21/11/11 17:51:34.04 2bRl2cWN.net
>>44
n=0のときは
>n^1 = n^0 * n
をn^0について解けないよね
もっというとn=0のときn^0は任意の値としてもn^1=n^0*nは成立する
46:１３２人目の素数さん
21/11/11 18:23:28.39 rJHbT7FJ.net
>>45
何でもいいから敢えて定義するわけか
47:１３２人目の素数さん
21/11/11 19:34:58.82 2bRl2cWN.net
定義しても良いし定義しなくても良い
定義しない場合は^:N*N\{(0,0)}->Nと考えれば良い
48:１３２人目の素数さん
21/11/11 19:36:23.65 8XjtTgeP.net
a^a
a^(a^a)
a^(a^(a^a))
a^(a^(a^(a^a)))
a^(a^(a^(a^(a^a))))
…
の極限を考えます
無限テトレーションというやつですね
たとえばa=1のときの極限は1,a=√2のときは2になります
これは0<a≦e^(1/e)の範囲で収束し、a>e^(1/e)で発散します
aを0に近づけたときの極限は0です(y=x^yのグラフを描くとわかる)
0^0=1と定義するならばこの数列は
1,0,1,0,1,0,1,0,…と振動するので極限が存在しません
一方0^0=0ならば
0,0,0,0,0,0,0,…
0^0=n,(n≠0,n≠1)ならば
n,0,0,0,0,0,0,…
となり、0^0が1以外の値であればきちんと収束することがわかります
無限テトレーションの0の極限について論じるというレアケースであれば0^0を1と定義すると面倒になるということですね
49:１３２人目の素数さん
21/11/11 22:23:16.97 2bRl2cWN.net
>>48
これは良い例
50:１３２人目の素数さん
21/11/12 01:05:54.89 MP0qLc6v.net
y=x^yのグラフ
51:１３２人目の素数さん
21/11/12 01:28:18.30 OQ07sov1.net
>>50
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
52:１３２人目の素数さん
21/11/12 01:45:43.90 fn8stVsI.net
>>51
これ0への収束かなり遅いな
53:１３２人目の素数さん
21/11/12 02:43:28.88 fn8stVsI.net
しかし実際に有限個でやってみると
x^xの極限は1
x^(x^x)の極限は0
x^(x^(x^x))の極限は1
x^(x^(x^(x^x)))の極限は0
なので振動するのは正しいし0^0=1と考えても問題はない
最初から無限個として考えるなら0になるのは確か
54:１３２人目の素数さん
21/11/12 10:20:30.62 fjZqHTJP.net
振動するとどんな問題があるんだろう？
55:１３２人目の素数さん
21/11/12 11:32:03.29 1m8m55Ln.net
>>48
y=x^y が x=y=0 (の極限)を期待してるのなら
1=x^y のグラフを描くのもありじゃないですか？
56:１３２人目の素数さん
21/11/12 12:29:51.44 fjZqHTJP.net
面倒とかじゃなくて明確に矛盾することを示してほしいのな
自分の美学に拘ってるような印象しかない
57:１３２人目の素数さん
21/11/12 12:57:21.50 F+WaPMAM.net
>>56
任意性あるしこう置くと矛盾というのはないでしょ
ただ各々0^0が1の場合都合が良いとか0の方が良いとか例を挙げてるだけで
少なくとも多分>>48は矛盾を指摘しようとしてるわけではない
58:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:02:29.66 fjZqHTJP.net
>>57
よーするに美学の問題じゃないか
数学は美しいんだとか叫んでそうだな
59:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:09:20.74 ZU2+dHIQ.net
結局のところ原初の定義から考えれば1と定義するのが妥当
計算上も1とすべき場面が圧倒的に多い
実際には不定形で0以上の全ての実数をとる可能性がある(負や複素数になることはたぶんない)
0と考えた方が楽な場面も超レアケースながら存在するが意図的に設定しない限りまず使うことはない
という感じでしょう
60:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:16:46.62 ZU2+dHIQ.net
>>55
それってx=1,y=0のグラフになるのでは
61:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:27:37.21 1m8m55Ln.net
恣意的に 0 に有利になるように選んでる時点で論外
62:１３２人目の素数さん
21/11/12 13:34:02.29 F+WaPMAM.net
>>58
多分美学じゃなくて未定義だから任意性があるよねという点を強調してるだけだと思う
63:１３２人目の素数さん
21/11/12 14:36:16.24 F+WaPMAM.net
>>14
形式的にやってるから長ったらしいけど要は空集合⊂空集合だから包含写像があるよねって言うと手早い気がする
もっと言うと空集合=空集合だから恒等写像なわけだけど
まあHom(空集合,空集合)が空じゃないことしか言えないから単元集合までは言えないが
64:１３２人目の素数さん
21/11/12 17:27:37.54 fn8stVsI.net
>>61
だからその恣意的に0に有利にすることが可能だと言いたいのでは
65:１３２人目の素数さん
21/11/13 15:39:36.86 mtRXTHpu.net
どうせ不連続点でしょ