみたらどうでしょうか？
レスポンスがあれば知ってる本勧めますが
415:１３２人目の素数さん
22/03/17 20:10:11.75 YP6mgV26.net
>>399
「素元分解とその一意性」というセクションを読んだら、整域だと、左辺と右辺の共通の約元で約すことができたり、色々便利なのは分かりました。
>>400
ブルバキとかですかね？
「素元分解とその一意性」というセクションを読んだら、単項イデアル整域だと色々と都合よく物事が進むことが分かったので、本の紹介は結構です。
416:１３２人目の素数さん
22/03/17 21:11:17.89 PLBzgQ22.net
>>401
そうでしたか
一息ついて先を読み、それでも分からなければ質問したほうが効率が良いかもしれませんね
417:１３２人目の素数さん
22/03/18 12:53:40.66 05C5zaa7.net
松坂和夫著『代数系入門』
この本では、他の本で既約元と言っているものを素元と言っています。
こういうのはありですか？
418:１３２人目の素数さん
22/03/18 12:55:16.57 05C5zaa7.net
他の本では、素元の定義は既約元とは一致しません。
UFD上では素元 = 既約元だそうですが、一応定義は別々にするのがいいのではないでしょうか？
419:１３２人目の素数さん
22/03/18 14:11:47.31 nlnyHFhD.net
わかってるじゃんキミ
420:１３２人目の素数さん
22/03/18 14:19:08.22 TD2d3DEB.net
いつもの調子なら少なくとも
この本では、他の本で既約元と言っているものを素元と言っています。
松坂和夫さんは大丈夫な人なのでしょうか。
なはずなので、実はあんまりわかってないと思う
421:１３２人目の素数さん
22/03/19 10:54:04.60 xrm
422:maAwA.net
423:１３２人目の素数さん
22/03/19 12:14:29.84 NSEHmUfJ.net
スッキリさせる必要も無いでしょ？
分かればそれで納得して
自分の基盤にするだけ
424:１３２人目の素数さん
22/03/19 12:58:14.52 iiyXIICj.net
スッキリしないと思う、文句を言うだけなら誰でもできる
そこで止まって自分でスッキリ証明してみようとしない、できないかどうか思うことすらないのが松坂くんクオリティ
425:１３２人目の素数さん
22/03/19 18:35:43.65 xrmmaAwA.net
R をUFDとする。
K を R の分数体とする。
q ∈ R[x] が K において既約な原始多項式ならば、 q は R[x] の素元であることを証明せよ。
426:１３２人目の素数さん
22/03/19 18:38:17.81 xrmmaAwA.net
>>410
松坂和夫著『代数系入門』では、「素元」の定義は、
p が単元ではなく、 a | p ⇒ 「a は単元または p と同伴」が成り立つ
です。
427:１３２人目の素数さん
22/03/19 18:49:32.12 xrmmaAwA.net
>>410
deg(q) ≧ 1 とする。
428:１３２人目の素数さん
22/03/19 18:52:50.03 1DHE0GmN.net
ガウスの定理
429:１３２人目の素数さん
22/03/19 18:55:52.92 xrmmaAwA.net
d ∈ R[x] が d | q を満たすとする。
q = d * d' (d' ∈ R[x]）と書ける。
以下で、 d, d' がともに単元でないとして矛盾を導く。
(1) d, d' の次数がともに1以上の場合。
K[x] の単元全体の集合は K - {0} であるから、 d, d' は K[x] の単元ではない。
よって、 q = d * d' は K[x] において既約ではない。これは q についての仮定に反する。
(2) d, d' のどちらかが R の元である場合。
q は 1次以上の多項式であるから、 d, d' の片方は R の元であり、他方は1次以上の多項式である。
d, d' のうち R の元であるほうを a とし、1次以上の多項式であるほうを b とする。
q は原始多項式であるから、 a は単元でなければならない。
これは矛盾である。
430:１３２人目の素数さん
22/03/19 18:58:38.82 xrmmaAwA.net
なんか色々面倒ですね。
431:１３２人目の素数さん
22/03/19 19:04:34.94 NSEHmUfJ.net
>>410
規約なら当たり前ってコトでは
432:１３２人目の素数さん
22/03/19 19:08:01.58 RVqkzSM6.net
超関数と測度論と関数解析と微分幾何の関係性がいまいち分からないのですが?
ちょっとずつかぶってるとおもうのですが
ぜんぶまとめた一般論、もしくはそれに近いのはありますか
433:１３２人目の素数さん
22/03/19 19:15:03.70 RVqkzSM6.net
単語で検索してこれでました
カレント (数学) - Wikipedia
数学、特に函数解析、微分幾何学や幾何学的測度論では、ジョルジュ・ド・ラームの意味でk-カレント(k-current)は、滑らかな多様体M のコンパクトな台を持つ微分形式 k-形式の空間上の汎函数である。
形式的なカレントの振る舞いは、微分形式上シュワルツの超函数に似ている。
幾何学的な設定では、ディラックのデルタ函数や、より一般的な M の部分集合に沿ったデルタ函数の方向微分も、一般化した部分多様体上の積分で表わすことができる。
434:１３２人目の素数さん
22/03/19 19:24:06.65 xrmmaAwA.net
>>416
2 * (x + 1) は Q[x] の既約な多項式ですが、 Z[x] の素元ではありません。
435:１３２人目の素数さん
22/03/19 19:35:17.68 NSEHmUfJ.net
>>419
じゃあそれが>>410の反例？
436:１３２人目の素数さん
22/03/19 19:39:49.43 xrmmaAwA.net
>>420
>>410
では、 q には既約であるだけでなく、原始多項式であるという条件も課されています。
437:１３２人目の素数さん
22/03/19 21:04:07.83 NSEHmUfJ.net
>>421
じゃあモニックだから自明？
438:１３２人目の素数さん
22/03/20 11:27:59.70 rsnHfVcP.net
Eisensteinの規準って単なる十分条件ですけど、なんでどの代数の本にも書いてあるんですか？
439:１３２人目の素数さん
22/03/20 12:04:30.39 CZjaoWGX.net
>>Eisensteinの規準って単なる十分条件ですけど
大方の初学者にとっては非常に非自明だと思う。
440:１３２人目の素数さん
22/03/20 12:14:25.91 6UfoMWWO.net
フレネ・セレの公式
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
441:%E3%83%AC%E3%83%8D%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%83%AC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F になになにベクトル場って用語が色々出てくるんですけど曲線の上だけで定まっていても場って言うのが普通なんですか？ ベクトル場に導ベクトル場があるってのもなんか気持ち悪いんですが
442:１３２人目の素数さん
22/03/20 12:41:35.32 Ohy7GLVZ.net
>>414
ああわかった
自明なところを細かく説明したってコトね
443:１３２人目の素数さん
22/03/20 12:54:21.47 fuxFqhXl.net
某所によるとcor 3.12は自明とのこと
444:１３２人目の素数さん
22/03/20 12:55:48.46 CZjaoWGX.net
0と1だけの体があっても気持ち悪くないの？
445:１３２人目の素数さん
22/03/20 13:02:11.80 Ohy7GLVZ.net
>>425
もしかして場って用語を物理サイドから認識したんじゃない？
446:１３２人目の素数さん
22/03/20 13:03:46.38 Ohy7GLVZ.net
>>428
F2のこと？じゃないよね
447:１３２人目の素数さん
22/03/20 17:59:01.19 rsnHfVcP.net
吉田洋一・矢野健太郎編『私の数学勉強法』
赤攝也さんが以下のように書いています：
「
たしか岩村聯教授からだったと思うが（記憶違いだったらおわびします）、「数学の本は、おしまいのほうから逆に読むものだ」
という警句を聞いたことがある。ちょっと誤解を招きやすいが、一種の名言だと思う。
」
既に内容が分かっている本なら、そのような読み方もいいかもしれませんが、初めての分野の本では、無理な読み方ですよね？
448:１３２人目の素数さん
22/03/20 18:02:35.50 rsnHfVcP.net
赤攝也さんの本を読んで、赤攝也さんは↓のような人なんだろうなあと想像していたのですが、正解だったようです：
ところで、「厳密な推論によって組み立てられなければならない」という言葉は、必然的に、すべての定理の証明を、
「完全に論理的に」理解できなくてはいけないのだ、という一種の強迫観念を人々にいだかせる。ところが、いつも
すらすらとことがはこぶとは限らない。証明をよんでいると、その途中で、とうもよくわからない、というところが
でてくる。すると私は、どうしてもわかろうと努力する。一時間か二時間で解決がつけば問題はない。しかし、場合
によっては、一日かかってもまだわからないことがある。もちろん、たまりかねて、他の本を参考にしてみたりもする。
それでもなおかつわからないことがある。ところが、「理論は正しい推論によって組み立てられなくてはならない」
ものである。だから、その証明をとばすことは、その理論を正しく理解することにはならない。そこで、結局その本
をなげ出してしまい、かなりの劣等感だけが残るという結果になる。― 自分は、数学に向いていないのではあるまいか？
ときによっては、苦労の甲斐あって、めでたく読了という段階にこぎつけるのに成功することもないではない。しかし、
読んだ内容の大部分は、一週間もすれば忘れてしまう。
「何か、こういうような定理があったっけ。」
「うん、そういえば、そんな言葉もでてきたなあ。だけど、定義は忘れてしまった。」
……………………………………
そこで私はこう思う。いったいなんのためにあの本を読んだんだろう。こう、みんな忘れてしまうのでは、時間を空費
したとしか、いいようがない。私は数学者になりたいんだ。そのためには、やはり、いろいろの知識を確実に集積して
いかなくてはならないのだろう。しかし、この調子では、どうも絶望のようだ。
― 結局、ここでも残るのは、劣等感だけである。
449:１３２人目の素数さん
22/03/20 18:39:29.57 Ohy7GLVZ.net
>>431
>既に内容が分かっている本なら、そのような読み方もいいかもしれませんが、初めての分野の本では、無理な読み方ですよね？
逆じゃないの？そういう意味の警句だと思うけどね
でも最後の方は細かい話に分裂していくことが多いから
一概にそれが良いとは思えないけどなあ
450:１３２人目の素数さん
22/03/20 19:22:54.72 rsnHfVcP.net
吉田耕作さんが、以下の文章を書いています：
ここで、告白（？）致しますと、ヴ
451:ァン・カンペンの論文でビコンパクト（現在コンパクトといって学部一年生に教えている概念）が 出てきたとき、フレッシェの（点列収束の意味の）コンパクト ― これならわれわれもすでに知っていた ― と同じ概念なのかどうか 誰にもわからずに、大議論になったような時代でした。篤学の角谷君がいろいろ文献を調べて、結局ウリゾーンの有名な論文を 見つけたので落着しましたけれども。 こんなの演習問題レベルの話ですよね。 かなり有名な数学者でもこの程度というのが悲しいですね。
452:１３２人目の素数さん
22/03/20 19:35:34.95 rsnHfVcP.net
吉田耕作さんが以下のように書いていますが、頭の回転がはやければ、
>>434
の話など一瞬で解決していたでしょうね。
振りかえって見ますと、私はむしろ頭の回転がおそいほうですが、記憶力はまずまずのほうらしい。だからいろいろ乱読して得た
雑然とした知識を、年を経てから自己流の拙ない体系に整理する段階になってみると、それらの相互関係もわかってきて、何か
に応用することなどもできる。わずかでも自ら動かせるようになってはじめて自分のものになったような気がするわけです。強いていえば、
これが「私の数学勉強法」です。
453:１３２人目の素数さん
22/03/20 19:36:20.22 pWvS1Hy0.net
>>434
吉田耕作以上に引用されるような本や論文書いてからホザケ。クズ
454:１３２人目の素数さん
22/03/20 19:57:20.26 Ohy7GLVZ.net
>>434
そりゃ後付の感想だろうね
455:１３２人目の素数さん
22/03/20 20:32:46.63 Nz6zl8Ev.net
まともな人間の書くレスじゃないわな
456:１３２人目の素数さん
22/03/21 12:55:26.08 8glVzNG6.net
V を体 K 上のベクトル空間とする。
加法群 V から V への準同型全体からなる環を End(V) とする
ベクトル空間 V から V への線形写像全体からなる環を End_K(V) とする。
End(V) ≠ End_K(V)
となる例を教えて下さい。
457:１３２人目の素数さん
22/03/21 13:02:39.01 Pees2SKR.net
>>439
V=K=R
458:１３２人目の素数さん
22/03/21 13:38:31.14 8glVzNG6.net
>>440
End(V) ∋ f であり、 f ∈ End_K(V) でないような f はなんですか？
459:１３２人目の素数さん
22/03/21 13:59:24.09 8glVzNG6.net
f ∈ End(R) とする。
q ∈ Q とする。
f(1) = a とする。
f(q) = a * q
ですね。
460:１３２人目の素数さん
22/03/21 19:00:39.74 8glVzNG6.net
有限次元ベクトル空間 V と V の再双対空間の間には、基底のとり方には依存しない同型写像を定義することができる。
↑が何を言いたいのか V = R^2 の場合に説明してください。
461:１３２人目の素数さん
22/03/21 19:03:39.05 8glVzNG6.net
1. R^2 からその双対空間の間には、基底のとり方に依存しない同型写像は存在しない。
まず、これを示してください。
462:１３２人目の素数さん
22/03/21 19:04:06.45 8glVzNG6.net
訂正します：
1. R^2 からその双対空間への基底のとり方に依存しない同型写像は存在しない。
まず、これを示してください。
463:１３２人目の素数さん
22/03/21 19:15:23.84 Pees2SKR.net
ガンバってね
前にどっかで書いたと思う
464:１３２人目の素数さん
22/03/21 19:19:03.86 8glVzNG6.net
>>446
K = V = C
これなら容易に示せますね。
複素共役をとる写像は加法群 C から C への準同型写像です。
conj(i * z) = -i * z ≠ i * z if z ≠ 0
なので、線形写像ではありません。
465:１３２人目の素数さん
22/03/21 19:20:14.23 8glVzNG6.net
訂正します：
>>446
K = V = C
これなら容易に示せますね。
複素共役をとる写像は加法群 C から C への準同型写像です。
conj(i * z) = -i * conj(z) ≠ i * conj(z) if z ≠ 0
なので、線形写像ではありません。
466:１３２人目の素数さん
22/03/21 19:59:28.20 8glVzNG6.net
「基底のとり方に依存する」というのは、↓こういうことが言いたいんですか？
V = R^2 の標準基底 <e1, e2> を考える。
<e1, e2> の双対基底を <f1, f2> とする。
e1 を f1 に写し、 e2 を f2 に写すような V から V^* への同型写像 φ1 を考える。
この同型写像により、 (1, 1) ∈ V は
(1, 1) = 1*e1 + 1*e2 → 1*f1 + 1*f2
に写される。
1*f1 + 1*f2 は (x, y) ∈ V を x + y に写す。
------------------------------------------------------------------
V = R^2 の基底 <e2, -e1> を考える。
<e2, -e1> の双対基底を <g1, g2> とする。
e2 を g1 に写し、 -e1 を g2 に写すような V から V^* への同型写像 φ2 を考える。
この同型写像により、 (1, 1) ∈ V は
(1, 1) = 1*e2 + (-1)*(-e1) → 1*g1 + (-1)*g2
に写される。
1*g1 + (-1)*g2 は V ∋ (x, y) = y*e2 + (-x)*(-e1)
467:を y - x に写す。 よって、 φ1 と φ2 は異なる。
468:１３２人目の素数さん
22/03/21 20:28:05.11 Pees2SKR.net
>>447
>K = V = C
そうですね
それが簡単ですね
469:１３２人目の素数さん
22/03/22 18:23:40.20 Ze60qfmJ.net
K を体、 V, W を K 上のベクトル空間とする。
Hom_K(V, W) の特殊な場合に過ぎない V の双対空間 Hom_K(V, K) はなぜ重要なんですか？
470:１３２人目の素数さん
22/03/22 18:41:26.64 UEFCkGHM.net
デュアルだからね
471:１３２人目の素数さん
22/03/22 18:53:16.96 wUQov1o5.net
Vでなくなんで双対考えるかって聞くならわかるけど
一般のhomと比べようって感覚はよく分からない
472:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:06:03.30 Ze60qfmJ.net
K を体、 V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。
V^* の元って、要は、ドット積 V ∋ v → a・v ∈ K （a ∈ K^n）のことですよね？
V^* とはドット積の集合であるとなぜ平たく書かないんですか？
473:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:07:54.65 Ze60qfmJ.net
>>454
訂正します：
K を体、 V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。
V^* の元って、要は、ドット積 K^n ∋ x → a・x ∈ K （a ∈ K^n）みたいなものですよね？
なぜ、平たくそう書かないんですか？
474:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:15:38.57 UEFCkGHM.net
>>455
君がそれで書いたら？
475:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:18:08.71 Ze60qfmJ.net
K を体、 V を K 上の n 次元ベクトル空間、 {v_1, …, v_n} を V の基底とする。
V^* の元って、要は、 a を K^n の元として、 V の元 v に、その座標ベクトルと a とのドット積を対応させる写像のことですよね。
なぜ、平たくそう書かないんですか？
476:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:18:48.89 qdVyNpi9.net
>>455
「みたいなもの」って何？
「みたいな」って何？
477:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:25:28.61 Ze60qfmJ.net
K を体、 V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。
V^** の元って、要は、 x を V の固定元として、 V^* の元 φ に x での φ の値を対応させるような写像のことですよね。
こんなものを考えることがなぜ重要なんですか？
478:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:28:24.43 qdVyNpi9.net
>>457
V^* の元って、…
写像のことですよね。
なぜ、平たくそう書かないんですか？
違うからだろうな(笑)
479:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:29:51.97 qdVyNpi9.net
>>459
どこの大学出身ですか？
480:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:30:02.73 UEFCkGHM.net
>>454
>V^* の元って、要は、ドット積 V ∋ v → a・v ∈ K （a ∈ K^n）のことですよね？
ここで言ってるドット積って内積みたいな双線形形式のこと？ではないよねa∈K^nだし
481:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:30:46.23 Ze60qfmJ.net
V ∋ x と x^{^} ∈ V^** を同一視するというのは、 x そのものを、 V^* の元 φ に x での φ の値を対応させる写像だと考えるということですよね？
そんなことして何が嬉しいんですか？
482:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:32:50.96 UEFCkGHM.net
>>457
>V^* の元って、要は、 a を K^n の元として、 V の元 v に、その座標ベクトルと a とのドット積を対応させる写像のことですよね。
V^*の定義に座標も基底も関係ないよ
483:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:34:22.87 qdVyNpi9.net
>>459
ある概念を学んでいるときにその重要性を教えて欲しいんですか(笑)
定理3-2は重要。定理3-3は重要ではない
とか書いてある教科書がほしいんですか(笑)
今更ですが馬鹿ですか？
484:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:37:57.21 Ze60qfmJ.net
>>463
利点としては、
φ は写像で、 x はただの V の元だったのが、 φ も x もどちらも線形形式になって、非対称だったのが対称になって、すこし気分がいいくらいのものですか？
φ(x) = x(φ) みたいに書けてうれしいみたいな？
485:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:42:02.57 UEFCkGHM.net
>>463
f(x)をxに対してfをf(x)に対応させる写像を対応させるみたいな
486:１３２人目の素数さん
22/03/22 19:43:18.77 UEFCkGHM.net
>>466
>非対称だったのが対称になって
というかデュアルね
487:１３２人目の素数さん
22/03/23 08:01:44.52 Nl4goO46.net
斎藤毅著『線形代数の世界』
写像が全単射であることを示すのに、全射かつ単射であることを示すのではなく、逆写像を構成して、可逆であることを示すことにより示しています。
こっちのほうが分かりやすいですね。
488:１３２人目の素数さん
22/03/23 08:05:43.15 ZyHgXq9L.net
>>469
場合によるとしか
489:１３２人目の素数さん
22/03/23 12:31:28.43 ZTNB7Ifl.net
>>469
圏論が好きだと言いたいの
490:１３２人目の素数さん
22/03/23 13:46:43.71 Nl4goO46.net
斎藤毅著『線形代数の世界』
証明が独特で巧みな証明が多いですけど、どうやって思いつくんですか？
491:１３２人目の素数さん
22/03/23 14:44:17.10 Nl4goO46.net
斎藤毅著『線形代数の世界』
m×n 行列の集合 M_{mn}(K) m ≧ 0, n ≧ 0 として定義しています。
行列を {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} から K への写像と
492:考えているからでしょうか？ m = 0 または n = 0 のときには、 {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} は空集合ですから、 M_{mn}(K) = {空写像} ということですか？ こういうところが嫌いです。
493:１３２人目の素数さん
22/03/23 14:44:50.60 Nl4goO46.net
>>473
訂正します：
斎藤毅著『線形代数の世界』
m×n 行列の集合 M_{mn}(K) を m ≧ 0, n ≧ 0 に対して定義しています。
行列を {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} から K への写像と考えているからでしょうか？
m = 0 または n = 0 のときには、 {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} は空集合ですから、
M_{mn}(K) = {空写像} ということですか？
こういうところが嫌いです。
494:１３２人目の素数さん
22/03/23 14:48:59.32 Nl4goO46.net
そして、 m = 0 または n = 0 のときに、 M_{mn}(K) が一体何なのかについて全く説明がありません。
その一方で、「余談」などとして、説明の必要がないことを書いていたりします。
495:１３２人目の素数さん
22/03/23 15:10:32.39 TzgUHyAD.net
>>475
自分で書いてるぞ
>m = 0 または n = 0 のときには、 {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} は空集合ですから、M_{mn}(K) = {空写像}
自分も定義からすぐ分かってるのに、なんの説明を求めてるのか
496:１３２人目の素数さん
22/03/23 18:47:07.88 Nl4goO46.net
>>476
m ≧ 0, n ≧ 0 に対して m × n 行列が定義されるというのは、誤植だと考える人も多いのではないでしょうか？
なにか説明が要ると思います。
あるいは、ほとんどすべての著者と同じように、 m ≧ 1, n ≧ 1 とすべきではないでしょうか？
497:１３２人目の素数さん
22/03/23 18:51:38.99 Nl4goO46.net
↓こんなくだらない余談を書かずに、 m = 0 または n = 0 のときにはどう考えるか説明を書くべきです。
「
余談15
記号 M_{mn}(K) や、 a_{ij} の中で、 mn や ij は積 m×n や i×j ではなく、数 m と n や、 i と j をただならべて書いたものである。
」
498:１３２人目の素数さん
22/03/23 18:59:20.14 TzgUHyAD.net
>>477
著者の思う定義ではなかった誤植と、数学的に通らない誤植があると思うが、
これは数学的には定義に何も問題はなく後者ではないので、前者の誤植を疑う意味はないと思う
この定義を受け入れて他の本を読んだときに、m,nが1以上であっても同じ議論が出来るだろう
499:１３２人目の素数さん
22/03/23 20:26:25.21 ZyHgXq9L.net
>>478
え？それ重要よ
500:１３２人目の素数さん
22/03/23 20:31:52.71 Nl4goO46.net
斎藤毅著『線形代数の世界』
定義1.4.1
V を K 線形空間とする。 W が V の K 部分空間（subspace）であるとは、 W が V の部分集合であって、次の条件をみたすことである。
(1) W の任意の元 x, y に対し、 x + y も W の元である。
(2) K の任意の元 a と W の任意の元 x に対し、 a*x も W の元である。
(3) V の零元 0 は W の元である。
空集合は条件(1)と(2)をみたすが、(3)をみたさない。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」という文があったとします。
これだけ見ると、「+」って何？という話になると思います。
{} ⊂ V と考えると、
「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」の「+」は V での加法演算のことなので、問題ないと思います。
空集合 {} は一つしかないわけですが、それを V の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」が意味をなしますが、
空集合 {} を {バナナ, りんご, いちど} の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」は意味をなしませんよね？
このあたりはどのように考えたら良いのでしょうか？
501:１３２人目の素数さん
22/03/23 20:33:11.73 Nl4goO46.net
>>481
訂正します：
斎藤毅著『線形代数の世界』
定義1.4.1
V を K 線形空間とする。 W が V の K 部分空間（subspace）であるとは、 W が V の部分集合であって、次の条件をみたすことである。
(1) W の任意の元 x, y に対し、 x + y も W の元である。
(2) K の任意の元 a と W の任意の元 x に対し、 a*x も W の元である。
(3) V の零元 0 は W の元である。
空集合は条件(1)と(2)をみたすが、(3)をみたさない。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」という文があったとします。
これだけ見ると、「+」って何？という話になると思います。
{} ⊂ V と考えると、
「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」の「+」は V での加法演算のことなので、問題ないと思います。
空集合 {} は一つしかないわけですが、それを V の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」が意味をなしますが、
空集合 {} を {バナナ, りんご, いちご} の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」は意味をなしませんよね？
このあたりはどのように考えたら良いのでしょうか？
502:１３２人目の素数さん
22/03/23 20:39:45.44 ZyHgXq9L.net
>>474
>行列を {x ∈ N | x < m} × {y ∈ N | y < n} から K への写像と考えているからでしょうか？
その本ではそう定義してるの？
503:１３２人目の素数さん
22/03/23 20:41:14.08 Nl4goO46.net
>>482
このあたりの話はどの本を読めばいいですか？
前原昭二さんの『記号論理入門』とか数学基礎論の本とか持っていますが、全く役に立ちません。
新井敏康さんの『数学基礎論増補版』も持っていますが、このようなことは書いていますか？
504:１３２人目の素数さん
22/03/23 20:42:22.08 Nl4goO46.net
>>483
いや、定義していません。ただ、表形式に体 K の元を並べたものが行列という説明です。
505:１３２人目の素数さん
22/03/23 20:42:22.70 jfyiGhbx.net
Hom(0次元,3次元)もHom(4次元,0次元)もHon(0次元,0次元)もベクトル空間としては全部0次元ベクトル空間
underlying set は{0}一元だけからなる一元集合
506:１３２人目の素数さん
22/03/23 20:51:40.31 ZyHgXq9L.net
>>482
>「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」という文があったとします。
>これだけ見ると、「+」って何？という話になると思います。
（中略）
>空集合 {} を {バナナ, りんご, いちご} の部分集合と考えると「{} の任意の元 x, y に対し、 x + y も {} の元である。」は意味をなしませんよね？
空集合の積集合（これも空集合）から空集合への写像は一つだけ存在するので
その意味で「意味」はあるわけです
気にしているのはある集合からある集合へのある種の性質を持つ写像が定義されている場合とそうで無い場合とでその部分集合の間にこの写像の制限として定義される写像となっている場合となっていない場合があるという状況で後者においてもある種の性質を持つ写像が存在すると考えて良いのかということでしょうがこの場合は特に問題はありません
507:１３２人目の素数さん
22/03/23 20:52:52.31 ZyHgXq9L.net
>>485
では適当に推測するのがよろしいですね
508:１３２人目の素数さん
22/03/23 21:17:41.49 jfyiGhbx.net
そもそも
> (3) V の零元 0 は W の元である。
0を含まなければ部分空間とみなさんと言ってるのに空集合の場合を考える意味がない
509:１３２人目の素数さん
22/03/24 10:22:38.77 tOm+hK4d.net
佐武一郎著『線型代数学』
中への写像って何ですか？
単なる写像のことのようにみえますが、もしそうなら不要な用語ですよね。
そして、不要な用語だから、使われなくなったんですか？
510:１３２人目の素数さん
22/03/24 14:29:12.81 tOm+hK4d.net
佐武一郎著『線型代数学』
↓が成り立つから、 V と V^* の間には標準的な同形が存在しないということですが、
V の基底をその双対基底に写すような同型写像の中には標準的な同形が存在しないと言っているだけですよね？
V を体 K 上の n 次元ベクトル空間とする。
{v_1, …, v_n} を V の基底とする。
{λ_1, …, λ_n} を {v_1, …, v_n} の双対基底とする。
{u_1, …, u_n} を V の基底とする。
{μ_1, …, μ_n} を {u_1, …, u_n} の双対基底とする。
v_i → λ_i (i = 1, …, n) と写すような V から V^* への同型写像を f とする。
u_i → μ_i (i = 1, …, n) と写すような V から V^* への同型写像を g とする。
f = g となるための必要十分条件は、 {v_1, …, v_n} から {u_1, …, u_n} への基底変換行列が直交行列であることである。
511:１３２人目の素数さん
22/03/24 14:32:03.69 tOm+hK4d.net
>>491
V の基底をその双対基底に写すような同型写像という条件をはずせば、
V から V^* への同形の中には標準的な同形が存在するかもしれませんよね？
512:１３２人目の素数さん
22/03/24 16:03:06.27 aPpOj8Hk.net
これって揚げ足取りをするために、過去に読んだことのある沢山の本のメモか何かを見ながら毎日書き込みをしてんのか？
疑問内容のレベルが低すぎるのに反して自分の読み取りに怖いぐらい自信を持ってる上から目線なのだが、
アスペの実例を見れてその点だけは興味深い。
513:１３２人目の素数さん
22/03/24 16:17:19.92 tOm+hK4d.net
斎藤毅著『線形代数の世界』
V を体 K 上のベクトル空間とする。
W, W' を V の部分空間とする。
W × W' に自明な仕方で加法をスカラー倍を定義したベクトル空間を W (+) W' と書く。
W ∩ W' = {0} であるとする。
このとき、
W (+) W' ∋ (u, v) → u + v ∈ W + W' は全単射である。
この写像により、ベクトル空間 W (+) W' と部分空間 W + W' を同一視すると書いています。
この写像はもちろん線形写像なので同型写像ですが、この本では、まだ線形写像が登場しません。
ですので、単なる全単射です。
それにもかかわらず、集合として同一視するのではなく、ベクトル空間として同一視すると書いています。
これは明らかにまずいですよね？
514:１３２人目の素数さん
22/03/24 16:23:52.11 tOm+hK4d.net
池田岳著『テンソル代数と表現論』
公式ページでは今日3月24日発売になっていますが、ネットショップでは3月28日になっていますね。
どちらが正しいのでしょうか？
早く、書店で内容を確認したいです。
515:１３２人目の素数さん
22/03/24 17:15:23.86 2MbnhoYz.net
>>492
無いよ
まあ頑張って作ろうとしてみて
516:１３２人目の素数さん
22/03/24 17:23:40.84 aPpOj8Hk.net
>>478
ちょうどよい余談だな。
それを書いてなければお前がそれにツッコミを知れるような種類の余談。お前の疑問と同レベル。
それに気付かない所がお前の異常性を示してして興味深い。
517:１３２人目の素数さん
22/03/24 17:24:58.75 aPpOj8Hk.net
ツッコミを知れる
→ツッコミを入れる
518:１３２人目の素数さん
22/03/24 19:26:36.28 WIh4V48l.net
ここは英文解釈のスレじゃないけど、数学に関連することなので、了解してね。
DieudonneのFoundations on Modern Analysis vol. I を読んでいます。
such that をどう訳すかなんだけど、例えば、
(3.13.9) In order that a= \lim_{n\to
519: \infty} x_n, a necessary and sufficient condition is that, for every \varepsilon > 0, there exist an integer n_0 such that the relation n\geq n_0 implies d(a, x_n) < \varepsilon . A)森毅訳：現代解析の基礎 a=\lim_{n\to \infty} x_n とは、任意の \varepsilon>0 にたいして、n\geqq n_0 なら d(a,x_n)<\varepsilon となるような整数 n_0 が存在すること。 となってます。慌て者の俺は、 "a=\lim_{n\to \infty} x_n とは、任意の \varepsilon>0 にたいして、n\geqq n_0なら" と、ここまで読んで、出し抜けにn_0が出てくるので「えっ！？ n_0 って何？」となってしまいます。もちろん、最後まで読めば、「あー、n_0は整数で、それが存在するんだ」とわかるけど、なんか「おっとっと」と躓いた感じがして好きじゃないです。 そう思って、これを： B)（前略）任意の \varepsilon>0 にたいして、整数 n_0 で、 n\geqq n_0 なら d(a,x_n)<\varepsilon となるものが存在 すること。 とすると、「整数 n_0 が存在する」の中間に、 "n\geqq n_0 なら d(a,x_n)<\varepsilon となるようなものが"が割り込んで、主語と述語が離れてしまい、いわゆる悪文になってしまいます。 そうかといって、これを： C)（前略）任意の \varepsilon>0 にたいして、整数 n_0 が存在して、n\geqq n_0 なら d(a,x_n)<\varepsilon となること。 とすると、英文と微妙にニュアンスが変わってしまうような気がするんだが、 どう訳せばベターでしょうか？ （森毅の上の翻訳も、他に色々突っ込みどころがあるけど、今回はsuch thatに限定します）
520:１３２人目の素数さん
22/03/24 19:48:43.37 Wjszltp2.net
日本語に訳すときはあんまり困らない気がする
英語はなんか後ろから制限かけるようなところがあってそれがすごい困ることあるけどな
日本語なら「任意のaに対してあるbが存在してそれが任意のcに対して〜」と本来の束縛記号を解釈していく順番に前から書いていって自然な日本語になるけど英語はそういう“条件”がガタガタ前に来るのを嫌う文化があるようで、実際綺麗な文章にならなくて困ったりする
「でもこの語順にしないと誤解生む可能性あるやん？」とか思ってすげぇ悩むけどな
そこは日本語の方が有利な希ガス
521:１３２人目の素数さん
22/03/24 20:58:30.20 enz8BlOY.net
>>499が慌て者なのが原因
人の話は最後まで聞け、と言うじゃないか。
522:１３２人目の素数さん
22/03/24 22:58:26.57 mJy3uBzM.net
>>500
>前から書いていって自然な日本語になるけど英語はそういう“条件”がガタガタ前に来るのを嫌う文化
え？逆じゃん
523:１３２人目の素数さん
22/03/24 23:01:14.97 mJy3uBzM.net
>>499
>どう訳せばベターでしょうか？
訳さないのがベスト
524:１３２人目の素数さん
22/03/24 23:33:26.92 9A8rlpcN.net
>>502
そうか？
まず何か芯になってるpredicateについて述べてそのあとの修飾でforall 〜とかいうのが英語としては自然な気がする
つまり英語文化だと“前提条件的なもの”をゴタゴタ述べるのを後回しにして後から後から説明を加えていく構造になってる
実際文法上もSVが来てそれを修飾するMが後からくる
でも数学だとそうはいかない
まず命題に出てくる変数のうち束縛すべきものがforall なのかthere existsなのかを前に持ってこないといけない
でも英語には“後から修飾”が自然でそっちを取らないとおかしい文がかなりできてしまう、だいたいのto 不定詞で修飾するタイプは間違いなく後ろ修飾だしな
525:１３２人目の素数さん
22/03/24 23:46:55.43 9A8rlpcN.net
>>502
例えばこれなんかそうだよ
for every \varepsilon > 0,
there exist an integer n_0 such that the relation n\geq n_0
implies d(a, x_n) < \varepsilon .
これfor every epsilon,って言う前置詞句が先行してる形だけどこれは英語としてはかなり汚いハズ
本来普通の日常会話ではfor〜みたいな前置詞句は後ろに後ろに回すのが英語の通例“for three years"とか"at all times"とか
でもそれだと流石に数学的にはまずいのでやむを得ず前に持ってきてる、しかし可能なら後に置きたいと言うのが本音のようでどのくらいまでなら“やむを得ず前に出す”べきなのか“これくらいなら後ろに置いた方が綺麗”なのかの見極めがつかん
流石にこの例ではこの位置しか置けるところないけどな
526:１３２人目の素数さん
22/03/25 01:11:40.93 lDOZNO/W.net
>>500
such that は∃で束縛された変数の満たす条件部分を「」とかで全部括って、
”「」となるような(変数)が存在する”と書きたい（自然な語順）
が、誤解を招かないようにと指導された結果逐語訳的に書いてる、私は苦しい
527:１３２人目の素数さん
22/03/25 06:03:05.03 8wyF0lGg.net
>>504
日本語問題にあんまり関わりたくないが
「すべての自然数nに対して実数xが存在してn<xが成り立つ」
より
「すべての自然数nに対してn<xとなる実数xが存在する」
の方が日本語として自然でしかも
「実数xが存在してすべての自然数nに対してn<xが成り立つ」
とも解釈できる良くない文章
「存在する」が動詞であり日本語は動詞が後置されるのが普通というのがこの混乱を生む
条件が後置されるのは数式がまさにそれだよ
「∀n∈N∃x∈Rn<x」
∀よりもn∈N
∃よりもx∈R
これらすべてよりn<x
の方が後ろに置かれる
これ英語の語順なんだよ
528:１３２人目の素数さん
22/03/25 06:08:26.00 qRLdHOH9.net
>>506
慣れれば苦しくなくなる
529:１３２人目の素数さん
22/03/25 07:28:03.77 6AJFI+9P.net
>>507
その例は確かにその方がいいね
しかしもう日本語の方は存在するを前置するのに慣れてしまったからしゃあなしと思えるようになった
それで「日本語の方が数学表現に向いていない」と日本人が思うのは我々日本人が“日常会話で使う自然な日本語”と“数学的に求められる語順”の差を強く感じるからだと思う
思うにそれはどこの国のどんな言語でも同じで多少は致し方ないのだと思うよ
ただ俺はその問題は英語の方がでかいと思ってる
なぜかと言うと日本語には“格助詞”があって出てくる語がどんな役割を果たしているのかを語順が変わっても「意味は通じる」状態にはできる、しかし英語は語順が重要で語順が変われば意味すら変わってしまう言語、我々日本人には“どっちでも意味わかるやん”と思える語順でも英会話の教科書にはこの副詞節は文中には入れられませんとかなんとか山のように出てくるしね
まぁ意見に過ぎないんだけどな
530:１３２人目の素数さん
22/03/25 16:33:09.50 oI+zCtYu.net
松坂和夫著『代数系入門』
p.209 補題F
M, M' を R-加群、 f : M → M' を全射準同型とし、 P を M の部分加群、 Ker f = N とする。
もし f の P への縮小 f_P : P → M' が P から M' への同型写像ならば、
M = P (+) N
である。
---------------------------------------------------------------------------------
G, G' を 加法群、 f : G → G' を全射準同型とし、 P を G の部分群、 Ker f = N とする。
もし f の P への縮小 f_P : P → G' が P から G' への同型写像ならば、
G = P (+) N
である。
この命題から補題Fは明らかに成り立ちますよね。
531:１３２人目の素数さん
22/03/25 16:37:48.94 oI+zCtYu.net
g を G の任意の元とする。
f_P は全射だから、 f(g) = f_P(p) となるような P の元 p が存在する。
よって、 f(g) = f_P(p) = f(p) より、 f(g - p) = 0 だから、
g - p ∈ N
g- p = n for some n ∈ N
以上より、 G = P + N が成り立つことが分かった。
x ∈ P ∩ N とする。
f_P(x) = f(x) = 0
f_P は単射だから、 x = 0
∴ P ∩ N = {0}
∴ G = P (+) N
532:１３２人目の素数さん
22/03/25 16:39:26.70 6iTniafV.net
Rの作
533:用は？
534:１３２人目の素数さん
22/03/25 16:44:12.32 oI+zCtYu.net
補題F：
M, M' を R-加群、 f : M → M' を全射準同型とし、 P を M の部分加群、 Ker f = N とする。
もし f の P への縮小 f_P : P → M' が P から M' への同型写像ならば、
M = P (+) N
である。
証明：
M, M' は加法群である。
f は全射群準同型である。
P は加法群 M の部分群である。
Ker f = N は全射群準同型 f の核と一致する。
f_P は 加法群 M の部分群 P から加法群 M' への群同型写像である。
>>512
の加法群に関する命題より、
M = P (+) N
である。
535:１３２人目の素数さん
22/03/25 16:45:10.05 oI+zCtYu.net
>>512
R の作用は
>>511
の証明を見れば分かるように全く使われません。
536:１３２人目の素数さん
22/03/25 16:46:25.53 oI+zCtYu.net
松坂和夫さんは、補題FをR-加群に関する命題として書いていますが、実際には、加法群についての命題です。
537:１３２人目の素数さん
22/03/25 16:52:51.17 oI+zCtYu.net
p.202
M を R-加群とし、 N1, N2 を M の部分加群とする。もし任意の z ∈ M が（順序を除き）一意的に
z = z1 + z2; z1 ∈ N1, z2 ∈ N2
と表わされるならば、 M は N1 と N2 の直和に分解されるという。
--------------------------------------------------------------------------------
↑この定義も気に入りません。
↓このように定義すべきです。
M を R-加群とし、 N1, N2 を M の部分加群とする。
M, N1, N2 を加法群と考えたときに、 M が N1 と N2 の直和に分解されるとき、
R-加群 M は R-加群 N1, N2 の直和に分解されるという。
538:１３２人目の素数さん
22/03/25 17:42:45.36 oI+zCtYu.net
R-加群の理論ってなんか嫌ですね。
R をできるだけ制約のない環にしたいけど、それだと何も面白いことを証明できない。
R を体にすると、色々なことを証明できるけど、制約が強すぎる。
R に強すぎず弱すぎない制約を色々課して、その制約のもとで何が証明できるかを考える。
面倒くさすぎます。
539:１３２人目の素数さん
22/03/25 18:10:19.28 oI+zCtYu.net
池田岳著『テンソル代数と表現論: 線型代数続論』を書店で立ち読みした人はいませんか？
540:１３２人目の素数さん
22/03/25 18:23:58.96 ehb7IM2+.net
>>517
知識ないが、印象としてはいろいろできない、違いがない気はするが
具体的には体上のベクトル空間とかだろ
元の体、環をいれかえてもベクトル空間の一般論になるだけの感じがするが
541:１３２人目の素数さん
22/03/25 18:38:03.58 6iTniafV.net
>>514
使わないというか示さないとダメでしょ
542:１３２人目の素数さん
22/03/25 19:01:40.39 01IBWIYl.net
>>517
やりたくなかったらやらなくていいんだぞ
543:１３２人目の素数さん
22/03/25 19:54:05.71 6iTniafV.net
>>514
環準同形R[x]->>R[x]/(x^2)=L->>R[x]/(x)=RでL,RはR[x]加群
R[x]>->>(x)>->R[x]:1->xはR[x]加群の準同形
(x)>->R[x]->>R[x]/(x^2)で(x)>->>(x)/(x^2)=Rx
ただの加法群としてL=R+RxだがR[x]加群としてはL≠R+Rx
544:１３２人目の素数さん
22/03/26 10:03:39.37 AsHTalk2.net
>>517
これは面白い。
数学は論理だけではない。
とはいうもののその実例が分かりにくかったが、このアスペのお陰でまた1つ数学に対する理解が進んだ。
数学者の創造が、アスペにとっての「極めて面倒な領域(R加群)」を作ってアスペを振り落としていくんだな。中途半端に見えることが苦手なんだな。
このアスペにとっての「自分にとっての分かりにくさ、腑に落ちなさ」は一貫している(もちろん本当に「普通に分からない所」はここに書き込むことは無いが)。あくまでも著者の書き方が悪いということにしていないと、このアスペはプライドが保てないのだろう。
545:１３２人目の素数さん
22/03/26 10:33:04.50 rrJbIV56.net
R加群をやるモチベーションがないならベクトル空間でいいじゃん
お前にはまだ早い
546:１３２人目の素数さん
22/03/26 10:44:25.91 qqnNSUQN.net
コイツの場合、環論以前にもうとっくに群論のレベルで振り落とされてるんだけどな
547:１３２人目の素数さん
22/03/26 12:12:30.73 bzbf/eIs.net
線型代数でも振り落とされてたよ
548:１３２人目の素数さん
22/03/26 16:04:00.04 8hhO9Nzz.net
>>522
よくわからないのですが、どういうことでしょうか？
549:１３２人目の素数さん
22/03/26 16:05:37.46 8hhO9Nzz.net
松坂和夫著『代数系入門』
pp. 213-214
（最初に M の生成元 v_1, …, v_n をその個数が最小となるようにとっておけば、明らかにむだな (a_i) は現われない。）
これってどうしてですか？
550:１３２人目の素数さん
22/03/26 16:26:18.16 sHi3iAkq.net
>>527
加法群として直和でもR加群として直和とは限らないという例ですがどこまで分かりましたか？
R[x]
->>
(x^2)
R[x]/(x^2)
(x)
R[x]/(x)
環準同形は加群構造となる
>->>
>->
:1->x
(x)/(x^2)
加法群としてL=R+Rx
R[x]加群としてL≠R+Rx
あ
一部間違えました
(x)->>(x)/(x^2)=Rx
です
ここが分からなかったですか？すいません
551:１３２人目の素数さん
22/03/26 16:50:14.66 8hhO9Nzz.net
>>529
例えば、
R[x]
->>
(x^2)
R[x]/(x^2)
(x)
R[x]/(x)
この記号列は何ですか？
552:１３２人目の素数さん
22/03/26 16:53:59.47 8hhO9Nzz.net
松坂和夫著『代数系入門』
の説明があまりにも拙いので、
Nathan Jacobson著『Basic Algebra I Second Edition』の第3章「Modules over a Principal Ideal Domain」を読もうと思います。
他の日本語の本も見てみましたが、PID上の加群の構造定理を扱っている本は少ないようですね。
例えば、桂さんの本はZ上の加群の構造定理しか扱っていないようですね。
553:１３２人目の素数さん
22/03/26 17:11:38.30 sHi3iAkq.net
>>530
>R[x]
多項式環
>->>
全射
>(x^2)
x^2の生成するイデアル
>R[x]/(x^2)
(x^2)で割った商環
>(x)
xの生成するイデアル
>R[x]/(x)
(x)で割った商環
554:１３２人目の素数さん
22/03/26 17:22:53.40 EGlRSlrq.net
何読んでも同じ
また本に文句言って投げ出すだけ
そもそも可換環論ある程度わかるためには整域を代数閉体に埋め込んで議論とかせんといかんけど前の代数閉体の存在とか代数学の基本定理もギブアップしてほったらかしたままやろ？
お前自分が理解してない代数閉体の存在とか仮定して本読めるん？
お前の論ではそんないい加減な事は許されんのとちゃうの？
555:１３２人目の素数さん
22/03/27 01:51:49.21 DyfrzigE.net
A 可換環, f:A^n→A^m ,A加群の準同型写像
この時f全射ならばn≧mである事を示しなさい。
この問題の解答はAの極大イデアルと何かのテンソル積を考えれば良いと書いてあったのですが分かりません。証明の方法を教えて頂けないでしょうか。
556:１３２人目の素数さん
22/03/27 03:30:57.57 NRLe5ax/.net
A^m→A^nが全射ならAの極大イデアルIをとって
A^m⊗A/I→A^n⊗A/Iが全射なA/I加群の準同型を引き起こす
ここでA^m⊗A/IはA/I^m、A^n⊗A/IはA/I^nとA/I加群として同型
さらにA/Iは体なのですなわちこの引き起こされた全射A/I^m→A/I^nはA/Iベクトル空間としての写像でありベクトル空間の次元に関する議論によりm≧n
557:１３２人目の素数さん
22/03/27 04:34:58.34 emeMsIsa.net
ありがとうございます！
558:１３２人目の素数さん
22/03/27 05:26:54.02 emeMsIsa.net
わからなくなったので質問なのですが
環準同型 A→B 、M,N :A加群とする。
A加群準同型M→Nが単射ならばM ⊗B→N ⊗BはA加群単射準同型でさらにB加群単射準同型である
という認識はあってますでしょうか
559:１３２人目の素数さん
22/03/27 08:29:28.81 PbpFHhnO.net
あってる
560:１３２人目の素数さん
22/03/27 08:32:46.96 0wH8EOV6.net
>>537
一般に単射はダメ
>>535もこちらも⊗は⊗_Aね